CN109873583B - 基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法，该方法针对电动汽车电机驱动和控制系统中存在的非线性以及铁损的问题，基于Barrier Lyapunov函数，对电机系统的状态量和控制量进行了约束，同时利用模糊逻辑系统逼近系统中的非线性函数，构造了模糊自适应位置跟踪控制器。本发明方法可以保证系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个足够小的邻域内，仿真结果表明，本发明方法保证了电机的各个状态量在系统的约束空间内，控制器输入都稳定在一个有界区域内。本发明实现了对电动车永磁同步电机位置跟踪控制快速有效的响应，更适合像电动汽车驱动系统这样需要快速动态响应的控制对象。

Description

基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法

技术领域

本发明属于电动汽车电机位置跟踪控制技术领域，尤其涉及一种基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法。

背景技术

国际金融危机以来，美、欧、日、韩等发达国家都在推动汽车产业的转型发展。电动汽车(EV)是21世纪清洁、高效、可持续的交通工具，因而在全球范围内形成了发展新能源汽车的新一轮热潮。在所有技术创新中，电机驱动具有极其重要的地位，因为未来的驱动方式必须具有低能耗、高环保、可持续性强等特点。

电动汽车包括电机驱动及控制系统、驱动力传动等机械系统和完成既定任务的工作装置等。电机驱动及控制系统是电动汽车的核心，也是区别于内燃机汽车的最大不同点。电动汽车是汽车工业的一个重要分支，电动汽车的发展对于能源安全以及环境保护有着重大的意义。近年来，对于电动汽车的关注日益增高，与此同时，对高效、可靠、经济的电机驱动技术的需求也日益紧迫。因此，电动汽车动力系统的研究受到了国内外学者的广泛关注。由于考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型受电机参数变化、负载扰动、对象未建模和非线性动态等不确定性因素影响的特点，因此对于电动汽车上永磁同步电机需要一套更复杂的控制方法。

近年来，许多学者对状态反馈线性化控制、无源性方法、自适应控制、反步法控制和其它的一些同步电动机的控制方法进行了研究。其中，自适应反步法因其能够有效地克服参数时变和负载扰动对系统性能的影响而得到广泛重视与应用。反步法是一种控制具有不确定性、非线性的系统，尤其是那些不满足给定条件的系统的方法。反步法最大的优点是可以用虚拟控制变量简化原始的高阶系统，从而最终的输出结果可以通过合适的Lyapunov方程来自动的得到。自适应反步控制方法将复杂的非线性系统分解成多个简单低阶的子系统，通过引入虚拟控制变量来逐步进行控制器设计，最终确定控制律以及参数自适应律，从而实现对系统的有效控制。此外，模糊逻辑系统在处理未知非线性函数方面的能力引起了国内外控制界的广泛关注，并用于具有高度非线性和不确定性的复杂控制系统设计中。在满足永磁同步电机快速性和稳定性的基础上，控制理论的研究已经取得了很大的成果。然而，在实际应用系统中，不仅要保证控制系统的稳定性和快速性，也要保证系统输入有界和状态约束。在永磁同步电机的伺服控制中，电机的固有属性约束了电流、转速及转子角速度等状态量，同时逆变器直流侧的电压幅值也约束了电压等控制量。由于永磁同步电机的系统数学模型是非线性的，包含电流与速度的非线性耦合项，单从控制量不能保证系统的状态量始终在期望的约束空间中。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法，该方法在考虑铁损的永磁同步电机非线性模型的基础上，利用模糊逻辑逼近系统的非线性函数，引入约束李雅普诺夫函数，以限制中间控制信号的幅值而满足系统对状态变量的约束要求，同时，运用反步法来构造永磁同步电动机的控制器，从而将永磁同步电机的状态量和控制量限定在特定的区间，从而实现对永磁同步电机的伺服跟踪控制。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法，包括如下步骤：

a.建立考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型：

其中，Θ表示电机角位置，ω表示电机角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩；i_d和i_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压；i_od和i_oq表示d-q轴励磁电流分量；L_d和L_q表示d-q轴电感；L_ld和L_lq表示d-q轴漏感；L_md和L_mq表示d-q轴励磁电感；R₁和R_c表示定子电阻和铁心损耗电阻；λ_PM是转子永磁体的励磁磁通；

