CN106788046A - 永磁同步电机命令滤波有限时间模糊控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种永磁同步电机命令滤波有限时间模糊控制方法。该控制方法针对电机驱动和控制系统中存在的非线性问题，在传统的反步设计方法中引入命令滤波技术，成功地克服了在传统反步控制中由于连续求导所引起的“计算爆炸”问题；利用模糊逻辑系统逼近系统中的非线性函数，将命令滤波反步技术与模糊自适应方法结合起来构造了模糊自适应控制器；利用有限时间的方法能够对外部负载干扰等信号具有抗干扰性和鲁棒性；在有限时间控制下系统稳定跟踪误差小，动态响应时间短，提高了系统的收敛速度和干扰抑制能力。本发明与现有技术相比，具有更快的响应速度、更强的抗干扰能力和更好的跟踪效果。

Description

永磁同步电机命令滤波有限时间模糊控制方法

技术领域

本发明涉及一种永磁同步电机调速控制技术，尤其涉及一种永磁同步电机命令滤波有限时间模糊控制方法。

背景技术

永磁同步电机以其优越的性能广泛的应用于交流伺服系统中，永磁同步电机是一个多变量、强耦合的非线性控制对象，并受电机参数变化、外部负载扰动等不确定性因素的影响。矢量控制、直接转矩控制等传统控制策略，使永磁同步电机的性能有了较大的提高，但这些方法未从理论上给出完整的证明，没有从根本上解决电机参数变化、外部负载扰动的问题。

由于永磁同步电机的动态数学模型具有高度的非线性、多变量的特点，因此永磁同步电机需要一套更复杂的控制方法。为满足实际应用对于永磁同步电机更高的要求，提出了模糊逻辑控制、反步法控制和滑模控制等基于最近现代控制理论的控制策略。反步法是一种控制具有不确定性、非线性的系统，尤其是那些不满足给定条件的系统的方法。将反步法运用在永磁同步电机系统中使用虚拟控制变量来使永磁同步电机的高阶系统简单化；与此同时，通过选择一个合适的Lyapunov控制函数，可以系统地得到控制输出。然而，传统反步控制中对虚拟控制函数进行连续求导，容易引起“计算爆炸”问题。

有限时间(Finite-time)是一种简单易用、有效的控制方法。

从控制系统时间优化的角度来看，使闭环系统有限时间收敛的控制方法是时间极优的控制方法。有限时间收敛是指系统在设定时间的区间内，系统状态轨迹在预定的界限内达到平衡。有限时间稳定是指在一个有限的时间区间内，系统的状态轨线始终保持在预先给定的界限内。有限时间稳定对控制系统本身的条件要求更低，在现实条件中运用更加广泛，更符合实际需要。除了收敛性能极优的优点外，和无限时间控制技术(指数收敛或一般其他的渐近收敛)相比，在对具有不确定参数和外部扰动干扰情况下的系统进行控制时，有限时间稳定系统在原点附近具有更快的收敛性，并具有更好的鲁棒性和抗干扰性。

发明内容

本发明的目的在于提出一种永磁同步电机命令滤波有限时间模糊控制方法，该控制方法能够克服参数未知以及负载变化的影响，以实现更加有效的位置跟踪控制。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

永磁同步电机命令滤波有限时间模糊控制方法，包括如下步骤：

a建立永磁同步电机的动态数学模型：

其中，Θ表示电机角位置，ω表示电机角速度，n_p表示极对数，B表示摩擦系数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩，R_s表示定子电阻，i_d和i_q表示d-q轴定子电流；L_d和L_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压，Φ表示永磁体产生的磁链；

为简化永磁同步电机的动态数学模型，定义新的变量：

永磁同步电机的动态数学模型用差分方程表示为：

b根据命令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种永磁同步电机命令滤波模糊有限时间控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁,x₂,x₃和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄和控制输入u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统Φ^TP(Z)满足：式中，输入向量q是模糊输入维数，R^q表示实数向量集；Φ＝[Φ₁,Φ₂,...,Φ_l]^T∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l＞1，R^l表示实数向量集，P(Z)＝[p₁(Z),p₂(Z),...,p_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量；通常选取基函数p_w(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_w＝[μ_w1,...,μ_wq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_w则为其宽度；

定义有限时间命令滤波器为：

其中，均为命令滤波器的输出信号，α_u为命令滤波器的输入信号，v_u为补偿后的跟踪误差信号，u＝1,2，常数R₁＞0，常数R₂＞0；如果命令滤波器的输入信号α_u对于所有的t≥0，使得以及成立，其中，ρ₁和ρ₂均为正常数；同时则可得出，对任意的常数κ＞0，使得 和是有界的；那么在有限时间中对于v₁和将有以下不等式成立：

其中，常数大于0，且取决于二阶微分方程的设计参数，常数均大于0；

定义跟踪误差变量为：

其中，x_1d为期望的位置信号，虚拟控制信号α₁,α₂为命令滤波器的输入信号，x_1,c,x_2,c为命令滤波的输出信号，k₁、k₂、k₃、k₄为正的设计参数；控制方法设计的每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律；控制方法的设计具体包括以下步骤：

b.1定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₁＝z₁-ξ₁，根据差分方程为确保x₁能有效跟踪期望信号x_1d，选取Lyapunov控制函数对V₁求导得：

