CN106788053A - 基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法。该方法针对电动汽车电机驱动和控制系统中存在的非线性以及铁损的问题，在传统的反步设计方法中引入命令滤波技术，通过引入补偿机制，减小了滤波产生的误差，提高了控制精度，并成功地克服了在传统反步控制中由于连续求导所引起的“计算爆炸”问题；本发明通过降维观测器来估算永磁同步电机的转子角速度，同时利用模糊逻辑系统逼近电机驱动系统中的非线性函数，将命令滤波反步技术与自适应方法结合起来构造控制器；本发明方法能够使电机运行能快速达到稳定状态，更适合像电动汽车驱动系统这样需要快速动态响应的控制对象。

Description

基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法

技术领域

本发明属于电动汽车电机调速控制技术领域，尤其涉及一种基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法。

背景技术

国际金融危机以来，美、欧、日、韩等发达国家都在推动汽车产业的转型发展。电动汽车(EV)是21世纪清洁、高效和可持续的交通工具，因而在全球范围内形成了发展新能源汽车的新一轮热潮。在所有技术创新中，电机驱动具有极其重要的地位，因为未来的驱动方式必须具有低能耗、高环保、可持续性强等特点。

电动汽车包括电机驱动及控制系统、驱动力传动等机械系统和完成既定任务的工作装置等。电机驱动及控制系统是电动汽车的核心，也是区别于内燃机汽车的最大不同点。电动汽车是汽车工业的一个重要分支，电动汽车的发展对于能源安全以及环境保护有着重大的意义。近年来，对于电动汽车的关注日益增高，与此同时，对高效、可靠、经济的电机驱动技术的需求也日益紧迫。因此，电动汽车动力系统的研究受到了国内外学者的广泛关注。

由于考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型受电机参数变化、负载扰动、对象未建模和非线性动态等不确定性因素影响的特点，因此对于电动汽车上永磁同步电机需要一套更复杂的控制方法。实际应用中，为满足对电动汽车上永磁同步电机的更高控制要求，提出了模糊逻辑控制、反步法控制和滑模控制等基于最近现代控制理论的控制策略。所有的这些方法都假定可以得到动态系统方程。反步法是一种控制具有不确定性、非线性的系统，尤其是那些不满足给定条件的系统的方法。反步法最大的优点是可以用虚拟控制变量简化原始的高阶系统，从而最终的输出结果可以通过合适的Lyapunov方程来自动的得到。

然而，传统反步控制中对虚拟控制函数进行连续求导，容易引起“计算爆炸”问题。此外，经典控制需要使用传感器直接测量系统的状态变量信息，但传感器的应用仍然存在许多问题，如成本高、可靠性低、以及由于振动造成的性能下降问题。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法，该方法通过降维观测器估算考虑铁损的永磁同步电机的转子角速度，通过命令滤波技术克服“计算爆炸”问题，同时通过引入误差补偿机制来减小命令滤波产生的误差，利用模糊逻辑系统逼近考虑铁损的永磁同步电机驱动系统中未知的非线性函数，并与自适应反步法结合起来构造控制器，从而实现对永磁同步电机位置的高效跟踪控制。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法，包括如下步骤：

a建立考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型：

定义Θ表示电机角位置，ω表示电机角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩；i_d和i_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压；i_od和i_oq表示d-q轴励磁电流分量；L_d和L_q表示d-q轴电感；L_ld和L_lq表示d-q轴漏感；L_md和L_mq表示d-q轴励磁电感；R₁和R_c表示定子电阻和铁心损耗电阻；λ_PM是转子永磁体的励磁磁通；

为简化考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型，定义新的变量：

则考虑铁损的永磁同步电机的动态模型表示为：

b根据命令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂，x₃和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄，x₅,x₆和控制输入u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：式中，输入向量q是模糊输入维数，R^q为实数向量集，W＝[W₁,...,W_l]^T∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集，S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，通常选取基函数s_i(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

定义命令滤波器为：

其中，均为命令滤波器的输出信号，α_u为命令滤波器的输入信号，u＝1,2,3,5；如果输入信号α_u对于所有的t≥0，使得以及成立，其中，ρ₁和ρ₂均为正常数；同时则可得出，对任意的常数μ＞0，存在ω_n＞0且ζ∈(0,1]，使得 和是有界的；

定义跟踪误差变量为

定义x_d为期望的速度信号；虚拟控制信号α₁,α₂,α₃,α₅为命令滤波器的输入信号；x₁,_c,x_2,c,x_3,c,x_5,c为命令滤波器的输出；k_n为正的设计参数，n＝1,2,...6；

控制方法中每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律；控制方法具体包括以下步骤：

b.0降维观测器的设计

根据微分方程得其中， 定义S₂(Z)＝φ₂(Z)，则由万能逼近定理可知，对于光滑函数f₂(Z)，给定ε₂≥0，存在模糊逻辑系统θ₂ ^*Tφ₂(Z)，使得f₂(Z)＝θ₂ ^*Tφ₂(Z)+δ₂(Z)，其中，δ₂(Z)表示逼近误差，并满足不等式|δ₂(Z)|≤ε₂，则

