CN111766775B - 具有未知饱和pi回滞的非线性系统动态面隐逆控制器 - Google Patents

Abstract

本发明公开了具有未知饱和PI回滞的非线性系统动态面隐逆控制器，包括以下步骤：1)构造带有饱和PI回滞非线性系统模型；2)对系统中饱和PI模型进行建模；3)定义带有饱和PI回滞非线性系统的误差性能转换函数来确保系统跟踪误差满足预定的性能指标；4)将自适应动态面算法与隐逆方法相结合设计出具有饱和回滞严格反馈非线性系统的控制器。本发明所述的控制器能够确保系统跟踪误差满足预定的性能指标，并解决了回滞逆模型构造困难的难题，有效解决系统中回滞现象的影响，使系统跟踪误差满足L_∞性能指标，实现系统的稳定运行。

Description

具有未知饱和PI回滞的非线性系统动态面隐逆控制器

技术领域

本发明属于自动化技术领域，涉及具有未知饱和PI回滞的非线性系统动态面隐逆控制器。

背景技术

在自动化技术领域，随着各种精密加工和生产设备等对控制精度和控制速度的不断提高，近年来以压电陶瓷等智能材料为核心的先进传感和驱动技术以及由此而产生的滞环非线性现象成为一个新的研究热点。滞环非线性现象中的回滞特性无法通过状态关系表示，系统的变化还依赖于运动的历史状态，它具有一定的非局部记忆性。因此滞环非线性特性不能通过简单的状态空间描述，而是需要更加复杂的数学表达。回滞是不可微分和多值的，当一个控制系统存在回滞现象时，它可能会表现出不理想的属性，如振荡，甚至造成控制系统不稳定。现有的各类回滞模型各具特点，适用范围也不尽相同，不仅如此，各模型结构、参数等也完全不同。对于回滞模型对非线性系统性能的影响以及消除回滞影响的控制策略的研究已引起国内外控制界的高度重视。

目前，为了解决控制系统中存在的回滞问题，现有技术中常采用两种方法。第一种方法是通过建立回滞逆模型来抵消回滞从而削弱系统中的回滞现象；该方法可以有效解决系统中的回滞现象，但由于回滞本身的复杂性，回滞逆模型的构造也相当困难，甚至有一些回滞模型是无法构造其逆模型的。第二种方法是通过鲁棒自适应控制算法来处理系统中的回滞现象，该方法解决了构造回滞逆模型困难的问题，但同时也引入了解回滞模型的困难。通过对自动化非线性系统的研究，本发明针对一类具有未知饱和PI回滞的严格反馈非线性系统提出了另一种解决方法：鲁棒自适应动态面隐逆控制方法。

发明内容

针对自动化控制中状态可测、存在饱和PI回滞现象的问题，本发明采用鲁棒自适应动态面控制与隐逆技术相结合，旨在提供可将误差收敛到任意小的残差集内，并确保所有闭环信号都是半全局一致最终有界的，具有未知饱和PI回滞的非线性系统动态面隐逆控制器。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

具有未知饱和PI回滞的非线性系统动态面隐逆控制器，控制器的实现包括以下步骤：

1)构造带有饱和PI回滞非线性系统模型；

2)对系统中饱和PI模型进行建模；

3)建立带有饱和PI回滞非线性系统的性能误差转换函数来确保预定的性能指标；

4)将自适应动态面算法与隐逆方法相结合设计出具有饱和回滞的严格反馈非线性系统控制器。

步骤1)所述带有饱和PI回滞非线性系统模型如公式(1)所示：

其中

是/>

的状态向量，/>

是系统的未知常数；/>

表示已知的平滑函数；Δ_i(x,t)是未知的扰动项；/>

是受控系统的输出；

是未知PI回滞的输出，可表示为:

ω(t)＝P(u(t)) (2)

