CN105024609A

CN105024609A - 考虑铁损的电动汽车永磁同步电机命令滤波模糊控制方法

Info

Publication number: CN105024609A
Application number: CN201510460243.8A
Authority: CN
Inventors: 于金鹏; 马玉梅; 于海生; 山炳强; 李伟; 曲子扬
Original assignee: Qingdao University
Current assignee: Qingdao University
Priority date: 2015-07-31
Filing date: 2015-07-31
Publication date: 2015-11-04
Anticipated expiration: 2035-07-31
Also published as: CN105024609B

Abstract

本发明公开了一种考虑铁损的电动汽车永磁同步电机命令滤波模糊控制方法。所述模糊控制方法在传统的反步设计方法中引入命令滤波技术，通过引入补偿信号，减小了滤波产生的误差，成功地克服了在传统反步控制中由于连续求导所引起的“计算爆炸”问题；本发明控制方法利用模糊逻辑系统逼近系统中的非线性函数，将命令滤波反步技术与模糊自适应方法结合起来构造了模糊自适应速度控制器；通过本发明控制方法调节后，电机运行能快速达到稳定状态，更适合像电动汽车驱动系统这样需要快速动态响应的控制对象，仿真结果表明采用本发明的控制方法能够克服参数不准确的影响并且利于保证理想的控制效果，实现对转速的快速、稳定地响应。

Description

考虑铁损的电动汽车永磁同步电机命令滤波模糊控制方法

技术领域

本发明涉及一种考虑铁损的电动汽车永磁同步电机命令滤波模糊控制方法。

背景技术

近几年，依靠燃烧汽油、柴油作为主要驱动力的传统汽车所产生的尾气排放导致环境污染越来越严重。为此，各个国家力求寻找发展一种新能源汽车能够有效地降低大气污染。电动汽车的出现和发展让人们展望到改善空气质量的新方向。电动汽车是指以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆。电动汽车的组成包括：电力驱动及控制系统、驱动力传动等机械系统、完成既定任务的工作装置等。其优点在于：一方面实现废气的零排放，即使按所耗电量换算为发电厂的排放量；另一方面是噪声低，电动汽车在行驶运行中基本是宁静的，特别适合在需要降低噪声污染的城市道路上行驶；第三方面，电动汽车具有高能效、结构简单、经久耐用以及维修方便等特点。

电力驱动及控制系统是电动汽车的核心部分，也是区别于内燃机汽车的最大不同点。应用在电动汽车上的电机驱动系统具有较高的起动转矩，从静止不动到高速运行的宽工作电压范围，除此之外，还要求其在所有速度范围内都具有高效率，因此对电机控制的性能直接影响汽车的性能指标和安全性。尽管各种不同结构的电机都可以用于电动汽车，但是由于永磁同步电机与普通交流变频电机相比具有高效率、高力矩惯量比、高能量密度，是一种低碳环保电机，所以永磁同步电机经常应用于追求高性能的电动汽车应用中。与此同时，铁磁损耗能够降低发电电压的频率和大小，它可以被看作是一个与数值成比例的、附加的负载。在铁损很小的永磁同步电机中，铁损的影响也不是小到可以忽略不计，所以铁损是不能被忽略的。

由于永磁同步电机的动态数学模型具有高度的非线性、多变量的特点，因此在电动汽车上永磁同步电机需要一套更复杂的控制方法。为满足实际应用对于电动汽车更高的要求，提出了模糊逻辑控制、反步法控制和滑模控制等基于最近现代控制理论的控制策略。所有的这些方法都假定可以得到动态系统方程。反步法是一种控制具有不确定性、非线性的系统，尤其是那些不满足给定条件的系统的方法。反步法最大的优点是可以用虚拟控制变量简化原始的高阶系统，从而最终的输出结果可以通过合适的Lyapunov方程来自动的得到。然而，传统反步控制中对虚拟控制函数进行连续求导，容易引起“计算爆炸”问题。

发明内容

本发明的目的在于提出一种考虑铁损的电动汽车永磁同步电机命令滤波模糊控制方法，该控制方法引入命令滤波技术，使用模糊逻辑系统来逼近未知的非线性项，应用自适应模糊反步法技术来使跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，能够有效地解决在参数不确定和有负载扰动的情况下考虑铁损的永磁同步电机的速度跟踪控制的问题。

考虑铁损的电动汽车永磁同步电机命令滤波模糊控制方法，包括如下步骤：

a建立考虑铁损的永磁同步电机的动态模型：

\{\begin{matrix} \frac{{dω}_{γ}}{d t} = \frac{n_{p} λ_{P M}}{J} i_{o q} - \frac{T_{L}}{J} \\ \frac{{di}_{o q}}{d t} = \frac{R_{c}}{L_{m q}} i_{q} - \frac{R_{c}}{L_{m q}} i_{o q} - \frac{n_{p} L_{d}}{L_{m q}} {ωi}_{o d} - \frac{n_{p} λ_{P M}}{L_{m q}} ω \\ \frac{{di}_{q}}{d t} = - \frac{R_{1}}{L_{l q}} i_{q} + \frac{R_{c}}{L_{l q}} i_{o q} + \frac{1}{L_{l q}} u_{q} \\ \frac{{di}_{o d}}{d t} = \frac{R_{c}}{L_{m d}} i_{d} - \frac{R_{c}}{L_{m d}} i_{o d} + \frac{n_{p} L_{q}}{L_{m d}} {ωi}_{o q} \\ \frac{{di}_{d}}{d t} = - \frac{R_{1}}{L_{l d}} i_{d} + \frac{R_{c}}{L_{l d}} i_{o d} + \frac{1}{L_{l d}} u_{d} \end{matrix} - - - (1)

其中，ω_γ表示电机角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩；i_d和i_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压；i_od和i_oq表示d-q轴励磁电流分量；L_d和L_q表示d-q轴电感；L_ld和L_lq表示d-q轴漏感；L_md和L_mq表示d-q轴励磁电感；R₁和R_c表示定子电阻和铁心损耗电阻；λ_PM是转子永磁体的励磁磁通；

为简化永磁同步电机的动态模型，定义新的变量：

\{\begin{matrix} x_{1} = ω_{γ}, x_{2} = i_{o q}, x_{3} = i_{q}, x_{4} = i_{o d}, x_{5} = i_{d} \\ a_{1} = n_{p} λ_{p M}, b_{1} = R_{c} / L_{m q}, b_{2} = - n_{p} L_{d} / L_{m q}, b_{3} = - n_{p} λ_{p M} / L_{m q} \\ b_{4} = - R_{1} / L_{l q}, b_{5} = R_{c} / L_{l q}, c_{1} = 1 / L_{l q} \end{matrix} - - - (2)

永磁同步电机的动态数学模型用如下方程来表示：

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = a_{1} x_{2} / J - T_{L} / J \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = b_{1} x_{3} - b_{1} x_{2} + b_{2} x_{1} x_{4} + b_{3} x_{1} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3} = b_{4} x_{3} + b_{5} x_{2} + c_{1} u_{q} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{4} = b_{1} x_{5} - b_{1} x_{4} - b_{2} x_{1} x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{5} = b_{4} x_{5} + b_{5} x_{4} + c_{1} u_{d} \end{matrix} - - - (3)

