CN107390523A - 空间绳系复合体系统的自适应神经网络动态面控制器 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种空间绳系复合体系统的自适应神经网络动态面控制器，设计自适应神经网络动态面控制器实现抓捕后复合体的姿态接管控制；针对设计的控制器对系统进行李雅普诺夫稳定性证明。本发明具有以下有益效果：1)、可用于解决抓捕后绳系复合体系统状态受限问题；2)、可用于解决抓捕后绳系复合体系统控制输入受限问题。

Description

空间绳系复合体系统的自适应神经网络动态面控制器

技术领域

本发明属于绳系航天器姿态接管控制领域，涉及一种空间绳系复合体系统的自适应神经网络动态面控制器。

背景技术

绳系航天器是通过挠性系绳将空间平台与航天器、抓捕器(飞爪、飞矛、飞舌、飞网等)连接起来而形成的新型空间挠性组合体，这种挠性组合体长度可达几百米甚至数百公里。绳系航天器接管控制可用于失效航天器的救助、太空垃圾清理、静止轨道站位再生等操作。绳系抓捕器抓捕旋转失稳目标后形成复合体，需要利用抓捕器上自带的装置(如推力器、反作用轮、磁力矩器等)配合位于空间平台上的系绳收放装置实现抓捕后复合体的姿态稳定接管控制，便于后续拖曳变轨或者设备维护等。

考虑到绳系系统的高度非线性、欠驱动的特性，绳系系统的控制变得极为复杂。在过去的几十年间，针对绳系系统控制的研究已经取得了一定的进展。目前针对绳系系统的控制方法有以下几种：1)、Peyman Yousefian提出了一种非线性控制率来抑制绳系卫星系统(TSS)的振动；2)、文浩等设计了系绳张力及电流反馈控制律来解决电动力绳系系统的三维释放问题；3)、张帆等设计了自适应控制器来实现绳系复合体的稳定控制；4)、此外，其它控制方法如优化控制策略、分数阶滑模控制方法也被用来实现绳系系统的稳定控制。但是，针对绳系系统状态受限和控制输入受限方面的研究很少；此外考虑到绳系系统未建模因素及环境/轨道摄动的影响，我们难以精确建立绳系系统的数学模型，自适应控制策略在实现绳系系统稳定控制中有着其独特的优势；为解决此类问题，特设计自适应神经网络动态面控制器，用障碍李雅普诺夫函数约束绳系系统状态变量，用径向基函数神经网络在线补偿模型不确定量及干扰，用辅助抗饱和系统解决系统饱和受限问题，控制律由动态面控制方法得到。

发明内容

要解决的技术问题

为了避免现有技术的不足之处，针对空间绳系复合体系统状态受限、模型不确定性和控制输入受限问题，本发明提出一种空间绳系复合体系统的自适应神经网络动态面控制器。

技术方案

一种空间绳系复合体系统的自适应神经网络动态面控制器，其特征在于控制器为：

K₂∈R^3×3为待设计的正定矩阵；

z₂∈R^3×1为速度追踪误差向量；

z₁₁,z₁₂,z₁₃为位置追踪误差向量z₁∈R^3×1的三个分量；

b_a1,b_a2,b_a3为位置追踪误差向量z₁∈R^3×1的三个分量的约束边界；

ξ∈R^3×1为设计的辅助变量；

K_ξ∈R^3×3为待设计的正定矩阵；

为系绳面内角，β为系绳面外角，l为系绳长度，m₁、m₂分别为平台、抓捕后复合体质量,为系统总质量，Ω为轨道角速度，代表(·)对时间的一阶导数；

为辅助虚拟控制律；k₁为正数；

S∈R^m×m表示径向基函数。

一种采用李亚普诺夫函数检测所述空间绳系复合体系统的自适应神经网络动态面控制器的方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：引入解决系统全状态受限问题的障碍李雅普诺夫函数V₁：

计算障碍李雅普诺夫函数V₁的微分得:

