CN112019111A - 基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于永磁同步电动机位置跟踪控制技术领域，具体公开了一种基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法。该方法针对传统反步法无法约束永磁同步电动机的状态量以及系统中存在随机扰动的问题，构建了约束Lyapunov函数，以保证永磁同步电动机随机系统的转子角速度、定子电流等状态量始终在给定的状态区间内；本发明方法采用模糊逻辑系统逼近系统中的未知随机非线性项。仿真结果表明，本发明方法不仅能够实现理想的位置跟踪控制效果，同时能够将转子角速度、定子电流等状态量约束在给定的约束区间内，避免因违反状态约束而引发的安全问题，能够有效保证安全规范和系统的性能。

Description

基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制 方法

技术领域

本发明属于永磁同步电动机位置跟踪控制技术领域，尤其涉及一种基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法。

背景技术

近年来，永磁同步电动机凭借其结构简单、效率高、使用寿命长和实际运用性强的特点，在农业和工业等领域有着广泛的运用。然而，永磁同步电动机的系统是高度非线性、强耦合和多变量的，并且在实际运用中，永磁同步电动机系统会被一些不确定的因素所干扰，例如参数不确定以及负载扰动等。为了解决这些问题，相关科技工作者提出了一些先进的非线性控制方法并取得了较好的成效，如反步控制、滑模控制、鲁棒控制等先进的控制技术。

然而，以上控制技术均没有考虑永磁同步电动机在实际运行中随机扰动的影响，例如外部负载随机切换、随机噪声以及振动等影响。同时永磁同步电动机系统的某些参数会因为阻尼转矩等随机干扰而发生一定程度的变化，会影响到电动机系统运行过程中的控制效果。

此外，在许多实际工程中，系统的输出和状态总是被约束在给定的区间内，否则将不能保证安全规范和系统的性能。如果违反状态约束可能使系统的性能退化，出现故障，甚至威胁人身安全，例如：过大的转子磁链会导致转子磁芯的饱和，产生严重的热损耗；过大的励磁电流会造成电网的电压波动，并会影响同一电网其他设备的操作；电动机绕组严重发热，会加速绝缘老化，缩短电动机使用寿命。因此，对于永磁同步电动机而言，其转子位置、转子角速度、转子磁链和励磁电流等状态量都应被限制在一定的范围内。

另外，在另一个前端研究领域，作为先进技术之一的自适应反步法已成功运用到了永磁同步电动机系统中，但是传统的自适应反步法的使用却存在局限性，相关研究已经提出了模糊逻辑系统或神经网络等近似理论，并成功解决了传统自适应反步法中存在的部分缺陷。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法，以便在考虑随机扰动的情况下实现永磁同步电动机系统的位置跟踪控制，且能够有效保证永磁同步电动机随机系统的状态量始终处于给定的状态区间内。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法，包括如下步骤：

a.建立永磁同步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，θ表示转子角度，ω表示转子角速度，u_q表示q轴定子电压，u_d表示d轴定子电压，i_q表示q轴定子电流，i_d表示d轴定子电流，L_q表示q轴定子电感，L_d表示d轴定子电感，J表示转动惯量，B表示摩擦系数，n_p表示极对数，Φ表示永磁体产生的磁链，T_L表示负载转矩，R_s表示定子电阻；为了简化以上动态数学模型，定义如下新变量：

永磁同步电动机随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw；

其中，x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程，f(·)：Rⁿ→Rⁿ和h(·)：Rⁿ→R^{n ×r}是在x上的局部Lipschitz函数，且f(·)的初始值f(0)＝0和h(·)的初始值h(0)＝0；

其中，Rⁿ和R^n×r均表示实数向量集，n和r为实数向量集的维数；

考虑到随机因素的影响，则永磁同步电动机随机系统的模型表示如下：

其中，ψ₂、ψ₃、ψ₄均表示未知的光滑非线性函数；

b.采用约束Lyapunov函数设计一种基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法，控制目标是设计q轴定子电压u_q和d轴定子电压u_d为真实控制律，使得x₁跟踪期望的位置信号x_d，同时使永磁同步电动机随机系统的状态量始终在给定的区间内；

