CN114237050B - 一种全状态约束下绳系组合体稳定控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种全状态约束下绳系组合体稳定控制方法，旨在解决系统存在全状态约束，即位置和速度均受限制下的快速稳定控制问题。针对绳系组合体系统存在多种不确定性因素，设计自适应神经网络方案，实现对系统总和不确定性的快速、精确估计；其次分别考虑系统的广义位置和速度约束，设计障碍李雅普诺夫函数(Barrier Lyapunov Function，BLF)以解决全状态约束问题；随后，采用反步法设计鲁棒自适应控制器，保证状态约束和多种不确定性存在下绳系组合体系统的快速、高精度稳定控制；最后对设计的控制器进行李雅普诺夫稳定性证明。本发明可保证组合体系统的位置和速度始终在约束范围内运行，可实现多种不确定性存在下绳系组合体系统的快速、高精度稳定控制问题。

Description

一种全状态约束下绳系组合体稳定控制方法

技术领域

本发明属于航天技术领域，具体涉及一种绳系组合体稳定控制方法。

背景技术

近期，众多国家针对空间合作目标的捕获开展了大量研究，并取得一系列丰硕的成果，但是针对失稳非合作目标捕获的控制理论和技术仍不完善。

空间绳系捕获器是通过挠性系绳将平台与目标航天器相连接而组成的新型空间组合体，是实现失稳非合作目标捕获的有效工具。空间绳系航天器抓捕失稳目标后会与目标形成空间绳系组合体，处于高速旋转失稳状态，对其进行稳定控制是开展后续轨道垃圾清理和拖曳移除等精细操作的必要前提。

目前，已有学者针对空间绳系组合体的控制方法开展研究。例如，王秉亨等(申请号为CN202110000112.7的中国专利)研究了一种利用偏置系绳摆杆来实现组合体系统的稳定控制问题，并设计了一类有效的分层滑模控制律；鲁迎波等(申请号为CN201811088097.0的中国专利)结合滑模控制和动态面技术提出了一种自适应控制方法以保证绳系组合体的快速稳定。但是，上述方案均未考虑绳系航天器抓捕过程中存在的两端航天器易碰撞、系绳易缠绕等问题，这些问题使得组合体的位置和速度等状态均需要在严格的约束范围内运行，给绳系组合体高精度稳定控制方案设计带来新的严峻挑战。因此，在系统存在复杂状态约束下，设计一种具有快速响应、高精度的稳定控制方案是十分必要的，已成为空间绳系航天器领域的研究重点。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种全状态约束下绳系组合体稳定控制方法，旨在解决系统存在全状态约束，即位置和速度均受限制下的快速稳定控制问题。针对绳系组合体系统存在多种不确定性因素，设计自适应神经网络方案，实现对系统总和不确定性的快速、精确估计；其次分别考虑系统的广义位置和速度约束，设计障碍李雅普诺夫函数(Barrier Lyapunov Function，BLF)以解决全状态约束问题；随后，采用反步法设计鲁棒自适应控制器，保证状态约束和多种不确定性存在下绳系组合体系统的快速、高精度稳定控制；最后对设计的控制器进行李雅普诺夫稳定性证明。本发明可保证组合体系统的位置和速度始终在约束范围内运行，可实现多种不确定性存在下绳系组合体系统的快速、高精度稳定控制问题。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括如下步骤：

步骤1：建立状态约束下的障碍李雅普诺夫函数；

步骤1-1：根据欧拉-拉格朗日方程，建立抓捕后绳系组合体系统的动力学方程如下所示：

式中q＝[α,β,l]^T∈R³为系统广义位置坐标，其中α、β、l分别为系绳面内角、面外角以及系绳长度；

分别为系统的广义位置、速度和加速度变量；τ＝[τ_α,τ_β,τ_l]^T∈R³为广义力，τ_α,τ_β,τ_l分别为面内角、面外角以及绳长的广义控制力矩；M(q)∈R^3×3为正定对称矩阵，

