CN110112738B - 一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法，通过模糊逻辑系统逼近电压源型直流输电变流系统电网侧变流器系统中未知的非线性项；引入命令滤波技术解决了反步控制技术中不可避免的“计算爆炸”问题，通过引入滤波补偿机制减小了滤波器的误差，同时命令滤波技术对高次谐波具有良好的抑制作用；通过引入自适应控制技术能够解决系统参数未知以及不确定扰动介入的问题；在本发明控制方法下，控制器中只存在一个自适应参数，减少在线计算负担，利于工程实践。仿真结果表明，本发明能够实现对功率的快速、稳定地响应，实现对电网侧变流器的控制。

Description

一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法

技术领域

本发明属于直流输电变流控制技术领域，尤其涉及一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法。

背景技术

从20世纪50年代以来，高压直流输电技术快速发展，高压直流输电具有调节快速、输电损耗小、运行稳定和自防护能力强等优势，其被普遍运用到电力的远程输送工程中，远程传送电力会采用电压源型直流输电变流器接入电网。由于电力系统中存在大量的非线性元件，从而高压直流输电系统是一个非线性系统，非线性原件在电力设备中使用较多，从而导致电网中出现高次谐波，在实际工程中为了抑制高次谐波，往往采用加装滤波器等方式，同时变流器系统中有不确定扰动的介入，以上条件使得传统的系统的控制器设计方法经常不能满足实际的工程要求。近年来，模糊控制，自适应控制，反步控制和一些其他的控制方法被运用到直流输电变流器系统的研究中。但是高压直流输电系统具有非线性、参数不确定的问题，模糊控制于1974年被Lotfi A.Zadeh创立，模糊控制对于不明确的系统具有较好的控制效果，通过模糊逻辑逼近非线性系统系统中的非线性项，对于高压直流输电系统中参数不确定的问题可采用自适应控制技术解决，在电力系统中某些状态变量通常使用传感器测量，而传感器检测的状态变量具有环境适应性差、精度差和成本高的问题，基于自适应的反步控制方法能够解决系统参数未知以及不确定扰动介入的问题，代替了传感器检测的过程，大大的降低了硬件成本，命令滤波反步控制技术中命令滤波器的输出能够跟踪虚拟控制函数的导数，从而解决了传统反步技术中“计算爆炸”的问题，通过引入滤波补偿机制减小了命令滤波器的误差，进而提高了系统的综合性能。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法，以便使输出快速的跟踪期望值，实现电网侧变流器的控制。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法，包括如下步骤：

a电压源型直流输电变流系统中电网侧变流器的数学模型为：

其中，u_cd和u_cq为三相滤波电容器电压的d-q轴分量，u_d和u_q为变流器交流侧电压的d-q轴分量，i_1d，i_1q，i_2d，i_2q为变流器交流侧电流与电网侧三相电流d-q轴分量，ω为电网角频率，E_sd为电网电压d轴分量，C₂为滤波电容，L₁和L₂为滤波电抗，R₁为直流侧电容的等效电阻，R₂为滤波电容等效电阻；由变流器的数学模型，定义如下变量：

将同步旋转的d-q坐标系中的系统的数学模型转换为：

b根据命令滤波技术和自适应模糊反步法原理设计一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁,x₂,x₃和控制输入u_d组成的子系统及状态变量x₄,x₅,x₆和控制输入u_q组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_z中是一个连续函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

其中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q表示实数向量集；W∈R^I是模糊权向量，模糊节点数I>1，R^I表示实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_I(Z)]^T∈R^I为基函数向量，定义常数w＞0；

通常选取基函数S_j(Z)如下高斯函数：

式中，μ_j是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_j则为其宽度；

定义命令滤波器为

如果输入信号α₁满足

和

对于所有的t≥0均成立，则对于任意μ＞0，必然存在正数ω_n＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ₁-α₁|≤μ，

和|φ₁|都是有界的，φ₁和φ₂为实数；

其中，ρ₁和ρ₂是正的常量，并且φ₁(0)＝α₁(0)，φ₂(0)＝0；

根据反步法原理定义如下误差变量：

其中，x_1d和x_2d为给定期望信号，滤波器的输入信号是虚拟控制函数α₁,α₂,α₄,α₅，滤波器的输出信号是x_1,c,x_2,c,x_4,c,x_5,c，定义ξ_if＝z_if-v_if if＝1,2,3,4,5,6，ξ_if为滤波器的误差补偿信号；

