CN115313939A - 永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于永磁同步电机位置跟踪控制技术领域，公开了一种永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法。该方法针对考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机系统的控制精度要求以及存在的随机扰动和非线性问题，设计模糊自适应反步控制器实现对目标位置的跟踪，构造障碍李雅普诺夫函数以保证电流、转速等状态量不违反时变约束条件。利用模糊逻辑理论处理电机随机系统中的未知非线性项。采用了指令滤波技术与误差补偿机制相结合的方法，不仅解决了传统反步法中出现的“计算爆炸”问题，而且消除了滤波误差的影响。本发明方法能有效抑制输入饱和与随机扰动的影响，提高系统的控制性能，同时能够保证电机系统所有状态在给定的约束范围内。

Description

永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法

技术领域

本发明属于永磁同步电机位置跟踪控制技术领域，特别涉及一种考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法。

背景技术

近年来，永磁同步电机(PMSM)因构造简单、系统效率高、控制性能好等特点被广泛应用于工农业领域，也成为众多国内外学者关注的对象。永磁同步电机是一种高度非线性、强耦合、多变量的控制系统，其性能易受电机本身以及负载干扰等未知因素的影响。目前，为了使系统获得更优良的控制性能，研究者们提出了许多有效的控制策略，如反步控制、鲁棒控制、自适应控制等先进的控制技术。

然而，上述控制方法没有把随机干扰造成的影响考虑在内。永磁同步电机在运行过程中，电机转矩、绕组电阻等参数会受到阻尼转矩和磁路饱和等干扰的影响，从而产生随机扰动现象，这些随机扰动往往成为制约系统性能的关键因素。此前，关于随机非线性系统控制的研究已取得了很大的进展。但现有的控制方法很少有考虑状态约束问题，在许多实际工程中，系统的状态量需要根据工作环境、实际需求等因素限制在合理的约束空间内，若输入信号或状态超过规定的约束条件，那么系统的安全性与稳定性就无法得到保障。如永磁同步电机在运行过程中，由于电流过大，电机绕组会严重发热，导致绝缘层加速老化，最终缩短电机寿命。所以对电机系统中的状态量如角速度、定子电流等进行时变约束，则更能满足实际工程需求。同时，考虑到实际系统中执行器的物理约束和机械设计，电机输入电压可能会出现输入饱和问题，需要注意的是电压过高会导致电机过热，影响电机的正常使用，严重时甚至损坏电机。因此，在永磁同步电机随机系统的控制中考虑时变约束与输入饱和具有重要意义。

在另一个前沿领域，大量先进控制方法的提出为处理非线性系统问题提供了更多有效的解决方法，其中，自适应反步法已成功运用到了永磁同步电机系统中，并取得了较好的控制效果。但反步法存在的缺点主要体现在某些系统的某些函数必须是线性的以及在设计过程中会因反复求导而造成计算爆炸问题。其中，现有技术通过使用模糊逻辑系统(FLS)或神经网络(NN)去逼近系统的非线性项，从而解决了某些系统的函数必须是线性的的问题。针对计算爆炸问题，现有技术已经提出动态面控制(DSC)方法来处理，且取得了显著成效。然而，在使用动态面控制方法时会存在滤波误差，并且此误差无法消除，这将影响控制效果。

发明内容

本发明的目的在于提出一种考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法，该方法在充分考虑时变状态约束与输入饱和的情况下，能够使永磁同步电机随机系统快速地跟踪期望信号。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

本发明提出了一种考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法，该方法针对考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机系统的控制精度要求以及存在的随机扰动和非线性问题，设计模糊自适应反步控制器实现对目标位置的跟踪，构造障碍李雅普诺夫函数以保证电流、转速等状态量不违反时变约束条件，并且采用指令滤波技术与误差补偿机制相结合的方法，不仅解决了传统反步法中出现的“计算爆炸”问题，而且消除了滤波误差的影响，利用模糊逻辑系统处理永磁同步电机随机系统中的高阶非线性项，并结合自适应控制方法解决系统中存在的参数未知和输入饱和问题，构造考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机指令滤波模糊自适应反步控制器。

