CN114609915B - 一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法 - Google Patents

一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法 Download PDF

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CN114609915B CN202210342634.XA CN202210342634A CN114609915B CN 114609915 B CN114609915 B CN 114609915B CN 202210342634 A CN202210342634 A CN 202210342634A CN 114609915 B CN114609915 B CN 114609915B
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Abstract

本发明公开一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法，包括步骤一、建立由N个跟随者和一个N+1领导者组成的一类控制方向未知的高阶线性时变多智能体系统模型，步骤二、针对智能体之间的相互通信关系，通过代数图论建立通讯拓扑结构，步骤三、利用努斯鲍姆函数完成对控制器的设计，步骤四、采用有界估计方法结合平滑函数的方法，再利用自适应动态面控制技术，结合步骤一中的系统模型构建获得自适应协同控制器算法；本发明采用自适应控制方法，选择合适的努斯鲍姆函数，并采用有界估计方法结合平滑函数的方法，实现了多智能体系统的一致性和稳定性，保证了封闭系统是半全局一致有界稳定的，所有误差信号都可以收敛到任意小的残差集。

Description

一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法
技术领域
本发明涉及多智能体系统的协同控制技术领域，尤其涉及一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法。
背景技术
多智能体系统是根据分布式人工智能发展而来，它是由多个相互作用具有通信拓扑的智能体所组成的计算系统，其中的每一个智能体均为一个计算实体，如机器人或软件程序，多智能体系统能够将具有某种关系的智能体联合起来，使它们通过信息交互实现群体协调运作，进而完成较为复杂的任务；
目前广泛应用于多智能体一致性控制研究中的自适应控制技术，其要求系统的非线性和不确定性必须满足一些假定的条件，采用反演控制方法克服了这一缺陷，但反演控制方法存在“微分爆炸”问题，使得控制器的设计变得复杂，此外，在一些实际工程中，很多系统往往存在未知的控制增益，常采用努斯鲍姆函数可以解决由未知控制方向引起的控制器设计问题，但其对于多智能体系统中存在的时变参数，它们的非零导数可能会让整个设计过程变得非常复杂，因此，本发明提出一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法以解决现有技术中存在的问题。
发明内容
针对上述问题，本发明的目的在于提出一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法，该未知控制方向的时变多智能体协同控制方法采用自适应控制方法，选择合适的努斯鲍姆函数，并采用有界估计方法结合平滑函数的方法，最终形成了一种自适应协同控制器，实现了多智能体系统的一致性和稳定性，保证了封闭系统是半全局一致有界稳定的，所有误差信号都可以收敛到任意小的残差集。
为实现本发明的目的，本发明通过以下技术方案实现：一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法，包括以下步骤：
步骤一、建立由N个跟随者和一个N+1领导者组成的一类控制方向未知的高阶线性时变多智能体系统模型；
步骤二、针对智能体之间的相互通信关系，通过代数图论建立通讯拓扑结构；
步骤三、利用努斯鲍姆函数完成对控制器的设计；
步骤四、采用有界估计方法结合平滑函数的方法，再利用自适应动态面控制技术，结合步骤一中的系统模型构建获得自适应协同控制器算法。
进一步改进在于：所述步骤一中跟随者标记为1～N，领导者标记为N+1，跟随者的动态特征用动态方程描述；建立的系统模型由下式表示
Figure BDA0003579924360000021
Figure BDA0003579924360000022
y＝xi，1，(k＝1，…，n-1)
其中xi，k表示状态，ui表示系统模型控制输入，y表示系统模型输出，gi，k(t)，
Figure BDA0003579924360000023
表示未知有界参数且参数大小符号均未知，fi，k(·)表示已光滑函数。
进一步改进在于：所述步骤二中建立通讯拓扑结构具体为，先用一个有向图G描述N+1个多智能体之间的通信拓扑结构，包含节点集V＝{1，…，N+1}和边缘集
Figure BDA00035799243600000310
边(j，i)∈E表示智能体i从智能体j获得信息，则智能体j被称为智能体i的邻居，结点i的邻居集表示为Πi＝{j|(j，i)∈E}，从节点i1到节点ik的有向路径为(i1，i2)，(i2，i3)，…，(ik-1，ik)形成的边序列。
