CN106788039A - 基于极限学习机的异步电机驱动系统控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于极限学习机的异步电机驱动系统控制方法。该控制方法针对异步电机驱动系统中存在的非线性问题，在传统的反步设计方法中引入命令滤波技术，通过引入补偿机制，减小了滤波产生的误差，成功地克服了在传统反步控制中由于连续求导所引起的“计算爆炸”问题。本发明利用极限学习机算法逼近系统中的非线性函数，将该算法和命令滤波技术以及自适应反步方法结合起来。本发明能够使电动机运行能快速达到稳定状态，更加适合诸如电动汽车驱动系统等需要快速动态响应的控制对象，仿真结果表明本发明能够克服参数不确定的影响并且有利于保证理想的控制效果，实现对转速的快速、稳定地响应。

Description

基于极限学习机的异步电机驱动系统控制方法

技术领域

本发明属于电机调速控制技术领域，具体涉及一种基于极限学习机的异步电机驱动系统控制方法。

背景技术

异步电机是一种交流电机，也叫感应电机，主要作电动机使用。异步电动机广泛应用于工农业生产中，例如机床、水泵、冶金、矿山设备与轻工业机械等都用它作为原动机，其容量从几千瓦到几千千瓦。日益普及的家用电器，例如在洗衣机、风扇、电冰箱、空调器中采用单向异步电动机，其容量从几瓦到几千瓦。在航天、计算机等高科技领域，异步电机也可以作为发电机使用，例如小水电站、风力发电机也可采用异步电机。

异步电机之所以得到广泛应用，主要由于它有如下优点：结构简单、运行可靠、制造容易、价格低廉、坚固耐用，而且有较高的效率和相当好的工作特性。

但由于异步电机的动态数学模型具有高度的非线性、强耦合、多变量的特点，因此异步电机需要一套更复杂的控制方法。为满足实际应用对异步电机控制的更高要求，提出了模糊逻辑控制、反步法控制和滑模控制等基于最近现代控制理论的控制策略。所有的这些方法都假定可以得到动态系统方程。反步法是一种控制具有不确定性、非线性的系统，尤其是那些不满足给定条件的系统的方法。反步法最大的优点是可以用虚拟控制变量简化原始的高阶系统，从而最终的输出结果可以通过合适的Lyapunov方程来自动的得到。然而，传统反步控制中对虚拟控制函数进行连续求导，容易引起“计算爆炸”问题。

在控制不确定非线性系统，尤其是那些不满足特定条件的系统方面，反步控制方法被认为是最常用的控制方法之一。这种控制设计的优点是使用虚拟控制变量来使原来的高阶系统简单化；与此同时，通过选择一个合适的Lyapunov函数，可以系统地得到控制输出。然而，传统反步控制中对虚拟控制函数进行连续求导，容易引起“计算爆炸”问题。

为了克服这个问题，采用命令滤波技术。

结合命令滤波技术的反步控制方法将虚拟控制函数经过一阶低通滤波处理，得到新的控制变量，避免对虚拟函数的连续求导，克服了传统反步设计的“计算爆炸”问题。

极限学习机(extreme learning machine，简称ELM)是一种简单易用、有效的单隐层前馈神经网络SLFNs学习算法。传统的神经网络学习算法(如BP算法)需要人为设置大量的网络训练参数，并且很容易产生局部最优解。极限学习机只需要设置网络的隐层节点个数，在算法执行过程中不需要调整网络的输入权值以及隐元的偏置，并且产生唯一的最优解，因此具有学习速度快且泛化性能好的优点。ELM因其在处理未知非线性函数方面的能力而广泛的应用于具有高度非线性和不确定性的复杂控制系统设计中。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于极限学习机的异步电机命令滤波控制方法，该方法利用极限学习机算法逼近异步电机驱动系统中未知的非线性函数，通过命令滤波技术和自适应反步法来构造控制器，从而实现对异步电机速度的高效控制。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

基于极限学习机的异步电机驱动系统控制方法，包括如下步骤：

a建立异步电机的动态数学模型：

其中，ω、L_m、n_p、J、T_L和ψ_d分别表示转子的角速度、互感系数、极对数、转动惯量、负载系数和转子磁链，i_d和i_q表示d-q坐标系下的轴电流，u_d和u_q表示d-q坐标系下的轴电压，R_s和L_s分别表示定子电阻和电感，R_r和L_r分别表示转子电阻和电感，

