CN114172436B - 基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于异步电动机位置跟踪控制技术领域，具体公开了一种基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法。该异步电动机指令滤波离散控制方法针对异步电动机容易出现的输入饱和问题，同时结合欧拉方法建立异步电动机离散系统模型；构造降维观测器估计异步电动机的转子位置、角速度；在传统的反步法中引入指令滤波控制技术，克服了反步控制算法中存在的“计算复杂性”和因果矛盾问题；利用RBF神经网络处理异步电动机离散系统中的高阶非线性项，构造了基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制器。本发明方法能够克服输入饱和的影响，利于提高系统控制的准确性，保证系统能够快速稳定运行。

Description

基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法

技术领域

本发明属于异步电动机位置跟踪控制技术领域，尤其涉及一种基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法。

背景技术

异步电动机(Induction Motors,简称IMs)，也叫感应电动机，是由气隙旋转磁场与转子绕组感应电流相互作用产生电磁转矩，从而实现机电能量转换为机械能量的一种交流电机。近几年来，随着信息技术，自动化技术以及微电子技术的迅速发展，异步电动机普遍应用于工农业生产中。然而，由于异步电动机系统是高阶、强耦合、非线性的多变量系统，且容易受到负载扰动、参数变化等不确定因素的影响。

因此，如何对异步电动机复杂系统进行有效控制成为一项具有挑战性的工作。

近些年，非线性系统控制方法取得了很大发展，如滑模控制、自适应控制、鲁棒控制和反步法控制等。然而，这些技术大多针对异步电机连续系统提出的，针对离散系统的控制方法相对较少。在计算机技术高速发展的时代，实际工程应用过程中大多采用离散控制方法，且离散控制在系统可实现性及稳定性上均优于连续系统。因此，针对异步电动机离散系统构建控制方法有着十分重要的现实意义。此外，一些异步电动机驱动系统的变流器母线电压的幅值受限会导致输入电压饱和问题，输入电压不稳定会使控制系统性能下降，影响电动机的调速性能。因此，需要对电压进行约束，在对异步电动机进行位置跟踪控制过程中考虑输入饱和的影响非常具有现实意义。

反步法作为非线性系统的有效控制方法之一，已经被广泛应用到异步电动机控制系统中，并取得了良好的控制效果。然而，反步法应用到离散系统中时，对虚拟控制函数进行连续求差分的过程，会引起“计算爆炸”和“因果矛盾”问题。对于一些具有高度非线性和参数不确定的高阶系统，非线性项会导致控制器设计变得十分复杂。在上述背景下，动态面技术和指令滤波技术被提出用来弥补反步法的不足。其中，指令滤波技术通过引入误差补偿机制，既能消除动态面技术产生的滤波误差，也能解决反步法产生的“计算复杂性”问题。此外，在系统实际运行过程中，诸如成本限制和传感器使用过程中产生振动引起性能下降等原因导致的系统状态不可测或测量不准确是很常见的。降维观测器以其结构简单、维数低等优点，用来估计电机系统中难以测量的状态量。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法，考虑异步电动机离散系统实际运行中存在的输入饱和问题，以实现电动机快速稳定的位置跟踪控制。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

本发明提出了一种基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法，该方法针对异步电动机容易出现的输入饱和问题，结合欧拉方法建立异步电动机离散系统模型；构造降维观测器估计异步电动机的转子位置、角速度；根据指令滤波技术和反步法设计基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制器，在传统的反步法中引入指令滤波控制技术，以克服反步控制算法中存在的“计算复杂性”和因果矛盾问题，同时引入补偿信号，消除滤波误差；利用RBF神经网络处理异步电动机离散系统中的高阶非线性项，结合自适应控制方法解决系统中存在的参数未知和输入饱和问题，构造基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制器。