其中，

{\overset{\cdot}{x}}_{1} = \frac{{dω}_{γ}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{2} = \frac{{di}_{o q}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{3} = \frac{{di}_{q}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{4} = \frac{{di}_{o d}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{5} = \frac{{di}_{d}}{d t};

b设计一种考虑铁损的永磁同步电机驱动系统的控制方法，永磁同步电机的动态数学模型简化为两个近似独立的子系统，即由状态变量(x₁，x₂，x₃)和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量(x₄，x₅)和控制输入u_d组成的子系统；

定义跟踪误差变量为z₁＝x₁-x_1d，z₂＝x₂-x_1,c，z₃＝x₃-x_2,c，z₄＝x₄，z₅＝x₅-x_4,c；

定义x_1d为期望的速度信号，α_i(i＝1,2,4)为虚拟控制信号，x_1,c,x_2,c,x_4,c为命令滤波输出，k_i＝(i＝1，...,5)为正的设计参数；

控制方法设计的每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律：控制方法的设计具体包括以下步骤：

b.1根据方程对z₁求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：对V₁求导得到：

{\overset{\cdot}{V}}_{1} = z_{1} (a_{1} x_{2} - T_{L} - J {\overset{\cdot}{x}}_{1 d}) - - - (4)

选择由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₁，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₁表示逼近误差，并满足不等式|δ₁|≤ε₁，定义变量为θ_i估计值，并且

S(Z)＝[s₁(Z),s₂(Z),…,s_l(Z)]^T为基向径函数，s_i(Z)选用高斯函数如下：

s_{i} (Z) = \exp [\frac{- {(Z - μ_{i})}^{T} (Z - μ_{i})}{{η^{2}}_{i}}], i = 1, 2, ..., l

式中，μ_i＝[μ_i1,…,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

构建虚拟控制函数

α_{1} = \frac{1}{a_{1}} (- k_{1} z_{1} - {\hat{θ}}_{1}^{T} S_{1}) - - - (5)

按照公式(5)，将公式(4)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{1} = z_{1} [a_{1} (z_{2} + x_{1, c} - α_{1} + α_{1}) + W_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}] = z_{1} [a_{1} z_{2} + a_{1} (x_{1, c} - α_{1}) - k_{1} z_{1} + {\hat{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}] \\ = - k_{1} z_{1}^{2} + a_{1} z_{1} z_{2} + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + z_{1} ({\hat{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) \end{matrix} - - - (6)

b.2根据方程

{\overset{\cdot}{x}}_{2} = b_{1} x_{3} - b_{1} x_{2} + b_{2} x_{1} x_{4} + b_{3} x_{1},

对z₂求导得到误差动态方程：

{\overset{\cdot}{z}}_{2} = {\overset{\cdot}{x}}_{2} - {\overset{\cdot}{x}}_{1, c},

选择Lyapunov函数：对V₂求导得：

{\overset{\cdot}{V}}_{2} = {\overset{\cdot}{V}}_{1} + z_{2} {\overset{\cdot}{z}}_{2} = {\overset{\cdot}{V}}_{1} + z_{2} (b_{1} x_{3} + b_{2} x_{1} x_{4} + b_{3} x_{1} - b_{1} x_{2} - {\overset{\cdot}{x}}_{1, c}) - - - (7)

选择f₂(Z₂)＝b₂x₁x₄+b₃x₁-b₁x₂，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₂，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₂表示逼近误差，并满足不等式|δ₂|≤ε₂；

构建虚拟控制函数

α_{2} = \frac{1}{b_{1}} (- k_{2} z_{2} - a_{1} z_{1} - {\hat{θ}}_{2}^{T} S_{2} + {\overset{\cdot}{x}}_{1, c}) - - - (8)

按照公式(8)，将公式(7)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{2} = {\overset{\cdot}{V}}_{1} + z_{2} [b_{1} (z_{3} + x_{2, c} - α_{2} + α_{2}) + f_{2} - {\overset{\cdot}{x}}_{1, c}] \\ = - k_{1} z_{1}^{2} - k_{2} z_{2}^{2} + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{2} z_{3} + z_{1} ({\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) + z_{2} ({\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2}) \end{matrix} - - - (9)

b.3根据方程对z₃求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：对V₃求导得到：

{\overset{\cdot}{V}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{2} + z_{3} {\overset{\cdot}{z}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{2} + z_{3} (b_{4} x_{3} + b_{5} x_{2} + c_{1} u_{q} - {\overset{\cdot}{x}}_{2, c}) - - - (10)

选择f₃(Z₃)＝b₄x₃+b₅x₂，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₃表示逼近误差，并满足不等式|δ₃|≤ε₃；

构建真实的控制律

u_{q} = \frac{1}{c_{1}} (- k_{3} z_{3} - b_{1} z_{2} - {\hat{θ}}_{3}^{T} S_{3} + {\overset{\cdot}{x}}_{2, c}) - - - (11)

按照公式(11)，将公式(10)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{2} + z_{3} (f_{3} + c_{1} u_{q} - {\overset{\cdot}{x}}_{2, c}) = - k_{1} z_{1}^{2} - k_{2} z_{2}^{2} - k_{3} z_{3}^{2} + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{2} z_{3} \\ + z_{1} ({\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) + z_{2} ({\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2}) + z_{3} ({\tilde{θ}}_{3}^{T} S_{3} + δ_{3}) \end{matrix} - - - (12)

b.4根据方程对z₄求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：

V_{4} = V_{3} + z_{4}^{2} / 2,

对V₄求导得到

{\overset{\cdot}{V}}_{4} = {\overset{\cdot}{V}}_{3} + z_{3} {\overset{\cdot}{z}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{3} + z_{3} (b_{1} x_{5} - b_{1} x_{4} - b_{2} x_{1} x_{2});

选择f₄(Z₄)＝-b₁x₄-b₂x₁x₂，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₄，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₄表示逼近误差，并满足不等式|δ₄|≤ε₄；

{\overset{\cdot}{V}}_{4} = - Σ_{i = 1}^{3} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{3} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + z_{4} (b_{1} x_{5} + f_{4}) - - - (13)

构建虚拟控制函数

α_{4} = \frac{1}{b_{1}} (- k_{4} z_{4} - {\tilde{θ}}_{4}^{T} S_{4}) - - - (14)

按照公式(14)，将公式(13)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{4} = - Σ_{i = 1}^{3} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{3} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{1} (x_{2, c} - α_{2}) + z_{4} [b_{1} (z_{5} + x_{4, c} - α_{4} + α_{4}) + f_{4}] \\ = - Σ_{i = 1}^{3} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{3} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} z_{5} + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix}

b.5根据方程对z₅求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：

V_{5} = V_{4} + z_{5}^{2} / 2;

对V₅求导得到

{\overset{\cdot}{V}}_{5} = {\overset{\cdot}{V}}_{4} + z_{5} {\overset{\cdot}{z}}_{5} = {\overset{\cdot}{V}}_{4} + z_{5} (b_{4} x_{5} + b_{5} x_{4} + c_{1} u_{d} - {\overset{\cdot}{x}}_{4, c});

选择f₅(Z₅)＝b₄x₅+b₅x₄，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₅，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₅表示逼近误差，并满足不等式|δ₅|≤ε₅；

