CN113381662B - 基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于永磁同步电动机位置跟踪控制技术领域，具体公开了一种基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制方法。该方法针对永磁同步电动机随机系统的位置跟踪的控制问题，设计模糊自适应反步控制器实现对目标位置的跟踪，利用模糊逻辑系统处理永磁同步电动机系统中的未知随机非线性函数，采用动态面技术避免了反步设计中的计算爆炸问题，将有限时间技术运用到了永磁同步电动机随机非线性系统中，提高了收敛速度、跟踪精度和抗干扰能力。仿真结果表明本发明方法能够实现对期望位置信号的快速跟踪。

Description

基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控 制方法

技术领域

本发明属于永磁同步电动机位置跟踪控制技术领域，尤其涉及一种基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制方法。

背景技术

永磁同步电动机凭借其结构简单、效率高、使用寿命长和实用性强等优点已经广泛应用于农业和工业等领域。因永磁同步电动机是高度非线性、强耦合以及多变量的，在实际运用中容易受电机参数变化、外部负载扰动等不确定因素的影响，为更好实现永磁同步电动机的位置跟踪控制，需要研究有效的控制策略。近年来，相关研究者针对永磁同步电动机非线性系统已经研究了许多有效控制策略，例如滑模控制、直接转矩控制、反步控制和鲁棒控制等。

然而，上述控制方法并没有考虑永磁同步电动机实际运行中的随机扰动项，例如阻尼转矩和磁饱和等因素，这些随机扰动项可能会引发电机转矩、自感互感等相关参数产生变化，上述随机扰动项的存在会严重影响系统的控制效果。

在另一个前沿领域，传统反步方法是通过引入虚拟控制变量逐步设计控制器，该方法已成功应用于永磁同步电动机，并取得了较好的控制效果。但反步法存在的缺点主要体现在“某些驱动系统的某些函数必须是线性的”问题以及控制过程中的“计算爆炸”问题。上述问题的存在使得永磁同步电动机驱动系统的使用具有较大的局限性。

针对“某些驱动系统的功能必须是线性的”的问题，现有技术中已经提出近似理论来解决，例如模糊逻辑系统或神经网络。传统反步方法的控制过程中虚拟输入的重复微分会引起的“计算爆炸”的问题。为了克服这个问题，相关学者提出动态面方法通过在实际输入的反步设计过程的每个步骤中引入一阶滤波，从而消除“计算爆炸”问题。然而，上述方法都是渐近稳定的控制律，没有一种方法在跟踪速度上有一定的限制。

因此，有限时间方法的应用受到越来越多的关注。Bernstein首先提出了有限时间基于Lyapunov的非线性系统稳定性理论。有限时间方法相比于传统的控制方法有许多优点，例如能够缩短动态响应时间、收敛迅速，跟踪精度高以及具有很好的抗干扰能力。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制方法，以解决在考虑随机扰动的情况下永磁同步电动机系统位置跟踪控制的技术问题。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制方法，包括如下步骤：

步骤1.建立永磁同步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示；

其中，u_d表示d轴定子电压，u_q表示q轴定子电压，i_d表示d轴电流，i_q表示q轴电流，ω表示电动机的转子角速度，θ表示电动机的转子角度，J表示转动惯量，n_p表示磁极对数，B表示摩擦系数，L_d表示d轴定子电感，L_q表示q轴定子电感，R_s表示定子电阻，T_L为负载转矩，Φ表示永磁体产生的磁链；为了简化计算过程，定义如下新的变量：

永磁同步电动机随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw；x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程；f(·)：R^p→R^p和h(·)：R^p→R^p×r是在x上的局部Lipschitz函数；

其中，R^p、R^p×r表示实数向量集，p、p×r分别表示实数向量集的维数；定义f(0)为f(·)的初值，h(0)为h(·)的初值，则f(0)＝0和h(0)＝0；

考虑到随机因素的影响，则永磁同步电动机随机系统的模型如公式(2)所示；

其中，ψ₁、ψ₂、ψ₃、ψ₄均表示未知的光滑非线性函数；

步骤2.根据自适应反步法原理，设计一种基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制方法，控制目标是设计d轴定子电压u_d以及q轴定子电压u_q分别为真实控制律，使得永磁同步电动机的位置信号x₁跟踪期望的位置信号x_1d；