本发明具有如下优点：

(1)本发明方法是针对离散系统提出的控制方法，具有较高的稳定性和可实现性。

(2)本发明方法综合考虑异步电动机离散系统的输入饱和问题，能够保证设计的控制系统在电压不稳定的情况下仍能稳定运行，有利于保护设备及人身安全，有效地解决了输入饱和情况下异步电动机离散系统的位置跟踪控制问题。

(3)本发明方法采用指令滤波技术，有效地避免了在传统反步法中存在的“计算复杂性”和因果矛盾问题，同时引入补偿信号，消除了滤波误差。

(4)本发明方法使用径向基函数(RBF)神经网络来处理电动机系统中未知的非线性项，有效地解决了异步电动机的高度非线性控制问题，最终达到更加准确的控制精度。

(5)本发明方法采用降维观测器估计转子位置、角速度，提高了系统的可靠性。

(6)本发明方法不需要根据异步电动机离散系统的不同而修改控制器的参数，原理上可以实现对所有型号和功率的异步电动机离散系统的稳定控制，在控制过程中减少了对异步电动机离散系统参数的测量，利于实现异步电动机离散系统的位置跟踪控制。

附图说明

图1为本发明实施例中基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制器、坐标变换单元和SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图；

图2是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图；

图3是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图；

图4是采用本发明控制方法后d轴对称饱和非线性输入u_d(k)和d轴定子电压仿真图；

图5是采用本发明控制方法后q轴对称饱和非线性输入u_q(k)和q轴定子电压仿真图；

图6是采用本发明控制方法后转子位置x₁(k)的实际值和观测值仿真图；

图7是采用本发明控制方法后转子角速度x₂(k)的实际值和观测值仿真图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

图1为本发明实施例中基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制器、坐标变换单元和SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图，图中涉及到的部件有基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3、转速检测单元4和电流检测单元5，ω表示转子角速度，U_α和U_β表示两相旋转坐标系下的电压，U、V和W表示三相交流电压。其中，转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测异步电动机离散系统转速相关变量的电流值，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，通过基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制异步电动机的位置跟踪控制。为了设计一个更加有效的控制器，建立异步电动机离散系统模型是十分必要的。

基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法，包括如下步骤：

步骤1.建立异步电动机离散系统动态数学模型。

在同步旋转坐标系下，异步电动机离散系统动态数学模型如公式(1)所示。

其中，k为异步电动机离散系统的步数，

θ(k)、θ(k+1)分别表示异步电动机离散系统第k步、k+1步的转子角度；ω(k)、ω(k+1)分别表示异步电动机离散系统第k步、k+1步的角速度；i_d(k)、i_d(k+1)分别表示异步电动机离散系统第k步、k+1步的d轴电流；i_q(k)、i_q(k+1)分别表示异步电动机离散系统第k步、k+1步的q轴电流；u_d(k)表示异步电动机离散系统第k步d轴的对称饱和非线性输入，u_q(k)表示异步电动机离散系统第k步q轴对称饱和非线性输入；ψ_d(k)表示转子磁链；Δ_t表示异步电动机离散系统的采样周期；n_p表示磁极对数；L_m表示互感系数；L_s和L_r分别为定子和转子侧等效电感；T_L表示异步电动机离散系统的负载转矩；J表示转动惯量；R_s和R_r分别表示定子和转子的等效电阻。

为简化以上异步电动机离散系统动态数学模型，定义如下新的变量：

由式(2)定义的新变量，将式(1)通过欧拉方法，得到异步电动机离散系统模型如下：

由于u_q(k)和u_d(k)的基本特性相同，为表述方便，定义u(k)代指u_q(k)和u_d(k)。

根据u(k)的特性，u(k)描述为：

其中，u_max＞0、u_min＜0是未知的输入饱和常数。

v_q(k)为q轴定子的输入电压，v_d(k)为d轴定子的输入电压，由于v_q(k)和v_d(k)的基本特性相同，为表述方便，定义v(k)代指v_q(k)和v_d(k)。定义如下平滑函数g(v(k))：

由式(5)，定义u(k)＝g(v(k))+Y(v(k)) (6)

