CN114706300A - 具有扰动及输出约束的永磁同步电机系统有限时间控制法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了具有扰动及输出约束的永磁同步电机系统有限时间控制法，采用非线性变换函数将输出约束动态模型转换为无约束的动态模型；提出一种基于扰动观测器的有限时间控制策略估计不匹配的外界扰动，然后，通过结合神经网络来估计非线性函数和一阶滤波器来处理“复杂性爆炸”，构思出一种对永磁同步电机具有自适应学习能力的动态面控制方法。本发明有效解决有限时间反步框架下系统具有时变特性和不匹配的外部扰动的非对称输出约束的问题。

Description

具有扰动及输出约束的永磁同步电机系统有限时间控制法

技术领域

本发明属于具有时滞和非对称时变输出约束的PMSM系统控制技术领域，涉及具有扰动及输出约束的永磁同步电机系统有限时间控制法。

背景技术

与传统步进电机相比，由于永磁同步电机具有明显的优点，例如更高的运行效率，更好的功率密度，它们通常用于车辆，飞机，石油和化学工业。尽管如此，永磁同步电机是具有多变量耦合的非线性系统，并且容易受到某些不稳定性的影响，包括参数扰动和外在干扰。因此，设计一种有效的控制器来克服系统中存在的非线性，对于永磁同步电机的应用具有更深远的意义。在过去的几十年中，研究人员提出了许多关键的控制方法，例如滑模控制、自适应控制、反步控制等，以满足永磁同步电机控制系统的更高要求。

上述方法中，能够很好地将自适应神经网络和模糊逻辑系统控制结合的反步控制方法，对于具有任意不确定扰动的永磁同步电机构建高性能控制器十分有效。因此，在传统的反步方案中产生的虚拟控制律的多重微分导致“复杂性爆炸”，这增加了控制系统的计算负担。为了应对这一挑战，通过将卡尔曼滤波器、跟踪微分器、命令滤波器和一阶滤波器集成到经典的反步框架中，提出了许多关键方案。例如，提出扩展卡尔曼滤波器来评估周期性扰动及其导数。张钧星(张钧星等，具有外部扰动和约束输出的混沌永磁同步电机系统自适应神经动态表面控制[J].电气与电子工程的最新进展(以前称为电气与电子工程的最新专利)，2020年)将从动态面控制方法衍生的命令扩展到永磁同步电机系统，以解决繁重的计算负担。尽管上文所提出的方法在一定程度上提高了系统的稳定性和鲁棒性，但它们仍然没有考虑到当前研究的前沿，如有限时间稳定性理论、扰动观测器和约束控制来加强系统性能。

由于有限时间控制方法能够从时间优化控制方案的角度提供出色的收敛性和优异的鲁棒性，因此设计了许多基于有限稳定性理论的有效策略来获得永磁同步电机的高收敛速度和响应。例如，有限时间控制方法被用来在有限时间内实现跟踪所需的电机位置。为了实现动态相应和抗干扰能力，一个有限时间控制器被设计以便系统输出在有限的时间内跟踪所需的速度信号。一种自适应有限时间控制方法被提出来保证复杂系统中的信号和所有状态误差都能有限时间收敛到有界区域。上述工作表明，通过有限时间方法可以实现更快速的有限时间跟踪误差收敛，这是在这项工作中构建针对永磁同步电机系统的有限时间控制方案的动机之一。

关于研究受约束的永磁同步电机控制系统，已经采用了许多有效的方法来处理它们，其中障碍Lyapunov函数通常被认为是将跟踪误差收敛到预设的起始紧集的有效的方法。利用两种类型的非对称和对称障碍Lyapunov函数来确保跟踪误差可以在有限的时间内被约束在起始点的小邻域内。一个积分型障碍Lyapunov函数被提出来处理基于输出约束的保守可行性条件。为了消除利用障碍Lyapunov函数引起的分段不对称性，提出一种非线性坐标转换函数，将具有状态约束的模型转换为无约束模型。利用非线性转换函数将全状态约束系统转变为无约束系统。针对永磁同步电机中的物理约束，提出一种有限时间H无穷大控制方法，以消除约束限制并得到出H无穷大性能。虽然前面的文献对约束系统做出了巨大贡献，但并没有考虑到损害受控系统稳定运行的外部干扰。

为了增强电机系统的抗干扰能力，许多研究人员已经考虑为增加扰动观测器。例如，集成了滑模扰动观测器来估计外部负载扭矩，以增强永磁同步电机的抗干扰和动态响应能力。一种基于跟踪微分器的扰动观测器被设计来增加开关增益，这可以抑制突然变化的干扰。为了增强对扰动的抵抗力，可以通过分数阶来估计不匹配的扰动。为了实现静止和动态跟踪性能，设计了一种扰动观测器来观测永磁同步电机的负载扰动和负载变化。基于扰动观测器的补偿方法被用来解决标称系统的外部干扰。最重要的是，基于扰动观测器的方法可以有效地消除未知干扰，从而在一定程度上获得抗干扰能力和鲁棒性。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：提供具有扰动及输出约束的永磁同步电机系统有限时间控制法，以解决现有技术中存在的技术问题。