定义α_id是基于动态面技术的一阶滤波的输出信号，α_i是一阶滤波的输入信号，即虚拟控制律，

是α_id的一阶导数，则

α_id(0)＝α_i(0)，i＝1,2；

其中，ζ_i是时间常数，α_id(0)是α_id的初始值，α_i(0)是α_i的初始值；

定义中间变量：

则

设定|B_i|是关于紧集|Ω_i|的最大值B_iM,B_i≤B_iM，因此：

其中，τ是连续的，τ＞0；

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C²表示复数集，定义差分运算L，由伊藤微分法则得知：

其中，

表示伊藤修正项，Tr表示对角线元素之和；

对于永磁同步电动机随机系统，设定f(0)和h(0)在时间t上是一致有界的，如果V＝V(x)∈C²，δ₁(x),δ₂(x)是k_∞类函数,a₀＞0,b₀＞0，且a₀、b₀都是连续的，0＜β＜1；

则有如下不等式成立：

对于

t＞t₀，随机系统都是半全局实际有限时间稳定；

假设f(Z)在紧集Ω_z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1，Rⁿ表示实数向量集；

S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量，s₁(Z),...,s_n(Z)分别表示S(Z)的基向量；

选取基函数s_m(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_m＝[μ_m1,...,μ_mn]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，η_m为Gaussian函数的宽度；μ_m1,...,μ_mn分别表示μ_m的基向量；

步骤2.1.虚拟控制律的具体结构将在下面的模糊自适应反步控制器设计过程中给出；

定义

||W_j||表示向量W_j的范数，

是

的估计值，

表示

和

的差值，

的结构将在下面的模糊自适应反步控制器构建过程中给出：

模糊自适应反步控制器的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制律或者真实控制律，模糊自适应反步控制器的构建过程包括以下步骤：

步骤2.2.定义误差变量z₁＝x₁-x_1d，选取Lyapunov函数

其中，r₁为正数；对V₁求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₁为常数，且l₁＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₁＞0，存在模糊逻辑系统W₁ ^TS₁(Z)使得f₁(Z)＝W₁ ^TS₁(Z)+δ₁，其中δ₁表示逼近误差，并且满足|δ₁|≤ε₁，由杨氏不等式得：

其中，h₁为正数，||W₁||为向量W₁的范数；将公式(4)和公式(5)代入公式(3)得：

其中，

选取虚拟控制律α₁和自适应律

为：

其中，m₁为正数，k₁为正的设计参数；根据公式(6)和公式(7)得：

步骤2.3.定义误差变量z₂＝x₂-α_1d；选取Lyapunov函数

其中，r₂为正数；对V₂求导得：

定义常数d表示|T_L|的上限值，由杨氏不等式得公式(10)；

令

l₂为常数，l₂＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统W₂TS₂(Z)使f₂(Z)＝W₂ ^TS₂(Z)+δ₂，其中δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，由杨氏不等式得：

其中，h₂为正数，||W₂||为向量W₂的范数；将公式(10)和公式(11)代入公式(9)得：

其中，

选取虚拟控制律α₂和自适应律

为：

其中，m₂、r₂皆为正数，k₂为正设计参数；将公式(13)代入公式(12)得：

步骤2.4.定义误差变量z₃＝x₃-α_2d，选取Lyapunov函数

其中，r₃为正数；对V₃求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₃为常数，且l₃＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)使得f₃(Z)＝W₃ ^T ₃S()Z+δ₃，其中δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，由杨氏不等式得：

其中，h₃为正数，||W₃||为向量W₃的范数；将公式(16)和公式(17)代入公式(15)得：

选取真实控制律u_q和自适应律

为：

其中，m₃为正数，k₃为正设计参数；将公式(19)代入公式(18)得：

步骤2.5.定义误差变量z₄＝x₄；选取Lyapunov函数

其中，r₄为正数；对V₄求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₄为常数，且l₄＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统W₄ ^TS₄(Z)使得