所以，降维观测器设计为：

将降维观测器简化为：

其中，x＝[x₁,x₂]^T，为x的估计值，B＝[0,1]^T， 是的估计值，G＝[g₁,g₂]^T是降维观测器的增益矢量，C＝[1,0]^T，是系统输出y的估计值；定义为观测器误差，则系统观测器的误差表达式为:其中，ε＝[0,ε₂]^T，

假设存在矩阵Q^T＝Q＞0，则存在正定矩阵P^T＝P＞0，使得A^TP+PA＝-Q；选取Lyapunov函数V₀＝e^TPe，对V₀求导，得到由杨氏不等式得，将其代入上式，可得：

b.1根据微分方程对z₁求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₁＝z₁-ξ₁；选择Lyapunov函数：对V₁求导得：

利用杨氏不等式，有

构建虚拟控制信号α₁：

定义补偿误差

其中，ξ(0)＝0，||ξ_n||是有界的，有常数μ＞0，n＝1,2,...6；

按照公式(6)、公式(7)和公式(8)，将公式(5)改写为：

b.2根据微分方程对z₂求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₂＝z₂-ξ₂；

选择Lyapunov函数：常数r₁＞0，对V₂求导得：

利用杨氏不等式，有：

选取自适应律

其中，常数m₁＞0；

构建虚拟控制信号α₂：

定义补偿信号

根据杨氏不等式，同时按照公式(11)、(12)和(13)将公式(10)改写为：

b.3根据微分方程对z₃求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₃＝z₃-ξ₃；

选择Lyapunov函数：对V₃求导可得：

其中，f₃(Z)＝-b₁x₃+b₂x₂x₅+b₃x₂，根据万能逼近定理可知，对于光滑函数f₃(Z)，给定ε₃≥0，存在模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)，使得f₃(Z)＝W₃ ^TS₃(Z)+δ₃(Z)，其中，δ₃(Z)表示逼近误差，并满足|δ₃(Z)|≤ε₃；从而有：

其中，||W₃||为向量W₃的范数，常数l₃＞0；

构建虚拟控制信号α₃：

定义补偿误差

按照公式(16)、(17)和(18)将公式(15)改写为：

b.4根据微分方程对z₄求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₄＝z₄-ξ₄；

选择Lyapunov函数：对V₄求导可得：

其中，f₄(Z)＝b₄x₄+b₅x₃，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₄(Z)，给定ε₄≥0，存在模糊逻辑系统W₄ ^TS₄(Z)，使得f₄(Z)＝W₄ ^TS₄(Z)+δ₄(Z)，其中，δ₄(Z)表示逼近误差，并满足|δ₄(Z)|≤ε₄；从而有：

其中，||W₄||为向量W₄的范数，常数l₄＞0；

构建真实控制率u_q：

定义补偿误差

按照公式(21)、(22)和(23)，将公式(20)改写为：

b.5根据微分方程对z₅求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₅＝z₅-ξ₅；

选择Lyapunov函数：对V₅求导可得：

其中，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₅(Z)，给定ε₅≥0，存在模糊逻辑系统W₅ ^TS₅(Z)，使得f₅(Z)＝W₅ ^TS₅(Z)+δ₅(Z)，其中，δ₅(Z)表示逼近误差，并满足|δ₅(Z)|≤ε₅；从而有：

其中，||W₅||为向量W₅的范数，常数l₅＞0；

构建虚拟控制信号α₅：

定义补偿误差

按照公式(26)、(27)和(28)，将公式(25)改写为：

b.6根据微分方程对z₆求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₆＝z₆-ξ₆；

选择Lyapunov函数：对V₆求导可得：

其中，f₆＝b₄x₆+b₅x₅，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₆(Z)，给定ε₆≥0，存在模糊逻辑系统W₆ ^TS₆(Z)，使得f₆(Z)＝W₆ ^TS₆(Z)+δ₆(Z)，其中，δ₆(Z)表示逼近误差，并满足|δ₆(Z)|≤ε₆；从而有：

其中，||W₆||为向量W₆的范数，常数l₆＞0；

构建真实控制律u_d：

定义补偿误差

按照公式(31)、公式(32)和公式(33)，将公式(30)改写为：

c对建立的基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法进行稳定性分析

定义W＝max{||W₃||²,||W₄||²,||W₅||²,||W₆||²}， 为W的估计值，构建Lyapunov函数为：对V求导可得：

其中，常数r＞0；选择相应的自适应律

其中，常数m＞0；

按照公式(36)，将公式(35)改写为：

同样，再由杨氏不等式可得：

按照公式(38)，将公式(37)改写为：

其中，

其中，λ_min(Q)为Q的最小特征值，λ_max(P)为P的最大特征值；

因此可得：

其中，t₀为t的初值；

因此v_n和是有界的，因为W是常数，所以是有界的，又因为z_n＝v_n+ξ_n，||ξ_n||是有界的，因此z_n也是有界的，n＝1,2,...,6；因此x(t)和其他所有控制信号在任何时间段内都是有界的；由公式(40)可得：引入误差补偿机制的命令滤波技术，通过自适应模糊控制方法所设计的控制器能保证速度的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，实现对永磁同步电机的位置高效跟踪控制。

