CN108390606B - 一种基于动态面的永磁同步电机自适应滑模控制方法 - Google Patents

一种基于动态面的永磁同步电机自适应滑模控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于动态面的永磁同步电机自适应滑模控制方法，包括如下步骤：建立具有时变时滞的永磁同步电机标准化模型；将在处理未知扰动和未知系统动态上具有逼近功能的单权值RBF神经网络应用到控制器设计中；从而在backstepping框架内进行自适应滑模控制器的设计,通过引入一阶低通滤波器来处理传统backstepping控制中“微分项爆炸”的问题，采用快速终端滑模面来进一步提高跟踪精度并获得更好的性能，在融合快速终端滑模面、一阶低通滤波器和RBF神经网络的情况下，提出自适应滑模控制方法。本发明降低了系统精确建模和参数精准测量的要求，简化了控制器设计，克服了外界扰动、混沌振荡和时变时延对系统的影响，提高系统的运行稳定性和运动精度。

Description

一种基于动态面的永磁同步电机自适应滑模控制方法
技术领域
本发明涉及永磁同步电机，尤其涉及一种基于动态面的永磁同步电机自适应滑模控制方法。
背景技术
永磁同步电机因具有节能、效率高、体积小、结构简单和寿命长等优点而应用到机器人、机床控制系统中，然而，当它在受到系统参数扰动、外部干扰等不确定性因素的影响时会表现出丰富的动态现象，如极限环和混沌行为。其中，混沌行为会直接破坏整个电机系统的稳定性和可靠性。关于永磁同步电机的控制方法，先前大多数学者都以精确动力学模型为基础，较少考虑参数的变化、不确定有界扰动与未知增益对永磁同步电机性能的影响。例如，传统矢量控制与直接转矩控制等方法虽然改善了永磁同步电机的性能，然而它们大多都建立在工程基础之上，没有从理论上给出完整的证明，同时也未能从本质上处理好永磁同步电机的非线性控制问题。
为了更好的改善永磁同步电机的动静态性能，考虑非线性因素的影响，基于智能控制思想的电机控制技术得到越来越多的关注。智能控制技术克服了永磁同步电机传动系统的参数时变、负载扰动、时滞和系统非线性等不利因素，增强了系统的鲁棒性。自适应积分滑模控制器不但改善了永磁同步电机的位置跟踪精度，而且提高了系统鲁棒性，但滑模系统在滑模面上不再具有降阶特性，同时滑模技术容易产生抖振现象。模糊控制理论能够更加逼真地模仿专家和熟练工人的实际控制经验和方法，实现永磁同步电机高性能控制，然而利用单一模糊控制器来控制高精度的电机传动系统使得其动态响应不能被控制，因此并不能得到十分满意的控制效果。
单一控制技术的应用都受到自身固有特性的制约，从而使得多种智能控制技术相互融合后共同控制永磁同步电机成为一种趋势。同时，为了满足电机的高品质控制要求，同时出于对电机安全性和现实工艺要求考虑，时滞、混沌和参数不确定俨然成为系统控制器设计中无法忽略的重要因素。因而研究其先进的控制方法抑制极限环、混沌和时变时延现象，抵抗外界干扰，提高永磁同步电机的动静态性能，具有重要的理论研究意义和工程应用价值。
发明内容
发明目的：本发明目的是提供一种基于动态面的永磁同步电机自适应滑模控制方法，该方法克服了混沌振荡和时变时延对系统的影响，提高了系统的运行稳定性和运动精度。
技术方案：本发明的控制方法包括如下步骤：
步骤1、建立永磁同步电机标准化模型；
步骤2、采用具有单权值的RBF神经网络，并将其应用到控制器设计中；
步骤3、自适应滑模控制器设计。
所述步骤1具体为：
Figure BDA0001610903410000021
其中，γ＝-ψr/(kL),
Figure BDA0001610903410000022
uq和ud表示标准化q-轴和d-轴定子电压，TL表示标准化负载转距，σ和γ表示系统参数。
所述步骤2具体为：
引入新变量x1＝ω,x2＝iq,x3＝id，将具有时变时滞的永磁同步电机数学模型简化为
Figure BDA0001610903410000023
其中，x(t)＝[x1(t),x2(t),x3(t)]T∈R3表示状态变量矢量，Hi(·),i＝1-3表示延迟状态扰动，di(·)表示时变时滞并满足
Figure BDA0001610903410000024
其中，
Figure BDA0001610903410000025
和
Figure BDA0001610903410000026
表示未知上界。
所述步骤3具体为：
3.1定义第一个跟踪误差S1＝x1-yr，其中yr表示参考轨迹，求S1的时间导数
Figure BDA0001610903410000031
其中f1(·)＝-σx1-TL，存在RBF神经网络
Figure BDA0001610903410000032
其中
Figure BDA0001610903410000033
利用引理1和假设1，得到