本发明具有如下优点：

(1)本发明方法针对PMSM随机系统，将时变状态约束和输入饱和同时纳入控制器设计考虑范围内，避免了因输入饱和问题对电机造成的损害，同时在反步推导的每个过程中都设计了时变障碍Lyapunov函数(TVBLF)，以确保系统状态量都被约束在给定的时变区间内，使设计的控制器更能满足实际工程的需求。

(2)本发明采用模糊逻辑系统逼近的方法来处理永磁同步电机随机系统中的未知非线性函数，简化了模糊自适应反步控制器的结构，有效地解决了在参数不确定和有负载转矩扰动的情况下永磁同步电机的位置跟踪控制的问题。

(3)本发明将指令滤波技术和误差补偿机制结合起来，不仅从根本上解决了“计算爆炸”问题，而且降低了滤波误差对系统性能的影响，从而提高了系统的控制精度。

(4)本发明在设计控制器时考虑了电机运行中出现的随机干扰，使系统的鲁棒性与稳定性得以提升，所设计的控制器更有利于实际应用。

附图说明

图1为本发明中考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机指令滤波模糊自适应反步控制器、坐标变换、SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图。

图2为采用本发明控制方法后转子角度、转子角度设定值以及约束条件跟踪仿真图。

图3为采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图。

图4为采用本发明控制方法后永磁同步电机d轴定子电压仿真图。

图5为采用本发明控制方法后永磁同步电机q轴定子电压仿真图。

图6为采用本发明控制方法后永磁同步电机状态量x₂的仿真图。

图7为采用本发明控制方法后永磁同步电机状态量x₃的仿真图。

图8为采用本发明控制方法后永磁同步电机状态量x₄的仿真图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

图1表示了本发明中基于指令滤波的永磁同步电机随机系统模糊自适应反步控制器、坐标变换、SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图。

图1中涉及的部件主要包括基于指令滤波的永磁同步电机随机系统模糊自适应反步控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3、转速检测单元4和电流检测单元5。在图1中U、V、W表示三相电压，u_α和u_β为两相静止坐标系下的电压，ω为转子角速度。转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测永磁同步电机的转速相关变量和电流值，通过实际测量的电流和转速变量作为模糊自适应反步控制器输入，通过基于指令滤波的永磁同步电机随机系统模糊自适应反步控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制永磁同步电机的转子位置。为了设计一个有效的控制器，建立永磁同步电机随机系统模型是十分必要的。

考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法，包括如下步骤：

步骤1.建立永磁同步电机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，θ表示电机的转子角度，ω表示转子角速度，θ和ω均为系统的状态变量；u_d和u_q分别表示d、q轴上的电压，u_d和u_q是系统的输入信号；i_d和i_q分别为d、q轴上的励磁电流；L_d和L_q为d-q坐标系下的定子电感；J表示电机的转动惯量，B表示电机的摩擦系数、T_L表示电机的负载转矩，n_p表示电机的极对数，Φ表示电机的永磁体产生的磁链，R_s表示电机的定子电阻；定义如下变量来简化永磁同步电机的d-q坐标轴动态数学模型。

在考虑随机干扰的情况下，永磁同步电机动态数学模型如下所示：

其中，ψ₂、ψ₃、ψ₄为未知光滑的扰动函数。

步骤2.根据指令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法，其控制目标是设计系统的输入信号u_d和u_q，使x₁能很好跟踪期望信号x_d，并且系统中所有状态都需满足时变约束条件Γx_j＝{x_j∈R||x_j|＜k_cj(t)}，R表示实数集，k_cj(t)为设计的时变连续函数，j＝1,2,3,4。

对于公式(2)，考虑系统的输入信号u_d和u_q受饱和非线性的影响，此处用u代指u_d和u_q。

其中，v是真实控制输入，u是实际应用下的控制输入，u_max＞0与u_min＜0为未知饱和常数，由公式(3)得知，当v＝u_max或v＝u_min时会出现不可导点。

