CN110347044A - 一种考虑输出约束的pmsm混沌系统神经网络动态面控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑输出约束的PMSM混沌系统神经网络动态面控制方法，该方法包括步骤：1)建立PMSM系统的动力学模型；2)采用动力学模型建立自适应动态面控制器；使用RBF网络去逼近系统模型的非线性未知项和非线性项、非线性阻尼项克服来克服外界扰动，在通过系统名义动力模型名义定子转速与理想轨迹信号定义的动态面上，引入一阶低通滤波器来代替虚拟控制的导数；本发明的方法能够有效抑制参数未知、混沌振荡及外界扰动对系统的影响，同时将输出约束规定的范围内，具有良好的有效性和鲁棒性。

Description

一种考虑输出约束的PMSM混沌系统神经网络动态面控制方法

技术领域

本发明涉及一种考虑输出约束的PMSM混沌系统神经网络动态面控制方 法，属于永磁同步电机控制方法技术领域。

背景技术

永磁同步电机作为典型的机电一体化产品，因其具有结构简单、运行可 靠、功率密度大、转矩惯量比较大以及转矩电流比高的优势，在航空航天、 机器人、数控机床、车辆工程等领域得到广泛应用，但是均未综合考虑不确 定性未知参数、外界扰动等因素对非线性永磁同步电机系统性能的影响。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：提供一种考虑输出约束的PMSM混沌系统 神经网络动态面控制方法，以解决上述现有技术中存在的问题。

本发明采取的技术方案为：一种考虑输出约束的PMSM混沌系统神经网 络动态面控制方法，该方法包括以下步骤：

(1)建立永磁同步电机系统名义动力学模型：

表面永磁同步电机的动力学方程在d-q坐标系下表示为

式中：和表示d-轴和q-轴电流,和表示d-轴和q-轴电压作为系统输 入,L,R,ψ_r,B,J和n_p分别表示电感、转子角速度、定子电阻、负载转矩、磁链、 粘性摩擦系数、转子转动惯量和磁极对，简化公式(1)，选取 n_p＝1，x₁＝ω,x₂＝i_q，x₃＝i_d，则(1)式被简化为：

式中：σ₁＝BL/(JR),σ₂＝-n_pψ_r ²/(BR) 其中x₁＝ω，x₂＝i_q,x₃＝i_d,u_q和u_d分别为名义 定子转速、q轴和d轴定子电流和电压，T_L表示名义负载转矩，σ₁和σ₂为系统 未知参数,Δ_i,(i＝1,2,3)表示外界扰动；

设1：期望轨迹y_d是有界的，存在时间导数和满足条件其 中χ是有界常数，χ＞0；

设2：存在常数σ_im和σ_iM使得0＜σ_im≤σ_i≤σ_iM,i＝1,2，其中σ_i是未知但有界的变量；

设3：不确定的外部干扰Δ_i满足|Δ_i|＜c_i,(c_i＞0),i＝1,2,3,以及非线性阻尼项和i＝2,3用来补偿Δ_i,其中c_i和ε(ε＞0)常量，K_λ1和λ_i稍后将进行定义；

设4：存在一个常数δ_M,(δ_M＞0)使其满足δ_i≤δ_M,i＝1,2,3，δ_M＞0，δ_i稍后将进行 说明；

设5：理想轨迹参考信号y_d有界，并满足-d≤y_d≤d，a＞d＞0时间导数和是有界的，其中a和d是给定常数；

控制目标是确保跟踪误差λ₁(t)在一致最终有界渐近稳定，同时，在整个动 态过程中不违反输出约束，即，对x₁(t)∈(-a,a)；

杨氏不平等式：对ξ＞0,p＞1,q＞1,(p-1)(q-1)＝1，存在

基本的RBF神经网络：在有界紧集Π→Rⁿ上,采用基本RBFNN逼近连续函数 f(x),其满足：f(x)＝W^Tφ(x)+δ，其中为n维输入变量，W＝[ω₁,ω₂,…,ω_n]^T∈R^l表 示权重更新向量，l＞1表示神经网络的节点数，δ是逼近误差， φ(x)＝[φ₁(x),φ₂(x),...,φ₂(x)]^T∈R^l表示基本函数向量，即高斯基函数；

