CN112305918A - 超螺旋观测器下的多智能体系统滑模容错一致性控制算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种超螺旋观测器下的多智能体系统滑模容错一致性控制算法。考虑二阶非线性多智能体系统速度信息不可测且发生执行器加性故障，首先提出了一种超螺旋二阶滑模故障观测器，可以有效地对智能体速度状态信息和执行器故障信息进行估计，针对初始误差问题和峰值问题，通过改进观测器结构并引入增益系数，使得观测器估计更加快速准确。然后基于积分滑模控制，提出了一种容错控制方法，根据智能体之间的相对状态信息定义了一致性误差变量，基于一致性误差变量设计滑模面。最后结合观测器估计值以及智能体之间的通信结构信息，设计了一种滑模容错一致性控制律。该控制律可以使得多智能体系统在受到执行器加性故障和固有非线性动态影响下，仍能在有限时间内实现一致性目标，从而有效的避免了多智能体系统因执行器故障而导致一致性任务无法完成的问题。本发明可用于一类含有执行器加性故障和固有非线性动态的多智能体系统的一致性控制实现问题。

Description

超螺旋观测器下的多智能体系统滑模容错一致性控制算法

技术领域

本发明涉及一种超螺旋观测器下的多智能体系统滑模容错一致性控制算法，属于多智能体系统的容错控制技术领域。

背景技术

近年来，随着人工智能技术的快速发展，研究人员在智能算法领域取得了许多创新进展和成果。然而，由于长时间的频繁使用，智能设备会不可避免地出现故障。如果没有预先设定补偿故障的措施，一旦故障发生就可能影响到整个任务的执行进度，严重时甚至会导致财产损失或人员伤亡。因此，容错控制算法应运而生，并成为了当代控制领域研究的焦点和热点。一般来说，根据控制系统利用冗余处理故障的方式不同，容错控制可以划分为被动容错控制和主动容错控制。被动容错控制利用预先设置的系统冗余来达到系统对于故障的不敏感作用，它借鉴了鲁棒控制的设计思想，不改变控制器参数或结构，也不需要故障诊断模块的帮助，只对特定故障进行抑制；主动容错控制一般在故障发生后通过在线调节控制器参数或结构来达到容错目的，它往往需要借助故障诊断所得到的故障信息，然后进行控制律的调整或者重构。

自多智能体系统的概念诞生以来，多智能体系统的分布式协同控制方法便因其与传统集中控制相比更好的鲁棒性、实用性和灵活度而越发受到关注，诸如多机器人系统和多飞行器系统等在现实中已经得到了广泛应用。而多智能体系统的一致性作为其中最基本也是最重要的问题之一，也吸引了大量研究人员投入到对其的研究之中。所谓一致性，是指多智能体系统在适当的一致性控制策略作用下，各个智能体能够通过彼此之间的信息交互使得其最终状态都趋向于同一个期望，它在多智能体系统的编队控制、集群控制等问题上都有所体现，可见多智能体系统一致性控制的研究具有重要的价值。

然而，对于多智能体系统这样一个复杂而庞大的研究对象，故障的发生就显得更为频繁而危险。以由四旋翼无人飞行器组成的多智能体系统为例，受到老化、磨损或突发状况影响，四旋翼飞行器可能会发生执行器故障、传感器故障、通信故障等多种类型的故障，这些故障不仅会作用在故障飞行器本身，还会对系统内的其它飞行器造成影响，进而妨碍到整个系统的一致性控制。因此，在对多智能体系统一致性控制问题的研究中引入合适的容错控制器以补偿故障带来的影响就显得十分重要。

值得注意的是，目前多数工作在研究中都假定多智能体的位置和速度等信息是可测的，而在实际工程系统中，考虑到检测工具的成本以及智能体的负载问题，多智能体系统中未必会配置有完备的传感器设备，从而导致部分状态不可测的情况发生。针对这一现实问题，现有的研究成果中往往会采用结合观测器的方法来对不可测状态进行观测和预估。多智能体系统研究领域中利用状态观测器的合理构建来设计效果良好的控制方案已经取得了一定进展，结合观测器设计容错控制算法以解决多智能体系统在状态信息不可测和执行器故障情况下的一致性问题，不仅在理论和实际上都具有可行性且容易实现。

