CN110401391B - 异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法。该方法针对异步电动机随机系统的控制精度要求以及存在的随机扰动和非线性问题，设计模糊自适应反步控制器实现对目标位置的跟踪，利用模糊逻辑系统处理异步电动机系统中的未知随机非线性函数，在传统的反步法中引入动态面技术来解决计算过程中的“计算爆炸”问题，通过构造降维观测器来估计异步电动机的转子位置和转子角速度。仿真结果表明本发明方法能够使跟踪误差快速收敛到原点的一个足够小的邻域内，有较好的抗干扰能力。

Description

异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法

技术领域

本发明属于异步电动机位置跟踪控制技术领域，尤其涉及一种基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法。

背景技术

近年来，异步电动机凭借其结构简单、效率高、使用寿命长和实际运用性强等特点，在农业和工业等领域有着极为广泛的运用。然而，异步电动机系统是一个高度非线性、强耦合、多变量的系统，并且在实际运用中异步电动机系统会被一些不确定的因素所干扰，例如参数不确定。为了解决这些问题，相关科技工作者提出了一些非线性控制方法并取得了较好的成效，例如反步控制、滑模控制、鲁棒控制等先进的控制技术。

然而，上述控制方法很少考虑异步电动机运行中存在的随机扰动的问题。在工业实际应用中，异步电动机系统存在随机扰动，例如电压随机浪涌、电动机温度变化等；并且阻尼转矩、扭转弹性转矩以及磁路饱和等会使电动机转矩、自感互感以及绕组电阻等参数发生变化，这些随机问题的存在会对异步电动机系统的各项控制性能产生不利影响。因此，考虑异步电动机运行过程中的随机扰动问题对于提高异步电动机系统的性能是非常有必要的。

同时，在传统的控制方法设计中，需要使用传感器直接测量异步电动机系统中的一些状态变量，如转子位置和转子角速度等。然而，传感器使用不仅会使异步电动机系统的成本增加，而且由于温度和磁场变化会对传感器的测量造成一定的影响，从而会影响对异步电动机的控制效果。观测器相关理论的提出解决了系统某些状态变量无法直接获得的问题，其中，降维观测器设计结构简单，易于实现，维数较低，所以受到广泛的关注。

在另一个前端研究领域，作为先进技术之一的自适应反步法已成功运用到了异步电动机系统中，但是它的使用却存在局限性，相关研究已经提出了模糊逻辑系统(FLS)或神经网络(NN)等近似理论，并成功解决了传统自适应反步法中存在的部分缺陷，但这些方法并没有解决“计算爆炸”的问题。通过近几年的研究，动态面控制(DSC)技术作为新型技术之一被用来解决计算过程中出现的“计算爆炸”，此外，模糊逻辑系统在处理未知非线性函数方面具有很好的效果，并广泛用于具有高度非线性和不确定性的复杂控制系统的设计中。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法，以解决在考虑随机扰动的情况下异步电动机系统位置跟踪控制的技术问题。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法，包括如下步骤：

a.建立异步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，

θ为转子角位置，ω为转子角速度，J为转动惯量，L_m为互感，T_L为负载转矩，

为转子磁链，n_p为极对数，L_s为定子漏感，L_r为转子漏感，i_d为d轴定子电流，i_q为q轴定子电流，R_s为定子等效电阻，R_r为转子等效电阻，u_d为d轴定子电压，u_q为q轴定子电压；为了简化计算过程，定义新的变量如下：

异步电动机的随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw；

其中，x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程；

f(·)：R^p→R^p和h(·)：R^p→R^p×r是在x上的局部Lipschitz函数且f(0)＝0和h(0)＝0；R^p、R^p×r表示实数向量集，p、r为实数向量集的维数；