式中，Y(v(k))是有界函数；Y(v(k))的边界为：

|Y(v(k))|＝|u(k)-g(v(k))|≤max{u_max(1-tan(1),u_min(tan(1)-1)}＝D。

其中，D为正常数且D＞0；根据中值定理得知，存在一个常数λ，0＜λ＜1，使得：

其中，v(0)和g(v(0))分别表示定子输入电压v(k)以及平滑函数g(v(k))的初始值，

v_λ(k)＝λv(k)+(1-λ)v(0)。

那么u(k)被重新定义为：

其中，v(k+1)表示k+1步定子的输入电压，g(v(k+1))表示k+1步的平滑函数。

设定v(0)＝0，g(v(0))＝0，则式(6)改写为：

其中，/>

则异步电动机离散系统第k步q轴的对称饱和非线性输入u_q(k)为：

则异步电动机离散系统第k步d轴的对称饱和非线性输入u_d(k)为：

步骤2.设计降维观测器，估计异步电动机的转子位置、角速度。

对于公式(3)示出的异步电动机驱动系统动态模型(1)，其动态方程如下：

其中，未知非线性函数f₂(k)＝x₂(k)-x₃(k)+a₁Δ_tx₃(k)x₄(k)+a₂Δ_tT_L。y(k)表示k时刻降维观测器的输出；对于f₂(k)，考虑用RBF神经网络技术解决。假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，存在径向基函数神经网络W^TS(Z)使得f(Z)＝W^TS(Z)+τ；τ是逼近误差且满足|τ|≤ε，ε为任意小的正常数；

是输入向量，q是神经网络输入维数，R^q为实数向量集；W∈R^p是权重向量，p是神经网络节点数，p为正整数且p＞1，R^p为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_p(Z)]^T∈R^p为基函数向量。s_c(Z)为高斯函数，s_c(Z)的表达式为：

其中，c＝1,...,p，μ_c是高斯函数s_c(Z)接受域的中心，η_c为高斯函数s_c(Z)的宽度。根据径向基函数神经网络的定义，存在径向基函数神经网络

使得

W₂表示权重向量，S₂(Z₂(k))表示基函数向量，式(10)表示为：

其中，

分别表示第k步时异步电动机的转子角度和角速度的观测值；τ₂为逼近误差且满足|τ₂|≤ε₂，ε₂为任意小的正常数。

则降维观测器如公式(12)所示；

其中，

为第k步降维观测器输出的估计值，/>

分别表示第k+1步时异步电动机的转子角度和角速度的观测值，g₁、g₂为正常数；/>

Φ₂＞0且为未知常数，/>

为神经网络权重/>

的范数；自适应律/>

是Φ₂的估计值，定义/>

定义h(k)＝[h₁(k),h₂(k)]^Τ，且

那么h(k+1)表示为：

其中，

选择Lyapunov函数V₀(k)＝h^Τ(k)Ph(k)，其中，P为正定矩阵，P^Τ＝P。

对V₀(k)取一阶差分得：

其中，||P||表示正定矩阵P的范数，||S₂(Z₂(k))||表示神经网络径向基函数S₂(Z₂(k))的范数，Q为矩阵，且Q＝P-3A^ΤPA。

步骤3.根据指令滤波和反步法设计基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法。

定义指令滤波器的公式如下：

式中，ξ为指令滤波器的时间常数，ω_n为正常数；d₁(k)、d₂(k)分别为第k步时指令滤波器的输出信号，d₁(k+1)、d₂(k+1)分别为指令滤波器在第k+1步时的输出信号。

α(k)为指令滤波器的输入信号，即虚拟控制函数；如果虚拟控制函数α(k)满足：

且/>

对于任意的k≥1成立。

其中，

且d₁(0)＝α(0)，d₂(0)＝0，α(0)为α(k)的初始值，d₁(0)为d₁(k)的初始值，d₂(0)为d₂(k)的初始值。

那么对于任意的Q＞0，有0＜ξ≤1和ω_n＞0，使得|d₁(k)-α_i(k)|≤Q，Δd₁(k)＝|d₁(k+1)-d₁(k)|有界；其中，α_i(k)表示虚拟控制函数，i＝1,2,3。