高斯基函数表示为：

其中，μ_i＝[μ_i1,μ_i2,...,μ_in]^T是核函数φ_i的中心，表示φ_i的宽度，||·||表示x-μ_i的2- 范数；

定义最优网络权值如下

(2)对步骤(1)中数学模型建立自适应动态面控制器：

针对外部扰动不确定、输出受限的混沌永磁同步电机驱动系统，提出了 自适应神经动态表面控制器的整体设计过程。跟踪信号的动态表面误差变量 定义为λ₁＝x₁-y_d，其中y_d为期望的参考信号，变量为λ₂＝x₂-β_2f,λ₃＝x₃-2，其中β_2f为虚变量；

步骤一：由λ₁＝x₁-y_d得:

其中f₁(x₁)＝-σ₁x₁-T_L；σ₁是系统的不确定参数，采用RBFNN逼近未知的非线性 函数f₁，因此，对于任何特定的δ₁，存在一个RBFNN W₁ ^Tφ₁，使得

f₁＝W₁ ^Tφ₁+δ₁ (7)

将式(7)代入式(6)，式中：

设Barrier李雅普诺夫函数为

从式(9)得到V的时间导数为

其中

根据假设3和杨氏不等式，得到

设计虚拟控制变量β₂和自适应律和为

其中设计常数k₁＞0,l₁＞0,r₁＞0,a₁＞0,η₁＞0；

定义1：估计误差和分别表示为和 分别表示W₁,σ₁的估计值；

将式(11)、(12)、(13)和(14)代入式(10)得到：

定义2：

步骤2：定义PMSM系统的一阶子系统的过滤器如下：

其中τ₂表示正时间常数；

从式(16)中，得到滤波器β_2f为

其中y₂＝β_2f-β₂表示过滤误差；

计算y₂的时间导数，得到

从式(18)得到以下不等式

其中B₂≥0，是一个连续函数；

然后，λ₂的导数表示为

其中f₂＝-x₂-x₁x₃+σ₂x₁；

同时，存在一个RBFNN，使得

将式(21)代入式(20)，得到

定义Lyapunov函数为

得到V₂的时间导数

利用假设3和杨氏不等式，得到

同样，控制输入u_q和自适应律的构造如下

其中设计常数k₂＞0,l₂＞0,r₂＞0；

利用式(25)、(26)和式(27)，式(24)可重写如下

定义3：估计误差表示为 表示W₂的估计值，

步骤3:λ₃的导数为

其中f₃＝-x₃+x₁x₂；

同样，为了近似f₃，存在一个RBFNN，使得

将式(30)代入式(29)，得

定义Lyapunov函数如下

然后，得到V₃的导数，如下：

通过假设3和杨式不等式得

设计控制输入u_d和自适应律如下

其中设计常数k₃＞0,l₃＞0以及r₃＞0；

利用式(34)、(35)和式(36)，式(33)改写如下

定义4：估计误差表示为用表示W₃的误差值；

本发明的有益效果：与现有技术相比，本发明永磁同步电机为受控对象， 使用RBF网络去逼近系统模型的非线性未知项和非线性项、非线性阻尼项克 服来克服外界扰动；在通过系统名义动力模型名义定子转速与理想轨迹信号 定义的动态面上，引入一阶低通滤波器来代替虚拟控制的导数，以消除反演 控制法中微分项的膨胀现象；设计自适应律在线调整神经网络权值；利用 Barrier Lyapunov将输出限定在约束的范围内，选取合适Lyapunov函数论证 了系统的稳定性的自适应控制器，本发明通过仿真，结果表明所设计的控制 器能够有效抑制参数未知、混沌振荡及外界扰动对系统的影响，同时将输出 约束规定的范围内，具有良好的有效性和鲁棒性。

附图说明

图1是参数为σ₁＝5.45和σ₂＝20的永磁同步电机的混沌行为，(a)奇异吸引子，(b)混沌时间序列，(c)相位图；

图2是永磁同步电机控制原理图；

图3是在参数σ₁＝5.45和σ₂＝20下f₁,f₂和f₃的神经网络逼近图；

图4是σ₁＝5.45和σ₂＝20参数下有无外部扰动的鲁棒性分析图((·)_w表示无外部干扰的永磁同步电机中的变量)；

图5是系统参数摄动下的鲁棒性分析图。

具体实施方式

下面结合附图及具体的实施例对本发明进行进一步介绍。

实施例1：如图1-图5所示，一种考虑输出约束的PMSM混沌系统神经 网络动态面控制方法，该方法包括以下步骤：

(1)建立永磁同步电机系统名义动力学模型：

表面永磁同步电机的动力学方程在d-q坐标系下表示为

式中：和表示d-轴和q-轴电流,和表示d-轴和q-轴电压作为系统输 入,L,R,ψ_r,B,J和n_p分别表示电感、转子角速度、定子电阻、负载转矩、磁链、 粘性摩擦系数、转子转动惯量和磁极对，简化公式(1)，选取 n_p＝1，x₁＝ω,x₂＝i_q，x₃＝i_d，则(1)式被简化为：