为简化考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型，定义新的变量：

则考虑铁损的永磁同步电机的动态模型表示为：

b.基于Barrier Lyapunov函数，设计一种基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法，考虑铁损的永磁同步电机的动态模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂，x₃和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄，x₅,x₆和控制输入u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

式中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；

W∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集，S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，s₁(Z),...,s_l(Z)分别表示S(Z)的基向量；

选取基函数s_i(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

μ_i1,...,μ_iq分别表示μ_i的基向量；

定义跟踪误差变量为：

其中，x_d为期望的位置信号，α₁,α₂,α₃,α₄为所期望的虚拟控制信号；

其中，Y₀,Y₁为正常数；

定义两个紧集：

是正的常数；

是正的常数；

控制方法中每一步都会选取一个合适Barrier Lyapunov函数，构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律，控制方法具体包括以下步骤：

b.1对于期望的位置信号x_d，设定误差变量z₁＝x₁-x_d，选取Barrier Lyapunov函数为：

对V₁求导得：

其中，

选取虚拟控制函数为

常数k₁＞0，则：

b.2选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₂＝x₂-α₁，则对公式(5)求导可得：

其中，

在实际系统中负载转矩T_L是有界的，定义T_L是未知的常数且上限为d，即|T_L|≤d，d＞0；

利用杨氏不等式，有

其中,ε₂为一个任意小的正数；

根据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₂，存在模糊逻辑：f₂(Z)＝W₂ ^TS₂(Z)+δ₂，δ₂表示逼近误差，并满足不等式|δ₂|≤ξ₂，得：

其中，常数l₂＞0，||W₂||为W₂的范数；

选取虚拟控制函数：

其中，常数k₂＞0，

和

分别是未知常量θ和J的估计值，θ的定义将会在下面给出；

将公式(7)、(8)和公式(9)代入公式(6)，可得：

b.3选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₃＝x₃-α₂，则对公式(11)求导可得：

其中，

依据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₃，存在模糊逻辑：f₃(Z)＝W₃ ^TS₃(Z)+δ₃，其中，δ₃表示逼近误差，并满足不等式|δ₃|≤ξ₃，得：

其中，常数l₃＞0，||W₃||为W₃的范数；

选取虚拟控制函数：

其中，常数k₃＞0，将公式(13)、(14)代入公式(12)，可得：

b.4选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₄＝x₄-α₃，则对公式(16)求导可得：

其中，

依据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₄，存在模糊逻辑：f₄(Z)＝W₄ ^TS₄(Z)+δ₄，其中，δ₄表示逼近误差，并满足不等式|δ₄|≤ξ₄，得：

其中，常数l₄＞0，||W₄||为W₄的范数；

选取实际的控制函数：

其中，常数k₄＞0，将公式(18)、(19)代入公式(17)，可得：

b.5选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₅＝x₅，则对公式(21)求导可得：

其中，f₅(Z)＝-c₁x₅-c₂x₂x₃，

依据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₅，存在模糊逻辑：f₅(Z)＝W₅ ^TS₅(Z)+δ₅，其中，δ₅表示逼近误差，并满足不等式|δ₅|≤ξ₅，得：

其中，常数l₅＞0，||W₅||为W₅的范数；

选取虚拟控制函数：

其中，常数k₅＞0，将公式(23)、(24)代入公式(22)，可得：

b.6选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₆＝x₆-α₄，则对公式(26)求导可得：

其中，

依据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₆，存在模糊逻辑：f₆(Z)＝W₆ ^TS₆(Z)+δ₆，其中，δ₆表示逼近误差，并满足不等式|δ₆|≤ξ₆，得：

其中，常数l₆＞0，||W₆||为W₆的范数；

选取实际的控制函数：

其中，常数k₆＞0，定义θ＝max{||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²,||W₅||²,||W₆||²}；

