CN104993760B - 考虑铁损的电动汽车异步电机模糊自适应动态面控制方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种考虑铁损的电动汽车异步电机模糊自适应动态面控制方法。所述控制方法利用模糊逻辑系统逼近系统中的非线性函数，采用自适应反步方法设计控制器，将动态面控制技术与模糊自适应法结合起来：通过引入一阶低通滤波，成功地克服了在传统反步控制中由于连续求导所引起的“计算爆炸”问题；另外，控制信号uqs、uds中只存在一个自适应参数，减少了计算量；通过模糊自适应动态面控制方法调节之后，电机运行能快速达到稳定状态，更适合像电动汽车驱动系统这样需要快速动态响应的控制对象，仿真结果表明这种新的控制方法克服了参数不确定的影响并且保证了理想的控制效果，实现了对转速的快速、稳定地响应。

Description

考虑铁损的电动汽车异步电机模糊自适应动态面控制方法
技术领域
本发明属于动汽车电机调速控制技术领域，涉及一种考虑铁损的电动汽车异步电机模糊自适应动态面控制方法。
背景技术
国际金融危机以来，美、欧、日、韩等发达国家都在推动汽车产业的转型发展,全球范围内形成了发展新能源汽车的又一轮热潮。在所有技术创新中，电机驱动具有极其重要的地位,因为未来的驱动方式必须具有能耗低、更环保、更具有可持续性等特点。
电动汽车包括电机驱动及控制系统、驱动力传动等机械系统和完成既定任务的工作装置等。电机驱动及控制系统是电动汽车的核心，也是区别于内燃机汽车的最大不同点。电动汽车是汽车工业的一个重要分支，电动汽车的发展对于能源安全以及环境保护有着重大的意义。近年来，对于电动汽车的关注日益增高，与此同时，对高效、可靠、经济的电机驱动技术的需求也日益紧迫。因此，电动汽车动力系统的研究受到了国内外学者的广泛关注。
在过去的几十年中，异步电动机以其结构简单，成本低廉，可靠性高和耐用性强的优点，在现代电动汽车领域已经得到广泛的应用。然而，由于其动态模型存在非线性、多变量等特点，异步电机的控制相当复杂。除此之外，为了实现速度的有效、准确控制，必须考虑铁磁损耗对电机的影响，这样将不可避免地增加了系统的复杂性。因此，很多的控制策略已经被提出来应用于考虑铁损的异步电机驱动系统，比如：滑模控制，输入输出反馈线性化控制，直接转矩控制，神经网络控制，反步法控制等等。
在控制不确定非线性系统，尤其是那些不满足特定条件的系统方面，反步控制方法被认为是最常用的控制方法之一。这种控制设计的优点是使用虚拟控制变量来使原来的高阶系统简单化；与此同时，通过选择一个合适的Lyapunov函数，可以系统地得到控制输出。然而，传统反步控制中对虚拟控制函数进行连续求导，容易引起“计算爆炸”问题。为了克服这个问题，2000年美国学者Swaroop D等人首次提出了动态面技术。结合动态面技术的反步控制方法将虚拟控制函数经过一阶低通滤波处理，得到了新的控制变量，避免了对虚拟函数的连续求导，从而克服了传统反步设计的“计算爆炸”问题。
模糊逻辑系统在处理未知非线性函数方面的能力引起了国内外控制界的广泛关注,并用于具有高度非线性和不确定性的复杂控制系统设计中。反步技术与自适应模糊控制相结合是一种有效的非线性控制方法。该方法通过利用模糊逻辑系统逼近系统中的高度非线性函数,并结合自适应和反步技术构造控制器，该方法已经成功的应用到交流传动系统的相关控制中。
发明内容
本发明的目的在于提出一种考虑铁损的电动汽车异步电机模糊自适应动态面控制方法，利用模糊逻辑系统逼近异步电动机驱动系统的未知非线性函数，使用自适应反步法来构造控制器，通过将动态面控制技术与自适应模糊反步法结合起来，来实现对异步电机速度的控制。
为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
考虑铁损的电动汽车异步电机模糊自适应动态面控制方法，包括如下步骤：
a在同步旋转坐标(d-q)下建立考虑铁损的异步电机的动态模型
其中，ωr为异步电机转子角速度；J为转动惯量；TL为负载转矩；ψd为转子磁链；np为极对数；iqs,ids为q,d轴定子电流；iqm,idm分别为q,d轴励磁电流；uqs,uds为异步电机q,d轴定子电压；Lm为互感；L1r,L1s分别为定转子漏感；Rs,Rr,Rfe分别为异步电机定、转子及铁损等效电阻；