式中：σ₁＝BL/(JR),σ₂＝-n_pψ_r ²/(BR) 其中x₁＝ω，x₂＝i_q,x₃＝i_d,u_q和u_d分别为名义 定子转速、q轴和d轴定子电流和电压，T_L表示名义负载转矩，σ₁和σ₂为系统 未知参数,Δ_i,(i＝1,2,3)表示外界扰动；

设1：期望轨迹y_d是有界的，存在时间导数和满足条件其 中χ是有界常数，χ＞0；

设2：存在常数σ_im和σ_iM使得0＜σ_im≤σ_i≤σ_iM,i＝1,2，其中σ_i是未知但有界的变量；

设3：不确定的外部干扰Δ_i满足|Δ_i|＜c_i,(c_i＞0),i＝1,2,3,以及非线性阻尼项和用来补偿Δ_i,其中c_i和ε(ε＞0)常量；

设4：存在一个常数δ_M,(δ_M＞0)使其满足|δ_i|≤δ_M,i＝1,2,3，δ_M＞0；

设5：理想轨迹参考信号y_d有界，并满足-d≤y_d≤d，a＞d＞0时间导数和是有界的，其中a和d是给定常数；

控制目标是确保跟踪误差λ₁(t)在一致最终有界渐近稳定，同时，在整个动 态过程中不违反输出约束，即，对x₁(t)∈(-a,a)；

杨氏不平等式：对ξ＞0,p＞1,q＞1,(p-1)(q-1)＝1，存在

基本的RBF神经网络：在有界紧集Π→Rⁿ上,采用基本RBFNN逼近连续函数 f(x),其满足：f(x)＝W^Tφ(x)+δ，其中为n维输入变量，W＝[ω₁,ω₂,…,ω_n]^T∈R^l表 示权重更新向量，l＞1表示神经网络的节点数，δ是逼近误差， φ(x)＝[φ₁(x),φ₂(x),...,φ₂(x)]^T∈R^l表示基本函数向量，即高斯基函数；

高斯基函数表示为：

其中，μ_i＝[μ_i1,μ_i2,...,μ_in]^T是核函数φ_i的中心，表示φ_i的宽度，||·||表示x-μ_i的2- 范数；

定义最优网络权值如下

(2)对步骤(1)中数学模型建立自适应动态面控制器：

针对外部扰动不确定、输出受限的混沌永磁同步电机驱动系统，提出了 自适应神经动态表面控制器的整体设计过程。跟踪信号的动态表面误差变量 定义为λ₁＝x₁-y_d，其中y_d为期望的参考信号，变量为λ₂＝x₂-β_2f,λ₃＝x₃-2，其中β_2f为虚变量；具体步骤如下：

步骤一：由λ₁＝x₁-y_d得:

其中f₁(x₁)＝-σ₁x₁-T_L；σ₁是系统的不确定参数，采用RBFNN逼近未知的非线性 函数f₁，因此，对于任何特定的δ₁，存在一个RBFNN W₁ ^Tφ₁，使得

f₁＝W₁ ^Tφ₁+δ₁ (7)