本发明具有如下优点：

(1)本发明方法将命令滤波技术和模糊自适应方法相结合，有效地解决了在参数不确定和有负载转矩扰动的情况下考虑铁损的永磁同步电机的位置跟踪控制的问题。

(2)本发明方法采用降维观测器估算考虑铁损的永磁同步电机的转子角速度；通过引入误差补偿机制，抑制了命令滤波产生的误差，且提高了控制精度；同时采用命令滤波技术，有效地避免了在传统反步法中对虚拟函数的连续求导，从而克服了传统反步设计的“计算爆炸”问题；使用模糊逻辑系统来逼近电机系统中未知的非线性项，同时应用自适应模糊反步法技术使跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，有效地解决了考虑铁损的永磁同步电机的非线性控制问题，最终可以达到更加准确的控制精度。

(3)本发明方法不需要根据异步电机的不同而修改控制器的参数，原理上可以实现对所有型号和功率的考虑铁损的永磁同步电机的稳定调速控制，在控制过程中减少对异步电机参数的测量，利于实现考虑铁损的永磁同步电机转速调节的快速响应。

(4)本发明方法鲁棒性好，具有较强的抗负载扰动能力，实现了理想的控制效果。

附图说明

图1为本发明中由基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器、坐标变换和SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图；

图2为本发明中基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器控制后转子角位置和转子角位置设定值的跟踪仿真图；

图3为本发明中基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器控制后转子角位置和转子角位置观测值的跟踪仿真图；

图4为本发明中基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器控制后转子角速度和转子角速度观测值的跟踪仿真图；

图5为本发明中基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器控制后转子角位置和转子角位置设定值的跟踪误差仿真图；

图6为本发明中基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器控制转子角速度和转子角速度观测值的跟踪误差仿真图；

图7为本发明中基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器控制后q轴定子电压仿真图；

图8为本发明中基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器控制后d轴定子电压仿真图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

本发明的基本思想为：采用降维观测器估算永磁同步电机转子角速度，同时利用模糊逻辑系统逼近系统中的高度非线性函数，并结合自适应和反步技术构造控制器，将命令滤波技术引入到递推过程Lyapunov函数的选取和中间虚拟控制信号的构造中，递推得到控制律，同时设计相应的自适应律来调节未知参数；引入命令滤波技术，在不进行微分运算的情况下，可以产生命令信号的导数信号，减小了计算量，解决了传统反步法对虚拟控制函数进行连续求导引起的“计算爆炸”问题，通过引入误差补偿机制，极大的减小了命令滤波产生的误差；命令滤波技术的引入极大简化了设计过程，另外，为控制器中固定参数的选取开辟了一种新的思路，大大提高了设计效率，改善了系统稳态性能。

结合图1所示，基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法，其采用的部件主要包括基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3和转速检测单元4与电流检测单元5。

转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测异步电机的电流值和转速相关变量，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，通过基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制异步电机的转速。为了设计一个更加有效的控制器，建立考虑铁损的永磁同步电机动态模型是十分必要的。

本发明提出的基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法，包括步骤：

a在同步旋转坐标d-q下考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型如下：

定义Θ表示电机角位置，ω表示电机角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩；i_d和i_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压；i_od和i_oq表示d-q轴励磁电流分量；L_d和L_q表示d-q轴电感；L_ld和L_lq表示d-q轴漏感；L_md和L_mq表示d-q轴励磁电感；R₁和R_c表示定子电阻和铁心损耗电阻；λ_PM是转子永磁体的励磁磁通；

为简化考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型，定义新的变量：

则考虑铁损的永磁同步电机的动态模型表示为：

b根据命令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂，x₃和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄，x₅,x₆和控制输入u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：式中，输入向量q是模糊输入维数，R^q为实数向量集，W＝[W₁,...,W_l]^T∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集，S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，通常选取基函数s_i(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

定义命令滤波器为：

其中，均为命令滤波器的输出信号，α_u为命令滤波器的输入信号，u＝1,2,3,5；如果输入信号α_u对于所有的t≥0，使得以及成立，其中，ρ₁和ρ₂均为正常数；同时则可得出，对任意的常数μ＞0，存在ω_n＞0且ζ∈(0,1]，使得 和是有界的；