为简化异步电机的动态数学模型，定义新的变量：

则异步电机的动态数学模型表示为：

b设计一种异步电机驱动系统的控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₃，x₄和控制输入u_d组成的子系统；

定义命令滤波器为：

其中，均为命令滤波器的输出信号，α_u为命令滤波器的输入信号，u＝1,3；如果输入信号α_u对于所有的t≥0，使得以及成立，ρ₁和ρ₂均为正常数；同时则可得出，对任意的常数μ＞0，存在ω_n＞0且ζ∈(0,1]，使得和是有界的；

定义跟踪误差变量为

定义x_1d为期望的速度信号，x_3d为期望的转子磁链信号；x_1,c,x_3,c为命令滤波器的输出信号；虚拟控制信号α₁,α₃为命令滤波器的输入信号；

定义β_g是极限学习机算法的输出权值向量，||β||是β_g的范数；H_g(Z_g)＝[h₁(Z_g),...,h_l(Z_g)]；其中，隐层神经元数l为整数，且l＞1，H_g(Z_g)表示极限学习机算法的隐层映射矩阵，Z_g表示隐层映射矩阵H_g(Z_g)的变量集合；h_p(Z_g)＝G_p(a_p,b_p,Z_g)，G_p(·)是激活函数，(a_p,b_p)是隐层节点参数，p为整数，且p＝1,...,l，g＝1,2,3,4；

控制方法设计的每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制信号或者真实控制律；控制方法的设计具体包括以下步骤：

b.1根据微分方程对z₁求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₁＝z₁-ξ₁；选择Lyapunov函数：对V₁求导得：

由于在实际系统中负载参数T_L是有界的，定义T_L是未知的正常数且上限为d，即0≤T_L≤d；根据杨氏不等式可得：

其中，f₁(Z₁)＝a₁x₂x₄-x₂；对于光滑函数f₁(Z₁)，给定任意小的ε₁≥0，有极限学习机算法为H₁β₁；令f₁(Z₁)＝H₁(Z₁)β₁+δ₁(Z₁)，δ₁(Z₁)表示逼近误差，并满足|δ₁(Z₁)|≤ε₁；Z₁＝[x₂,x₄]^T，从而有：

其中，常数l₁＞0；

构建虚拟控制信号α₁：

定义补偿误差

其中，ξ(0)＝0，||ξ_g||是有界的，有常数μ＞0，常数ρ＞0，k_g为正的设计参数，g＝1,2,3,4；

根据杨氏不等式，按照公式(5)、公式(6)和公式(7)，将公式(4)改写为：

b.2根据微分方程对z₂求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₂＝z₂-ξ₂；选择Lyapunov函数：对V₂求导得：

其中，对于光滑函数f₂(Z₂)，给定ε₂≥0，有极限学习机算法H₂β₂；令f₂(Z₂)＝H₂(Z₂)β₂+δ₂(Z₂)，δ₂(Z₂)表示逼近误差，并满足|δ₂(Z₂)|≤ε₂，Z₂＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T；从而有：

其中，常数l₂＞0；

构建真实控制率u_q：

定义补偿误差

按照公式(10)、公式(11)和公式(12)，将公式(9)改写为：

b.3根据微分方程对z₃求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₃＝z₃-ξ₃；选择Lyapunov函数：对V₃求导得：

其中，f₃(Z₃)＝c₁x₃，对于光滑函数f₃(Z₃)，给定ε₃≥0，有极限学习机算法H₃β₃；令f₃(Z₃)＝H₃(Z₃)β₃+δ₃(Z₃)，δ₃(Z₃)表示逼近误差，并满足|δ₃(Z₃)|≤ε₃，从而有：

其中，常数l₃＞0；

构建虚拟控制信号α₃：

定义补偿误差

按照公式(15)、公式(16)和公式(17)，将公式(14)改写为：

b.4根据微分方程对z₄求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₄＝z₄-ξ₄；选择Lyapunov函数：对V₄求导可得：