利用Young’s不等式，可知：

重新整理障碍李雅普诺夫函数V₁的微分为：

步骤2：计算式的微分表达式为：

将设计的控制律代入上式，整理得：

以(θ^*TS+ε)替换θ^*为权重因子，ε∈R^3×1为神经网络的逼近误差，满足条件||ε||≤ε_N,其中，ε_N为无穷小的正数；

步骤3：计算式的微分表达式为：

其中，S_i代表S的第i个分量，满足S＝[S₁,S₂,,S_m]^T,为权重因子θ^*的估计值,Γ_i＝Γ_i ^T＞0为控制增益矩阵,σ_i＞0为正实数；估计误差可表示为：根据Young’s不等式定理，得：

重新整理的微分，得

步骤4：计算对时间的微分为：

其中B＝[B₁,B₂,B₃]^T为连续函数，并且B的二范数B具有最大值B_M；

B_i,i＝1,2,3满足如下函数表达式:选取重新整理对时间的微分为:

步骤5：计算对时间的微分得：

其中，

μ为正实数，Δτ＝τ-τ_c，Δτ_i,i＝1,2,3为Δτ的分量，τ为实际控制律，τ_c上述设计的控制器；

根据Young’s不等式定理，得：

因此，整理对时间的微分为：

步骤6：定义候选李雅普诺夫函数表达式为：

对上式求导，并依次代入步骤1～步骤5的结论，得：

由于对于所有的|z_1i|＜b_ai,i＝1,2,3,恒成立，因此上述不等式可整理为：

其中，系数ρ和C满足如下关系：

其中λ_max(·)和λ_min(·)为矩阵(·)的最大和最小特征值，并且满足λ_min(K₂)＞2,λ_min(-K_S ^TK_S+2K_ξ)＞1,因此当V(t)＝c,c＞0,ρ＞Cc时,系统一致渐进稳定；当V(t)≤c,对积分可得：

其中，V(0)为V的初始值；上式证明对于V(t)≤c可知闭环控制系统中的所有信号都是一致终结有界的，系统状态也是一致终结有界的，稳定性得证。

有益效果

本发明提出的一种空间绳系复合体系统的自适应神经网络动态面控制器，设计自适应神经网络动态面控制器实现抓捕后复合体的姿态接管控制；针对设计的控制器对系统进行李雅普诺夫稳定性证明。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

1)、可用于解决抓捕后绳系复合体系统状态受限问题；

2)、可用于解决抓捕后绳系复合体系统控制输入受限问题。

附图说明

图1为抓捕后绳系系统坐标系定义图。

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：

1、设计有限时间滑模观测器估计系统的不确定性

附图1为绳系系统坐标系定义图，其中，OXYZ为惯性系，原点位于地心；o₀x₀y₀z₀为轨道坐标系，设定原点o₀位于绳系系统质心处，o₀y₀沿空间绳系系统运动切线方向，o₀x₀背离地心；为系绳面内角，β为系绳面外角。为简化起见，对模型作如下处理：1)、视系绳为单段处理；2)、视空间平台和抓捕后复合体为质点；2)、系统运行在开普勒圆轨道上；3)、抓捕后复合体的质量远大于抓捕器的质量；4)、系绳质量忽略不计。建模时考虑了抓捕后复合体的系绳面内角面外角β及系绳长度l等三个因素。

根据拉格朗日方程引用文浩等的建模方法，得到空间绳系复合体系统的动力学方程如下式所示：

其中，V代表系统势能，Γ代表系统总动能，代表系统广义坐标，代表广义力或力矩；和代表(·)对时间的一、二阶导数，m₁、m₂分别为平台、抓捕后复合体质量,定义二者的总质量为Ω为轨道角速度。由于抓捕后复合体质量m₂未知，存在不确定量Δm₂，因此整理动力学方程式式(3)可得如下表达式：

其中，为系统模型的总不确定量。

即使系统动力学方程(4)是高度非线性的，仍满足下述两个特性。

定理1.对于所有的|z_1i|＜b_ai,i＝1,2,3,如下不等式恒成立：

定理2.对于任意的x∈R^3×1，函数表达式恒成立。

定义系统状态空间方程(4)可表示为：

定义位置追踪误差向量z₁∈R^3×1as:

z₁＝x₁-x_d (8)

x_d∈R^3×1为期望的位置状态量，为解决系统全状态受限问题，引入障碍李雅普诺夫函数V₁:

其中，b_ai为z_1i的约束边界，且有b_ai＞|z_1i|,i＝1,2,3恒成立。定义辅助虚拟控制律为:

其中，z_1i,b_ai代表z_1i,b_a的分量，k₁为后续设计的正数。为解决传统反步控制中的“微分爆炸”现象，引入一个带有时间常数τ₂的低通滤波器，并定义新变量α为滤波器的输出为：

其中，α(0),分别为α,的初始值。

定义速度追踪误差向量z₂∈R^3×1为：

z₂＝x₂-α (12)

接下来用径向基函数神经网络来在线补偿系统的不确定项其可表示为：

其中θ^*∈R^m×3表示神经网络权重向量，S∈R^m×m表示径向基函数，m为正整数。ε∈R^{3 ×1}为神经网络的逼近误差，满足条件||ε||≤ε_N,其中，ε_N为无穷小的正数。此外，为避免神经网络权重的漂移现象发生，特设计如下的自适应律：

其中，为权重因子的估计值,Γ_i＝Γ_i ^T＞0为控制增益矩阵,σ_i＞0代表比较小的正实数。估计误差可表示为：此外，为解决控制输入饱和问题，定义如下的辅助系统：

其中，ξ∈R^3×1为设计的辅助变量,K_ξ∈R^3×3为待设计的正定矩阵，μ为设计的足够小的正实数，Δτ＝τ-τ_c，τ为经过抗饱和处理后的实际控制输入，τ_c为后续待设计的控制律。如果不考虑系统的饱和特性，有Δτ＝0成立。据此设计自适应神经网络动态面控制律τ_c表达式为：

其中，K₂∈R^3×3为待设计的正定矩阵。

2、针对设计的控制器对系统进行李雅普诺夫稳定性证明。

定义候选李雅普诺夫函数表达式为：

式中，定义计算障碍李雅普诺夫函数V₁的微分可得:

利用Young’s不等式，可知：

因此方程式(18)可整理为:

根据定理2，式(7)和式(12),我们可得式的微分表达式为：

将控制律公式(16)代入式(21)，重新整理可得：

式(17)中项的时间微分可表示为：

其中，S_i代表S的第i个分量，满足S＝[S₁,S₂,,S_m]^T,根据Young’s不等式定理，可得：

将方程式(24)代入方程式(23),可得

计算变量υ的时间微分，可得：

其中，B＝[B₁,B₂,B₃]^T为连续函数，并且B的二范数||B||具有最大值B_M。B_i,i＝1,2,3满足如下函数表达式:

式(17)中项的时间微分可表示为：

选取式(28)可表示为:

因此有：

利用式(15),对求导可得：

根据Young’s不等式定理，可得：

因此，式(2)可整理为：

对式(17)进行求导，并将式(20),式(22),式(25),式(28)和式(33)代入可得：

采用定理1,可知:

系数ρ和C满足如下关系：

其中λ_max(·)和λ_min(·)为矩阵(·)的最大和最小特征值，并且满足λ_min(K₂)＞2,λ_min(-K_S ^TK_S+2K_ξ)＞1,因此当V(t)＝c,c＞0,ρ＞Cc时,系统一致渐进稳定；当V(t)≤c,对式(35)积分可得：

其中，V(0)为V的初始值。从式(37)可看出，对于V(t)≤c可知闭环控制系统中的所有信号都是一致终结有界的，系统状态也是一致终结有界的，稳定性得证。

Claims (2)

1.一种空间绳系复合体系统的自适应神经网络动态面控制器，其特征在于控制器为：

<mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>11</mn> </msub> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>11</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>12</mn> </msub> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>12</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <msub> <mi>z</mi> <mn>13</mn> </msub> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>13</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>0</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>G</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>S</mi> </mrow>