将公式(28)、(29)代入公式(27)，可得：

b.7定义J和θ两个物理量的估计误差分别为

其中，

为J的估计值，

为θ的估计值，选取系统的Barrier Lyapunov函数为：

其中，常数r₁＞0，常数r₂＞0，对公式(31)求导可得：

选取自适应律为：

其中，m₁，m₂均为正数；

c对建立的永磁同步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析

为了分析上述闭环系统的稳定性，将公式(33)代入公式(32)，可得：

由于

ia＝1，2，3，4,5,6，且运用杨氏不等式可得：

则公式(34)可转化成如下不等式，即：

此外，将公式(35)改写成

其中：

在公式(36)两边同乘e^at，可写成d(V(t)e^at)/dt≤be^at，则在[0,t]内：

其中，V(t)为李雅普诺夫函数，V(0)表示李雅普诺夫函数的初始状态；

由公式(36)可知，变量

是有界的；

因为z₁＝x₁-x_d，且x_d≤Y₀，得

令

则

由α₁的定义知，α₁是关于z₁和

的函数，由于z₁和

是有界的，所以α₁是有界的；

设α₁满足

其中

是一个正常数，z₂＝x₂-α₁，则

假设

得

依次类推，可得

因为

且

J和

θ是有界的，从公式(19)中u_q的定义知，u_q是关于x、

x_d和

的函数，所以u_q是有界的，依次类推，可得u_d是有界的；

根据以上的分析，u_q、u_d、x_ia、

和

都是有界的，其中，ia＝1,2,3,4,5,6；

从公式(37)可知

不等式两边同时取e得

因为

得

如果

则

如果

当t→∞时，

因此z₁收敛到足够小的邻域内。

本发明具有如下优点：

(1)本发明方法基于约束Lyapunov函数对永磁同步电机的状态量和控制量进行了约束，保证了永磁同步电机工作在其约束空间内，减小了误差，提高了控制精度；

(2)本发明方法在永磁同步电机的非线性模型基础上，利用模糊逻辑逼近系统的非线性函数，构造永磁同步电动机的控制器。

(3)本发明方法利用反步法使跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，实现对永磁同步电机的伺服跟踪控制，最终达到更加准确的控制精度。

(4)本发明方法不需要根据异步电机的不同而修改控制器的参数，原理上可以实现对所有型号和功率的考虑铁损的永磁同步电机的稳定控制，在控制过程中减少对异步电机参数的测量，利于实现考虑铁损的永磁同步电机的快速响应。

(5)本发明方法鲁棒性好，具有较强的抗负载扰动能力，实现了理想的控制效果。

附图说明

图1为本发明中基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制、坐标变换和SVPWM逆变器组成的复合被控对象示意图；

图2为采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图；

图3为采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图；

图4为采用本发明控制方法后永磁同步电动机q轴定子电压仿真图；

图5为采用本发明控制方法后永磁同步电动机d轴定子电压仿真图；

图6和图7为采用本发明控制方法后永磁同步电动机状态约束仿真图。

具体实施方式

本发明的基本思想为：本发明方法采用降维观测器估算永磁同步电机转子角速度，同时利用模糊逻辑系统逼近系统中的高度非线性函数，并结合自适应和反步技术构造控制器，将命令滤波技术引入到递推过程Lyapunov函数的选取和中间虚拟控制信号的构造中，递推得到控制律，同时设计相应的自适应律来调节未知参数；引入命令滤波技术，在不进行微分运算的情况下，可以产生命令信号的导数信号，减小了计算量，解决了传统反步法对虚拟控制函数进行连续求导引起的“计算爆炸”问题，通过引入误差补偿机制，极大的减小了命令滤波产生的误差；命令滤波技术的引入极大简化了设计过程，另外，为控制器中固定参数的选取开辟了一种新的思路，大大提高了设计效率，改善了系统稳态性能。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

如图1所示，基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法，其采用的部件包括基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3和转速检测单元4与电流检测单元5。转速检测单元4和电流检测单元5用于检测异步电机的电流值和转速相关变量，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制异步电机的转速。为了设计一个更加有效的控制器，建立考虑铁损的永磁同步电机动态模型是十分必要的。

在图1中，U_α和U_β表示α-β坐标系下的电压；U、V和W表示三相电压。

基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法，包括如下步骤：

a.建立考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型：

其中，Θ表示电机角位置，ω表示电机角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩；i_d和i_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压；i_od和i_oq表示d-q轴励磁电流分量；L_d和L_q表示d-q轴电感；L_ld和L_lq表示d-q轴漏感；L_md和L_mq表示d-q轴励磁电感；R₁和R_c表示定子电阻和铁心损耗电阻；λ_PM是转子永磁体的励磁磁通。

为简化考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型，定义新的变量：

则考虑铁损的永磁同步电机的动态模型表示为：

b.基于Barrier Lyapunov函数，设计一种基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法，考虑铁损的永磁同步电机的动态模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂，x₃和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄，x₅,x₆和控制输入u_d组成的子系统。