为科式力矩阵，G(q)∈R³为重力矩，d∈R³为外界扰动；

步骤1-2：根据式(1)知，绳系组合体系统具有强耦合非线性特性，满足下述性质：

性质1：M为可逆的对称正定矩阵，并且对于任意x∈R³，以下不等式(2)成立：

m₁x^Tx≤x^TMx≤m₂x^Tx (2)

其中m₁和m₂分别为M的最小和最大特征值；

定义如下相关引理和假设：

引理1：对于任意y₁∈R³，若有||y₁||＜b_a,则以下不等式恒成立：

其中，b_a为已知常数；

假设1：期望轨迹q_d及其导数

均有界，即存在已知常数A₀、A₁满足||q_d||≤A₀≤k_c1以及

k_c1、k_c2分别为常数；

定义

系统动力学方程式(1)表示为：

式中，F(.)＝M^-1(x₁,x₂,t)(d-C(x₁,x₂)x₁-G(x₁))中包含未知不确定性；

步骤1-3：定义期望的组合体系统轨迹为q_d(t)，位置跟踪误差为e＝x₁(t)-q_d(t)；在系统存在总不确定性的情况下保证状态q(t)能够跟踪参考轨迹q_d(t)，并且保证系统状态始终满足约束条件：存在正数

和

使得对于任意t＞0，

和

均成立；

为了简化书写，后续将省略自变量；

步骤1-4：定义以下误差转换函数

z₁＝e,z₂＝x₂-α₁ (5)

其中z₁和z₂为误差转换函数向量，α₁为系统虚拟控制量；

考虑系统的位置约束，设计如下的障碍李雅普诺夫函数V₁：

上式中

其中A₀由假设1给出；定义闭区间Ω_z1:＝{z₁|||z₁||＜k_b1}，由z₁＝x₁-y_d得到

成立；通过选择

保证当

时x₁也在约束范围

内；根据障碍李雅普诺夫函数特性知，若使得系统状态始终处于闭区间Ω_z1内，则系统应满足V₁∈L^∞，对于V₁求导得：

步骤2：基于反步法设计鲁棒自适应控制器；

步骤2-1：根据式(7)选取如下的虚拟控制量：

其中c₁＞0为设计参数；将式(8)代入(7)中，

被重写为：

令

在区间Ω_z1中，

为定值；

步骤2-2：对误差转换函数z₂求导得：

为了确保系统状态x₂不违反约束，定义如下的障碍李雅普诺夫函数：

其中k_b2为正数；

步骤2-3：定义一个封闭集合Ω_z2:＝{z₂|||z₂||＜k_b2}；由该定义得到，

在集合Ω_z2内是有界的；为了保证

必须保证z₂在封闭集合Ω_z2内，因此k_b2被选取为：

对V₂沿着式(9)求取关于时间的导数，则有：

其中

为系统总和不确定性；由于α₁为变量x₁、q_d和

的函数，则

是变量x₂、

和

的函数；F为状态量x₁、x₂的函数，

为x₁、x₂、q_d、

和

的函数；定义新的状态变量

步骤3：设计自适应神经网络；

步骤3-1：由于函数向量

是未知的，故在控制器设计中采用自适应神经网络以估计不确定性

根据神经网络逼近特性，得到：

其中W∈R^15×3为未知的最优权重矩阵，δ_z(Z)为神经网络的逼近误差；

将式(14)代入式(13)中有：

根据杨氏不等式，则以下不等式(16)和(17)成立：

其中||W||＝w和

并且w和

均为未知常数；

根据不等式(16)和(17)有：

其中

为未知常数，Φ＝φ²(Z)+1为需要设计的函数；

综上，式(15)能被改写为：

步骤3-2：设计如下所示的鲁棒自适应控制器式(20)和自适应律式(21)：

上式中λ为所设计的正标量，

为闭区间Ω_z2内的正函数且有c₂₁＞0，

为未知参数b的估计值，并且由

知对任意t＞0均有

步骤3-3：根据以上控制器式(20)和(21)，得到如下定理：

定理2：考虑存在全状态约束和系统不确定性的绳系组合体系统方程式(4)；若假设1成立，则对于任意初始状态满足z₁(0)∈Ω_z1和z₂(0)∈Ω_z2，所设计的鲁棒自适应控制器式(20)和自适应律式(21)能保证系统实现以下控制目标：