为了简化上述动态模型，定义如下变量：
则考虑铁损的异步电机的动态模型表示为：
其中，
b根据反步法原理，设计考虑铁损的异步电机模糊自适应动态面控制器
定义系统误差变量如下：
其中，x1d为期望的速度信号、x4d为磁链的参考信号，低通一阶滤波器输出信号α2d,α3d,α4d,α5d的具体定义将分别在公式(10)、公式(15)、公式(24)和公式(29)中给出；
b.1为确保x1能有效跟踪期望信号x1d，选取李雅普诺夫控制函数如下：
对式(5)求导得到：
假设0≤TL≤d，其中，d＞0，利用熟知的不等式，有ε4为任意小的正数，此时：
为了使系统满足严格反馈的形式，则：
其中，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε1，存在模糊逻辑系统W1 TS1(Z1)使得f1(Z1)＝W1 TS1(Z1)+δ1，其中，S1(Z1)为基函数向量，δ1表示逼近误差，并满足不等式|δ1|≤ε1，从而：
其中，||W1||为向量W1的范数，l1为正数；
S(Z)＝[s1(Z),s2(Z),…,sl(Z)]T为基函数向量，si(Z)选用高斯函数如下：
式中，μi＝[μi1,…,μiq]T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而ηi则为其宽度；
选取虚拟控制函数α1为：
其中，k1＞0，为θ的估计值，θ将在后面定义，为J的估计值；
此时，定义一个新的状态变量α2d，并且通过一阶低通滤波，得到如下的关系式：
其中，ξ1为正的时间常数；将x2视为第一个子系统的控制输入，第二个子系统的误差变量定义为z2＝x2-α2d；由上式(8)、(9)和(10)，则：
b.2第二个子系统的误差变量为z2＝x2-α2d，则其导数为：
其中，x＝[x1,x2,x3,x4,x5,x6]；
选取Lyapunov控制函数
对V2求导，并利用式(11)，得：
由严格递增的光滑函数的性质及引理得到：
式中，为了简化计算，令同理，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε2，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f2(Z2)，使得f2(Z2)＝W2 TS2(Z2)+δ2(Z2)，其中，S2(Z2)为基函数向量，|δ2|≤ε2，得到：
其中，||W2||为向量W2的范数，l2为正数；选取虚拟控制函数α2为：
其中，k2＞0；同理，定义一个新的状态变量α3d，并且通过一阶低通滤波，得到如下的关系式：
其中，ξ2为正的时间常数；将x3视为第二个子系统的控制输入，第三个子系统的误差变量定义为z3＝x3-α3d，
将上式代入式(13)，得到：
b.3选取Lyapunov函数
对式(17)求导，并利用(16)，得到：
令由万能逼近定理，对于任意小的正数ε3，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f3(Z3)，使得f3(Z3)＝W3 TS3+δ3，其中，S3(Z3)为基函数向量，|δ3|≤ε3，得到：
其中，||W3||为向量W3的范数，l3为正数；选取真实的控制律：
其中，k3＞0；为θ的估计值，θ将在后面定义，将式(19)和(20)代入式(18)，得到：
b.4选取Lyapunov函数对上式求导，并利用式(21)得：
选取虚拟控制函数：
其中，k4＞0；再次引入一个新的滤波变量α4d，使得此信号经过低通滤波处理，得到下面的关系式：
其中，ξ3为正的时间常数；将x5视为第五个子系统的控制输入，第六个子系统的误差变量定义为z5＝x5-α4d，
将式(23)和式(24)代入式(22)，得到：
b.5选取Lyapunov函数对上式求导，并利用式(25)得到：
令由万能逼近定理，对于任意小的正数ε5，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f5(Z5)，使得f5(Z5)＝W5 TS5(Z5)+δ5，其中，S5(Z5)为基函数向量，|δ5|≤ε5，得到：
其中，||W5||为向量W5的范数，l5为正数；取虚拟控制函数：
其中，k5＞0；同理，引入一个新的滤波变量α5d，使得此信号经过低通滤波处理，得到下面的关系式：