构建虚拟控制函数：

定义补偿误差：

其中，s₁和l₁均为正常数，γ是正常数，0＜γ＜1；

按照公式(5)和公式(6)，将公式(4)改写为：

b.2根据差分方程对z₂求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₂＝z₂-ξ₂，同时选取Lyapunov控制函数：对V₂求导得：

在实际系统中负载参数T_L是有界的，定义T_L是未知的正常数且上限为d，即0≤T_L≤d；根据杨氏不等式可得：其中，ε₂是任意小的正数；因此：

其中，Z₂＝[v₂,x₂,x₃,x₄]^T；对于光滑函数f₂(Z₂)，给定任意小的ε₂≥0，有Φ₂ ^TP₂(Z₂)；令f₂(Z₂)＝Φ₂ ^TP₂(Z₂)+δ₂(Z₂)；其中，δ₂(Z₂)表示逼近误差，并满足|δ₂(Z₂)|≤ε₂，根据杨氏不等式，从而有：

其中，||Φ₂||为向量Φ₂的范数，常数h₂＞0；

构建虚拟控制函数：

定义补偿误差：

其中，常数s₂＞0，常数l₂＞0；和分别是未知常量θ和J的估计值；

按照杨氏不等式，将公式(10)和公式(11)代入公式(9)可得：

b.3根据差分方程对z₃求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₃＝z₃-ξ₃，同时选取Lyapunov控制函数：对V₃求导得：

其中，f₃(Z₃)＝b₁x₃+b₂x₂x₄+b₃x₂，Z₃＝[x₂,x₃,x₄]^T；对于光滑函数f₃(Z₃)，给定任意小的ε₃≥0，有Φ₃ ^TP₃(Z₃)，令f₃(Z₃)＝Φ₃ ^TP₃(Z₃)+δ₃(Z₃)；其中，δ₃(Z₃)表示逼近误差，并满足|δ₃(Z₃)|≤ε₃，从而有：

其中，||Φ₃||为向量Φ₃的范数，常数h₃＞0；

构建真实控制律：

定义补偿误差

其中，s₃和l₃均为正常数；

按照公式(14)、公式(15)和公式(16)，将公式(13)改写为：

b.4根据差分方程对z₄求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₄＝z₄-ξ₄，同时选取Lyapunov控制函数：对V₄求导得：

其中，f₄(Z₄)＝c₁x₄+c₂x₂x₃，Z₄＝[x₂,x₃,x₄]^T；对于光滑函数f₄(Z₄)，给定任意小的ε₄≥0，有Φ₄ ^TP₄(Z₄)；令f₄(Z₄)＝Φ₄ ^TP₄(Z₄)+δ₄(Z₄)；其中，δ₄(Z₄)表示逼近误差，并满足|δ₄(Z₄)|≤ε₄，从而有：

其中，||Φ₄||为向量Φ₄的范数，常数h₄＞0；

构建真实控制律：

定义补偿误差：

其中，s₄和l₄均为正常数；

按照公式(19)、公式(20)和公式(21)，将公式(18)改写为：

c对永磁同步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析

定义θ＝max(||Φ₂||²,||Φ₃||²,||Φ₄||²)， 是θ的估计值；定义 是J的估计值，构建Lyapunov函数为：对V求导可得：

选择相应的自适应律：

其中，常数r₁,r₂均大于0，常数m₁,m₂均大于0；

按照公式(24)，将公式(23)改写为：

同样，再由杨氏不等式可得：

其中，i＝1,2,3,4；

按照公式(26)，将公式(25)改写为：

根据杨氏不等式知：和

所以：

如果可得：

如果根据：

因此可得：

如果可得：

如果根据：

因此可得：

因此：

其中：

利用有限时间将v_i约束在一个小区间内，i＝1,2,3,4；因为z_i＝v_i+ξ_i，需要证明ξ_i也在有限时间内有界，从而得到跟踪误差z_i也是在很小的邻域内是有限时间有界的；

选取补偿系统的李雅普诺夫函数：

然后得到：

由于η≤|(g_i(·))|≤ρ；其中，η表示正数，g_i(·)表示已知非线性函数；因此：

其中，k₀＝2min(k_i)，i＝1,2,3,4；选择合适的l_i，和ρ实现ξ_i在有限时间内有界。

本发明具有如下优点：

(1)与传统的控制方法相比，本发明控制方法能够克服参数未知以及负载扰动的影响，实现更加有效的位置跟踪控制。

(2)本发明需要的输入信号是实际工程中易于得到的可直接测量的转速和电流信号量。基于有限时间的自适应反步控制方法本身可以通过软件编程实现，使用模糊逼近电机系统中的非线性项，使用有限时间反步法来构造控制器，通过引入命令滤波技术，可以克服计算爆炸的问题，同时引入补偿误差机制来减小命令滤波器产生的误差，提高了控制精度。与此同时，本发明设计的控制方法具有更加简单的结构，利用有限时间的方法使提高了系统的收敛速度和干扰抑制能力。总之，所提出的控制方法可以保证系统的跟踪误差能够在有限的时间内收敛到原点的一个充分小的邻域中，且该控制器构造简单易行、实现方便、设计合理，与传统的控制器相比具有更快的响应速度、更强的抗干扰能力和更好的跟踪效果。