定义跟踪误差变量为

定义x_d为期望的速度信号；虚拟控制信号α₁,α₂,α₃,α₅为命令滤波器的输入信号；x₁,_c,x_2,c,x_3,c,x_5,c为命令滤波器的输出；k_n为正的设计参数，n＝1,2,...6；

控制方法中每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律；控制方法具体包括以下步骤：

b.0降维观测器的设计

根据微分方程得其中， 定义S₂(Z)＝φ₂(Z)，则由万能逼近定理可知，对于光滑函数f₂(Z)，给定ε₂≥0，存在模糊逻辑系统θ₂ ^*Tφ₂(Z)，使得f₂(Z)＝θ₂ ^*Tφ₂(Z)+δ₂(Z)，其中，δ₂(Z)表示逼近误差，并满足不等式|δ₂(Z)|≤ε₂，则

所以，降维观测器设计为：

将降维观测器简化为：

其中，x＝[x₁,x₂]^T，为x的估计值，B＝[0,1]^T， 是的估计值，G＝[g₁,g₂]^T是降维观测器的增益矢量，C＝[1,0]^T，是系统输出y的估计值；定义为观测器误差，则系统观测器的误差表达式为:其中，ε＝[0,ε₂]^T，

假设存在矩阵Q^T＝Q＞0，则存在正定矩阵P^T＝P＞0，使得A^TP+PA＝-Q；选取Lyapunov函数V₀＝e^TPe，对V₀求导，得到由杨氏不等式得，将其代入上式，可得：

b.1根据微分方程对z₁求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₁＝z₁-ξ₁；选择Lyapunov函数：对V₁求导得：

利用杨氏不等式，有

构建虚拟控制信号α₁：

定义补偿误差

其中，ξ(0)＝0，||ξ_n||是有界的，有常数μ＞0，n＝1,2,...6；

按照公式(6)、公式(7)和公式(8)，将公式(5)改写为：

b.2根据微分方程对z₂求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₂＝z₂-ξ₂；

选择Lyapunov函数：常数r₁＞0，对V₂求导得：

利用杨氏不等式，有：

选取自适应律

其中，常数m₁＞0；

构建虚拟控制信号α₂：

定义补偿信号

根据杨氏不等式，同时按照公式(11)、(12)和(13)将公式(10)改写为：

b.3根据微分方程对z₃求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₃＝z₃-ξ₃；

选择Lyapunov函数：对V₃求导可得：

其中，f₃(Z)＝-b₁x₃+b₂x₂x₅+b₃x₂，根据万能逼近定理可知，对于光滑函数f₃(Z)，给定ε₃≥0，存在模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)，使得f₃(Z)＝W₃ ^TS₃(Z)+δ₃(Z)，其中，δ₃(Z)表示逼近误差，并满足|δ₃(Z)|≤ε₃；从而有：

其中，||W₃||为向量W₃的范数，常数l₃＞0；

构建虚拟控制信号α₃：

定义补偿误差

按照公式(16)、(17)和(18)将公式(15)改写为：

b.4根据微分方程对z₄求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₄＝z₄-ξ₄；

选择Lyapunov函数：对V₄求导可得：

其中，f₄(Z)＝b₄x₄+b₅x₃，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₄(Z)，给定ε₄≥0，存在模糊逻辑系统W₄ ^TS₄(Z)，使得f₄(Z)＝W₄ ^TS₄(Z)+δ₄(Z)，其中，δ₄(Z)表示逼近误差，并满足|δ₄(Z)|≤ε₄；从而有：

其中，||W₄||为向量W₄的范数，常数l₄＞0；

构建真实控制率u_q：

定义补偿误差

按照公式(21)、(22)和(23)，将公式(20)改写为：

b.5根据微分方程对z₅求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₅＝z₅-ξ₅；

选择Lyapunov函数：对V₅求导可得：

其中，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₅(Z)，给定ε₅≥0，存在模糊逻辑系统W₅ ^TS₅(Z)，使得f₅(Z)＝W₅ ^TS₅(Z)+δ₅(Z)，其中，δ₅(Z)表示逼近误差，并满足|δ₅(Z)|≤ε₅；从而有：

其中，||W₅||为向量W₅的范数，常数l₅＞0；

构建虚拟控制信号α₅：

定义补偿误差

按照公式(26)、(27)和(28)，将公式(25)改写为：

b.6根据微分方程对z₆求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₆＝z₆-ξ₆；

选择Lyapunov函数：对V₆求导可得：

其中，f₆＝b₄x₆+b₅x₅，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₆(Z)，给定ε₆≥0，存在模糊逻辑系统W₆ ^TS₆(Z)，使得f₆(Z)＝W₆ ^TS₆(Z)+δ₆(Z)，其中，δ₆(Z)表示逼近误差，并满足|δ₆(Z)|≤ε₆；从而有：

