CN103701390A - 考虑铁损的电动汽车异步电机模糊反步控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑铁损的电动汽车异步电机模糊反步控制方法，针对电动汽车电机驱动和控制系统中存在非线性以及铁损的问题，基于反步法原理设计了一种自适应模糊控制器，模糊逻辑系统被用于逼近未知的非线性项，自适应反步法用于控制器的设计。本发明补充了传统方法中缺少的完整控制器设计的部分，增加了李雅普诺夫稳定性分析，控制信号u_qs、u_ds中只存在一个自适应参数

减少了计算量；通过本发明控制方法调节后，电机运行能快速达到稳定状态，更适合像电动汽车驱动系统这样需要快速动态响应的控制对象，仿真结果表明采用本发明的控制方法能够克服参数不准确的影响并且利于保证理想的控制效果，实现对转速的快速、稳定地响应。

Description

考虑铁损的电动汽车异步电机模糊反步控制方法

技术领域

本发明涉及一种电动汽车电机调速控制技术，尤其涉及一种考虑铁损的电动汽车异步电机模糊反步控制方法。

背景技术

国际金融危机以来，美、欧、日、韩等发达国家都在推动汽车产业的转型发展,全球范围内形成了新能源汽车发展的新一轮热潮。在所有技术创新中,电机驱动具有极其重要的地位,因为未来的驱动方式必须是少耗能、更环保、更具有可持续性。

电动汽车包括电机驱动及控制系统、驱动力传动等机械系统和完成既定任务的工作装置等。电机驱动及控制系统是电动汽车的核心，也是区别于内燃机汽车的最大不同点。电动汽车是汽车工业的一个重要分支，电动汽车的发展对于能源安全以及环境保护有着重大的意义。近年来，对于电动汽车的关注日益增高，与此同时，有效可靠经济的驱动的需求也日益紧迫。对于电动汽车动力系统的研究受到了国内外学者的广泛关注。异步电机以其廉价、结构简单、高可靠性以及耐用性的优点，在电动汽车领域得到了广泛的应用。然而异步电机的动态模型是一个高阶非线性强耦合的系统，如何实现对异步电机的有效控制是一个难题。电动汽车工作在较高转速时，异步电机会产生较大的铁损，然而传统的矢量控制是不考虑铁损的，因此使用传统的矢量控制方法是无法实现对异步电机的有效控制。

一个实际的系统必须是稳定的，不稳定系统是不可能付诸于工程实施的。系统的稳定性是指系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性”。可按两种方式来定义系统运动的稳定性，即通过输入--输出关系来表征的外部稳定性、以及通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性，只有在满足一定的条件时，系统的内部稳定性和外部稳定性之间才存在等价关系。对于现代控制理论涉及的更广泛类型的系统，通常采用李雅普诺夫稳定性判据。李雅普诺夫第一方法又称间接法，是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的，例如有阻尼的振动系统能量连续减小，总能量对时间的导数是负定的，系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。由于李雅普诺夫第一方法求解是非常烦琐的，因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。

为了实现对电动汽车异步电机准确有效的控制，我们必须重视铁损的影响。在过去主要有两种方法用于对异步电机进行控制，分别是基于损耗模型的方法和基于在线搜索优化的方法。然而这些方法都缺少完整的设计调速器的方法，并且没有传统的李雅普诺夫稳定性分析，估计的变量无法保证收敛到真实值，导致算法不可靠。基于此，建立一个考虑铁损的异步电机动态模型，进而设计一个更加有效的控制器是十分必要的。

发明内容

针对现有技术中存在的上述技术问题，本发明提出了一种考虑铁损的电动汽车异步电机模糊反步控制方法，来实现对其位置的跟踪控制，模糊逻辑系统用来逼近系统的非线性项，使用反步法来构造控制器。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

考虑铁损的电动汽车异步电机模糊反步控制方法，包括如下步骤：

a、建立考虑铁损的异步电机的动态模型

在同步旋转d-q坐标下考虑铁损的异步电机的动态模型可表示为：

其中，Θ为异步电机转子角度、ω_r为异步电机转子角速度、J为转动惯量、T_L为负载转矩、

为转子磁链、n_p为极对数、i_qs为q轴定子电流、i_ds为d轴定子电流、u_qs为异步电机q轴定子电压、u_ds为异步电机d轴定子电压、L_m为互感、L_1r为定子漏感、L_1s为转子漏感、R_s为异步电机定子等效电阻、R_r为异步电机转子等效电阻、R_fe为异步电机铁损等效电阻、i_qm为q轴励磁电流、i_dm为d轴励磁电流；

为简化异步电机的动态模型，定义如下变量：

则考虑铁损的异步电机的动态模型可表示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{.}{x}}_2=\frac{1}{J}{a}_1{x}_3{x}_5-\frac{T_L}{J}\\ {\stackrel{.}{x}}_3=b_1{x}_4-b_2{x}_3+b_3\frac{x_3{x}_6}{x_5}+x_2{x}_6\\ {\stackrel{.}{x}}_4=c_1{u}_{\mathrm{qs}}-c_2{x}_4+x_2{x}_7+c_3\frac{x_3{x}_7}{x_5}+c_4{x}_3\\ {\stackrel{.}{x}}_5=d_1{x}_5+d_2{x}_6\\ {\stackrel{.}{x}}_6=e_1{x}_7+e_2{x}_5-e_3{x}_6+e_4\frac{x_3^2}{x_5}+x_2{x}_3\\ {\stackrel{.}{x}}_7=f_1{u}_{\mathrm{ds}}-f_2{x}_7+f_3\frac{x_3{x}_4}{x_5}+x_2{x}_4-f_4{x}_5+f_5{x}_6\end{array}\right.---\left(3\right)$

b、根据反步法原理，设计考虑铁损的异步电机模糊反步控制器

定义系统误差变量如下：

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=x_1-x_{1d}\\ z_2=x_2-{\mathrm{\α}}_1\\ z_3=x_3-{\mathrm{\α}}_2\\ z_4=x_4-{\mathrm{\α}}_3\\ z_5=x_5-x_{5d}\\ z_6=x_6-{\mathrm{\α}}_4\\ z_7=x_7-{\mathrm{\α}}_5\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，x_1d为期望的速度信号、x_5d为磁链的参考信号、α_i为所期望的虚拟控制信号，i＝1,2,3,4,5；

c、为确保x₁能有效跟踪期望信号x_1d，选取李雅普诺夫控制函数如下：

$V_1=\frac{1}{2}{z}_1^2---\left(5\right)$

对式（5）求导可得：

${\stackrel{.}{V}}_1=z_1{\stackrel{.}{z}}_1=z_1({\stackrel{.}{x}}_1-{\stackrel{.}{x}}_{1d})=z_1(x_2-{\stackrel{.}{x}}_{1d}).---\left(6\right)$