虚拟控制函数α(k)的表达式将在下面的控制方法设计中给出。

定义误差信号e₁(k)、e₂(k)、e₃(k)、e₄(k)、e₅(k)为：

定义误差补偿信号ξ₁(k)、ξ₂(k)、ξ₃(k)、ξ₄(k)、ξ₅(k)为：

其中，x_1d(k)、x_4d(k)为给定的期望信号；α_1d(k)、α_2d(k)、α_3d(k)为指令滤波器的输出信号；v_j(k)表示补偿误差，j＝1,2,3,4,5。

对离散系统每一步都选取一个Lyapunov函数来构建虚拟控制函数，具体步骤如下：

步骤3.1.选择Lyapunov函数

那么V₁(k)的一阶差分为：

其中，x_1d(k+1)、ξ₁(k+1)分别为k+1步的期望信号和误差补偿信号。

选取虚拟控制函数α₁(k)和误差补偿信号ξ₁(k)为：

其中，t₁为常数，且|t₁|≤1；根据虚拟控制函数α₁(k)、误差补偿信号ξ₁(k)、误差信号

以及误差补偿信号ξ₂(k)＝e₂(k)-v₂(k)和式(16)得：

步骤3.2.选择Lyapunov函数

那么V₂(k)的一阶差分为：

选取虚拟控制函数α₂(k)、误差补偿信号ξ₂(k)和自适应律

为：

其中，t₂为常数，且|t₂|≤1，γ₂和δ₂为正参数，将式(19)和(20)代入式(18)中，得：

步骤3.3.选择Lyapunov函数

那么V₃(k)的一阶差分为：

其中，f₃(k)为一未知的非线性函数，且

由径向基函数神经网络逼近原理得知，对于给定的任意ε₃＞0，存在径向基函数神经网络

使得/>

W₃表示权重向量，S₃(Z₃(k))表示基函数向量；Z₃(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k),x₄(k)，x₅(k)]^Τ；τ₃表示逼近误差，并满足不等式|τ₃|≤ε₃，||W₃||是向量W₃的范数。取误差补偿信号ξ₃(k)＝0，则异步电动机q轴定子输入电压v_q(k)，对称饱和非线性输入信号u_q(k)和自适应律/>

分别为：

其中，γ₃和δ₃为正参数，

表示神经网络权重向量W₃(k)的估计值，||S₃(Z₃(k))||表示神经网络径向基函数S₃(Z₃(k))的范数；定义/>

Φ₃为未知常数，且Φ₃＞0，/>

为神经网络权重向量/>

的范数，自适应律/>

是Φ₃的估计值，定义估计误差/>

将式(23)、(24)代入式(22)中得将式(23)、(24)代入式(22)中并结合杨氏不等式得：

步骤3.4.选择Lyapunov函数

取V₄(k)的一阶差分，得到：

选取虚拟控制函数α₃(k)和误差补偿信号ξ₄(k)为：

其中，t₄为常数，且|t₄|≤1，将式(27)代入式(26)中，得：

步骤3.5.选择Lyapunov函数

其中，M为正常数。

取V₅(k)的一阶差分，得到：

其中，f₅(k)为一未知的非线性函数，且

由径向基函数神经网络逼近原理得知，对于给定的任意ε₅＞0，存在径向基函数神经网络

使得：/>

Z₅(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k),x₄(k),x₅(k)]^Τ，τ₅表示逼近误差，并满足不等式|τ₅|≤ε₅。取误差补偿信号ξ₅(k)＝0则异步电动机d轴定子输入电压v_d(k)，对称饱和非线性输入信号u_d(k)和自适应律/>