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C²表示复数集，定义差分运算L，由

微分法得知：

其中，f和h表示关于x的局部Lipschitz函数；Tr表示对角线元素之和，

表示

修正项；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

其中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1，Rⁿ为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量；s₁(Z),...,s_n(Z)表示S(Z)的基向量；

选取基函数s_m(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_m＝[μ_m1,...,μ_mq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_m则为其宽度；

μ_m1,...,μ_mq分别表示μ_m的基向量；

定义跟踪误差变量为：

其中，z_ia表示跟踪误差变量，ia＝1,2,3,4，α₁和α₂为所期望的虚拟控制信号；

定义紧集Ω_z和Ω_x：

其中，

与

是正的常数，

Y₀、Y₁为正常数；

基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法的每一步都采用一个约束Lyapunov函数来构建一个虚拟控制信号或者真实控制律；控制方法包括以下步骤：

b1.对于期望的位置信号x_d，选取约束Lyapunov函数V₁为：

对V₁求导得：

根据杨氏不等式得到：

选取虚拟控制信号α₁为：

其中，k₁是正的设计参数，将公式(5)和虚拟控制信号α₁代入公式(4)得到：

b2.选取约束Lyapunov函数V₂为：

对公式(7)进行求导，得到：

根据杨氏不等式，得到：

其中，d表示|T_L|的上限值；I₂为正常数；

令

其中，

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，从而由杨氏不等式得：

其中，W₂∈Rⁿ是模糊权向量，S₂(Z)为基函数向量，||W₂||为向量W₂的范数，h₂为正常数；选取虚拟控制信号α₂为：

其中，k₂是正的设计参数，

为θ的估计值，参数θ的定义将在后面给出；

将公式(9)、(10)、(11)、(12)、(13)代入式(8)得到：

b3.选取约束Lyapunov函数V₃为：

对公式(15)进行求导，得到：

根据杨氏不等式，得到：

其中，I₃为正常数；令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)使得f₃(Z)=W₃ ^TS₃(Z)+δ₃；其中δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，从而由杨氏不等式得：

其中，W₃∈Rⁿ是模糊权向量，S₃(Z)为基函数向量，||W₃||为向量W₃的范数，h₃为正常数；

设计q轴定子电压u_q为真实控制律，u_q的表达式如下：

其中，k₃是正的设计参数，将公式(17)、(18)、(19)代入式(16)得到：

b4.选取约束Lyapunov函数V₄为：

对公式(21)求导得到：

根据杨氏不等式，得到：

其中，k₄是正的设计参数，I₄为正常数；令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，从而由杨氏不等式得：

其中W₄∈Rⁿ是模糊权向量，S₄(Z)为基函数向量，||W₄||为向量W₄的范数，h₄为正常数；

设计d轴定子电压u_d为真实控制律，u_d的表达式如下：

将公式(23)、(24)、(25)代入公式(22)得到：

定义θ＝max{||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²}，则由公式(26)得到：

b5.定义θ的估计误差

为

选取约束Lyapunov函数V为：

其中，r为正常数，则对V求导得到：

其中，

为自适应律，选取自适应律

为：

其中，m为正常数，将公式(30)代入式(29)得到：

c.对基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法进行稳定性分析；

当

由杨氏不等式得：

将公式(32)、(33)代入公式(31)，则得到：

其中，

对于永磁同步电动机随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dw，如果有一个正定的、径向无界的，两次连续求导的Lyapunov函数V(x):Rⁿ→R和常数a₀＞0，b₀≥0，使得V(x)的导数满足：