发明内容

发明目的：针对上述研究背景，提出一种新型的超螺旋观测器下的多智能体系统滑模容错一致性控制算法。设计了一种能够准确估计出执行器加性故障和不可测速度信息的超螺旋二阶滑模观测器；为了更好地确保观测的快速性，设计了能够很好处理峰值问题的增益系数，并且能够使系统在初始误差过大的情况下实现快速收敛；结合智能体之间的相对状态信息和观测器估计值，设计了滑模容错一致性控制律，通过设计积分滑模面取代线性滑模面，避免了滑模趋近过程的失稳，使得多智能体系统在容错的基础上仍能在有限时间内实现一致性控制任务。

技术方案：一种新型的超螺旋观测器下的多智能体系统滑模容错一致性控制算法。针对系统中存在的执行器加性故障和不可测速度信息，设计了带有增益系数的超螺旋二阶滑模观测器，使得观测器和系统在初始值相差较大的情况下仍能够快速收敛并准确获得估计值，并且有效避免了峰值问题带来的影响；根据智能体之间的相对状态信息定义了一致性误差变量，以此为基础设计积分滑模面以提高控制系统的鲁棒性；在滑模容错一致性控制律中引入双曲正切项，从而遏制了抖振对系统的影响，使设计的控制器能够发挥更好的控制效果。

一种超螺旋观测器下的多智能体系统滑模容错一致性控制算法，包括如下具体步骤：

步骤1)确定本发明所适用的多智能体系统模型及其参数，包括如下步骤：

步骤1.1)确定领导智能体的状态空间模型如式(1)所示：

其中，x₀(t)、v₀(t)∈R^m分别表示领导者的位置和速度状态；u₀(t)∈R^m为控制输入。

步骤1.2)确定带有执行器加性故障和固有非线性动态的跟随智能体的状态空间模型如式(2)所示：

其中，x_i(t)、v_i(t)∈R^m分别表示第i个智能体的位置和速度状态；u_i(t)∈R^m为控制输入；f_i(x_i(t)，v_i(t)，t)∈R^m表示第i个智能体的固有非线性动态；β_i(t)∈R^m代表第i个智能体时变时产生的执行器加性故障，β_i(t)＝0表示无故障发生，β_i(t)≠0表示第i个智能体的执行器发生了加性故障；

对于固有非线性动态f_i(x_i(t)，v_i(t)，t)和执行器加性故障β_i(t)以及其一阶微分，满足下面不等式(3)和(4)：

其中

为非负常数；

其中

为非负常数；

步骤2)确定本发明所适用的多智能体系统的通信拓扑结构：

考虑由一个领导者和n个跟随者组成的多智能体系统的通信拓扑结构，领导者标记为0，跟随者标记为i＝1，2，...，n；该结构可利用图

来对包括领导者和跟随者在内所有节点之间的信息交互进行描述，其中，

表示图中各节点的集合，

表示边集合；定义子图G＝{V，E}以表示跟随者之间的通信拓扑网络，其中，V＝{1，2，...，n}表示子图中各节点的集合，

表示边集合；定义N_i＝{j|(i，j)∈E，i≠j}表示与节点i相邻的各节点集合，A＝(a_ij)为子图G的邻接矩阵，如果(i，j)∈E，i≠j，即表示节点i和j之间有直接的路径，那么a_ij＞0；否则，a_ij＝0；定义节点i的入度为

则子图G的入度矩阵可表示为D＝diag{d₁，...，d_n}。由此可得到子图的拉普拉斯矩阵表示为L＝[l_ij]_n×n＝D-A；

对于领导者和跟随者之间的邻接矩阵，可定义为B＝diag(b₁，b₂，...，b_n)；当跟随者i能够直接获得来自领导者的信息时，b_i＞0；否则，b_i＝0；

步骤3)构造超螺旋二阶滑模故障观测器，包括如下步骤：

步骤3.1)首先为每个跟随智能体构造如式(5)所示的超螺旋观测器：

其中，

和

分别表示第i个智能体的速度估计和执行器加性故障估计，α为辅助变量，λ₁和λ₂为待定参数；设计增益系数η_i(t)，可以保证系统在初始误差较大时也能快速收敛至终态，其表达式如式(6)所示：