将x₂视为第一个子系统的控制输入，选取虚拟控制函数

其中k₁＞0则得到：

${\stackrel{.}{V}}_1=-k_1{z_1}^2+z_1{z}_2.---\left(7\right)$

其他参数采用与步骤c相同的方式跟踪与该参数所对应的期望信号；

d、在步骤c之后依次出现非线性项：

$g_3=a_1{x}_5{z}_2-b_2{x}_3+b_3\frac{x_3{x}_6}{x_5}+x_2{x}_6-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_2---\left(8\right)$

$g_4=b_1{z}_3-c_2{x}_4+x_2{x}_7+c_3\frac{x_3{x}_7}{x_5}+c_4{x}_3-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_3---\left(9\right)$

$g_6=d_2{z}_5+e_2{x}_5-e_3{x}_6+e\frac{x_3^2}{x_5}+x_2{x}_3-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_4---\left(10\right)$

$g_7=e_1{z}_6-f_2{x}_7+f_3\frac{x_3{x}_4}{x_5}+x_2{x}_4-f_4{x}_5+f_5{x}_6-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_5---\left(11\right)$

采用模糊自适应反步法，通过模糊逻辑系统逼近非线性函数：

d.1选取李雅普诺夫函数对V₃求导得：

其中，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃，选取模糊逻辑系统

使得

其中δ₃表示逼近误差，并满足不等式|δ₃|≤ε₃，从而：

$z_3{g}_3=z_3{W_3}^T{S}_3+z_3{\mathrm{\δ}}_3\≤\frac{1}{{2l}_3^2}{z_3}^2{\left|\right|W_3\left|\right|}^2{S_3}^T{S}_3+\frac{1}{2}{l_3}^2+\frac{1}{2}{z_3}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_3}^2---\left(13\right)$

其中，||W₃||是向量W₃的范数，将（13）带入（12）得：

取虚拟控制函数为：

${\mathrm{\α}}_3=\frac{1}{b_1}(-k_3{z}_3-\frac{1}{2}{z}_3-\frac{1}{2{l_3}^2}{z}_3\widehat{\mathrm{\θ}}{S_3}^T{S}_3)---\left(15\right)$

其中，k₃＞0，

为θ的估计值，θ将在后面定义，把式（15）代入式（14）得：

d.2选取李雅普诺夫函数

对V₄求导得：

其中， $g_4=b_1{z}_3-c_2{x}_4+x_2{x}_7+c_3\frac{x_3{x}_7}{x_5}+c_4{x}_3-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_3,$ 再一次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数g₄，使得：

$z_4{g}_4=z_4{W_4}^T{S}_4+z_4{\mathrm{\δ}}_4\≤\frac{1}{2l_4^2}{z_4}^2{\left|\right|W_4\left|\right|}^2{S_4}^T{S}_4+\frac{1}{2}{l_4}^2+\frac{1}{2}{z_4}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_4}^2---\left(18\right)$

将（18）带入（17）得：

取控制律u_qs为：

$u_{\mathrm{qs}}=-k_4{z}_4-\frac{1}{2}{z}_4-\frac{1}{2{l_4}^2}{z}_4\widehat{\mathrm{\θ}}{S_4}^T{S}_4---\left(20\right)$

其中，k₄＞0；

d.3选取李雅普诺夫函数

对V₆求导得：

${\stackrel{\·}{V}}_6\≤{\stackrel{\·}{V}}_4-k_5{z}_5^2+d_2{z}_5{z}_6+z_6(e_1{x}_7+e_2{x}_5-e_3{x}_6+e\frac{x_3^2}{x_5}+x_2{x}_3-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_4)---\left(21\right)$

其中，

再一次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数g₆，可得：

$z_6{g}_6=z_6{W_6}^T{S}_6+z_6{\mathrm{\δ}}_6\≤\frac{1}{2l_6^2}{z_6}^2{\left|\right|W_6\left|\right|}^2{S_6}^T{S}_6+\frac{1}{2}{l_6}^2+\frac{1}{2}{z_6}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_6}^2---\left(22\right)$

将（22）带入（21）得：

${\stackrel{\·}{V}}_6\≤{\stackrel{\·}{V}}_4-k_5{z}_5^2+z_6(e_1{x}_7+\frac{1}{2}{z}_6+\frac{1}{{2l}_6^2}{z}_6{\left|\right|W_6\left|\right|}^2{S_6}^T{S}_6)+\frac{1}{2}{l_6}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_6}^2---\left(23\right)$

取虚拟控制函数为：

${\mathrm{\α}}_5=\frac{1}{e_1}(-k_6{z}_6-\frac{1}{2}{z}_6-\frac{1}{2{l_6}^2}{z}_6\widehat{\mathrm{\θ}}{S_6}^T{S}_6)---\left(24\right)$

其中，k₆＞0；

把式（24）代入式（23）得：

d.4选取李雅普诺夫函数

对V₇求导得：

其中， $g_7=e_1{z}_6-f_2{x}_7+f_3\frac{x_3{x}_4}{x_5}+x_2{x}_4-f_4{x}_5+f_5{x}_6-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_5,$ 再一次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数g₆，使得：

$z_7{g}_7=z_7{W_7^{T}S}_7+z_7{\mathrm{\δ}}_7\≤\frac{1}{{2l}_7^2}{z_7}^2{\left|\right|W_7\left|\right|}^2{S_7}^T{S}_7+\frac{1}{2}{l_7}^2+\frac{1}{2}{z_7}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_7}^2---\left(27\right)$