考虑到随机因素的影响，将异步电动机随机系统模型表示如下：

其中，ψ₁、ψ₂、ψ₃、ψ₄、ψ₅均表示未知的光滑非线性函数；

b.根据动态面技术和自适应反步法原理，设计一种基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法，控制目标是设计真实控制律：u_d和u_q，使得异步电动机的位置信号x₁和磁链信号x₄分别跟踪期望的位置信号x_1d和期望的磁链信号x_4d；

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C²表示复数集，定义差分运算L，由伊藤微分法则得知：

其中，

表示伊藤修正项，Tr表示对角线元素之和；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1，Rⁿ为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量；s₁(Z),...,s_n(Z)分别表示S(Z)的基向量；

选取基函数s_m(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_m＝[μ_m1,...,μ_mn]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，η_m为Gaussian函数宽度；μ_m1,...,μ_mn分别表示μ_m的基向量；

b0.基于异步电动机随机系统模型，设计如下的降维观测器：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的常数

存在模糊逻辑系统

使得

表示逼近误差，并且满足

为x₁的估计值，

为x₂的估计值，

为基函数向量，

是模糊权向量；降维观测器能够表示为：

因此，降维观测器能够设计为：

其中，

是y的估计值，g₁和g₂为选取的正的观测器增益；

为

的估计值，

为

和

的差值，即

公式(5)简化为：

其中，

是观测器的增益矢量，

给定矩阵Q＝Q^T＞0，存在矩阵P^T＝P，使A^TP+PA＝-Q；

定义观测器误差

则系统观测器误差的微分形式为：

de＝(Ae+ε+β)dt+ψ^Tdw，其中，

取Lyapunov函数：

对V₀求导得：

LV₀＝e^TPe[e^T(A^TP+PA)e+2e^TPε+2e^TPβ]+2Tr[ψ^T(y)(2Pee^TP+e^TPeP)ψ(y)] (7)

其中，ψ(y)为已知的光滑函数；由杨氏不等式得：

定义

λ＝λ_min(P)λ_min(Q)，η₀是一个常数且η₀＞0；

λ_min(P)和λ_min(Q)分别为P和Q的最小特征值，因此得到：

定义一个新的状态变量α_jd和一个时间常数ζ_j，并且使虚拟控制律α_j经一阶低通滤波处理得：

α_jd(0)＝α_j(0)，j＝1,2,4；

其中，α_jd(0)表示α_jd的初始值，α_j(0)表示α_j的初始值；

虚拟控制律的具体结构将在下面的模糊自适应反步控制器设计过程中给出；

定义自适应律

||W_i||表示向量W_i的范数，

是

的估计值，

表示

和

的差值，

的结构将在下面的模糊自适应反步控制器设计过程中给出：

模糊自适应反步控制器设计的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制律或者真实控制律，模糊自适应反步控制器的设计包括以下步骤：

b1.定义误差变量z₁＝x₁-x_1d，选取Lyapunov函数

其中r₁为正数；

对V₁求导得：

由杨氏不等式得：

令

为所设计的常数；由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₁＞0，存在模糊逻辑系统W₁ ^TS₁(Z)使得f₁(Z)＝W₁ ^TS₁(Z)+δ₁，其中δ₁表示逼近误差，并且满足|δ₁|≤ε₁，从而由杨氏不等式得：

其中，h₁为正数，||W₁||为向量W₁的范数；将公式(11)和公式(12)代入公式(10)得：

选取虚拟控制律α₁和自适应律

为：

其中，m₁为正数，k₁为选取的正设计参数；根据公式(13)和公式(14)得：

b2.定义误差变量

的导数为

选取Lyapunov函数

其中λ₁、r₂均为正数；对V₂求导得：

由杨氏不等式得：

令

为所设计的常数；由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统W₂ ^TS₂(Z)使得f₂(Z)＝W₂ ^TS₂(Z)+δ₂，其中δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，从而由杨氏不等式得：