其中，

和σ_i为大于0的常数；由于增益系数随时间而快速衰减，因此也避免了系统初始值与估计值不同而导致的峰值问题；

步骤3.2)定义速度和故障状态的估计误差如式(7)所示：

对式(7)求导，可以得到系统的误差动态如式(8)所示：

步骤3.3)在式(4)成立的条件下，对于状态空间模型(2)和对应设计的观测器(5)，如果参数λ₁和λ₂满足

则估计误差(7)最终一致有界且系统的误差动态(8)是有限时间稳定的，即：

其中，T为有限收敛时间；V₁(0)为选取的李雅普诺夫函数在t＝0时的值，且有

且P和Q均为正定矩阵；λ_min{·}和λ_max{·}分别表示矩阵的最小和最大特征根；通过为λ₁和λ₂选取合适的值，可以将估计误差调整到极小的值；

步骤4)设计容错控制算法，包括如下步骤：

步骤4.1)根据第i个智能体获取的邻居信息，定义一致性跟踪位置误差变量e_xi(t)和速度误差变量e_vi(t)，其形式如下：

定义

式(13)可改写为如式(14)所示的向量形式：

其中，I_m为m维的单位矩阵；定义

可得一致性跟踪误差系统如式(15)所示：

步骤4.2)设计积分滑模面函数如式(16)所示

其中

s_i(t)，i＝1，...，n为滑模变量；k₁和k₂为正常数；

步骤4.3)为跟随者智能体设计如式(17)所示的容错一致性控制算法：

其中γ和ε为正常数；通过理论推导可以得到(1)和(2)组成的多智能体系统在容错控制律(17)下能够实现执行器故障情况下的有限时间一致性。

有益效果：针对存在执行器加性故障和固有非线性动态，且速度不可测的多智能体系统，设计了一种新型的超螺旋观测器下的多智能体系统滑模容错一致性控制算法。设计了超螺旋二阶滑模观测器对故障和速度信息进行快速准确的预估。根据估计值，结合智能体之间的交互信息以及设计的积分滑模面，设计了滑模容错一致性控制算法，可以实现多智能体系统在执行器加性故障和非线性动态影响下的有限时间一致性。总的来说，具有如下具体优点：

①通过设计超螺旋二阶滑模观测器，同时对系统中的执行器加性故障和不可测速度进行有限时间内的准确估计，通过改进观测器结构，进一步提高预估的快速性，从而能够在初始预估值和实际值误差较大的场合既实现故障和状态的精准估计又可以节省设备资源，提高硬件的冗余度。

②所设计的滑模容错一致性控制律引入了积分滑模面和双曲正切项，避免了趋近过程中的失稳并削弱了抖振问题，有利于保证系统的鲁棒性。

③利用本发明所设计容错控制算法，能够解决一类速度状态不可测的多智能体系统在受到执行器故障和固有非线性动态影响下的有限时间一致性实现问题。这表明该算法的设计不仅节省了状态检测设备的开销，同时还增强了整个系统的鲁棒性和容错能力。

本发明所提出的超螺旋观测器下的多智能体系统滑模容错一致性控制算法，具有一定的应用意义，易于实现，实时性好，准确性高，能够有效提高控制系统安全性且可操作性强，节省时间，效率更高，可广泛应用于一类速度状态不可测的多智能体系统在执行器故障和固有非线性动态下的有限时间一致性实现问题。

附图说明

图1是本发明方法的流程图；

图2是Quanser公司研制的实验装置Qball-X4四旋翼直升机以及它的结构简图；

图3是多Qball-X4四旋翼直升机系统的通信拓扑网络；

图4是第2架Qball-X4四旋翼直升机的故障以及它的上限平方估计值曲线；

图5是第3架Qball-X4四旋翼直升机的故障以及它的上限平方估计值曲线；

图6是第4架Qball-X4四旋翼直升机的故障以及它的上限平方估计值曲线；

图7是多Qball-X4四旋翼直升机系统的位置跟踪误差。

图8是多Qball-X4四旋翼直升机系统的速度跟踪误差。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。

如图1所示，针对系统中存在的执行器加性故障和不可测速度信息，设计了带有增益系数的超螺旋二阶滑模观测器，使得观测器和系统在初始值相差较大的情况下仍能够快速收敛并准确获得估计值，并且有效避免了峰值问题带来的影响；根据智能体之间的相对状态信息定义了一致性误差变量，以此为基础设计积分滑模面以提高控制系统的鲁棒性；在滑模容错一致性控制律中引入双曲正切项，从而遏制了抖振对系统的影响，使设计的控制器能够发挥更好的控制效果。