定义如下光滑分段函数来近似代替饱和函数，即：

由公式(3)和公式(4)得到，u＝sat(v)＝s(v)+d(v)，且：

|d(v)|＝|sat(v)-s(v)|≤max{u_max(1-tanh(1)),u_min(tanh(1)-1)}＝D，D表示正常数。

则存在常数λ有：

其中，v₀表示定子的真实控制输入电压v的初始值。

当v₀＝0，

时，得到：

其中，

b_1i为正常数，i＝1,2。当在q轴上时，用

代指

d₁(v)代指d(v)；当在d轴上，用

代指

d₂(v)代指d(v)。

对于如下随机系统：dx＝g(x)dt+μ(x)dw。

其中，g(x)和μ(x)为局部Lipschitz函数，且满足g(x)的初始值g(0)＝μ(0)＝0，其中，g(0)表示g(x)的初始值，μ(0)表示μ(x)的初始值。

任意给定V(x)∈C²，C²表示复数集，定义函数微分

由

微分法则得知：

其中，x∈Rⁿ是系统的状态变量，Rⁿ表示n维实数向量集，w∈R^r为标准布朗运动，R^r表示r维实数向量集，

表示

修正项，Tr表示对角线元素之和。

如果有一个函数V(x)∈C²，满足：

其中，β₁(|x|)和β₂(|x|)为k_∞类函数，a₀和b₀为正常数，那么当t≥t₀时，V(x)满足：

其中，E[V(t)]为V(t)的期望，则随机非线性系统的信号是依概率有界的，t₀表示初始时刻；设f(x)是定义在紧集Ω上的连续函数，存在一个常数δ(z)＞0和逻辑系统W^TS(x)，使f(x)＝W^TS(x)+δ(z)，且对于任意的ε＞0，有

δ(z)为逼近误差，W为模糊权向量，S(x)＝[p₁(x),…,p_N(x)]^T为基函数向量，p_m(x)为高斯函数，即

中心向量η_m＝[η_m1,η_m2,…,η_mN]^T，ρ_m为高斯函数的宽度，m＝1,...,N。

定义如下指令滤波器：

其中，α_i为指令滤波器的输入信号,i＝1,2；l₁₁、l₁₂均为指令滤波器的输出信号，并且l₁₁的初始值l₁₁(0)＝α_i(0)，α_i(0)为α_i的初始值，l₁₂的初始值l₁₂(0)＝0；如果存在两个常数θ₁＞0，θ₂＞0，对于任意t≥0时刻，能同时满足

则对于任意的

总存在合适的ω_n＞0和

使得

都是有界的。

对于所有的|v_j|＜k_bj(t)，有如下不等式成立：

其中，k_bj(t)为时变函数，j＝1,2,3,4。

步骤2.1.基于永磁同步电机动态数学模型，设计如下的基于指令滤波的模糊自适应反步控制器：根据反步法原理，定义跟踪误差变量和补偿误差变量如下：

其中，v_j表示补偿误差变量，z_j表示跟踪误差变量，x_d为给定的期望信号，x_i,c为滤波器的输出信号，ξ_j为滤波误差补偿信号，i＝1,2，j＝1,2,3,4。