其中u是设计的最终控制信号，通过设计u，使系统的输出跟踪参考信号y_r，此外所有闭环信号是一致有界的；

式(1)满足如下条件：

A1：扰动项Δ_i(x,t),i＝1,…,n是未知的Lipschitz连续函数，并且满足

其中

是已知的正光滑函数，而b_i是未知的正常数；

A2：对于所有的t≥0，通过设计y_r(0)得到跟踪轨迹y_r，

是一个已知的紧集；

A3：系统未知函数g_i,i＝1,...,n的符号是已知的，并且存在常数g_min＞0和g_min≤|g_i|，且，g_i＞0。

步骤2)所述对系统中饱和PI模型建模如下；

饱和型PI模型是传统PI模型的扩展，具有传统PI模型的特征，并且它可用饱和stop算子表示，另外，假设C_m[0,t_E]是一个分段单调连续的泛函空间，其中t_E是一个实数，是该区间的一个端点。对于任意输入u(t)∈C_m[0,t_E]，令

定义为：

其中ρ是已知的连续非递减函数的曲线，输入u和输出w的环路由曲线ρ限制；

对于所有的r≥0，stop算子

定义如下：

其中在时间t＝0处应用u(0)，且r表示阈值，用于确定(u，w)平面中的磁滞区域，0＝t₀＜t₁＜…＜t_N＝t_E是[0，t_E]的一个区间，因此函数u在每个子区间(t_i,t_i+1]上都是单调的，然后，stop算子按以下方式定义饱和PI模型：

其中p(r)是一个未知的连续函数，称为密度函数，r表示阈值，它满足p(r)＞0且

为方便起见，选择D＝∞作为积分上限，使用定义的密度函数，运算式(6)将C[t₀，∞)映射到C[t₀，∞)，根据式(6)，则式(1)可以写成：/>

步骤3)具体如下：

首先，如下定义系统的跟踪误差：

e＝x₁-y_r (8)

其中y_r是参考信号；性能误差转换函数定义如下：性能函数

是一个光滑递减的正函数，对于所有t≥0：

其中0＜σ＜1，并且

是系统稳定时跟踪误差所允许的最大值，将式(9)转换为等效函数，引入性能误差转换函数，如下所示：

其中S₁通过误差转换函数的转换而获得的转换误差，Φ(S₁)是一个光滑且严格单调递增的函数，此外，其逆函数具有以下特性：

并且

接下来，考虑

和式(10)，可得，当e(0)＞0时，

当e(0)＜0时，/>

即式(9)成立，从以上分析可以看出，要达到预定的性能指标，只需证明S₁∈L_∞，从Φ(S₁)的严格单调递增性质，可以得出：

注意，将e(0)＝0考虑在e(0)＞0或e(0)＜0时，不会对结果造成影响，同时，σ不能等于零。

步骤4)具体如下：

41)自适应动态面控制器设计

步骤1：第一个误差面由式(13)可得，再结合式(7)，则S₁的时间导数为：

/>

其中x_2d是设计的虚拟控制信号用来稳定式(14)；Ψ的表达式如：

对于Φ和

的定义，满足Ψ＞0，然后选择Lyapunov函数为：

且/>

其中/>

和/>

分别是/>

φ₁＝1/g₁的估计，/>

和/>

是需要设计的正参数，定义如下不等式：

其中ε是正常数，结合式(14)和(17)，V₁导数的表达式如下：

根据不等式(17)，我们可以选择虚拟控制律x_2d为：

其中，

通过以下自适应率更新

其中η₁,σ₁,κ₁为正的设计参数；

令虚拟控制信号x_2d通过以下一阶滤波器，然后得到一个新的状态变量z₂：

其中，τ₂是时间常数；

步骤i，2≤i≤n-1：S_i是第i个误差面，定义为：

根据式(7)，S_i的时间导数满足以下公式：

其中x_i+1,d是设计的虚拟控制信号以令式(23)稳定，选择Lyapunov函数为：

中的/>

和/>

分别是

和φ_i＝1/g_i的估计；/>

和/>

是正常数，结合式(17)与(24)，得到以下不等式：

根据不等式(25)，选择虚拟控制律x_i+1,d为：

其中

可以通过以下自适应率更新

其中η_i,σ_i,κ_i为正的设计参数，令虚拟控制信号x_i+1,d通过以下一阶低通滤波器，然后得到一个新的状态变量z_i+1：

τ_i+1是时间常数；

步骤n：S_n是第n个误差面，定义为

S_n＝x_n-z_n (29)