1).闭环系统的所有信号均有界，且系统各状态均不违反约束，即对任意t＞0均有

且

2)跟踪误差z₁和z₂能够实现渐近收敛，且分别能收敛到区域

和

内；

步骤4：对闭环系统进行李雅普诺夫稳定性证明；

步骤4-1：选取候选李雅普诺夫函数表达式为：

其中

为自适应估计误差；

将鲁棒自适应控制器式(20)和自适应律式(21)代入式(22)的导数中，得到：

步骤4-2：根据M^-1为对称正定矩阵特性，对于任意向量θ∈R³均有θ^TM^-1θ＝a(t)θ^Tθ，其中a(t)为有界函数且满足

a和

均为未知常数；

因此，根据引理1，式(23)改写为：

其中κ＝min{2c₁,2ac₂₁,λ}，

对式(24)积分得到如下表达式(25)：

式中，D为常值；

1)从式(25)能够得出V₃(t)为有界函数，则闭环系统的状态z₁、z₂和

均有界；根据系统初始状态满足z₁(0)∈Ω_z1和z₂(0)∈Ω_z2，则得到z₁(t)∈Ω_z1和z₂(t)∈Ω_z2对于任意t＞0均成立；根据式(1)和(8)得到绳系组合体系统实际位置和速度时刻满足

且

2)根据式(25)得到：

因此z₁最终会收敛到区域

内；同理，z₂最终会收敛到区域

中；因此，系统的稳定性得以证明。

优选地，所述系统的广义位置包括面内角、面外角和系绳长度。

本发明的有益效果如下：

1)、本发明方法设计了障碍李雅普诺夫函数，可保证组合体系统的位置和速度始终在约束范围内运行。

2)、本发明方法提出自适应神经网络技术，可实现多种不确定性存在下绳系组合体系统的快速、高精度稳定控制问题。

3)、本发明方法采用连续控制方案，可提升系统的控制性能。

附图说明

图1为本发明系统的鲁棒自适应控制框图。

图2本发明实施例在约束存在下的位置控制效果图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

一种全状态约束下绳系组合体稳定控制方法，包括如下步骤：

步骤1：建立状态约束下的障碍李雅普诺夫函数；

步骤1-1：根据欧拉-拉格朗日方程，建立抓捕后绳系组合体系统的动力学方程如下所示：

式中q＝[α,β,l]^T∈R³为系统广义位置坐标，其中α、β、l分别为系绳面内角、面外角以及系绳长度；

分别为系统的广义位置(包括面内角、面外角和系绳长度)、速度和加速度变量；τ＝[τ_α,τ_β,τ_l]^T∈R³为广义力；M(q)∈R^3×3为正定对称矩阵，

为科式力矩阵，G(q)∈R³为重力矩，d∈R³为外界扰动；

步骤1-2：根据式(1)可知，绳系组合体系统具有强耦合非线性特性，满足下述性质：

性质1：M为可逆的对称正定矩阵，并且对于任意x∈R³，以下不等式(2)成立：

m₁x^Tx≤x^TMx≤m₂x^Tx (2)

其中m₁和m₂分别为M的最小和最大特征值；

定义如下相关引理和假设：

引理1：对于任意y₁∈R³，若有||y₁||＜b_a,则以下不等式恒成立：

假设1：期望轨迹q_d及其导数

均有界，即存在已知常数A₀、A₁满足||q_d||≤A₀≤k_c1以及

定义x₁＝q,

系统动力学方程式(1)表示为：

式中，F(.)＝M^-1(x₁,x₂,t)(d-C(x₁,x₂)x₁-G(x₁))中包含未知不确定性；

步骤1-3：定义期望的组合体系统轨迹为q_d(t)，位置跟踪误差为e＝x₁(t)-q_d(t)；本方面目的为设计高性能控制器，使得在系统存在总不确定性的情况下保证状态q(t)能够跟踪参考轨迹q_d(t)，并且保证系统状态始终满足约束条件：存在正数