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

式中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，s₁(Z),...,s_l(Z)分别表示S(Z)的基向量。选取基函数s_i(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

μ_i1,...,μ_iq分别表示μ_i的基向量。

定义跟踪误差变量为：

其中，x_d为期望的位置信号，α₁,α₂,α₃,α₄为所期望的虚拟控制信号；

Y₀,Y₁为正常数。

定义两个紧集：

是正的常数。

是正的常数。

控制方法中每一步都会选取一个合适Barrier Lyapunov函数，构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律，控制方法具体包括以下步骤：

b.1对于期望的位置信号x_d，设定误差变量z₁＝x₁-x_d，选取Barrier Lyapunov函数为：

对V₁求导得：

其中，

选取虚拟控制函数为

常数k₁＞0，则：

b.2选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₂＝x₂-α₁，则对公式(5)求导可得：

其中，

在实际系统中负载转矩T_L是有界的，定义T_L是未知的常数且上限为d，即|T_L|≤d，d＞0。

利用杨氏不等式，有

其中,ε₂为一个任意小的正数。

定义

根据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₂，存在模糊逻辑：f₂(Z)＝W₂ ^TS₂(Z)+δ₂，δ₂表示逼近误差，并满足不等式|δ₂|≤ξ₂，得：

其中，常数l₂＞0，||W₂||为W₂的范数。

选取虚拟控制函数：

其中，常数k₂＞0，

和

分别是未知常量θ和J的估计值，θ的定义将会在下面给出；

将公式(7)、(8)和公式(9)代入公式(6)，可得：

b.3选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₃＝x₃-α₂，则对公式(11)求导可得：

其中，

依据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₃，存在模糊逻辑：f₃(Z)＝W₃ ^TS₃(Z)+δ₃，其中，δ₃表示逼近误差，并满足不等式|δ₃|≤ξ₃，得：

其中，常数l₃＞0，||W₃||为W₃的范数。

选取虚拟控制函数：

其中，常数k₃＞0，将公式(13)、(14)代入公式(12)，可得：

b.4选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₄＝x₄-α₃，则对公式(16)求导可得：

其中，

依据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₄，存在模糊逻辑：f₄(Z)＝W₄ ^TS₄(Z)+δ₄，其中，δ₄表示逼近误差，并满足不等式|δ₄|≤ξ₄，得：

其中，常数l₄＞0，||W₄||为W₄的范数。

选取实际的控制函数：

其中，常数k₄＞0，将公式(18)、(19)代入公式(17)，可得：

b.5选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₅＝x₅，则对公式(21)求导可得：

其中，f₅(Z)＝-c₁x₅-c₂x₂x₃，

依据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₅，存在模糊逻辑：f₅(Z)＝W₅ ^TS₅(Z)+δ₅，其中，δ₅表示逼近误差，并满足不等式|δ₅|≤ξ₅，得：

其中，常数l₅＞0，||W₅||为W₅的范数。

选取虚拟控制函数：

其中，常数k₅＞0，将公式(23)、(24)代入公式(22)，可得：

b.6选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₆＝x₆-α₄，则对公式(26)求导可得：

其中，

依据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₆，存在模糊逻辑：f₆(Z)＝W₆ ^TS₆(Z)+δ₆，其中，δ₆表示逼近误差，并满足不等式|δ₆|≤ξ₆，得：

其中，常数l₆＞0，||W₆||为W₆的范数。

选取实际的控制函数：

其中，常数k₆＞0，定义θ＝max{||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²,||W₅||²,||W₆||²}。