其中，||W₆||为向量W₆的范数，常数l₆＞0；

构建真实控制律u_d：

定义补偿误差

按照公式(31)、公式(32)和公式(33)，将公式(30)改写为：

c对建立的基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法进行稳定性分析

定义W＝max{||W₃||²,||W₄||²,||W₅||²,||W₆||²}， 为W的估计值，构建Lyapunov函数为：对V求导可得：

其中，常数r＞0；选择相应的自适应律

其中，常数m＞0；

按照公式(36)，将公式(35)改写为：

同样，再由杨氏不等式可得：

按照公式(38)，将公式(37)改写为：

其中，

其中，λ_min(Q)为Q的最小特征值，λ_max(P)为P的最大特征值；

因此可得：

其中，t₀为t的初值；

因此v_n和是有界的，因为W是常数，所以是有界的，又因为z_n＝v_n+ξ_n，||ξ_n||是有界的，因此z_n也是有界的，n＝1,2,...,6；因此x(t)和其他所有控制信号在任何时间段内都是有界的；由公式(40)可得：引入误差补偿机制的命令滤波技术，通过自适应模糊控制方法所设计的控制器能保证速度的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，实现对永磁同步电机的位置高效跟踪控制。由以上分析得到在控制律u_q,u_d的作用下，系统的跟踪误差收敛到原点的一个充分下的邻域内，并保证其他信号有界。

在虚拟环境下对所建立的基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器进行仿真，验证所提出的基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法的可行性：

电机及负载参数为：

J＝0.00379Kgm²，R₁＝2.21Ω，R_c＝200Ω，L_d＝L_q＝0.00977H,

L_ld＝L_lq＝0.00177H，L_md＝L_mq＝0.008H，λ_PM＝0.0844,n_p＝3。

选择控制律参数为：

k₁＝148，k₂＝210，k₃＝56，k₄＝200，k₅＝60，k₆＝60，r₁＝r＝5,

m₁＝m＝50,l₃＝l₄＝l₅＝l₆＝125,ω_n＝38000,ζ＝0.9,g₁＝1000,g₂＝8000。

跟踪参考信号为：x_d＝sin(2t)+2sin(0.5t)；负载转矩为：

选择模糊隶属度函数为：

仿真是在系统参数和非线性函数未知的前提下进行的，相应的仿真结果如附图所示。图2是基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器控制后转子角位置和转子角位置设定值的跟踪仿真图，通过仿真结果表明效果理想，跟踪效果理想，响应速度快；图3和图4分别为基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器控制后转子角位置和转子角位置观测值以及转子角速度和转子角速度观测值的跟踪仿真图；图5和图6分别为基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器控制后转子角位置和转子角位置设定值的跟踪误差以及转子角速度和转子角速度观测值的跟踪误差仿真图；图7和图8分别为基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制器控制的永磁同步电机q轴定子以及永磁同步电机d轴定子电压仿真图，通过仿真结果表明效果理想、波动小、响应速度快。

模拟信号清楚地表明，本发明提出的基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法，可以高效地跟踪参考信号，这是更实际的实施。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a建立考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\mathrm{\Θ}}{dt}=\mathrm{\ω}\\ \frac{d\mathrm{\ω}}{dt}=\frac{n_p{\mathrm{\λ}}_{PM}}{J}{i}_{oq}-\frac{T_L}{J}\\ \frac{{\mathrm{di}}_{oq}}{dt}=\frac{R_c}{L_{mq}}{i}_q-\frac{R_c}{L_{mq}}{i}_{oq}-\frac{n_p{L}_d}{L_{mq}}{\mathrm{\ωi}}_{od}-\frac{n_p{\mathrm{\λ}}_{PM}}{L_{mq}}\mathrm{\ω}\\ \frac{{\mathrm{di}}_q}{dt}=-\frac{R_1}{L_{lq}}{i}_q+\frac{R_c}{L_{lq}}{i}_{oq}+\frac{1}{L_{lq}}{u}_q\\ \frac{{\mathrm{di}}_{od}}{dt}=\frac{R_c}{L_{md}}{i}_d-\frac{R_c}{L_{md}}{i}_{od}+\frac{n_p{L}_q}{L_{md}}{\mathrm{\ωi}}_{oq}\\ \frac{{\mathrm{di}}_d}{dt}=-\frac{R_1}{L_{ld}}{i}_d+\frac{R_c}{L_{ld}}{i}_{od}+\frac{1}{L_{ld}}{u}_d\end{array}\right.---\left(1\right)$

定义Θ表示电机角位置，ω表示电机角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩；i_d和i_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压；i_od和i_oq表示d-q轴励磁电流分量；L_d和L_q表示d-q轴电感；L_ld和L_lq表示d-q轴漏感；L_md和L_mq表示d-q轴励磁电感；R₁和R_c表示定子电阻和铁心损耗电阻；λ_PM是转子永磁体的励磁磁通；