其中δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，由杨氏不等式得：

其中，h₄为正数，||W₄||为向量W₄的范数，将公式(23)和公式(22)代入公式(21)得：

选取虚拟控制律u_d和自适应律

为：

其中，m₄为正数，k₄为正设计参数，将公式(25)代入公式(24)中得：

选择永磁同步电动机随机系统的Lyapunov函数V＝V₄，对V求导得：

由杨氏不等式得到：

将公式(28)代入到公式(27)中，得到：

其中，

对于永磁同步电动机随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dw，存在一个正定的、径向无界的，两次连续求导的Lyapunov函数V:Rⁿ→R和常数a₀＞0，b₀≥0，使得V的导数满足：

LV(x)≤-a₀V^β(x)+b₀ (30)

由于

和z_j是有界的，α_i是有界的，i＝1,2，j＝1,2,3,4，则系统中的信号也都是有界的，通过参数a₀和b₀，使得系统跟踪误差在四阶矩意义下收敛于一个充分小的原点邻域内。

本发明具有如下优点：

(1)本发明方法充分考虑了永磁同步电动机随机系统在运行过程中随机干扰的问题，使设计的控制方法更符合实际工程的需要。

(2)本发明采用模糊逻辑系统逼近的方法来处理永磁同步电动机的随机非线性函数，简化了模糊自适应反步控制器的结构，从而有效地解决了在参数不确定和有负载转矩扰动的情况下永磁同步电动机的位置跟踪控制的问题。

(3)本发明将有限时间控制方法运用在永磁同步电动机随机系统当中，以实现半全局有限时间稳定性，提高了永磁同步电动机随机系统的收敛速度、跟踪精度和抗干扰能力。

(4)本发明方法运用动态面技术，有效地解决了传统反步中的“计算爆炸”的问题。

(5)本发明控制方法能够较快地实现位置信号的跟踪，且具有更强的鲁棒性。

附图说明

图1为本发明中永磁同步电动机随机系统模糊自适应反步控制器、坐标变换、SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图。

图2为采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图。

图3为采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图。

图4为采用本发明控制方法后永磁同步电动机d轴定子电压仿真图。

图5为采用本发明控制方法后永磁同步电动机q轴定子电压仿真图。

具体实施方式

本发明的基本思想为：利用模糊逻辑系统逼近永磁同步电动机随机系统中未知的随机非线性函数，同时基于Lyapunov函数，运用反步法构造中间虚拟控制信号，逐步递推得到控制律，从而保证电压稳定在一个有界区域内，减小控制误差，提高控制精度。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

如图1所示，图1中的部件包括有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3、转速检测单元4以及电流检测单元5。

其中，图1中U、V、W表示三相电压，u_α和u_β为两相静止坐标系下的电压。

通过转速检测单元4和电流检测单元5分别检测永磁同步电动机的转速相关变量和电流值，并将实际测量的电流和转速变量作为模糊自适应反步控制器输入，通过基于有限时间动态面的永磁同步电动机随机系统模糊控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制永磁同步电动机的转子角位置。下面对本发明控制方法进行详细说明：

基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制方法，包括如下步骤：

步骤1.建立永磁同步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示。

其中，u_d表示d轴定子电压，u_q表示q轴定子电压，i_d表示d轴电流，i_q表示q轴电流，ω表示电动机的转子角速度，θ表示电动机的转子角度，J表示转动惯量，n_p表示磁极对数，B表示摩擦系数，L_d表示d轴定子电感，L_q表示q轴定子电感，R_s表示定子电阻，T_L为负载转矩，Φ表示永磁体产生的磁链。为了简化计算过程，定义如下新的变量：

永磁同步电动机随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw；x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程；f(·)：R^p→R^p和h(·)：R^p→R^p×r是在x上的局部Lipschitz函数。

其中，R^p、R^p×r表示实数向量集，p、p×r分别表示实数向量集的维数；定义f(0)为f(·)的初值，h(0)为h(·)的初值，则f(0)＝0和h(0)＝0。

考虑到随机因素的影响，则永磁同步电动机随机系统的模型如公式(2)所示；

其中，ψ₁、ψ₂、ψ₃、ψ₄均表示未知的光滑非线性函数；

步骤2.根据自适应反步法原理，设计一种基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制方法，控制目标是设计d轴定子电压u_d以及q轴定子电压u_q分别为真实控制律，使得永磁同步电动机的位置信号x₁跟踪期望的位置信号x_1d。