虚拟控制函数和滤波器的误差补偿信号的具体结构将在下面的设计过程中给出：

b.1取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，定义T₁是未知的正常数且上限为d＞0，0≤|T₁|≤d；

根据杨氏不等式有：

其中，

Z₁＝[x₁,x₄,v₁]，常数ε₁＞0；

根据万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统W₁ ^TS₁(Z₁)使得f₁(Z₁)＝W₁ ^TS₁(Z₁)+δ₁(Z₁)，其中，δ₁(Z₁)表示逼近误差，并满足不等式|δ₁(Z₁)|≤ε₂，从而：

其中，||W₁||为模糊权向量W₁的范数，l₁为正数；

选取虚拟控制函数α₁和误差补偿信号ξ₁，即：

其中，常数k₁＞0，θ的定义在后面给出，

为θ的估计值；

将公式(5)和(6)代入公式(4)，有：

b.2取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₂＝[x₁,x₅]；

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₃＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₂(Z₂)，使得

其中|δ₂(Z₂)|≤ε₃，得到：

其中，||W₂||为模糊权向量W₂的范数，l₂为正数；

选取虚拟控制函数α₂和误差补偿信号ξ₂，即：

其中，常数k₂＞0；

将公式(9)和公式(8)代入公式(7)，有：

b.3取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₃＝[x₃,x₂,x₆]；

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₄＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₃(Z₃)，使得f₃(Z₃)＝W₃ ^TS₃(Z₃)+δ₃(Z₃)，其中|δ₃(Z₃)|≤ε₄，得到：

其中，||W₃||为模糊权向量W₃的范数，l₃为正数；

选取真实控制律u_d和误差补偿信号ξ₃，即：

其中，常数k₃＞0；

将公式(12)和公式(11)代入公式(10)，有：

b.4取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，f₄(Z₄)＝b₂x₄+ωx₁，Z₄＝[x₁,x₄]；

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₅＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₄(Z₄)，使得

其中|δ₄(Z₄)|≤ε₅，得到：

其中，||W₄||为模糊权向量W₄的范数，l₄为正数；

选取虚拟控制函数α₄和误差补偿信号ξ₄，即：

其中，常数k₄＞0；

将公式(15)和公式(14)代入公式(13)，有：

b.5取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₅＝[x₂,x₄]；

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₆＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₅(Z₅)，使得f₅(Z₅)＝W₅ ^TS₅(Z₅)+δ₅(Z₅)，其中，|δ₅(Z₅)|≤ε₆，从而：

其中，||W₅||为模糊权向量W₅的范数，l₅为正数；

选取虚拟控制函数α₅和误差补偿信号ξ₅，即：

其中，常数k₅＞0；

将公式(17)和公式(18)代入式(16)，有：

b.6取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₆＝[x₃,x₅,x₆]；

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₇＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₆(Z₆)，使得

其中|δ₆(Z₆)|≤ε₇，得到：

其中，||W₆||为模糊权向量W₆的范数，l₆为正数；

选取真实控制律u_q和误差补偿信号ξ₆，即：

其中，常数k₆＞0；

将公式(20)和公式(21)代入公式(19)，有：

定义θ＝max{||W₁||²，||W₂||²，||W₃||²，||W₄||²，||W₅||²，||W₆||²}，

是θ的估计值，θ的估计误差为

由此可得：

选取系统的Lyapunov函数

对其求导得：

选取自适应律：

其中，m₁，r₁均为正数；

c下面对建立的基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法进行稳定性分析

将公式(23)代入公式(22)有：

由杨氏不等式可知：

将公式(25)代入公式(24)有：

其中：a＝min{2k₁,2k₂,2k₃,2k₄,2k₅,2k₆,m₁}；

由上式可得：

由上式表明v_if和

二者均在属于紧集

闭环系统中信号v_if是有界的，推导可得滤波器的误差补偿信号ξ_if满足

其中：

因为z_if＝v_if+ξ_if，且ξ_if是有界的，因此系统的跟踪误差z_if是有界的；

由公式(26)可得，

通过该公式(26)可知，系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，同时其他信号保持有界。

本发明具有如下优点：

(1)电压源型直流输电变流系统电网侧变流器在控制律的作用下，系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，同时其他信号保持有界。