进一步改进在于：所述有向图G有关的邻接矩阵
Figure BDA0003579924360000031
其中ai，j>0，当(j，i)∈E，其他情况下ai，j＝0；定义拉普拉斯矩阵L＝D-A，其中D＝diag(d1，…，dn+1)为
Figure BDA0003579924360000032
Figure BDA0003579924360000033
的内度矩阵，假设领导者N+1没有邻居，运动独立于跟随者，则拉普拉斯矩阵表示为
Figure BDA0003579924360000034
其中
Figure BDA0003579924360000035
为与跟随者之间通讯有关的矩阵，
Figure BDA0003579924360000036
包含从领导者到跟随者之间的通讯信息。
进一步改进在于：所述步骤三中先令V(t)和Ki(t)，(i＝1，…，N)分别为光滑的正定函数和光滑函数，两者的初始值V(0)和Ki(0)，i＝1，…，N都定义在[0，tf]上，令
Figure BDA0003579924360000037
Figure BDA0003579924360000038
ki(t)为[0，T)上的一个光滑的努斯鲍姆函数，当下式成立
Figure BDA0003579924360000039
其中A表示一个常数，B＞0为一个正常数，并且位置时变参数gi(·)在一个未知区间I＝[g-，g+]内，其中
Figure BDA00035799243600000410
那么V(t)，Ki(t)，
Figure BDA0003579924360000041
在[0，T)上均是有界的。
进一步改进在于：所述步骤四中先根据动态面技术将控制器算法设计分为n步，并在最后一步计算获得对每个跟随者的控制率ui，具体步骤如下
S1、设第一个误差面为
Figure BDA0003579924360000042
则si，1的导数表示为
Figure BDA0003579924360000043
其中
Figure BDA0003579924360000044
Figure BDA0003579924360000045
若j∈Ni则Φij对与第i个跟随者是可用的，定义
Figure BDA0003579924360000046
Figure BDA0003579924360000047
为ηi，1的估计值
Figure BDA0003579924360000048
然后选择李雅普诺夫函数为
Figure BDA0003579924360000049
可知，导数满足
Figure BDA0003579924360000051
由杨氏不等式得
Figure BDA0003579924360000052
其中
Figure BDA0003579924360000053
则由杨氏不等式可得
Figure BDA0003579924360000054
带入可得
Figure BDA0003579924360000055
其中
Figure BDA0003579924360000056
再设虚拟控制率为
Figure BDA0003579924360000057
设
Figure BDA0003579924360000058
Ki，1的更新率为
Figure BDA0003579924360000059
Figure BDA00035799243600000510
Ki，1(0)≥0，则
Figure BDA00035799243600000511
表示为
Figure BDA00035799243600000512
可将上式变为
Figure BDA0003579924360000061
将虚拟控制率通过一个具有时间常数τi，2的一阶低通滤波器得
Figure BDA0003579924360000062
S2、第k步(2≤k≤n-1)，定义第k个误差面为
Figure BDA0003579924360000063
则其导数满足下式
Figure BDA0003579924360000064
其中
Figure BDA0003579924360000065
再定义ηi,k＝sup{||Θi,k(t)||},以处理上式中的时变参数，选择李雅普诺夫函数由下式表示
Figure BDA0003579924360000066
其中
Figure BDA0003579924360000067
Figure BDA0003579924360000068
为ηi,k估计值，再由杨氏不等式得
Figure BDA0003579924360000069
其中
Figure BDA00035799243600000610
对其求导，则导数满足下式
Figure BDA00035799243600000611
其中，
Figure BDA0003579924360000071
设虚拟控制率为αi,k+1＝Ni(κi,k)ωi,k，设
Figure BDA0003579924360000072
Ki，k的更新率为
Figure BDA0003579924360000073
Figure BDA0003579924360000074
κi,k(0)≥0，则有下式
Figure BDA0003579924360000075
将虚拟控制率通过一个低通滤波器得
Figure BDA0003579924360000076
S3、第n步，定义第n个误差面为
