CN107276471A - 一种基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于异步电机位置跟踪控制技术领域，具体公开了一种基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法。该方法针对异步电机的控制精度需求以及驱动系统中的非线性问题，基于Barrier Lyapunov函数，对电机系统的状态量和控制量进行了约束，同时利用模糊逻辑系统逼近系统中的非线性函数，构造了模糊自适应位置跟踪控制器。本发明方法可以保证系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个足够小的邻域内，仿真结果表明这种新的控制方法保证了电机的各个状态量在系统的约束空间内，控制器输入u_d和u_q都稳定在一个有界区域内。本发明方法实现了对异步电机位置跟踪控制快速有效的响应。

Description

一种基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法

技术领域

本发明属于异步电机位置跟踪控制技术领域，特别涉及一种基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法。

背景技术

异步电机(induction motors，IMs)是一种交流电机，也叫感应电机，主要作电动机使用。异步电动机广泛应用于工农业生产中，例如机床、水泵、冶金、矿山设备与轻工业机械等都用它作为原动机，其容量从几千瓦到几千千瓦。日益普及的家用电器，例如在洗衣机、风扇、电冰箱、空调器中采用单向异步电动机，其容量从几瓦到几千瓦。在航天、计算机等高科技领域。异步电机也可以作为发电机使用，例如小水电站、风力发电机也可采用异步电机。异步电机之所以得到广泛应用，主要由于它有如下优点：结构简单、运行可靠、制造容易、价格低廉、坚固耐用，而且有较高的效率和相当好的工作特性。高精度的运动控制已成为现代机电设备的主要发展方向。然而由于异步电机数学模型具有高度非线性、强耦合、多变量等特点，同时易受电机参数变化及外部负载扰动等不确定因素的影响，因此，要实现异步电动机的高精度位置跟踪控制是一项具有挑战性的课题。

近年来，将控制理论用于异步电机是研究已经能够很好的满足系统响应的快速性和稳定性。但在实际工程中，系统的控制常常要满足多重控制目标，在保证稳定性和快速性的同时要兼顾安全性。换言之，对于一个系统，要同时满足有界输入和状态约束。在电机的位置伺服中，状态量表征的是电流、转速及转子角加速度等相关信息，这些状态受到电机固有属性的约束；控制量表征的是电压，受到逆变器直流侧电压幅值的约束。由于异步电机的数学模型是非线性的，包含速度与电流的非线性耦合项，单从控制量饱和约束并不能保证状态量都始终在期望的集合内。故同时对状态量和输入量进行约束是必要的。然而，目前很多关于异步电机的研究结果中忽略了状态和输入约束的影响。

目前，非线性控制方法的研究取得了巨大的进展，如滑模控制、动态面控制、哈密顿控制、反步法控制和其它的一些控制方法。其中，自适应反步法因其能够有效地克服参数时变和负载扰动对系统性能的影响而得到广泛重视与应用。反步法是一种控制具有不确定性、非线性的系统，尤其是那些不满足给定条件的系统的方法。反步法最大的优点是可以用虚拟控制变量简化原始的高阶系统，从而最终的输出结果可以通过合适的Lyapunov方程来自动的得到。自适应反步控制方法将复杂的非线性系统分解成多个简单低阶的子系统，通过引入虚拟控制变量来逐步进行控制器设计，最终确定控制律以及参数自适应律，从而实现对系统的有效控制。此外，模糊逻辑系统在处理未知非线性函数方面的能力引起了国内外控制界的广泛关注，并用于具有高度非线性和不确定性的复杂控制系统设计中。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法，该方法基于Barrier Lyapunov函数，将反步法和模糊自适应技术相结合，有效地解决了在参数不确定和有负载转矩扰动的情况下异步电机的位置跟踪控制的问题。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法，包括如下步骤：

a建立异步电机的动态数学模型，如公式(1)所示：

式中，θ表示电机转子角位置，ω表示电机转子角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩，i_d和i_q表示d-q轴定子电流，u_d和u_q表示d-q轴定子电压，L_m表示互感，R_s表示定子的电阻，L_s表示定子的电感，R_r表示转子的电阻，L_r表示转子的电感，ψ_d表示转子磁链；