其中，对于光滑函数f₄(Z₄)，给定ε₄≥0，有极限学习机算法H₄β₄；令f₄(Z₄)＝H₄(Z₄)β₄+δ₄(Z₄)，δ₄(Z₄)表示逼近误差，并满足|δ₄(Z₄)|≤ε₄，Z₄＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T；从而有：

其中，常数l₄＞0；

构建真实控制律u_d：

定义补偿误差

按照公式(20)、公式(21)和公式(22)，将公式(19)改写为：

c对建立的基于极限学习机的异步电机驱动系统控制方法进行稳定性分析

定义φ＝max{||β₁||²,||β₂||²,||β₃||²,||β₄||²}，为φ的估计值，构建Lyapunov函数为：对V求导可得：

选择相应的自适应律：

其中，常数r＞0，常数m＞0；

按照公式(25)，将公式(24)改写为：

同样，再由杨氏不等式可得：

按照公式(27)，将公式(26)改写为：

其中，a＝min{2k₁,2k₂,2k₃,2k₄,m}，由此可得：

因此v_g和是有界的；因为φ是常数，所以是有界的；又因为z_g＝v_g+ξ_g，||ξ_g||是有界的，因此z_g也是有界的；因此x(t)和其他所有控制信号在任何时间段内都是有界的；

由公式(29)可得：基于极限学习机算法，引入命令滤波技术，通过自适应反步控制方法所设计的控制器能保证速度的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，实现对异步电机速度高效的跟踪控制。

本发明具有如下优点：

(1)异步电机在控制律的作用下，系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，同时其他信号保持有界。

(2)本发明需要的输入信号是实际工程中易于得到的可直接测量的转速和电流信号量，基于极限学习机的自适应命令滤波反步控制方法本身可以通过软件编程实现，使用极限学习机算法来逼近电机驱动系统中未知的非线性项，通过引入命令滤波技术，克服了计算爆炸问题。与此同时，本发明设计的控制器具有更加简单的结构，可以保证系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内以及所有的闭环信号都是有界的。

(3)本发明不需要根据异步电机的不同而修改控制器的参数，原理上可以实现对所有型号和功率的异步电机的稳定调速控制，在控制过程中减少对异步电机参数的测量，利于实现异步电机转速调节的快速响应。

(4)本发明还给出了具体的仿真结果，通过仿真结果表明本发明控制方法的有效性和鲁棒性，具有较强的抗负载扰动能力，实现了理想的控制效果。

附图说明

图1为本发明中基于极限学习机的异步电机驱动系统控制器、坐标变换和SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图；

图2为基于极限学习机的异步电机驱动系统控制器控制后转子角速度和转子角速度设定值的跟踪仿真图；

图3为基于极限学习机的异步电机驱动系统控制器控制转子磁链和转子磁链设定值的跟踪仿真图的跟踪仿真图；

图4为基于极限学习机的异步电机驱动系统控制器控制后q轴定子电流仿真图；

图5为基于极限学习机的异步电机驱动系统控制器控制后d轴定子电流仿真图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

结合图1所示，基于极限学习机的异步电机驱动系统控制方法，其采用的异步电机驱动系统主要包括基于极限学习机的异步电机驱动系统控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3和转速检测单元4与电流检测单元5。转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测异步电机的电流值和转速相关变量，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，通过基于极限学习机的异步电机驱动系统控制控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制异步电机的转速。为了设计一个更加有效的控制器，建立异步电机动态数学模型是十分必要的。

本发明中基于极限学习机的异步电机驱动系统控制方法，包括如下步骤：

a在同步旋转坐标(d-q)下建立异步电机的动态数学模型：

其中，ω、L_m、n_p、J、T_L和ψ_d分别表示转子的角速度、互感系数、极对数、转动惯量、负载系数和转子磁链，i_d和i_q表示d-q坐标系下的轴电流，u_d和u_q表示d-q坐标系下的轴电压，R_s和L_s分别表示定子电阻和电感，R_r和L_r分别表示转子电阻和电感，

为简化异步电机的动态数学模型，定义新的变量：

则异步电机的动态数学模型表示为：

b设计一种异步电机驱动系统的控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₃，x₄和控制输入u_d组成的子系统；