为简化考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型，定义新的变量：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=\mathrm{\Θ},x_2=\mathrm{\ω},x_3=i_{oq},x_4=i_q,x_5=i_{od},x_6=i_d\\ a_1=n_p{\mathrm{\λ}}_{PM},a_2=n_p(L_{md}-L_{mq}),b_1=\frac{R_c}{L_{mq}}\\ b_2=-\frac{n_p{L}_d}{L_{mq}},b_3=-\frac{n_p{\mathrm{\λ}}_{PM}}{L_{mq}},b_4=-\frac{R_1}{L_{lq}},b_5=\frac{R_c}{L_{lq}}\\ c_1=\frac{1}{L_{lq}}\end{array}\right.;$

则考虑铁损的永磁同步电机的动态模型表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=\frac{a_1}{J}{x}_3-\frac{T_L}{J}\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=b_1{x}_4-b_1{x}_3+b_2{x}_2{x}_5+b_3{x}_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=b_4{x}_4+b_5{x}_3+c_1{u}_q\\ {\stackrel{\·}{x}}_5=b_1{x}_6-b_1{x}_5-b_2{x}_2{x}_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_6=b_4{x}_6+b_5{x}_5+c_1{u}_d\end{array}\right.---\left(2\right)$

b根据命令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂，x₃和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄，x₅,x₆和控制输入u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：式中，输入向量q是模糊输入维数，R^q为实数向量集，W＝[W₁,...,W_l]^T∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集，S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，通常选取基函数s_i(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

定义命令滤波器为：

其中，均为命令滤波器的输出信号，α_u为命令滤波器的输入信号，u＝1,2,3,5；如果输入信号α_u对于所有的t≥0，使得以及成立，其中，ρ₁和ρ₂均为正常数；同时则可得出，对任意的常数μ＞0，存在ω_n＞0且ζ∈(0,1]，使得 和是有界的；

定义跟踪误差变量为

定义x_d为期望的速度信号；虚拟控制信号α₁,α₂,α₃,α₅为命令滤波器的输入信号；x_1,c,x_2,c,x_3,c,x_5,c为命令滤波器的输出；k_n为正的设计参数，n＝1,2,...6；

控制方法中每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律；控制方法具体包括以下步骤：

b.0降维观测器的设计

根据微分方程得其中， 定义S₂(Z)＝φ₂(Z)，则由万能逼近定理可知，对于光滑函数f₂(Z)，给定ε₂≥0，存在模糊逻辑系统θ₂ ^*Tφ₂(Z)，使得f₂(Z)＝θ₂ ^*Tφ₂(Z)+δ₂(Z)，其中，δ₂(Z)表示逼近误差，并满足不等式|δ₂(Z)|≤ε₂，则

所以，降维观测器设计为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+g_1(y-{\hat{x}}_1)\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2=x_3+g_2(y-{\hat{x}}_1)+{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2^T{\mathrm{\φ}}_2\left(Z\right)\\ \hat{y}={\hat{x}}_1\end{array}\right.;$

将降维观测器简化为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\hat{x}}=Ax+Gy+{\mathrm{Bx}}_3+\widehat{\mathrm{\ω}}\\ \hat{y}=C^T\hat{x}\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，x＝[x₁,x₂]^T，为x的估计值，B＝[0,1]^T， 是的估计值，G＝[g₁,g₂]^T是降维观测器的增益矢量，C＝[1,0]^T，是系统输出y的估计值；定义为观测器误差，则系统观测器的误差表达式为:其中，ε＝[0,ε₂]^T，

假设存在矩阵Q^T＝Q＞0，则存在正定矩阵P^T＝P＞0，使得A^TP+PA＝-Q；选取Lyapunov函数V₀＝e^TPe，对V₀求导，得到由杨氏不等式得，将其代入上式，可得：

${\stackrel{\·}{V}}_0\≤-e^{T}Qe+2\left|\right|e|{|}^2+|\left|P\right|{|}^2{\mathrm{\ϵ}}_2^2+\left|\right|P|{|}^2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(4\right)$

b.1根据微分方程对z₁求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₁＝z₁-ξ₁；选择Lyapunov函数：对V₁求导得：

${\stackrel{\·}{V}}_1={\stackrel{\·}{V}}_0+v_1({\hat{x}}_2+e_2-{\stackrel{\·}{x}}_d-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1)={\stackrel{\·}{V}}_0+v_1\[z_2+(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+{\mathrm{\α}}_1+e_2-{\stackrel{\·}{x}}_d-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1\]---\left(5\right)$

利用杨氏不等式，有

构建虚拟控制信号α₁：

定义补偿误差

其中，ξ(0)＝0，||ξ_n||是有界的，有常数μ＞0，

按照公式(6)、公式(7)和公式(8)，将公式(5)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_1\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-k_1{v}_1^2+v_1{v}_2+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2---\left(9\right)$

b.2根据微分方程对z₂求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₂＝z₂-ξ₂；

选择Lyapunov函数：常数r₁＞0，对V₂求导得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-k_1{v}_1^2+v_2(v_1+z_3+(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+{\mathrm{\α}}_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}+{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2}^T{\mathrm{\φ}}_2(Z)-{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2}^T{\mathrm{\φ}}_2(Z)+g_2{e}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_2)\\ +\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T}{r_1}\left(r_1{v}_2{\mathrm{\φ}}_2\right(Z)-{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_2)\end{array}---\left(10\right)$