为简便异步电机的动态数学模型的表示，定义新的变量为：

则异步电机的动态数学模型可表示为：

b基于Barrier Lyapunov函数，设计一种基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法，将异步电机的动态数学模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄和控制输入u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总存在一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

式中，输入向量q是模糊输入维数，R^q为实数向量集，W＝[W₁,...,W_l]^T∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集，S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，通常选取基函数s_i(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

定义跟踪误差变量为：

其中，x_1d为期望的位置信号，x_4d为期望转子磁链信号，α₁,α₂,α₃为虚拟控制信号，|x_4d|≤A₂，A₀,A₁,A₂,A₃为正常数；

定义如下两个紧集：

其中，为正常数；

其中，为正常数；

控制方法设计的每一步都会选取一个Barrier Lyapunov函数来构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律，控制方法的设计具体包括以下步骤：

b1对于期望的位置信号x_1d，设定误差变量z₁＝x₁-x_1d，选取Barrier Lyapunov函数为：

对V₁求导得：其中，

选取虚拟控制函数为常数k₁＞0，则

b2选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₂＝x₂-α₁，则对公式(5)求导可得：

其中，

在实际系统中负载转矩T_L是有界的，定义T_L是未知的正常数且上限为d，即|T_L|≤d，其中d≥0；利用杨氏不等式，有

其中ε₂为一个任意小的正数，为了方便计算，此处取ε₂＝1，选取虚拟控制函数：

其中，常数k₂＞0，是J的估计值，将公式(7)和公式(8)代入公式(6)，可得：

b3选取Barrier Lyapunov函数为

由于z₃＝x₃-α₂，则对公式(10)式求导，可得：

其中， 由万能逼近定理知，对于任意小的正数ε₃，存在模糊逻辑：δ₃(Z)表示逼近误差，并满足不等式|δ₃(Z)|≤ε₃，得：

其中，常数l₃＞0，||W₃||为W₃的范数，将公式(12)代入公式(11)，可得：

选取实际的控制函数：

其中，常数k₃＞0，将公式(14)代入公式(13)，可得：

b4选取Barrier Lyapunov函数为

由于z₄＝x₄-x_4d，则对公式(16)求导，可得：

其中，

选取虚拟控制函数为

其中，常数k₄＞0，将公式(18)代入公式(17)，可得：

b5选取Barrier Lyapunov函数为

由于z₅＝x₅-α₃，则对公式(20)求导，可得：

其中，由万能逼近定理知，对于任意小的正数ε₅，存在模糊逻辑其中δ₅(Z)表示逼近误差，并满足不等式|δ₅(Z)|≤ε₅，得：

其中，常数l₅＞0，||W₅||为W₅的范数；将公式(22)代入公式(21)，可得：

选取实际的控制函数：

其中，常数k₅＞0，定义θ＝max{||W₃||²,||W₅||²}，将公式(24)代入公式(23)，可得：

b6定义J和θ两个物理量的估计误差分别为其中，为J的估计值，为θ的估计值，选取系统的Barrier Lyapunov函数为

其中，常数r₁＞0，常数r₂＞0；对公式(26)求导可得：

选取自适应律为：

其中，m₁，m₂均为正数；

c对建立的异步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析

为了分析上述闭环系统的稳定性，将公式(28)代入公式(27)，可得：

由于且运用杨氏不等式可得：

则公式(29)可转化成如下不等式，即：

此外，将公式(30)改写成

其中：

在公式(31)两边同乘e^at，可写成d(V(t)e^at)/dt≤be^at，则在[0,t]内：

由公式(31)可知，变量 是有界的；

因为z₁＝x₁-x_1d，且x_1d≤A₀，得令则由α₁的定义知，α₁是关于z₁和的函数，由于z₁和是有界的，所以α₁是有界的；

设α₁满足其中是一个正常数，z₂＝x₂-α₁，则假设得依次类推，可得由z₄＝x₄-x_4d和x_4d≤A₂可得，令则依次类推，可得

因为且J和θ是有界的，从公式(14)中u_q的定义知，u_q是关于x、x_1d和的函数，所以u_q是有界的，依次类推，可得u_d是有界的；

根据以上的分析，u_q、u_d、x_j、和都是有界的，其中，j＝1,2,3,4,5；

从公式(32)知不等式两边同时取e得因为得

如果则