定义α_id是基于动态面技术的一阶滤波的输出信号，α_i是一阶滤波的输入信号，即虚拟控制律，

是α_id的一阶导数，则

α_id(0)＝α_i(0)，i＝1,2。

其中，ζ_i是时间常数，α_id(0)是α_id的初始值，α_i(0)是α_i的初始值。

定义中间变量：

则

设定|B_i|是关于紧集|Ω_i|的最大值B_iM,B_i≤B_iM，因此：

其中，τ是连续的，τ＞0；

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C²表示复数集，定义差分运算L，由伊藤微分法则得知：

其中，

表示伊藤修正项，Tr表示对角线元素之和。

对于永磁同步电动机随机系统，设定f(0)和h(0)在时间t上是一致有界的，如果V＝V(x)∈C²，δ₁(x),δ₂(x)是k_∞类函数,a₀＞0,b₀＞0，且a₀、b₀都是连续的，0＜β＜1。

则有如下不等式成立：

对于

t＞t₀，随机系统都是半全局实际有限时间稳定。

假设f(Z)在紧集Ω_z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1，Rⁿ表示实数向量集。

S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量，s₁(Z),...,s_n(Z)分别表示S(Z)的基向量。

选取基函数s_m(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_m＝[μ_m1,...,μ_mn]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，η_m为Gaussian函数的宽度；μ_m1,...,μ_mn分别表示μ_m的基向量。

步骤2.1.虚拟控制律的具体结构将在下面的模糊自适应反步控制器设计过程中给出。

定义

||W_j||表示向量W_j的范数，

是

的估计值，

表示

和

的差值，

的结构将在下面的模糊自适应反步控制器构建过程中给出：

模糊自适应反步控制器的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制律或者真实控制律，模糊自适应反步控制器的构建过程包括以下步骤：

步骤2.2.定义误差变量z₁＝x₁-x_1d，选取Lyapunov函数

其中，r₁为正数；对V₁求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₁为常数，且l₁＞0。

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₁＞0，存在模糊逻辑系统W₁ ^TS₁(Z)使得f₁(Z)＝W₁ ^TS₁(Z)+δ₁，其中δ₁表示逼近误差，并且满足|δ₁|≤ε₁，由杨氏不等式得：

其中，h₁为正数，||W₁||为向量W₁的范数；将公式(4)和公式(5)代入公式(3)得：

其中，

选取虚拟控制律α₁和自适应律

为：

其中，m₁为正数，k₁为正的设计参数；根据公式(6)和公式(7)得：

步骤2.3.定义误差变量z₂＝x₂-α_1d；选取Lyapunov函数

其中，r₂为正数；对V₂求导得：

定义常数d表示|T_L|的上限值，由杨氏不等式得公式(10)。

令

l₂为常数，l₂＞0。

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统W₂ ^TS₂(Z)使得f₂(Z)＝W₂ ^TS₂(Z)+δ₂，其中δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，由杨氏不等式得：

其中，h₂为正数，||W₂||为向量W₂的范数；将公式(10)和公式(11)代入公式(9)得：

其中，

选取虚拟控制律α₂和自适应律

为：

其中，m₂、r₂皆为正数，k₂为正设计参数；将公式(13)代入公式(12)得：

步骤2.4.定义误差变量z₃＝x₃-α_2d，选取Lyapunov函数

其中，r₃为正数；对V₃求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₃为常数，且l₃＞0。

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)使得f₃(Z)＝W₃ ^TS₃(Z)+δ₃，其中δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，由杨氏不等式得：

其中，h₃为正数，||W₃||为向量W₃的范数；将公式(16)和公式(17)代入公式(15)得：

选取真实控制律u_q和自适应律

为：

其中，m₃为正数，k₃为正设计参数；将公式(19)代入公式(18)得：

步骤2.5.定义误差变量z₄＝x₄；选取Lyapunov函数

其中，r₄为正数；对V₄求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₄为常数，且l₄＞0。

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统W₄ ^TS₄(Z)使得f₄(z)＝W₄ ^TS₄(Z)+δ₄，其中δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，由杨氏不等式得：