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{5}^{T} = - Σ_{i = 1}^{4} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{4} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \\ + b_{1} z_{4} z_{5} + z_{5} (f_{5} + c_{1} u_{d} - {\overset{\cdot}{x}}_{4, c}) \end{matrix} - - - (15)

构建真实的控制律

u_{d} = \frac{1}{c_{1}} (- k_{5} z_{5} - b_{1} z_{4} + {\overset{\cdot}{x}}_{4, c} - {\tilde{θ}}_{5}^{T} S_{5}) - - - (16)

按照公式(16)，将公式(15)改写为：

{\overset{\cdot}{V}}_{5}^{T} = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4})

b.6构建Lyapunov函数为：对V⁽¹⁾求导得到：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}^{(1)} = {\overset{\cdot}{V}}_{5} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} (- {\hat{θ}}_{i}) = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} z_{i} δ_{i} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} (r_{i} z_{i} S_{i} - {\overset{\cdot}{\hat{θ}}}_{i}) \\ + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix} - - - (17)

选择相应的自适应律

{\overset{\cdot}{\hat{θ}}}_{i} = r_{i} z_{i} S_{i} - m_{i} {\hat{θ}}_{i} - - - (18)

根据杨氏不等式，得到：

z_{i} δ_{i} \leq \frac{1}{2} z_{i}^{2} + \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} - - - (19)

按照公式(18)和(19)，将公式(17)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}^{(1)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} \\ + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix} - - - (20)

同样，由杨氏不等式得到：

{\tilde{θ}}_{i}^{T} {\hat{θ}}_{i} \leq - \frac{1}{2} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + \frac{1}{2} θ_{i}^{T} θ_{i} - - - (21)

按照公式(21)，将公式(20)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}^{(1)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} - Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i} \\ + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix}

根据|x_id-α_i|＜μ，其中，μ是任意小的正数，以及a₁,b₁≤ρ，且ρ是正常数，得到：

\{\begin{matrix} a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) < \frac{1}{2} (z_{1}^{2} + μ^{2} ρ^{2}) \\ b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) < \frac{1}{2} (z_{2}^{2} + μ^{2} ρ^{2}) \\ b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) < \frac{1}{2} (z_{4}^{2} + μ^{2} ρ^{2}) \end{matrix} - - - (22)

得到：

{\overset{\cdot}{V}}^{(1)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) z_{i}^{2} - Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + \frac{1}{2} (z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{4}^{2} + 3 μ^{2} ρ^{2}) + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i}

b.7定义补偿信号如下：

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{ξ}}_{1} = [a_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + a_{1} ξ_{2} - k_{1} ξ_{1}] / J \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{2} = b_{1} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} ξ_{3} - k_{2} ξ_{2} - a_{1} ξ_{1} \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{3} = - b_{1} ξ_{2} - k_{3} ξ_{3} \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{4} = b_{1} (x_{4, c} - α_{4}) + b_{1} ξ_{5} - k_{4} ξ_{4} \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{5} = - b_{1} ξ_{4} - k_{5} ξ_{5} \end{matrix} - - - (23)

其中，ξ(0)＝0，||ξ_i||是有界的，如果T₁趋近于∞，有其中，设计跟踪补偿误差ν_i＝z_i-ξ_i，闭环系统的跟踪误差的微分方程写为：

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{1} = [a_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + a_{1} z_{2} - k_{1} z_{1} + {\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}] / J \\ {\overset{\cdot}{z}}_{2} = b_{1} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{3} - k_{2} z_{2} - a_{1} z_{1} + {\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{3} = - b_{1} z_{2} - k_{3} z_{3} + {\tilde{θ}}_{3}^{T} S_{3} + δ_{3} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{4} = b_{1} (x_{4, c} - α_{4}) + b_{1} z_{5} - k_{4} z_{4} + {\tilde{θ}}_{4}^{T} S_{4} + δ_{4} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{5} = - b_{1} z_{4} - k_{5} z_{5} + {\tilde{θ}}_{5}^{T} S_{5} + δ_{5} \end{matrix} - - - (24)

得到：

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{ν}}_{1} = (a_{1} ν_{2} - k_{1} ν_{1} + {\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) / J \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{2} = b_{1} ν_{3} - k_{2} ν_{2} - a_{1} ν_{1} + {\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2} \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{3} = - b_{1} ν_{2} - k_{3} ν_{3} + {\tilde{θ}}_{3}^{T} S_{3} + δ_{3} \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{4} = b_{1} ν_{5} - k_{4} ν_{4} + {\tilde{θ}}_{4}^{T} S_{4} + δ_{4} \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{5} = - b_{1} ν_{4} - k_{5} ν_{5} + {\tilde{θ}}_{5}^{T} S_{5} + δ_{5} \end{matrix} - - - (25)

c对建立的考虑铁损的永磁同步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析

选取新的Lyapunov函数

V^{(2)} = \frac{J}{2} ν_{1}^{2} + Σ_{i = 2}^{5} ν_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{2 r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i},

对其求导得到：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} ν_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{{\tilde{θ}}_{i}^{T}}{r_{i}} (r_{i} ν_{i} S_{i} - {\overset{\cdot}{\hat{θ}}}_{i}) + Σ_{i = 1}^{5} ν_{i} δ_{i} - - - (26)

选择自适应律为

{\overset{\cdot}{\hat{θ}}}_{i} = r_{i} ν_{i} S_{i} - m_{i} {\hat{θ}}_{i} - - - (27)

根据杨氏不等式，得到：

ν_{i} δ_{i} \leq \frac{1}{2} ν_{i}^{2} + \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} - - - (28)

按照公式(27)和(28)，公式(26)改写为：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} ν_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + Σ_{i = 1}^{5} ν_{i} δ_{i} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) ν_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\hat{θ}}_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} ϵ_{i} - - - (29)

同理，根据

{\tilde{θ}}_{i}^{T} {\hat{θ}}_{i} \leq - \frac{1}{2} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\hat{θ}}_{i} + \frac{1}{2} θ_{i}^{T} θ_{i},

将公式(29)改写为：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} ν_{i}^{2} - \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} ϵ_{i} \leq - {aV}^{(2)} + b - - - (30)

其中，

a = m i n {\frac{1}{J} (2 k_{1} - 1), 2 k_{2} - 1, ..., 2 k_{5} - 1, m_{1}, ..., m_{5}}, b = \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} ϵ_{i};

因此，得到：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} (t) \leq (V^{(2)} (t_{0}) - \frac{b}{a}) e^{- a (t - t_{0})} + \frac{b}{a} \leq V^{(2)} (t_{0}) + \frac{b}{a}, &ForAll; t &GreaterEqual; t_{0} - - - (31)

因此，ν_i和是有界的，因为是θ常数，所以是有界的，又因为z_i＝ν_i+ξ_i，||ξ_i||是有界的，因此z_i也是有界的；

因此x(t)和其他所有控制信号在任何时间段内都是有界的，由公式(31)得到：

\lim_{t &RightArrow; \infty} | z_{1} | \leq \sqrt{\frac{2 b}{a}} + \frac{μ ρ}{2 k_{0}} .