Figure BDA0003579924360000077
则其导数满足下式
Figure BDA0003579924360000078
定义
Figure BDA0003579924360000079
选择李雅普诺夫函数由下式表示
Figure BDA00035799243600000710
其中
Figure BDA00035799243600000711
Figure BDA00035799243600000712
为ηi,n的估计值，由杨氏不等式得
Figure BDA00035799243600000713
其中
Figure BDA00035799243600000714
则有下式
Figure BDA00035799243600000715
令
Figure BDA0003579924360000081
设控制率为ui＝Ni(κi,n)ωi,n，设
Figure BDA0003579924360000082
Ki，n的更新率为ui＝Ni(κi,n)ωi,n，
Figure BDA0003579924360000083
则有下式
Figure BDA0003579924360000084
进一步可得
Figure BDA0003579924360000085
本发明的有益效果为：本发明利用自适应动态表面技术来克服反推中的“微分爆炸”问题，同时确保跟随者只需要其邻居代理的前两个状态，可以大大降低控制方案的计算量和代理之间的通信复杂度；
本发明通过引入一个努斯鲍姆函数，不再假设多智能体系统的控制增益的符号已知，即控制方向是未知的，扩大了本发明所设计控制器的使用范围；
采用结合平滑函数的边界估计方法处理多智能体系统中的时变参数，通过在线估计多智能体系统中时变参数的上界，避免了时变参数导数带来的控制器设计困难。
附图说明
图1为本发明实验系统的架构图。
图2为本发明四个跟随者利用本发明的控制器实现追踪一个领导者的追踪曲线图。
图3为本发明四个跟随者的控制输入信号图。
图4为本发明四个跟随者利用本发明的控制器显示追踪一个领导者的追踪误差图。
图5为本发明四个跟随者利用反演控制的控制器实现追踪一个领导者的追踪曲线及追踪误差图。
图6为本发明第一个努斯鲍姆函数曲线图。
图7为本发明第一个努斯鲍姆函数的参数曲线图。
图8为本发明第二个努斯鲍姆函数曲线图。
图9为本发明第二个努斯鲍姆函数的参数曲线图。
图10为本发明控制器的自适应律ηi,1,(i＝1,2,3,4)图。
图11为本发明控制器的自适应律ηi,2,(i＝1,2,3,4)图。
图12为本发明控制器的自适应律ηi,3,(i＝1,2,3,4)图。
具体实施方式
为了加深对本发明的理解，下面将结合实施例对本发明做进一步详述，本实施例仅用于解释本发明，并不构成对本发明保护范围的限定。
根据图1-12所示，本实施例提供了一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法，包括以下步骤：
步骤一、建立由N个跟随者和一个N+1领导者组成的一类控制方向未知的高阶线性时变多智能体系统模型；
以五个由电机驱动的机械手组成的多智能体系统为例，实验系统的环境和架构分别为说明书附图2和说明书附图3所示，整个实验平台由四部分组成，即实时模拟器(RTS)、快速控制原型(RCP)、适配板和主机。
每个追随者的动态模型由下式描述
Figure BDA0003579924360000101
Figure BDA0003579924360000102
Figure BDA0003579924360000103
yi＝xi,1，i＝1,2,3,4
其中，xi,1,xi,2,xi,3分别代表第i个跟随者的位置、速度、电机电流，ui代表电机电压，Ji,Gi,Ki,1,Ki,2,Ki,3,Ki,4,Qi为正常数，Δ代表外界干扰。
可以进行重写。令：
Figure BDA0003579924360000104
fi,2(t)＝[-sin(xi,1),xi,2,1]T，
Figure BDA0003579924360000105
fi,2(t)＝[-xi,3,xi,2,1]T。
假设1：领导者有一条通往每个跟随者的直接路径。
假设2：领导者的输出yN+1(t)对第j个跟随者时可用的，其中N+1∈Πj，同时xi,1,xi,2,fi,1(xi,1)对于第j个跟随者时可用的，其中i∈Πj。
假设3：对于时变参数gi,k(t)，对于t≥0存在正常数gi,min,gi,max使得gi,min≤|gi,k(t)|≤gi,max，其中i＝1,...,N,k＝1,...,n。
步骤二、针对智能体之间的相互通信关系，通过代数图论建立通讯拓扑结构；
用一个有向图G来描述N+1个多智能体之间的通信拓扑结构，其中包含节点集V＝{1，...，N+1}和边缘集
Figure BDA0003579924360000111
边(j，i)∈E表示智能体i可以从智能体j获得信息，但是反过来是不成立的。在这种情况下，智能体j被称为智能体i的邻居。节点i的邻居集被表示为Πi＝{j|(j,i)∈E}，从节点i1到节点ik的有向路径为(i1,i2),(i2,i3),...,(ik-1,ik)形成的边序列。与有向图G有关的邻接矩阵
Figure BDA0003579924360000112
其中ai,j＞0,，若(j,i)∈E，其他情况下ai,j＝0。在此处不允许存在自身边缘集，即ai,i＝0。定义拉普拉斯矩阵L＝D-A，其中D＝diag(d1,...,dN+1)为