(3)本发明需要的输入信号是实际工程中易于得到的可直接测量的转速和电流信号量，模糊有限时间算法本身可以通过软件编程实现，并且可以省去对永磁同步电机的参数的设置，易于对永磁同步电机进行直接控制，降低成本、安全可靠，具有广阔的应用前景

(4)本发明不需要根据永磁同步电机的不同而修改控制参数，原理上可以实现对所有型号和功率的永磁同步电机的稳定调速控制，在控制过程中减少对永磁同步电机参数的测量，利于实现永磁同步电机位置调节的快速响应。

附图说明

图1为本发明中由永磁步电机命令滤波模糊有限时间控制器、坐标变换和SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图；

图2为本发明中永磁同步电机命令滤波模糊有限时间控制器控制后转子角位置和转子角位置设定值的跟踪仿真图；

图3为本发明中永磁同步电机命令滤波模糊有限时间控制器控制后跟踪误差仿真图；

图4为本发明中永磁同步电机命令滤波模糊有限时间控制器控制后同步电动机q轴定子电压仿真图；

图5为本发明中永磁同步电机命令滤波模糊有限时间控制器控制后同步电动机d轴定子电压仿真图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

结合图1所示，永磁同步电机命令滤波有限时间模糊控制方法，其涉及的部件主要包括永磁同步电机的命令滤波模糊有限时间控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3和转速检测单元4与电流检测单元5。其中：

转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测永磁同步电机的电流值和转速相关变量，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，通过基于命令滤波模糊有限时间的永磁同步电机驱动系统控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制永磁同步电机的转速。为了设计一个更加有效的控制器，建立永磁同步电机的动态数学模型是十分必要的。

永磁同步电机命令滤波有限时间模糊控制方法，包括如下步骤：

a建立永磁同步电机的动态数学模型：

其中，Θ表示电机角位置，ω表示电机角速度，n_p表示极对数，B表示摩擦系数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩，R_s表示定子电阻，i_d和i_q表示d-q轴定子电流；L_d和L_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压，Φ表示永磁体产生的磁链；

为简化永磁同步电机的动态数学模型，定义新的变量：

永磁同步电机的动态数学模型用差分方程表示为：

b根据命令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种永磁同步电机命令滤波模糊有限时间控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁,x₂,x₃和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄和控制输入u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统Φ^TP(Z)满足：式中，输入向量q是模糊输入维数，R^q表示实数向量集；Φ＝[Φ₁,Φ₂,...,Φ_l]^T∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l＞1，R^l表示实数向量集，P(Z)＝[p₁(Z),p₂(Z),...,p_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量；通常选取基函数p_w(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_w＝[μ_w1,...,μ_wq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_w则为其宽度；

定义有限时间命令滤波器为：

其中，均为命令滤波器的输出信号，α_u为命令滤波器的输入信号，v_u为补偿后的跟踪误差信号，u＝1,2，常数R₁＞0，常数R₂＞0；如果命令滤波器的输入信号α_u对于所有的t≥0，使得以及成立，其中，ρ₁和ρ₂均为正常数；同时则可得出，对任意的常数κ＞0，使得 和是有界的；那么在有限时间中对于v₁和将有以下不等式成立：

其中，常数大于0，且取决于二阶微分方程的设计参数，常数均大于0；

定义跟踪误差变量为：

其中，x_1d为期望的位置信号，虚拟控制信号α₁,α₂为命令滤波器的输入信号，x_1,c,x_2,c为命令滤波的输出信号，k₁、k₂、k₃、k₄为正的设计参数；控制方法设计的每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律；控制方法的设计具体包括以下步骤：

b.1定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₁＝z₁-ξ₁，根据差分方程为确保x₁能有效跟踪期望信号x_1d，选取Lyapunov控制函数对V₁求导得：

构建虚拟控制函数：

定义补偿误差：

其中，s₁和l₁均为正常数，γ是正常数，0＜γ＜1；

按照公式(5)和公式(6)，将公式(4)改写为：

b.2根据差分方程对z₂求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₂＝z₂-ξ₂，同时选取Lyapunov控制函数：对V₂求导得：

在实际系统中负载参数T_L是有界的，定义T_L是未知的正常数且上限为d，即0≤T_L≤d；根据杨氏不等式可得：其中，ε₂是任意小的正数；因此：

其中，Z₂＝[v₂,x₂,x₃,x₄]^T；对于光滑函数f₂(Z₂)，给定任意小的ε₂≥0，有Φ₂ ^TP₂(Z₂)；令f₂(Z₂)＝Φ₂ ^TP₂(Z₂)+δ₂(Z₂)；其中，δ₂(Z₂)表示逼近误差，并满足|δ₂(Z₂)|≤ε₂，根据杨氏不等式，从而有：

其中，||Φ₂||为向量Φ₂的范数，常数h₂＞0；

构建虚拟控制函数：

定义补偿误差：

其中，常数s₂＞0，常数l₂＞0；和分别是未知常量θ和J的估计值；

按照杨氏不等式，将公式(10)和公式(11)代入公式(9)可得：

b.3根据差分方程对z₃求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₃＝z₃-ξ₃，同时选取Lyapunov控制函数：对V₃求导得：