定义命令滤波器为：

其中，均为命令滤波器的输出信号，α_u为命令滤波器的输入信号，u＝1,3；如果输入信号α_u对于所有的t≥0，使得以及成立，ρ₁和ρ₂均为正常数；同时则可得出，对任意的常数μ＞0，存在ω_n＞0且ζ∈(0,1]，使得和是有界的；

定义跟踪误差变量为

定义x_1d为期望的速度信号，x_3d为期望的转子磁链信号；x_1,c,x_3,c为命令滤波器的输出信号；虚拟控制信号α₁,α₃为命令滤波器的输入信号；

定义β_g是极限学习机算法的输出权值向量，||β||是β_g的范数；H_g(Z_g)＝[h₁(Z_g),...,h_l(Z_g)]；其中，隐层神经元数l为整数，且l＞1，H_g(Z_g)表示极限学习机算法的隐层映射矩阵，Z_g表示隐层映射矩阵H_g(Z_g)的变量集合；h_p(Z_g)＝G_p(a_p,b_p,Z_g)，G_p(·)是激活函数，(a_p,b_p)是隐层节点参数，p为整数，且p＝1,...,l，g＝1,2,3,4；

控制方法设计的每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制信号或者真实控制律；控制方法的设计具体包括以下步骤：

b.1根据微分方程对z₁求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₁＝z₁-ξ₁；选择Lyapunov函数：对V₁求导得：

由于在实际系统中负载参数T_L是有界的，定义T_L是未知的正常数且上限为d，即0≤T_L≤d；根据杨氏不等式可得：

其中，f₁(Z₁)＝a₁x₂x₄-x₂；对于光滑函数f₁(Z₁)，给定任意小的ε₁≥0，有极限学习机算法为H₁β₁；令f₁(Z₁)＝H₁(Z₁)β₁+δ₁(Z₁)，δ₁(Z₁)表示逼近误差，并满足|δ₁(Z₁)|≤ε₁；Z₁＝[x₂,x₄]^T，从而有：

其中，常数l₁＞0；

构建虚拟控制信号α₁：

定义补偿误差

其中，ξ(0)＝0，||ξ_g||是有界的，有常数μ＞0，常数ρ＞0，k_g为正的设计参数，g＝1,2,3,4；

根据杨氏不等式，按照公式(5)、公式(6)和公式(7)，将公式(4)改写为：

b.2根据微分方程对z₂求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₂＝z₂-ξ₂；选择Lyapunov函数：对V₂求导得：

其中，对于光滑函数f₂(Z₂)，给定ε₂≥0，有极限学习机算法H₂β₂；令f₂(Z₂)＝H₂(Z₂)β₂+δ₂(Z₂)，δ₂(Z₂)表示逼近误差，并满足|δ₂(Z₂)|≤ε₂，Z₂＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T；从而有：

其中，常数l₂＞0；

构建真实控制率u_q：

定义补偿误差

按照公式(10)、公式(11)和公式(12)，将公式(9)改写为：

b.3根据微分方程对z₃求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₃＝z₃-ξ₃；选择Lyapunov函数：对V₃求导得：

其中，f₃(Z₃)＝c₁x₃，对于光滑函数f₃(Z₃)，给定ε₃≥0，有极限学习机算法H₃β₃；令f₃(Z₃)＝H₃(Z₃)β₃+δ₃(Z₃)，δ₃(Z₃)表示逼近误差，并满足|δ₃(Z₃)|≤ε₃，从而有：

其中，常数l₃＞0；

构建虚拟控制信号α₃：

定义补偿误差

按照公式(15)、公式(16)和公式(17)，将公式(14)改写为：

b.4根据微分方程对z₄求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₄＝z₄-ξ₄；选择Lyapunov函数：对V₄求导可得：

其中，对于光滑函数f₄(Z₄)，给定ε₄≥0，有极限学习机算法H₄β₄；令f₄(Z₄)＝H₄(Z₄)β₄+δ₄(Z₄)，δ₄(Z₄)表示逼近误差，并满足|δ₄(Z₄)|≤ε₄，Z₄＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T；从而有：