LV(x)≤-a₀V(x)+b₀；

则该系统在概率上是有界的；因此变量

是有界的，if＝1，2，3，4；

由公式(34)得到

其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望；

在公式(35)两边同时乘以e^at，并在[0,t]内积分得到：

其中，V(0)和V(t)分别表示V(x)在x＝0和x＝t的取值；

则

进一步得到

其中，V_if(0)表示选取的约束Lyapunov函数的初始值；

由于z₁＝x₁-x_d，且|x_d|≤Y₀，得

由于α₁是z₁和

的函数，则α₁是有界的；

设α₁满足

是一个正常数，由z₂＝x₂-α₁，则

设α₂满足

是一个正常数，由z₃＝x₃-α₂，则

由

则

因此系统状态变量被约束在紧集Ω_x内，以保证永磁同步电动机随机系统的状态约束要求。

本发明具有如下优点：

(1)本发明通过构建约束Lyapunov函数，以保证永磁同步电动机随机系统的转子角速度、定子电流等状态量始终在给定的状态区间内，避免因违反状态约束而引发安全性问题。

(2)本发明方法充分考虑了永磁同步电动机随机系统运行过程中随机干扰的问题，使设计的控制方法能够更符合实际工程的需要。

(3)本发明方法利用模糊逻辑系统处理永磁同步电动机随机系统中的非线性函数，将反步技术与模糊自适应方法结合起来控制永磁同步电动机，实现理想的位置跟踪控制效果。

(4)本发明方法需要的输入信号是实际工程中易于得到的可直接测量的转速、磁链及电流信号量，模糊自适应算法本身通过软件编程实现，易于对永磁同步电动机进行控制。

(5)本发明方法仅采用一个自适应律，能够减轻在线计算负担，且易于工程实现。

附图说明

图1是本发明实施例中基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制器、坐标变换单元、SVPWM逆变器和检测单元组成的复合被控对象的示意图；

图2是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图；

图3是采用本发明控制方法后转子角度跟踪误差仿真图；

图4是采用本发明控制方法后永磁同步电动机q轴定子电压仿真图；

图5是采用本发明控制方法后永磁同步电动机d轴定子电压仿真图；

图6是采用本发明控制方法后永磁同步电动机状态量x₂,x₃,x₄的仿真图。

具体实施方式

本发明的基本思想为：利用模糊逻辑系统逼近永磁同步电动机随机系统中未知的随机非线性函数；利用约束Lyapunov函数将永磁同步电动机随机系统的转子角速度、定子电流等状态量始终约束在给定的状态区间内；运用反步法构造中间虚拟控制信号，逐步递推得到控制律，从而保证电压稳定在一个有界区域内，减小控制误差，从而提高控制精度。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

如图1所示，基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法，其涉及的部件包括基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3、转速检测单元4和电流检测单元5。

其中，在图1中，参数U、V、W表示三相电压，参数U_α和U_β表示两相静止坐标系下的电压。转速检测单元4和电流检测单元5用于检测永磁同步电动机的电流值和转速变量，通过将实际测量的电流和转速变量作为输入，基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制永磁同步电动机的转速。为了设计一个更加有效的控制器，建立永磁同步电动机随机系统的动态模型是十分重要的。

基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法，包括如下步骤：

a.建立永磁同步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，θ表示转子角度，ω表示转子角速度，u_q表示q轴定子电压，u_d表示d轴定子电压，i_q表示q轴定子电流，i_d表示d轴定子电流，L_q表示q轴定子电感，L_d表示d轴定子电感，J表示转动惯量，B表示摩擦系数，n_p表示极对数，Φ表示永磁体产生的磁链，T_L表示负载转矩，R_s表示定子电阻。为了简化以上动态数学模型，定义如下新变量：

作为常见的不确定系统之一，永磁同步电动机随机系统的随机性会引发不确定性问题。

永磁同步电动机随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw。

其中，x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程，f(·)：Rⁿ→Rⁿ和h(·)：Rⁿ→R^{n ×r}是在x上的局部Lipschitz函数，且f(·)的初始值f(0)＝0和h(·)的初始值h(0)＝0；