其中，f₃(Z₃)＝b₁x₃+b₂x₂x₄+b₃x₂，Z₃＝[x₂,x₃,x₄]^T；对于光滑函数f₃(Z₃)，给定任意小的ε₃≥0，有Φ₃ ^TP₃(Z₃)，令f₃(Z₃)＝Φ₃ ^TP₃(Z₃)+δ₃(Z₃)；其中，δ₃(Z₃)表示逼近误差，并满足|δ₃(Z₃)|≤ε₃，从而有：

其中，||Φ₃||为向量Φ₃的范数，常数h₃＞0；

构建真实控制律：

定义补偿误差

其中，s₃和l₃均为正常数；

按照公式(14)、公式(15)和公式(16)，将公式(13)改写为：

b.4根据差分方程对z₄求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₄＝z₄-ξ₄，同时选取Lyapunov控制函数：对V₄求导得：

其中，f₄(Z₄)＝c₁x₄+c₂x₂x₃，Z₄＝[x₂,x₃,x₄]^T；对于光滑函数f₄(Z₄)，给定任意小的ε₄≥0，有Φ₄ ^TP₄(Z₄)；令f₄(Z₄)＝Φ₄ ^TP₄(Z₄)+δ₄(Z₄)；其中，δ₄(Z₄)表示逼近误差，并满足|δ₄(Z₄)|≤ε₄，从而有：

其中，||Φ₄||为向量Φ₄的范数，常数h₄＞0；

构建真实控制律：

定义补偿误差：

其中，s₄和l₄均为正常数；

按照公式(19)、公式(20)和公式(21)，将公式(18)改写为：

c对永磁同步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析

定义θ＝max(||Φ₂||²,||Φ₃||²,||Φ₄||²)， 是θ的估计值；定义 是J的估计值，构建Lyapunov函数为：对V求导可得：

选择相应的自适应律：

其中，常数r₁,r₂均大于0，常数m₁,m₂均大于0；

按照公式(24)，将公式(23)改写为：

同样，再由杨氏不等式可得：

其中，i＝1,2,3,4；

按照公式(26)，将公式(25)改写为：

根据杨氏不等式知：和

所以：

如果可得：

如果根据：

因此可得：

如果可得：

如果根据：

因此可得：

因此：

其中：

利用有限时间将v_i约束在一个小区间内，i＝1,2,3,4；因为z_i＝v_i+ξ_i，需要证明ξ_i也在有限时间内有界，从而得到跟踪误差z_i也是在很小的邻域内是有限时间有界的；

选取补偿系统的李雅普诺夫函数：

然后得到：

由于η≤|(g_i(·))|≤ρ；其中，η表示正数，g_i(·)表示已知非线性函数；因此：

其中，k₀＝2min(k_i)，i＝1,2,3,4；选择合适的l_i，和ρ实现ξ_i在有限时间内有界。

永磁同步电机命令滤波模糊有限的时间控制器保证位置的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，实现对永磁同步电机的位置高效的跟踪控制。

在虚拟环境下对所建立的永磁同步电机命令滤波模糊有限时间控制方法进行仿真，验证所提出的控制方法的可行性：

电机及负载参数为：

J＝0.00379kg·m²,B＝1.158*10^(-3)N·m/(rad/s),R_s＝0.68Ω,n_p＝3；

L_d＝0.00315H,L_q＝0.00285H；

选择控制率参数为：

k₁＝35；k₂＝35；k₃＝35；k₄＝35；R₁＝400,R₂＝0.4；

m₁＝m₂＝0.08；r₁＝r₂＝0.07；l₁＝0.5；l₂＝0.5；l₃＝0.5；l₄＝0.5；

h₂＝100；h₃＝100；h₄＝100。

跟踪信号为：x_1d＝0.5sin(t)+0.5sin(0.5t)。

负载转矩为：

选择模糊隶属度函数为：

相应的仿真结果如图2、图3、图4和图5所示。其中，图2、图3分别为永磁同步电机命令滤波模糊有限时间控制器控制后转子角位置和转子角位置设定值的跟踪、以及转子角位置和转子角位置设定值的跟踪误差仿真图，通过仿真结果表明效果理想，跟踪效果理想，响应速度快。图4和图5分别为永磁同步电机命令滤波模糊有限时间控制器控制后永磁同步步电动机d轴定子、以及永磁同步步电动机q轴定子电压仿真图，通过仿真结果表明效果理想、波动小、响应速度快。仿真结果表明本发明控制方法克服了参数不确定以及负载扰动的影响并且达到了理想的控制效果。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.永磁同步电机命令滤波有限时间模糊控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a建立永磁同步电机的动态数学模型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\mathrm{\Θ}}{dt}=\mathrm{\ω}\\ J\frac{d\mathrm{\ω}}{dt}=\frac{3}{2}{n}_p\[(L_d-L_q)i_d{i}_q+{\mathrm{\Φi}}_q\]-B\mathrm{\ω}-T_L\\ L_q\frac{{\mathrm{di}}_q}{dt}=-R_s{i}_q-n_p{\mathrm{\ωL}}_d{i}_d-n_p\mathrm{\ω}\mathrm{\Φ}+u_q\\ L_d\frac{{\mathrm{di}}_d}{dt}=-R_s{i}_d+n_p{\mathrm{\ωL}}_q{i}_q+u_d\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，Θ表示电机角位置，ω表示电机角速度，n_p表示极对数，B表示摩擦系数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩，R_s表示定子电阻，i_d和i_q表示d-q轴定子电流；L_d和L_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压，Φ表示永磁体产生的磁链；