根据式(7)，S_i的时间导数满足以下式子：

与步骤1和i不同，选择Lyapunov函数为：

其中，

并且/>

和/>

分别是θ_n,b_n和p_g(r)估计；/>

和γ_pr是正常数，结合式(17)和(31)能得到如下不等式：/>

根据不等式(32)，可以选择临时控制信号为：

其中，

和/>

通过以下自适应率更新

其中，η_n,κ_n和σ_pr为正的设计参数；

令：

则

其中W(t)是未知饱和PI回滞的输出；

42)利用寻优的方法找出最优性能指标

u^*是通过寻优方法找到的最优值，满足

将回滞算子的实际输入范围设为[u_min,u_max]，假设W(t)在t_i≤t≤t_i+1的范围内是单调的，对于每个t∈[t_i,t_i+1]，作如下定义：

由于

能得到如下结论：

现在假设W(t)在区间t_i≤t≤t_i+1中单调增加，对于所有t∈[t_i,t_i+1]，定义新变量u_μ(t)和W_μ(t)，并满足u₀(t)＝u^*(t_i)，其中μ是范围在μ∈[0,u_max-u_min]内的变量；

定义：

如果，W(t)＞W_max(t)，让u^*(t)＝u_max；

如果，W(t)＜W_min(t)，让u^*(t)＝u_min；

如果，W_min(t)≤W(t)≤W_max(t)，u^*(t)的值可以通过以下方法获得；

第一步：让μ从零开始增加；

第二步：计算出u_μ(t)和W_μ(t)的值，如果W_μ(t)＜W(t)，则μ继续增加并且回到第二步，否则，进入第三步；

第三步：让μ停止增加，并将此时的μ记为μ₀，并定义u^*(t)＝u_μ0(t)；

所以，最终的自适应控制率u应选为：

u(t)＝u^*(t) (41)。

本发明具有的有益效果为：

1)该控制器实现的方法中应用了自适应动态面方法来抵消系统中的回滞现象，不需要构造PI回滞的逆模型，避免了构造逆模型的困难。

2)该控制器实现的方法是通过求出PI性能指标的最优值来获得PI回滞的输入信号，避免了求解回滞逆模型的困难。

3)在控制器的设计过程中引入了性能和误差转换函数，以确保实现预定的跟踪性能。

4)与反步法控制方案相比，该控制器实现的方法可以消除“微分爆炸”问题。

附图说明

图1为自适应动态面隐逆方法跟踪性能示意图；

图2为自适应动态面方法跟踪性能示意图；

图3为两种方法跟踪误差示意图；

图4为两种方法控制信号示意图；

图5为两种方法回滞输出信号示意图；

图6为两种方法中参数b_g1估计值示意图；

图7为两种方法中参数θ_g1估计值示意图；

图8两种方法中参数

估计值示意图；

图9两种方法中参数b_g2估计值示意图；

图10两种方法中参数θ_g2估计值示意图；

图11自适应动态面隐逆控制方法中参数

估计值示意图。

具体实施方式

如图1-11所示，具有未知饱和PI回滞的非线性系统动态面隐逆控制器，控制器的实现包括以下步骤：

1)构造带有饱和PI回滞非线性系统模型；

2)对系统中饱和PI模型进行建模；

3)建立带有饱和PI回滞非线性系统的性能误差转换函数来确保预定的性能指标；

4)将自适应动态面算法与隐逆方法相结合设计出具有饱和回滞的严格反馈非线性系统控制器。

其中，步骤1)所述带有饱和PI回滞非线性系统模型如公式(1)所示：

其中

是/>

的状态向量，/>

是系统的未知常数；/>

表示已知的平滑函数；Δ_i(x,t)是未知的扰动项；/>

是受控系统的输出；

是未知PI回滞的输出，可表示为:

ω(t)＝P(u(t)) (43)

其中u是设计的最终控制信号，通过设计u，使系统的输出跟踪参考信号y_r，此外所有闭环信号是一致有界的；

式(1)满足如下条件：

A1：扰动项Δ_i(x,t),i＝1,…,n是未知的Lipschitz连续函数，并且满足

其中

是已知的正光滑函数，而b_i是未知的正常数；

A2：对于所有的t≥0，通过设计y_r(0)得到跟踪轨迹y_r，

是一个已知的紧集；

A3：系统未知函数g_i,i＝1,...,n的符号是已知的，并且存在常数g_min＞0和g_min≤|g_i|，且，g_i＞0。

步骤2)所述对系统中饱和PI模型建模具体如下：

饱和型PI模型是传统PI模型的扩展，具有传统PI模型的特征，并且它可用饱和stop算子表示，另外，假设C_m[0,t_E]是一个分段单调连续的泛函空间，其中t_E是一个实数，是该区间的一个端点。对于任意输入u(t)∈C_m[0,t_E]，令

定义为：

其中ρ是已知的连续非递减函数的曲线，输入u和输出w的环路由曲线ρ限制；

对于所有的r≥0，stop算子

定义如下：

其中在时间t＝0处应用u(0)，且r表示阈值，用于确定(u，w)平面中的磁滞区域，0＝t₀＜t₁＜…＜t_N＝t_E是[0，t_E]的一个区间，因此函数u在每个子区间(t_i,t_i+1]上都是单调的，然后，stop算子按以下方式定义饱和PI模型：

其中p(r)是一个未知的连续函数，称为密度函数，r表示阈值，它满足p(r)＞0且

为方便起见，选择D＝∞作为积分上限，使用定义的密度函数，运算式(47)将C[t₀，∞)映射到C[t₀，∞)，考虑式(47)，则式(1)可以写成：

步骤3)所述步骤如下：

首先，如下定义系统的跟踪误差：

e＝x₁-y_r (49)