本发明引入命令滤波技术，通过自适应模糊控制方法所设计的控制器能保证速度的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，实现对永磁同步电机的速度高效的跟踪控制。

本发明具有如下优点：

(1)本发明控制方法主要是针对电动汽车在电力驱动和控制系统中存在的非线性问题，能够使电机快速达到稳定的运行状态，更加适合像电动汽车驱动系统这样需要快速动态响应的控制对象；(2)本发明控制方法将命令滤波技术和模糊自适应方法相结合，有效地解决了在参数不确定和有负载转矩扰动的情况下考虑铁损的永磁同步电机的速度跟踪控制的问题，这一问题的解决，具有实际意义，引入命令滤波技术，使用模糊逻辑系统来逼近未知的非线性项，应用自适应模糊反步法技术使跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，有效地解决了电动汽车永磁同步电机的非线性控制问题，可以达到更加准确的控制精度；(3)仿真结果表明这种控制方法的有效性和鲁棒性，具有较强的抗负载扰动能力，实现了理想的控制效果；(4)引入命令滤波技术的自适应反步法控制主要是通过在Lyapunov方程中插入速度跟踪误差的积分来实现的，避免了对虚拟函数的连续求导，从而克服了传统反步设计的“计算爆炸”问题。

附图说明

图1是本发明中由永磁同步电机模糊自适应命令滤波控制器、坐标变换和SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图。

图2本发明控制方法控制后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图。

图3是本发明控制方法控制后同步电动机d轴定子电压仿真图。

图4是本发明控制方法控制后同步电动机q轴定子电压仿真图。

具体实施方式

本发明基于命令滤波的模糊自适应控制方法基本思想为：利用模糊逻辑系统逼近系统中的高度非线性函数,并结合自适应和反步技术构造控制器，将命令滤波技术引入到递推过程Lyapunov函数的选取和中间虚拟控制信号的构造中，递推得到控制律，同时设计相应的自适应律来调节未知参数；引入命令滤波技术，在不进行微分运算的情况下，可以产生命令信号的导数信号，减小了计算量，解决了传统反步法对虚拟控制函数进行连续求导引起的“计算爆炸”问题，通过引入补偿信号，极大的减小了命令滤波产生的误差；命令滤波技术的引入极大简化了设计过程，另外，为控制器中固定参数的选取开辟了一种新的思路，大大提高了设计效率，改善了系统稳态性能。

具体的，下面结合附图以及具体实施方式对本发明做进一步详细说明：

结合图1所示，考虑铁损的电动汽车永磁同步电机命令滤波模糊控制器，主要包括永磁同步电机命令滤波模糊控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3和转速检测单元4与电流检测单元5。转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测永磁同步电动机的电流值和转速相关变量，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，通过永磁同步电机模糊自适应动态面控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制永磁同步电动机的转速，为了设计一个更加有效的控制器，建立考虑铁损的永磁同步电机动态模型是十分必要的。

考虑铁损的电动汽车永磁同步电机命令滤波模糊控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a建立考虑铁损的永磁同步电机的动态模型：

\{\begin{matrix} \frac{{dω}_{γ}}{d t} = \frac{n_{p} λ_{P M}}{J} i_{o q} - \frac{T_{L}}{J} \\ \frac{{di}_{o q}}{d t} = \frac{R_{c}}{L_{m q}} i_{q} - \frac{R_{c}}{L_{m q}} i_{o q} - \frac{n_{p} L_{d}}{L_{m q}} {ωi}_{o d} - \frac{n_{p} λ_{P M}}{L_{m q}} ω \\ \frac{{di}_{q}}{d t} = - \frac{R_{1}}{L_{l q}} i_{q} + \frac{R_{c}}{L_{l q}} i_{o q} + \frac{1}{L_{l q}} u_{q} \\ \frac{{di}_{o d}}{d t} = \frac{R_{c}}{L_{m d}} i_{d} - \frac{R_{c}}{L_{m d}} i_{o d} + \frac{n_{p} L_{q}}{L_{m d}} {ωi}_{o q} \\ \frac{{di}_{d}}{d t} = - \frac{R_{1}}{L_{l d}} i_{d} + \frac{R_{c}}{L_{l d}} i_{o d} + \frac{1}{L_{l d}} u_{d} \end{matrix} - - - (1)

其中，ω_γ表示电机角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量,T_L表示负载转矩；i_d和i_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压；i_od和i_oq表示d-q轴励磁电流分量；L_d和L_q表示d-q轴电感；L_ld和L_lq表示d-q轴漏感；L_md和L_mq表示d-q轴励磁电感；R₁和R_c表示定子电阻和铁心损耗电阻；λ_PM是转子永磁体的励磁磁通；

为简化永磁同步电机的动态模型，定义新的变量：

\{\begin{matrix} x_{1} = ω_{γ}, x_{2} = i_{o q}, x_{3} = i_{q}, x_{4} = i_{o d}, x_{5} = i_{d} \\ a_{1} = n_{p} λ_{p M}, b_{1} = R_{c} / L_{m q}, b_{2} = - n_{p} L_{d} / L_{m q}, b_{3} = - n_{p} λ_{p M} / L_{m q} \\ b_{4} = - R_{1} / L_{l q}, b_{5} = R_{c} / L_{l q}, c_{1} = 1 / L_{l q} \end{matrix} - - - (2)

永磁同步电机的动态数学模型用差分方程来表示：

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = a_{1} x_{2} / J - T_{L} / J \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = b_{1} x_{3} - b_{1} x_{2} + b_{2} x_{1} x_{4} + b_{3} x_{1} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3} = b_{4} x_{3} + b_{5} x_{2} + c_{1} u_{q} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{4} = b_{1} x_{5} - b_{1} x_{4} - b_{2} x_{1} x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{5} = b_{4} x_{5} + b_{5} x_{4} + c_{1} u_{d} \end{matrix} - - - (3)

其中，

{\overset{\cdot}{x}}_{1} = \frac{{dω}_{γ}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{2} = \frac{{di}_{o q}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{3} = \frac{{di}_{q}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{4} = \frac{{di}_{o d}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{5} = \frac{{di}_{d}}{d t};

b设计一种考虑铁损的永磁同步电机驱动系统的控制方法，永磁同步电机的动态数学模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量(x₁，x₂，x₃)和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量(x₄，x₅)和控制输入u_d组成的子系统；

{\overset{\cdot}{V}}_{1} = z_{1} (a_{1} x_{2} - T_{L} - J {\overset{\cdot}{x}}_{1 d}) - - - (4)

s_{i} (Z) = \exp [\frac{- {(Z - μ_{i})}^{T} (Z - μ_{i})}{{η^{2}}_{i}}], i = 1, 2, ..., l

式中，μ_i＝[μ_i1,…,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度。

构建虚拟控制函数

α_{1} = \frac{1}{a_{1}} (- k_{1} z_{1} - {\hat{θ}}_{1}^{T} S_{1}) - - - (5)

按照公式(5)，将公式(4)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{1} = z_{1} [a_{1} (z_{2} + x_{1, c} - α_{1} + α_{1}) + W_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}] = z_{1} [a_{1} z_{2} + a_{1} (x_{1, c} - α_{1}) - k_{1} z_{1} + {\hat{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}] \\ = - k_{1} z_{1}^{2} + a_{1} z_{1} z_{2} + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + z_{1} ({\hat{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) \end{matrix} - - - (6)

b.2根据方程

{\overset{\cdot}{x}}_{2} = b_{1} x_{3} - b_{1} x_{2} + b_{2} x_{1} x_{4} + b_{3} x_{1},