和

使得对于任意t＞0，

和

均成立；

为了简化书写，后续将省略自变量；

步骤1-4：本发明将采用反步法设计鲁棒自适应控制方案，以实现全状态约束和多种不确定性存在下系统快速、高性能稳定控制。为了实现上述目标，定义以下误差转换函数

z₁＝e,z₂＝x₂-α₁ (5)

其中z₁和z₂为误差转换函数向量，α₁为系统虚拟控制量；

考虑系统的位置约束，设计如下的障碍李雅普诺夫函数V₁：

上式中

其中A₀由假设1给出；定义闭区间Ω_z1:＝{z₁|||z₁||＜k_b1}，由z₁＝x₁-y_d得到

成立；通过选择

保证当

时x₁也在约束范围

内；根据障碍李雅普诺夫函数特性知，若使得系统状态始终处于闭区间Ω_z1内，则系统应满足V₁∈L^∞，对于V₁求导得：

步骤2：基于反步法设计鲁棒自适应控制器；

步骤2-1：根据式(7)选取如下的虚拟控制量：

其中c₁＞0为设计参数；将式(8)代入(7)中，

被重写为：

令

在区间Ω_z1中，

为定值；

步骤2-2：对误差转换函数z₂求导得：

为了确保系统状态x₂不违反约束，定义如下的障碍李雅普诺夫函数：

步骤2-3：定义一个封闭集合Ω_z2:＝{z₂|||z₂||＜k_b2}；由该定义得到，

在集合Ω_z2内是有界的；为了保证

必须保证z₂在封闭集合Ω_z2内，根据虚拟控制量的定义，因此k_b2被选取为：

对V₂沿着式(9)求取关于时间的导数，则有：

其中

为系统总和不确定性；由于α₁为变量x₁、q_d和

的函数，则

是变量x₂、

和

的函数；F为状态量x₁、x₂的函数，

为x₁、x₂、q_d、

和

的函数；定义新的状态变量

步骤3：设计自适应神经网络；

步骤3-1：由于函数向量

是未知的，故在控制器设计中采用自适应神经网络以估计不确定性

根据神经网络逼近特性，得到：

其中W∈R^15×3为未知的最优权重矩阵，δ_z(Z)为神经网络的逼近误差；

将式(14)代入式(13)中有：

根据杨氏不等式，则以下不等式(16)和(17)成立：

其中||W||＝w和

并且w和

均为未知常数；

根据不等式(16)和(17)有：

其中

为未知常数，Φ＝φ²(Z)+1为需要设计的函数；

综上，式(15)能被改写为：

步骤3-2：由于上式中b和M^-1均为未知量，因此为了实现全状态约束和不确定性存在下绳系组合体系统的快速稳定，设计如下所示的鲁棒自适应控制器式(20)和自适应律式(21)：

上式中λ为所设计的正标量，

为闭区间Ω_z2内的正函数且有c₂₁＞0，

为未知参数b的估计值，并且由

知对任意t＞0均有

步骤3-3：根据以上控制器式(20)和(21)，得到如下定理：

定理2：考虑存在全状态约束和系统不确定性的绳系组合体系统(3)；若假设1成立，则对于任意初始状态满足z₁(0)∈Ω_z1和z₂(0)∈Ω_z2，所设计的鲁棒自适应控制器式(20)和自适应律式(21)能保证系统实现以下控制目标：