定义紧集Ω_v＝{|v_j|＜k_bj(t)}。

步骤2.2.选取障碍Lyapunov函数：

其中，k_b1(t)＝k_c1(t)-A₁(t)，A₁(t)为满足一定条件的变量，A₁(t)满足的条件会在步骤三稳定性分析中给出。则在紧集Ω_v内，可以得到：

由杨氏不等式得：

设计虚拟控制函数α₁和滤波误差补偿信号ξ₁为：

其中，k₁＞0，

因此，公式

恒成立，通过公式(13)～公式(15)得：

步骤2.3.选取障碍Lyapunov函数：

其中，k_b2(t)＝k_c2(t)-x_1,c-A₂(t)。

A₂(t)为满足一定条件的变量，A₂(t)满足的条件会在步骤三稳定性分析中给出，γ₂为常数，ζ₂＝||W₂||²，||W₂||为模糊权向量W₂的范数，

为ζ₂的估计值，同理，得到：

实际系统中，负载转矩T_L具有上限，负载转矩T_L的上限为正数d，满足0≤|T_L|≤d。

由杨氏不等式得：

其中，I₂＞0，通过公式(18)～公式(19)得到：

其中，

得到：

其中，h₂为常数，m₂为常数；ε₂表示任意小的正数。

构造虚拟控制函数α₂、滤波误差补偿信号ξ₂和自适应律

为：

其中，k₂＞0，通过公式(20)～公式(22)得到：

步骤2.4.令

其中，

且|d₁(v)|≤D_H，其中，D_H与b₁₁都为正数。

选取如下障碍Lyapunov函数：

其中，k_b3(t)＝k_c3(t)-x_2,c-A₃(t)。

A₃(t)为满足一定条件的变量，A₃(t)满足的条件会在步骤三稳定性分析中给出，γ₃为常数，ζ₃＝||W₃||²，||W₃||为向量W₃的范数，

为ζ₃的估计值；同理，得到：

由杨氏不等式得：

其中，I₃＞0，通过公式(25)～公式(26)得到：

其中，

得到：

其中，h₃为常数，m₃为常数，ε₃表示任意小的正数。

构造如下真实控制律v_q和自适应律

其中，设计参数

取

得到：

步骤2.5.令

其中，

且|d₂(v)|≤D_d，D_d与b₁₂都是正数。

选取如下障碍Lyapunov函数：

其中，k_b4(t)＝k_c4(t)，ζ₄＝||W₄||²，||W₄||为向量W₄的范数，γ₄为常数，

为ζ₄的估计值，同理，得到：

由杨氏不等式得：

其中，I₄＞0，通过公式(32)～公式(33)得到：

得：

其中，m₄为常数，h₄为常数，ε₄表示任意小的正数。

构造真实控制律v_d和自适应律

如下：

其中，设计参数

取

得到：

步骤3.对考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法进行稳定性分析。

选择永磁同步电机随机系统的Lyapunov函数为：

V＝V₄ (38)

当|v_j|＜k_bj时，有

则公式(37)转化为：

由公式(38)，对于

存在：

其中，V(0)表示V(t)的初始值。

根据公式(12)、公式(17)、公式(24)、公式(31)和公式(38)得到：

由式(40)～(41)得到：

因此，有

接着选择如下所示的Lyapuno函数来证明补偿信号的有界性。

对公式(43)进行求导得：

其中，

其中

由杨氏不等式得：

则

其中，

由此得到：

由公式(39)得

v_j，ζ_n都是有界的；通过公式(46)得知，ξ_j是有界的，因此z_j也是有界的。

由v₁＝z₁-ξ₁，z₁＝x₁-x_d，有

取A₁(t)≥|x_d(t)|+|ξ₁(t)|，有|x₁|＜k_c1(t)-(A₁(t)-|x_d(t)+ξ₁(t)|)＜k_c1(t)。

通过公式(15)得知，α₁是与z₁和

有关的函数，因此，α₁有其最小上界ι₁，通过

得到

τ₁表示x_1,c的最小上界。

然后根据v₂＝z₂-ξ₂，z₂＝x₂-x_1,c，得到

取A₂(t)＞|ξ₂|，有|x₂|＜k_c2-(A₂(t)-|ξ₂|)＜k_c2；取A₃(t)＞0进一步得到|x₃|＜k_c3；同理|x₄|＜k_c4。

由公式(29)和公式(36)得知，v_q是与v₃、ζ₃有关的函数，v_d是与v₄、ζ₄有关的函数，因此，v_q和v_d都是有界的。

因此，在考虑时变状态约束与输入饱和的情况下，该系统中所有信号都是有界的。

本发明方法中指令滤波控制技术通过引入补偿信号来消除滤波误差的影响，解决了上述问题。目前，许多现有的自适应控制方法用于解决非线性确定性系统，但随机系统的时变状态约束问题并未涉及，本发明提出了一种合理的控制方法。另一方面，在设计时将输入饱和问题考虑在内，使得所设计的系统更适合工程应用。