其中，h₂为正数，||W₂||为向量W₂的范数；将公式(17)和公式(18)代入公式(16)得：

选取虚拟控制律α₂和自适应律

为：

其中，m₀，m₂皆为正数，k₂为选取的正设计参数；根据公式(19)和公式(20)得：

b3.定义误差变量z₃＝x₃-α_2d，选取Lyapunov函数

其中r₃为正数；

对V₃求导得：

由杨氏不等式得：

令

为所设计的常数；由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)使得f₃(Z)＝W₃ ^TS₃(Z)+δ₃，其中δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，从而由杨氏不等式得：

其中，h₃为正数，||W₃||为向量W₃的范数；将公式(23)和公式(24)代入公式(22)得：

选取真实控制律u_q和自适应律

为：

其中，m₃为正数，k₃为选取的正设计参数；根据公式(25)和公式(26)得：

b4.定义误差变量z₄＝x₄-x_4d；选取Lyapunov函数

其中r₄为正数；

对V₄求导得：

由杨氏不等式得：

令

为所设计的常数；由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统W₄ ^TS₄(Z)使得f₄(Z)＝W₄ ^TS₄(Z)+δ₄，其中δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，从而由杨氏不等式得：

其中，h₄为正数，||W₄||为向量W₄的范数，将公式(29)和公式(30)代入公式(28)得：

选取虚拟控制律α₄和自适应律

为：

其中，m₄为正数，k₄为选取的正设计参数，根据公式(31)和公式(32)得：

b5.定义误差变量z₅＝x₅-α_4d；选取Lyapunov函数

其中r₅为正数；

对V₅求导得：

由杨氏不等式得：

令

为所设计的常数，由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₅＞0，存在模糊逻辑系统W₅ ^TS₅(Z)使得f₅(Z)＝W₅ ^TS₅(Z)+δ₅，其中δ₅表示逼近误差，并且满足|δ₅|≤ε₅，从而由杨氏不等式得：

其中，h₅为正数，||W₅||为向量W₅的范数，将公式(35)和公式(36)代入公式(34)得：

选取真实控制律u_d和自适应律

为：

其中，m₅为正数，k₅为选取的正设计参数，根据公式(37)和公式(38)得：

c.定义v₁＝α_1d-α₁，v₂＝α_2d-α₂，v₄＝α_4d-α₄；对v₁、v₂、v₄分别求导得：

其中，

选择异步电动机随机系统的Lyapunov函数

对V求导得：

其中|B_j|有一个最大值|B_jM|在紧集范围|Ω_j|上，j＝1,2,4，其中|B_j|≤|B_jM|，得到不等式：

其中，τ为常数且τ＞0；

由杨氏不等式得到：

进而得到：

其中，

对于异步电动机随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dw，如果有一个正定的、径向无界的，两次连续求导的Lyapunov函数V:Rⁿ→R和常数a₀＞0，b₀≥0，使得V的导数满足：

LV(x)≤-a₀V(x)+b₀ (43)

则该异步电动机随机系统在概率上是有界的；因此

和z_ik是随机有界的；其中，il＝1,2,3,4,5，ik＝1,2,3,4,5α₁、α₂、u_q、α₄、u_d也是有界的，进而所有信号都是有界的；

由公式(42)得到：

其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望；进一步得到

由以上分析得到，通过调整a₀和b₀使得系统跟踪误差在四阶矩意义下收敛于一个充分小的原点邻域内。

本发明具有如下优点：

(1)本发明充分考虑了异步电动机随机系统运行过程中随机干扰的问题，使设计的控制方法更符合实际工程的需要；此外，本发明通过使用动态面技术，有效地解决异步电动机随机系统在计算过程中的“计算爆炸”问题。

(2)本发明采用模糊逻辑系统逼近的方法来处理异步电动机驱动系统中的未知随机非线性函数，简化了模糊自适应反步控制器的结构,有效地解决了在参数不确定和有负载转矩扰动的情况下异步电动机的位置跟踪控制的问题。