对z₂求导得到误差动态方程：

{\overset{\cdot}{z}}_{2} = {\overset{\cdot}{x}}_{2} - {\overset{\cdot}{x}}_{1, c},

选择Lyapunov函数：对V₂求导得：

{\overset{\cdot}{V}}_{2} = {\overset{\cdot}{V}}_{1} + z_{2} {\overset{\cdot}{z}}_{2} = {\overset{\cdot}{V}}_{1} + z_{2} (b_{1} x_{3} + b_{2} x_{1} x_{4} + b_{3} x_{1} - b_{1} x_{2} - {\overset{\cdot}{x}}_{1, c}) - - - (7)

构建虚拟控制函数

α_{2} = \frac{1}{b_{1}} (- k_{2} z_{2} - a_{1} z_{1} - {\hat{θ}}_{2}^{T} S_{2} + {\overset{\cdot}{x}}_{1, c}) - - - (8)

按照公式(8)，将公式(7)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{2} = {\overset{\cdot}{V}}_{1} + z_{2} [b_{1} (z_{3} + x_{2, c} - α_{2} + α_{2}) + f_{2} - {\overset{\cdot}{x}}_{1, c}] \\ = - k_{1} z_{1}^{2} - k_{2} z_{2}^{2} + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{2} z_{3} + z_{1} ({\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) + z_{2} ({\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2}) \end{matrix} - - - (9)

{\overset{\cdot}{V}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{2} + z_{3} {\overset{\cdot}{z}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{2} + z_{3} (b_{4} x_{3} + b_{5} x_{2} + c_{1} u_{q} - {\overset{\cdot}{x}}_{2, c}) - - - (10)

构建真实的控制律

u_{q} = \frac{1}{c_{1}} (- k_{3} z_{3} - b_{1} z_{2} - {\hat{θ}}_{3}^{T} S_{3} + {\overset{\cdot}{x}}_{2, c}) - - - (11)

按照公式(11)，将公式(10)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{2} + z_{3} (f_{3} + c_{1} u_{q} - {\overset{\cdot}{x}}_{2, c}) = - k_{1} z_{1}^{2} - k_{2} z_{2}^{2} - k_{3} z_{3}^{2} + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) \\ + b_{1} z_{2} z_{3} + z_{1} ({\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) + z_{2} ({\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2}) + z_{3} ({\tilde{θ}}_{3}^{T} S_{3} + δ_{3}) \end{matrix} - - - (12)

b.4根据方程对z₄求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：

V_{4} = V_{3} + z_{4}^{2} / 2,

对V₄求导得到

{\overset{\cdot}{V}}_{4} = {\overset{\cdot}{V}}_{3} + z_{3} {\overset{\cdot}{z}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{3} + z_{3} (b_{1} x_{5} - b_{1} x_{4} - b_{2} x_{1} x_{2});

选择f₄(Z₄)＝-b₁x₄-b₂x₁x₂，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₄，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₄表示逼近误差，并满足不等式|δ₄|≤ε₄，得到：

{\overset{\cdot}{V}}_{4} = - Σ_{i = 1}^{3} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{3} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + z_{4} (b_{1} x_{5} + f_{4}) - - - (13)

构建虚拟控制函数

α_{4} = \frac{1}{b_{1}} (- k_{4} z_{4} - {\tilde{θ}}_{4}^{T} S_{4}) - - - (14)

按照公式(14)，将公式(13)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{4} = - Σ_{i = 1}^{3} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{3} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + z_{4} [b_{1} (z_{5} + x_{4, c} - α_{4} + α_{4}) + f_{4}] \\ = - Σ_{i = 1}^{3} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{3} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} z_{5} + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix}

b.5根据方程对z₅求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：

V_{5} = V_{4} + z_{5}^{2} / 2;

对V₅求导得到

{\overset{\cdot}{V}}_{5} = {\overset{\cdot}{V}}_{4} + z_{5} {\overset{\cdot}{z}}_{5} = {\overset{\cdot}{V}}_{4} + z_{5} (b_{4} x_{5} + b_{5} x_{4} + c_{1} u_{d} - {\overset{\cdot}{x}}_{4, c});

选择f₅(Z₅)＝b₄x₅+b₅x₄，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₅，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₅表示逼近误差，并满足不等式|δ₅|≤ε₅，得到：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{5} = - Σ_{i = 1}^{4} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{4} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \\ + b_{1} z_{4} z_{5} + z_{5} (f_{5} + c_{1} u_{d} - {\overset{\cdot}{x}}_{4, c}) \end{matrix} - - - (15)

构建真实的控制律

u_{d} = \frac{1}{c_{1}} (- k_{5} z_{5} - b_{1} z_{4} + {\overset{\cdot}{x}}_{4, c} - {\tilde{θ}}_{5}^{T} S_{5}) - - - (16)

按照公式(16)，将公式(15)改写为：

{\overset{\cdot}{V}}_{5} = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4})

b.6构建Lyapunov函数为：对V⁽¹⁾求导得到：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}^{(1)} = {\overset{\cdot}{V}}_{5} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} (- {\hat{θ}}_{i}) = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} z_{i} δ_{i} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} (r_{i} z_{i} S_{i} - {\overset{\cdot}{\hat{θ}}}_{i}) \\ + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix} - - - (17)

选择相应的自适应律

根据杨氏不等式，得到：

z_{i} δ_{i} \leq \frac{1}{2} z_{i}^{2} + \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} - - - (19)

按照公式(18)和(19)，将公式(17)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}^{(1)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} \\ + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix} - - - (20)

同样，由杨氏不等式得到：

{\tilde{θ}}_{i}^{T} {\hat{θ}}_{i} \leq - \frac{1}{2} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + \frac{1}{2} θ_{i}^{T} θ_{i} - - - (21)

按照公式(21)，将公式(20)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}^{(1)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} - Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i} \\ + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix}

\{\begin{matrix} a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) < \frac{1}{2} (z_{1}^{2} + μ^{2} ρ^{2}) \\ b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) < \frac{1}{2} (z_{2}^{2} + μ^{2} ρ^{2}) \\ b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) < \frac{1}{2} (z_{4}^{2} + μ^{2} ρ^{2}) \end{matrix} - - - (22)

得到：

{\overset{\cdot}{V}}^{(1)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) z_{i}^{2} - Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + \frac{1}{2} (z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{4}^{2} + 3 μ^{2} ρ^{2}) + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i}

b.7定义补偿信号如下：

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{ξ}}_{1} = [a_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + a_{1} ξ_{2} - k_{1} ξ_{1}] / J \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{2} = b_{1} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} ξ_{3} - k_{2} ξ_{2} - a_{1} ξ_{1} \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{3} = - b_{1} ξ_{2} - k_{3} ξ_{3} \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{4} = b_{1} (x_{4, c} - α_{4}) + b_{1} ξ_{5} - k_{4} ξ_{4} \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{5} = - b_{1} ξ_{4} - k_{5} ξ_{5} \end{matrix} - - - (23)