其中，ξ4为正的时间常数；将x6视为第六个子系统的控制输入，第六个子系统的误差变量定义为z6＝x6-α5d，利用上式，得到：
b.6选取Lyapunov函数对上式求导，并利用式(30)得到：
令由万能逼近定理，对于任意小的正数ε6，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f6(Z6)，使得f6(Z6)＝W6 TS6(Z6)+δ6，其中，S6(Z6)为基函数向量，|δ6|≤ε6，得到：
其中，||W6||为向量W6的范数，l6为正数；取真实控制律：
其中，k6＞0；定义θ＝max{||W1||2，||W2||2，||W3||2，||W5||2，||W6||2},
由式(32)和(33)，得到：
b.7定义y1，y2，y3，y4为：
其中，虚拟控制函数α1,α2,α4,α5分别为低通一阶滤波器的输入信号；
对上式求导，得到下列等式：
其中，
选取系统的Lyapunov函数：
其中，r1和r2为正数，则V对求导，并利用式(34)和(35)得：
选取自适应律：
其中，m1，m2和lf(f＝1，2，3，5，6)皆为正数；
c对建立的考虑铁损的异步电机模糊自适应动态面控制器进行稳定性分析将上述自适应律代入式(37)，得到：
在紧集范围|Ωi|，i＝1，2，3,4|Bi|≤BiM，得到下列不等式：
其中τ＞0，对于有同理，得到下述不等式：
进而：
其中：
由式(40)，容易得到
式(41)表明，变量zn(n＝1，2，3，4，5，6)，和属于紧集；
显然有
由a0和b0的定义可知，当选定合适的控制参数ki和mi后，a0保持不变；通过选择充分大的ri，充分小的li和εi，可以保证充分小，进而可以确保系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内,同时其他信号保持有界。
本发明具有如下优点：
(1)考虑铁损的异步电机在控制律的作用下，系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，同时其他信号保持有界。(2)电动汽车工作在较高转速时，异步电机会产生较大的铁损，然而传统的矢量控制是不考虑铁损的，本发明充分考虑到铁损问题并构建合理模型加以合适方式有效解决此问题，与传统的矢量控制方法相比，本发明能够克服参数未知以及负载变化的影响，实现更加有效的速度控制。(3)本发明需要的输入信号是实际工程中易于得到的可直接测量的转速和电流信号量，模糊自适应动态面控制算法本身可以通过软件编程实现，通过引入动态面技术，可以克服计算爆炸的问题。与此同时，本发明设计的控制器具有更加简单的结构。总之，所提出的控制器可以保证系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内以及所有的闭环信号都是有界的。(4)本发明不需要根据异步电机的不同而修改控制器的参数，原理上可以实现对所有型号和功率的异步电机的稳定调速控制，在控制过程中减少对异步电机参数的测量，利于实现异步电动机转速调节的快速响应。(5)控制信号uqs、uds中只存在一个自适应参数减少了计算量。
附图说明
图1为本发明中由异步电机模糊自适应动态面控制器、坐标变换和SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图；
图2为异步电机模糊自适应动态面控制器控制后转子角速度和转子角速度设定值的跟踪仿真图；
图3为异步电机模糊自适应动态面控制器控制后转子磁链和转子磁链设定值的跟踪仿真图；
图4为异步电机模糊自适应动态面控制器控制后速度跟踪误差仿真图；
图5为异步电机模糊自适应动态面控制器控制后转子磁链误差仿真图；
图6为异步电机模糊自适应动态面控制器控制后q轴定子电压仿真图；
图7为异步电机模糊自适应动态面控制器控制后d轴定子电压仿真图。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：