下面在虚拟环境下对所提出的基于指令滤波的永磁同步电机随机系统模糊自适应控制方法进行仿真，验证本发明所提出的控制方法的可行性：

电动机参数J＝0.003798Kg·m²，R_S＝0.68Ω，B＝0.001158N·m/(rad/s)，L_d＝0.00285H，L_q＝0.00315H，Φ＝0.1245H，n_p＝3。

选取的模糊集为：

N表示整数，且l∈[-5,5]。

选取永磁同步电机仿真初始状态为[0,0,0,-0.1]。

选取模糊自适应反步控制器参数：

k₁＝110，k₂＝5，k₃＝5，k₄＝2，

m₂＝m₃＝m₄＝0.05，γ₁＝γ₂＝γ₃＝0.02，h₂＝h₃＝0.02，h₄＝0.0005，

k_c1(t)＝0.9sint+2.3,k_c2(t)＝0.9cost+2.3,k_c3(t)＝6+0.3sin5t,k_c4(t)＝0.1+0.03cost。

负载转矩为：T_L＝1.5N·m，期望的位置信号为：x_d＝sint。

基于指令滤波的永磁同步电机随机系统模糊自适应控制方法的仿真结果如图2-8所示。其中，转子位置信号x₁和期望位置信号x_d如图2所示，转子位置跟踪误差z₁＝x₁-x_d，如图3所示。由图2和图3能够看出，系统的输出能够快速跟踪期望信号，由图3能够看出系统的跟踪误差收敛到原点附近的小范围内，系统的跟踪效果好且跟踪精度高。d轴定子电压和q轴定子电压如图4和图5所示。由图4和图5能够看出，经过本发明控制方法后，真实控制律u_d和u_q被限制在合理的区域内，避免因起始电压过大对电机造成损害，对系统安全可靠的运行起到了保障作用。永磁同步电机状态量x₂,x₃,x₄分别如图6-图8所示，可以看出该控制器能够使系统状态保持在其预先设定的时变约束区间内。

以上仿真结果表明，本发明中基于指令滤波的永磁同步电机随机系统模糊自适应控制方法能够高效地跟踪参考信号，因此，具有实际的实施意义。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1.建立永磁同步电机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，θ表示电机的转子角度，ω表示转子角速度，θ和ω均为系统的状态变量；u_d和u_q分别表示d、q轴上的电压，u_d和u_q是系统的输入信号；i_d和i_q分别为d、q轴上的励磁电流；L_d和L_q为d-q坐标系下的定子电感；J表示电机的转动惯量，B表示电机的摩擦系数，T_L表示电机的负载转矩，n_p表示电机的极对数，Φ表示电机的永磁体产生的磁链，R_s表示电机的定子电阻；定义如下变量来简化永磁同步电机的d-q坐标轴动态数学模型；

在考虑随机干扰的情况下，永磁同步电机的d-q坐标轴动态数学模型如下所示：

其中，ψ₂、ψ₃、ψ₄为未知光滑的扰动函数；

步骤2.根据指令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法，其控制目标是设计系统的输入信号u_d和u_q，使x₁能很好跟踪期望信号x_d，并且系统中所有状态都需满足时变约束条件Γx_j＝{x_j∈R||x_j|＜k_cj(t)}，R表示实数集，k_cj(t)为设计的时变连续函数，j＝1,2,3,4；