K₂∈R^3×3为待设计的正定矩阵；

z₂∈R^3×1为速度追踪误差向量；

z₁₁,z₁₂,z₁₃为位置追踪误差向量z₁∈R^3×1的三个分量；

b_a1,b_a2,b_a3为位置追踪误差向量z₁∈R^3×1的三个分量的约束边界；

ξ∈R^3×1为设计的辅助变量；

K_ξ∈R^3×3为待设计的正定矩阵；

为系绳面内角，β为系绳面外角，l为系绳长度，m₁、m₂分别为平台、抓捕后复合体质量,为系统总质量，Ω为轨道角速度，代表(·)对时间的一阶导数；为辅助虚拟控制律；k₁为正数；

S∈R^m×m表示径向基函数。

2.一种采用李亚普诺夫函数检测权利要求1所述空间绳系复合体系统的自适应神经网络动态面控制器的方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：引入解决系统全状态受限问题的障碍李雅普诺夫函数V₁：

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计算障碍李雅普诺夫函数V₁的微分得:

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利用Young’s不等式，可知：

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重新整理障碍李雅普诺夫函数V₁的微分为：

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步骤2：计算式的微分表达式为：

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将设计的控制律代入上式，整理得：

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以(θ^*TS+ε)替换θ^*为权重因子，ε∈R^3×1为神经网络的逼近误差，满足条件||ε||≤ε_N,其中，ε_N为无穷小的正数；

步骤3：计算式的微分表达式为：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，S_i代表S的第i个分量，满足S＝[S₁,S₂,…,S_m]^T,为权重因子θ^*的估计值,Γ_i＝Γ_i ^T＞0为控制增益矩阵,σ_i＞0为正实数；估计误差可表示为：根据Young’s不等式定理，得：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>+</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

重新整理的微分，得

<mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mi>*</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

步骤4：计算对时间的微分为：

其中B＝[B₁,B₂,B₃]^T为连续函数，并且B的二范数||B||具有最大值B_M；

Bi,i＝1,2,3满足如下函数表达式:选取μ^*＞0,重新整理对时间的微分为:

<mrow> <msup> <mi>v</mi> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>B</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

步骤5：计算对时间的微分得：

<mrow> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mo>|</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mn>0.5</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 3

其中，

μ为正实数，Δτ＝τ-τ_c，Δτ_i,i＝1,2,3为Δτ的分量，τ为实际控制律，τ_c上述设计的控制器；

根据Young’s不等式定理，得：

<mrow> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0.5</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>0.5</mn> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow>

因此，整理对时间的微分为：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mo>|</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mn>0.5</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>0.5</mn> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>-</mo> <mn>0.5</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mo>|</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mn>0.5</mn> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>I</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mo>|</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

步骤6：定义候选李雅普诺夫函数表达式为：

<mrow> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>M</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>v</mi> </mrow>

对上式求导，并依次代入步骤1～步骤5的结论，得：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>I</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>S</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>S</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mi>*</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>I</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mo>|</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>v</mi> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>B</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

由于对于所有的|z_1i|＜b_ai,i＝1,2,3,恒成立，因此上述不等式可整理为：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>I</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>S</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>I</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>B</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>*</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mo>|</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>min</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>min</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>S</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>*</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>B</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>B</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，系数ρ和C满足如下关系：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>{</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>max</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> </mrow> </munder> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>S</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>,</mo> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>}</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mstyle> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> </mstyle> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>*</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中λ_max(·)和λ_min(·)为矩阵(·)的最大和最小特征值，并且满足λ_min(K₂)＞2,λ_min(-K_S ^TK_S+2K_ξ)＞1,因此当V(t)＝c,c＞0,ρ＞C/c时,系统一致渐进稳定；当V(t)≤c,对积分可得：

<mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mi>C</mi> <mi>&amp;rho;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>C</mi> <mi>&amp;rho;</mi> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow>

其中，V(0)为V的初始值；上式证明对于V(t)≤c可知闭环控制系统中的所有信号都是一致终结有界的，系统状态也是一致终结有界的，稳定性得证。