将（27）代入（26）得：

取控制律u_qs为：

$u_{\mathrm{ds}}=\frac{1}{f_1}(-k_7{z}_7-\frac{1}{2}{z}_7-\frac{1}{2{l_7}^2}{z}_7\widehat{\mathrm{\θ}}{S_7}^T{S}_7)---\left(29\right)$

其中，k₇＞0；

同时定义变量θ、J的估计误差为

选取李雅谱诺夫稳定函数为:

$\left\{\begin{array}{c}{V}_1=\frac{1}{2}{z}_1^2\\ V_2=V_1+\frac{1}{2}{z_2}^2\\ V_3=V_2+\frac{1}{2}{z_3}^2\\ V_4=V_3+\frac{1}{2}{z_4}^2\\ V_5=V_4+\frac{1}{2}{z_5}^2\\ V_6=V_5+\frac{1}{2}{z_6}^2\\ V_7=V_6+\frac{1}{2}{z_7}^2\\ V=V_7+\frac{1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2r_2}{\tilde{J}}^2\end{array}\right.---\left(30\right)$

对V求导可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{V}\≤+\underset{j=n=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{k}_j{z}_n^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2\\ +\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2+\frac{\tilde{J}}{r_1}(\stackrel{.}{\hat{J}}+r_1{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_1{z}_2)\\ +\frac{\widetilde{\mathrm{\θ}}}{r_2}(\stackrel{.}{\widehat{\mathrm{\θ}}}-\frac{r_2}{2l_3^2}{z}_3^2{S_3}^T{S}_3-\frac{r_2}{2l_4^2}{z}_4^2{S_4}^T{S}_4-\frac{r_2}{2l_6^2}{z}_6^2{S_6}^T{S}_6-\frac{r_2}{2l_7^2}{z}_7^2{S_7}^T{S}_7)\end{array}---\left(31\right)$

由上式可得相应的自适应率为：

$\stackrel{\stackrel{.}{^}}{J}=-r_1{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_1{z}_2-m_1\hat{J}$

$\stackrel{\stackrel{.}{^}}{\mathrm{\θ}}=\frac{r_2}{{2l}_3^2}{z}_3^2{S_3}^T{S}_3+\frac{r_2}{{2l}_4^2}{z}_4^2{S_4}^T{S}_4+\frac{r_2}{{2l}_6^2}{z}_6^2{S_6}^T{S}_6+\frac{r_2}{{2l}_7^2}{z}_7^2{S_7}^T{S}_7-m_2\widehat{\mathrm{\θ}}---\left(32\right)$

将（32）带入（31）可得：

$\stackrel{.}{V}\≤-\underset{j=n=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{k}_j{z}_n^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^3{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2-\frac{m_1}{r_1}\tilde{J}\hat{J}-\frac{m_2}{r_2}\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}}---\left(33\right)$

e、对建立的考虑铁损的异步电机模糊反步控制器进行稳定性分析

对于 $-\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}},-\tilde{J}\hat{J}$ 有 $-\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}}\≤-\widetilde{\mathrm{\θ}}(\widetilde{\mathrm{\θ}}+\mathrm{\θ})\≤-\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}^2,-\tilde{J}\hat{J}\≤\tilde{J}(\tilde{J}+J)\≤-\frac{1}{2}{\tilde{J}}^2+\frac{1}{2}{J}^2;$ 将上述不等式带入（33）可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{V}\≤-\underset{j=n=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{k}_j{z}_n^2-\frac{m_1}{2r_1}{\tilde{J}}^2-\frac{m_2}{2r_2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2\\ +\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2+\frac{m_1}{2r_1}{J}^2+\frac{m_2}{2r_2}{\mathrm{\θ}}^2\≤-a_{0}V+b\end{array}---\left(34\right)$

其中，

$\begin{array}{c}{a}_0=\min \{2k_1,\frac{k_2}{J},2k_3,2k_4,2k_5,2k_6,2k_7,m_1,m_2,\}\\ b_0=\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2+\frac{m_1}{2r_1}{J}^2+\frac{m_2}{2r_2}{\mathrm{\θ}}^2\end{array}---\left(35\right)$

由式（34）容易得到：

$V\≤(V\left(t_0\right)-\frac{b_0}{a_0})e^{-a_0(t-t_0)}+\frac{b_0}{a_0}\≤V\left(t_0\right)+\frac{b_0}{a_0},\∀t\≥t_0.---\left(36\right)$

式（36）表明变量z_n和

属于紧集，n＝1,2,3：

$\mathrm{\Ω}=\left\{(z_n,\widetilde{\mathrm{\θ}})\right|V\≤V\left(t_0\right)+\frac{b_0}{a_0},\∀t\≥t_0\}---\left(37\right)$

并显然有： $\underset{t\→\∞}{\lim }{z_1}^2\≤\frac{2b_0}{a_0}..$

本发明的优点是：

（1）电动汽车工作在较高转速时，异步电机会产生较大的铁损，然而传统的矢量控制是不考虑铁损的，本发明充分考虑到铁损问题并构建合理模型加以合适方式有效解决此问题，与传统的矢量控制方法相比，本发明能够克服参数未知以及负载变化的影响，实现更加有效的位置跟踪控制。

（2）本发明利用模糊自适应反步法对输出电压的非线性项进行模糊逼近，构建考虑铁损的异步电机模糊反步控制器，有效地解决了电动汽车异步电动机的非线性控制问题，而且该控制器构造简单易行、实现方便、设计合理，具有较强的抗负载扰动能力。

（3）本发明需要的输入信号是实际工程中易于得到的可直接测量的转速和电流信号量，模糊自适应反步算法本身可以通过软件编程实现，并且可以省去对异步电机的参数的设置，易于对异步电机进行直接控制，降低成本、安全可靠，具有广阔的应用前景。

（4）本发明不需要根据异步电机的不同而修改控制器的参数，原理上可以实现对所有型号和功率的异步电机的稳定调速控制，在控制过程中减少对异步电机参数的测量，利于实现异步电动机转速调节的快速响应。