将式(7)代入式(6)，式中：

设Barrier李雅普诺夫函数为

式中：r₁＞0和η₁＞0表示常数,常数b₁＝a-d＞0表示关于λ₁(t)的约束，即λ₁(t)∈(-b₁,b₁)；

从式(9)得到V的时间导数为

其中

根据假设3和杨氏不等式，得到

设计虚拟控制变量β₂和自适应律和为

其中设计常数k₁＞0,l₁＞0,r₁＞0,a₁＞0,η₁＞0；

定义1：估计误差和分别表示为和 分别表示W₁,σ₁的估计值；

将式(11)、(12)、(13)和(14)代入式(10)得到：

定义2：

步骤2：定义PMSM系统的一阶子系统的过滤器如下：

其中τ₂表示正时间常数；

从式(16)中，得到滤波器β_2f为

其中y₂＝β_2f-β₂表示过滤误差；

计算y₂的时间导数，得到

从式(18)得到以下不等式

其中B₂≥0，是一个连续函数；

然后，λ₂的导数表示为

其中f₂＝-x₂-x₁x₃+σ₂x₁；

同时，存在一个RBFNN，使得

将式(21)代入式(20)，得到

定义Lyapunov函数为

式中：r₂＞0表示常数；

得到V₂的时间导数

利用假设3和杨氏不等式，得到

同样，控制输入u_q和自适应律的构造如下

其中设计常数k₂＞0,l₂＞0,r₂＞0；

利用式(25)、(26)和式(27)，式(24)可重写如下

定义3：估计误差表示为 表示W₂的估计值，

步骤3:λ₃的导数为

其中函数f₃＝-x₃+x₁x₂；

类似，同样存在一个RBFNN，使得

将式(30)代入式(29)，得

定义Lyapunov函数如下

式中r₃＞0表示常数；

然后，得到V₃的导数，如下：

通过假设3和杨式不等式得

设计控制输入u_d和自适应律如下

其中设计常数k₃＞0,l₃＞0以及r₃＞0；

利用式(34)、(35)和式(36)，式(33)改写如下

定义4：估计误差表示为用表示W₃的误差值；

以上两步为具有不确定外部干扰和约束输出的混沌永磁同步电机控制器 的控制方法，提出控制器的结构如方框原理图2所示。

为了说明本发明的有益效果，进行如下仿真：

永磁同步电机系统稳定性分析：

对于任何指定的常量p＞0，紧集定义如下

定理1，采用自适应律(13)、(14)、(27)和(36)的动态面控制器(12)、 (26)和(35)，通过选择合适的参数k_i,r_i,l_i,η₁,τ₂和a₁，将其用于永磁同步电机系 统名义动力学模型式(2)的具有不确定外部扰动与输出约束的混沌永磁同步 电机系统。当初始条件满足Ω_i和x₁(0)∈(-a+d+y_d(0),a-d+y_d(0))时，跟踪误差λ₁(t)一致 最终有界，对状态x₁(t)约束在集合Π:＝{x₁(t)∈R:|x₁(t)|＜a}，同时动态面 λ₁(t)∈(-b₁,b₁)。

证明：从式(37)得到

即

其中，在集合|λ₁|＜b₁中，

如果V＝p且ρ≥υ/p,则

设初始条件为V(0)≤p,有

在[0t]上，对式(40)两边求积分得

此外，根据函数log(·)的性能，得到|λ₁(t)|＜b₁，

此外，由于b₁＝a-d，因此，以下式成立

根据d+y_d≥0和-d+y_d≤0的条件，得到-a＜x₁(t)＜a，证明已完成。

系统仿真实验分析：

利用Simulink与S-function构建系统仿真模型，通过仿真实验验证本 发明的基于RBF神经网络逼近的PMSM混沌系统自适应动态面控制器的轨迹跟 踪能力、系统参数扰动与外界扰动下的鲁棒性。

在整个系统仿真过程中，将ODE45解算器指定为仿真解算器，其类型、 最大步长和仿真时间分别选择为可变步长，0.02s和0～50s。

假设系统输出严格要求满足|x₁(t)|＜1.2和给定的参考信号-1.0≤y_d＝sin(t)≤1.0；同 时，选择设计参数b₁＝|x₁|-|y_d|＝1.2-1.0＝0.2。利用初始状态值 x₁(0)＝0.1∈(-0.2,0.2),x₂(0)＝0.9,x₃(0)＝20。对系统进行了数值模拟。控制器的参数选择 如下： l₂＝l₃＝η₁＝a₁＝0.001.外界扰动的表达式定义为Δ₁＝Δ₂＝Δ₃＝0.02x₂2sin(2t)。

用于逼近函数f_i的RBFNNSW_i ^Tφ_i的中心在[-4,4]域内均匀分布，其宽度等于3.5。

仿真结果分析包括RBFNN逼近非线性函数的效果分析和轨迹追踪分析。

RBFNN逼近非线性函数的效果分析：

图3提供了PMSM系统非线性未知项或非线性项的实际值和估计值变化轨 迹的比较。结果表明，所选择的神经网络能够很好地逼近系统的非线性项。

轨迹追踪分析：

图4(a)和5(a)显示了永磁同步电机的状态轨迹。结果表明，实际信 号曲线与期望信号曲线之间的轨迹跟踪误差在2s内收敛到±0.2Rad/s。因此，可 以得出这样的结论：在输出约束条件下，系统成功地抑制了混沌振荡，实现 了对给定参考跟踪信号y_d的输出变量x₁的跟踪，证实了所开发的控制方案的有 效性和优越性。