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{1} = [a_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + a_{1} z_{2} - k_{1} z_{1} + {\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}] / J \\ {\overset{\cdot}{z}}_{2} = b_{1} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{3} - k_{2} z_{2} - a_{1} z_{1} + {\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{3} = - b_{1} z_{2} - k_{3} z_{3} + {\tilde{θ}}_{3}^{T} S_{3} + δ_{3} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{4} = b_{1} (x_{4, c} - α_{4}) + b_{1} z_{5} - k_{4} z_{4} + {\tilde{θ}}_{4}^{T} S_{4} + δ_{4} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{5} = - b_{1} z_{4} - k_{5} z_{5} + {\tilde{θ}}_{5}^{T} S_{5} + δ_{5} \end{matrix} - - - (24)

得到：

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{ν}}_{1} = (a_{1} ν_{2} - k_{1} ν_{1} + {\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) / J \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{2} = b_{1} ν_{3} - k_{2} ν_{2} - a_{1} ν_{1} + {\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2} \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{3} = - b_{1} ν_{2} - k_{3} ν_{3} + {\tilde{θ}}_{3}^{T} S_{3} + δ_{3} \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{4} = b_{1} ν_{5} - k_{4} ν_{4} + {\tilde{θ}}_{4}^{T} S_{4} + δ_{4} \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{5} = - b_{1} ν_{4} - k_{5} ν_{5} + {\tilde{θ}}_{5}^{T} S_{5} + δ_{5} \end{matrix} - - - (25)

选取新的Lyapunov函数

V^{(2)} = \frac{J}{2} ν_{1}^{2} + Σ_{i = 2}^{5} ν_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{2 r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i},

对其求导得到：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} ν_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{{\tilde{θ}}_{i}^{T}}{r_{i}} (r_{i} ν_{i} S_{i} - {\overset{\cdot}{\hat{θ}}}_{i}) + Σ_{i = 1}^{5} ν_{i} δ_{i} - - - (26)

在永磁同步电机的实际模型中，系统参数J可能是未知的，不能用来构建控制信号，除非能够明确它的相应的自适应律。在本发明中，由于T_L存在扰动，可以使用模糊逻辑系统来应对这种扰动，解决了传统磁场导向控制方法的主要问题。

为了验证所得到的闭环系统的稳定性，选择自适应律为

根据杨氏不等式，得到：

ν_{i} δ_{i} \leq \frac{1}{2} ν_{i}^{2} + \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} - - - (28)

按照公式(27)和(28)，公式(26)改写为：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} ν_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + Σ_{i = 1}^{5} ν_{i} δ_{i} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) ν_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} ϵ_{i} - - - - (29)

同理，根据

{\tilde{θ}}_{i}^{T} {\hat{θ}}_{i} \leq - \frac{1}{2} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\hat{θ}}_{i} + \frac{1}{2} θ_{i}^{T} θ_{i},

将公式(29)改写为：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} ν_{i}^{2} - \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} ϵ_{i} \leq - {aV}^{(2)} + b - - - (30)

其中，

a = \min {\frac{1}{J} (2 k_{1} - 1), 2 k_{2} - 1, ..., 2 k_{5} - 1, m_{1}, ..., m_{5}}, b = \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} ϵ_{i};

因此，得到：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} (t) \leq (V^{(2)} (t_{0}) - \frac{b}{a}) e^{- a (t - t_{0})} + \frac{b}{a} \leq V^{(2)} (t_{0}) + \frac{b}{a}, &ForAll; t &GreaterEqual; t_{0} - - - (31)

\lim_{t &RightArrow; \infty} | z_{1} | \leq \sqrt{\frac{2 b}{a}} + \frac{μ ρ}{2 k_{0}} .

在本发明中，永磁同步电机在控制律u_q、u_d的作用下，系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，同时保证闭环系统其他所有的信号保持有界。

由a和b的定义可知，当选定合适的控制参数k_i和m_i后,a和b保持不变。通过选择充分大的r_i，充分小的l_i、ε_i和μ,可以保证和充分小,进而确保跟踪误差充分小。

d对建立的控制方法进行仿真试验

仿真时永磁同步电机选择的参数为：

J＝0.002Kgm²,R＝2.21Ω,R_c＝200Ω,Vpm＝0.0844；

L_d＝0.00977H,L_lq＝0.00177H,L_mq＝0.008H,n_p＝3.

仿真是在永磁同步电机的初始条件为零的情况下进行的，参考信号选择为：

x_1d＝0.5sin(4t)+0.3cos(2t)，其中，负载T_L为：

T_{L} = \{\begin{matrix} 1.5, 0 \leq t \leq 5; \\ 2, t > 5. \end{matrix}

使用考虑铁损的自适应模糊控制方法来控制永磁同步电机时，控制参数的选择如下：

k₁＝200，k₂＝300，k₃＝350，k₄＝400，k₅＝400，r₁＝r₂＝r₃＝r₄＝r₅＝2.5,

m₁＝m₂＝m₃＝m₄＝m₅＝0.01.

模糊隶属度函数为：

μ_{F_{i}^{1}} = \exp [\frac{- {(x + 5)}^{2}}{2}], μ_{F_{i}^{2}} = \exp [\frac{- {(x + 4)}^{2}}{2}],

μ_{F_{i}^{3}} = \exp [\frac{- {(x + 3)}^{2}}{2}], μ_{F_{i}^{4}} = \exp [\frac{- {(x + 2)}^{2}}{2}],

μ_{F_{i}^{5}} = \exp [\frac{- {(x + 1)}^{2}}{2}], μ_{F_{i}^{6}} = \exp [\frac{- {(x - 0)}^{2}}{2}],

μ_{F_{i}^{7}} = \exp [\frac{- {(x - 1)}^{2}}{2}], μ_{F_{i}^{8}} = \exp [\frac{- {(x - 2)}^{2}}{2}],

μ_{F_{i}^{9}} = \exp [\frac{- {(x - 3)}^{2}}{2}], μ_{F_{i}^{10}} = \exp [\frac{- {(x - 4)}^{2}}{2}],

μ_{F_{i}^{11}} = \exp [\frac{- {(x - 5)}^{2}}{2}] \cdot

仿真是在系统参数和非线性函数未知的前提下进行的。对于考虑铁损的自适应模糊控制方法的仿真结果如图2～4所示。从图2～4可以清楚地看出在真实的控制律u_q、u_d系统输出可以很好地跟踪给定的参考信号。仿真结果表明，基于命令滤波技术的考虑铁损的电动汽车永磁同步电机模糊控制方法，可以实现闭环系统所有的信号都是有界的，保证跟踪误差会逐渐趋近于零，说明了该控制方法在参数不确定和有负载转矩扰动情况下的有效性和鲁棒性。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims

1.考虑铁损的电动汽车永磁同步电机命令滤波模糊控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a建立考虑铁损的永磁同步电机的动态模型：