(3)本发明采用降维观测器估计异步电动机的转子位置和转子角速度，用估计值来替代异步电动机的转子位置和转子角速度的实测值进行状态变量反馈，无需传感器测量异步电动机的转子角速度，提高了系统的机械鲁棒性，降低了系统成本。

(4)本发明控制方法能够较快地实现位置信号的跟踪且具有更强的鲁棒性。

附图说明

图1为本发明中异步电动机随机系统模糊自适应反步控制器、坐标变换、SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图。

图2为采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图。

图3为采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图。

图4为采用本发明控制方法后转子角度和观测器估计的转子角速度跟踪仿真图。

图5为采用本发明控制方法后转子角速度和观测器估计的转子角速度跟踪仿真图。

图6为采用本发明控制方法后异步电动机d轴定子电压仿真图。

图7为采用本发明控制方法后异步电动机q轴定子电压仿真图。

具体实施方式

本发明的基本思想为：利用模糊逻辑系统逼近异步电动机随机系统中未知的随机非线性函数，同时基于Lyapunov函数，运用反步法构造中间虚拟控制信号，逐步递推得到控制律，从而保证电压稳定在一个有界区域内，减小控制误差，提高控制精度。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

如图1所示，基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法，其采用的部件主要包括基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面模糊自适应反步控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3、转速检测单元4和电流检测单元5。

在图1中U、V、W表示三相电压，u_α和u_β为两相静止坐标系下的电压。转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测异步电动机的转速相关变量和电流值，通过实际测量的电流和转速变量作为模糊自适应反步控制器输入，通过基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应反步控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制异步电动机的转子角位置。

基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法，包括如下步骤：

a.建立异步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，

θ为转子角位置，ω为转子角速度，J为转动惯量，L_m为互感，T_L为负载转矩，

为转子磁链，n_p为极对数，L_s为定子漏感，L_r为转子漏感，i_d为d轴定子电流，i_q为q轴定子电流，R_s为定子等效电阻，R_r为转子等效电阻，u_d为d轴定子电压，u_q为q轴定子电压。为了简化计算过程，定义新的变量如下：

异步电动机的随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw；其中，x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程；f(·)：R^p→R^p和h(·)：R^p→R^p×r是在x上的局部Lipschitz函数且f(0)＝0和h(0)＝0；R^p、R^p×r表示实数向量集，p、r为实数向量集的维数。

考虑到随机因素的影响，将异步电动机随机系统模型表示如下：

其中，ψ₁、ψ₂、ψ₃、ψ₄、ψ₅均表示未知的光滑非线性函数。

b.根据动态面技术和自适应反步法原理，设计一种基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法，控制目标是设计真实控制律：u_d和u_q，使得异步电动机的位置信号x₁和磁链信号x₄分别跟踪期望的位置信号x_1d和期望的磁链信号x_4d。

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C²表示复数集，定义差分运算L，由伊藤微分法则得知：

其中，

表示伊藤修正项；Tr表示对角线元素之和。

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1，Rⁿ为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量；s₁(Z),...,s_n(Z)分别表示S(Z)的基向量。

选取基函数s_m(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_m＝[μ_m1,...,μ_mn]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，η_m为Gaussian函数宽度；μ_m1,...,μ_mn分别表示μ_m的基向量。

b0.基于异步电动机随机系统模型，设计如下的降维观测器：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的常数

存在模糊逻辑系统

使得

表示逼近误差，并且满足

分别为x₁，x₂的估计值，

为基函数向量，

是模糊权向量。降维观测器能够表示为：

因此，降维观测器能够设计为：

其中

是y的估计值，g₁和g₂为选取的正的观测器增益，

为

的估计值，

为

和

的差值，

公式(5)简化为：

其中，

是观测器的增益矢量；

给定矩阵Q＝Q^T＞0，存在矩阵P^T＝P，使A^TP+PA＝-Q。

定义观测器误差

则系统观测器误差的微分形式为：

de＝(Ae+ε+β)dt+ψ^Tdw，其中，

取Lyapunov函数：

对V₀求导得：

LV₀＝e^TPe[e^T(A^TP+PA)e+2e^TPε+2e^TPβ]+2Tr[ψ^T(y)(2Pee^TP+e^TPeP)ψ(y)] (7)