其中，Rⁿ和R^n×r均表示实数向量集，n和r为实数向量集的维数。

考虑到随机因素的影响，则永磁同步电动机随机系统的模型表示如下：

其中，ψ₂、ψ₃、ψ₄均表示未知的光滑非线性函数。

b.采用约束Lyapunov函数设计一种基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法，控制目标是设计q轴定子电压u_q和d轴定子电压u_d为真实控制律，使得x₁跟踪期望的位置信号x_d，同时使永磁同步电动机随机系统的状态量始终在给定的区间内。

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C²表示复数集，定义差分运算L，由

微分法得知：

其中，f和h表示关于x的局部Lipschitz函数；Tr表示对角线元素之和，

表示

修正项。

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

其中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1，Rⁿ为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量；s₁(Z),...,s_n(Z)表示S(Z)的基向量。

选取基函数s_m(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_m＝[μ_m1,...,μ_mq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_m则为其宽度；

μ_m1,...,μ_mq分别表示μ_m的基向量。

定义跟踪误差变量为：

其中，z_ia表示跟踪误差变量，ia＝1,2,3,4，α₁和α₂为所期望的虚拟控制信号。

定义紧集Ω_z和Ω_x：

其中，

与

是正的常数，

Y₀、Y₁为正常数。

基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法的每一步都采用一个约束Lyapunov函数来构建一个虚拟控制信号或者真实控制律。控制方法包括以下步骤：

b1.对于期望的位置信号x_d，选取约束Lyapunov函数V₁为：

对V₁求导得：

根据杨氏不等式得到：

选取虚拟控制信号α₁为：

其中，k₁是正的设计参数。将公式(5)和虚拟控制信号α₁代入公式(4)得到：

b2.选取约束Lyapunov函数V₂为：

对公式(7)进行求导，得到：

根据杨氏不等式，得到：

其中，d表示|T_L|的上限值；I₂为正常数；

令

其中，

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，从而由杨氏不等式得：

其中，W₂∈Rⁿ是模糊权向量，S₂(Z)为基函数向量，||W₂||为向量W₂的范数，h₂为正常数。

选取虚拟控制信号α₂为：

其中，k₂是正的设计参数，

为θ的估计值，参数θ的定义将在后面给出。

将公式(9)、(10)、(11)、(12)、(13)代入式(8)得到：

b3.选取约束Lyapunov函数V₃为：

对公式(15)进行求导，得到：

根据杨氏不等式，得到：

其中，I₃为正常数；令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)使得f₃(Z)=W₃ ^TS₃(Z)+δ₃；其中δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，从而由杨氏不等式得：

其中，W₃∈Rⁿ是模糊权向量，S₃(Z)为基函数向量，||W₃||为向量W₃的范数，h₃为正常数。

设计q轴定子电压u_q为真实控制律，u_q的表达式如下：

其中，k₃是正的设计参数，将公式(17)、(18)、(19)代入式(16)得到：

b4.选取约束Lyapunov函数V₄为：

对公式(21)求导得到：

根据杨氏不等式，得到：

其中，k₄是正的设计参数，I₄为正常数；令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，从而由杨氏不等式得：

其中W₄∈Rⁿ是模糊权向量，S₄(Z)为基函数向量，||W₄||为向量W₄的范数，h₄为正常数。

设计d轴定子电压u_d为真实控制律，u_d的表达式如下：

将公式(23)、(24)、(25)代入公式(22)得到：

定义θ＝max{||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²}，则由公式(26)得到：

b5.定义θ的估计误差

为

选取约束Lyapunov函数V为：

其中，r为正常数，则对V求导得到：

其中，

为自适应律，选取自适应律

为：

其中，m为正常数，将公式(30)代入式(29)得到：

c.对基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法进行稳定性分析。

当

由杨氏不等式得：

将公式(32)、(33)代入公式(31)，则得到：

其中，

对于永磁同步电动机随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dw，如果有一个正定的、径向无界的，两次连续求导的Lyapunov函数V(x):Rⁿ→R和常数a₀＞0，b₀≥0，使得V(x)的导数满足：