其中，常数l₄＞0；

构建真实控制律u_d：

定义补偿误差

按照公式(20)、公式(21)和公式(22)，将公式(19)改写为：

c对建立的基于极限学习机的异步电机驱动系统控制方法进行稳定性分析

定义φ＝max{||β₁||²,||β₂||²,||β₃||²,||β₄||²}，为φ的估计值，构建Lyapunov函数为：对V求导可得：

选择相应的自适应律：

其中，常数r＞0，常数m＞0；

按照公式(25)，将公式(24)改写为：

同样，再由杨氏不等式可得：

按照公式(27)，将公式(26)改写为：

其中，a＝min{2k₁,2k₂,2k₃,2k₄,m}，由此可得：

因此v_g和是有界的；因为φ是常数，所以是有界的；又因为z_g＝v_g+ξ_g，||ξ_g||是有界的，因此z_g也是有界的；因此x(t)和其他所有控制信号在任何时间段内都是有界的；

由公式(29)可得：基于极限学习机算法，引入命令滤波技术，通过自适应反步控制方法所设计的控制器能保证速度的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，实现对异步电机速度高效的跟踪控制。

由以上分析得到在控制律u_q,u_d的作用下，系统的跟踪误差收敛到原点的一个充分下的邻域内，并保证其他信号有界。在虚拟环境下对所建立的基于极限学习机的异步电机驱动系统控制器进行仿真，验证所提出方法的可行性：

电机及负载参数为：

J＝0.0586Kgm²，R_s＝0.1Ω，R_r＝0.15Ω,L_s＝L_r＝0.0699H,L_m＝0.068H,n_p＝1。

选择控制律参数为：

k₁＝20，k₂＝36，k₃＝12，k₄＝16；l₁＝l₂＝l₃＝l₄＝0.01；r＝0.1；m＝0.2；ω_n＝5000，ζ＝0.5。

选择跟踪信号为：期望转子磁链信号为：x_3d＝1。

负载转矩为：

相应的仿真结果如附图所示。图2和图3分别为基于极限学习机的异步电机驱动系统控制器控制后转子角速度和转子角速度设定值的跟踪仿真图以及转子磁链和转子磁链设定值的跟踪仿真图；图4、图5分别为基于极限学习机的异步电机驱动系统控制器控制异步电机q轴定子以及异步电机d轴定子电流仿真图，通过仿真结果表明效果理想、波动小、响应速度快。

模拟信号清楚地表明，本发明提出的基于极限学习机的异步电机驱动系统控制器，可以高效地跟踪的参考信号，具有良好实际实施意义。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.基于极限学习机的异步电机驱动系统控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a建立异步电机的动态数学模型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\mathrm{\ω}}{dt}=\frac{n_p{L}_m}{L_{r}J}{\mathrm{\ψ}}_d{i}_q-\frac{T_L}{J}\\ \frac{{\mathrm{di}}_q}{dt}=-\frac{L_m^2{R}_r+L_r^2{R}_s}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r^2}{i}_q-\frac{L_m{n}_p}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r}{\mathrm{\ω\ψ}}_d-n_p{\mathrm{\ωi}}_d-\frac{L_m{R}_r}{L_r}\frac{i_q{i}_d}{{\mathrm{\ψ}}_d}+\frac{1}{{\mathrm{\σL}}_s}{u}_q\\ \frac{{\mathrm{d\ψ}}_d}{dt}=-\frac{R_r}{L_r}{\mathrm{\ψ}}_d+\frac{L_m{R}_r}{L_r}{i}_d\\ \frac{{\mathrm{di}}_d}{dt}=-\frac{L_m^2{R}_r+L_r^2{R}_s}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r^2}{i}_d+\frac{L_m{R}_r}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r^2}{\mathrm{\ψ}}_d+n_p{\mathrm{\ωi}}_q+\frac{L_m{R}_r}{L_r}\frac{i_q^2}{{\mathrm{\ψ}}_d}+\frac{1}{{\mathrm{\σL}}_s}{u}_d\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，ω、L_m、n_p、J、T_L和ψ_d分别表示转子的角速度、互感系数、极对数、转动惯量、负载系数和转子磁链，i_d和i_q表示d-q坐标系下的轴电流，u_d和u_q表示d-q坐标系下的轴电压，R_s和L_s分别表示定子电阻和电感，R_r和L_r分别表示转子电阻和电感，