一种超螺旋观测器下的多智能体系统滑模容错一致性控制算法，包括如下具体步骤：

步骤1)确定本发明所适用的多智能体系统模型及其参数，包括如下步骤：

步骤1.1)确定领导智能体的状态空间模型如式(1)所示：

其中，x₀(t)、v₀(t)∈R^m分别表示领导者的位置和速度状态；u₀(t)∈R^m为控制输入。

步骤1.2)确定带有执行器加性故障和固有非线性动态的跟随智能体的状态空间模型如式(2)所示：

其中，x_i(t)、v_i(t)∈R^m分别表示第i个智能体的位置和速度状态；u_i(t)∈R^m为控制输入；f_i(x_i(t)，v_i(t)，t)∈R^m表示第i个智能体的固有非线性动态；β_i(t)∈R^m代表第i个智能体时变时产生的执行器加性故障，β_i(t)＝0表示无故障发生，β_i(t)≠0表示第i个智能体的执行器发生了加性故障；

对于固有非线性动态f_i(x_i(t)，v_i(t)，t)和执行器加性故障β_i(t)以及其一阶微分，满足下面不等式(3)和(4)：

其中

为非负常数；

其中

为非负常数；

步骤2)确定本发明所适用的多智能体系统的通信拓扑结构：

考虑由一个领导者和n个跟随者组成的多智能体系统的通信拓扑结构，领导者标记为0，跟随者标记为i＝1，2，...，n；该结构可利用图

来对包括领导者和跟随者在内所有节点之间的信息交互进行描述，其中，

表示图中各节点的集合，

表示边集合；定义子图G＝{V，E}以表示跟随者之间的通信拓扑网络，其中，V＝{1，2，...，n}表示子图中各节点的集合，

表示边集合；定义N_i＝{j|(i，j)∈E，i≠j}表示与节点i相邻的各节点集合，A＝(a_ij)为子图G的邻接矩阵，如果(i，j)∈E，i≠j，即表示节点i和j之间有直接的路径，那么a_ij＞0；否则，a_ij＝0；定义节点i的入度为

则子图G的入度矩阵可表示为D＝diag{d₁，...，d_n}。由此可得到子图的拉普拉斯矩阵表示为L＝[l_ij]_n×n＝D-A；

对于领导者和跟随者之间的邻接矩阵，可定义为B＝diag(b₁，b₂，...，b_n)；当跟随者i能够直接获得来自领导者的信息时，b_i＞0；否则，b_i＝0；

步骤3)构造超螺旋二阶滑模故障观测器，包括如下步骤：

步骤3.1)首先为每个跟随智能体构造如式(5)所示的超螺旋观测器：

其中，

和

分别表示第i个智能体的速度估计和执行器加性故障估计，α为辅助变量，λ₁和λ₂为待定参数；设计增益系数η_i(t)，可以保证系统在初始误差较大时也能快速收敛至终态，其表达式如式(6)所示：

其中，

和σ_i为大于0的常数；由于增益系数随时间而快速衰减，因此也避免了系统初始值与估计值不同而导致的峰值问题；

步骤3.2)定义速度和故障状态的估计误差如式(7)所示：

对式(7)求导，可以得到系统的误差动态如式(8)所示：

步骤3.3)在式(4)成立的条件下，对于状态空间模型(2)和对应设计的观测器(5)，如果参数λ₁和λ₂满足

则估计误差(7)最终一致有界且系统的误差动态(8)是有限时间稳定的，即：

其中，T为有限收敛时间；V₁(0)为选取的李雅普诺夫函数在t＝0时的值，且有

且P和Q均为正定矩阵；λ_min{·}和λ_max{·}分别表示矩阵的最小和最大特征根；通过为λ₁和λ₂选取合适的值，可以将估计误差调整到极小的值；

步骤4)设计容错控制算法，包括如下步骤：

步骤4.1)根据第i个智能体获取的邻居信息，定义一致性跟踪位置误差变量e_xi(t)和速度误差变量e_vi(t)，其形式如下：

定义

式(13)可改写为如式(14)所示的向量形式：

其中，I_m为m维的单位矩阵；定义

可得一致性跟踪误差系统如式(15)所示：

步骤4.2)设计积分滑模面函数如式(16)所示

其中

s_i(t)，i＝1，...，n为滑模变量；k₁和k₂为正常数；

步骤4.3)为跟随者智能体设计如式(17)所示的容错一致性控制算法：

其中γ和ε为正常数；通过理论推导可以得到(1)和(2)组成的多智能体系统在容错控制律(17)下能够实现执行器故障情况下的有限时间一致性。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