LV(x)≤-a₀V(x)+b₀；

则该系统在概率上是有界的；因此变量

是有界的，if＝1，2，3，4；

由公式(34)得到

其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望；

在公式(35)两边同时乘以e^at，并在[0,t]内积分得到：

其中，V(0)和V(t)分别表示V(x)在x＝0和x＝t的取值；

则

进一步得到

其中，V_if(0)表示选取的约束Lyapunov函数的初始值；

由于z₁＝x₁-x_d，且|x_d|≤Y₀，得

由于α₁是z₁和

的函数，则α₁是有界的；

设α₁满足

是一个正常数，由z₂＝x₂-α₁，则

设α₂满足

是一个正常数，由z₃＝x₃-α₂，则

由

则

因此系统状态变量被约束在紧集Ω_x内，以保证永磁同步电动机随机系统的状态约束要求。

下面在虚拟环境下对所提出的基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应方法进行仿真，以验证所提出控制方法的可行性。具体参数选择如下：

电动机及负载参数为：

J＝0.003798kg·m²,R_s＝0.68Ω,B＝0.001158N·m/(rad/s),L_d＝0.00285H,L_q＝0.00315H,

Φ＝0.1245H,n_p＝3。

选取模糊集

表示整数，l∈[-5,5]。

选择控制律参数为：

k₁＝5，k₂＝6，k₃＝6，k₄＝6，r＝5，m＝1，h₂＝h₃＝h₄＝0.05。

给定期望的位置信号x_d＝sin(t)，设负载转矩为T_L＝1。

永磁同步电动机仿真初始状态为[0.2,0,0,0]。

选取为

则系统的状态区间为：

|x₁|＜3，|x₂|＜3，|x₃|＜3，|x₄|＜3。

基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法的仿真结果如图2-6所示。

应用本发明控制方法后转子角度跟踪信号x₁和期望信号x_d如图2所示；转子角度跟踪误差如图3所示；由图2和图3看出，永磁同步电动机随机系统的输出很好的跟踪期望信号。

q轴定子电压和d轴定子电压如图4和图5所示。由图4和图5能够看出，经过本发明控制方法后，真实控制律u_q和u_d都稳定在一个有界区域内。

永磁同步电动机状态量的约束空间如图6所示。由图6能够看出，经过本发明控制方法后，电动机的转子角速度、定子电流等状态量都在约束空间内。

以上仿真结果表明，本发明中基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法能够高效地跟踪参考信号，因此，具有实际的实施意义。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法，其特征在于，

包括如下步骤：

a.建立永磁同步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，θ表示转子角度，ω表示转子角速度，u_q表示q轴定子电压，u_d表示d轴定子电压，i_q表示q轴定子电流，i_d表示d轴定子电流，L_q表示q轴定子电感，L_d表示d轴定子电感，J表示转动惯量，B表示摩擦系数，n_p表示极对数，Φ表示永磁体产生的磁链，T_L表示负载转矩，R_s表示定子电阻；为了简化以上动态数学模型，定义如下新变量：

永磁同步电动机随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw；

其中，x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程，f(·)：Rⁿ→Rⁿ和h(·)：Rⁿ→R^n×r是在x上的局部Lipschitz函数，且f(·)的初始值f(0)＝0和h(·)的初始值h(0)＝0；

其中，Rⁿ和R^n×r均表示实数向量集，n和r为实数向量集的维数；

考虑到随机因素的影响，则永磁同步电动机随机系统的模型表示如下：

其中，ψ₂、ψ₃、ψ₄均表示未知的光滑非线性函数；

b.采用约束Lyapunov函数设计一种基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法，控制目标是设计q轴定子电压u_q和d轴定子电压u_d为真实控制律，使得x₁跟踪期望的位置信号x_d，同时使永磁同步电动机随机系统的状态量始终在给定的区间内；

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C²表示复数集，定义差分运算L，由

微分法得知：

其中，f和h表示关于x的局部Lipschitz函数；Tr表示对角线元素之和，

表示

修正项；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

其中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1，Rⁿ为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量；s₁(Z),...,s_n(Z)表示S(Z)的基向量；

选取基函数s_m(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_m＝[μ_m1,...,μ_mq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_m则为其宽度；