1).闭环系统的所有信号均有界，且系统各状态均不违反约束，即对任意t＞0均有

且

2)跟踪误差z₁和z₂能够实现渐近收敛，且分别能收敛到区域

和

内；

步骤4：对闭环系统进行李雅普诺夫稳定性证明；

步骤4-1：选取候选李雅普诺夫函数表达式为：

其中

为自适应估计误差；

将鲁棒自适应控制器式(20)和自适应律式(21)代入式(22)的导数中，得到：

步骤4-2：根据M^-1为对称正定矩阵特性，对于任意向量θ∈R³均有θ^TM^-1θ＝a(t)θ^Tθ，其中a(t)为有界函数且满足

a和

均为未知常数；

因此，根据引理1，式(23)改写为：

其中κ＝min{2c₁,2ac₂₁,λ}，

对式(24)积分得到如下表达式(25)：

1)从式(25)能够得出V₃(t)为有界函数，则闭环系统的状态z₁、z₂和

均有界；根据系统初始状态满足z₁(0)∈Ω_z1和z₂(0)∈Ω_z2，则得到z₁(t)∈Ω_z1和z₂(t)∈Ω_z2对于任意t＞0均成立；根据式(1)和(8)得到绳系组合体系统实际位置和速度时刻满足

且

2)根据式(25)得到：

因此z₁最终会收敛到区域

内；同理，z₂最终会收敛到区域

中；因此，系统的稳定性得以证明。

从图2中可以看出本发明方法能够保证系统面内角、面外角和绳长均约束在一定范围内，即图中上下两条约束边界之内。

Claims (2)

1.一种全状态约束下绳系组合体稳定控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：建立状态约束下的障碍李雅普诺夫函数；

步骤1-1：根据欧拉-拉格朗日方程，建立抓捕后绳系组合体系统的动力学方程如下所示：

式中q＝[α,β,l]^T∈R³为系统广义位置坐标，其中α、β、l分别为系绳面内角、面外角以及系绳长度；

分别为系统的广义位置、速度和加速度变量；τ＝[τ_α,τ_β,τ_l]^T∈R³为广义力，τ_α,τ_β,τ_l分别为面内角、面外角以及绳长的广义控制力矩；M(q)∈R^3×3为正定对称矩阵，

为科式力矩阵，G(q)∈R³为重力矩，d∈R³为外界扰动；

步骤1-2：根据式(1)知，绳系组合体系统具有强耦合非线性特性，满足下述性质：

性质1：M为可逆的对称正定矩阵，并且对于任意x∈R³，以下不等式(2)成立：

m₁x^Tx≤x^TMx≤m₂x^Tx (2)

其中m₁和m₂分别为M的最小和最大特征值；

定义如下相关引理和假设：

引理1：对于任意y₁∈R³，若有||y₁||<b_a,则以下不等式恒成立：

其中，b_a为已知常数；

假设1：期望轨迹q_d及其导数

均有界，即存在已知常数A₀、A₁满足||q_d||≤A₀≤k_c1以及

k_c1、k_c2分别为常数；

定义x₁＝q,

系统动力学方程式(1)表示为：

式中，F(.)＝M^-1(x₁,x₂,t)(d-C(x₁,x₂)x₁-G(x₁))中包含未知不确定性；

步骤1-3：定义期望的组合体系统轨迹为q_d(t)，位置跟踪误差为e＝x₁(t)-q_d(t)；在系统存在总不确定性的情况下保证状态q(t)能够跟踪参考轨迹q_d(t)，并且保证系统状态始终满足约束条件：存在正数

和

使得对于任意t>0，

和

均成立；

为了简化书写，后续将省略自变量；

步骤1-4：定义以下误差转换函数

z₁＝e,z₂＝x₂-α₁ (5)