如果当t→∞时，因此z₁收敛到足够小的邻域内。

本发明具有如下优点：

(1)本发明方法基于Barrier Lyapunov函数对异步电机系统的状态量和控制量进行了约束，保证电压电流稳定在一个有界区域内，减小了误差，提高了控制精度；同时，本发明方法利用模糊逻辑系统逼近异步电机驱动系统中的非线性函数，构造了模糊自适应位置跟踪控制器，此外，本发明方法利用反步法使跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，有效地解决了异步电机的非线性控制问题，最终可以达到更加准确的控制精度。

(2)本发明方法不需要根据异步电机的不同而修改控制器的参数，原理上可以实现对所有型号和功率的异步电机的稳定调速控制，在控制过程中减少对异步电机参数的测量，利于实现异步电机转速调节的快速响应。

(3)本发明方法鲁棒性好，具有较强的抗负载扰动能力，实现了理想的控制效果。

附图说明

图1本发明中异步电机基于状态约束模糊自适应控制器、坐标变换和SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图；

图2是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图；

图3是采用本发明控制方法后转子磁链和转子磁链设定值跟踪仿真图；

图4是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图；

图5是采用本发明控制方法后转子磁链和转子磁链设定值跟踪误差仿真图；

图6是采用本发明控制方法后异步电动机q轴定子电压仿真图；

图7是采用本发明控制方法后异步电动机d轴定子电压仿真图；

图8和图9是采用本发明控制方法后异步电动机状态约束仿真图；

其中，1-基于状态约束的异步电机驱动系统控制器；2-坐标变换单元；3-SVPWM逆变器；4-转速检测单元；5-电流检测单元。

具体实施方式

本发明的基本思想为：利用模糊逻辑系统逼近异步电机驱动系统中未知的非线性函数，同时，基于Barrier Lyapunov函数，运用反步法构造了中间虚拟控制信号，逐步递推得到控制率，从而对电机控制和驱动系统的状态量和控制量进行了约束，保证电压电流稳定在一个有界区域内，减小了误差，提高了控制精度。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

如图1所示，基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法，其采用的部件主要包括基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3和转速检测单元4与电流检测单元5。转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测异步电机的电流值和转速相关变量，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，通过基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制异步电机的转速。为了设计一个更加有效的控制器，建立异步电机动态模型是十分必要的。

一种基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法，包括如下步骤：

a建立异步电机的动态数学模型，如公式(1)所示：

式中，θ表示电机转子角位置，ω表示电机转子角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩，i_d和i_q表示d-q轴定子电流，u_d和u_q表示d-q轴定子电压，L_m表示互感，R_s表示定子的电阻，L_s表示定子的电感，R_r表示转子的电阻，L_r表示转子的电感，ψ_d表示转子磁链；

为简便异步电机的动态数学模型的表示，定义新的变量为：

则异步电机的动态数学模型可表示为：

b基于Barrier Lyapunov函数，设计一种基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法，将异步电机的动态数学模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄和控制输入u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总存在一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

式中，输入向量q是模糊输入维数，R^q为实数向量集，W＝[W₁,...,W_l]^T∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集，S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，通常选取基函数s_i(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