μ_m1,...,μ_mq分别表示μ_m的基向量；

定义跟踪误差变量为：

其中，z_ia表示跟踪误差变量，ia＝1,2,3,4，α₁和α₂为所期望的虚拟控制信号；

定义紧集Ω_z和Ω_x：

其中，

与

是正的常数，

Y₀、Y₁为正常数；

基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法的每一步都采用一个约束Lyapunov函数来构建一个虚拟控制信号或者真实控制律；控制方法包括以下步骤：

b1.对于期望的位置信号x_d，选取约束Lyapunov函数V₁为：

对V₁求导得：

根据杨氏不等式得到：

选取虚拟控制信号α₁为：

其中，k₁是正的设计参数，将公式(5)和虚拟控制信号α₁代入公式(4)得到：

b2.选取约束Lyapunov函数V₂为：

对公式(7)进行求导，得到：

根据杨氏不等式，得到：

其中，d表示|T_L|的上限值；I₂为正常数；

令

其中，

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，从而由杨氏不等式得：

其中，W₂∈Rⁿ是模糊权向量，S₂(Z)为基函数向量，||W₂||为向量W₂的范数，h₂为正常数；

选取虚拟控制信号α₂为：

其中，k₂是正的设计参数，

为θ的估计值，参数θ的定义将在后面给出；

将公式(9)、(10)、(11)、(12)、(13)代入式(8)得到：

b3.选取约束Lyapunov函数V₃为：

对公式(15)进行求导，得到：

根据杨氏不等式，得到：

其中，I₃为正常数；令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，从而由杨氏不等式得：

其中，W₃∈Rⁿ是模糊权向量，S₃(Z)为基函数向量，||W₃||为向量W₃的范数，h₃为正常数；

设计q轴定子电压u_q为真实控制律，u_q的表达式如下：

其中，k₃是正的设计参数，将公式(17)、(18)、(19)代入式(16)得到：

b4.选取约束Lyapunov函数V₄为：

对公式(21)求导得到：

根据杨氏不等式，得到：

其中，k₄是正的设计参数，I₄为正常数；令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统

使得

其中δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，从而由杨氏不等式得：

其中W₄∈Rⁿ是模糊权向量，S₄(Z)为基函数向量，||W₄||为向量W₄的范数，h₄为正常数；

设计d轴定子电压u_d为真实控制律，u_d的表达式如下：

将公式(23)、(24)、(25)代入公式(22)得到：

定义θ＝max{||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²}，则由公式(26)得到：

b5.定义θ的估计误差

为

选取约束Lyapunov函数V为：

其中，r为正常数，则对V求导得到：

其中，

为自适应律，选取自适应律

为：

其中，m为正常数，将公式(30)代入式(29)得到：

c.对基于状态约束的永磁同步电动机随机系统模糊自适应控制方法进行稳定性分析；

当

由杨氏不等式得：

将公式(32)、(33)代入公式(31)，则得到：

其中，

对于永磁同步电动机随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dw，如果有一个正定的、径向无界的，两次连续求导的Lyapunov函数V(x):Rⁿ→R和常数a₀＞0，b₀≥0，使得V(x)的导数满足：

LV(x)≤-a₀V(x)+b₀；

则该系统在概率上是有界的；因此变量

是有界的，if＝1，2，3，4；

由公式(34)得到

其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望；

在公式(35)两边同时乘以e^at，并在[0,t]内积分得到：

其中，V(0)和V(t)分别表示V(x)在x＝0和x＝t的取值；

则

进一步得到

其中，V_if(0)表示选取的约束Lyapunov函数的初始值；

由于z₁＝x₁-x_d，且|x_d|≤Y₀，得

由于α₁是z₁和

的函数，则α₁是有界的；

设α₁满足

是一个正常数，由z₂＝x₂-α₁，则

设α₂满足

是一个正常数，由z₃＝x₃-α₂，则

由

则

因此系统状态变量被约束在紧集Ω_x内，以保证永磁同步电动机随机系统的状态约束要求。

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