Figure BDA0003579924360000113
的内度矩阵。假设领导者没有邻居，其运动独立于追随者，因此拉普拉斯矩阵表示为
Figure BDA0003579924360000114
其中
Figure BDA0003579924360000115
为与跟随者之间通讯有关的矩阵，
Figure BDA0003579924360000116
包含从领导者到跟随者之间的通讯信息。
步骤三、利用努斯鲍姆函数完成对控制器的设计；
为了处理不确定的控制方向，引入一个努斯鲍姆函数来克服不确定的控制方向带来的困难，努斯鲍姆函数定义如下：
若一个连续函数N(.):
Figure BDA0003579924360000117
满足如下工程数学问题，则此函数被称为努斯鲍姆函数
Figure BDA0003579924360000118
Figure BDA0003579924360000119
例如连续函数k2 cos(k),k2 sin(k),
Figure BDA00035799243600001110
k2 cos((π/2)k)等均满足式。故此类函数被称为努斯鲍姆函数。
令V(t)和κi(t),(i＝1,...,N)分别为光滑的正定函数和光滑函数，它们的初值V(0)和κi(0)，i＝1,...,N都定义在[0,tf]上。令
Figure BDA0003579924360000121
ki(t)为[0,T)上的一个光滑的努斯鲍姆函数。当下列不等式成立
Figure BDA0003579924360000122
其中A代表一个合适的常数，B＞0为一个正常数，并且位置时变参数gi(.)在一个未知区间I＝[g-,g+]内，其中
Figure BDA0003579924360000123
那么V(t),ki(t),
Figure BDA0003579924360000124
在[0,T)上均是有界的。
步骤四、采用有界估计方法结合平滑函数的方法，再利用自适应动态面控制技术，结合步骤一中的系统模型构建获得自适应协同控制器算法。
根据动态面技术，控制器的设计分为三步，并在最后一步得到每个跟随者的空置率ui(i＝1,2,3,4)，设计步骤如下：
第一步：定义第一误差面为
Figure BDA0003579924360000125
则的导数由下式表示
Figure BDA0003579924360000126
其中
Figure BDA0003579924360000131
Figure BDA0003579924360000132
根据假设2，若j∈NF则Φij对于第i个跟随者时可用的，定义
Figure BDA0003579924360000133
Figure BDA0003579924360000134
为ηi,1的估计值
Figure BDA0003579924360000135
然后选择李雅普诺夫函数由下式表示
Figure BDA0003579924360000136
由可知，式的导数满足下式
Figure BDA0003579924360000137
由杨氏不等式得
Figure BDA0003579924360000138
其中
Figure BDA0003579924360000139
则由杨氏不等式可得
Figure BDA00035799243600001310
将其带入得下式
Figure BDA00035799243600001311
其中
Figure BDA00035799243600001312
因为gi,1＝1是已知的，因此在第一步中不需要引入努斯鲍姆函数来处理未知的控制方向，在虚拟控制器的设计中Ni(κi,1)及
Figure BDA0003579924360000141
可以被移除。然后将虚拟控制率与自适应控制率分别设计为
Figure BDA0003579924360000142
最后让αi,2通过一阶滤波器
Figure BDA0003579924360000143
得到
Figure BDA0003579924360000144
和
Figure BDA0003579924360000145
第二步：定义第2个误差面为
Figure BDA0003579924360000146
则其导数满足下式
Figure BDA0003579924360000147
其中
Figure BDA0003579924360000148
为了处理式中的时变参数，定义ηi,2＝sup{||Θi,2(t)||},选择李雅普诺夫函数表示为
Figure BDA0003579924360000149
其中
Figure BDA00035799243600001410
对式求导，则导数满足下式
Figure BDA00035799243600001411
其中
Figure BDA00035799243600001412
设计虚拟控制率为αi,3＝Ni(κi,2)ωi,2，设计
Figure BDA00035799243600001413
κi,2的更新率为
Figure BDA00035799243600001414
Figure BDA00035799243600001415
κi,k(0)≥0
则有下式
Figure BDA0003579924360000151
带入前式可得
Figure BDA0003579924360000152
然后将设计出的虚拟控制率通过一个一阶低通滤波器得