本发明采取的技术方案为：具有扰动及输出约束的永磁同步电机系统有限时间控制法，该方法包括以下步骤：

(1)定义变量x₁＝θ,x₂＝ω,x₃＝i_q,x₄＝i_d，对(d-q)坐标系下永磁同步电机的动力学模型重新构建，得到如下式：

其中x₁受限于：

其中已知边界约束条件是时变函数

和

x₁(t)表示输出变量，x_d为参考信号，Δd为外部干扰,x＝(x₁,...,x₄)^T∈R⁴为状态向量，

a₂＝3n_p(L_d-L_q)/2，b₁＝-R_s/L_q，b₂＝-n_pL_d/L_q，

b₄＝1/L_q，c₁＝-R_s/L_d，c₂＝n_pL_q/L_d，c₃＝1/L_d；ω为转子角速度，θ为转子角度，i_q为q-轴电流，i_d为d-轴电流，u_q为q-轴电压，u_d为d-轴电压，J为转动惯量，B为摩擦系数，

为永磁通量，R_s为定子线圈电阻，n_p为极对数，L_q为q-轴线圈电感，L_d为d-轴线圈电感，T_L为负载力矩；

设1：期望轨迹x_d(t)及其i阶导数

是光滑有界的，状态约束函数

及其j阶导数

是连续有界的；

引理1：对于任意实变量p和q，以及常量k_i>0,i＝1,2,3，满足如下条件：

引理2：对于任意变量

和实数

得到：

定义1：对于状态向量Λ∈Rⁿ，将非线性正定系统定义为

其中f(Λ)表示正定函数；对任意初始条件Λ(t₀)＝Λ₀，存在实数ρ>0和稳定时间T(ρ,Λ₀)<∞满足||Λ(t)||<ρ；对任意的t≥t₀+T，存在一个平衡点λ＝0满足

那么非线性系统在有限时间内是半全局稳定的；

引理3：对于非线性系统

如果存在实数

和光滑函数V(Λ)>0满足：

那么复杂系统

能够实现有限时间稳定性，并且稳定时间通过以下公式进行估计：

如果t≥T，则如下公式成立：

引理4：对于每个变量

其中φ₁<φ₂，且φ₁和φ₂为奇数，如下不等式成立如下：

其中实数β₁>0,β₂>0，

引理5：引入以下系统：

其中Δ_i,(i＝1,…,n)是第i个状态变量，

为设计常量，并且扰动项f(t)满足|f(t)|≤L₀；然后系统将在有限的时间内收敛到原点，从而非线性系统实现有限时间稳定性；

(2)A、使用径向基神经网络估计未知的非线性函数，对未知非线性函数在具有任意精度的闭合集合中估计，因此，得：

其中Y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T为输入变量，

为径向基神经网络的期望权重向量，l>1表示节点数，估计误差Ξ(Y)满足|Ξ(Y)|<Ξ_M，其中Ξ_M表示为不确定的有界变量；W(Y)＝[w₁(Y),w₂(Y),...,w_l(Y)]^T是基函数向量，选择第i个通用高斯函数w_i(Y)为

其中δ_i＝[δ_i1,...,δ_im]表示第i个高斯基函数的中心，

表示第i个高斯函数的宽度；

考虑期望权重向量

为：

其中

表示更新权重向量；

利用2范数来估计权重减轻神经网络的计算负担，因此，得到：

其中

表示第i个不确定变量，||·||代表·的2范数；

(3)设计基于有限时间扰动观测器的动态面控制

非线性坐标转换函数被用来将具有输出约束系统(2)转换为非约束系统，然后输出变量被约束在具有不对称时变边界的紧集中；

定义2：设计非线性转换函数为：

其中s₁＝x₁-x_d表示跟踪误差，ζ₁表示转换误差，

是连续时变函数，假设存在两个正常量C₀和C₁，则变量

满足以下条件：

已知

和

是有界的，由此推断，从公式(15)可以推断出ζ₁的有界性取决于跟踪误差s₁；对于每个初始条件

当ζ₁在t∈[0,+∞)内有界时，推断出s₁(t)满足如下条件：

为了简化下文的表达式，分别将

和

缩写为

和

对ζ₁求导，得到：

其中

基于(3)和(16)，得到输出无约束子系统，如下式所示：

基于(15)，得到无约束变量ζ₁的值域是所有实数集，结合η₁,Γ₁和假设1，可以推断出

此外，结合洛必达法则，得到：

当s₁不受约束时，转换误差ζ₁接近跟踪误差s₁；

B、基于结合辅助变量d,D，设计有限时间扰动观测器为：

其中

和

分别代表Δd,x₂和D的估计值，定义

λ₁和λ₂并表示扰动观测器的正设计系数，κ₁为适当的正常数；

定义

然后对

和

对时间t求导，得到：

假设不匹配扰动的变化可以忽略不计，则Δd有界，并且估计值

和

将分别在有限的时间内收敛到实际值Δd,x₂和D；

C、设计基于扰动观测器的自适应有限时间控制器：

对跟踪误差采用非线性坐标变换：

其中

是下列第i个一阶滤波器的输出：

其中ε_i代表第i个滤波器的时间常数，第i个虚拟控制信号

将在之后设计；

类似地，第i个滤波器误差z_i,i＝2,3被定义为：

将(2)和(19)代入到(23)中，对(23)中的

求导：

定义第i个变量估计误差

为：

其中第i个变量

的估计值为

基于扰动观测器的自适应有限时间控制器的设计步骤如下：

步骤1、选择的第一个子Lyapunov函数V₁为：

其中设计常数τ₁>0；

结合(27)，对(28)中的V₁求导：

将(26)代入(29)，得到：

定义F₁(X₁)为：

其中

采用径向基神经网络估计未知函数F₁(X₁)：

其中设计常数Ξ_M>0.