Figure BDA0001610903410000034
其中b1表示正值设计常数
引入新变量
Figure BDA0001610903410000035
其中
Figure BDA0001610903410000036
和
Figure BDA0001610903410000037
表示σ和λi,i＝1-3的估计值
设计虚拟控制和自适应律
Figure BDA0001610903410000038
Figure BDA0001610903410000039
Figure BDA00016109034100000310
其中k1,m1,a1,γ1,c1和Γ1表示设计常数，η表示较小的正值常数
利用引理2，下列不等式成立
Figure BDA00016109034100000311
其中εi0表示εi的上界
α2利用带时间常数
Figure BDA00016109034100000312
的一阶低通滤波器来得到α2f
Figure BDA00016109034100000313
滤波误差定义为y2＝α2f-α2，则
Figure BDA00016109034100000314
求y2的导数
Figure BDA0001610903410000041
则
Figure BDA0001610903410000042
其中
Figure BDA0001610903410000043
表示一个连续函数并有S2＝x2-α2f.
利用式(14)和引理1，可以得到
Figure BDA0001610903410000044
利用式(7)-(15)和引理1，(5)可重写为
Figure BDA0001610903410000045
其中G表示σ的上界，并满足0<|σ|≤G；
3.2从式(2)可知，S2的导数为
Figure BDA0001610903410000046
存在RBF神经网络
Figure BDA0001610903410000051
其中
Figure BDA0001610903410000052
为了进一步提高跟踪精度和获得更好的性能，快速终端滑模面设计为
Figure BDA0001610903410000053
其中p和q表示正值奇数，α和β表示正值常数
根据引理1和假设1，有
Figure BDA0001610903410000054
其中b2表示正值设计常数
选择q-轴控制律和自适应律
Figure BDA0001610903410000055
Figure BDA0001610903410000056
其中m2,a2和γ2表示设计常数；
3.3定义误差函数S3
S3＝x3-2 (22)
根据式(2)和式(22)，可以得到
Figure BDA0001610903410000057
其中，f3(·)＝-x3+x1x2，存在RBF神经网络
Figure BDA0001610903410000058
其中
Figure BDA0001610903410000059
利用引理1和假设1，得到
Figure BDA00016109034100000510
其中b3表示正值设计常数
d-轴控制律设计为：
Figure BDA0001610903410000061
其中k3表示正值常数
选择相应的自适应律
Figure BDA0001610903410000062
其中m3,a3和γ3表示设计常数。
所述引理1、引理2与假设1为：
引理1：杨氏不等式
Figure BDA0001610903410000063
存在，
引理2：对于u∈R和k>0，
Figure BDA0001610903410000064
成立，
假设1：存在光滑函数Hi1(·)和Hi2(·)，并满足
Figure BDA0001610903410000065
其中
Figure BDA0001610903410000066
表示i阶状态的矢量，Hi2(0)＝0。
有益效果：本发明提供的一种基于动态面的永磁同步电机自适应滑模控制方法，利用Lyapunov稳定性分析理论来设计控制器，同时便于稳定分析证明；采用单权值的自适应RBF神经网络以任意小的误差估计未知动态项，降低了对系统精确建模的要求，抑制系统外界环境和参数扰动的影响；通过引入一阶低通滤波器来处理传统backstepping控制中“微分项爆炸”的问题，降低了控制器设计难度；采用快速终端滑模面来进一步提高跟踪精度并获得更好的性能；融合backstepping、快速终端滑模面、一阶低通滤波器和RBF神经网络等，提出自适应滑模控制方法。本发明降低了系统精确建模和参数精准测量的要求，简化了控制器设计，克服了外界扰动、混沌振荡和时变时延对系统的影响，提高系统的运行稳定性和运动精度。
附图说明
图1为奇异吸引子图；
图2为混沌时间序列图；
图3为传统永磁同步电机的原理框图；
图4为本发明的控制原理图；