利用杨氏不等式，有：

选取自适应律

其中，常数m₁＞0；

构建虚拟控制信号α₂：

定义补偿信号

根据杨氏不等式，同时按照公式(11)、(12)和(13)将公式(10)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_2\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-k_1{v}_1^2-k_2{v}_2^2+v_2{v}_3+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2---\left(14\right)$

b.3根据微分方程对z₃求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₃＝z₃-ξ₃；

选择Lyapunov函数：对V₃求导可得：

${\stackrel{\·}{V}}_3={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3{\stackrel{\·}{v}}_3={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3({\stackrel{\·}{x}}_3-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_3)={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3\[f_3+b_1{x}_4-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_3\]---\left(15\right)$

其中，f₃(Z)＝-b₁x₃+b₂x₂x₅+b₃x₂，根据万能逼近定理可知，对于光滑函数f₃(Z)，给定ε₃≥0，存在模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)，使得f₃(Z)＝W₃ ^TS₃(Z)+δ₃(Z)，其中，δ₃(Z)表示逼近误差，并满足|δ₃(Z)|≤ε₃；从而有：

$v_3{f}_3\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_3^2}{v}_3^2\left|\right|W_3|{|}^2{S}_3^T{S}_3+v_3^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_3^2---\left(16\right)$

其中，||W₃||为向量W₃的范数，常数l₃＞0；

构建虚拟控制信号α₃：

定义补偿误差

按照公式(16)、(17)和(18)将公式(15)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_3\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+b_1{v}_3{v}_4+\frac{1}{2l_3^2}{v}_3^2\left(\right|\left|W_3\right|{|}^2-\hat{W})S_3^T{S}_3+\frac{l_3^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_3^2}{4}+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(19\right)$

b.4根据微分方程对z₄求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₄＝z₄-ξ₄；

选择Lyapunov函数：对V₄求导可得：

${\stackrel{\·}{V}}_4={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4{\stackrel{\·}{v}}_4={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4({\stackrel{\·}{x}}_4-{\stackrel{\·}{x}}_{3,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4)={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4(f_4+c_1{u}_q-{\stackrel{\·}{x}}_{3,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4)---\left(20\right)$

其中，f₄(Z)＝b₄x₄+b₅x₃，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₄(Z)，给定ε₄≥0，存在模糊逻辑系统W₄ ^TS₄(Z)，使得f₄(Z)＝W₄ ^TS₄(Z)+δ₄(Z)，其中，δ₄(Z)表示逼近误差，并满足|δ₄(Z)|≤ε₄；从而有：

$v_4{f}_4\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_4^2}{v}_4^2\left|\right|W_4|{|}^2{S_4}^T{S}_4+v_4^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_4^2---\left(21\right)$

其中，||W₄||为向量W₄的范数，常数l₄＞0；

构建真实控制率u_q：

定义补偿误差

按照公式(21)、(22)和(23)，将公式(20)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_4\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{4}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|W_j\right|{|}^2-\hat{W})S_j^T{S}_j+\underset{y=3}{\overset{4}{\Σ}}(\frac{l_y^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_y^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(24\right)$

b.5根据微分方程对z₅求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₅＝z₅-ξ₅；

选择Lyapunov函数：对V₅求导可得：

${\stackrel{\·}{V}}_5={\stackrel{\·}{V}}_4+v_5{\stackrel{\·}{v}}_5={\stackrel{\·}{V}}_4+v_5({\stackrel{\·}{x}}_5-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_5)={\stackrel{\·}{V}}_4+v_5(f_5+b_1{x}_6-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_5)---\left(25\right)$

其中，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₅(Z)，给定ε₅≥0，存在模糊逻辑系统W₅ ^TS₅(Z)，使得f₅(Z)＝W₅ ^TS₅(Z)+δ₅(Z)，其中，δ₅(Z)表示逼近误差，并满足|δ₅(Z)|≤ε₅；从而有：

$v_5{f}_5\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_5^2}{v}_5^2\left|\right|W_5|{|}^2{S_5}^T{S}_5+v_5^2+\frac{1}{2}{l}_5^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_5^2---\left(26\right)$