结合图1所示，考虑铁损的电动汽车异步电机模糊自适应动态面控制器，主要包括异步电机模糊自适应动态面控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3和转速检测单元4与电流检测单元5。转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测异步电动机的电流值和转速相关变量，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，通过异步电机模糊自适应动态面控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制异步电动机的转速。为了设计一个更加有效的控制器，建立考虑铁损的异步电机动态模型是十分必要的。
本发明提出的考虑铁损的电动汽车异步电机模糊自适应动态面控制方法，包括如下步骤：
a在同步旋转坐标(d-q)下考虑铁损的异步电机的动态模型如下：
其中，ωr为异步电机转子角速度；J为转动惯量；TL为负载转矩；ψd为转子磁链；np为极对数；iqm,idm分别为q,d轴励磁电流；iqs,ids分别为q,d轴定子电流；uqs,uds为异步电机q,d轴定子电压；Lm为互感；L1r,L1s分别为定转子漏感；Rs,Rr,Rfe分别为异步电机定、转子及铁损等效电阻。
为了简化上述动态模型，定义如下变量：
则考虑铁损的异步电机的动态模型可表示为：
其中，
b根据反步法原理，设计考虑铁损的异步电机模糊自适应动态面控制器
定义系统误差变量如下：
其中，x1d为期望的跟踪信号、x4d为磁链的参考信号，低通一阶滤波器输出信号α2d,α3d,α4d,α5d的具体定义将分别在公式(10)、公式(15)、公式(24)和公式(29)中给出；
c为确保x1能有效跟踪期望信号x1d，选取李雅普诺夫控制函数如下：
对式(5)求导得到：
注意到实际系统中负载不可能无限大，假定0≤TL≤d，其中，d＞0，利用熟知的不等式，有ε4为任意小的正数，此时：
为了使系统满足严格反馈的形式，则：
其中，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε1，存在模糊逻辑系统W1 TS1(Z1)使得f1(Z1)＝W1 TS1(Z1)+δ1，其中，S1(Z1)为基函数向量，δ1表示逼近误差，并满足不等式|δ1|≤ε1.从而：
其中，||W1||为向量W1的范数，l1为正数。
S(Z)＝[s1(Z),s2(Z),…,sl(Z)]T为基函数向量，si(Z)选用高斯函数如下：
式中，μi＝[μi1,…,μiq]T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而ηi则为其宽度。
选取虚拟控制函数α1为：
其中，k1＞0，为θ的估计值，θ将在后面定义，为J的估计值。此时，定义一个新的状态变量α2d，并且通过一阶低通滤波，得到如下的关系式：
其中，ξ1为正的时间常数。将x2视为第一个子系统的控制输入，那么第二个子系统的误差变量可定义为z2＝x2-α2d.
由上式(8)、(9)和(10)，则：
第二个子系统的误差变量为z2＝x2-α2d，则其导数为：
其中，x＝[x1,x2,x3,x4,x5,x6]。由于f2(x)不满足严格反馈形式，因此需要进行处理。
存在一个严格递增的光滑函数在R+→R+上
根据的递增性质，如果aj≥0,j＝1,2,…,n，得到
又由于是一个光滑函数，并且所以存在一个光滑函数hi(s)，使得因此有：
根据现有论文中的引理，对于任何的即：
根据现有论文中的引理，变量替换zi＝xi-α(i+1)d,i＝1,2,…,n，满足下列性质，即
式中，
结合引理证明得到：
选取Lyapunov控制函数
对V2求导，并利用式(11)，得：
由严格递增的光滑函数的性质及引理得到：
式中为了便于运算
令同理，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε2，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f2(Z2)，使得f2(Z2)＝W2 TS2(Z2)+δ2(Z2)，其中，S2(Z2)为基函数向量，|δ2|≤ε2.得到
其中，||W2||为向量W2的范数，l2为正数。现在选取虚拟控制函数α2为
其中，k2＞0。同理，定义一个新的状态变量α3d，并且通过一阶低通滤波，我们得到如下的关系式
其中，ξ2为正的时间常数。将x3视为第二个子系统的控制输入，那么第三个子系统的误差变量可定义为z3＝x3-α3d.