(2)本发明模糊逻辑系统处理电压源型直流输电变流系统电网侧变流器系统中未知的非线性项，其算法本身可以通过编程软件实现。

(3)通过引入命令滤波技术解决了电压源型直流输电变流系统电网侧变流器反步控制中存在的“计算爆炸”问题，通过引入滤波补偿机制减小了滤波器的误差，同时命令滤波技术对高次谐波具有良好的抑制作用。

(4)本发明不需要根据变流器的不同而改变控制参数，原理上可以实现对所有变流器有功功率和无功功率的控制，通过引入自适应控制，代替了运用传感器来检测系统中的状态变量，节约了运行成本的同时利于实现变流器电网侧功率调节的快速响应。

(5)控制信号u_q、u_d中只存在一个自适应参数

减少在线计算负担，利于工程实践。

附图说明

图1为本发明中由电网侧变流器自适应模糊命令滤波反步控制器、电压检测单元和电流检测单元组成的被控对象示意图。

图2为电压源型直流输电变流器电网侧变流器有功功率跟踪仿真图。

图3为电压源型直流输电变流器电网侧变流器有功功率跟踪误差仿真图。

图4为电压源型直流输电变流器电网侧变流器无功功率跟踪仿真图。

图5为电压源型直流输电变流器电网侧变流器无功功率跟踪误差仿真图。

图6为变流器交流侧的d轴电压仿真图。

图7为变流器交流侧的q轴电压仿真图。

图8为稳态时电网侧的U相电压和电流仿真图。

图9为自适应模糊命令滤波反步法控制下U相电压频谱分析图。

具体实施方式

本发明的基本思想为：

利用模糊逻辑系统逼近电网侧变流器系统中未知的非线性项，通过自适应控制技术解决参数不确定的问题，使用命令滤波反步技术解决传统反步控制方法中“计算爆炸”的问题，同时抑制系统中的高次谐波，引入误差补偿信号解决了滤波误差的影响，与传统反步法相比，本发明能够使输出快速的跟踪期望值，实现电压源型直流输电变流系统电网侧变流器的控制。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

结合图1所示，一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法，其采用的部件包括电网侧变流器自适应模糊命令滤波反步控制器1、电压检测单元2与电流检测单元3。

其中，电压检测单元2主要用于检测电压源型直流输电变流系统电网侧变流器的电压值相关变量，电流检测单元3主要用于检测电压源型直流输电变流系统电网侧变流器的电流值相关变量，通过实际检测量的电流值和电压值作为输入，通过电网侧变流器自适应模糊命令滤波反步控制器1进行电流控制，从而控制变流器的输出功率。

一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法，包括如下步骤：

a电压源型直流输电变流系统中电网侧变流器的数学模型为：

其中，u_cd和u_cq为三相滤波电容器电压的d-q轴分量，u_d和u_q为变流器交流侧电压的d-q轴分量，i_1d，i_1q，i_2d，i_2q为变流器交流侧电流与电网侧三相电流d-q轴分量，ω为电网角频率，E_sd为电网电压d轴分量，C₂为滤波电容，L₁和L₂为滤波电抗，R₁为直流侧电容的等效电阻，R₂为滤波电容等效电阻。由变流器的数学模型，定义如下变量：

将同步旋转的d-q坐标系中的系统的数学模型转换为：

b根据命令滤波技术和自适应模糊反步法原理设计一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁,x₂,x₃和控制输入u_d组成的子系统及状态变量x₄,x₅,x₆和控制输入u_q组成的子系统。

假设f(Z)在紧集Ω_z中是一个连续函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

其中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q表示实数向量集；W∈R^I是模糊权向量，模糊节点数I>1，R^I表示实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_I(Z)]^T∈R^I为基函数向量，定义常数w＞0。

通常选取基函数S_j(Z)如下高斯函数：

式中，μ_j是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_j则为其宽度。

定义命令滤波器为

如果输入信号α₁满足

和

对于所有的t≥0均成立，则对于任意μ＞0，必然存在正数ω_n＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ₁-α₁|≤μ，