下面以实际案例仿真说明实施方案的有效性。

采用由加拿大Quanser公司研制的Qball-X4四旋翼直升机飞行控制系统作为应用研究对象。由包含标记为0的领导者和标记为i，i＝1，...，5的跟随者的6架Qball-X4四旋翼直升机组成的多智能体系统，其通信拓扑结构如图2所示。设定通信拓扑图中每条边的权值均为1，则根据通信拓扑结构，可计算得出拉普拉斯矩阵L和邻接矩阵B的具体表达式为：

对于该多智能体系统的模型，领导智能体的状态空间模型描述如下：

其中，领导智能体的初始状态值为x₀(0)＝0，v₀(0)＝1，控制输入为u₀＝sin(t/15)；带有执行器加性故障和固有非线性动态的跟随智能体i，i＝1，...，5的状态空间模型描述如下：

其中固有非线性动态f_i(x_i(t)，v_i(t)，t)＝sin(x_i(t))+sin(v_i(t))，且满足||f_i(x_i(t)，v_i(t)，t)||≤2；跟随智能体的初始状态值分别为x₁(0)＝1，x₂(0)＝1.2，x₃(0)＝0.5，x₄(0)＝-1，x₅(0)＝-1.5，v₁(0)＝1.5，v₂(0)＝1.2，v₃(0)＝2，v₄(0)＝0.5，v₅(0)＝0。

为了说明本发明设计的容错控制算法在解决带有执行器故障的多智能体系统的-致性控制问题时的有效性和优越性，假设跟随智能体2和4发生执行器加性故障，其余飞行器无故障。其中，飞行器2的执行器故障描述为：

β₂(t)＝0.2+0.1sin(0.5πt)

飞行器4的执行器故障描述为：

β₄(t)＝0.1(1-e^-0.2t)+0.2sin(0.5πt)cos(0.3t)

显然，这些执行器故障函数取值存在上限，可以取

因此，根据步骤3.3)，可以将超螺旋二阶滑模观测器中的待定参数设置为λ₁＝5，λ₂＝13；时变增益系数η_i(t)中的参数设置为

σ＝5。为了更好的体现本发明设计的观测器在故障估计时的快速性和准确性，我们选取相同的故障情况，分别得出本观测器和传统观测器在进行故障估计时的对比曲线(见图3和图4)。通过图像可知，对比传统观测器，本发明设计的观测器的故障观测曲线表现更为平滑且峰值更低，能够有效弥补初始误差过大带来的影响；与此同时，在故障估计的耗时方面，对于两种不同的执行器故障函数，本发明设计的观测器的估计时间均小于传统观测器，从而表明所设计的观测器在处理执行器加性故障时能够实现更快速的故障估计。

选取滑模面系数为k₁＝2，k₂＝1；容错控制器中的参数定为γ＝0.5，ε＝0.15。图5和图6为多智能体系统在控制器作用下各个智能体的位置和速度轨迹曲线。可以看到，尽管部分跟随智能体受到不同程度的执行器加性故障的影响，但在固定拓扑结构的基础上，通过及时的信息交互，仍能在有限时间内快速收敛误差，追踪上领导者。图7为各个智能体的控制律曲线，可以看出在本发明所设计的滑模容错一致性控制律的作用下，控制信号在收敛过程中曲线平滑。图8为智能体2在一般的容错控制算法和本发明设计的容错控制算法下的控制律曲线的对比，可以看出，由于本发明设计的容错控制算法能够更好地抑制抖振，因此控制律曲线收敛速度更快，波动更为平稳，即多智能体系统在本发明设计地控制器地控制下更为稳定，效果更为优秀。综上，对于发生执行器加性故障的多智能体系统，本案例仿真的控制方法是行之有效的。

Claims (1)