定义跟踪误差变量为：

其中，x_1d为期望的位置信号，x_4d为期望转子磁链信号，α₁,α₂,α₃为虚拟控制信号，|x_4d|≤A₂，A₀,A₁,A₂,A₃为正常数；

定义如下两个紧集：

其中，为正常数；

其中，为正常数；

控制方法设计的每一步都会选取一个Barrier Lyapunov函数来构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律，控制方法的设计具体包括以下步骤：

b1对于期望的位置信号x_1d，设定误差变量z₁＝x₁-x_1d，选取Barrier Lyapunov函数为：

对V₁求导得：其中，

选取虚拟控制函数为常数k₁＞0，则

b2选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₂＝x₂-α₁，则对公式(5)求导可得：

其中，

在实际系统中负载转矩T_L是有界的，定义T_L是未知的正常数且上限为d，即|T_L|≤d，其中d≥0；利用杨氏不等式，有

其中ε₂为一个任意小的正数，为了方便计算，此处取ε₂＝1，选取虚拟控制函数：

其中，常数k₂＞0，是J的估计值，将公式(7)和公式(8)代入公式(6)，可得：

b3选取Barrier Lyapunov函数为

由于z₃＝x₃-α₂，则对公式(10)式求导，可得：

其中， 由万能逼近定理知，对于任意小的正数ε₃，存在模糊逻辑：δ₃(Z)表示逼近误差，并满足不等式|δ₃(Z)|≤ε₃，得：

其中，常数l₃＞0，||W₃||为W₃的范数，将公式(12)代入公式(11)，可得：

选取实际的控制函数：

其中，常数k₃＞0，将公式(14)代入公式(13)，可得：

b4选取Barrier Lyapunov函数为

由于z₄＝x₄-x_4d，则对公式(16)求导，可得：

其中，

选取虚拟控制函数为

其中，常数k₄＞0，将公式(18)代入公式(17)，可得：

b5选取Barrier Lyapunov函数为

由于z₅＝x₅-α₃，则对公式(20)求导，可得：

其中，由万能逼近定理知，对于任意小的正数ε₅，存在模糊逻辑其中δ₅(Z)表示逼近误差，并满足不等式|δ₅(Z)|≤ε₅，得：

其中，常数l₅＞0，||W₅||为W₅的范数；将公式(22)代入公式(21)，可得：

选取实际的控制函数：

其中，常数k₅＞0，定义θ＝max{||W₃||²,||W₅||²}，将公式(24)代入公式(23)，可得：

b6定义J和θ两个物理量的估计误差分别为其中，为J的估计值，为θ的估计值，选取系统的Barrier Lyapunov函数为

其中，常数r₁＞0，常数r₂＞0；对公式(26)求导可得：

选取自适应律为：

其中，m₁，m₂均为正数；

c对建立的异步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析

为了分析上述闭环系统的稳定性，将公式(28)代入公式(27)，可得：

由于且运用杨氏不等式可得：

则公式(29)可转化成如下不等式，即：

此外，将公式(30)改写成

其中：

在公式(31)两边同乘e^at，可写成d(V(t)e^at)/dt≤be^at，则在[0,t]内：

由公式(31)可知，变量 是有界的；

因为z₁＝x₁-x_1d，且x_1d≤A₀，得令则由α₁的定义知，α₁是关于z₁和的函数，由于z₁和是有界的，所以α₁是有界的；

设α₁满足其中是一个正常数，z₂＝x₂-α₁，则假设得依次类推，可得由z₄＝x₄-x_4d和x_4d≤A₂可得，令则依次类推，可得

因为且J和θ是有界的，从公式(14)中u_q的定义知，u_q是关于x、x_1d和的函数，所以u_q是有界的，依次类推，可得u_d是有界的；

根据以上的分析，u_q、u_d、x_j、和都是有界的，其中，j＝1,2,3,4,5；

从公式(32)知不等式两边同时取e得因为得

如果则

如果当t→∞时，因此z₁收敛到足够小的邻域内。

由以上分析得到在控制律u_q,u_d的作用下，系统的跟踪误差收敛到原点的一个充分下的邻域内，保证了其他信号有界，且没有违反状态约束。

在虚拟环境下对所建立的基于状态受限的的异步电机模糊位置跟踪控制器进行仿真，验证所提出的基于状态受限的的异步电机模糊位置跟踪控制方法的可行性：

电机及负载参数为：

J＝0.0586Kgm²，R_s＝0.1Ω，R_r＝0.15Ω,L_s＝L_r＝0.0699H,L_m＝0.068H,n_p＝1；

选择控制律参数为：

k₁＝100，k₂＝10，k₃＝50，k₄＝100，k₅＝150,l₃＝l₅＝0.5；

r₁＝r₂＝0.05,m₁＝m₂＝0.5；

k_b1＝0.1,k_b2＝1,k_b3＝2,k_b4＝0.1,k_b5＝5；

跟踪参考信号为：x_d＝0.5sint+0.3sin(0.5t)；期望转子磁链信号为：x_4d＝1；

负载转矩为：

仿真是在异步电机的初始条件为零的情况下进行的，选取k_c1＝1,k_c2＝50,k_c3＝20,k_c4＝1.2,k_c5＝20，则系统的状态区间为：

|x₁|＜1,|x₂|＜50,|x₃|＜20,|x₄|＜1.2,|x₅|＜20。

模糊隶属度函数为：

仿真是在系统参数和非线性函数未知的前提下进行的。对于基于状态约束的自适应模糊控制方法的仿真结果如附图所示。应用本发明方法控制后：跟踪信号和期望信号如图2和图3所示，位置跟踪误差如图4和图5所示。由图2-图5可以看出，系统的输出可以很好的跟踪期望信号；d轴定子电压和q轴定子电压如图6和图7所示，由图6和图7可以看出，控制器输入u_d和u_q都稳定在一个有界区域内；电机状态量的受限空间如图8和图9所示，可以看出电机的各个状态量都在约束空间内。模拟信号清楚地表明，本发明中基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法可以高效地跟踪的参考信号，具有良好实际实施意义。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.一种基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a建立异步电机的动态数学模型，如公式(1)所示：