和|φ₁|都是有界的，φ₁和φ₂为实数。

其中，ρ₁和ρ₂是正的常量，并且φ₁(0)＝α₁(0)，φ₂(0)＝0。

根据反步法原理定义如下误差变量：

其中，x_1d和x_2d为给定期望信号，滤波器的输入信号是虚拟控制函数α₁,α₂,α₄,α₅，滤波器的输出信号是x_1,c,x_2,c,x_4,c,x_5,c，定义ξ_if＝z_if-v_if if＝1,2,3,4,5,6，ξ_if为滤波器的误差补偿信号。

虚拟控制函数和滤波器的误差补偿信号的具体结构将在下面的设计过程中给出：

b.1取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，定义T₁是未知的正常数且上限为d＞0，0≤|T₁|≤d。

根据杨氏不等式有：

其中，

Z₁＝[x₁,x₄,v₁]，常数ε₁＞0。

根据万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统W₁ ^TS₁(Z₁)使得f₁(Z₁)＝W₁ ^TS₁(Z₁)+δ₁(Z₁)，其中，δ₁(Z₁)表示逼近误差，并满足不等式|δ₁(Z₁)|≤ε₂，从而：

其中，||W₁||为模糊权向量W₁的范数，l₁为正数。

选取虚拟控制函数α₁和误差补偿信号ξ₁，即：

其中，常数k₁＞0，θ的定义在后面给出，

为θ的估计值。

将公式(5)和(6)代入公式(4)，有：

b.2取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₂＝[x₁,x₅]。

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₃＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₂(Z₂)，使得

其中|δ₂(Z₂)|≤ε₃，得到：

其中，||W₂||为模糊权向量W₂的范数，l₂为正数。

选取虚拟控制函数α₂和误差补偿信号ξ₂，即：

其中，常数k₂＞0。

将公式(9)和公式(8)代入公式(7)，有：

b.3取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₃＝[x₃,x₂,x₆]。

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₄＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₃(Z₃)，使得f₃(Z₃)＝W₃ ^TS₃(Z₃)+δ₃(Z₃)，其中|δ₃(Z₃)|≤ε₄，得到：

其中，||W₃||为模糊权向量W₃的范数，l₃为正数。

选取真实控制律u_d和误差补偿信号ξ₃，即：

其中，常数k₃＞0。

将公式(12)和公式(11)代入公式(10)，有：

b.4取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，f₄(Z₄)＝b₂x₄+ωx₁，Z₄＝[x₁,x₄]。

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₅＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₄(Z₄)，使得

其中|δ₄(Z₄)|≤ε₅，得到：

其中，||W₄||为模糊权向量W₄的范数，l₄为正数。

选取虚拟控制函数α₄和误差补偿信号ξ₄，即：

其中，常数k₄＞0。

将公式(15)和公式(14)代入公式(13)，有：

b.5取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₅＝[x₂,x₄]。

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₆＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₅(Z₅)，使得

其中，|δ₅(Z₅)|≤ε₆，从而：

其中，||W₅||为模糊权向量W₅的范数，l₅为正数。

选取虚拟控制函数α₅和误差补偿信号ξ₅，即：

其中，常数k₅＞0。

将公式(17)和公式(18)代入式(16)，有：

b.6取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₆＝[x₃,x₅,x₆]。

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₇＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₆(Z₆)，使得