鲁棒分析包括系统受外界扰动的鲁棒性分析和系统受参数摄动的鲁棒性 分析，如下：

(1)系统受外界扰动的鲁棒性分析：图4(a)-(c)表示在参数σ₁＝5.45和 σ₂＝20下有或无外部干扰的永磁同步电动机驱动系统的状态或控制变量曲线。 显然，这两种曲线的性能几乎是一致的。即所研制的控制器具有较强的抗外 部干扰能力和良好的稳定性；

(2)系统受参数摄动的鲁棒性分析：图5(a)-(d)报告了当系统参数 σ₁和σ₂在一定范围内变化时永磁同步电动机的控制性能。我们很容易发现参数 σ₁和σ₂值的增加或减小幅度不大，在给定的信号中，三条永磁同步电机曲线基 本相同。结果表明，所设计的控制器对永磁同步电机驱动系统的参数扰动具 有良好的鲁棒性。

仿真结果表明，该自适应控制器能够有效地抑制永磁同步电机的动态特 性，包括混沌振荡、不确定外部扰动和参数摄动。因此，该控制方法具有良 好的轨迹跟踪能力、有效性和鲁棒性。

针对具有参数未知、外界扰动的非线性PMSM混沌系统的控制问题，利用 神经网络自身具有的能够以任意小的误差充分逼近非线性函数的特性，逼近 PMSM系统中的不确定性的非线性未知项、非线性项及外界干扰，并与动态面 法、自适应技术相结合，提出了基于RBF神经网络PMSM动态面自适应控制方 法，并得出如下优点：

(1)利用RBF神经网络能够很好的逼近系统名义动力学模型中的不确定 性非线性未知项以及非线性项，且非线性阻尼项项能有效克服系统受到的外 界扰动；

(2)针对PMSM系统的动力学方程，在反演控制法的基础上，引入一阶 低通滤波器来代替虚拟控制的导数，可以消除反演控制法中微分项的膨胀现 象；设计自适应率对神经网络权值进行更新，利用Barrier Lyapunov将输出 限定在约束的范围内，选取合适Lyapunov函数论证了系统的稳定性，能够避 免神经网络的离线训练、保证系统的稳定性和收敛性；

(3)仿真实验结果表明所设计的控制器能够有效抑制参数未知、混沌振 荡及外界扰动对系统的影响，验证了该方法的有效性和鲁棒性。

本发明永磁同步电机为受控对象，使用RBF网络去逼近系统模型的非线 性未知项和非线性项、非线性阻尼项克服来克服外界扰动；在通过系统名义 动力模型名义定子转速与理想轨迹信号定义的动态面上，引入一阶低通滤波 器来代替虚拟控制的导数，以消除反演控制法中微分项的膨胀现象；设计自 适应律在线调整神经网络权值；利用BarrierLyapunov将输出限定在约束的 范围内，选取合适Lyapunov函数论证了系统的稳定性的自适应控制器。首先 分析与简化d-q模型，并引入扰动项，给出合理的假设；其次设计动态面控 制器，且设计虚拟控制规律以及相应的自适控制律，并利用Lyapunov稳定性 分析方法论证系统的收敛性；最后,仿真结果表明所设计的控制器能够有效抑 制参数未知、混沌振荡及外界扰动对系统的影响，同时将输出约束规定的范 围内，具有良好的有效性和鲁棒性。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限 于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易 想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内，因此，本发明的保护 范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (1)

1.一种考虑输出约束的PMSM混沌系统神经网络动态面控制方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

(1)建立永磁同步电机系统名义动力学模型：

表面永磁同步电机的动力学方程在d-q坐标系下表示为

式中：和表示d-轴和q-轴电流,和表示d-轴和q-轴电压作为系统输入,L,R,ψ_r,B,J和n_p分别表示电感、转子角速度、定子电阻、负载转矩、磁链、粘性摩擦系数、转子转动惯量和磁极对，简化公式(1)，选取n_p＝1，x₁＝ω,x₂＝i_q，x₃＝i_d，则(1)式被简化为：

式中：σ₁＝BL/(JR),σ₂＝-n_pψ_r ²/(BR)其中x₁＝ω，x₂＝i_q,x₃＝i_d,u_q和u_d分别为名义定子转速、q轴和d轴定子电流和电压，T_L表示名义负载转矩，σ₁和σ₂为系统未知参数,Δ_i,(i＝1,2,3)表示外界扰动；