图5为本发明的参考轨迹5sin(2t+3/2π)的轨迹跟踪图；
图6为本发明的参考轨迹5sin(2t+3/2π)的性能测试；
图7为本发明的参考轨迹5sin(2t+3/2π)的性能对比。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步说明。
本发明提供的控制方法包括如下步骤：
步骤1、建立永磁同步电机标准化模型；
永磁同步电机的数学模型可写为
Figure BDA0001610903410000071
其中
Figure BDA0001610903410000072
表示d-轴电流(A)，
Figure BDA0001610903410000073
表示q-轴电流(A)，
Figure BDA0001610903410000074
表示转速(rad/s)，
Figure BDA0001610903410000075
表示时间(s)，
Figure BDA0001610903410000076
表示d-轴电压(V)，
Figure BDA0001610903410000077
表示q-轴电压(V)，
Figure BDA0001610903410000078
表示负载转距(Nm)，R表示定子线圈电阻(Ω)，Ld表示d-轴绕组电感(H)，Lq表示q-轴绕组电感(H)，ψr表示永磁磁通(Wb)，B表示粘性阻尼系数(N/rad/s)，J表示惯性极矩(kgm2)，np表示极对数量。
通过解决具有均匀空气隙的永磁同步电机控制问题，发现d-轴和q-轴绕组电感相等，即L＝Ld＝Lq。定义时间标尺
Figure BDA0001610903410000079
标准化时间
Figure BDA00016109034100000710
和标量
Figure BDA00016109034100000711
同时比例状态变量ω，id和iq定义为
Figure BDA00016109034100000712
其中ω,id和iq分别表示标准化角速度，标准化q-轴和d-轴电流。
通过变量变换，永磁同步电机标准化模型可写为：
Figure BDA0001610903410000081
其中，γ＝-ψr/(kL),
Figure BDA0001610903410000082
uq和ud表示标准化q-轴和d-轴定子电压，TL表示标准化负载转距，σ和γ表示系统参数。
由于转速与电流的耦合影响，永磁同步电机具有高度非线性特征。一旦系统参数处于一定范围时，混沌振荡将会发生。图1-2展示了永磁同步电机在σ＝5.46，γ＝20,uq＝ud＝0，TL＝0，ω(0)＝-5，iq(0)＝0.01和id(0)＝20下的奇异吸引子和混沌时间序列,永磁同步电机的混沌振荡具有非周期性的、随机的、突发的或间歇的振荡等特征。
在工程应用中，由于受外界因素的影响，如温度、电压振荡和材料磨损，系统参数在一定范围内扰动是不可避免的，因此，系统参数在控制器设计中通常被认为是未知的。另外，由于受到低通滤波器、传播介质、迟滞控制逆变器和微处理器计算时间的影响，时变时延在电机驱动系统中普遍存在。如果不采取措施，时延会导致电压和电流畸变，甚至破坏永磁同步电机的稳定性。因此，应该在永磁同步电机的混沌控制中考虑这些因素。
图3表示传统永磁同步电机的原理框图。整个系统由永磁同步电机，矢量脉宽调制(SVPWM)，电源整流，逆变器(VSI)，自动电流调节器(ACR)，编码器，速度和位置跟踪控制器组成。多环串级控制结构由一个速度环和两个电流环组成。PI控制器被用来控制矢量控制驱动的d-轴电流误差，同时应用于d-轴电流环。然而在实际应用中，当永磁同步电机遭受到时变时延、逆电动势、转矩波动、参数扰动和未建模动态时PI控制效果非常有限。
步骤2、由于RBF神经网络在处理未知扰动和动态上具有强大能力，因此，将RBF神经网络应用到控制器设计中；
这里简要介绍下RBF神经网络在处理未知扰动和动态上的强大能力。RBF神经网络可以逼近任意连续函数fn(X):Rn→R
fn(X)＝θ'Tξ(X) 4)
其中
Figure BDA00016109034100000910
表示输入矢量，θ'＝[θ1',θ'2,…,θl']T∈Rl表示权值矢量，l>1表示神经元的节点数，ξ(X)＝[ξ1(X),ξ2(X),…,ξl(X)]T∈Rl表示基函数矢量，同时高斯基函数ξi(X)具有如下表达式
Figure BDA0001610903410000091
其中μi＝[μi1,μi2,…,μin]T表示接受区中心，σi表示高斯基函数宽度。对于非线性函数f(X)，存在RBF神经网络
f(X)＝θ*Tξ(X)+ε 6)
其中ε表示近似误差，θ*表示最优参数向量，可表示为
Figure BDA0001610903410000092
其中Ω表示θ'的紧致集。存在常量ε0并满足0<|ε|≤ε0.