其中|δ₆(Z₆)|≤ε₇，得到：

其中，||W₆||为模糊权向量W₆的范数，l₆为正数。

选取真实控制律u_q和误差补偿信号ξ₆，即：

其中，常数k₆＞0。

将公式(20)和公式(21)代入公式(19)，有：

定义θ＝max{||W₁||²，||W₂||²，||W₃||²，||W₄||²，||W₅||²，||W₆||²}，

是θ的估计值，θ的估计误差为

由此可得：

选取系统的Lyapunov函数

对其求导得：

选取自适应律：

其中，m₁，r₁均为正数。

c下面对建立的基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法进行稳定性分析

将公式(23)代入公式(22)有：

由杨氏不等式可知：

将公式(25)代入公式(24)有：

其中：a＝min{2k₁,2k₂,2k₃,2k₄,2k₅,2k₆,m₁}。

由上式可得：

由上式表明v_if和

二者均在属于紧集

闭环系统中信号v_if是有界的，推导可得滤波器的误差补偿信号ξ_if满足

其中：

因为z_if＝v_if+ξ_if，且ξ_if是有界的，因此系统的跟踪误差z_if是有界的。

由公式(26)可得，

通过该公式(26)可知，系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，同时其他信号保持有界。

在虚拟环境下对所建立的电网侧变流器自适应模糊命令滤波反步控制器进行仿真，验证所提出的基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法的可行性。

系统模型中选定的参数如下：

L₁＝0.006H,L₂＝0.0017H,C₂＝0.00006F,R₁＝0.25Ω,R₂＝0.25Ω,ω＝314,E_sd＝35000V。

选取的模糊集为：

选择控制律参数为：

k₁＝116,k₂＝22,k₃＝61111,k₄＝121,k₅＝1100,k₆＝101,

l₁＝0.5,l₂＝0.5,l₃＝0.5,l₄＝0.5,l₅＝0.5,l₆＝0.5,

m₁＝0.001,r₁＝0.05。

选取命令滤波器的参数如下：

ω_n＝0.01,ζ＝150。

仿真中给定系统跟踪期望信号，其中：

有功功率的期望值为0.6p.u.，无功功率给的期望值为-0.6p.u。

相应的仿真结果如附图2-9所示。其中：

图2、3为电压源型直流输电变流器电网侧变流器有功功率跟踪波形和有功功率跟踪误差仿真图，通过仿真结果表明效果理想，跟踪效果理想，响应速度快。

图4、5为电压源型直流输电变流器电网侧变流器无功功率跟踪波形和无功功率跟踪误差仿真图，通过仿真结果表明效果理想，跟踪效果理想，响应速度快。

图6、7为交流侧变流器电压的d轴分量和q轴分量仿真图。仿真结果表明交流侧变流器电压在系统稳态时保持在一定的范围内。

图8为稳态时电网侧的U相电压和电流波形，二者相位相反，功率因数为1。

图9为自适应模糊命令滤波反步法控制下U相电压的频谱分析，结果表明电压谐波总畸变率满足并网要求。综上，本发明能够实现对功率的快速、稳定地响应。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a电压源型直流输电变流系统中电网侧变流器的数学模型为：

其中，u_cd和u_cq为三相滤波电容器电压的d-q轴分量，u_d和u_q为变流器交流侧电压的d-q轴分量，i_1d，i_1q，i_2d，i_2q为变流器交流侧电流与电网侧三相电流d-q轴分量，ω为电网角频率，E_sd为电网电压d轴分量，C₂为滤波电容，L₁和L₂为滤波电抗，R₁为直流侧电容的等效电阻，R₂为滤波电容等效电阻；由变流器的数学模型，定义如下变量：

将同步旋转的d-q坐标系中的系统的数学模型转换为：

b根据命令滤波技术和自适应模糊反步法原理设计一种基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁,x₂,x₃和控制输入u_d组成的子系统及状态变量x₄,x₅,x₆和控制输入u_q组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_z中是一个连续函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

其中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q表示实数向量集；W∈R^I是模糊权向量，模糊节点数I>1，R^I表示实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_I(Z)]^T∈R^I为基函数向量，定义常数w＞0；

通常选取基函数S_j(Z)如下高斯函数：

式中，μ_j是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_j则为其宽度；

定义命令滤波器为:

如果输入信号α₁满足

和

对于所有的t≥0均成立，则对于任意μ＞0，必然存在正数ω_n＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ₁-α₁|≤μ，

和|φ₁|都是有界的，φ₁和φ₂为实数；

其中，ρ₁和ρ₂是正的常量，并且φ₁(0)＝α₁(0)，φ₂(0)＝0；

根据反步法原理定义如下误差变量：

其中，x_1d和x_2d为给定期望信号，滤波器的输入信号是虚拟控制函数α₁,α₂,α₄,α₅，滤波器的输出信号是x_1,c,x_2,c,x_4,c,x_5,c，定义ξ_if＝z_if-v_if，if＝1,2,3,4,5,6，ξ_if为滤波器的误差补偿信号；