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式中，θ表示电机转子角位置，ω表示电机转子角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩，i_d和i_q表示d-q轴定子电流，u_d和u_q表示d-q轴定子电压，L_m表示互感，R_s表示定子的电阻，L_s表示定子的电感，R_r表示转子的电阻，L_r表示转子的电感，ψ_d表示转子磁链；

为简便异步电机的动态数学模型的表示，定义新的变量为：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>q</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>p</mi> </msub> <msub> <mi>L</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>r</mi> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;L</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>p</mi> </msub> <msub> <mi>L</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;L</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>L</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>r</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;L</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>L</mi> <mi>r</mi> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;L</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>

则异步电机的动态数学模型可表示为：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>J</mi> </mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>T</mi> <mi>L</mi> </msub> <mi>J</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>q</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </msub> <mfrac> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 1

b基于Barrier Lyapunov函数，设计一种基于状态受限的异步电机模糊位置跟踪控制方法，将异步电机的动态数学模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄和控制输入u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总存在一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

式中，输入向量q是模糊输入维数，R^q为实数向量集，W＝[W₁,...,W_l]^T∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集，S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，通常选取基函数s_i(Z)为如下的高斯函数：

<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>Z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>Z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>;</mo> </mrow>

其中，μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

定义跟踪误差变量为：

其中，x_1d为期望的位置信号，x_4d为期望转子磁链信号，α₁,α₂,α₃为虚拟控制信号，|x_4d|≤A₂，A₀,A₁,A₂,A₃为正常数；

定义如下两个紧集：

其中，为正常数；

其中，为正常数；

控制方法设计的每一步都会选取一个Barrier Lyapunov函数来构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律，控制方法的设计具体包括以下步骤：

b1对于期望的位置信号x_1d，设定误差变量z₁＝x₁-x_1d，选取Barrier Lyapunov函数为：

<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>log</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