对于公式(2)，考虑系统的输入信号u_d和u_q受饱和非线性的影响，用u代指u_d和u_q；

其中，v是真实控制输入，u是实际应用下的控制输入，u_max＞0与u_min＜0为未知饱和常数；定义如下光滑分段函数来近似代替饱和函数，即：

由公式(3)和公式(4)得到，u＝sat(v)＝s(v)+d(v)，且：

|d(v)|＝|sat(v)-s(v)|≤max{u_max(1-tanh(1)),u_min(tanh(1)-1)}＝D，D表示正常数；

则存在常数λ有：

其中，v₀表示定子的真实控制输入电压v的初始值；

v_λ＝λv+(1-λ)v₀，0＜λ＜1；

当v₀＝0，

时，得到：

其中，

b_1i为正常数，i＝1,2；

当在q轴上时，用

代指

d₁(v)代指d(v)；当在d轴上时，用

代指

d₂(v)代指d(v)；对于如下随机系统：dx＝g(x)dt+μ(x)dw；

其中，g(x)和μ(x)为局部Lipschitz函数，且满足g(x)的初始值g(0)＝μ(0)＝0，其中，g(0)表示g(x)的初始值，μ(0)表示μ(x)的初始值；

任意给定V(x)∈C²，C²表示复数集，定义函数微分

由

微分法则得知：

其中，x∈Rⁿ是系统的状态变量，Rⁿ表示n维实数向量集，w∈R^r为标准布朗运动，R^r表示r维实数向量集，

表示

修正项，Tr表示对角线元素之和；

如果有一个函数V(x)∈C²，满足：

其中，β₁(|x|)和β₂(|x|)为k_∞类函数，a₀和b₀为正常数，那么当t≥t₀时，V(x)满足：

E[V(t)]为V(t)的期望，则随机非线性系统的信号是依概率有界的，t₀表示初始时刻；

设f(x)是定义在紧集Ω上的连续函数，存在一个常数δ(z)＞0和逻辑系统W^TS(x)，使f(x)＝W^TS(x)+δ(z)，且对于任意的ε＞0，有

δ(z)为逼近误差，W为模糊权向量，S(x)＝[p₁(x),…,p_N(x)]^T为基函数向量；p_m(x)为高斯函数，即

η_m为中心向量，ρ_m为高斯函数的宽度，m＝1,...,N；

定义如下指令滤波器：

其中，α_i为指令滤波器的输入信号,i＝1,2；l₁₁、l₁₂均为指令滤波器的输出信号，并且l₁₁的初始值l₁₁(0)＝α_i(0)，α_i(0)为α_i的初始值，l₁₂的初始值l₁₂(0)＝0；如果存在两个常数θ₁＞0，θ₂＞0，对于任意t≥0时刻，能同时满足

则对于任意的

总存在合适的ω_n＞0和

使得

都是有界的；

对于所有的|v_j|＜k_bj(t)，有如下不等式成立：

其中，k_bj(t)为时变函数，j＝1,2,3,4；

步骤2.1.基于永磁同步电机动态数学模型，设计如下的基于指令滤波的模糊自适应反步控制器：根据反步法原理，定义跟踪误差变量和补偿误差变量如下：

其中，v_j表示补偿误差变量，z_j表示跟踪误差变量，x_d为给定的期望信号，x_i,c为滤波器的输出信号，ξ_j为滤波误差补偿信号，i＝1,2，j＝1,2,3,4；