为简化异步电机的动态数学模型，定义新的变量：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=\mathrm{\ω},x_2=i_q,x_3={\mathrm{\ψ}}_d,x_4=i_d\\ a_1=\frac{n_p{L}_m}{L_r}\\ b_1=-\frac{L_m^2{R}_r+L_r^2{R}_s}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r^2},b_2=-\frac{n_p{L}_m}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r},b_3=n_p,b_4=\frac{L_m{R}_r}{L_r},b_5=\frac{1}{{\mathrm{\σL}}_s}\\ c_1=-\frac{R_r}{L_r}\\ d_2=\frac{L_m{R}_r}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r^2}\end{array}\right.---\left(2\right)$

则异步电机的动态数学模型表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=\frac{a_1}{J}{x}_2{x}_3-\frac{T_L}{J}\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=b_1{x}_2+b_2{x}_1{x}_3-b_3{x}_1{x}_4-b_4\frac{x_2{x}_4}{x_3}+b_5{u}_q\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=c_1{x}_3+b_4{x}_4\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=b_1{x}_4+d_2{x}_3+b_3{x}_1{x}_2+b_4\frac{x_2^2}{x_3}+b_5{u}_d\end{array}\right.---\left(3\right)$

b设计一种异步电机驱动系统的控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₃，x₄和控制输入u_d组成的子系统；

定义命令滤波器为：

其中，均为命令滤波器的输出信号，α_u为命令滤波器的输入信号，u＝1,3；如果输入信号α_u对于所有的t≥0，使得以及成立，ρ₁和ρ₂均为正常数；同时则可得出，对任意的常数μ＞0，存在ω_n＞0且ζ∈(0,1]，使得 和是有界的；

定义跟踪误差变量为

定义x_1d为期望的速度信号，x_3d为期望的转子磁链信号；x_1,c,x_3,c为命令滤波器的输出信号；虚拟控制信号α₁,α₃为命令滤波器的输入信号；

定义β_g是极限学习机算法的输出权值向量，||β||是β_g的范数；H_g(Z_g)＝[h₁(Z_g),...,h_l(Z_g)]；其中，隐层神经元数l为整数，且l＞1，H_g(Z_g)表示极限学习机算法的隐层映射矩阵，Z_g表示隐层映射矩阵H_g(Z_g)的变量集合；h_p(Z_g)＝G_p(a_p,b_p,Z_g)，G_p(·)是激活函数，(a_p,b_p)是隐层节点参数，p为整数，且p＝1,...,l，g＝1,2,3,4；

控制方法设计的每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制信号或者真实控制律；控制方法的设计具体包括以下步骤：

b.1根据微分方程对z₁求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₁＝z₁-ξ₁；选择Lyapunov函数：对V₁求导得：

${\stackrel{\·}{V}}_1=v_1\left(f_1\right(Z_1)+x_2-T_L-J{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1)=v_1\left(f_1\right(Z_1)+z_2+(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+{\mathrm{\α}}_1-T_L-J{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1)---\left(4\right)$

由于在实际系统中负载参数T_L是有界的，定义T_L是未知的正常数且上限为d，即0≤T_L≤d；根据杨氏不等式可得：

其中，f₁(Z₁)＝a₁x₂x₄-x₂；对于光滑函数f₁(Z₁)，给定任意小的ε₁≥0，有极限学习机算法为H₁β₁；令f₁(Z₁)＝H₁(Z₁)β₁+δ₁(Z₁)，δ₁(Z₁)表示逼近误差，并满足|δ₁(Z₁)|≤ε₁；Z₁＝[x₂,x₄]^T，从而有：

$v_1{f}_1\left(Z_1\right)\≤\frac{1}{2l_1^2}{v}_1^2\left|\right|{\mathrm{\β}}_1|{|}^2{H}_1^T{H}_1+v_1^2+\frac{1}{2}{l}_1^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_1^2---\left(5\right)$

其中，常数l₁＞0；

构建虚拟控制信号α₁：

${\mathrm{\α}}_1=-k_1{z}_1-v_1-\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_2^2}{v}_1-\frac{1}{2l_1^2}{v}_1\widehat{\mathrm{\φ}}{H}_1^T{H}_1+J{\stackrel{\·}{x}}_{1d}---\left(6\right)$