因此，(30)变为：

根据杨氏不等式，得到：

其中设计常数p₁>0；

将(34)代入(33)得到：

设计虚构控制律

和自适应律

为：

其中k₁₁,k₁₂,

表示正常数，α＝α₁/α₂和奇数α₁,α₂满足如下条件：0<α₁<α₂；

将(36)代入到(35)，得到

结合(24)-(26)，(27)和(36)，对z₂求导：

其中

为一个连续函数；

推导出

为

满足在紧集的预设初始条件下服从的最大值，因此：

其中

利用杨氏不等式，得到：

将(40)代入到(37)中，得到：

步骤2、选择第二个子Lyapunov函数V₂为：

其中τ₂>0为已知常量；

结合(27)，对V₂进行求导，得到：

将(26)和(41)代入到(43)中，得到：

基于引理5，假设

其中q₁表示正常数；然后将(44)简化为：

构造F₂(X₂)

其中

结合(46)，然后(45)重新表述为：

与(32)类似，得到(47)中的F₂(X₂)未知，因此，提出一个径向基神经网络来估计F₂(X₂)：

因此，(47)被重新表达为：

类似于(34)，得到如下不等式：

其中设计常数p₂>0；

将(50)代入(49)，得到：

类似于(36)，选择虚拟控制器

和自适应律

为：

其中设计常数k₂₁,k₂₂,

为正数；

将(52)代入到(51)中，得到：

类似于(40)，得到：

其中函数

将(54)代入(53)，得到

步骤3、选择第三个子Lyapunov函数V₃为：

其中已知常量t₃>0；

根据(27)，将V₃对时间t求导：

将(26)和(55)代入(57)，得到：

设计F₃(X₃)为：

其中

因此，(58)重新表示为：

同样，F₃(X₃)是未知的，然后，应用径向基神经网络来估计

类似于(34)，得到：

其中设计参数p₃>0；

因此，(60)被重新表达为：

设计实际控制器u_q和自适应律

为：

其中设计常数k₃₁,k₃₂,

为正数；

将(64)代入(63)，得到：

步骤4、选择第四个子Lyapunov函数V₄为：

其中设计常数τ₄>0；

结合(27)，对(66)中的V₄求导，得到：

结合(26)，并将(65)代入(67)得到：

构造F₄(X₄)为：

其中

然后，(68)被简化为：

由于F₄(X₄)是一个不确定的函数，应用径向基神经网络来估计它，得到：

类似于(34)，得到：

其中设计常数p₄>0；

将(72)代入(70)，得到：

设计实际控制器u_d和虚拟控制律

其中k₄₁,k₄₂,

为正常数；

将(74)代入(73)，得到：

本发明的有益效果：与现有技术相比，本发明的效果如下：

1)利用合适的非线性转换函数，将具有不匹配外部干扰的输出约束永磁同步电机系统转换为新颖的无约束系统，与通常使用的基于分段障碍Lyapunov函数的反步法来解决非对称约束相比，这种设计的两个优点是，有约束和无约束系统都可以在不变的控制器下直接方便地求解，并且消除了对连续虚拟控制器的要求；

2)与基于扰动观测器渐近反步法不同，本发明提出了一种有限时间扰动观测器来估计无约束系统的不匹配外部干扰，从而增强了控制系统的抗干扰能力和动态响应能力；

3)与现有技术中的渐近稳定和有限时间稳定下的反步法不同，本发明的控制方案采用快速有限时间稳定理论将坐标变换和有限时间扰动观测器集成到动态面控制框架中，这项工作具有设计要求少、用户在实际应用中容易使用等优点，使其不受干扰，收敛速度快，对抑制输出约束和不匹配的外部干扰具有出色的鲁棒性。

附图说明

图1为永磁同步电机系统控制原理结构示意图；

图2为有限时间动态面控制、比例积分微分控制和神经动态面控制方案中输出信号x₁和期望信号x_d的曲线图，其中(a)为情况1中的系统，(b)为情况2中的系统；

图3为有限时间动态面控制、比例积分微分控制和神经动态面控制方案中跟踪误差s₁的响应曲线图，其中(a)为情况1中的系统；(b)为情况2中的系统；

图4为状态变量x₂的响应曲线图；其中(a)为情况1中的系统。(b)为情况2中的系统；

图5为状态变量i_d和i_q的响应曲线图；(a)为情况1中的系统，(b)为情况2中的系统；

图6为控制器u_d和u_q的轨迹图；其中(a)为情况1中的系统。(b)为情况2中的系统。

具体实施方式

下面结合具体的实施例对本发明进行进一步介绍。

实施例1：如图1-6所示，具有扰动及输出约束的永磁同步电机系统有限时间控制法，包括以下步骤：

A系统说明(d-q)坐标系下永磁同步电机的动力学模型可以表述为：

其中，ω为转子角速度(rad/s)，θ为转子角度(°)，i_q为q-轴电流(A)，i_d为d-轴电流(A)，u_q为q-轴电压(V)，u_d为d-轴电压(V)，J为转动惯量(kg·m²)，B为摩擦系数(N/(rad/s))，