将公式(28)、(29)代入公式(27)，可得：

b.7定义J和θ两个物理量的估计误差分别为

其中，

为J的估计值，

为θ的估计值，选取系统的Barrier Lyapunov函数为：

其中，常数r₁＞0，常数r₂＞0，对公式(31)求导可得：

选取自适应律为：

其中，m₁，m₂均为正数。

c对建立的永磁同步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析

为了分析上述闭环系统的稳定性，将公式(33)代入公式(32)，可得：

由于

ia＝1，2，3，4,5,6，且运用杨氏不等式可得：

则公式(34)可转化成如下不等式，即：

此外，将公式(35)改写成

其中：

在公式(36)两边同乘e^at，可写成d(V(t)e^at)/dt≤be^at，则在[0,t]内：

其中，V(t)为李雅普诺夫函数，V(0)表示李雅普诺夫函数的初始状态。

由公式(36)可知，变量

是有界的。

因为z₁＝x₁-x_d，且x_d≤Y₀，得

令

则

由α₁的定义知，α₁是关于z₁和

的函数，由于z₁和

是有界的，所以α₁是有界的。

设α₁满足

其中

是一个正常数，z₂＝x₂-α₁，则

假设

得

依次类推，可得

因为

且

J和

θ是有界的，从公式(19)中u_q的定义知，u_q是关于x、

x_d和

的函数，所以u_q是有界的，依次类推，可得u_d是有界的。

根据以上的分析，u_q、u_d、x_ia、

和

都是有界的，其中，ia＝1,2,3,4,5,6。

从公式(37)可知

不等式两边同时取e得

因为

得

如果

则

如果

当t→∞时，

因此z₁收敛到足够小的邻域内。

由以上分析得到在控制律u_q,u_d的作用下，系统的跟踪误差收敛到原点的一个充分下的邻域内，并保证其他信号有界，且没有违反状态约束。

在虚拟环境下对所建立的基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制器进行仿真，验证所提出的基于状态受限的车永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法的可行性：

电机及负载参数为：

J＝0.00279Kgm²，R₁＝2.21Ω，R_c＝200Ω，L_d＝L_q＝0.00977H,

L_ld＝L_lq＝0.00177H，L_md＝L_mq＝0.008H，λ_PM＝0.0844,n_p＝3。

选择控制律参数为：

k₁＝80，k₂＝10，k₃＝80，k₄＝200，k₅＝200，k₆＝80，r₁＝r₂＝0.05,

m₁＝m₂＝0.05,l₂＝l₃＝l₄＝l₅＝l₆＝2.5。

跟踪参考信号为：x_d＝0.5sin(t)+0.3sin(0.5t)；

负载转矩为：

选择模糊隶属度函数为：

仿真是在系统参数和非线性函数未知的前提下进行的，对于基于状态约束的自适应模糊控制方法的仿真结果如附图2-附图7所示。

应用本发明方法控制后：跟踪信号和期望信号如图2所示，位置跟踪误差如图3所示，由图2-图3可以看出，系统的输出可以很好的跟踪期望信号；d轴定子电压和q轴定子电压如图4和图5所示，由图4和图5可以看出，控制器输入u_d和u_q都稳定在一个有界区域内；电机状态量的受限空间如图6和图7所示，可以看出电机的各个状态量都在约束空间内。模拟信号清楚地表明，本发明方法可以高效地跟踪参考信号，具有良好实际实施意义。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法，其特征在于，

包括如下步骤：

a.建立考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型：

其中，Θ表示电机角位置，ω表示电机角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩；i_d和i_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压；i_od和i_oq表示d-q轴励磁电流分量；L_d和L_q表示d-q轴电感；L_ld和L_lq表示d-q轴漏感；L_md和L_mq表示d-q轴励磁电感；R₁和R_c表示定子电阻和铁心损耗电阻；λ_PM是转子永磁体的励磁磁通；

为简化考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型，定义新的变量：

则考虑铁损的永磁同步电机的动态模型表示为：

b.基于Barrier Lyapunov函数，设计一种基于状态受限的永磁同步电机模糊位置跟踪控制方法，考虑铁损的永磁同步电机的动态模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁,x₂,x₃和u_q组成的子系统以及由状态变量x₄,x₅,x₆和u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε>0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

式中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；

W∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l>1，R^l为实数向量集，S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，s₁(Z),...,s_l(Z)分别表示S(Z)的基向量；