附图说明

图1为本发明中由异步电机模糊反步控制器、坐标变换和SVPWM 逆变器组成的复合被控对象的示意图；

图2为本发明中考虑铁损的电动汽车异步电机模糊反步控制器的示意图；

图3为异步电机模糊反步控制器控制后转子角度和转子角度设定值的跟踪仿真图；

图4为异步电机模糊反步控制器控制后转子磁链和转子磁链设定值的跟踪仿真图；

图5为异步电机模糊反步控制器控制后异步电动机d轴定子电压仿真图；

图6为异步电机模糊反步控制器控制后异步电动机q轴定子电压仿真图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

结合图1和图2所示，考虑铁损的电动汽车异步电机模糊反步控制器，主要包括异步电机模糊反步控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3和转速检测单元5与电流检测单元6。转速检测单元5和电流检测单元6主要用于检测异步电动机的电流值和转速相关变量，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，通过异步电机模糊反步控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制异步电动机的转速，为了设计一个更加有效的控制器，建立考虑铁损的异步电机动态模型是十分必要的。

a、建立考虑铁损的异步电机的动态模型

在同步旋转d-q坐标下考虑铁损的异步电机的动态模型可表示为：

其中，Θ为异步电机转子角度、ω_r为异步电机转子角速度、J为转动惯量、T_L为负载转矩、

为转子磁链、n_p为极对数、i_qs为q轴定子电流、i_ds为d轴定子电流、u_qs为异步电机q轴定子电压、u_ds为异步电机d轴定子电压、L_m为互感、L_1r为定子漏感、L_1s为转子漏感、R_s为异步电机定子等效电阻、R_r为异步电机转子等效电阻、R_fe为异步电机铁损等效电阻、i_qm为q轴励磁电流、i_dm为d轴励磁电流；

为简化异步电机的动态模型，定义如下变量：

则考虑铁损的异步电机的动态模型可表示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{.}{x}}_2=\frac{1}{J}{a}_1{x}_3{x}_5-\frac{T_L}{J}\\ {\stackrel{.}{x}}_3=b_1{x}_4-b_2{x}_3+b_3\frac{x_3{x}_6}{x_5}+x_2{x}_6\\ {\stackrel{.}{x}}_4=c_1{u}_{\mathrm{qs}}-c_2{x}_4+x_2{x}_7+c_3\frac{x_3{x}_7}{x_5}+c_4{x}_3\\ {\stackrel{.}{x}}_5=d_1{x}_5+d_2{x}_6\\ {\stackrel{.}{x}}_6=e_1{x}_7+e_2{x}_5-e_3{x}_6+e_4\frac{x_3^2}{x_5}+x_2{x}_3\\ {\stackrel{.}{x}}_7=f_1{u}_{\mathrm{ds}}-f_2{x}_7+f_3\frac{x_3{x}_4}{x_5}+x_2{x}_4-f_4{x}_5+f_5{x}_6\end{array}\right.---\left(3\right)$

b、根据反步法原理，设计考虑铁损的异步电机模糊反步控制器

定义系统误差变量如下：

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=x_1-x_{1d}\\ z_2=x_2-{\mathrm{\α}}_1\\ z_3=x_3-{\mathrm{\α}}_2\\ z_4=x_4-{\mathrm{\α}}_3\\ z_5=x_5-x_{5d}\\ z_6=x_6-{\mathrm{\α}}_4\\ z_7=x_7-{\mathrm{\α}}_5\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，x_1d为期望的速度信号、x_5d为磁链的参考信号、α_i为所期望的虚拟控制信号，i＝1,2,3,4,5；

c、为确保x₁能有效跟踪期望信号x_1d，选取李雅普诺夫控制函数如下：

$V_1=\frac{1}{2}{z}_1^2---\left(5\right)$

对式（5）求导可得：

${\stackrel{.}{V}}_1=z_1{\stackrel{.}{z}}_1=z_1({\stackrel{.}{x}}_1-{\stackrel{.}{x}}_{1d})=z_1(x_2-{\stackrel{.}{x}}_{1d}).---\left(6\right)$

将x₂视为第一个子系统的控制输入，选取虚拟控制函数其中k₁＞0则得到：

${\stackrel{.}{V}}_1=-k_1{z_1}^2+z_1{z}_2.---\left(7\right)$

其他参数采用与步骤c相同的方式跟踪与该参数所对应的期望信号；

d、在步骤c之后依次出现非线性项：

$g_3=a_1{x}_5{z}_2-b_2{x}_3+b_3\frac{x_3{x}_6}{x_5}+x_2{x}_6-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_2---\left(8\right)$

$g_4=b_1{z}_3-c_2{x}_4+x_2{x}_7+c_3\frac{x_3{x}_7}{x_5}+c_4{x}_3-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_3---\left(9\right)$

$g_6=d_2{z}_5+e_2{x}_5-e_3{x}_6+e\frac{x_3^2}{x_5}+x_2{x}_3-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_4---\left(10\right)$

$g_7=e_1{z}_6-f_2{x}_7+f_3\frac{x_3{x}_4}{x_5}+x_2{x}_4-f_4{x}_5+f_5{x}_6-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_5---\left(11\right)$

采用模糊自适应反步法，通过模糊逻辑系统逼近非线性函数：

d.1选取李雅普诺夫函数对V₃求导得：

其中，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃，选取模糊逻辑系统

使得

其中δ₃表示逼近误差，并满足不等式|δ₃|≤ε₃，从而

$z_3{g}_3=z_3{W}_3^T{S}_3+z_3{\mathrm{\δ}}_3\≤\frac{1}{{2l}_3^2}{z_3}^2{\left|\right|W_3\left|\right|}^2{S_3}^T{S}_3+\frac{1}{2}{l_3}^2+\frac{1}{2}{z_3}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_3}^2---\left(13\right)$

其中，||W₃||是向量W₃的范数，将（13）带入（12）得：

取虚拟控制函数为：

${\mathrm{\α}}_3=\frac{1}{b_1}(-k_3{z}_3-\frac{1}{2}{z}_3-\frac{1}{{{2l}_3}^2}{z}_3\widehat{\mathrm{\θ}}{S_3}^T{S}_3)---\left(15\right)$