将上式代入式(13)，得：
选取Lyapunov函数：
对式(17)求导，并利用(16)，得：
令同理，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε3，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f3(Z3)，使得f3(Z3)＝W3 TS3+δ3，其中，S3(Z3)为基函数向量，|δ3|≤ε3.得到
其中，||W3||为向量W3的范数，l3为正数。现在选取真实的控制律
其中，k3＞0。其中为θ的估计值，θ将在后面定义，将式(19)和(20)代入式(18)，得
选取Lyapunov函数对上式求导，并利用公式(21)得：
选取虚拟控制函数
其中，k4＞0。再次引入一个新的滤波变量α4d，使得此信号经过低通滤波处理，得到下面的关系式
其中，ξ3为正的时间常数。将x5视为第五个子系统的控制输入，那么第六个子系统的误差变量可定义为z5＝x5-α4d
将式(23)和式(24)代入式(22)，得到：
选取Lyapunov函数对上式求导，并利用式(25)得到：
令由万能逼近定理，对于任意小的正数ε5，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f5(Z5)，使得f5(Z5)＝W5 TS5(Z5)+δ5，其中，S5(Z5)为基函数向量，|δ5|≤ε5.得到：
其中，||W5||为向量W5的范数，l5为正数。取虚拟控制函数
其中，k5＞0。同理，引入一个新的滤波变量α5d，使得此信号经过低通滤波处理，得到下面的关系式
其中，ξ4为正的时间常数。将x6视为第六个子系统的控制输入，那么第六个子系统的误差变量可定义为z6＝x6-α5d；利用上式，得到：
选取Lyapunov函数
对上式求导，并利用式(30)得到：
令由万能逼近定理，对于任意小的正数ε6，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f6(Z6)，使得f6(Z6)＝W6 TS6(Z6)+δ6，其中，S6(Z6)为基函数向量，|δ6|≤ε6.得到：
其中，||W6||为向量W6的范数，l6为正数。取真实控制函数
其中，k6＞0。现在定义θ＝max{||W1||2，||W2||2，||W3||2，||W5||2，||W6||2}.由式(32)和(33)，得到：
定义y1，y2，y3，y4为：
其中，虚拟控制函数α1,α2,α4,α5分别为低通一阶滤波器的输入信号；
对上式求导，得到下列等式：
其中，
选取系统的Lyapunov函数：
其中，r1和r2为正数，则对V求导，并利用式(34)和(35)得：
选取自适应律
其中，m1，m2和lf(f＝1，2，3，5，6)皆为正数；
d对建立的考虑铁损的异步电机模糊自适应动态面控制器进行稳定性分析将上述自适应律代入式(37)，得到
在紧集范围|Ωi|，i＝1，2，3,4|Bi|≤BiM，得到下列不等式
其中τ＞0.
对于有同理得到下述不等式
进而
其中：
由式(40)，容易得到
式(41)表明，变量zn(n＝1，2，3，4，5，6)，和属于紧集
显然有
由以上分析得到在控制律uq,ud的作用下，系统的跟踪误差收敛到原点的一个充分下的邻域内，并保证其他信号有界。
e在虚拟环境下对所建立的异步电机模糊自适应动态面控制器进行仿真，验证所提出的异步电动机模糊自适应动态面控制方法的可行性：
电机及负载参数为：
J＝0.0586Kgm2，Rs＝0.1Ω，Rr＝0.15Ω，，Rfe＝30Ω
Ls＝Lr＝0.0699H，Lm＝0.068H，np＝1.