为简化永磁同步电机的动态数学模型，定义新的变量：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=\mathrm{\Θ},x_2=\mathrm{\ω},x_3=i_q,x_4=i_d\\ a_1=\frac{3n_p\mathrm{\Φ}}{2},a_2=\frac{3n_p(L_d-L_q)}{2},b_1=\frac{R_s}{L_q}\\ b_2=-\frac{n_p{L}_d}{L_q},b_3=-\frac{n_p\mathrm{\Φ}}{L_q},b_4=\frac{1}{L_q}\\ c_1=-\frac{R_s}{L_d},c_2=\frac{n_p{L}_q}{L_d},c_3=\frac{1}{L_d}\end{array}\right.;$

永磁同步电机的动态数学模型用差分方程表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=\frac{a_1}{J}{x}_3+\frac{a_2}{J}{x}_3{x}_4-\frac{B}{J}{x}_2-\frac{T_L}{J}\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=b_1{x}_3+b_2{x}_2{x}_4+b_3{x}_2+b_4{u}_q\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=c_1{x}_4+c_2{x}_2{x}_3+c_3{u}_d\end{array}\right.---\left(2\right)$

b根据命令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种永磁同步电机命令滤波模糊有限时间控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁,x₂,x₃和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄和控制输入u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统Φ^TP(Z)满足：式中，输入向量q是模糊输入维数，R^q表示实数向量集；Φ＝[Φ₁,Φ₂,...,Φ_l]^T∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l＞1，R^l表示实数向量集，P(Z)＝[p₁(Z),p₂(Z),...,p_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量；通常选取基函数p_w(Z)为如下的高斯函数：

$p_w\left(Z\right)=\exp \[\frac{-{(Z-{\mathrm{\μ}}_w)}^T(Z-{\mathrm{\μ}}_w)}{{\mathrm{\η}}_w^2}\],w=1,2,...,l;$

其中，μ_w＝[μ_w1,...,μ_wq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_w则为其宽度；

定义有限时间命令滤波器为：

其中，均为命令滤波器的输出信号，α_u为命令滤波器的输入信号，v_u为补偿后的跟踪误差信号，u＝1,2，常数R₁＞0，常数R₂＞0；如果命令滤波器的输入信号α_u对于所有的t≥0，使得以及成立，其中，ρ₁和ρ₂均为正常数；同时则可得出，对任意的常数κ＞0，使得 和是有界的；那么在有限时间中对于v₁和将有以下不等式成立：

其中，常数大于0，且取决于二阶微分方程的设计参数，常数均大于0；

定义跟踪误差变量为：

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=x_1-x_{1d}\\ z_2=x_2-x_{1,c}\\ z_3=x_3-x_{2,c}\\ z_4=x_4\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，x_1d为期望的位置信号，虚拟控制信号α₁,α₂为命令滤波器的输入信号，x_1,c,x_2,c为命令滤波的输出信号，k₁、k₂、k₃、k₄为正的设计参数；控制方法设计的每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律；控制方法的设计具体包括以下步骤：

b.1定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₁＝z₁-ξ₁，根据差分方程为确保x₁能有效跟踪期望信号x_1d，选取Lyapunov控制函数对V₁求导得：

${\stackrel{\·}{V}}_1=v_1\[(z_2+x_{1,c})-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1)\]---\left(4\right)$

构建虚拟控制函数：

定义补偿误差：

其中，s₁和l₁均为正常数，γ是正常数，0＜γ＜1；

按照公式(5)和公式(6)，将公式(4)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_1=-k_1{v}_1^2+v_1{v}_2-s_1{v}_1^{\mathrm{\γ}+1}+v_1{l}_{1}sign\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)---\left(7\right)$

b.2根据差分方程对z₂求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₂＝z₂-ξ₂，同时选取Lyapunov控制函数：对V₂求导得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2={\stackrel{\·}{V}}_1+{\mathrm{Jv}}_2({\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_2)\\ ={\stackrel{\·}{V}}_1+v_2\[a_1(z_3+x_{2,c})+a_2{x}_3{x}_4+{\mathrm{Bx}}_2-T_L-J{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}-J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_2\]\end{array}---\left(8\right)$

在实际系统中负载参数T_L是有界的，定义T_L是未知的正常数且上限为d，即0≤T_L≤d；根据杨氏不等式可得：其中，ε₂是任意小的正数；因此：

$V_2\≤{\stackrel{\·}{V}}_1+v_2\[a_1(z_3+x_{2,c})+f_2\left(Z_2\right)-J{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}-J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_2\]+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_2}^2{d}^2;---\left(9\right)$