其中，k₃＞0，

为θ的估计值，θ将在后面定义，把式（15）代入式（14）得：

d.2选取李雅普诺夫函数

对V₄求导得：

其中， $g_4=b_1{z}_3-c_2{x}_4+x_2{x}_7+c_3\frac{x_3{x}_7}{x_5}+c_4{x}_3-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_3,$ 再一次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数g₄，使得：

$z_4{g}_4=z_4{W}_4^T{S}_4+z_4{\mathrm{\δ}}_4\≤\frac{1}{{2l}_4^2}{z_4}^2{\left|\right|W_4\left|\right|}^2{S_4}^T{S}_4+\frac{1}{2}{l_4}^2+\frac{1}{2}{z_4}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_4}^2---\left(18\right)$

将（18）带入（17）得：

取控制律u_qs为：

$u_{\mathrm{qs}}=-k_4{z}_4-\frac{1}{2}{z}_4-\frac{1}{{{2l}_4}^2}{z}_4\widehat{\mathrm{\θ}}{S_4}^T{S}_4---\left(20\right)$

其中，k₄＞0；

d.3选取李雅普诺夫函数对V₆求导得：

${\stackrel{.}{V}}_6\≤{\stackrel{.}{V}}_4-k_5{z}_5^2+d_2{z}_5{z}_6+z_6(e_1{x}_7+e_2{x}_5-e_3{x}_6+e\frac{x_3^2}{x_5}+x_2{x}_3-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_4)---\left(21\right)$

其中，

再一次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数g₆，可得：

$z_6{g}_6=z_6{W}_6^T{S}_6+z_6{\mathrm{\δ}}_6\≤\frac{1}{{2l}_6^2}{z_6}^2{\left|\right|W_6\left|\right|}^2{S_6}^T{S}_6+\frac{1}{2}{l_6}^2+\frac{1}{2}{z_6}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_6}^2---\left(22\right)$

将（22）带入（21）得：

${\stackrel{.\·}{V}}_6\≤{\stackrel{.\·}{V}}_4-k_5{z}_5^2+z_6(e_1{x}_7+\frac{1}{2}{z}_6+\frac{1}{2l_6^2}{z}_6{\left|\right|W_6\left|\right|}^2{S_6}^T{S}_6)+\frac{1}{2}{l_6}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_6}^2---\left(23\right)$

取虚拟控制函数为：

${\mathrm{\α}}_5=\frac{1}{e_1}(-k_6{z}_6-\frac{1}{2}{z}_6-\frac{1}{{{2l}_6}^2}{z}_6\widehat{\mathrm{\θ}}{S_6}^T{S}_6)---\left(24\right)$

其中，k₆＞0；

把式（24）代入式（23）得：

d.4选取李雅普诺夫函数

对V₇求导得：

其中， $g_7=e_1{z}_6-f_2{x}_7+f_3\frac{x_3{x}_7}{x_5}+x_2{x}_4-f_4{x}_5+f_5{x}_6-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_5,$ 再一次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数g₆，使得：

$z_7{g}_7=z_7{W}_7^T{S}_7+z_7{\mathrm{\δ}}_7\≤\frac{1}{{2l}_7^2}{z_7}^2{\left|\right|W_7\left|\right|}^2{S_7}^T{S}_7+\frac{1}{2}{l_7}^2+\frac{1}{2}{z_7}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_7}^2---\left(27\right)$

将（27）代入（26）得：

取控制律u_qs为：

$u_{\mathrm{ds}}=\frac{1}{f_1}(-k_7{z}_7-\frac{1}{2}{z}_7-\frac{1}{{{2l}_7}^2}{z}_7\widehat{\mathrm{\θ}}{S_7}^T{S}_7)---\left(29\right)$

其中，k₇＞0；

同时定义变量θ、J的估计误差为

选取李雅谱诺夫稳定函数为:

$\left\{\begin{array}{c}{V}_1=\frac{1}{2}{z}_1^2\\ V_2=V_1+\frac{1}{2}{z_2}^2\\ V_3=V_2+\frac{1}{2}{z_3}^2\\ V_4=V_3+\frac{1}{2}{z_4}^2\\ V_5=V_4+\frac{1}{2}{z_5}^2\\ V_6=V_5+\frac{1}{2}{z_6}^2\\ V_7=V_6+\frac{1}{2}{z_7}^2\\ V=V_7+\frac{1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{{2r}_2}{\tilde{J}}^2\end{array}\right.---\left(30\right)$

对V求导可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤+\underset{j=n=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{k}_j{z}_n^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2\\ +\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2+\frac{\tilde{J}}{r_1}(\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{J}+r_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1{z}_2)\\ +\frac{\widetilde{\mathrm{\θ}}}{r_2}(\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}-\frac{r_2}{2l_3^2}{z}_3^2{S_3}^T{S}_3-\frac{r_2}{2l_4^2}{z}_4^2{S_4}^T{S}_4-\frac{r_2}{2l_6^2}{z}_6^2{S_6}^T{S}_6-\frac{r_2}{2l_7^2}{z}_7^2{S_7}^T{S}_7)\end{array}---\left(31\right)$

由上式可得相应的自适应率为：

$\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{J}=-r_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1{z}_2-m_1\hat{J}$

$\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}=\frac{r_2}{2l_3^2}{z}_3^2{S_3}^T{S}_3+\frac{r_2}{2l_4^2}{z}_4^2{S_4}^T{S}_4+\frac{r_2}{2l_6^2}{{z_6^{2}S}_6}^T{S}_6+\frac{r_2}{2l_7^2}{z}_7^2{S_7}^T{S}_7-m_2\widehat{\mathrm{\θ}}---\left(32\right)$