选取的模糊集为：
选择控制律参数为：
k1＝56，k2＝140，k3＝140，k4＝560，k5＝7000，k6＝140，
ξ1＝ξ2＝ξ3＝ξ4＝0.000033，r1＝r2＝0.05，
m1＝m2＝0.02，l1＝l2＝l3＝l5＝l6＝0.25.
跟踪信号为：
相应的仿真结果如附图所示。图2、3为异步电机模糊自适应动态面控制器控制后转子角度和转子角度设定值以及转子磁链和转子磁链设定值的跟踪仿真图，通过仿真结果表明效果理想，跟踪效果理想，响应速度快；图4、5为异步电机模糊自适应动态面控制器控制后速度跟踪和磁链误差仿真图，通过仿真结果表明，误差较小，能够实现速度和磁链的精确控制；图6、7分别为异步电机模糊自适应动态面控制器控制后异步电机d轴定子、以及异步电机q轴定子电压仿真图，通过仿真结果表明效果理想、波动小、响应速度快。
当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.考虑铁损的电动汽车异步电机模糊自适应动态面控制方法，其特征在于，包括如下步骤：
a在同步旋转坐标(d-q)下建立考虑铁损的异步电机的动态模型
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其中，ωr为异步电机转子角速度；J为转动惯量；TL为负载转矩；ψd为转子磁链；np为极对数；iqs,ids为q,d轴定子电流；iqm,idm分别为q,d轴励磁电流；uqs,uds为异步电机q,d轴定子电压；Lm为互感；L1r,L1s分别为定转子漏感；Rs,Rr,Rfe分别为异步电机定、转子及铁损等效电阻；
为了简化上述动态模型，定义如下变量：
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则考虑铁损的异步电机的动态模型表示为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>J</mi> </mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>T</mi> <mi>L</mi> </msub> <mi>J</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>6</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> <mfrac> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>6</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，
b根据反步法原理，设计考虑铁损的异步电机模糊自适应动态面控制器
定义系统误差变量如下：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>5</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，x1d为期望的速度信号、x4d为磁链的参考信号，低通一阶滤波器输出信号α2d,α3d,α4d,α5d的具体定义将分别在公式(10)、公式(15)、公式(24)和公式(29)中给出；
b.1为确保x1能有效跟踪期望信号x1d，选取李雅普诺夫控制函数如下：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>J</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对式(5)求导得到：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
假设0≤TL≤d，其中，d＞0，利用熟知的不等式，有ε4为任意小的正数，此时：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
为了使系统满足严格反馈的形式，则：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε1，存在模糊逻辑系统W1 TS1(Z1)使得f1(Z1)＝W1 TS1(Z1)+δ1，其中，δ1表示逼近误差，S1(Z1)为基函数向量，并满足不等式|δ1|≤ε1，从而：
<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，||W1||为向量W1的范数，l1为正数；
S(Z)＝[s1(Z),s2(Z),…,sl(Z)]T为基函数向量，si(Z)选用高斯函数如下：
<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <msup> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>;</mo> </mrow>
式中，μi＝[μi1,…,μiq]T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而ηi则为其宽度；
选取虚拟控制函数α1为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，k1＞0，为θ的估计值，θ将在后面定义，为J的估计值；
此时，定义一个新的状态变量α2d，并且通过一阶低通滤波，得到如下的关系式：
<mrow> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ξ1为正的时间常数；将x2视为第一个子系统的控制输入，第二个子系统的误差变量定义为z2＝x2-α2d；由上式(8)、(9)和(10)，则：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
b.2第二个子系统的误差变量为z2＝x2-α2d，则其导数为：
<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow>
其中，x＝[x1,x2,x3,x4,x5,x6]；
选取Lyapunov控制函数
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对V2求导，并利用式(11)，得：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由严格递增的光滑函数的性质及引理得到：
式中，为了简化计算，令同理，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε2，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f2(Z2)，使得其中，S2(Z2)为基函数向量，|δ2|≤ε2，得到：
<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>;</mo> </mrow>
其中，||W2||为向量W2的范数，l2为正数；选取虚拟控制函数α2为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，k2＞0；同理，定义一个新的状态变量α3d，并且通过一阶低通滤波，得到如下的关系式：
<mrow> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ξ2为正的时间常数；将x3视为第二个子系统的控制输入，第三个子系统的误差变量定义为z3＝x3-α3d，
将上式代入式(13)，得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> 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<msub> <mi>&amp;delta;e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
b.3选取Lyapunov函数
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对式(17)求导，并利用(16)，得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>6</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
令由万能逼近定理，对于任意小的正数ε3，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f3(Z3)，使得其中，S3(Z3)为基函数向量，|δ3|≤ε3，得到：
<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，||W3||为向量W3的范数，l3为正数；选取真实的控制律：
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，k3＞0；为θ的估计值，θ将在后面定义，将式(19)和(20)代入式(18)，得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
b.4选取Lyapunov函数对上式求导，并利用式(21)得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
选取虚拟控制函数：
<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，k4＞0；再次引入一个新的滤波变量α4d，使得此信号经过低通滤波处理，得到下面的关系式：
<mrow> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ξ3为正的时间常数；将x5视为第五个子系统的控制输入，第六个子系统的误差变量定义为z5＝x5-α4d，
将式(23)和式(24)代入式(22)，得到：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