其中y_r是参考信号；性能误差转换函数定义如下：性能函数

是一个光滑递减的正函数，对于所有t≥0：

其中0＜σ＜1，并且

是系统稳定时跟踪误差所允许的最大值，将式(9)转换为等效函数，引入性能误差转换函数，如下所示：

其中S₁通过误差转换函数的转换而获得的转换误差，Φ(S₁)是一个光滑且严格单调递增的函数，此外，其逆函数具有以下特性：

并且

接下来，考虑

和式(10)，可得，当e(0)＞0时，

当e(0)＜0时，/>

即式(9)成立，从以上分析可以看出，要达到预定的性能指标，只需证明S₁∈L_∞，从Φ(S₁)的严格单调递增性质，可以得出：

注意，将e(0)＝0考虑在e(0)＞0或e(0)＜0时，不会对结果造成影响，同时，σ不能等于零。

步骤4)所述步骤如下：

41)自适应动态面控制器设计

步骤1：第一个误差面由式(13)可得，再考虑式(7)，则S₁的时间导数为：

其中x_2d是设计的虚拟控制信号用来稳定式(14)；Ψ的表达式如：

对于Φ和

的定义，满足Ψ＞0，然后选择Lyapunov函数为：

且/>

其中/>

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φ₁＝1/g₁的估计，/>

和/>

是需要设计的正参数，定义如下不等式：

其中ε是正常数，结合式(14)和(58)，V₁导数的表达式如下：

根据不等式(58)，我们可以选择虚拟控制律x_2d为：

其中，

通过以下自适应率更新

其中η₁,σ₁,κ₁为正的设计参数；

令虚拟控制信号x_2d通过以下一阶滤波器，然后得到一个新的状态变量z₂：

其中，τ₂是时间常数；

步骤i，2≤i≤n-1：S_i是第i个误差面，定义为：

根据式(7)，S_i的时间导数满足以下公式：

其中x_i+1,d是设计的虚拟控制信号以令式(23)稳定，选择Lyapunov函数为：

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是正常数，结合式(17)与(24)，得到以下不等式：

根据不等式(25)，选择虚拟控制律x_i+1,d为：

其中

可以通过以下自适应率更新：

其中η_i,σ_i,κ_i为正的设计参数，令虚拟控制信号x_i+1,d通过以下一阶低通滤波器，然后得到一个新的状态变量z_i+1：

τ_i+1是时间常数；

步骤n：S_n是第n个误差面，定义为

根据式(7)，S_i的时间导数满足以下式子：

与步骤1和i不同，选择Lyapunov函数为：

其中，

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根据不等式(32)，可以选择临时控制信号为：

其中，

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通过以下自适应率更新

其中，η_n,κ_n和σ_pr为正的设计参数；

令：

则

其中W(t)是未知饱和PI回滞的输出。

42)利用寻优的方法找出最优性能指标

u^*是通过寻优方法找到的最优值，满足：

将回滞算子的实际输入范围设为[u_min,u_max]，假设W(t)在t_i≤t≤t_i+1的范围内是单调的，对于每个t∈[t_it_i+1]，作如下定义：

由于

能得到如下结论：

现在假设W(t)在区间t_i≤t≤t_i+1中单调增加，对于所有t∈[t_i,t_i+1]，定义新变量u_μ(t)和W_μ(t)，并满足u₀(t)＝u^*(t_i)，其中μ是范围在μ∈[0,u_max-u_min]内的变量；

定义：

如果，W(t)＞W_max(t)，让u^*(t)＝u_max；

如果，W(t)＜W_min(t)，让u^*(t)＝u_min；

如果，W_min(t)≤W(t)≤W_max(t)，u^*(t)的值可以通过以下方法获得；

第一步：让μ从零开始增加；

第二步：计算出u_μ(t)和W_μ(t)的值，如果W_μ(t)＜W(t)，则μ继续增加并且回到第二步，否则，进入第三步；

第三步：让μ停止增加，并将此时的μ记为μ₀，并定义u^*(t)＝u_μ0(t)；

所以，最终的自适应控制率u应选为：

u(t)＝u^*(t) (82)

理论分析：

在这一部分中，将会对所提出的鲁棒自适应动态面隐逆控制方案的稳定性和性能分析进行讨论，来分析系统稳定性和跟踪误差的L_∞性能。

首先，定义：

其中x_2d，z₂，x_i+1,d，z_i+1由式(60)，(62)，(67)和(69)可知；因此，根据式(56)，(63)和(70)，那么可得：

接下来，定义估计误差为：

其中i＝1,…,n-1；

考虑(84)-(87)，(55)和(64)，可得：

将(74)和(54)-(56)放入(71)中，可得：

结合(60)和(69)得：

通过(83)可得：

/>

其中，B_i+1(i＝1,…,n-1)是连续函数。

定理：假设定理A1-A3成立。考虑闭环系统包括受控系统(1)，一阶滤波器(62)和(69)，式(76)中的W(t)，自适应率(60)，(67)，(74)，以及最终的自适应控制信号(82)。可以将Lyapunov函数定义为：

其中V_i分别由(57)，(65)和(72)给出。如果V(0)≤p则对于任何给定的正数p，都可以通过设计参数k_i,τ_i+1,

γ_ζ,/>

γ_pr,η_i,σ_iκ_i,η_ζ,η_n,κ_n,σ_pr来保证闭环系统的跟踪误差，对于所有的i＝1,…,n-1,闭环系统中的变量是有界的。同时，系统的跟踪误差可以收敛到任意小的残留集内。此外，通过设置系统的初始条件，系统的跟踪误差可以满足