将（32）带入（31）可得：

$\stackrel{\·}{V}\≤-\underset{j=n=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{k}_j{z}_n^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2\frac{m_1}{r_1}\tilde{J}\hat{J}\frac{m_2}{r_2}\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}}---\left(33\right)$

e、对建立的考虑铁损的异步电机模糊反步控制器进行稳定性分析

对于 $-\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}},-\tilde{J}\hat{J}$ 有 $-\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}}\≤-\widetilde{\mathrm{\θ}}(\widetilde{\mathrm{\θ}}+\mathrm{\θ})\≤-\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}^2,-\tilde{J}\hat{J}\≤\tilde{J}(\tilde{J}+J)\≤-\frac{1}{2}{\tilde{J}}^2+\frac{1}{2}{J}^2;$ 将上述不等式带入（33）可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{V}\≤-\underset{j=n=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{k}_j{z}_n^2-\frac{m_1}{{2r}_1}{\tilde{J}}^2-\frac{m_2}{{2r}_2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2\\ +\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2+\frac{m_1}{{2r}_1}{J}^2+\frac{m_2}{{2r}_2}{\mathrm{\θ}}^2\≤-a_{0}V+b\end{array}---\left(34\right)$

其中，

$\begin{array}{c}{a}_0=\min \{{2k}_1,\frac{k_2}{J},{2k}_3,{2k}_4,{2k}_5,{2k}_6,{2k}_7,m_1,m_2,\}\\ b_0=\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2+\frac{m_1}{{2r}_1}{J}^2+\frac{m_2}{{2r}_2}{\mathrm{\θ}}^2\end{array}---\left(35\right)$

由式（34）容易得到：

$V\≤(V\left(t_0\right)-\frac{b_0}{a_0})e^{-a_0(t-t_0)}+\frac{b_0}{a_0}\≤\left(t_0\right)+\frac{b_0}{a_0},\∀t\≥t_0.---\left(36\right)$

式（36）表明变量z_n和属于紧集，n＝1,2,3：

$\mathrm{\Ω}=\left\{(z_n,\widetilde{\mathrm{\θ}})\right|V\≤V\left(t_0\right)+\frac{b_0}{a_0},\∀t\≥t_0\}---\left(37\right)$

并显然有： $\underset{t\→\∞}{\lim }{z_1}^2\≤\frac{{2b}_0}{a_0}.---\left(38\right)$

由以上分析可以得到在控制率u_q,u_d的作用下，系统的跟踪误差可以收敛到原点的一个充分下的邻域内，并保证其他信号有界；

f、在虚拟环境下对所建立的异步电机模糊反步控制器进行仿真，验证所提出的异步电机模糊反步控制方法的可行性

电机及负载参数为：

J＝0.00035kg·m²;B＝1.158*10^(-3)N·m/(rad/s);

R_s＝8Ω;R_r＝2Ω;R_fe＝3000Ω;

L_m＝0.97H;L_1s＝0.1H;L_1r＝0.1H;Lr＝1.07H;   （39）

Np＝1;

$T_L=\left\{\begin{array}{c}0.68N\·m,t\≤1.5\\ 0.69N\·m,t>1.5\end{array}\right.$

选取的模糊集为μ：

${\mathrm{\μ}}_{F_i^1}=e^{\frac{-{(x+5)}^2}{2}},{\mathrm{\μ}}_{F_i^2}=e^{\frac{-{(x+4)}^2}{2}},{\mathrm{\μ}}_{F_i^3}=e^{\frac{-{(x+3)}^2}{2}},{\mathrm{\μ}}_{F_i^4}=e^{\frac{-{(x+2)}^2}{2}}---\left(40\right)$

${\mathrm{\μ}}_{F_i^5}=e^{\frac{-{(x+1)}^2}{2}},{\mathrm{\μ}}_{F_i^6}=e^{\frac{-{(x-0)}^2}{2}},{\mathrm{\μ}}_{F_i^7}=e^{\frac{-{(x-1)}^2}{2}},{\mathrm{\μ}}_{F_i^8}=e^{\frac{-{(x-2)}^2}{2}}---\left(41\right)$

选择控制率参数为：

k₁＝72;k₂＝60;k₃＝31.2;k₄＝34.8;k₅＝34.8;k₆＝32.4;k₇＝48;

r₁＝0.1;r₂＝0.1;

l₃＝0.1;l₄＝0.1;l₆＝0.1;l₇＝0.1;   （42）

m₁＝0.2;m₂＝0.2;

跟踪信号为：

x_1d＝0.5*sin(30*t)+0.3*sin(0.5*30*t);

x_5d＝1   （43）

相应的仿真结果如图3、图4、图5和图6所示。图3、图4分别为异步电机模糊反步控制器控制后转子角度和转子角度设定值、以及转子磁链和转子磁链设定值的跟踪仿真图，通过仿真结果表明效果理想，跟踪效果理想，响应速度快。图5、图6分别为异步电机模糊反步控制器控制后异步电动机d轴定子、以及异步电动机q轴定子电压仿真图，通过仿真结果表明效果理想、波动小、响应速度快。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.考虑铁损的电动汽车异步电机模糊反步控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a、建立考虑铁损的异步电机的动态模型

在同步旋转d-q坐标下考虑铁损的异步电机的动态模型可表示为：

其中，Θ为异步电机转子角度、ω_r为异步电机转子角速度、J为转动惯量、T_L为负载转矩、

为转子磁链、n_p为极对数、i_qs为q轴定子电流、i_ds为d轴定子电流、u_qs为异步电机q轴定子电压、u_ds为异步电机d轴定子电压、L_m为互感、L_1r为定子漏感、L_1s为转子漏感、R_s为异步电机定子等效电阻、R_r为异步电机转子等效电阻、R_fe为异步电机铁损等效电阻、i_qm为q轴励磁电流、i_dm为d轴励磁电流；