b.5选取Lyapunov函数对上式求导，并利用式(25)得到：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>5</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> <mfrac> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
令由万能逼近定理，对于任意小的正数ε5，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f5(Z5)，使得其中，S5(Z5)为基函数向量，|δ5|≤ε5，得到：
<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，||W5||为向量W5的范数，l5为正数；取虚拟控制函数：
<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，k5＞0；同理，引入一个新的滤波变量α5d，使得此信号经过低通滤波处理，得到下面的关系式：
<mrow> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>5</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>5</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>5</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ξ4为正的时间常数；将x6视为第六个子系统的控制输入，第六个子系统的误差变量定义为z6＝x6-α5d，利用上式，得到：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>5</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>5</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>6</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
b.6选取Lyapunov函数对上式求导，并利用式(30)得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>6</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>5</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>5</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
令由万能逼近定理，对于任意小的正数ε6，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f6(Z6)，使得其中，S6(Z6)为基函数向量，|δ6|≤ε6，得到：
<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>6</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>6</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>6</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>6</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，||W6||为向量W6的范数，l6为正数；取真实控制律：
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>6</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>6</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，k6＞0；定义θ＝max{||W1||2，||W2||2，||W3||2，||W5||2，||W6||2},
由式(32)和(33)，得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>6</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>5</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>6</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>6</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
b.7定义y1，y2，y3，y4为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>5</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，虚拟控制函数α1,α2,α4,α5分别为低通一阶滤波器的输入信号；
对上式求导，得到下列等式：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>36</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，
选取系统的Lyapunov函数：
<mrow> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>
其中，r1和r2为正数，则V对求导，并利用式(34)和(35)得：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>4</mn> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>6</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>6</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>37</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
选取自适应律：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>6</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>6</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
<mrow> <mover> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>38</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，m1，m2和lf(f＝1，2，3，5，6)皆为正数；
c对建立的考虑铁损的异步电机模糊自适应动态面控制器进行稳定性分析将上述自适应律代入式(37)，得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>4</mn> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>39</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在紧集范围|Ωi|，i＝1，2，3,4|Bi|≤BiM，得到下列不等式：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>M</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>M</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>M</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中τ＞0，对于有同理，得到下述不等式：
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进而：
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其中：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
由式(40)，容易得到
<mrow> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mo>&amp;le;</mo> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>41</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(41)表明，变量zn(n＝1，2，3，4，5，6)，和属于紧集；
<mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>,</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mi>V</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>}</mo> </mrow>
显然有
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