虚拟控制函数和滤波器的误差补偿信号的具体结构将在下面的设计过程中给出：

b.1取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，定义T₁是未知的正常数且上限为d＞0，0≤|T₁|≤d；

根据杨氏不等式有：

其中，

Z₁＝[x₁,x₄,v₁]，常数ε₁＞0；

根据万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统W₁ ^TS₁(Z₁)使得f₁(Z₁)＝W₁ ^TS₁(Z₁)+δ₁(Z₁)，其中，δ₁(Z₁)表示逼近误差，并满足不等式|δ₁(Z₁)|≤ε₂，从而：

其中，||W₁||为模糊权向量W₁的范数，l₁为正数；

选取虚拟控制函数α₁和误差补偿信号ξ₁，即：

其中，常数k₁＞0，θ的定义在后面给出，

为θ的估计值；

将公式(5)和(6)代入公式(4)，有：

b.2取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₂＝[x₁,x₅]；

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₃＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₂(Z₂)，使得

其中|δ₂(Z₂)|≤ε₃，得到：

其中，||W₂||为模糊权向量W₂的范数，l₂为正数；

选取虚拟控制函数α₂和误差补偿信号ξ₂，即：

其中，常数k₂＞0；

将公式(9)和公式(8)代入公式(7)，有：

b.3取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₃＝[x₃,x₂,x₆]；

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₄＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₃(Z₃)，使得

其中|δ₃(Z₃)|≤ε₄，得到：

其中，||W₃||为模糊权向量W₃的范数，l₃为正数；

选取真实控制律u_d和误差补偿信号ξ₃，即：

其中，常数k₃＞0；

将公式(12)和公式(11)代入公式(10)，有：

b.4取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，f₄(Z₄)＝b₂x₄+ωx₁，Z₄＝[x₁,x₄]；

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₅＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₄(Z₄)，使得

其中|δ₄(Z₄)|≤ε₅，得到：

其中，||W₄||为模糊权向量W₄的范数，l₄为正数；

选取虚拟控制函数α₄和误差补偿信号ξ₄，即：

其中，常数k₄＞0；

将公式(15)和公式(14)代入公式(13)，有：

b.5取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₅＝[x₂,x₄]；

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₆＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₅(Z₅)，使得

其中，|δ₅(Z₅)|≤ε₆，从而：

其中，||W₅||为模糊权向量W₅的范数，l₅为正数；

选取虚拟控制函数α₅和误差补偿信号ξ₅，即：

其中，常数k₅＞0；

将公式(17)和公式(18)代入式(16)，有：

b.6取Lyapunov函数

求导后可得：

其中，

Z₆＝[x₃,x₅,x₆]；

由万能逼近定理，对于任意给定的常数ε₇＞0，再次利用模糊逻辑系统逼近非线性函数f₆(Z₆)，使得

其中|δ₆(Z₆)|≤ε₇，得到：

其中，||W₆||为模糊权向量W₆的范数，l₆为正数；

选取真实控制律u_q和误差补偿信号ξ₆，即：

其中，常数k₆＞0；将公式(20)和公式(21)代入公式(19)，有：

定义θ＝max{||W₁||²，||W₂||²，||W₃||²，||W₄||²，||W₅||²，||W₆||²}，

是θ的估计值，θ的估计误差为

由此可得：

选取系统的Lyapunov函数

对其求导得：

选取自适应律：

其中，m₁，r₁均为正数；

c下面对建立的基于命令滤波的直流输电变流器模糊控制方法进行稳定性分析

将公式(23)代入公式(22)有：

由杨氏不等式可知：

将公式(25)代入公式(24)有：

其中：a＝min{2k₁,2k₂,2k₃,2k₄,2k₅,2k₆,m₁}；

由上式可得：

由上式表明v_if和

二者均在属于紧集

闭环系统中信号v_if是有界的，推导可得滤波器的误差补偿信号ξ_if满足

其中：

因为z_if＝v_if+ξ_if，且ξ_if是有界的，因此系统的跟踪误差z_if是有界的；

由公式(26)可得，

通过该公式(26)可知，系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，同时其他信号保持有界。

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