分别为：

其中，γ₅和δ₅为正参数，

表示神经网络权重向量W₅(k)的估计值，||S₅(Z₅(k))||表示神经网络径向基函数S₅(Z₅(k))的范数，/>

定义/>

为神经网络权重向量/>

的范数Φ₅为未知常数且Φ₅＞0，估计误差/>

是Φ₅的估计值；将式(30)、(31)代入式(29)中得将式(30)、(31)代入式(29)中并结合杨氏不等式得：

步骤4.对构建的基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法进行稳定性分析。

选择Lyapunov函数：

取V(k)的一阶差分，得到：

根据

和式(20)、(24)、(31)得到：

其中，m＝2,3,5，δ_m为正参数，由基函数向量S(Z)的定义得知，||S_m(Z_m(k))||²≤l_m，l_m表示径向基函数神经网络S_m(Z_m(k))的节点数；由杨氏不等式，得：

由式(9)、(23)、(30)及杨氏不等式得：

将式(36)、(37)代入式(35)中得到：

将式(38)、(39)、(40)代入式(33)中得到：

其中：

选择合适的采样周期Δ_t，控制参数ξ,ω_n,γ₂,γ₃,γ₅,δ₂,δ₃,δ₅,g₁和g₂，使下列不等式成立：

κ＝2,3,5，且矩阵Q＝P-3A^ΤPA正定，只需满足下列条件：

则有ΔV(k)≤0成立，这意味着对任意σ＞0，有

成立。

假设

有界且/>

i₃＝1,2,3，i₄＝1,2,4，那么补偿信号/>

最终一致有界，i₁＝1,2,3,4,5，由v₁(k)＝e₁(k)-ξ₁(k)和ξ₁(k)是有界的，则跟踪误差e₁(k)亦是有界的。

由以上分析得到，在定子的输入电压v_q(k)和v_d(k)的作用下，异步电动机离散系统的误差变量e₁(k)能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，并保证其他信号有界。

下面在Matlab环境下对所建立的基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法进行仿真，以验证所提出控制方法的可行性。

电动机及负载参数为：

J＝0.0586Kg·m²，R_s＝0.1Ω，R_r＝0.15Ω，L_s＝L_r＝0.0699H，L_m＝0.068H。

跟踪参考信号为：x_1d(k)＝cos(Δ_tkπ/2)；期望转子磁链信号为：x_4d(k)＝1。

采样周期：Δ_t＝0.0025s，负载转矩为：

选择的控制参数为：ξ＝0.98，ω_n＝500，γ₂＝2.88，γ₃＝0.1，γ₅＝0.1，δ₂＝1.0，δ₃＝0.1，δ₅＝0.1，t₁＝t₂＝t₄＝0.1，g₁＝0.0025，g₂＝300。

选择RBF神经网络如下：神经网络

和/>

包含11个中心平均分布在在[-10,10]内节点，宽度均为2。

相应的仿真结果如图2至图7所示。其中：

图2是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图。

图3是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图。

由图2和图3的仿真结果表明，由图2和图3的仿真结果表明，本发明方法能够准确跟踪异步电动机转子位置，具有很小的跟踪误差，并且具有较强的抗扰动能力。

图4是采用本发明控制方法后d轴对称饱和非线性输入u_d(k)和d轴定子电压仿真图。

图5是采用本发明控制方法后q轴对称饱和非线性输入u_q(k)和q轴定子电压仿真图。

由图4和图5的仿真结果表明，本发明方法能够有效的减少输入饱和带来的不利影响，位置跟踪误差小、跟踪效果好。

图6是采用本发明控制方法后转子位置x₁(k)的实际值和观测值仿真图。

图7是采用本发明控制方法后转子角速度x₂(k)的实际值和观测值仿真图。

由图6和图7的仿真结果表明，采用本发明方法控制后降维观测器能够有效地估计转子位置及角速度。

综上所述，本发明提出的基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法，能够在考虑输入饱和的情况下，快速稳定地跟踪参考信号。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1.建立异步电动机离散系统动态数学模型；

