CN107065540A - 一种基于神经网络的自适应动态面分布控制方法 - Google Patents

一种基于神经网络的自适应动态面分布控制方法 Download PDF

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CN107065540A CN201710152643.1A CN201710152643A CN107065540A CN 107065540 A CN107065540 A CN 107065540A CN 201710152643 A CN201710152643 A CN 201710152643A CN 107065540 A CN107065540 A CN 107065540A
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Abstract

本发明是一种用于多机励磁系统的基于神经网络的自适应动态面分布控制方法,其特点是，将RBF神经网络用于逼近子系统的未知非线性动态及补偿未知非线性关联项，所提方法的主要优点为：通过引入误差传递函数，功率角的跟踪误差可以保持在规定的性能曲线内，因此，跟踪误差的暂态性能可以得到保证；通过使用神经网络的方法，控制系统的结构及不同的激发子系统之间的关联项可以完全未知；代替估计加权向量本身，对神经网络的加权向量范数进行估计，从而大大减少计算负担，使多机励磁系统中的所有信号都是半全局一致最终有界的。使得提出方法更适合于实时控制。

Description

一种基于神经网络的自适应动态面分布控制方法
技术领域
本发明涉及电力系统控制与分析领域，是一种基于神经网络的自适应动态面分布控制方法。适用于多机励磁系统的实时控制。
背景技术
随着电力系统规模的不断扩大和大面积互联电网的不断发展，由于电力相关设备和电力系统中部件的复杂、高度非线性、快速暂态性的特点，电力系统鲁棒控制的研究受到了高度关注。在过去的十年里，在复杂的非线性系统中，整个系统的控制采用集中控制方案，然而由于经济和技术等因素的影响，它的应用受到了很大限制。为了解决这些问题并制定实际的实施方案，一些分散控制方案被提出，其中只有部分状态和测量符合控制器的设计要求。电力系统的传统分散控制策略是基于线性系统模型在某些操作点的状态而设计的，然而当系统的状态远离选定的平衡工作点时就无法保证跟踪性能。对于非线性多机电力系统，在已提出的控制方案中，一种分散自适应反推励磁控制器被应用于多机电力系统，用电功率偏差的多项式来表示每个机器间的互联项，用粒子群算法调节控制器增益。还有专为多机电力系统的暂态稳定性增强而设计了基于观测器的励磁控制器方案。通过基于一类非线性电力系统模型的部分反馈线性化的最优控制理论来设计线性状态反馈稳定控制器，将该模型转化为降阶线性模型并从非线性观测器来获得状态反馈。虽然这些方法能够提高电力系统的暂态性能，但都无法保证跟踪性能。
近年来，神经网络因其对连续函数良好的逼近性能，被广泛应用于分散控制器的设计中。在已提出的方案中，一种稳定一类非线性系统的自适应控制方案，利用神经网络逼近子系统的未知非线性动态及补偿未知的非线性关联项。这些方法的优点是控制系统的结构和参数可以完全未知，扩展了分散控制策略的应用范围，但跟踪性能无法保证，且计算负担巨大，不适用于实际设备，尤其是在电力系统中的应用。本发明提出的神经网络的自适应动态面分布控制方法用于多机励磁系统中，既能够保证跟踪性能，又能够大大减少计算负担，更适合于实时控制。
发明内容
本发明的目的是克服现有技术的不足，提出一种科学合理，简单适用，效果佳，特别适用于具有SVC设备的多机励磁系统实时控制的神经网络自适应动态面分布控制方法。
实现本发明目的采用的技术方案是，一种基于神经网络的自适应动态面分布控制方法，其特征是，它包括以下内容：
1)对于发电机励磁系统
(1)建立数学模型
由网络互联且具有静态无功补偿器的n个发电机构成的多机电力系统的数学模型为式(1)-式(3)：
电气方程：
静态无功补偿器(SVC)模型：