为永磁通量(Wb)，R_s为定子线圈电阻(Ω)，n_p为极对数，L_q为q-轴线圈电感(H)，L_d为d-轴线圈电感(H)，T_L为负载力矩(N·m)；

定义变量x₁＝θ,x₂＝ω,x₃＝i_q,x₄＝i_d，对(d-q)坐标系下永磁同步电机的动力学模型重新构建，得到如下式：

其中x₁受限于：

其中已知边界约束条件是时变函数

和

x₁(t)表示输出变量，x_d为参考信号，Δd为外部干扰,x＝(x₁,...,x₄)^T∈R⁴为状态向量，

a₂＝3n_p(L_d-L_q)/2，b₁＝-R_s/L_q，b₂＝-n_pL_d/L_q，

b₄＝1/L_q，c₁＝-R_s/L_d，c₂＝n_pL_q/L_d，c₃＝1/L_d；ω为转子角速度，θ为转子角度，i_q为q-轴电流，i_d为d-轴电流，u_q为q-轴电压，u_d为d-轴电压，J为转动惯量，B为摩擦系数，

为永磁通量，R_s为定子线圈电阻，n_p为极对数，L_q为q-轴线圈电感，L_d为d-轴线圈电感，T_L为负载力矩；

首先处理了永磁同步电机系统中提出的不匹配干扰和方程非对称输出约束。与常数对称约束相比，方程采用的非对称时变约束上限和下限更具有一般性。

本发明的目标是设计一种基于扰动观测器的自适应有限时间动态面控制方案，该方案具有有限时间特性：

a)跟踪误差在有限的时间内收敛到原点的小邻域内，并且闭环系统中的所有信号都有界。

b)输出信号满足中的约束条件。

为了实现这些目标，给出了下面的假设和引理：

设1：期望轨迹x_d(t)及其i阶导数

是光滑有界的，状态约束函数

及其j阶导数

是连续有界的；

引理1：对于任意实变量p和q，以及常量k_i>0,i＝1,2,3，满足如下条件：

引理2：对于任意变量

和实数

得到：

定义1：对于状态向量Λ∈Rⁿ，将非线性正定系统定义为

其中f(Λ)表示正定函数；对任意初始条件Λ(t₀)＝Λ₀，存在实数ρ>0和稳定时间T(ρ,Λ₀)<∞满足||Λ(t)||<ρ；对任意的t≥t₀+T，存在一个平衡点λ＝0满足

那么非线性系统在有限时间内是半全局稳定的；

引理3：对于非线性系统

如果存在实数

和光滑函数V(Λ)>0满足：

那么复杂系统

能够实现有限时间稳定性，并且稳定时间通过以下公式进行估计：

如果t≥T，则如下公式成立：

引理4：对于每个变量

其中φ₁<φ₂，且φ₁和φ₂为奇数，如下不等式成立如下：

其中实数β₁>0,β₂>0，

引理5：引入以下系统：

其中Δ_i,(i＝1,…,n)是第i个状态变量，

为设计常量，并且扰动项f(t)满足|f(t)|≤L₀；然后系统将在有限的时间内收敛到原点，从而非线性系统实现有限时间稳定性；

为了简化表达，在不发生混淆的前提下，之后的陈述中有些函数将会被简写。

(2)神经网络系统和函数估计

A、使用径向基神经网络估计未知的非线性函数，对未知非线性函数在具有任意精度的闭合集合中估计，因此，得：

其中Y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T为输入变量，

为径向基神经网络的期望权重向量，l>1表示节点数，估计误差Ξ(Y)满足|Ξ(Y)|<Ξ_M，其中Ξ_M表示为不确定的有界变量；W(Y)＝[w₁(Y),w₂(Y),...,w_l(Y)]^T是基函数向量，选择第i个通用高斯函数w_i(Y)为