定义补偿误差

其中，ξ(0)＝0，||ξ_g||是有界的，有常数μ＞0，常数ρ＞0，k_g为正的设计参数，g＝1,2,3,4；

根据杨氏不等式，按照公式(5)、公式(6)和公式(7)，将公式(4)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_1\≤-k_1{v}_1^2+v_1{v}_2+\frac{1}{2l_1^2}{v}_1^2\left(\right|\left|{\mathrm{\β}}_1\right|{|}^2-\widehat{\mathrm{\φ}})H_1^T{H}_1+\frac{1}{2}{l}_1^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_1^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2---\left(8\right)$

b.2根据微分方程对z₂求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₂＝z₂-ξ₂；选择Lyapunov函数：对V₂求导得：

${\stackrel{\·}{V}}_2={\stackrel{\·}{V}}_1+v_2({\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_2)={\stackrel{\·}{V}}_1+v_2\left(f_2\right(Z_2)+b_5{u}_q-{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_2)---\left(9\right)$

其中，对于光滑函数f₂(Z₂)，给定ε₂≥0，有极限学习机算法H₂β₂；令f₂(Z₂)＝H₂(Z₂)β₂+δ₂(Z₂)，δ₂(Z₂)表示逼近误差，并满足|δ₂(Z₂)|≤ε₂，Z₂＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T；从而有：

$v_2{f}_2\left(Z_2\right)\≤\frac{1}{2l_2^2}{v}_2^2\left|\right|{\mathrm{\β}}_2|{|}^2{H}_2^T{H}_2+v_2^2+\frac{1}{2}{l}_2^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_2^2---\left(10\right)$

其中，常数l₂＞0；

构建真实控制率u_q：

$u_q=\frac{1}{b_5}(-k_2{z}_2-v_1-v_2-\frac{1}{2l_2^2}{v}_2\widehat{\mathrm{\φ}}{H}_2^T{H}_2+{\stackrel{\·}{x}}_{1,c})---\left(11\right)$

定义补偿误差

按照公式(10)、公式(11)和公式(12)，将公式(9)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_2\≤-\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=1}{\overset{2}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|{\mathrm{\β}}_j\right|{|}^2-\widehat{\mathrm{\φ}})H_j^T{H}_j+\underset{e=1}{\overset{2}{\Σ}}(\frac{1}{2}{l}_e^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_e^2)+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2---\left(13\right)$

b.3根据微分方程对z₃求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₃＝z₃-ξ₃；选择Lyapunov函数：对V₃求导得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_3=V_2+v_3\left(f_3\right(Z_3)+b_4{x}_4-{\stackrel{\·}{x}}_{3d}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_3)\\ ={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3\left(f_3\right(Z_3)+b_4{z}_4+b_4(x_{3,c}-{\mathrm{\α}}_3)+b_4{\mathrm{\α}}_3-{\stackrel{\·}{x}}_{3d}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_3)\end{array}---\left(14\right)$

其中，f₃(Z₃)＝c₁x₃，对于光滑函数f₃(Z₃)，给定ε₃≥0，有极限学习机算法H₃β₃；令f₃(Z₃)＝H₃(Z₃)β₃+δ₃(Z₃)，δ₃(Z₃)表示逼近误差，并满足|δ₃(Z₃)|≤ε₃，从而有：

$v_3{f}_3\left(Z_3\right)\≤\frac{1}{2l_3^2}{v}_3^2\left|\right|{\mathrm{\β}}_3|{|}^2{H}_3^T{H}_3+v_3^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_3^2---\left(15\right)$

其中，常数l₃＞0；

构建虚拟控制信号α₃：

${\mathrm{\α}}_3=\frac{1}{b_4}(-k_3{z}_3-v_3+{\stackrel{\·}{x}}_{3d}-\frac{1}{2l_3^2}{v}_3\widehat{\mathrm{\φ}}{H}_3^T{H}_3)---\left(16\right)$