Figure BDA0003579924360000153
第三步：定义第3个误差面为
Figure BDA0003579924360000154
则其导数满足下式
Figure BDA0003579924360000155
定义
Figure BDA0003579924360000156
选择李雅普诺夫函数由下式表示
Figure BDA0003579924360000157
其中
Figure BDA0003579924360000158
Figure BDA0003579924360000159
为ηi,3的估计值，由杨氏不等式得
Figure BDA00035799243600001510
其中
Figure BDA00035799243600001511
则有
Figure BDA00035799243600001512
令
Figure BDA00035799243600001513
设计空置率为ui＝Ni(κi,3)ωi,3，设计
Figure BDA00035799243600001514
κi,3的更新率为
Figure BDA00035799243600001515
则有下式
Figure BDA0003579924360000161
带入上式得
Figure BDA0003579924360000162
上式中ci,1,ci,2,ci,3,ei,1,ei,2,ei,3,
Figure BDA0003579924360000163
υi,1,υi,2,υi,3均为设计参数，通过选择合适的设计参数，仿真实验可以得到仿真结果。
以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (5)

1.一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一、建立由N个跟随者和一个N+1领导者组成的一类控制方向未知的高阶线性时变多智能体系统模型；
步骤二、针对智能体之间的相互通信关系，通过代数图论建立通讯拓扑结构；
步骤三、利用努斯鲍姆函数完成对控制器的设计；
步骤四、采用有界估计方法结合平滑函数的方法，再利用自适应动态面控制技术，结合步骤一中的系统模型构建获得自适应协同控制器算法；
其中，先根据动态面技术将控制器算法设计分为n步，并在最后一步计算获得对每个跟随者的控制率ui，具体步骤如下
S1、设第一个误差面为
Figure FDA0003997922820000011
则si，1的导数表示为
Figure FDA0003997922820000012
其中
Figure FDA0003997922820000013
ξi,1＝[di 2si,1 difi,1(xi,1)]T
Figure FDA0003997922820000014
Φij＝[aijxj,2 aijfj,1(xj,1)]T
若j∈Ni则Φij对与第i个跟随者是可用的，定义
Figure FDA0003997922820000021
Figure FDA0003997922820000022
为ηi，1的估计值
Figure FDA0003997922820000023
然后选择李雅普诺夫函数为
Figure FDA0003997922820000024
可知，导数满足
Figure FDA0003997922820000025
由杨氏不等式得
Figure FDA0003997922820000026
其中
Figure FDA0003997922820000027
则由杨氏不等式可得
Figure FDA0003997922820000028
带入可得
Figure FDA0003997922820000029
其中
Figure FDA00039979228200000210
再设虚拟控制率为
Figure FDA00039979228200000211
设
Figure FDA0003997922820000031
Ki，1的更新率为
Figure FDA0003997922820000032
Figure FDA0003997922820000033
Ki，1(0)≥0，则
Figure FDA0003997922820000034
表示为
Figure FDA0003997922820000035
可将上式变为
Figure FDA0003997922820000036
将虚拟控制率通过一个具有时间常数τi，2的一阶低通滤波器得
Figure FDA0003997922820000037
S2、第k步(2≤k≤n-1)，定义第k个误差面为
Figure FDA0003997922820000038
则其导数满足下式
Figure FDA0003997922820000039
其中
Figure FDA00039979228200000310
再定义ηi,k＝sup{||Θi,k(t)||},以处理上式中的时变参数，选择李雅普诺夫函数由下式表示
Figure FDA00039979228200000311
其中
Figure FDA00039979228200000312
Figure FDA00039979228200000313
为ηi,k估计值，再由杨氏不等式得
Figure FDA00039979228200000314
其中
Figure FDA00039979228200000315
对其求导，则导数满足下式
Figure FDA0003997922820000041