其中δ_i＝[δ_i1,...,δ_im]表示第i个高斯基函数的中心，

表示第i个高斯函数的宽度；

考虑期望权重向量

为：

其中

表示更新权重向量；

利用2范数来估计权重减轻神经网络的计算负担，因此，得到：

其中

表示不确定变量，||·||代表·的2范数；

(3)设计基于有限时间扰动观测器的动态面控制

非线性坐标转换函数被用来将具有输出约束系统(2)转换为非约束系统，然后输出变量被约束在具有不对称时变边界的紧集中；

定义2：设计非线性转换函数为：

其中s₁＝x₁-x_d表示跟踪误差，

表示转换误差，

是连续时变函数，假设存在两个正常量C₀和C₁，则变量

满足以下条件：

已知

和

是有界的，由此推断，从公式(15)可以推断出ζ₁的有界性取决于跟踪误差s₁；对于每个初始条件

当ζ₁在t∈[0,+∞)内有界时，推断出s₁(t)满足如下条件：

为了简化表达，分别将

和

缩写为

和

对ζ₁求导，得到：

其中

基于(3)和(16)，得到输出无约束子系统，如下式所示：

基于(15)，得到无约束变量ζ₁的值域是所有实数集，结合η₁,Γ₁和假设1，推断出

此外，结合洛必达法则，得到：

当s₁不受约束时，转换误差ζ₁接近跟踪误差s₁；因此，可以得出结论，公式中的非线性转换函数可以同时解决有约束和非约束系统，这补偿了通过采用

来处理无约束系统而造成的特殊转换的不足。综上所述，非线性坐标变换函数不仅可以解决同一控制器下有状态约束和没有状态约束的系统，而且能够成功地规避基于分段不对称障碍Lyapunov方法的虚拟控制器的连续要求。因此，本发明提出的坐标变换方法更适合于设计与有限时间稳定法相结合的期望的反步控制器。

B、有限时间扰动观测器：

基于结合辅助变量d,D，设计有限时间扰动观测器为：

其中

和

分别代表Δd,x₂和D的估计值，定义

λ₁和λ₂并表示扰动观测器的正设计系数，κ₁为适当的正常数；

定义

然后对

和

对时间t求导，得到：

假设不匹配扰动的变化可以忽略不计，则Δd有界，并且估计值

和

将分别在有限的时间内收敛到实际值Δd,x₂和D；

很容易地知道，通过选择合适的参数λ₁,λ₂和κ₁，估计误差

和

可以在有限的时间内收敛到原点的一个小邻域内。同时，有限时间扰动观测器可以处理不匹配的扰动，并且避免了滑模控制带来的颤振现象。因此，可以通过选择适当的值来增强永磁同步电机系统的鲁棒性和收敛性。

C、设计基于扰动观测器的自适应有限时间控制器：

对跟踪误差采用非线性坐标变换：

其中

是下列第i个一阶滤波器的输出：

其中ε_i代表第i个滤波器的时间常数，第i个虚拟控制信号

将在之后设计；

使用一阶滤波器来估计

的时间导数，处理“复杂性的爆炸”。因此，通过应用该方法可以实现对系统(2)的基于扰动观测器的自适应有限时间动态面控制，有效地减轻计算负担。

类似地，第i个滤波器误差z_i,i＝2,3被定义为：

将(2)和(19)代入到(23)中，对(23)中的第i个误差转换变量

求导：

定义第i个变量的估计误差

为：

其中第i个变量

的估计值为

基于扰动观测器的自适应有限时间控制器的设计步骤如下：

步骤1、选择的第一个子Lyapunov函数V₁为：

其中设计常数τ₁>0；

结合(27)，对(28)中的V₁求导：

将(26)代入(29)，得到：

定义F₁(X₁)为：

其中

采用径向基神经网络估计未知函数F₁(X₁)：

其中设计常数Ξ_M>0.

因此，(30)变为：

根据杨氏不等式，得到：

其中设计常数p₁>0；

将(34)代入(33)得到：

设计虚构控制律

和自适应律

为：

其中k₁₁,k₁₂,

表示正常数，α＝α₁/α₂和奇数α₁,α₂满足如下条件：0<α₁<α₂；

将(36)代入到(35)，得到

结合(24)-(26)，(27)和(36)，对z₂求导：

其中

为一个连续函数；

推导出

为

满足在紧集的预设初始条件下服从的最大值，因此：

其中

利用杨氏不等式，得到：

将(40)代入到(37)中，得到：

步骤2、选择第二个子Lyapunov函数V₂为：

其中τ₂>0为已知常量；

结合(27)，对V₂进行求导，得到：

将(26)和(41)代入到(43)中，得到：

基于引理5，假设

其中q₁表示正常数；然后将(44)简化为：

构造F₂(X₂)