\{\begin{matrix} \frac{{dω}_{γ}}{d t} = \frac{n_{p} λ_{P M}}{J} i_{o q} - \frac{T_{L}}{J} \\ \frac{{di}_{o q}}{d t} = \frac{R_{c}}{L_{m q}} i_{q} - \frac{R_{c}}{L_{m q}} i_{o q} - \frac{n_{p} L_{d}}{L_{m q}} {ωi}_{o d} - \frac{n_{p} λ_{P M}}{L_{m q}} ω \\ \frac{{di}_{q}}{d t} = - \frac{R_{1}}{L_{l q}} i_{q} + \frac{R_{c}}{L_{l q}} i_{o q} + \frac{1}{L_{l q}} u_{q} \\ \frac{{di}_{o d}}{d t} = \frac{R_{c}}{L_{m d}} i_{d} - \frac{R_{c}}{L_{m d}} i_{o d} + \frac{n_{p} L_{q}}{L_{m d}} {ωi}_{o q} \\ \frac{{di}_{d}}{d t} = - \frac{R_{1}}{L_{l d}} i_{d} + \frac{R_{c}}{L_{l d}} i_{o d} + \frac{1}{L_{l d}} u_{d} \end{matrix} - - - (1)

为简化永磁同步电机的动态模型，定义新的变量：

\{\begin{matrix} x_{1} = ω_{γ}, x_{2} = i_{o q}, x_{3} = i_{q}, x_{4} = i_{o d}, x_{5} = i_{d} \\ a_{1} = n_{p} λ_{p M}, b_{1} = R_{c} / L_{m q}, b_{2} = - n_{p} L_{d} / L_{m q}, b_{3} = - n_{p} λ_{p M} / L_{m q} \\ b_{4} = - R_{1} / L_{l q}, b_{5} = R_{c} / L_{l q}, c_{1} = 1 / L_{l q} \end{matrix} - - - (2)

永磁同步电机的动态数学模型用如下方程来表示：

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = a_{1} x_{2} / J - T_{L} / J \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = b_{1} x_{3} - b_{1} x_{2} + b_{2} x_{1} x_{4} + b_{3} x_{1} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3} = b_{4} x_{3} + b_{5} x_{2} + c_{1} u_{q} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{4} = b_{1} x_{5} - b_{1} x_{4} - b_{2} x_{1} x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{5} = b_{4} x_{5} + b_{5} x_{4} + c_{1} u_{d} \end{matrix} - - - (3)

其中，

{\overset{\cdot}{x}}_{1} = \frac{{dω}_{γ}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{2} = \frac{{di}_{o q}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{3} = \frac{{di}_{q}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{4} = \frac{{di}_{o d}}{d t}, {\overset{\cdot}{x}}_{5} = \frac{{di}_{d}}{d t};

{\overset{\cdot}{V}}_{1} = z_{1} (a_{1} x_{2} - T_{L} - J {\overset{\cdot}{x}}_{1 d}) - - - (4)

s_{i} (Z) = \exp [\frac{- {(Z - μ_{i})}^{T} (Z - μ_{i})}{{η^{2}}_{i}}], i = 1, 2, ..., l

构建虚拟控制函数

α_{1} = \frac{1}{a_{1}} (- k_{1} z_{1} - {\hat{θ}}_{1}^{T} S_{1}) - - - (5)

按照公式(5)，将公式(4)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{1} = z_{1} [a_{1} (z_{2} + x_{1, c} - α_{1} + α_{1}) + W_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}] = z_{1} [a_{1} z_{2} + a_{1} (x_{1, c} - α_{1}) - k_{1} z_{1} + {\hat{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}] \\ = - k_{1} z_{1}^{2} + a_{1} z_{1} z_{2} + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + z_{1} ({\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) \end{matrix} - - - (6)

b.2根据方程对z₂求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：对V₂求导得：

{\overset{\cdot}{V}}_{2} = {\overset{\cdot}{V}}_{1} + z_{2} {\overset{\cdot}{z}}_{2} = {\overset{\cdot}{V}}_{1} + z_{2} (b_{1} x_{3} + b_{2} x_{1} x_{4} + b_{3} x_{1} - b_{1} x_{2} - {\overset{\cdot}{x}}_{1, c}) - - - (7)

构建虚拟控制函数

α_{2} = \frac{1}{b_{1}} (- k_{2} z_{2} - a_{1} z_{1} - {\hat{θ}}_{2}^{T} S_{2} + {\overset{\cdot}{x}}_{1, c}) - - - (8)

按照公式(8)，将公式(7)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{2} = {\overset{\cdot}{V}}_{1} + z_{2} [b_{1} (z_{3} + x_{2, c} - α_{2} + α_{2}) + f_{2} - {\overset{\cdot}{x}}_{1, c}] \\ = - k_{1} z_{1}^{2} - k_{2} z_{2}^{2} + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{2} z_{3} + z_{1} ({\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) + z_{2} ({\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2}) \end{matrix} - - - (9)

{\overset{\cdot}{V}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{2} + z_{3} {\overset{\cdot}{z}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{2} + z_{3} (b_{4} x_{3} + b_{5} x_{2} + c_{1} u_{q} - {\overset{\cdot}{x}}_{2, c}) - - - (10)

构建真实的控制律

u_{q} = \frac{1}{c_{1}} (- k_{3} z_{3} - b_{1} z_{2} - {\hat{θ}}_{3}^{T} S_{3} + {\overset{\cdot}{x}}_{2, c}) - - - (11)

按照公式(11)，将公式(10)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{2} + z_{3} (f_{3} + c_{1} u_{q} - {\overset{\cdot}{x}}_{2, c}) = - k_{1} z_{1}^{2} - k_{2} z_{2}^{2} - k_{3} z_{3}^{2} + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{2} z_{3} \\ + z_{1} ({\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) + z_{2} ({\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2}) + z_{3} ({\tilde{θ}}_{3}^{T} S_{3} + δ_{3}) \end{matrix} - - - (12)

b.4根据方程对z₄求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：

V_{4} = V_{3} + z_{4}^{2} / 2,

对V₄求导得到

{\overset{\cdot}{V}}_{4} = {\overset{\cdot}{V}}_{3} + z_{3} {\overset{\cdot}{z}}_{3} = {\overset{\cdot}{V}}_{3} + z_{3} (b_{1} x_{5} - b_{1} x_{4} - b_{2} x_{1} x_{2});

{\overset{\cdot}{V}}_{4} = - Σ_{i = 1}^{3} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{3} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + z_{4} (b_{1} x_{5} + f_{4}) - - - (13)

构建虚拟控制函数

α_{4} = \frac{1}{b_{1}} (- k_{4} z_{4} - {\tilde{θ}}_{4}^{T} S_{4}) - - - (14)

按照公式(14)，将公式(13)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{4} = - Σ_{i = 1}^{3} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{3} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{1} (x_{2, c} - α_{2}) + z_{4} [b_{1} (z_{5} + x_{4, c} - α_{4} + α_{4}) + f_{4}] \\ = - Σ_{i = 1}^{3} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{3} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} z_{5} + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix}

b.5根据方程对z₅求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：

V_{5} = V_{4} + z_{5}^{2} / 2;

对V₅求导得到

{\overset{\cdot}{V}}_{5} = {\overset{\cdot}{V}}_{4} + z_{5} {\overset{\cdot}{z}}_{5} = {\overset{\cdot}{V}}_{4} + z_{5} (b_{4} x_{5} + b_{5} x_{4} + c_{1} u_{d} - {\overset{\cdot}{x}}_{4, c});

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{5}^{T} = - Σ_{i = 1}^{4} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{4} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \\ + b_{1} z_{4} z_{5} + z_{5} (f_{5} + c_{1} u_{d} - {\overset{\cdot}{x}}_{4, c}) \end{matrix} - - - (15)