其中：i＝1,2,...,n,表示发电机的数量；δi是功率角的弧度；ωi是相对速度，单位是rad/s；ω0是同步机速度，单位是rad/s；Di是单位阻尼常数；Hi是惯性常数；Pmi是机械输入功率，单位是p.u.(perunit)；Pei是电源，单位是p.u.；E′qi是q轴内部暂态电位，单位是p.u.；Eqi是正交轴的电动势，单位是p.u.；Efi是励磁线圈等效电动势，单位是p.u.；xadi是励磁线圈和定子线圈之间的相互电抗，单位是p.u.；T′d0i是直轴暂态短路时间常数，单位是s；Qei是无功功率，单位是p.u.；Iqi是正交轴电流，单位是p.u.；Idi是直轴电流，单位是p.u.；Bij是在消除所有物理总线之后，第ith行第jth列柱单元节点suseptancen矩阵的列元素，即柱单元，单位是p.u.；xdi是直轴电抗，单位是p.u.；x'di是直轴暂态电抗，单位是p.u.；TCi是调节系统和静态无功补偿器的时间常数；uBi是静态无功补偿器的输入；BLi是静态无功补偿器中的可调等效电纳；BCi是可调电纳的初始值；di表示负载变化或机械输入功率增加所导致的持续的扰动；
(2)励磁控制器的设计模型
令ΔPei＝Pei-Pmi0其中Pmi0＝Pmi是一个常数，变换模型为：
ui是控制信号，
ui＝IqiEfi-(xdi-x′di)IdiIqi-Pmi-T′d0iQeiωi. (5)
并且
表示互联项满足
从式(3)得出
Pei＝E’qiIqi,Qei＝-E’qiIdi, (8)
其中E'qi,Iqi,和Idi通过计算得出，通过式(5)得到实际控制信号Efi，
令xi1＝δi-δi0,xi2＝ωi-ω0,xi3＝Pei,xi4＝Vmi其中
是SVC的访问点电压，X1i＝x′di+XTi,X′d∑i＝X1i+X2i+X1iX2i(BLi-BCi),X2i是传输线电抗，XTi是变压器电抗；
从式(5)-式(9)，在式(4)的多机电力系统模型中加入式(3)的静态无功补偿器，得到：
其中yi1和yi2是多机电力系统模型和SVC设备的输出，
u′Bi＝-xi4uBi
其中Xd∑i＝X3i+X2i+X3iX2i(BLi-BCi),X3i＝xdi+XTi.
对于受控的多机电力系统式(7)，下列假设是必要的：
假设1.参考信号yri是光滑有界的；属于一个所有t≥0的紧致集；
假设2.存在常数gmin和gmax，使得gmin≤gij≤gmax，i＝1,2,...,n,j＝2,3；
其中，由于参考信号yri总是有界的，gij,j＝2,3是未知的常数，所以假设1和假设2是合理的，它们也是动态面控制方案中的常见假设，
(3)径向基函数神经网络(RBFNNs)
采用径向基函数神经网络来逼近未知的连续函数，
Y＝θ*Tψ(ξ) (12)
其中ξ∈Rn是RBFNNs的输入，Y∈R是RBFNNs的输出，θ∈RN是一个N维权向量，N是神经元节点的数量，ψ(ξ):Rn→RN是非线性向量函数，且ψ(ξ)＝[ψ1(ξ),...,ψN(ξ)]T,ψk(ξ)是高斯函数；
径向基函数神经网络是一个在给定任意真实连续函数的意义上的通用逼近器其中是一个紧致集，任意εm＞0,通过选择适当的参数σk和ζk,k＝1,2…N,当N取足够大的整数时，存在一个RBF神经网络
θ*是权参数向量θ的最优值，ε(ξ)是近似误差且被定义为
ε(ξ)＝F(ξ)-θ*Tψ(ξ) (15)
(4)误差传递函数
ei:＝yi1-yri, (16)
式(16)表示第ith个子系统中的跟踪误差，yri是第ith个子系统的输出参考信号，yi时第ith个子系统的实际输出，
为实现预定的跟踪性能，性能函数被定义为正光滑递减函数，满足
其中0＜σ＜1，中是稳态跟踪误差的最大值，传递函数将式(16)变换成等效无约束函数：
式中si1是ei(t)的传递误差，Φi(·)是一个光滑的严格单调递增函数，满足
将式(18)代入式(19),得出结论
如果则式(20)成立；
2)分散自适应动态面控制器的设计过程
用于多机电力系统的分散式自适应动态面控制的设计过程为：
(1)由式(18)-式(20)得到
式中si1是第一个表面误差，对si1求导得
其中
考虑以下二次函数
然后对V1求导
式中x2di是要设计的虚拟控制信号，从式(25)中可知，选择式(26)虚拟控制率
式中ki1是正设计参数；
使x2di通过一阶低通滤波器，获得一个新的变量zi2，为式(27)
其中τi2是低通滤波器的时间常数；
(2)定义si2为第二个表面误差
si2＝xi2-zi2. (28)
考虑式(29)二次函数
由于其中是的估计值，将引入到式(31)中，然后对V2求导
其中ri2是式(30)的正设计参数，
用RBF神经网络逼近紧致集上的未知项，
是式(14)中的最优加权向量,ξi2＝(xi1,xi2,zi2)∈R3,|εi2(ξi2)|≤εi2m.令并且使用杨氏不等式得出
式中αi2是式(32)的正设计参数，εi2m表示式(15)中所示的近似误差的上边界，.