引入新变量x1＝ω,x2＝iq,x3＝id，将具有时变时滞的永磁同步电机数学模型简化为
Figure BDA0001610903410000093
其中，x(t)＝[x1(t),x2(t),x3(t)]T∈R3表示状态变量矢量，Hi(·),i＝1-3表示延迟状态扰动，di(·)表示时变时滞并满足
Figure BDA0001610903410000094
其中，
Figure BDA0001610903410000095
和
Figure BDA0001610903410000096
表示未知上界。
引理1.杨氏不等式
Figure BDA0001610903410000097
存在。
引理2.对于u∈R和k>0，
Figure BDA0001610903410000098
成立。
假设1.存在光滑函数Hi1(·)和Hi2(·)，并满足
Figure BDA0001610903410000099
其中
Figure BDA0001610903410000101
表示i阶状态的矢量，Hi2(0)＝0。
步骤3、自适应滑模控制器设计；
为了减轻计算负担，通过系列变换来减少RBF神经网络的权值矢量数目，则
Figure BDA0001610903410000102
其中
Figure BDA0001610903410000103
ai>0,i≥1,
Figure BDA0001610903410000104
表示λi(t)的估计值。
3.1定义第一个跟踪误差S1＝x1-yr，其中，yr表示参考轨迹。求S1的时间导数
Figure BDA0001610903410000105
其中f1(·)＝-σx1-TL，存在RBF神经网络
Figure BDA0001610903410000106
其中
Figure BDA0001610903410000107
利用引理1和假设1，得到
Figure BDA0001610903410000108
其中b1表示正值设计常数。
引入新变量
Figure BDA0001610903410000109
其中
Figure BDA00016109034100001010
和
Figure BDA00016109034100001011
表示σ和λi,i＝1-3的估计值
设计虚拟控制和自适应律
Figure BDA00016109034100001012
Figure BDA00016109034100001013
Figure BDA00016109034100001014
其中k1,m1,a1,γ1,c1和Γ1表示设计常数，η表示较小的正值常数
利用引理2，下列不等式成立
Figure BDA0001610903410000111
其中εi0表示εi的上界
α2利用带时间常数
Figure BDA0001610903410000112
的一阶低通滤波器来得到α2f
Figure BDA0001610903410000113
滤波误差定义为y2＝α2f-α2，则
Figure BDA0001610903410000114
求y2的导数
Figure BDA0001610903410000115
则
Figure BDA0001610903410000116
其中
Figure BDA0001610903410000117
表示一个连续函数并有S2＝x2-α2f.利用式21)和引理1，可以得到
Figure BDA0001610903410000118
利用式14)-22)和引理1，12)可重写为
Figure BDA0001610903410000121
其中G表示σ的上界，并满足0<|σ|≤G。
3.2从式8)可知，S2的导数为
Figure BDA0001610903410000122
存在RBF神经网络
Figure BDA0001610903410000123
其中
Figure BDA0001610903410000124
为了进一步提高跟踪精度和获得更好的性能，快速终端滑模面设计为
Figure BDA0001610903410000125
其中p和q表示正值奇数，α和β表示正值常数。
根据引理1和假设1，有
Figure BDA0001610903410000126
其中b2表示正值设计常数。
选择q-轴控制律和自适应律
Figure BDA0001610903410000127
Figure BDA0001610903410000128
其中m2,a2和γ2表示设计常数。
3.3定义误差函数S3
S3＝x3-2 29)
根据式8)和式29)，可以得到
Figure BDA0001610903410000131
其中，f3(·)＝-x3+x1x2。存在RBF神经网络
Figure BDA0001610903410000132
其中
Figure BDA0001610903410000133
利用引理1和假设1，得到
Figure BDA0001610903410000134
其中b3表示正值设计常数。
d-轴控制律设计为
Figure BDA0001610903410000135
其中k3表示正值常数。
选择相应的自适应律
Figure BDA0001610903410000136