其中

结合(46)，然后(45)重新表述为：

与(32)类似，得到(47)中的F₂(X₂)未知，因此，提出一个径向基神经网络来估计F₂(X₂)：

因此，(47)被重新表达为：

类似于(34)，得到如下不等式：

其中设计常数p₂>0；

将(50)代入(49)，得到：

类似于(36)，选择虚拟控制器

和自适应律

为：

其中设计常数k₂₁,k₂₂,

为正数；

通过有限时间扰动观测器(21)来估计不匹配的扰动，可以补偿虚拟控制器(52)中的扰动Δd，从而增强复杂系统的鲁棒性。

将(52)代入到(51)中，得到：

类似于(40)，得到：

其中函数

将(54)代入(53)，得到

步骤3、选择第三个子Lyapunov函数V₃为：

其中已知常量τ₃>0；

根据(27)，将V₃对时间t求导：

将(26)和(55)代入(57)，得到：

设计F₃(X₃)为：

其中

因此，(58)重新表示为：

同样，F₃(X₃)是未知的，然后，应用径向基神经网络来估计

类似于(34)，得到：

其中设计参数p₃>0；

因此，(60)被重新表达为：

设计实际控制器u_q和自适应律

为：

其中设计常数k₃₁,k₃₂,

为正数；

将(64)代入(63)，得到：

步骤4、选择第四个子Lyapunov函数V₄为：

其中设计常数τ₄>0；

结合(27)，对(66)中的V₄求导，得到：

结合(26)，并将(65)代入(67)得到：

构造F₄(X₄)为：

其中

然后，(68)被简化为：

由于F₄(X₄)是一个不确定的函数，应用径向基神经网络来估计它，得到：

类似于(34)，得到：

其中设计常数p₄>0；

将(72)代入(70)，得到：

设计实际控制器u_d和虚拟控制律

其中k₄₁,k₄₂,

为正常数；

将(74)代入(73)，得到：

目前为止，控制器设计的整个过程已经完成。详细的控制结构演示如图1所示。稳定性分析：对于任何给定e>0，将紧集定义为：

定理1：基于假设1，针对永磁同步电机系统(2)所提出的基于扰动观测器的自适应有限时间动态面控制方法包括控制律

u_q,u_d和自适应律

如果满足初始条件Ω_i,i＝1,...,4,

和x_d∈(-d,d)，那么所有控制目标就会实现。

证明：选择整体Lyapunov函数为：

对(77)中的V求导，可以得到：

根据(9)、(27)和杨氏不等式，可以得到：

其中

因此，(78)可以被重写为：

此外，分别设计引理2中的参数为p＝1,μ₁＝1-α,μ₂＝α,μ₃＝α^α/(1-α)，可以得到|q|^α≤(1-α)g+|q|。分别设计参数q为

和

因此可以得到：

将(81)代入(80)，可以得到：

其中

定义

基于引理2，(82)可以被整理为：

基于引理3，可以推导出以下特征：

(Ⅰ)非线性系统(2)是有限时间稳定的；

(II)对于任意

存在一个有限的时间T和所有t≥T，可以得到：

其中有限时间T通过如下公式得到：

从(85)中，可以推断出：

从(86)中可以推断出第i个误差转换变量

是有界的。与此类似，可以确保

和

的有界性。因此，根据(27)，可以知道

有界。根据

可以得到

是有界的。对于

推导出

则

根据(87)，可以推断出s₁有界的。因为x_d严格有界，根据s₁＝x₁-x_d可以得到x₁有界。因为s₁有界，可以得到η₁有界，因此可以保证的有界性。根据(36)，可以得出

有界。因此，从(24)可以得到

和

有界。基于此，结合(23)，可以确保x₂的有界性。类似地，可以得出结论：

有界。综上所述，可以得出闭环系统中所有信号是有界的结论。

特别是，从(85)中可以得出通过选择合适的设计参数

可以实现变量x₁在有限时间内跟踪参考信号x_d。

此外，结合(15)和(23)，当且仅当

ζ₁的数值会接近无穷大，可以得到：对任意的t>0，有

对于初始条件，满足

因为s₁＝x₁-x_d，对s₁的任意初始值，满足

对任意t>0，满足

基于上述讨论，可以证明所设计的控制器展示出了对被控系统优越的瞬态性能和稳定性。

跟踪误差s₁的值可以反映控制效果的好坏。从(87)可以看出s₁的值取决于变量σ₀和b₀的数值，尤其当σ₀减少和b₀增加时，s₁的值接近无限大。而σ₀和b₀的值取决于变量

和设计参数

进一步，通过增加

和减少

的数值，s₁的值可以被约束到预设的边界中。因此，应考虑与控制工作相关的系统性能权衡。

与现有技术相比，本发明的控制策略考虑了有限时间扰动观测器和动态面控制来消除外部干扰并确保输出约束不被违反。此外，设计的控制律以及自适应律中包含(2α-1)阶的

实现了对永磁同步电机系统的有限时间稳定控制。因此，本发明设计的控制方法在现实中更具功能性和普遍性。

为了验证本发明的效果，进行仿真实验和进行结果比较

1.1控制器的设计在本部分中，提供了两个模拟案例，用于验证对系统(2)设计的控制策略的有效性。为了更好地分析本发明设计的控制方案的普遍性和优缺点，针对两种情况设计不同的时变边界函数，并在每种方案中将比例积分微分控制和神经动态面控制作为对比方案进行仿真实验，同时考虑了存在外部干扰和没有外部干扰(Δd＝0)的情况。

选择永磁同步电机参数作为：J＝0.003798Kg·m²，B＝0.001158N·m/(rad/s)，T_L＝1.5，

L_d＝0.00285H，n_p＝3，L_q＝0.00315H，R_s＝0.68Ω。分别选择参考信号和扰动函数为x_d＝0.49(sin(t)+sin(2t))和Δd＝20x₂sin(2t)。

(1)神经动态面控制：考虑神经动态面控制的控制器设计，选择以下变量：

其中神经动态面控制方法的设计参数为k₁₁＝k₂₁＝k₃₁＝k₄₁＝80，

ε₂＝ε₃＝0.01。

(2)比例积分微分：考虑u_d＝0，选择比例积分微分控制器为：

其中设计参数k_p＝20,k_i＝0.05,k_d＝1.5。

同时，将本发明的方案与神经动态面控制和比例积分微分方法进行比较，并以如下3个定量指标作为衡量标准，详细结果列于表2中。

a)误差绝对值的积分：

b)时间和误差的绝对值乘积的积分：

c)误差平方的积分：

基于上述讨论，设计如下两种情况：

情况1：将时变边界设计为

并选择状态变量的起始值为x_i(0)＝0,i＝1,...,4。每个径向基神经网络由11个节点组成，中心位于区间[-11,11]内，宽度为10。控制器的设计参数选择如下：