其中，ψ(y)为已知的光滑函数；由杨氏不等式得：

定义

λ＝λ_min(P)λ_min(Q)，η₀是一个常数且η₀＞0。

λ_min(P)和λ_min(Q)分别为P和Q的最小特征值，因此得到：

定义一个新的状态变量α_jd和一个时间常数ζ_j，并且使虚拟控制律α_j经一阶低通滤波处理得：

α_jd(0)＝α_j(0)，j＝1,2,4；其中，α_jd(0)表示α_jd的初始值，α_j(0)表示α_j的初始值，虚拟控制律的具体结构将在下面的模糊自适应反步控制器设计过程中给出。

定义自适应律

||W_i||表示向量W_i的范数，

是

的估计值，

表示自适应律

和它的估计值

的差值，

的结构将在下面的模糊自适应反步控制器设计过程中给出：

模糊自适应反步控制器设计的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制律或者真实控制律，模糊自适应反步控制器的设计包括以下步骤：

b1.定义误差变量z₁＝x₁-x_1d，选取Lyapunov函数

其中r₁为正数；

对V₁求导得：

由杨氏不等式得：

令

为所设计的常数。由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₁＞0，存在模糊逻辑系统W₁ ^TS₁(Z)使得f₁(Z)＝W₁ ^TS₁(Z)+δ₁。其中δ₁表示逼近误差，并且满足|δ₁|≤ε₁，从而由杨氏不等式得：

其中，h₁为正数，||W₁||为向量W₁的范数。将公式(11)和公式(12)代入公式(10)得：

选取虚拟控制律α₁和自适应律

为：

其中，m₁为正数，k₁为选取的正设计参数。根据公式(13)和公式(14)得：

b2.定义误差变量

的导数为

选取Lyapunov函数

其中λ₁、r₂均为正数；对V₂求导得：

由杨氏不等式得：

令

为所设计的常数；由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统W₂ ^TS₂(Z)使得f₂(Z)＝W₂ ^TS₂(Z)+δ₂。其中δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，从而由杨氏不等式得：

其中，h₂为正数，||W₂||为向量W₂的范数。将公式(17)和公式(18)代入公式(16)得：

选取虚拟控制律α₂和自适应律

为：

其中，m₀，m₂皆为正数，k₂为选取的正设计参数。根据公式(19)和公式(20)得：

b3.定义误差变量z₃＝x₃-α_2d，选取Lyapunov函数

其中r₃为正数；

对V₃求导得：

由杨氏不等式得：

令

为所设计的常数；由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)使得f₃(Z)＝W₃ ^TS₃(Z)+δ₃。其中δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，从而由杨氏不等式得：

其中，h₃为正数，||W₃||为向量W₃的范数。将公式(23)和公式(24)代入公式(22)得：

选取真实控制律u_q和自适应律

为：

其中，m₃为正数，k₃为选取的正设计参数。根据公式(25)和公式(26)得：

b4.定义误差变量z₄＝x₄-x_4d；选取Lyapunov函数

其中r₄为正数。

对V₄求导得：

由杨氏不等式得：

令

为所设计的常数；由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统W₄ ^TS₄(Z)使得f₄(Z)＝W₄ ^TS₄(Z)+δ₄。其中δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，从而由杨氏不等式得：