1.一种超螺旋观测器下的多智能体系统滑模容错一致性控制算法，其特征在于，包括如下具体步骤：

步骤1)确定本发明所适用的多智能体系统模型及其参数，包括如下步骤：

步骤1.1)确定领导智能体的状态空间模型如式(1)所示：

其中，x₀(t)、v₀(t)∈R^m分别表示领导者的位置和速度状态；u₀(t)∈R^m为控制输入。

步骤1.2)确定带有执行器加性故障和固有非线性动态的跟随智能体的状态空间模型如式(2)所示：

其中，x_i(t)、v_i(t)∈R^m分别表示第i个智能体的位置和速度状态；u_i(t)∈R^m为控制输入；f_i(x_i(t)，v_i(t)，t)∈R^m表示第i个智能体的固有非线性动态；β_i(t)∈R^m代表第i个智能体时变时产生的执行器加性故障，β_i(t)＝0表示无故障发生，β_i(t)≠0表示第i个智能体的执行器发生了加性故障；

对于固有非线性动态f_i(x_i(t)，v_i(t)，t)和执行器加性故障β_i(t)以及其一阶微分，满足下面不等式(3)和(4)：

其中

为非负常数；

其中

为非负常数；

步骤2)确定本发明所适用的多智能体系统的通信拓扑结构：

考虑由一个领导者和n个跟随者组成的多智能体系统的通信拓扑结构，领导者标记为0，跟随者标记为i＝1，2，...，n；该结构可利用图

来对包括领导者和跟随者在内所有节点之间的信息交互进行描述，其中，

表示图中各节点的集合，

表示边集合；定义子图G＝{V，E}以表示跟随者之间的通信拓扑网络，其中，V＝{1，2，...，n}表示子图中各节点的集合，

表示边集合；定义N_i＝{j|(i，j)∈E，i≠j}表示与节点i相邻的各节点集合，A＝(a_ij)为子图G的邻接矩阵，如果(i，j)∈E，i≠j，即表示节点i和j之间有直接的路径，那么a_ij＞0；否则，a_ij＝0；定义节点i的入度为

则子图G的入度矩阵可表示为D＝diag{d₁，...，d_n}。由此可得到子图的拉普拉斯矩阵表示为L＝[l_ij]_n×n＝D-A；

对于领导者和跟随者之间的邻接矩阵，可定义为B＝diag(b₁，b₂，...，b_n)；当跟随者i能够直接获得来自领导者的信息时，b_i＞0；否则，b_i＝0；

步骤3)构造超螺旋二阶滑模故障观测器，包括如下步骤：

步骤3.1)首先为每个跟随智能体构造如式(5)所示的超螺旋观测器：

其中，

和

分别表示第i个智能体的速度估计和执行器加性故障估计，α为辅助变量，λ₁和λ₂为待定参数；设计增益系数η_i(t)，可以保证系统在初始误差较大时也能快速收敛至终态，其表达式如式(6)所示：

其中，

和σ_i为大于0的常数；由于增益系数随时间而快速衰减，因此也避免了系统初始值与估计值不同而导致的峰值问题；

步骤3.2)定义速度和故障状态的估计误差如式(7)所示：

对式(7)求导，可以得到系统的误差动态如式(8)所示：

步骤3.3)在式(4)成立的条件下，对于状态空间模型(2)和对应设计的观测器(5)，如果参数λ₁和λ₂满足

则估计误差(7)最终一致有界且系统的误差动态(8)是有限时间稳定的，即：

其中，T为有限收敛时间；V₁(0)为选取的李雅普诺夫函数在t＝0时的值，且有

且P和Q均为正定矩阵；λ_min{·}和λ_max{·}分别表示矩阵的最小和最大特征根；通过为λ₁和λ₂选取合适的值，可以将估计误差调整到极小的值；

步骤4)设计容错控制算法，包括如下步骤：

步骤4.1)根据第i个智能体获取的邻居信息，定义一致性跟踪位置误差变量e_xi(t)和速度误差变量e_vi(t)，其形式如下：

定义

式(13)可改写为如式(14)所示的向量形式：

其中，I_m为m维的单位矩阵；定义

可得一致性跟踪误差系统如式(15)所示：

步骤4.2)设计积分滑模面函数如式(16)所示

其中

s_i(t)，i＝1，...，n为滑模变量；k₁和k₂为正常数；

步骤4.3)为跟随者智能体设计如式(17)所示的容错一致性控制算法：

其中γ和ε为正常数；通过理论推导可以得到(1)和(2)组成的多智能体系统在容错控制律(17)下能够实现执行器故障情况下的有限时间一致性。

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