性能指标。

证明：V的时间导数为：

考虑式(59)，(66)和(57)，得出：

同样，结合式(73)和(58)，得出以下不等式：

另外，考虑(61)，(68)，(75)，可得：

将式(93)，(94)和(97)-(99)带入式(96)，可得：

由假设A2，可以定义如下紧集：

其中B₀＞0，在R³范围内。另外，对于任意p＞0，有以下紧集：

其中i＝1,…,n-1，该紧集在

的范围内，并且Π×Π_i也在/>

的范围内。因此，对于i＝1,…,n-1，|B_i+1|具有最大值，也就是说M_i+1在Π×Π_i上。利用不等式，可得：

又因：

上式中的参数设计如下：

/>

其中α₀是设计的正参数。并注意：

因此，我们得到以下不等式：

考虑式(105)-(108)，我们得出

其中μ是一个任意正常数且μ＞0。让

其中M_i+1是式(102)和(103)定义的紧集Π×Π_i的最大值。令：

/>

结合(110)可以得到

将式(111)带入(113)中，我们得到以下不等式：

又由式(109)，(112)和(114)，得到以下不等式：

令：

则当V＝p满足时，V≤0成立。即如果V(0)≤p，则V(t)≤p，对于所有t≥0，V≤p是不变集合。即式(115)是成立的。

可得：

由上可知，在任意初始条件下，所有信号S_i,

y_i+1在闭环系统中可以通过设计适当的参数使之一致有界。同时，设计适当的参数/>

γ_pr,k_i,k_n和τ_i+1,i＝1,…,n-1使得α₀趋于无穷。确保/>

可以收敛到闭环系统中的任意小区域。另外，从式(51)可看出，S₁∈L_∞，表示系统跟踪误差满足我们预先设定的跟踪性能指标。

实验验证：

在上文中，我们提出了一种将鲁棒自适应动态面与隐逆相结合的方法，来解决一类具有严格反馈非线性系统中的回滞问题。通过仿真实验验证该方法的有效性，考虑如下具有未知饱和PI回滞的二阶被控对象：

其中g₁,g₂是设计的未知参数，Δ₁,Δ₂是系统中的干扰项。在仿真实验中，选择g₁＝1,g₂＝1，

θ₁＝0.1,θ₂＝1,

Δ₁＝0.2sin(x₂)sin(t),

且b₁＝0.2ρ₁(x₁)＝1,b₂＝0.1,/>

由式(47)描述的回滞中，其密度函数/>

控制目标使系统输出x₁跟踪参考信号y_r＝sin(t)，控制器设计过程如下：

步骤1：第一个动态面误差为：

由式(60)可得：

其中，x_2d是由式(60)得到的，

由(61)更新。

步骤2：第二个动态表面误差为：

S₂＝x₂-z₂ (122)

由式(74)可得：

其中

由(75)更新。

由式(77)可得，u^*应该满足：

由(78)和(79)得，对于所有的t∈[t_i,t_i+1]，定义：

如果W(t)＞W_max(t)，让u^*(t)＝u_max；

如果W(t)＜W_min(t)，让u^*(t)＝u_min；

如果W_min(t)≤W(t)≤W_max(t)，u^*(t)的值可通过以下步骤获得：

第一步：令μ从0开始增加；(μ∈[0,u_max-u_min])；

第二步：计算出u_μ(t)和W_μ(t)。如果W_μ(t)＜W(t)。令μ继续增加，并且回到第二步，否则进入第三步。(u_μ(t)和W_μ(t)由式(81)定义)；

第三步：令μ停止增加，并将此时的μ作为μ₀并定义u^*(t)＝u_μ0(t)。

最终得到如下输入信号：

u(t)＝u^*(t) (127)

在以上设计过程中，通过将鲁棒自适应动态面算法与隐逆方法相结合来设计控制率u(t)。

在此仿真实验中，系统中估计参数的初值分别为

和/>

令u(t)的实际输入范围[u_min,u_max]为[-15,15]。当系统输出x₁跟踪y_r＝sin(t)时，系统(119)中状态变量的初值选为x₁(0)＝0.01和x₂(0)＝0.5。设计参数选为K₁＝24，K₂＝2.9368，/>