其中，h₄为正数，||W₄||为向量W₄的范数。将公式(29)和公式(30)代入公式(28)得：

选取虚拟控制律α₄和自适应律

为：

其中，m₄为正数，k₄为选取的正设计参数。根据公式(31)和公式(32)得：

b5.定义误差变量z₅＝x₅-α_4d；选取Lyapunov函数

其中r₅为正数；

对V₅求导得：

由杨氏不等式得：

令

为所设计的常数，由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₅＞0，存在模糊逻辑系统W₅ ^TS₅(Z)使得f₅(Z)＝W₅ ^TS₅(Z)+δ₅。其中δ₅表示逼近误差，并且满足|δ₅|≤ε₅，从而由杨氏不等式得：

其中，h₅为正数，||W₅||为向量W₅的范数。将公式(35)和公式(36)代入公式(34)得：

选取真实控制律u_d和自适应律

为：

其中，m₅为正数，k₅为选取的正设计参数。根据公式(37)和公式(38)得：

c.定义v₁＝α_1d-α₁，v₂＝α_2d-α₂，v₄＝α_4d-α₄；对v₁、v₂、v₄分别求导得：

其中，

选择异步电动机随机系统的Lyapunov函数

对V求导得：

其中|B_j|有一个最大值|B_jM|在紧集范围|Ω_j|上，j＝1,2,4，其中|B_j|≤|B_jM|，得到不等式：

其中，τ为常数且τ＞0。

由杨氏不等式可得：

进而得到：

其中，

对于异步电动机随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dw，如果有一个正定的、径向无界的，两次连续求导的Lyapunov函数V:Rⁿ→R和常数a₀＞0，b₀≥0，使得V的导数满足：

LV(x)≤-a₀V(x)+b₀ (43)

则该异步电动机随机系统在概率上是有界的；因此

和z_ik是随机有界的。其中，il＝1,2,3,4,5，ik＝1,2,3,4,5 α₁、α₂、u_q、α₄、u_d也是有界的，进而所有信号都是有界的。

由公式(42)得到：

其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望；进一步得到

由以上分析得到，通过调整a₀和b₀使得系统跟踪误差在四阶矩意义下收敛于一个充分小的原点邻域内。

下面在虚拟环境下对所提出的基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法进行仿真，验证本发明所提出的控制方法的可行性：

电动机参数为：

R_s＝0.1Ω，J＝0.0586kg·m²，R_r＝0.15Ω，L_s＝L_r＝0.0699H，L_m＝0.068H。

选取的模糊集为：

和

其中，l为整数且l∈[-5,5]。

选取模糊自适应反步控制器参数：

k₁＝5，k₂＝20，k₃＝8000，k₄＝700，k₅＝1000；r₁＝r₂＝r₃＝r₄＝r₅＝0.02，λ₁＝0.02；

m₀＝m₁＝m₂＝m₃＝m₄＝m₅＝0.05，h₁＝h₂＝h₃＝h₄＝h₅＝2；

ζ₁＝0.022，ζ₂＝0.0006，ζ₄＝0.0001。

负载转矩为

期望的位置信号为：x_1d＝0.5sin(t)+0.3sin(0.5t)，期望的磁链信号为：x_4d＝1。

选择观测器增益矢量G＝[250,30000]^T，使得矩阵A是一个Hurwitz矩阵。假设正定矩阵

由A^TP+PA＝-Q可得正定对称矩阵

基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法的仿真结果如图2-7所示，其中：转子角度和转子角度设定值跟踪如图2所示，转子角度和转子角度设定值跟踪误差如图3所示。由图2和图3可知，系统的输出很好的跟踪期望信号。转子角度和观测器估计的转子角速度跟踪如图4所示，转子角速度和观测器估计的转子角速度跟踪如图5所示，由图4和图5可知，设计的降维观测器很好地实现对观测信号的估计；d轴定子电压和q轴定子电压如图6和图7所示，由图6和图7可知，模糊自适应反步控制器的真实控制律u_d和u_q都稳定在一个有界区域内；由仿真结果可知，当负载转矩突变时，仍能保持良好的跟踪效果，且控制电压相对稳定，具有较好的抗干扰能力。以上模拟信号清楚地表明，本发明方法能够高效地跟踪参考信号。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法，其特征在于，