定义紧集Ω_v＝{|v_j|＜k_bj(t)}；

步骤2.2.选取障碍Lyapunov函数：

其中，k_b1(t)＝k_c1(t)-A₁(t)，A₁(t)为满足一定条件的变量，A₁(t)满足的条件会在步骤三稳定性分析中给出，则在紧集Ω_v内得到：

由杨氏不等式得：

设计虚拟控制函数α₁和滤波误差补偿信号ξ₁为：

其中，k₁＞0，▽＞0；

因此，公式

恒成立，通过公式(13)～公式(15)得：

步骤2.3.选取障碍Lyapunov函数：

其中，k_b2(t)＝k_c2(t)-x_1,c-A₂(t)；

A₂(t)为满足一定条件的变量，A₂(t)满足的条件会在步骤三稳定性分析中给出，γ₂为常数，ζ₂＝||W₂||²，||W₂||为模糊权向量W₂的范数，

为ζ₂的估计值，得到：

实际系统中，负载转矩T_L具有上限，负载转矩T_L的上限为正数d，满足0≤|T_L|≤d；

由杨氏不等式得：

其中，I₂＞0，通过公式(18)～公式(19)得到：

其中，

得到：

其中，h₂为常数，m₂为常数；ε₂表示任意小的正数；

构造虚拟控制函数α₂、滤波误差补偿信号ξ₂和自适应律

为：

其中，k₂＞0，通过公式(20)～公式(22)得到：

步骤2.4.令

其中，

且|d₁(v)|≤D_H，其中，D_H与b₁₁都为正数；

选取如下障碍Lyapunov函数：

其中，k_b3(t)＝k_c3(t)-x_2,c-A₃(t)；

A₃(t)为满足一定条件的变量，A₃(t)满足的条件会在步骤三稳定性分析中给出，γ₃为常数，ζ₃＝||W₃||²，||W₃||为向量W₃的范数，

为ζ₃的估计值；得到：

由杨氏不等式得：

其中，I₃＞0，通过公式(25)～公式(26)得到：

其中，

得到：

其中，h₃为常数，m₃为常数，ε₃表示任意小的正数；

构造如下真实控制律v_q和自适应律

其中，设计参数

取

得到：

步骤2.5.令

其中，

且|d₂(v)|≤D_d，D_d与b₁₂都是正数；

选取如下障碍Lyapunov函数：

其中，k_b4(t)＝k_c4(t)，ζ₄＝||W₄||²，||W₄||为向量W₄的范数，γ₄为常数，

为ζ₄的估计值，得到：

由杨氏不等式得：

其中，I₄＞0，通过公式(32)～公式(33)得到：

得：

其中，m₄为常数，h₄为常数，ε₄表示任意小的正数；

构造真实控制律v_d和自适应律

如下：

其中，设计参数

取

得到：

步骤3.对考虑时变状态约束和输入饱和的永磁同步电机随机系统指令滤波模糊自适应控制方法进行稳定性分析；

选择永磁同步电机随机系统的Lyapunov函数为：

V＝V₄ (38)

当|v_j|＜k_bj(t)时，有

则公式(37)转化为：

由公式(38)，对于

存在：

其中，V(0)表示V(t)的初始值；

根据公式(12)、公式(17)、公式(24)、公式(31)和公式(38)得到：

由式(40)～(41)得到：

因此，有

接着选择如下所示的Lyapunov函数来证明补偿信号的有界性；

对公式(43)进行求导得：

其中，

其中，

由杨氏不等式得：

则

其中，

由此得到：

由公式(39)得

v_j，ζ_n都是有界的；

通过公式(46)得知，ξ_j是有界的，因此，z_j也是有界的；

由v₁＝z₁-ξ₁，z₁＝x₁-x_d，有

取A₁(t)≥|x_d(t)|+|ξ₁(t)|，有|x₁|＜k_c1(t)-(A₁(t)-|x_d(t)+ξ₁(t)|)＜k_c1(t)；

通过公式(15)得知，α₁是与z₁和

有关的函数，因此，α₁有其最小上界ι₁，通过

得到

τ₁表示x_1,c的最小上界；

然后根据v₂＝z₂-ξ₂，z₂＝x₂-x_1,c，得到

取A₂(t)＞|ξ₂|，有|x₂|＜k_c2-(A₂(t)-|ξ₂|)＜k_c2；取A₃(t)＞0，进一步得到|x₃|＜k_c3；|x₄|＜k_c4；

由公式(29)和公式(36)得知，v_q是与v₃、ζ₃有关的函数，v_d是与v₄、ζ₄有关的函数，因此，v_q和v_d都是有界的；

因此，在考虑时变状态约束与输入饱和的情况下，该系统中所有信号都是有界的。

Images