其中，Z₂＝[v₂,x₂,x₃,x₄]^T；对于光滑函数f₂(Z₂)，给定任意小的ε₂≥0，有Φ₂ ^TP₂(Z₂)；令f₂(Z₂)＝Φ₂ ^TP₂(Z₂)+δ₂(Z₂)；其中，δ₂(Z₂)表示逼近误差，并满足|δ₂(Z₂)|≤ε₂，根据杨氏不等式，从而有：

$v_2{f}_2\left(Z_2\right)\≤\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2\left|\right|{\mathrm{\Φ}}_2|{|}^2{P}_2^T\left(Z_2\right)P_2\left(Z_2\right)+\frac{1}{2}{v}_2^2+\frac{1}{2}{h}_2^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2;$

其中，||Φ₂||为向量Φ₂的范数，常数h₂＞0；

构建虚拟控制函数：

定义补偿误差：

其中，常数s₂＞0，常数l₂＞0；和分别是未知常量θ和J的估计值；

按照杨氏不等式，将公式(10)和公式(11)代入公式(9)可得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2\≤-\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}(k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1}+l_i{v}_{i}sign({\mathrm{\ξ}}_i\left)\right)+\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_2\right|{|}^2-\widehat{\mathrm{\θ}})P_2^T{P}_2\\ +v_2(\hat{J}-J){\stackrel{\·}{x}}_{1,c}+\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+a_1{v}_2{v}_3\end{array}---\left(12\right)$

b.3根据差分方程对z₃求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₃＝z₃-ξ₃，同时选取Lyapunov控制函数：对V₃求导得：

${\stackrel{\·}{V}}_3={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3{\stackrel{\·}{v}}_3={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3({\stackrel{\·}{x}}_3-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_3)={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3(b_4{u}_q+f_3(Z_3)-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_3)---\left(13\right)$

其中，f₃(Z₃)＝b₁x₃+b₂x₂x₄+b₃x₂，Z₃＝[x₂,x₃,x₄]^T；对于光滑函数f₃(Z₃)，给定任意小的ε₃≥0，有Φ₃ ^TP₃(Z₃)，令f₃(Z₃)＝Φ₃ ^TP₃(Z₃)+δ₃(Z₃)；其中，δ₃(Z₃)表示逼近误差，并满足|δ₃(Z₃)|≤ε₃，从而有：

$v_3{f}_3\left(Z_3\right)\≤\frac{1}{2h_3^2}{v}_3^2\left|\right|{\mathrm{\Φ}}_3|{|}^2{P}_3^T\left(Z_3\right)P_3\left(Z_3\right)+\frac{1}{2}{v}_3^2+\frac{1}{2}{h}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2---\left(14\right)$

其中，||Φ₃||为向量Φ₃的范数，常数h₃＞0；

构建真实控制律：

定义补偿误差

其中，s₃和l₃均为正常数；

按照公式(14)、公式(15)和公式(16)，将公式(13)改写为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_3\≤-\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}(k_i{v}_i^2-s_i{v}_i^{\mathrm{\γ}+1}+l_i{v}_{i}sign({\mathrm{\ξ}}_i\left)\right)+\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_2\right|{|}^2-\widehat{\mathrm{\θ}})P_2^T{P}_2+\\ \frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2h_3^2}{v}_3^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_3\right|{|}^2-\widehat{\mathrm{\θ}})P_3^T{P}_3+v_2(\hat{J}-J){\stackrel{\·}{x}}_{1,c}+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}{d}^2\end{array}---\left(17\right)$

b.4根据差分方程对z₄求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₄＝z₄-ξ₄，同时选取Lyapunov控制函数：对V₄求导得：

${\stackrel{\·}{V}}_4={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4{\stackrel{\·}{v}}_4={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4({\stackrel{\·}{x}}_4-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4)={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4(f_4+c_3{u}_d-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4)---\left(18\right)$

其中，f₄(Z₄)＝c₁x₄+c₂x₂x₃，Z₄＝[x₂,x₃,x₄]^T；对于光滑函数f₄(Z₄)，给定任意小的ε₄≥0，有Φ₄ ^TP₄(Z₄)；令f₄(Z₄)＝Φ₄ ^TP₄(Z₄)+δ₄(Z₄)；其中，δ₄(Z₄)表示逼近误差，并满足|δ₄(Z₄)|≤ε₄，从而有：

$v_4{f}_4\≤\frac{1}{2h_4^2}{v}_4^2\left|\right|{\mathrm{\Φ}}_4|{|}^2{P}_4^T{P}_4+\frac{1}{2}{v}_4^2+\frac{1}{2}{h}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2---\left(19\right)$