在同步旋转坐标系下，异步电动机离散系统动态数学模型如公式(1)所示；

其中，k为异步电动机离散系统的步数，

θ(k)、θ(k+1)分别表示异步电动机离散系统第k步、k+1步的转子角度；ω(k)、ω(k+1)分别表示异步电动机离散系统第k步、k+1步的角速度；i_d(k)、i_d(k+1)分别表示异步电动机离散系统第k步、k+1步的d轴电流；i_q(k)、i_q(k+1)分别表示异步电动机离散系统第k步、k+1步的q轴电流；u_d(k)表示异步电动机离散系统第k步d轴的对称饱和非线性输入，u_q(k)表示异步电动机离散系统第k步q轴对称饱和非线性输入；ψ_d(k)表示转子磁链；Δ_t表示异步电动机离散系统的采样周期；n_p表示磁极对数；L_m表示互感系数；L_s和L_r分别为定子和转子侧等效电感；T_L表示异步电动机离散系统的负载转矩；J表示转动惯量；R_s和R_r分别表示定子和转子的等效电阻；

为简化以上异步电动机离散系统动态数学模型，定义如下新的变量：

由式(2)定义的新变量，将式(1)通过欧拉方法，得到异步电动机离散系统模型如下：

由于u_q(k)和u_d(k)的基本特性相同，为表述方便，定义u(k)代指u_q(k)和u_d(k)；

根据u(k)的特性，u(k)描述为：

其中，u_max＞0、u_min＜0是未知的输入饱和常数；v_q(k)和v_d(k)均为定子的输入电压，由于v_q(k)和v_d(k)的基本特性相同，为表述方便，定义v(k)代指v_q(k)和v_d(k)；

定义如下平滑函数g(v(k))：

由式(5)，定义u(k)＝g(v(k))+Y(v(k)) (6)

式中，Y(v(k))是有界函数；Y(v(k))的边界为：

|Y(v(k))|＝|u(k)-g(v(k))|≤max{u_max(1-tan(1),u_min(tan(1)-1)}＝D；

其中，D为正常数且D＞0；根据中值定理得知，存在一个常数λ，0＜λ＜1，使得：

其中，v(0)和g(v(0))分别表示定子输入电压v(k)以及平滑函数g(v(k))的初始值，

v_λ(k)＝λv(k)+(1-λ)v(0)；

那么u(k)被重新定义为：

其中，v(k+1)表示k+1步定子的输入电压，g(v(k+1))表示k+1步的平滑函数；设定v(0)＝0，g(v(0))＝0，则式(6)改写为：

其中，/>

则异步电动机离散系统第k步q轴的对称饱和非线性输入u_q(k)为：

则异步电动机离散系统第k步d轴的对称饱和非线性输入u_d(k)为：

步骤2.设计降维观测器，估计异步电动机的转子位置和角速度；

对于公式(3)给出的异步电动机离散系统模型，其动态方程如下：

其中，未知非线性函数f₂(k)＝x₂(k)-x₃(k)+a₁Δ_tx₃(k)x₄(k)+a₂Δ_tT_L；y(k)表示k时刻降维观测器的输出；假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，存在径向基函数神经网络W^TS(Z)使得f(Z)＝W^TS(Z)+τ；τ是逼近误差且满足|τ|≤ε，ε为任意小的正常数；

是输入向量，q是神经网络输入维数，R^q为实数向量集；W∈R^p是权重向量，p是神经网络节点数，p为正整数且p＞1，R^p为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_p(Z)]^T∈R^p为基函数向量；s_c(Z)为高斯函数，s_c(Z)的表达式为：