将式(31)-式(33)代入式(30)得到
式中x3di是要设计的虚拟控制信号，从式(34)可知,应该选择虚拟控制率为
ki2是设计参数，设计用于估计未知参数的自适应率为
其中ri2和σi2是正设计参数，
使x3di通过一阶低通滤波器以获得一个新的变量zi3，
式中τi3是低通滤波器的时间常数；
(3)定义第三个误差面：
si3＝xi3-zi3, (38)
考虑式(39)二次函数：
因中的是的估计值，将被引入到式(42)中，对V3求导得
其中ri3是式(40)的正设计参数，式(41)
成立，同时与步骤(2)相似，使用RBF神经网络逼近紧致集上的未知项，
是式(14)中的最优加权向量，ξi3＝(xi1,xi2,xi3,zi3)∈R4，令并且使用杨氏不等式，得出结论
其中αi3是式(43)的正设计参数，εi3m表示式(15)中所示的近似误差的上边界，将式(41)-式(44)代入到式(40)，得出
然后，给出最终的实际控制率和用于估计的自适应率
ki3是式(46)的设计参数，设计用于估计未知参数的自适应率为
ri3和σi3是式(47)的正设计参数；
(4)为实现预定的跟踪性能，使式(48)
ei2:＝yi2-Vrefi, (48)
表示SVC设备中的访问点电压Vmi和参考电压之间Vrefi之间的跟踪误差，类似于式(16)-式(20)，得出
式中si4是ei2的转换误差，是一个正光滑递减函数，性能函数满足
0＜σ＜1，其中是稳态跟踪误差的最大值，Φi2(·)是一个光滑且严格单调递增的函数满足
然后对si4求导得
考虑式(54)的二次函数，
因其中是的估计值，将被引入到式(56)中，然后对V4求导得：
用RBF神经网络逼近在紧致集上的未知项
令并且使用杨氏不等式，得到
αi4是式(57)的正设计参数，εi4m表示式(15)中所示的近似误差的上边界，将式(56)-式(58)代入式(55)，得到
接着，SVC的访问点电压的控制率和用于估计的自适应率给出如下：
其中ki4,ri4和σi4是式(60)-式(61)的正设计参数；
3)对于多机电力系统稳定性分析和功率角的跟踪性能的描述
(1)首先，定义yi2e和yi3e：
对于x2di和x3di在式(26)和式(35)中已分别给出定义，从式(27)和式(62)得出结论：
同样，从式(37)和式(63)得出：
然后对式(62)和式(63)求导，
其中，
是连续函数；
考虑闭环控制系统包括转换的多机电源系统式(7),一阶低通滤波器式(27),式(37),实际控制律式(46),自适应律式(36)和式(47)，令李雅普诺夫函数为
其中V1,V2,和V3已在式(24)、式(29)和式(39)中分别给出了定义,并假设分别在式(31)和式(42)中的紧致集和中给定的正常数εilm，满足|εil(ξil)|≤εilm,l＝2,3，对于任意给定的正常数p,如果
V(0)≤p, (71)
则通过适当的选择设计参数ki1,ki2，ki3，ri2，ri3，σi2，和σi3在闭环系统中的所有变量如si1,si2,si3,vi2,vi3是一致最终有界的,功率角δi的跟踪误差ei始终保持在预先设定的跟踪函数中，
对式(70)中V求导得
从式(28)和式(62)得出
xi2＝si2+yi2e+x2di. (73)
通过使用杨氏不等式，有
将式(73)-式(75)，式(26)中的虚拟控制律x2di代入到式(25)中，有
与式(73)相同,从式(38)和式(63)中得到
xi3＝si3+yi3e-x3di. (77)
通过使用杨氏不等式有
将式(77)-式(79)和式(35)中的虚拟控制律x3di，式(36)中的自适应律代入到式(34)中,得到