其中，h₄为正数，W₄为向量W₄的范数，将公式(23)和公式(22)代入公式(21)得：

选取虚拟控制律u_d和自适应律

为：

其中，m₄为正数，k₄为正设计参数，将公式(25)代入公式(24)中得：

选择永磁同步电动机随机系统的Lyapunov函数V＝V₄，对V求导得：

由杨氏不等式得到：

将公式(28)代入到公式(27)中，得到：

其中，

对于永磁同步电动机随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dω，存在一个正定的、径向无界的，两次连续求导的Lyapunov函数V:Rⁿ→R和常数a₀＞0，b₀≥0，使得V的导数满足：

LV(x)≤-a₀V^β(x)+b₀ (30)

由于

和z_j是有界的，α_i是有界的，i＝1,2，j＝1,2,3,4，则系统中的信号也都是有界的，通过参数a₀和b₀，使得系统跟踪误差在四阶矩意义下收敛于一个充分小的原点邻域内。

下面在虚拟环境下对所提出的基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制方法进行仿真，以验证本发明所提出的控制方法的可行性。

其中，电动机参数为：

R_s＝0.1Ω，J＝0.0586kg·m²，B＝0.001158N·m/(rad/s)，L_d＝0.00977H，L_q＝0.00977H；Φ＝0.1245H，n_p＝3。选取的模糊集为：

其中，ja＝1,2；

其中，jb＝3,4。

其中，l为整数，且l∈[-5,5]。

取模糊自适应反步控制器参数：k₁＝5，k₂＝20，k₃＝800，k₄＝700；r₁＝r₂＝r₃＝r₄＝0.2；m₁＝m₂＝m₃＝m₄＝0.05，h₁＝h₂＝h₃＝h₄＝2。

负载转矩为

期望的位置信号x_1d为：x_1d＝0.5sin(t)+0.3sin(0.5t)。

本发明方法的仿真结果如图2至图5所示，其中：

转子角度和转子角度设定值跟踪如图2所示，转子角度和转子角度设定值跟踪误差如图3所示。由图2和图3可知，系统的输出位置信号x₁能够很好的跟踪期望的位置信号x_1d。

图4和图5分别表示为采用本发明方法后永磁同步电动机d轴、q轴定子电压仿真图。由图4和图5可知，模糊自适应反步控制器的真实控制律u_d和u_q都稳定在一个有界区域内。

由仿真结果可知，当负载转矩突变时，仍能保持良好的跟踪效果，且控制电压相对稳定，具有较好的抗干扰能力。以上模拟信号清楚地表明，本发明方法能够高效地跟踪参考信号。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制方法，其特征在于，

包括如下步骤：

步骤1.建立永磁同步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示；

其中，u_d表示d轴定子电压，u_q表示q轴定子电压，i_d表示d轴电流，i_q表示q轴电流，ω表示电动机的转子角速度，θ表示电动机的转子角度，J表示转动惯量，n_p表示磁极对数，B表示摩擦系数，L_d表示d轴定子电感，L_q表示q轴定子电感，R_s表示定子电阻，T_L为负载转矩，Φ表示永磁体产生的磁链；为了简化计算过程，定义如下新的变量：

永磁同步电动机随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw；x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程；f(·)：R^p→R^p和h(·)：R^p→R^p×r是在x上的局部Lipschitz函数；

其中，R^p、R^p×r表示实数向量集，p、p×r分别表示实数向量集的维数；

定义f(0)为f(·)的初值，h(0)为h(·)的初值，则f(0)＝0和h(0)＝0；考虑到随机因素的影响，则永磁同步电动机随机系统的模型如公式(2)所示；

其中，ψ₁、ψ₂、ψ₃、ψ₄均表示未知的光滑非线性函数；

步骤2.根据自适应反步法原理，设计一种基于有限时间动态面技术的永磁同步电动机随机系统模糊控制方法，控制目标是设计d轴定子电压u_d以及q轴定子电压u_q分别为真实控制律，使得永磁同步电动机的位置信号x₁跟踪期望的位置信号x_1d；