为简化异步电机的动态模型，定义如下变量：

则考虑铁损的异步电机的动态模型可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{.}{x}}_2=\frac{1}{J}{a}_1{x}_3{x}_5-\frac{T_L}{J}\\ {\stackrel{.}{x}}_3=b_1{x}_4-b_2{x}_3+b_3\frac{x_3{x}_6}{x_5}+x_2{x}_6\\ {\stackrel{.}{x}}_4=c_1{u}_{\mathrm{qs}}-c_2{x}_4+x_2{x}_7+c_3\frac{x_3{x}_7}{x_5}+c_4{x}_3\\ {\stackrel{.}{x}}_5=d_1{x}_5+d_2{x}_6\\ {\stackrel{.}{x}}_6=e_1{x}_7+e_2{x}_5-e_3{x}_6+e_4\frac{x_3^2}{x_5}+x_2{x}_3\\ {\stackrel{.}{x}}_7=f_1{u}_{\mathrm{ds}}-f_2{x}_7+f_3\frac{x_3{x}_4}{x_5}+x_2{x}_4-f_4{x}_5+f_5{x}_6\end{array}\right.---\left(3\right)$

b、根据反步法原理，设计考虑铁损的异步电机模糊反步控制器

定义系统误差变量如下：

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=x_1-x_{1d}\\ z_2=x_2-{\mathrm{\α}}_1\\ z_3=x_3-{\mathrm{\α}}_2\\ z_4=x_4-{\mathrm{\α}}_3\\ z_5=x_5-x_{5d}\\ z_6=x_6-{\mathrm{\α}}_4\\ z_7=x_7-{\mathrm{\α}}_5\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，x_1d为期望的速度信号、x_5d为磁链的参考信号、α_i为所期望的虚拟控制信号，i＝1，2,3,4,5；

c、为确保x₁能有效跟踪期望信号x_1d，选取李雅普诺夫控制函数如下：

$V_1=\frac{1}{2}{z}_1^2---\left(5\right)$

对式（5）求导可得：

${\stackrel{.}{V}}_1=z_1{\stackrel{.}{z}}_1=z_1({\stackrel{.}{x}}_1-{\stackrel{.}{x}}_{1d})=z_1(x_2-{\stackrel{.}{x}}_{1d}).---\left(6\right)$

将x₂视为第一个子系统的控制输入，选取虚拟控制函数

其中k₁＞0，则得到：

${\stackrel{.}{V}}_1=-k_1{z_1}^2+z_1{z}_2.---\left(7\right)$

其他参数采用与步骤c相同的方式跟踪与该参数所对应的期望信号；

d、在步骤c之后依次出现非线性项：

$g_3=a_1{x}_5{z}_2-b_2{x}_3+b_3\frac{x_3{x}_6}{x_5}+x_2{x}_6-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_2---\left(8\right)$

$g_4=b_1{z}_3-c_2{x}_4+x_2{x}_7+c_3\frac{x_3{x}_7}{x_5}+c_4{x}_3-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_3---\left(9\right)$

$g_6=d_2{z}_5+e_2{x}_5-e_3{x}_6+e\frac{x_3^2}{x_5}+x_2{x}_3-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_4---\left(10\right)$

$g_7=e_1{z}_6-f_2{x}_7+f_3\frac{x_3{x}_4}{x_5}+x_2{x}_4-f_4{x}_5+f_5{x}_6-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_5---\left(11\right)$

采用模糊自适应反步法，通过模糊逻辑系统逼近非线性函数：

d.1选取李雅普诺夫函数对V₃求导得：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃，选取模糊逻辑系统

使得其中δ₃表示逼近误差，并满足不等式|δ₃|≤ε₃，从而：

$z_3{g}_3=z_3{W}_3^T{S}_3+z_3{\mathrm{\δ}}_3\≤\frac{1}{2l_3^2}{z_3}^2\left|\right|W_3|{|}^2{S_3}^T{S}_3+\frac{1}{2}{l_3}^2+\frac{1}{2}{z_3}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_3}^2---\left(13\right)$

其中，||W₃||是向量W₃的范数，将（13）带入（12）得：

取虚拟控制函数为：

${\mathrm{\α}}_3=\frac{1}{b_1}(-k_3{z}_3-\frac{1}{2}{z}_3-\frac{1}{{{2l}_3}^2}{z}_3\widehat{\mathrm{\θ}}{S_3}^T{S}_3)---\left(15\right)$

其中，k₃＞0，

为θ的估计值，θ将在后面定义，把式（15）代入式（14）得：

d.2选取李雅普诺夫函数

对V₄求导得：

其中， $g_4=b_1{z}_3-c_2{x}_4+x_2{x}_7+c_3\frac{x_3{x}_7}{x_5}+c_4{x}_3-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_3,$ 再一次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数g₄，使得：

$z_4{g}_4=z_4{W_4}^T{S}_4+z_4{\mathrm{\δ}}_4\≤\frac{1}{2l_4^2}{z_4}^2{\left|\right|W_4\left|\right|}^2{S_4}^T{S}_4+\frac{1}{2}{l_4}^2+\frac{1}{2}{z_4}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_4}^2---\left(18\right)$

将（18）带入（17）得：

取控制律u_qs为：

$u_{\mathrm{qs}}=-k_4{z}_4-\frac{1}{2}{z}_4-\frac{1}{2{l_4}^2}{z}_4\widehat{\mathrm{\θ}}{S_4}^T{S}_4---\left(20\right)$

其中，k₄＞0；

d.3选取李雅普诺夫函数

对V₆求导得：

${\stackrel{.\·}{V}}_6\≤{\stackrel{.\·}{V}}_4-k_5{z}_5^2+d_2{z}_5{z}_6+z_6(e_1{x}_7+e_2{x}_5-e_3{x}_6+e\frac{x_3^2}{x_5}+x_2{x}_3-{\stackrel{.\·}{\mathrm{\α}}}_4)---\left(21\right)$

其中，再一次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数g₆，可得：

$z_6{g}_6=z_6{W_6}^T{S}_6+z_6{\mathrm{\δ}}_6\≤\frac{1}{2l_6^2}{z_6}^2{\left|\right|W_6\left|\right|}^2{S_6}^T{S}_6+\frac{1}{2}{l_6}^2+\frac{1}{2}{z_6}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_6}^2---\left(22\right)$

将（22）带入（21）得：

${\stackrel{.\·}{V}}_6\≤{\stackrel{.\·}{V}}_4-k_5{z}_5^2+z_6(e_1{x}_7+\frac{1}{2}{z}_6+\frac{1}{2l_6^2}{z}_6{\left|\right|W_6\left|\right|}^2{S_6}^T{S}_6)+\frac{1}{2}{l_6}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_6}^2---\left(23\right)$