γ_pr＝0.007，

小增益η₁＝0.0001，η₂＝0.1，σ_pr＝20，σ₁＝0.001，κ₁＝0.5，κ₂＝0.6，ε＝0.01，低通滤波器的时间常数为τ₂＝0.01。仿真结果如图1-图11所示。

通过比较图1和图3清楚地看出输出y可很好地跟踪参考信号，并且通过比较，可以看出加隐逆方法比不加隐逆方法的控制效果更好。

具体实施方式仅是对本发明的说明，并不构成对权利要求保护范围的限制，本领域技术人员不经过创造性劳动的等同替代，均在本发明保护范围内。

Claims (1)

1.具有未知饱和PI回滞的非线性系统动态面隐逆控制器，其特征在于：所述控制器是基于以下步骤实现的：

1)构造带有饱和PI回滞非线性系统模型；

2)对系统中饱和PI模型进行建模；

3)建立带有饱和PI回滞非线性系统的性能误差转换函数来确保预定的性能指标；

4)将自适应动态面算法与隐逆方法相结合设计出具有饱和回滞的严格反馈非线性系统控制器；

步骤1)带有饱和PI回滞非线性系统模型如公式(1)所示：

其中

是/>

的状态向量，/>

是系统的未知常数；/>

表示已知的平滑函数；Δ_i(x,t)是未知的扰动项；/>

是受控系统的输出；

是未知PI回滞的输出，可表示为:

ω(t)＝P(u(t)) (2)

其中u是设计的最终控制信号，通过设计u，使系统的输出跟踪参考信号y_r，此外所有闭环信号是一致有界的；

其中式(1)满足如下条件：

A1：扰动项Δ_i(x,t),i＝1,…,n是未知的Lipschitz连续函数，并且满足

其中

是已知的正光滑函数，而b_i是未知的正常数；

A2：对于所有的t≥0，通过设计y_r(0)得到跟踪轨迹y_r，

是一个已知的紧集；

A3：系统未知函数g_i,i＝1,...,n的符号是已知的，并且存在常数g_min＞0和g_min≤|g_i|，且，g_i＞0；

步骤2)对系统中饱和PI模型建模如下；

饱和型PI模型是传统PI模型的扩展，具有传统PI模型的特征，并且它可用饱和stop算子表示，另外，假设C_m[0,t_E]是一个分段单调连续的泛函空间，其中t_E是一个实数，是该区间的一个端点；对于任意输入u(t)∈C_m[0,t_E]，令

定义为：

其中ρ是已知的连续非递减函数的曲线，输入u和输出w的环路由曲线ρ限制；

对于所有的r≥0，stop算子

定义如下：

其中在时间t＝0处应用u(0)，且r表示阈值，用于确定(u，w)平面中的磁滞区域，0＝t₀＜t₁＜…＜t_N＝t_E是[0，t_E]的一个区间，因此函数u在每个子区间(t_i,t_i+1]上都是单调的，然后，stop算子按以下方式定义饱和PI模型：

其中p(r)是一个未知的连续函数，称为密度函数，r表示阈值，它满足p(r)＞0且

为方便起见，选择D＝∞作为积分上限，使用定义的密度函数，运算式(6)将C[t₀，∞)映射到C[t₀，∞)，根据式(6)，则式(1)可以写成：

步骤3)具体如下：

首先，如下定义系统的跟踪误差：

e＝x₁-y_r (8)