设1：期望轨迹y_d是有界的，存在时间导数和满足条件其中χ是有界常数，χ＞0；

设2：存在常数σ_im和σ_iM使得0＜σ_im≤σ_i≤σ_iM,i＝1,2，其中σ_i是未知但有界的变量；

设3：不确定的外部干扰Δ_i满足|Δ_i|＜c_i,(c_i＞0),i＝1,2,3,以及非线性阻尼项和i＝2,3补偿Δ_i,其中c_i和ε常量，ε＞0；

设4：存在一个常数δ_M,(δ_M＞0)使其满足|δ|_i≤δ_M,i＝1,2,3，δ_M＞0；

设5：理想轨迹参考信号y_d有界，并满足-d≤y_d≤d，a＞d＞0时间导数和是有界的，其中a和d是给定常数；

跟踪误差λ₁(t)在一致最终有界渐近稳定，同时，在整个动态过程中不违反输出约束，即，对x₁(t)∈(-a,a)；

杨氏不平等式：对常数ξ＞0,p＞1,q＞1,(p-1)(q-1)＝1，存在

基本的RBF神经网络：在有界紧集Π→Rⁿ上,采用基本RBFNN逼近连续函数f(x),其满足：f(x)＝W^Tφ(x)+δ，其中为n维输入变量，W＝[ω₁,ω₂,…,ω_n]^T∈R^l表示权重更新向量，l＞1表示神经网络的节点数，δ是逼近误差，φ(x)＝[φ₁(x),φ₂(x),...,φ₂(x)]^T∈R^l表示基本函数向量，即高斯基函数；

高斯基函数表示为：

其中，μ_i＝[μ_i1,μ_i2,...,μ_in]^T是核函数φ_i的中心，表示φ_i的宽度，||·||表示x-μ_i的2-范数；

定义最优网络权值如下

(2)对步骤(1)中数学模型建立自适应动态面控制器：

跟踪信号的动态表面误差变量定义为λ₁＝x₁-y_d，其中y_d为期望的参考信号，变量为λ₂＝x₂-β_2f,λ₃＝x₃-2，其中β_2f为虚变量；具体步骤如下：

步骤一：由λ₁＝x₁-y_d得:

其中函数f₁＝-σ₁x₁-T_L；

σ₁是系统的不确定参数，采用RBFNN逼近未知的非线性函数f₁，因此，对于任何特定的δ₁，存在一个RBFNN W₁ ^Tφ₁，使得

f₁＝W₁ ^Tφ₁+δ₁ (7)

将式(7)代入式(6)，式中：

设Barrier李雅普诺夫函数为

式中：r₁＞0和η₁＞0表示常数,常数b₁＝a-d＞0表示关于λ₁(t)的约束，即λ₁(t)∈(-b₁,b₁)；

从式(9)得到V的时间导数为

其中：

根据假设3和杨氏不等式，得到

设计虚拟控制变量β₂和自适应律和为

其中设计常数k₁＞0,l₁＞0,r₁＞0,a₁＞0,η₁＞0；

定义1：估计误差和分别表示为和 分别表示W₁,σ₁的估计值；

将式(11)、(12)、(13)和(14)代入式(10)得到：

定义2：

步骤2：定义PMSM系统的一阶子系统的过滤器如下：

其中τ₂表示正时间常数；

从式(16)中，得

其中y₂＝β_2f-β₂表示过滤误差；

计算y₂的时间导数，得到

从式(18)得到以下不等式

其中B₂≥0，是一个连续函数；

然后，λ₂的导数表示为

其中f₂＝-x₂-x₁x₃+σ₂x₁；

同时，存在一个RBFNN，使得

将式(21)代入式(20)，得到

定义Lyapunov函数为

式中：r₂＞0表示常数；

得到V₂的时间导数

利用假设3和杨氏不等式，得到

同样，控制输入u_q和自适应律的构造如下

其中设计常数k₂＞0,l₂＞0,r₂＞0；

利用式(25)、(26)和式(27)，式(24)重写如下

定义3：估计误差表示为 表示W₂的估计值，

步骤3:λ₃的导数为

其中函数f₃＝-x₃+x₁x₂；

同时，存在一个RBFNN，使得

将式(30)代入式(29)，得

定义Lyapunov函数如下

式中r₃＞0表示常数；

V₃的导数，如下：

通过假设3和杨式不等式得

设计控制输入u_d和自适应律如下

其中设计常数k₃＞0,l₃＞0以及r₃＞0；

利用式(34)、(35)和式(36)，式(33)改写如下

定义4：估计误差表示为用表示W₃的误差值；