选取基函数s_i(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

μ_i1,...,μ_iq分别表示μ_i的基向量；

定义跟踪误差变量为：

其中，x_d为期望的位置信号，α₁,α₂,α₃,α₄为所期望的虚拟控制信号；

其中，Y₀,Y₁为正常数；

定义两个紧集：

其中，

是正的常数；

其中，

是正的常数；

控制方法中每一步都会选取一个合适Barrier Lyapunov函数，构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律，控制方法具体包括以下步骤：

b.1对于期望的位置信号x_d，设定误差变量z₁＝x₁-x_d，选取Barrier Lyapunov函数为：

对V₁求导得：

其中，

选取虚拟控制函数为

常数k₁>0，则：

b.2选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₂＝x₂-α₁，则对公式(5)求导可得：

其中，

在实际系统中负载转矩T_L是有界的，定义T_L是未知的常数且上限为d，即|T_L|≤d，d>0；

利用杨氏不等式，有

其中,ε₂为一个任意小的正数；

定义

根据万能逼近定理，对于任意小的正数ξ₂，存在模糊逻辑：

δ₂表示逼近误差，并满足不等式|δ₂|≤ξ₂，得：

其中，常数l₂>0，||W₂||为W₂的范数；

选取虚拟控制函数：

其中，常数k₂>0，

和

分别是θ和J的估计值，θ的定义将会在下面给出；

将公式(7)、(8)和公式(9)代入公式(6)，可得：

b.3选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₃＝x₃-α₂，则对公式(11)求导可得：

其中，

依据万能逼近定理，对于任意小的正数ξ₃，存在模糊逻辑：

其中，δ₃表示逼近误差，并满足不等式|δ₃|≤ξ₃，得：

其中，常数l₃>0，||W₃||为W₃的范数；

选取虚拟控制函数：

其中，常数k₃>0，将公式(13)、(14)代入公式(12)，可得：

b.4选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₄＝x₄-α₃，则对公式(16)求导可得：

其中，

依据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₄，存在模糊逻辑：

其中，δ₄表示逼近误差，并满足不等式|δ₄|≤ξ₄，得：

其中，常数l₄>0，||W₄||为W₄的范数；

选取实际的控制函数：

其中，常数k₄>0，将公式(18)、(19)代入公式(17)，可得：

b.5选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₅＝x₅，则对公式(21)求导可得：

其中，f₅(Z)＝-c₁x₅-c₂x₂x₃，

依据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₅，存在模糊逻辑：

其中，δ₅表示逼近误差，并满足不等式|δ₅|≤ξ₅，得：

其中，常数l₅>0，||W₅||为W₅的范数；

选取虚拟控制函数：

其中，常数k₅>0，将公式(23)、(24)代入公式(22)，可得：

b.6选取Barrier Lyapunov函数为：

由于z₆＝x₆-α₄，则对公式(26)求导可得：

其中，

依据万能逼近定理，对于任意小正数ξ₆，存在模糊逻辑：

其中，δ₆表示逼近误差，并满足不等式|δ₆|≤ξ₆，得：

其中，常数l₆>0，||W₆||为W₆的范数；

选取实际的控制函数：

其中，常数k₆>0，定义θ＝max{||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²,||W₅||²,||W₆||²}；

将公式(28)、(29)代入公式(27)，可得：

b.7定义J和θ两个物理量的估计误差分别为

其中，

为J的估计值，

为θ的估计值，选取系统的Barrier Lyapunov函数为：

其中，常数r₁>0，常数r₂>0，对公式(31)求导可得：

选取自适应律为：

其中，m₁，m₂均为正数；

c对建立的永磁同步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析

为了分析上述永磁同步电机驱动系统的稳定性，将公式(33)代入公式(32)，可得：

由于

ia＝1,2,3,4,5,6，且运用杨氏不等式可得：

则公式(34)可转化成如下不等式，即：

此外，将公式(35)改写成

其中：

在公式(36)两边同乘e^at，可写成d(V(t)e^at)/dt≤be^at，则在[0,t]内：

其中，V(t)为李雅普诺夫函数，V(0)表示李雅普诺夫函数的初始状态；

由公式(36)可知，变量

是有界的；

因为z₁＝x₁-x_d，且x_d≤Y₀，得

令

则

由α₁的定义知，α₁是关于z₁和

的函数，由于z₁和

是有界的，所以α₁是有界的；

设α₁满足

其中

是一个正常数，z₂＝x₂-α₁，则

假设

得

依次类推，可得

因为

且

J和

θ是有界的，从公式(19)中u_q的定义知，u_q是关于x、

x_d和

的函数，所以u_q是有界的，依次类推，可得u_d是有界的；

根据以上的分析，u_q、u_d、x_ia、

和

都是有界的，其中，ia＝1,2,3,4,5,6；

从公式(37)可知

不等式两边同时取e得

因为

得

如果

则

如果

当t→∞时，

因此z₁收敛到足够小的邻域内。

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