其中z₁和z₂为误差转换函数向量，α₁为系统虚拟控制量；

考虑系统的位置约束，设计如下的障碍李雅普诺夫函数V₁：

上式中

其中A₀由假设1给出；定义闭区间Ω_z1:＝{z₁|||z₁||<k_b1}，由z₁＝x₁-y_d得到

成立；通过选择

保证当

时x₁也在约束范围

内；根据障碍李雅普诺夫函数特性知，若使得系统状态始终处于闭区间Ω_z1内，则系统应满足V₁∈L^∞，对于V₁求导得：

步骤2：基于反步法设计鲁棒自适应控制器；

步骤2-1：根据式(7)选取如下的虚拟控制量：

其中c₁>0为设计参数；将式(8)代入(7)中，

被重写为：

令

在区间Ω_z1中，

为定值；

步骤2-2：对误差转换函数z₂求导得：

为了确保系统状态x₂不违反约束，定义如下的障碍李雅普诺夫函数：

其中k_b2为正数；

步骤2-3：定义一个封闭集合Ω_z2:＝{z₂|||z₂||<k_b2}；由该定义得到，

在集合Ω_z2内是有界的；为了保证

必须保证z₂在封闭集合Ω_z2内，因此k_b2被选取为：

对V₂沿着式(9)求取关于时间的导数，则有：

其中

为系统总和不确定性；由于α₁为变量x₁、q_d和

的函数，则

是变量x₂、

和

的函数；F为状态量x₁、x₂的函数，

为x₁、x₂、q_d、

和

的函数；定义新的状态变量

步骤3：设计自适应神经网络；

步骤3-1：由于函数向量

是未知的，故在控制器设计中采用自适应神经网络以估计不确定性

根据神经网络逼近特性，得到：

其中W∈R^15×3为未知的最优权重矩阵，δ_z(Z)为神经网络的逼近误差；

将式(14)代入式(13)中有：

根据杨氏不等式，则以下不等式(16)和(17)成立：

其中||W||＝w和

并且w和

均为未知常数；

根据不等式(16)和(17)有：

其中

为未知常数，Φ＝φ²(Z)+1为需要设计的函数；

综上，式(15)能被改写为：

步骤3-2：设计如下所示的鲁棒自适应控制器式(20)和自适应律式(21)：

上式中λ为所设计的正标量，

为闭区间Ω_z2内的正函数且有c₂₁>0，

为未知参数b的估计值，并且由

知对任意t>0均有

步骤3-3：根据以上控制器式(20)和(21)，得到如下定理：

定理2：考虑存在全状态约束和系统不确定性的绳系组合体系统方程式(4)；若假设1成立，则对于任意初始状态满足z₁(0)∈Ω_z1和z₂(0)∈Ω_z2，所设计的鲁棒自适应控制器式(20)和自适应律式(21)能保证系统实现以下控制目标：

1).闭环系统的所有信号均有界，且系统各状态均不违反约束，即对任意t>0均有

且

2)跟踪误差z₁和z₂能够实现渐近收敛，且分别能收敛到区域

和

内；

步骤4：对闭环系统进行李雅普诺夫稳定性证明；

步骤4-1：选取候选李雅普诺夫函数表达式为：

其中

为自适应估计误差；

将鲁棒自适应控制器式(20)和自适应律式(21)代入式(22)的导数中，得到：

步骤4-2：根据M^-1为对称正定矩阵特性，对于任意向量θ∈R³均有θ^TM^-1θ＝a(t)θ^Tθ，其中a(t)为有界函数且满足

a和

均为未知常数；

因此，根据引理1，式(23)改写为：

其中κ＝min{2c₁,2ac₂₁,λ}，

对式(24)积分得到如下表达式(25)：

式中，D为常值；

1)从式(25)能够得出V₃(t)为有界函数，则闭环系统的状态z₁、z₂和

均有界；根据系统初始状态满足z₁(0)∈Ω_z1和z₂(0)∈Ω_z2，则得到z₁(t)∈Ω_z1和z₂(t)∈Ω_z2对于任意t>0均成立；根据式(1)和(8)得到绳系组合体系统实际位置和速度时刻满足

且

2)根据式(25)得到：

因此z₁最终会收敛到区域

内；同理，z₂最终会收敛到区域

中；因此，系统的稳定性得以证明。

2.根据权利要求1所述的一种全状态约束下绳系组合体稳定控制方法，其特征在于，所述系统的广义位置包括面内角、面外角和系绳长度。

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