定义补偿误差

按照公式(15)、公式(16)和公式(17)，将公式(14)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_3\≤-\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+b_4{v}_3{v}_4+\underset{j=1}{\overset{3}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|{\mathrm{\β}}_j\right|{|}^2-\widehat{\mathrm{\φ}})H_j^T+\underset{e=1}{\overset{3}{\Σ}}(\frac{l_e^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_e^2}{4})+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2---\left(18\right)$

b.4根据微分方程对z₄求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₄＝z₄-ξ₄；选择Lyapunov函数：对V₄求导可得：

${\stackrel{\·}{V}}_4={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4\left(f_4\right(Z_4)+b_5{u}_d-{\stackrel{\·}{x}}_{3,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4+b_4{v}_3)---\left(19\right)$

其中，对于光滑函数f₄(Z₄)，给定ε₄≥0，有极限学习机算法H₄β₄；令f₄(Z₄)＝H₄(Z₄)β₄+δ₄(Z₄)，δ₄(Z₄)表示逼近误差，并满足|δ₄(Z)|≤ε₄，Z₄＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T；从而有：

$v_4{f}_4\left(Z_4\right)\≤\frac{1}{2l_4^2}{v}_4^2\left|\right|{\mathrm{\β}}_4|{|}^2{H}_4^T{H}_4+v_4^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_4^2---\left(20\right)$

其中，常数l₄＞0；

构建真实控制律u_d：

$u_d=\frac{1}{b_5}(-k_4{z}_4-b_4{v}_3-v_4-\frac{1}{2l_4^2}{v}_4\widehat{\mathrm{\φ}}{H}_4^T{H}_4+{\stackrel{\·}{x}}_{3,c})---\left(21\right)$

定义补偿误差

按照公式(20)、公式(21)和公式(22)，将公式(19)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_4\≤-\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=1}{\overset{4}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|{\mathrm{\β}}_j\right|{|}^2-\widehat{\mathrm{\φ}})H_j^T{H}_j+\underset{e=1}{\overset{4}{\Σ}}(\frac{l_e^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_e^2}{4})+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2---\left(23\right)$

c对建立的基于极限学习机的异步电机驱动系统控制方法进行稳定性分析

定义φ＝max{||β₁||²,||β₂||²,||β₃||²,||β₄||²}， 为φ的估计值，构建Lyapunov函数为：对V求导可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}={\stackrel{\·}{V}}_4+\frac{1}{r}{\widetilde{\mathrm{\φ}}}^T(-\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\φ}}})\\ \≤-\underset{i=2}{\overset{4}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=1}{\overset{4}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2+\frac{1}{r}\widetilde{\mathrm{\φ}}(\underset{e=1}{\overset{4}{\Σ}}\frac{1}{2l_e^2}{\mathrm{rv}}_e^2{H}_e^T{H}_e-\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\φ}}})\end{array}---\left(24\right)$

选择相应的自适应律：

其中，常数r＞0，常数m＞0；

按照公式(25)，将公式(24)改写为：

$\stackrel{\·}{V}\≤-\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=1}{\overset{4}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2+\frac{m}{r}{\widetilde{\mathrm{\φ}}}^T\widehat{\mathrm{\φ}}---\left(26\right)$

同样，再由杨氏不等式可得：

${\widetilde{\mathrm{\φ}}}^T\widehat{\mathrm{\φ}}\≤-\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\φ}}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\φ}}^2---\left(27\right)$

按照公式(27)，将公式(26)改写为：

$\stackrel{\·}{V}\≤-\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=1}{\overset{4}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2-\frac{m}{2r}{\widetilde{\mathrm{\φ}}}^2+\frac{m}{2r}{\mathrm{\φ}}^2\≤-aV+b---\left(28\right)$

其中，a＝min{2k₁,2k₂,2k₃,2k₄,m}，由此可得：

$V\left(t\right)\≤\[V\left(t_0\right)-\frac{b}{a}\]e^{-a(t-t_0)}+\frac{b}{a}\≤V\left(t_0\right)+\frac{b}{a},\∀t\≥t_0---\left(29\right)$

因此v_g和是有界的；因为φ是常数，所以是有界的；又因为z_g＝v_g+ξ_g，||ξ_g||是有界的，因此z_g也是有界的；因此x(t)和其他所有控制信号在任何时间段内都是有界的；

由公式(29)可得：