其中m3,a3和γ3表示设计常数。
对系统进行稳定性分析：
通过平方和公式，得到
Figure BDA0001610903410000137
考虑第一个Lyapunov函数
Figure BDA0001610903410000138
求取V1的导数
Figure BDA0001610903410000141
选择第二个Lyapunov函数
Figure BDA0001610903410000142
下列不等式存在
Figure BDA0001610903410000143
定义第三个Lyapunov函数
Figure BDA0001610903410000144
求取V3的时间导数
Figure BDA0001610903410000145
针对具有混沌振荡、未知动态和时延的永磁同步电机式8)的控制问题，具有自适应律式15)，式16)，式28)和式33)的控制器设计为式27)和式32)，当假设1成立，合理选择控制器参数ki,i＝1,3,ai,i＝1-3，bi,i＝1-3,γi,i＝1-3,
Figure BDA0001610903410000146
mi,i＝1-3,Γ1,c1,q,p,α和β，那么闭环系统所有信号全局一致有界，同时跟踪误差快速收敛到零附近。
证明：定义Lyapunov函数
Figure BDA0001610903410000147
对V求导得到
Figure BDA0001610903410000148
其中,
Figure BDA0001610903410000151
Figure BDA0001610903410000152
可以得到
Figure BDA0001610903410000153
因此，所有闭环系统的信号全局一致有界。特别是满足
Figure BDA0001610903410000154
时有
Figure BDA0001610903410000155
上述分析表明跟踪误差S1,S2,S3取决于a0和b0。由于a0和b0未知，很难获得跟踪误差的显示估计值。从a0和b0的定义可知，理论上减小ai,i＝1-3，增大γi,i＝1-3和Γ1会得到较小的跟踪误差。
利用仿真分析来验证所提方法的有效性，设置系统初始条件x1(0)＝-5，x2(0)＝0.01和x3(0)＝20，选择控制器参数为
k1＝k2＝k3＝15,Γ1＝20,c1＝0.02,γ1＝γ3＝3,γ2＝20,m1＝m2＝m3＝0.02,a1＝a3＝20,a2＝6,
Figure BDA0001610903410000156
η＝0.01,α＝10,β＝5，p＝5，q＝7，
Figure BDA0001610903410000157
Figure BDA0001610903410000158
ε10＝ε20＝ε30＝0.1,b1＝b2＝b3＝0.5,
Figure BDA0001610903410000159
H1,H2,H3,d1,d2和d3定义为
Figure BDA00016109034100001510
选取
Figure BDA00016109034100001511
外界扰动的表达式为
Figure BDA0001610903410000161
RBF神经网络包括9个节点，高斯基宽度σi等于1.5，且中心μi的值均布在区间[-5,5]上。进一步增加神经网络的节点数并不能显著提升系统的性能。
图5所示为参考轨迹5sin(2t+3/2π)的轨迹跟踪图，显示了永磁同步电机的状态轨迹，从图中可以看出，转速的跟踪误差快速趋于零。理想轨迹与实际轨迹间的跟踪误差小于±0.05Rad/s，说明永磁同步电机的混沌振荡得到彻底的抑制，同时具有很高的轨迹跟踪性能。图6(a)-(f)展示了不同σ和γ值下的性能测试结果，从图中可以看出，永磁同步电机系统参数的改变并不会导致性能的衰退，同时具有很好的抗参数扰动能力。
为了说明所提方案的优越性，在忽略时延的前提条件下，与指数趋近滑模控制方案进行对比，其滑模面可表示为
Figure BDA0001610903410000162
图7所示为对比结果，很明显，所提方案(快速终端滑模控制方法)具有更高的跟踪精度，需要更小的控制输入与电流。因此，所提方案优于指数趋近滑模控制方案。

Claims (1)

1.一种基于动态面的永磁同步电机自适应滑模控制方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：
步骤1、建立永磁同步电机标准化模型：
Figure FDA0002532378290000011
其中，γ＝-ψr/(κL),
Figure FDA0002532378290000012
式中，
Figure FDA0002532378290000013
表示负载转距，
Figure FDA0002532378290000014
表示q-轴电压，
Figure FDA0002532378290000015
表示d-轴电压，uq和ud表示标准化q-轴和d-轴定子电压，TL表示标准化负载转距，σ和γ表示系统参数，ω表示标准化角速度，iq表示标准化q-轴电流，id表示标准化d-轴电流，ψr表示永磁磁通，k表示标量，L表示绕组电感，B表示粘性阻尼系数，τ表示时间标尺，J表示惯性极矩，R表示定子线圈电阻；