其中，c＝1,...,p，μ_c是高斯函数s_c(Z)接受域的中心，η_c为高斯函数s_c(Z)的宽度；

根据径向基函数神经网络的定义，存在径向基函数神经网络

使得

W₂表示权重向量，S₂(Z₂(k))表示基函数向量，式(10)表示为：

其中，

和/>

分别表示第k步时异步电动机的转子角度和角速度的观测值；τ₂为逼近误差且满足|τ₂|≤ε₂，ε₂为任意小的正常数；

则降维观测器如公式(12)所示；

其中，

为第k步降维观测器输出的估计值，/>

分别表示第k+1步时异步电动机的转子角度和角速度的观测值，g₁、g₂为正常数；/>

Φ₂＞0且为未知常数，/>

为神经网络权重/>

的范数；

自适应律

是Φ₂的估计值，定义/>

定义h(k)＝[h₁(k),h₂(k)]^T，且

那么h(k+1)表示为：

其中，

选择Lyapunov函数V₀(k)＝h^T(k)Ph(k)，其中，P为正定矩阵，P^T＝P；

对V₀(k)取一阶差分得：

其中，||P||表示正定矩阵P的范数，||S₂(Z₂(k))||表示神经网络径向基函数S₂(Z₂(k))的范数，Q为矩阵，且Q＝P-3A^TPA；

步骤3.根据指令滤波和反步法设计基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法；

定义指令滤波器的公式如下：

式中，ξ为指令滤波器的时间常数，ω_n为正常数；d₁(k)、d₂(k)分别为第k步时指令滤波器的输出信号，d₁(k+1)、d₂(k+1)分别为指令滤波器在第k+1步时的输出信号；

α(k)为指令滤波器的输入信号，即虚拟控制函数；如果虚拟控制函数α(k)满足：

且/>

对于任意的k≥1成立；其中，/>

且d₁(0)＝α(0)，d₂(0)＝0，α(0)为α(k)的初始值，d₁(0)为d₁(k)的初始值，d₂(0)为d₂(k)的初始值；那么对于任意的Q＞0，有0＜ξ≤1和ω_n＞0，使得|d₁(k)-α_i(k)|≤Q，Δd₁(k)＝|d₁(k+1)-d₁(k)|有界；其中，α_i(k)表示虚拟控制函数，i＝1,2,3；

定义误差信号e₁(k)、e₂(k)、e₃(k)、e₄(k)、e₅(k)为：

定义误差补偿信号ξ₁(k)、ξ₂(k)、ξ₃(k)、ξ₄(k)、ξ₅(k)为：

其中，x_1d(k)、x_4d(k)为给定的期望信号；α_1d(k)、α_2d(k)、α_3d(k)为指令滤波器的输出信号；v_j(k)表示补偿误差，j＝1,2,3,4,5；

对离散系统每一步都选取一个Lyapunov函数来构建虚拟控制函数，具体步骤如下：

步骤3.1.选择Lyapunov函数

那么V₁(k)的一阶差分为：

其中，x_1d(k+1)、ξ₁(k+1)分别为k+1步的期望信号和误差补偿信号；

选取虚拟控制函数α₁(k)和误差补偿信号ξ₁(k)为：

其中，t₁为常数，且|t₁|≤1；根据虚拟控制函数α₁(k)、误差补偿信号ξ₁(k)、误差信号

以及误差补偿信号ξ₂(k)＝e₂(k)-v₂(k)和式(16)得：

步骤3.2.选择Lyapunov函数

那么V₂(k)的一阶差分为：

选取虚拟控制函数α₂(k)、误差补偿信号ξ₂(k)和自适应律

为：

其中，t₂为常数，且|t₂|≤1，γ₂和δ₂为正参数，将式(19)和(20)代入式(18)中，得：

步骤3.3.选择Lyapunov函数

那么V₃(k)的一阶差分为：

其中，f₃(k)为一未知的非线性函数，且

由径向基函数神经网络逼近原理得知，对于给定的任意ε₃＞0，存在径向基函数神经网络W₃ ^TS₃(Z₃(k))，使得f₃(k)＝W₃ ^TS₃(Z₃(k))+τ₃；W₃表示权重向量，S₃(Z₃(k))表示基函数向量；Z₃(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k),x₄(k)，x₅(k)]^T；τ₃表示逼近误差，并满足不等式|τ₃|≤ε₃，||W₃||是向量W₃的范数；取误差补偿信号ξ₃(k)＝0，则异步电动机q轴定子输入电压v_q(k)，对称饱和非线性输入u_q(k)和自适应律