定义α_id是基于动态面技术的一阶滤波的输出信号，α_i是一阶滤波的输入信号，即虚拟控制律，

是α_id的一阶导数，则

α_id(0)＝α_i(0)，i＝1,2；

其中，ζ_i是时间常数，α_id(0)是α_id的初始值，α_i(0)是α_i的初始值；

定义中间变量：

则

设定|B_i|是关于紧集|Ω_i|的最大值B_iM,B_i≤B_iM，因此：

其中，τ是连续的，τ＞0；

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C2表示复数集，定义差分运算L，由伊藤微分法则得知：

其中，

表示伊藤修正项，Tr表示对角线元素之和；

对于永磁同步电动机随机系统，设定f(0)和h(0)在时间t上是一致有界的，如果V＝V(x)∈C²，δ₁(x),δ₂(x)是k_∞类函数,a₀＞0,b₀＞0，且a₀、b₀都是连续的，0＜β＜1；

则有如下不等式成立：

对于

t＞t₀，随机系统都是半全局实际有限时间稳定；

假设f(Z)在紧集Ω_z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1，Rⁿ表示实数向量集；

S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量，s₁(Z),...,s_n(Z)分别表示S(Z)的基向量；

选取基函数s_m(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_m＝[μ_m1,...,μ_mn]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，η_m为Gaussian函数的宽度；μ_m1,...,μ_mn分别表示μ_m的基向量；

步骤2.1.虚拟控制律的具体结构将在下面的模糊自适应反步控制器设计过程中给出；

定义θ_j＝||W_j||²，||W_j||表示向量W_j的范数，

是θ_j的估计值，

表示θ_j和

的差值，

j＝1,2,3,4；θ_j的结构将在下面的模糊自适应反步控制器构建过程中给出：

模糊自适应反步控制器的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制律或者真实控制律，模糊自适应反步控制器的构建过程包括以下步骤：

步骤2.2.定义误差变量z₁＝x₁-x_1d，选取Lyapunov函数

其中，r₁为正数；对V₁求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₁为常数，且l₁＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₁＞0，存在模糊逻辑系统W₁ ^TS₁(Z)使得

其中δ₁表示逼近误差，并且满足|δ₁|≤ε₁，由杨氏不等式得：

其中，h₁为正数，||W₁||为向量W₁的范数；将公式(4)和公式(5)代入公式(3)得：

其中，

选取虚拟控制律α₁和自适应律

为：

其中，m₁为正数，k₁为正的设计参数；根据公式(6)和公式(7)得：

步骤2.3.定义误差变量z₂＝x₂-α_1d；选取Lyapunov函数

其中，r₂为正数；对V₂求导得：

定义常数d表示T_L的上限值，由杨氏不等式得公式(10)；

令

l₂为常数，l₂＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，由杨氏不等式得：

其中，h₂为正数，||W₂||为向量W₂的范数；将公式(10)和公式(11)代入公式(9)得：

其中，

选取虚拟控制律α₂和自适应律

为：

其中，m₂、r₂皆为正数，k₂为正设计参数；将公式(13)代入公式(12)得：

步骤2.4.定义误差变量z₃＝x₃-α_2d，选取Lyapunov函数

其中，r₃为正数；对V₃求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₃为常数，且l₃＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，由杨氏不等式得：

其中，h₃为正数，||W₃||为向量W₃的范数；将公式(16)和公式(17)代入公式(15)得：

选取真实控制律u_q和自适应律

为：

其中，m₃为正数，k₃为正设计参数；将公式(19)代入公式(18)得：

步骤2.5.定义误差变量z₄＝x₄；选取Lyapunov函数

其中，r₄为正数；对V₄求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₄为常数，且l₄＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，由杨氏不等式得：

其中，h₄为正数，||W₄||为向量W₄的范数，将公式(23)和公式(22)代入公式(21)得：

选取真实控制律u_d和自适应律

为：

其中，m₄为正数，k₄为正设计参数，将公式(25)代入公式(24)中得：

选择永磁同步电动机随机系统的Lyapunov函数V＝V₄，对V求导得：

由杨氏不等式得到：

将公式(28)代入公式(27)中得到：

其中，

对于永磁同步电动机随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dω，存在一个正定的、径向无界的，两次连续求导的Lyapunov函数V:Rⁿ→R和常数a₀＞0，b₀≥0，使得V的导数满足：

LV(x)≤-a₀V^β(x)+b₀ (30)

由于

和z_j是有界的，α_i是有界的，i＝1,2，j＝1,2,3,4，则闭环系统中的信号也都是有界的，通过参数a₀和b₀，使得系统跟踪误差在四阶矩意义下收敛于一个充分小的原点邻域内。

Images