包括如下步骤：

a.建立异步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，

θ为转子角位置，ω为转子角速度，J为转动惯量，L_m为互感，T_L为负载转矩，

为转子磁链，n_p为极对数，L_s为定子漏感，L_r为转子漏感，i_d为d轴定子电流，i_q为q轴定子电流，R_s为定子等效电阻，R_r为转子等效电阻，u_d为d轴定子电压，u_q为q轴定子电压；为了简化计算过程，定义新的变量如下：

异步电动机的随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw；

其中，x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程；

f(·)：R^p→R^p和h(·)：R^p→R^p×r是在x上的局部Lipschitz函数且f(0)＝0和h(0)＝0；R^p、R^p×r表示实数向量集，p、r为实数向量集的维数；

考虑到随机因素的影响，将异步电动机随机系统模型表示如下：

其中，ψ₁、ψ₂、ψ₃、ψ₄、ψ₅均表示未知的光滑非线性函数；

b.根据动态面技术和自适应反步法原理，设计一种基于降维观测器的异步电动机随机系统模糊自适应动态面控制方法，控制目标是设计真实控制律：u_d和u_q，使得异步电动机的位置信号x₁和磁链信号x₄分别跟踪期望的位置信号x_1d和期望的磁链信号x_4d；

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C²表示复数集，定义差分运算L，由伊藤微分法则得知：

其中，

表示伊藤修正项，Tr表示对角线元素之和；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1，Rⁿ为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量；s₁(Z),...,s_n(Z)分别表示S(Z)的基向量；

选取基函数s_m(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_m＝[μ_m1,...,μ_mn]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，η_m为Gaussian函数宽度；μ_m1,...,μ_mn分别表示μ_m的基向量；

b0.基于异步电动机随机系统模型，设计如下的降维观测器：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的常数

存在模糊逻辑系统

使得

表示逼近误差，并且满足

为x₁的估计值，

为x₂的估计值，

为基函数向量，

是模糊权向量；降维观测器能够表示为：

因此，降维观测器能够设计为：

其中，

是y的估计值，g₁和g₂为选取的正的观测器增益；

为

的估计值，

为

和

的差值，即

公式(5)简化为：

其中，

是观测器的增益矢量，

给定矩阵Q＝Q^T＞0，存在矩阵P^T＝P，使A^TP+PA＝-Q；

定义观测器误差

则系统观测器误差的微分形式为：

de＝(Ae+ε+β)dt+ψ^Tdw，其中，

取Lyapunov函数：

对V₀求导得：

LV₀＝e^TPe[e^T(A^TP+PA)e+2e^TPε+2e^TPβ]+2Tr[ψ^T(y)(2Pee^TP+e^TPeP)ψ(y)] (7)

其中，ψ(y)为已知的光滑函数；由杨氏不等式得：

定义

λ＝λ_min(P)λ_min(Q)，η₀是一个常数且η₀＞0；

λ_min(P)和λ_min(Q)分别为P和Q的最小特征值，因此得到：

定义一个新的状态变量α_jd和一个时间常数ζ_j，并且使虚拟控制律α_j经一阶低通滤波处理得：

α_jd(0)＝α_j(0)，j＝1,2,4；

其中，α_jd(0)表示α_jd的初始值，α_j(0)表示α_j的初始值；

虚拟控制律的具体结构将在下面的模糊自适应反步控制器设计过程中给出；

定义自适应律

||W_i||表示向量W_i的范数，

是

的估计值，

表示

和

的差值，

i＝1,2,3,4,5；

的结构将在下面的模糊自适应反步控制器设计过程中给出：

模糊自适应反步控制器设计的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制律或者真实控制律，模糊自适应反步控制器的设计包括以下步骤：

b1.定义误差变量z₁＝x₁-x_1d，选取Lyapunov函数

其中r₁为正数；

对V₁求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₁＞0为所设计的常数；由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₁＞0，存在模糊逻辑系统W₁ ^TS₁(Z)使得f₁(Z)＝W₁ ^TS₁(Z)+δ₁，其中δ₁表示逼近误差，并且满足|δ₁|≤ε₁，从而由杨氏不等式得：