其中，
Figure FDA0003997922820000042
设虚拟控制率为αi,k+1＝Ni(κi,k)ωi,k，设
Figure FDA0003997922820000043
Ki，k的更新率为
Figure FDA0003997922820000044
Figure FDA0003997922820000045
κi,k(0)≥0，则有下式
Figure FDA0003997922820000046
将虚拟控制率通过一个低通滤波器得
Figure FDA0003997922820000047
S3、第n步，定义第n个误差面为
Figure FDA0003997922820000048
则其导数满足下式
Figure FDA0003997922820000049
定义
Figure FDA00039979228200000410
选择李雅普诺夫函数由下式表示
Figure FDA00039979228200000411
其中
Figure FDA00039979228200000412
Figure FDA00039979228200000413
为ηi,n的估计值，由杨氏不等式得
Figure FDA00039979228200000414
其中
Figure FDA00039979228200000415
则有下式
Figure FDA0003997922820000051
令
Figure FDA0003997922820000052
设控制率为ui＝Ni(κi,n)ωi,n，设
Figure FDA0003997922820000053
Ki，n的更新率为ui＝Ni(κi,n)ωi,n，
Figure FDA0003997922820000054
则有下式
Figure FDA0003997922820000055
进一步可得
Figure FDA0003997922820000056
2.根据权利要求1所述的一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法，其特征在于：所述步骤一中跟随者标记为1～N，领导者标记为N+1，跟随者的动态特征用动态方程描述；建立的系统模型由下式表示
Figure FDA0003997922820000057
Figure FDA0003997922820000058
y＝xi，1
其中k＝1，…，n-1，xi，k表示状态，ui表示系统模型控制输入，y表示系统模型输出，gi，k(t)，
Figure FDA0003997922820000061
表示未知有界参数且参数大小符号均未知，fi，k(·)表示已光滑函数，xi，1表示第i个智能体的第一个状态。
3.根据权利要求1所述的一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法，其特征在于：所述步骤二中建立通讯拓扑结构具体为，先用一个有向图G描述N+1个多智能体之间的通信拓扑结构，包含节点集V＝{1，…，N+1}和边缘集
Figure FDA0003997922820000062
边(j，i)∈E表示智能体i从智能体j获得信息，则智能体j被称为智能体i的邻居，结点i的邻居集表示为Πi＝{j|(j，i)∈E}，从节点i1到节点ik的有向路径为(i1，i2)，(i2，i3)，…，(ik-1，ik)形成的边序列。
4.根据权利要求3所述的一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法，其特征在于：所述有向图G有关的邻接矩阵
Figure FDA0003997922820000063
其中ai，j>0，当(j，i)∈E，其他情况下ai，j＝0；定义拉普拉斯矩阵L＝D-A，其中D＝diag(d1，…，dn+1)为
Figure FDA0003997922820000064
Figure FDA0003997922820000065
的内度矩阵，假设领导者N+1没有邻居，运动独立于跟随者，则拉普拉斯矩阵表示为
Figure FDA0003997922820000066
其中
Figure FDA0003997922820000067
为与跟随者之间通讯有关的矩阵，
Figure FDA0003997922820000068
包含从领导者到跟随者之间的通讯信息。
5.根据权利要求1所述的一种未知控制方向的时变多智能体协同控制方法，其特征在于：所述步骤三中先令V(t)和Ki(t)，(i＝1，…，N)分别为光滑的正定函数和光滑函数，两者的初始值V(0)和Ki(0)，i＝1，…，N都定义在[0，tf]上，令
Figure FDA0003997922820000071
Figure FDA0003997922820000072
(i＝1，…，N)，ki(t)为[0，T)上的一个光滑的努斯鲍姆函数，当下式成立
Figure FDA0003997922820000073
其中A表示一个常数，B＞0为一个正常数，并且位置时变参数gi(·)在一个未知区间I＝[g-，g+]内，其中
Figure FDA0003997922820000074
那么V(t)，Ki(t)，
Figure FDA0003997922820000075
在[0，T)上均是有界的。
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