ε₂＝0.1，ε₃＝0.01，τ₁＝τ₂＝τ₃＝0.55，τ₄＝60，k_i1＝20，k_i2＝30，p₁＝0.06，p₂＝p₃＝p₄＝0.15，

1≤i≤4，α＝17/19。

情况2：设计时变边界为

选择控制器的设计参数为

ε₂＝0.1，ε₃＝0.01，τ₁＝τ₂＝τ₃＝0.65，τ₄＝60，k_i1＝40，k_i2＝65，p₁＝0.06，p₂＝p₃＝p₄＝0.15，

α＝97/101。

1.2仿真实验和比较结果

图2-6展示了直观的仿真实验和比较结果。每张图片包含两个子图片，子图片(a)和(b)分别代表情况1和情况2边界下三种控制策略(有限时间动态面控制，比例积分微分和神经动态面控制)的性能。图2为输出信号x₁和期望轨迹x_d的曲线。图3为跟踪误差s₁的响应曲线。从图2-3可以看出，与比例积分微分和神经动态面控制方法相比，设计的控制器在外部扰动下输出信号x₁对期望轨迹x_d表现出优异的跟踪性能，并且跟踪误差不超出时变的边界。图4展示了有限时间动态面控制方法中状态变量x₂的响应曲线。图5为状态变量i_d和i_q的响应，图6为控制器u_d和u_q的轨迹。从图2-6可以明显看出，与扰动的神经动态面控制和比例积分微分控制相比，本发明设计的有限时间动态面控制策略可以在扰动情况下确保状态变量具有的极快响应能力和有限时间收敛速率。

为了简化表达式，给出了以下缩写：C-D和W-D分别表示包含干扰和无干扰的系统。

表2性能指标的比较结果

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内，因此，本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (1)

1.具有扰动及输出约束的永磁同步电机系统有限时间控制法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

(1)定义变量x₁＝θ,x₂＝ω,x₃＝i_q,x₄＝i_d，对(d-q)坐标系下永磁同步电机的动力学模型重新构建，得到如下式：

其中x₁受限于：

其中已知边界约束条件是时变函数

和

x₁(t)表示输出变量，x_d为参考信号，Δd为外部干扰，x＝(x₁,...x₄)^T∈R⁴为状态向量，

a₂＝3n_p(L_d-L_q)/2，b₁＝-R_s/L_q，b₂＝-n_pL_d/L_q，

b₄＝1/L_q，c₁＝-R_s/L_d，c₂＝n_pL_q/L_d，c₃＝1/L_d；ω为转子角速度，θ为转子角度，i_q为q-轴电流，i_d为d-轴电流，u_q为q-轴电压，u_d为d-轴电压，J为转动惯量，B为摩擦系数，

为永磁通量，R_s为定子线圈电阻，n_p为极对数，L_q为q-轴线圈电感，L_d为d-轴线圈电感，T_L为负载力矩；

设1：期望轨迹x_d(t)及其i阶导数

是光滑有界的，状态约束函数

及其j阶导数

是连续有界的；

引理1：对于任意实变量p和q，以及常量k_i>0,i＝1,2,3，满足如下条件：

引理2：对于任意变量

m和实数

得到：

定义1：对于状态向量Λ∈Rⁿ，将非线性正定系统定义为

其中f(Λ)表示正定函数；对任意初始条件Λ(t₀)＝Λ₀，存在实数ρ>0和稳定时间T(ρ,Λ₀)<∞满足||Λ(t)||<ρ；对任意的t≥t₀+T，存在一个平衡点Λ＝0满足

那么非线性系统在有限时间内是半全局稳定的；

引理3：对于非线性系统

如果存在实数a>0,

b>0,σ>0,

和光滑函数V(Λ)>0满足：

那么复杂系统

能够实现有限时间稳定性，并且稳定时间通过以下公式进行估计：

如果t ≥ T，则如下公式成立：

引理4：对于每个变量

φ＝φ₁/φ₂其中φ₁<φ₂，且φ₁和φ₂为奇数，如下不等式成立如下：

其中实数β₁>0,β₂>0，

γ₂＝(2^φ-1-2^(1+φ)(φ-1))/(1+φ)>0；

引理5：引入以下系统：

其中Δ_i,(i＝1,…,n)是第i个状态变量，L₀,λ_i,

为设计常量，并且扰动项f(t)满足|f(t)|≤L₀；然后系统将在有限的时间内收敛到原点，从而非线性系统实现有限时间稳定性；

(2)A、使用径向基神经网络估计未知的非线性函数，对未知非线性函数在具有任意精度的闭合集合中估计，因此，得：

其中Y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T为输入变量，

为径向基神经网络的期望权重向量，l>1表示节点数，估计误差Ξ(Y)满足|Ξ(Y)|<Ξ_M，其中Ξ_M表示为不确定的有界变量；W(Y)＝[w₁(Y),w₂(Y),...,w_l(Y)]^T是基函数向量，选择第i个通用高斯函数w_i(Y)为