对V₁求导得：其中，

选取虚拟控制函数为常数k₁＞0，则

b2选取Barrier Lyapunov函数为：

<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>J</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>log</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

由于z₂＝x₂-α₁，则对公式(5)求导可得：

<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 2

其中，

在实际系统中负载转矩T_L是有界的，定义T_L是未知的正常数且上限为d，即|T_L|≤d，其中d≥0；利用杨氏不等式，有

其中ε₂为一个任意小的正数，为了方便计算，此处取ε₂＝1，选取虚拟控制函数：

<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，常数k₂＞0，是J的估计值，将公式(7)和公式(8)代入公式(6)，可得：

<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

b3选取Barrier Lyapunov函数为

由于z₃＝x₃-α₂，则对公式(10)式求导，可得：

<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>q</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中， 由万能逼近定理知，对于任意小的正数ε₃，存在模糊逻辑：δ₃(Z)表示逼近误差，并满足不等式|δ₃(Z)|≤ε₃，得：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>W</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>W</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>l</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，常数l₃＞0，||W₃||为W₃的范数，将公式(12)代入公式(11)，可得：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>q</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

选取实际的控制函数：

<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>q</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，常数k₃＞0，将公式(14)代入公式(13)，可得：

<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

b4选取Barrier Lyapunov函数为

由于z₄＝x₄-x_4d，则对公式(16)求导，可得：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>4</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，

选取虚拟控制函数为

其中，常数k₄＞0，将公式(18)代入公式(17)，可得：

<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>4</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

b5选取Barrier Lyapunov函数为

由于z₅＝x₅-α₃，则对公式(20)求导，可得：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>5</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>4</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，由万能逼近定理知，对于任意小的正数ε₅，存在模糊逻辑其中δ₅(Z)表示逼近误差，并满足不等式|δ₅(Z)|≤ε₅，得：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>W</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>W</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>l</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，常数l₅＞0，||W₅||为W₅的范数；将公式(22)代入公式(21)，可得：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>5</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>4</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> </msub> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

选取实际的控制函数：

<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，常数k₅＞0，定义θ＝max{||W₃||²,||W₅||²}，将公式(24)代入公式(23)，可得：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>5</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>5</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

b6定义J和θ两个物理量的估计误差分别为其中，为J的估计值，为θ的估计值，选取系统的Barrier Lyapunov函数为

其中，常数r₁＞0，常数r₂＞0；对公式(26)求导可得：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>5</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>5</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

选取自适应律为：

其中，m₁，m₂均为正数；

c对建立的异步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析

为了分析上述闭环系统的稳定性，将公式(28)代入公式(27)，可得：

<mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>5</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

由于且运用杨氏不等式可得：

<mrow> <mo>-</mo> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mi>J</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>J</mi> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>

则公式(29)可转化成如下不等式，即：

<mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>5</mn> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>log</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <msubsup> <mi>k</mi> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mover> <mi>J</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>J</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

此外，将公式(30)改写成

其中：

<mrow> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>l</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>J</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>

在公式(31)两边同乘e^at，可写成d(V(t)e^at)/dt≤be^at，则在[0,t]内：

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由公式(31)可知，变量 是有界的；

因为z₁＝x₁-x_1d，且x_1d≤A₀，得令则由α₁的定义知，α₁是关于z₁和的函数，由于z₁和是有界的，所以α₁是有界的；

设α₁满足其中是一个正常数，z₂＝x₂-α₁，则假设得依次类推，可得由z₄＝x₄-x_4d和x_4d≤A₂可得，令则依次类推，可得

因为且J和θ是有界的，从公式(14)中u_q的定义知，u_q是关于x、x_1d和的函数，所以u_q是有界的，依次类推，可得u_d是有界的；

根据以上的分析，u_q、u_d、x_j、和都是有界的，其中，j＝1,2,3,4,5；

从公式(32)知不等式两边同时取e得因为得

如果则

如果当t→∞时，因此z₁收敛到足够小的邻域内。