其中，||Φ₄||为向量Φ₄的范数，常数h₄＞0；

构建真实控制律：

定义补偿误差：

其中，s₄和l₄均为正常数；

按照公式(19)、公式(20)和公式(21)，将公式(18)改写为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_4\≤\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1}+l_i{v}_{i}sign({\mathrm{\ξ}}_i\left)\right)+\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_2\right|{|}^2-\widehat{\mathrm{\θ}})P_2^T{P}_2+v_2(\hat{J}-J){\stackrel{\·}{x}}_{1,c}\\ +\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2h_3^2}{v}_3^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_3\right|{|}^2-\widehat{\mathrm{\θ}})P_2^T{P}_3+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2h_4^2}{v}_4^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_4\right|{|}^2-\widehat{\mathrm{\θ}})P_4^T{P}_4+\\ \frac{1}{2}(h_4^2+{\mathrm{\ϵ}}_4^2)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2\end{array}---\left(22\right)$

c对永磁同步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析

定义θ＝max(||Φ₂||²,||Φ₃||²,||Φ₄||²)， 是θ的估计值；定义 是J的估计值，构建Lyapunov函数为：对V求导可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}={\stackrel{\·}{V}}_4-\frac{1}{r_1}\widetilde{\mathrm{\θ}}\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}-\frac{1}{r_2}\tilde{J}\stackrel{\·}{\hat{J}}\\ \≤\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1}+l_i{v}_{i}sign({\mathrm{\ξ}}_i\left)\right)+\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}(h_4^2+{\mathrm{\ϵ}}_4^2)\\ +\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{\widetilde{\mathrm{\θ}}}{r_1}(\underset{j=2}{\overset{4}{\Σ}}\frac{r_1}{2h_j^2}{v}_j^2{P}_j^T{P}_j-\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}})-\frac{1}{r_2}\tilde{J}(v_2{r}_2{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}+\stackrel{\·}{\hat{J}})\end{array}---\left(23\right)$

选择相应的自适应律：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}=\underset{j=2}{\overset{4}{\Σ}}\frac{1}{2h_j^2}{r}_1{v}_j^2{P}_j^T{P}_j-m_1\widehat{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{\·}{\hat{J}}=-v_2{r}_2{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}-m_2\hat{J}\end{array}---\left(24\right)$

其中，常数r₁,r₂均大于0，常数m₁,m₂均大于0；

按照公式(24)，将公式(23)改写为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}}+l_i{v}_{i}sign({\mathrm{\ξ}}_i\left)\right)+\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)\\ +\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}(h_4^2+{\mathrm{\ϵ}}_4^2)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{m_1}{r_1}\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}}+\frac{m_2}{r_2}\tilde{J}\hat{J}\end{array}---\left(25\right)$

同样，再由杨氏不等式可得：

$l_i{v}_{i}sign\left({\mathrm{\ξ}}_i\right)\≤\frac{l_i}{2}{v_i}^2+\frac{l_i}{2}{\[sign\left({\mathrm{\ξ}}_i\right)\]}^2\≤\frac{l_i}{2}{v_i}^2+\frac{l_i}{2}---\left(26\right)$

其中，i＝1,2,3,4；

按照公式(26)，将公式(25)改写为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}(-(k_i-\frac{l_i}{2})v_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}}+\frac{l_i}{2})+\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)\\ +\frac{1}{2}(h_4^2+{\mathrm{\ϵ}}_4^2)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{m_1}{r_1}\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}}+\frac{m_2}{r_2}\tilde{J}\hat{J}\end{array}---\left(27\right)$

根据杨氏不等式知：和

$\frac{m_1}{r_1}\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}}=\frac{m_1}{r_1}\widetilde{\mathrm{\θ}}(-\widetilde{\mathrm{\θ}}+\mathrm{\θ})=\frac{m_1}{r_1}(-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\mathrm{\θ}\widetilde{\mathrm{\θ}})\≤\frac{m_1}{r_1}(-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+{\mathrm{\θ}}^2)=\frac{-3m_1}{4r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{m_1}{r_1}{\mathrm{\θ}}^2;$

$\frac{m_2}{r_2}\tilde{J}\hat{J}=\frac{m_2}{r_2}\tilde{J}(-\tilde{J}+J)=\frac{m_2}{r_2}(-{\tilde{J}}^2+J\tilde{J})\≤\frac{m_2}{r_2}(-{\tilde{J}}^2+\frac{1}{4}{\tilde{J}}^2+J^2)=\frac{-3m_2}{4r_2}{\tilde{J}}^2+\frac{m_2}{r_2}{J}^2$

所以：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}(-(k_i-\frac{l_i}{2})v_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}})-{\left(\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2\right)}^{\frac{\mathrm{\γ}+1}{2}}+\underset{j=2}{\overset{4}{\Σ}}\frac{1}{2}(h_j^2+{\mathrm{\ϵ}}_j^2)+\underset{k=1}{\overset{4}{\Σ}}\frac{1}{2}{l}_k+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2\\ -\frac{m_1}{4r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+{\left(\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2\right)}^{\frac{\mathrm{\γ}+1}{2}}-\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{m_1}{r_1}{\mathrm{\θ}}^2-\frac{m_2}{4r_2}{\tilde{J}}^2+{\left(\frac{m_2}{2r_2}{\tilde{J}}^2\right)}^{\frac{\mathrm{\γ}+1}{2}}-\frac{m_2}{2r_2}{\tilde{J}}^2+\frac{m_2}{r_2}{J}^2\end{array};$

如果可得：

${\left(\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^2\right)}^{\frac{\mathrm{\&gamma;}+1}{2}}-\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^2+\frac{m_1}{r_1}{\mathrm{\&theta;}}^2<\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^2-\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^2+\frac{m_1}{r_1}{\mathrm{\&theta;}}^2=\frac{m_1}{r_1}{\mathrm{\&theta;}}^2;$