步骤2、采用具有单权值的RBF神经网络，并将其应用到控制器设计中：
引入新变量x1＝ω,x2＝iq,x3＝id，将具有时变时滞的永磁同步电机数学模型简化为
Figure FDA0002532378290000016
其中，x(t)＝[x1(t),x2(t),x3(t)]T∈R3表示状态变量矢量，Hi(·)表示延迟状态扰动，i＝1,2,3，di(·)表示时变时滞并满足
Figure FDA0002532378290000017
其中，
Figure FDA0002532378290000018
和
Figure FDA0002532378290000019
表示未知上界，ω表示标准化角速度，iq表示标准化q-轴电流，id表示标准化d-轴电流，σ和γ表示系统参数，TL表示标准化负载转距；
步骤3、自适应滑模控制器设计：
3.1定义第一个跟踪误差S1＝x1-yr，其中yr表示参考轨迹，求S1的时间导数
Figure FDA00025323782900000110
其中f1(·)＝-σx1-TL，存在RBF神经网络
Figure FDA0002532378290000021
其中
Figure FDA0002532378290000022
利用引理1：杨氏不等式
Figure FDA0002532378290000023
存在，和假设1：存在光滑函数Hi1(·)和Hi2(·)，并满足
Figure FDA0002532378290000024
其中
Figure FDA0002532378290000025
表示i阶状态的矢量，Hi2(0)＝0，得到
Figure FDA0002532378290000026
其中b1表示正值设计常数，引入新变量
Figure FDA0002532378290000027
其中
Figure FDA0002532378290000028
和
Figure FDA0002532378290000029
表示σ和λi的估计值，i＝1,2,3
设计虚拟控制和自适应律
Figure FDA00025323782900000210
Figure FDA00025323782900000211
Figure FDA00025323782900000212
其中k1,m1,a1,γ1,c1和Γ1表示设计常数，η表示较小的正值常数
利用引理2：对于u∈R和κ＞0，
Figure FDA00025323782900000213
成立，下列不等式成立
Figure FDA00025323782900000214
其中εi0表示εi的上界
α2利用带时间常数
Figure FDA00025323782900000215
的一阶低通滤波器来得到α2f
Figure FDA00025323782900000216
滤波误差定义为y2＝α2f-α2，则
Figure FDA0002532378290000031
求y2的导数
Figure FDA0002532378290000032
则
Figure FDA0002532378290000033
其中
Figure FDA0002532378290000034
表示一个连续函数并有S2＝x2-α2f
利用式(14)和引理1，可以得到
Figure FDA0002532378290000035
利用式(7)-(15)和引理1，(5)可重写为
Figure FDA0002532378290000036
其中G表示σ的上界，并满足0＜|σ|≤G；
3.2从式(2)可知，S2的导数为
Figure FDA0002532378290000041
存在RBF神经网络
Figure FDA0002532378290000042
其中
Figure FDA0002532378290000043
为了进一步提高跟踪精度和获得更好的性能，快速终端滑模面设计为
Figure FDA0002532378290000044
其中p和q表示正值奇数，α和β表示正值常数
根据引理1和假设1，有
Figure FDA0002532378290000045
其中b2表示正值设计常数
选择q-轴控制律和自适应律
Figure FDA0002532378290000046
Figure FDA0002532378290000047
其中m2,a2和γ2表示设计常数；
3.3定义误差函数S3
S3＝x3-2 (22)
根据式(2)和式(22)，可以得到
Figure FDA0002532378290000048
其中，f3(·)＝-x3+x1x2，存在RBF神经网络其中
Figure FDA00025323782900000410
利用引理1和假设1，得到
Figure FDA00025323782900000411
其中b3表示正值设计常数
d-轴控制律设计为：
Figure FDA0002532378290000051
其中k3表示正值常数
选择相应的自适应律
Figure FDA0002532378290000052
其中m3,a3和γ3表示设计常数。
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