分别为：

其中，γ₃和δ₃为正参数，

表示神经网络权重向量W₃(k)的估计值，||S₃(Z₃(k))||表示神经网络径向基函数S₃(Z₃(k))的范数；

定义Φ₃＝||W₃ ^T||，Φ₃为未知常数，且Φ₃＞0，||W₃ ^T||为神经网络权重向量W₃ ^T的范数，自适应律

是Φ₃的估计值，定义估计误差/>

将式(23)、(24)代入式(22)中得将式(23)、(24)代入式(22)中并结合杨氏不等式得：

步骤3.4.选择Lyapunov函数

取V₄(k)的一阶差分，得到：

选取虚拟控制函数α₃(k)和误差补偿信号ξ₄(k)为：

其中，t₄为常数，且|t₄|≤1，将式(27)代入式(26)中，得：

步骤3.5.选择Lyapunov函数

其中，M为正常数；

取V₅(k)的一阶差分，得到：

其中，f₅(k)为一未知的非线性函数，且

由径向基函数神经网络逼近原理得知，对于给定的任意ε₅＞0，存在径向基函数神经网络W₅ ^TS₅(Z₅(k))，使得：f₅(k)＝W₅ ^T||S₅(Z₅(k))||+τ₅；Z₅(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k),x₄(k),x₅(k)]^T，τ₅表示逼近误差，并满足不等式|τ₅|≤ε₅；取误差补偿信号ξ₅(k)＝0，则异步电动机d轴定子输入电压v_d(k)，对称饱和非线性输入u_d(k)和自适应律

分别为：

其中，γ₅和δ₅为正参数，

表示神经网络权重向量W₅(k)的估计值，||S₅(Z₅(k))||表示神经网络径向基函数S₅(Z₅(k))的范数，/>

定义Φ₅＝||W₅ ^T||，||W₅ ^T||为神经网络权重向量W₅ ^T的范数Φ₅为未知常数且Φ₅＞0，估计误差/>

是Φ₅的估计值；将式(30)、(31)代入式(29)中得将式(30)、(31)代入式(29)中并结合杨氏不等式得：

步骤4.对构建的基于观测器的异步电动机指令滤波离散控制方法进行稳定性分析；

选择Lyapunov函数：

取V(k)的一阶差分，得到：

根据

和式(20)、(24)、(31)得到：

其中，m＝2,3,5，δ_m为正参数，由基函数向量S(Z)的定义得知，||S_m(Z_m(k))||²≤l_m，l_m表示径向基函数神经网络S_m(Z_m(k))的节点数；由杨氏不等式，得：

由式(9)、(23)、(30)及杨氏不等式得：

将式(36)、(37)代入式(35)中得到：

将式(38)、(39)、(40)代入式(33)中得到：

其中：

选择合适的采样周期Δ_t，控制参数ξ,ω_n,γ₂,γ₃,γ₅,δ₂,δ₃,δ₅,g₁和g₂，使下列不等式成立：

其中，κ＝2,3,5，且矩阵Q＝P-3A^TPA正定，只需满足下列条件：

则有ΔV(k)≤0成立，这意味着对任意σ＞0，有

成立；

假设

有界且/>

i₃＝1,2,3，i₄＝1,2,4，那么补偿信号/>

最终一致有界，i₁＝1,2,3,4,5，由v₁(k)＝e₁(k)-ξ₁(k)和ξ₁(k)是有界的，则跟踪误差e₁(k)亦是有界的；

由以上分析得到，在定子的输入电压v_q(k)和v_d(k)的作用下，异步电动机离散系统的误差变量e₁(k)能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，并保证其他信号有界。

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