其中y_r是参考信号；性能误差转换函数定义如下：性能函数

R₊→R_--{0}是一个光滑递减的正函数，对于所有t≥0：

其中0＜σ＜1，并且

是系统稳定时跟踪误差所允许的最大值，将式(9)转换为等效函数，引入性能误差转换函数，如下所示：

其中S₁是通过误差转换函数的转换而获得的转换误差，Φ(S₁)是一个光滑且严格单调递增的函数，此外，其逆函数具有以下特性：

并且

接下来，考虑

和式(10)，可得，当e(0)＞0时，/>

当e(0)＜0时，/>

即式(9)成立，从以上分析可以看出，要达到预定的性能指标，只需证明S₁∈L_∞，从Φ(S₁)的严格单调递增性质，可以得出：

注意，将e(0)＝0考虑在e(0)＞0或e(0)＜0时的情况不会对结果造成影响，同时，σ不能等于零；

步骤4)具体如下：

41)自适应动态面控制器设计：

步骤1：第一个误差面由式(13)可得，再结合式(7)，则S₁的时间导数为：

其中x_2d是设计的虚拟控制信号用来稳定式(14)；Ψ的表达式如

对于Φ和

的定义，满足Ψ＞0，然后选择Lyapunov函数为：

且/>

其中/>

和/>

分别是/>

和φ₁＝1/g₁的估计，/>

和/>

是需要设计的正参数，定义如下不等式：

其中ε是正常数，结合式(14)和(17)，V₁导数的表达式如下：

根据不等式(18)，我们可以选择虚拟控制律x_2d为：

其中，

通过以下自适应率更新:

其中η1，σ1，κ1为正的设计参数；

令虚拟控制信号x_2d通过以下一阶滤波器，然后得到一个新的状态变量z₂：

其中，τ₂是时间常数；

步骤i，2≤i≤n-1：S_i是第i个误差面，定义为：

S_i＝x_i-z_i (22)

根据式(7)，S_i的时间导数满足以下公式：

其中x_i+1,d是设计的虚拟控制信号以令式(23)稳定，选择Lyapunov函数为：

中的/>

和/>

分别是/>

和φ_i＝1/g_i的估计；/>

和/>

是正常数，结合式(17)与(24)，得到以下不等式：

根据不等式(25)，选择虚拟控制律x_i+1,d为：

其中

可以通过以下自适应率更新：

其中η_i,σ_i,κ_i为正的设计参数，令虚拟控制信号x_i+1,d通过以下一阶低通滤波器，然后得到一个新的状态变量z_i+1：

τ_i+1是时间常数；

步骤n：S_n是第n个误差面，定义为

S_n＝x_n-z_n (29)

根据式(7)，S_i的时间导数满足以下式子：

与步骤1和i不同，选择Lyapunov函数为：

其中，

并且/>

和/>

分别是θ_n,b_n和p_g(r)估计；/>

和γ_pr是正常数，结合式(17)和(31)能得到如下不等式：/>

根据不等式(32)，可以选择临时控制信号为：

其中，

和/>

通过以下自适应率更新：

其中，η_n,κ_n和σ_pr为正的设计参数；

令：

则

其中W(t)是未知饱和PI回滞的输出；

42)利用寻优的方法找出最优性能指标:

u^*是通过寻优方法找到的最优值满足：

将回滞算子的实际输入范围设为[u_min,u_max]，假设W(t)在t_i≤t≤t_i+1的范围内是单调的，对于每个t∈[t_i,t_i+1]，作如下定义：

由于

能得到如下结论：

现在假设W(t)在区间t_i≤t≤t_i+1中单调增加，对于所有t∈[t_i,t_i+1]，定义新变量u_μ(t)和W_μ(t)，并满足u₀(t)＝u^*(t_i)，其中μ是范围在μ∈[0,u_max-u_min]内的变量；

定义：

如果，W(t)＞W_max(t)，让u^*(t)＝u_max；

如果，W(t)＜W_min(t)，让u^*(t)＝u_min；

如果，W_min(t)≤W(t)≤W_max(t)，u^*(t)的值可以通过以下方法获得；

第一步：让μ从零开始增加；

第二步：计算出u_μ(t)和W_μ(t)的值，如果W_μ(t)＜W(t)，则μ继续增加并且回到第二步，否则，进入第三步；

第三步：让μ停止增加，并将此时的μ记为μ₀，并定义u^*(t)＝u_μ0(t)；

所以，最终的自适应控制率u应选为：

u(t)＝u^*(t) (41)。

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