其中δ_i＝[δ_i1,...,δ_im]表示第i个高斯基函数的中心，

表示高斯函数的宽度；

考虑期望权重向量

为：

其中

表示更新权重向量；

利用2范数来估计权重减轻神经网络的计算负担，因此，得到：

其中

表示第i个不确定变量，||·||代表·的2范数；

(3)设计基于有限时间扰动观测器的动态面控制

非线性坐标转换函数被用来将具有输出约束系统(2)转换为非约束系统，然后输出变量被约束在具有不对称时变边界的紧集中；

定义2：设计非线性转换函数为：

其中s₁＝x₁-x_d表示跟踪误差，ξ₁表示转换误差，

是连续时变函数，假设存在两个正常量C₀和C₁，则变量

满足以下条件：

已知

和

是有界的，由此推断，从公式(15)可以推断出ξ₁的有界性取决于跟踪误差s₁；对于每个初始条件

当ξ₁在t∈[0,+∞)内有界时，推断出s₁(t)满足如下条件：

分别将

和

缩写为

和

对ξ₁求导，得到：

其中

基于(3)和(16)，得到输出无约束子系统，如下式所示：

基于(15)，得到无约束变量ξ₁的值域是所有实数集，结合η₁,Γ₁和假设1，推断出α_ic,i＝2,3，此外，结合洛必达法则，得到：

当s₁不受约束时，转换误差ξ₁接近跟踪误差s₁；

B、基于结合辅助变量d,D，设计有限时间扰动观测器为：

其中

和

分别代表Δd,x₂和D的估计值，定义

λ₁和λ₂并表示扰动观测器的正设计系数，κ₁为适当的正常数；

定义

然后对

和

对时间t求导，得到：

假设不匹配动的变化率忽略不计，则Δd有界，并且估计值

和

将分别在有限的时间内收敛到实际值Δd,x₂和D；

C、设计基于扰动观测器的自适应有限时间控制器：

对跟踪误差采用非线性坐标变换：

其中

是下列第i个一阶滤波器的输出：

其中ε_i代表第i个滤波器的时间常数，第i个虚拟控制信号

将在之后设计；

类似地，滤波器误差z_i,i＝2,3被定义为：

将(2)和(19)代入到(23)中，对(23)中的

求导：

定义第i个变量的估计误差

为：

其中第i个变量

的估计值为

基于扰动观测器的自适应有限时间控制器的设计步骤如下：

步骤1、选择的第一个子Lyapunov函数V₁为：

其中设计常数τ₁>0；

结合(27)，对(28)中的V₁求导：

将(26)代入(29)，得到：

定义F₁(X₁)为：

其中

采用径向基神经网络估计未知函数F₁(X₁)：

其中设计常数Ξ_M>0.

因此，(30)变为：

根据杨氏不等式，得到：

其中设计常数p1>0；

将(34)代入(33)得到：

设计虚构控制律

和自适应律

为：

其中k₁₁,k₁₂,

表示正常数，α＝α₁/α₂和奇数α₁,a₂满足如下条件：0<a₁<a₂；

将(36)代入到(35)，得到

结合(24)-(26)，(27)和(36)，对z₂求导：

其中

为一个连续函数；

推导出

为

满足在紧集的预设初始条件下服从的最大值，因此：

其中

利用杨氏不等式，得到：

将(40)代入到(37)中，得到：

步骤2、选择第二个子Lyapunov函数V₂为：

其中τ₂>0为已知常量；

结合(27)，对V₂进行求导，得到：

将(26)和(41)代入到(43)中，得到：

基于引理5，假设

其中q₁表示正常数；然后将(44)简化为：

构造F₂(X₂)

其中

结合(46)，然后(45)重新表述为：

与(32)类似，得到(47)中的F₂(X₂)未知，因此，提出一个径向基神经网络来估计F₂(X₂)：

因此，(47)被重新表达为：

类似于(34)，得到如下不等式：

其中设计常数p₂>0；

将(50)代入(49)，得到：

类似于(36)，选择虚拟控制器

和自适应律

为：

其中设计常数k₂₁,k₂₂,

为正数；

将(52)代入到(51)中，得到：

类似于(40)，得到：

其中函数

将(54)代入(53)，得到

步骤3、选择第三个子Lyapunov函数V₃为：

其中已知常量t₃>0；

根据(27)，将V₃对时间t求导：

将(26)和(55)代入(57)，得到：

设计F₃(X₃)为：

其中

因此，(58)重新表示为：

同样，F₃(X₃)是未知的，然后，应用径向基神经网络来估计

类似于(34)，得到：

其中设计参数p₃>0；

因此，(60)被重新表达为：

设计实际控制器u_q和自适应律

为：

其中设计常数k₃₁,k₃₂,

为正数；

将(64)代入(63)，得到：

步骤4、选择第四个子Lyapunov函数V₄为：

其中设计常数τ₄>0；

结合(27)，对(66)中的V₄求导，得到：

结合(26)并将(65)代入(67)得到：

构造F₄(X₄)为：

其中

然后，(68)被简化为：

由于F₄(X₄)是一个不确定的函数，应用径向基神经网络来估计它，得到：

类似于(34)，得到：

其中设计常数p₄>0；

将(72)代入(70)，得到：

设计实际控制器u_d和虚拟控制律

其中k₄₁,k₄₂,

为正常数；

将(74)代入(73)，得到：

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