取虚拟控制函数为：

${\mathrm{\α}}_5=\frac{1}{e_1}(-k_6{z}_6-\frac{1}{2}{z}_6-\frac{1}{2{l_6}^2}{z}_6\widehat{\mathrm{\θ}}{S_6}^T{S}_6)---\left(24\right)$

其中，k₆＞0；

把式（24）代入式（23）得：

d.4选取李雅普诺夫函数

对V₇求导得：

其中， $g_7=e_1{z}_6-f_2{x}_7+f_3\frac{x_3{x}_4}{x_5}+x_2{x}_4-f_4{x}_5+f_5{x}_6-{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_5,$ 再一次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数g₆，使得：

$z_7{g}_7=z_7{W_7}^T{S}_7+z_7{\mathrm{\δ}}_7\≤\frac{1}{2l_7^2}{z_7}^2{\left|\right|W_7\left|\right|}^2{S_7}^T{S}_7+\frac{1}{2}{l_7}^2+\frac{1}{2}{z_7}^2+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_7}^2---\left(27\right)$

将（27）代入（26）得：

取控制律u_qs为：

$u_{\mathrm{ds}}=\frac{1}{f_1}(-k_7{z}_7-\frac{1}{2}{z}_7-\frac{1}{2{l_7}^2}{z}_7\widehat{\mathrm{\θ}}{S_7}^T{S}_7)---\left(29\right)$

其中，k₇＞0；

同时定义变量θ、J的估计误差为

选取李雅谱诺夫稳定函数为:

$\left\{\begin{array}{c}{V}_1=\frac{1}{2}{z}_1^2\\ V_2=V_1+\frac{1}{2}{z_2}^2\\ V_3=V_2+\frac{1}{2}{z_3}^2\\ V_4=V_3+\frac{1}{2}{z_4}^2\\ V_5=V_4+\frac{1}{2}{z_5}^2\\ V_6=V_5+\frac{1}{2}{z_6}^2\\ V_7=V_6+\frac{1}{2}{z_7}^2\\ V=V_7+\frac{1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{{2r}_2}{\tilde{J}}^2\end{array}\right.---\left(30\right)$

对V求导可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{V}\≤+\underset{j=n=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{k}_j{z}_n^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2\\ +\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2+\frac{\tilde{J}}{r_1}(\stackrel{\stackrel{.}{^}}{J}+r_1{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_1{z}_2)\\ +\frac{\widetilde{\mathrm{\θ}}}{r_2}(\stackrel{\stackrel{.}{^}}{\mathrm{\θ}}-\frac{r_2}{{2l}_3^2}{z}_3^2{S_3}^T{S}_3-\frac{r_2}{{2l}_4^2}{z}_4^2{S_4}^T{S}_4-\frac{r_2}{{2l}_6^2}{z}_6^2{S_6}^T{S}_6-\frac{r_2}{{2l}_7^2}{z}_7^2{S_7}^T{S}_7)\end{array}---\left(31\right)$

由上式可得相应的自适应率为：

$\stackrel{\stackrel{.}{^}}{J}=-r_1{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_1{z}_2-m_1\hat{J}$

$\stackrel{\stackrel{.}{^}}{\mathrm{\θ}}=\frac{r_2}{{2l}_3^2}{z}_3^2{S_3}^T{S}_3+\frac{r_2}{{2l}_4^2}{z}_4^2{S_4}^T{S}_4+\frac{r_2}{{2l}_6^2}{z}_6^2{S_6}^T{S}_6+\frac{r_2}{{2l}_7^2}{z}_7^2{S_7}^T{S}_7-m_2\widehat{\mathrm{\θ}}---\left(32\right)$

将（32）带入（31）可得：

$\stackrel{.}{V}\≤-\underset{j=n=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{k}_j{z}_n^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2-\frac{m_1}{r_1}\tilde{J}\hat{J}-\frac{m_2}{r_2}\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}}---\left(33\right)$

e、对建立的考虑铁损的异步电机模糊反步控制器进行稳定性分析

对于 $-\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}},-\tilde{J}\hat{J}$ 有 $-\widetilde{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}}\≤-\widetilde{\mathrm{\θ}}(\widetilde{\mathrm{\θ}}+\mathrm{\θ})\≤-\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}^2,-\tilde{J}\hat{J}\≤\tilde{J}(\tilde{J}+J)\≤-\frac{1}{2}{\tilde{J}}^2+\frac{1}{2}{J}^2;$ 将上述不等式带入（33）可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{V}\≤-\underset{j=n=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{k}_j{z}_n^2-\frac{m_1}{{2r}_1}{\tilde{J}}^2-\frac{m_2}{{2r}_2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2\\ +\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2+\frac{m_1}{{2r}_1}{J}^2+\frac{m_2}{{2r}_2}{\mathrm{\θ}}^2\≤-a_{0}V+b\end{array}---\left(34\right)$

其中，

$\begin{array}{c}{a}_0=\min \{{2k}_1,\frac{k_2}{J},{2k}_3,{2k}_4,{2k}_5,{2k}_6,{2k}_7,m_1,m_2,\}\\ b_0=\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2{d}^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_4^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{l}_7^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_7^2+\frac{m_1}{{2r}_1}{J}^2+\frac{m_2}{{2r}_2}{\mathrm{\θ}}^2\end{array}---\left(35\right)$

由式（34）容易得到，

$V\≤(V\left(t_0\right)-\frac{b_0}{a_0})e^{-a_0(t-t_0)}+\frac{b_0}{a_0}\≤V\left(t_0\right)+\frac{b_0}{a_0},\∀t\≥t_0.---\left(36\right)$

式（36）表明变量z_n和

属于紧集，n＝1,2,3：

$\mathrm{\Ω}=\left\{(z_n,\widetilde{\mathrm{\θ}})\right|V\≤V\left(t_0\right)+\frac{b_0}{a_0},\∀t\≥t_0\}---\left(37\right)$

并显然有： $\underset{t\→\∞}{\lim }{z_1}^2\≤\frac{2b_0}{a_0}.$

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