其中，h₁为正数，||W₁||为向量W₁的范数；将公式(11)和公式(12)代入公式(10)得：

选取虚拟控制律α₁和自适应律

为：

其中，m₁为正数，k₁为选取的正设计参数；根据公式(13)和公式(14)得：

b2.定义误差变量

的导数为

选取Lyapunov函数

其中λ₁、r₂均为正数；对V₂求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₂＞0为所设计的常数；由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，从而由杨氏不等式得：

其中，h₂为正数，||W₂||为向量W₂的范数；将公式(17)和公式(18)代入公式(16)得：

选取虚拟控制律α₂和自适应律

为：

其中，m₀，m₂皆为正数，k₂为选取的正设计参数；根据公式(19)和公式(20)得：

b3.定义误差变量z₃＝x₃-α_2d，选取Lyapunov函数

其中r₃为正数；

对V₃求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₃＞0为所设计的常数；由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，从而由杨氏不等式得：

其中，h₃为正数，||W₃||为向量W₃的范数；将公式(23)和公式(24)代入公式(22)得：

选取真实控制律u_q和自适应律

为：

其中，m₃为正数，k₃为选取的正设计参数；根据公式(25)和公式(26)得：

b4.定义误差变量z₄＝x₄-x_4d；选取Lyapunov函数

其中r₄为正数；

对V₄求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₄＞0为所设计的常数；由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，从而由杨氏不等式得：

其中，h₄为正数，||W₄||为向量W₄的范数，将公式(29)和公式(30)代入公式(28)得：

选取虚拟控制律α₄和自适应律

为：

其中，m₄为正数，k₄为选取的正设计参数，根据公式(31)和公式(32)得：

b5.定义误差变量z₅＝x₅-α_4d；选取Lyapunov函数

其中r₅为正数；

对V₅求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₅＞0为所设计的常数，由万能逼近定理，对于任意小的常数ε₅＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₅表示逼近误差，并且满足|δ₅|≤ε₅，从而由杨氏不等式得：

其中，h₅为正数，||W₅||为向量W₅的范数，将公式(35)和公式(36)代入公式(34)得：

选取真实控制律u_d和自适应律

为：

其中，m₅为正数，k₅为选取的正设计参数，根据公式(37)和公式(38)得：

c.定义v₁＝α_1d-α₁，v₂＝α_2d-α₂，v₄＝α_4d-α₄；对v₁、v₂、v₄分别求导得：

其中，

选择异步电动机随机系统的Lyapunov函数

对V求导得：

其中|B_j|有一个最大值|B_jM|在紧集范围|Ω_j|上，j＝1,2,4，其中|B_j|≤|B_jM|，得到不等式：

其中，τ为常数且τ＞0；

由杨氏不等式得到：

进而得到：

其中，

im＝1,2,3,4,5；

对于异步电动机随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dw，如果有一个正定的、径向无界的，两次连续求导的Lyapunov函数V:Rⁿ→R和常数a₀＞0，b₀≥0，使得V的导数满足：

LV(x)≤-a₀V(x)+b₀ (43)

则该异步电动机随机系统在概率上是有界的；因此

和z_ik是随机有界的；其中，il＝1,2,3,4,5，ik＝1,2,3,4,5α₁、α₂、u_q、α₄、u_d也是有界的，进而所有信号都是有界的；

由公式(42)得到：

其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望；进一步得到

由以上分析得到，通过调整a₀和b₀使得系统跟踪误差在四阶矩意义下收敛于一个充分小的原点邻域内。

Images