如果根据：

因此可得：

如果可得：

${\left(\frac{m_2}{2r_2}{\tilde{J}}^2\right)}^{\frac{\mathrm{\&gamma;}+1}{2}}-\frac{m_2}{2r_2}{\tilde{J}}^2+\frac{m_2}{r_2}{J}^2<\frac{m_2}{2r_2}{\tilde{J}}^2-\frac{m_2}{2r_2}{\tilde{J}}^2+\frac{m_2}{r_2}{J}^2=\frac{m_2}{r_2}{J}^2;$

如果根据：

因此可得：

因此：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\underset{i=1}{\overset{4}{\&Sigma;}}\&lsqb;(k_i-\frac{l_i}{2}){v_i}^2\&rsqb;-\frac{m_1}{4r_1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^2-{\left(\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^2\right)}^{\frac{\mathrm{\&gamma;}+1}{2}}-\frac{m_2}{4r_2}{\tilde{J}}^2-{\left(\frac{m_2}{2r_2}{\tilde{J}}^2\right)}^{\frac{\mathrm{\&gamma;}+1}{2}}-\underset{i=1}{\overset{4}{\&Sigma;}}{s}_i{v_i}^{\mathrm{\&gamma;}+1}\\ +\underset{j=1}{\overset{4}{\&Sigma;}}\left(\frac{1}{2}\right){l_j}^2+\underset{i=2}{\overset{4}{\&Sigma;}}\frac{1}{2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_i}^2+\underset{i=1}{\overset{4}{\&Sigma;}}\frac{1}{2}{l}_i+\frac{1}{2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}^2{d}^2+\frac{m_1}{r_1}{\mathrm{\&theta;}}^2+\frac{m_2}{r_2}{J}^2\\ \&le;-aV-{\mathrm{bV}}^{\frac{\mathrm{\&gamma;}+1}{2}}+c\end{array};$

其中：

$a=min\{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^4(2k_{\stackrel{\&CenterDot;}{1}}-l_i),\frac{1}{2}{m}_1,\frac{1}{2}{m}_2\},$

$b=min\{{\&Sigma;}_{i=1}^4\left(s_i\right)2^{\frac{\mathrm{\&gamma;}+1}{2}},m_1,m_2\},$

$c=\underset{i=1}{\overset{4}{\&Sigma;}}(\frac{1}{2}{l}_i^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_i^2)+\underset{i=1}{\overset{4}{\&Sigma;}}\frac{1}{2}{l}_i+\frac{1}{2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}^2{d}^2+\frac{m_1}{r_1}{\mathrm{\&theta;}}^2+\frac{m_2}{r_2}{J}^2---\left(28\right)$

利用有限时间将v_i约束在一个小区间内，i＝1,2,3,4；因为z_i＝v_i+ξ_i，需要证明ξ_i也在有限时间内有界，从而得到跟踪误差z_i也是在很小的邻域内是有限时间有界的；

选取补偿系统的李雅普诺夫函数：

然后得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{V}}={\mathrm{\&xi;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_2+{\mathrm{\&xi;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_3+{\mathrm{\&xi;}}_4{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_4\\ =-k_1{{\mathrm{\&xi;}}_1}^2+{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&xi;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\&alpha;}}_1)-{\mathrm{\&xi;}}_1{l}_{1}sign\left({\mathrm{\&xi;}}_1\right)\\ +\frac{{\mathrm{\&xi;}}_2}{J}\&lsqb;-k_2{\mathrm{\&xi;}}_2-{\mathrm{\&xi;}}_1+a_1{\mathrm{\&xi;}}_3+a_1(x_{2,c}-{\mathrm{\&alpha;}}_2)-l_{2}sign\left({\mathrm{\&xi;}}_2\right)\&rsqb;\\ -k_3{{\mathrm{\&xi;}}_3}^2-a_1{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&xi;}}_3-{\mathrm{\&xi;}}_3{l}_{3}sign\left({\mathrm{\&xi;}}_3\right)-k_4{{\mathrm{\&xi;}}_4}^2-{\mathrm{\&xi;}}_4{l}_{4}sign\left({\mathrm{\&xi;}}_4\right)\\ =-\underset{i=1}{\overset{4}{\&Sigma;}}{k}_i{{\mathrm{\&xi;}}_i}^2-\underset{i=1}{\overset{4}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&xi;}}_i{l}_{i}sign\left({\mathrm{\&xi;}}_i\right)+{\mathrm{\&xi;}}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\&alpha;}}_1)+\frac{1}{J}{\mathrm{\&xi;}}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\&alpha;}}_2)\\ =-\underset{i=1}{\overset{4}{\&Sigma;}}{k}_i{{\mathrm{\&xi;}}_i}^2-\underset{i=1}{\overset{4}{\&Sigma;}}{l}_i\left|{\mathrm{\&xi;}}_i\right|+{\mathrm{\&xi;}}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\&alpha;}}_1)+\frac{1}{J}{\mathrm{\&xi;}}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\&alpha;}}_2)\end{array}$

由于η≤|(g_i(·))|≤ρ；其中，η表示正数，g_i(·)表示已知非线性函数；因此：

其中，k₀＝2min(k_i)，i＝1,2,3,4；选择合适的l_i，和ρ实现ξ_i在有限时间内有界。