构建真实的控制律

u_{d} = \frac{1}{c_{1}} (- k_{5} z_{5} - b_{1} z_{4} + {\overset{\cdot}{x}}_{4, c} - {\tilde{θ}}_{5}^{T} S_{5}) - - - (16)

按照公式(16)，将公式(15)改写为：

{\overset{\cdot}{V}}_{5}^{T} = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} z_{i} ({\tilde{θ}}_{i}^{T} S_{i} + δ_{i}) + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4})

b.6构建Lyapunov函数为：对V⁽¹⁾求导得到：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}^{(1)} = {\overset{\cdot}{V}}_{5} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} (- {\hat{θ}}_{i}) = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} z_{i} δ_{i} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} (r_{i} z_{i} S_{i} - {\overset{\cdot}{\hat{θ}}}_{i}) \\ + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix} - - - (17)

选择相应的自适应律

{\overset{\cdot}{\hat{θ}}}_{i} = r_{i} z_{i} S_{i} - m_{i} {\hat{θ}}_{i} - - - (18)

根据杨氏不等式，得到：

z_{i} δ_{i} \leq \frac{1}{2} z_{i}^{2} + \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} - - - (19)

按照公式(18)和(19)，将公式(17)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}^{(1)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} \\ + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix} - - - (20)

同样，由杨氏不等式得到：

{\tilde{θ}}_{i}^{T} {\hat{θ}}_{i} \leq - \frac{1}{2} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + \frac{1}{2} θ_{i}^{T} θ_{i} - - - (21)

按照公式(21)，将公式(20)改写为：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}^{(1)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) z_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} - Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i} \\ + a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) \end{matrix}

\{\begin{matrix} a_{1} z_{1} (x_{1, c} - α_{1}) < \frac{1}{2} (z_{1}^{2} + μ^{2} ρ^{2}) \\ b_{1} z_{2} (x_{2, c} - α_{2}) < \frac{1}{2} (z_{2}^{2} + μ^{2} ρ^{2}) \\ b_{1} z_{4} (x_{4, c} - α_{4}) < \frac{1}{2} (z_{4}^{2} + μ^{2} ρ^{2}) \end{matrix} - - - (22)

得到：

{\overset{\cdot}{V}}^{(1)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) z_{i}^{2} - Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + \frac{1}{2} (z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{4}^{2} + 3 μ^{2} ρ^{2}) + Σ_{i = 1}^{5} \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{2 r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i}

b.7定义补偿信号如下：

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{ξ}}_{1} = [a_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + a_{1} ξ_{2} - k_{1} ξ_{1}] / J \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{2} = b_{1} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} ξ_{3} - k_{2} ξ_{2} - a_{1} ξ_{1} \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{3} = - b_{1} ξ_{2} - k_{3} ξ_{3} \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{4} = b_{1} (x_{4, c} - α_{4}) + b_{1} ξ_{5} - k_{4} ξ_{4} \\ {\overset{\cdot}{ξ}}_{5} = - b_{1} ξ_{4} - k_{5} ξ_{5} \end{matrix} - - - (23)

其中，ξ(0)＝0，||ξ_i||是有界的，如果T₁趋近于∞，有其中，

设计跟踪补偿误差ν_i＝z_i-ξ_i，闭环系统的跟踪误差的微分方程写为：

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{1} = [a_{1} (x_{1, c} - α_{1}) + a_{1} z_{2} - k_{1} z_{1} + {\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}] / J \\ {\overset{\cdot}{z}}_{2} = b_{1} (x_{2, c} - α_{2}) + b_{1} z_{3} - k_{2} z_{2} - a_{1} z_{1} + {\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{3} = - b_{1} z_{2} - k_{3} z_{3} + {\tilde{θ}}_{3}^{T} S_{3} + δ_{3} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{4} = b_{1} (x_{4, c} - α_{4}) + b_{1} z_{5} - k_{4} z_{4} + {\tilde{θ}}_{4}^{T} S_{4} + δ_{4} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{5} = - b_{1} z_{4} - k_{5} z_{5} + {\tilde{θ}}_{5}^{T} S_{5} + δ_{5} \end{matrix} - - - (24)

得到：

\{\begin{matrix} {\overset{\cdot}{ν}}_{1} = (a_{1} ν_{2} - k_{1} ν_{1} + {\tilde{θ}}_{1}^{T} S_{1} + δ_{1}) / J \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{2} = b_{1} ν_{3} - k_{2} ν_{2} - a_{1} ν_{1} + {\tilde{θ}}_{2}^{T} S_{2} + δ_{2} \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{3} = - b_{1} ν_{2} - k_{3} ν_{3} + {\tilde{θ}}_{3}^{T} S_{3} + δ_{3} \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{4} = b_{1} ν_{5} - k_{4} ν_{4} + {\tilde{θ}}_{4}^{T} S_{4} + δ_{4} \\ {\overset{\cdot}{ν}}_{5} = - b_{1} ν_{4} - k_{5} ν_{5} + {\tilde{θ}}_{5}^{T} S_{5} + δ_{5} \end{matrix} - - - (25)

选取新的Lyapunov函数对其求导得到：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} ν_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{{\tilde{θ}}_{i}^{T}}{r_{i}} (r_{i} ν_{i} S_{i} - {\overset{\cdot}{\hat{θ}}}_{i}) + Σ_{i = 1}^{5} ν_{i} δ_{i} - - - (26)

选择自适应律为

{\overset{\cdot}{\hat{θ}}}_{i} = r_{i} ν_{i} S_{i} - m_{i} {\hat{θ}}_{i} - - - (27)

根据杨氏不等式，得到：

ν_{i} δ_{i} \leq \frac{1}{2} ν_{i}^{2} + \frac{1}{2} ϵ_{i}^{2} - - - (28)

按照公式(27)和(28)，公式(26)改写为：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} = - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} ν_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + Σ_{i = 1}^{5} ν_{i} δ_{i} \leq - Σ_{i = 1}^{5} (k_{i} - \frac{1}{2}) ν_{i}^{2} + Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} ϵ_{i} - - - (29)

同理，根据将公式(29)改写为：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} \leq - Σ_{i = 1}^{5} k_{i} ν_{i}^{2} - \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} {\tilde{θ}}_{i}^{T} {\tilde{θ}}_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} ϵ_{i} \leq - {aV}^{(2)} + b - - - (30)

其中，

a = m i n {\frac{1}{J} (2 k_{1} - 1), 2 k_{2} - 1, ..., 2 k_{5} - 1, m_{1}, ..., m_{5}}, b = \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} \frac{m_{i}}{r_{i}} θ_{i}^{T} θ_{i} + \frac{1}{2} Σ_{i = 1}^{5} ϵ_{i};

因此，得到：

{\overset{\cdot}{V}}^{(2)} (t) \leq (V^{(2)} (t_{0}) - \frac{b}{a}) e^{- a (t - t_{0})} + \frac{b}{a} \leq V^{(2)} (t_{0}) + \frac{b}{a}, &ForAll; t &GreaterEqual; t_{0} - - - (31)

\lim_{t &RightArrow; \infty} | z_{1} | \leq \sqrt{\frac{2 b}{a}} + \frac{μ ρ}{2 k_{0}} .