其中，||W₅||为向量W₅的范数，常数l₅＞0；

构建虚拟控制信号α₅：

定义补偿误差

按照公式(26)、(27)和(28)，将公式(25)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_5\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{5}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+b_1{v}_5{v}_6+\underset{j=3}{\overset{5}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|W_j\right|{|}^2-\hat{W})S_j^T{S}_j+\underset{y=3}{\overset{5}{\Σ}}(\frac{l_y^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_y^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(29\right)$

b.6根据微分方程对z₆求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₆＝z₆-ξ₆；

选择Lyapunov函数：对V₆求导可得：

${\stackrel{\·}{V}}_6={\stackrel{\·}{V}}_5+v_6{\stackrel{\·}{v}}_6={\stackrel{\·}{V}}_5+v_6({\stackrel{\·}{x}}_6-{\stackrel{\·}{x}}_{5,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_6)={\stackrel{\·}{V}}_5+v_6(f_6+c_1{u}_d-{\stackrel{\·}{x}}_{5,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_6)---\left(30\right)$

其中，f₆＝b₄x₆+b₅x₅，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₆(Z)，给定ε₆≥0，存在模糊逻辑系统W₆ ^TS₆(Z)，使得f₆(Z)＝W₆ ^TS₆(Z)+δ₆(Z)，其中，δ₆(Z)表示逼近误差，并满足|δ₆(Z)|≤ε₆；从而有：

$v_6{f}_6\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_6^2}{v}_6^2\left|\right|W_6|{|}^2{S_6}^T{S}_6+v_6^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_6^2---\left(31\right)$

其中，||W₆||为向量W₆的范数，常数l₆＞0；

构建真实控制律u_d：

定义补偿误差

按照公式(31)、公式(32)和公式(33)，将公式(30)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_6\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|W_j\right|{|}^2-\hat{W})S_j^T{S}_j+\underset{y=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_y^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_y^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(34\right)$

c对建立的基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法进行稳定性分析

定义W＝max{||W₃||²,||W₄||²,||W₅||²,||W₆||²}， 为W的估计值，构建Lyapunov函数为：对V求导可得：

$\stackrel{\·}{V}\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{r}\hat{W}(\underset{y=3}{\overset{6}{\Σ}}\frac{1}{2l_y^2}{\mathrm{rv}}_y^2{S}_y^T{S}_y-\stackrel{\·}{\hat{W}})---\left(35\right)$

其中，常数r＞0；选择相应的自适应律

$\stackrel{\·}{\hat{W}}=\underset{y=3}{\overset{6}{\Σ}}\frac{1}{2l_y^2}{\mathrm{rv}}_y^2{S}_y^T{S}_y-m\hat{W}---\left(36\right)$

其中，常数m＞0；

按照公式(36)，将公式(35)改写为：

$\stackrel{\·}{V}\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m}{r}{\tilde{W}}^T\hat{W}---\left(37\right)$

同样，再由杨氏不等式可得：

$\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2\≤-\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m_1}{2r_1}{\mathrm{\θ}}_2^T{\mathrm{\θ}}_2,\frac{m}{r}{\tilde{W}}^T\hat{W}\≤-\frac{m}{2r}{\tilde{W}}^T\tilde{W}+\frac{m}{2r}{W}^{T}W---\left(38\right)$

按照公式(38)，将公式(37)改写为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-e^{T}Qe+\frac{9}{4}\left|\right|e|{|}^2+|\left|P\right|{|}^2{\mathrm{\ϵ}}_2^3+\left(\right|\left|P\right|{|}^2-\frac{m_1}{2r_1}+\frac{1}{4}){\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{m_1}{2r_1}{\mathrm{\θ}}_2^T{\mathrm{\θ}}_2\\ -\frac{m}{2r}{\tilde{W}}^T\tilde{W}+\frac{m}{2r}{W}^{T}W\≤-aV+b\end{array}---\left(39\right)$

其中，

$a=\min \{\frac{{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q\right)-\frac{9}{4}}{{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(P\right)},2k_1,2k_2,2k_3,2k_4,2k_5,2k_{6}2r_1\left(\right|\left|P\right|{|}^2-\frac{m_1}{2r_1}+\frac{1}{4}),2r\frac{m}{2r}\},$

$b=\left|\right|P|{|}^2{\mathrm{\ϵ}}_2^2+\underset{i=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_i^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_i^2}{4})+\frac{m_1}{2r_1}{\mathrm{\θ}}_2^T{\mathrm{\θ}}_2+\frac{m}{2r}{W}^{T}W;$

其中，λ_min(Q)为Q的最小特征值，λ_max(P)为P的最大特征值；

因此可得：

$V\left(t\right)\≤\[V\left(t_0\right)-\frac{b}{a}\]e^{-a(t-t_0)}+\frac{b}{a}\≤V\left(t_0\right)+\frac{b}{a},\∀t\≥t_0---\left(40\right)$

其中，t₀为t的初值；

因此v_n和是有界的，因为W是常数，所以是有界的，又因为z_n＝v_n+ξ_n，||ξ_n||是有界的，因此z_n也是有界的，n＝1,2,...,6；因此x(t)和其他所有控制信号在任何时间段内都是有界的；由公式(40)可得：