此外，将式(46)和式(47)代入到式(45),将式(60)和式(61)代入到式(59)，有
考虑假设1,合理定义紧凑集合
在中，Bi0＞0，在紧致集Π中，令Mi2在Bi2中是最大值，令Mi3在Bi3中是最大值，对于任意p＞0，使用杨氏不等式，不等式
保持μ为正常数，令
将式(76)、式(80)、式(81)和式(84)-式(88)代入到式(72)中，得到
其中
定义αi0为正设计参数且条件选择为
接着，从式(91)中得到
令
接着，V＝p，当时,意味着V≤p是一个不变集，例如：若V(0)≤p,则对于所有t≥0，V(t)≤p，通过解不等式式(94)得到
而
limt→∞V(t)＝C*/2αi0 (97)
因此对于所有的信号，如si1,si2,si3,si4,yi2e,yi3e在闭环系统中都是一致最终有界的，从式(17)-式(20)知，对于所有的t≥0，si1和si4的有界性说明使得功率角的跟踪误差ei(t)满足式(17)，能够保持在曲线和之间，跟踪误差ei2(t)访问点电压满足式(50)，保持在曲线和之间，值得注意的是，可以通过选择合适的设计参数如ki1,ki2,ki3,ki4,ri2,σi2,ri3,σi3,ri4,σi4，使得αi0的选值可以足够大，使得在闭环系统中的所有信号如si1,si2,si3,si4,yi2e,yi3e都可以收敛到任意小的值。
本发明的一种分散式神经网络自适应动态面控制方法，首先，解决了具有SVC设备的多机励磁系统的控制问题；其次，通过引入误差传递函数使功率角的跟踪性能，能够保持在预先设定的曲线内；第三，通过使用RBF神经网络作为逼近器，使得每个电机的未知非线性动态和不同电机间的未知非线性关联项可以是完全未知的状态；最后，通过对RBF神经网络加权向量范数的估计而不是对加权向量本身的估计来使得计算负担大大减少。
所具有的进一步有益效果体现在：
(1)与已有的控制方法相比，通过将误差变换函数与自适应动态面控制方法相结合，能够实现功率角的预先设定跟踪性能，使得电机的相关速度总能跟踪参考值；克服了反步法中“复杂性爆炸”的问题，与反步法相比，控制率也相当简单；
(2)通过使用RBF神经网络作为逼近器，多机励磁系统的两个不同发电机之间的动态结构，系统参数和关联项可以是完全未知的；
(3)通过估计RBF神经网络的加权向量的范数，使得估计的参数量大大减少，从而减轻计算负担；
(4)科学合理，简单适用，效果佳，特别适用于具有SVC设备的多机励磁系统实时控制。
附图说明
图1为具有SVC设备的双机励磁系统图；
图2为在情况1中所提DNADSC方案和传统反步法的功率角性能图；
图3为在情况1中所提DNADSC方案和传统反步法的功率角使用图；
图4为情况1中两个发电机的旋转速度图；
图5为情况1中两个发电机的电能图；
图6为情况1中两电机的控制输入图；
图7为情况1中两电机SVC装置的接入点电压图；
图8为情况1中SVC装置的控制输入图；
图9为情况2中通过跟踪性能函数约束功率角的跟踪性能图；
图10为情况2中两电机的功率角图；
图11为情况2中两电机的旋转速度图；
图12为情况2中两电机的电能图；
图13为情况2中两电机的控制输入图；
图14为情况2中两电机SVC装置的接入点电压图；
图15为情况2中SVC装置的控制输入图。
图中的标号、符号和线条等说明如下：
图1中，SVC1和SVC2为静态无功补偿器，G为电机，图1为双机励磁系统图；
图2中，横坐标为时间，纵坐标为在情况1中的跟踪性能，图中曲线分别表示预先设定的跟踪性能曲线和所提出DNADSC方案电机1及电机2的跟踪性能曲线，以及采用反步法电机1和电机2的跟踪性能曲线；
图3中，横坐标为时间，纵坐标为情况1中的功率角。图中曲线分别表示所提DNADSC方案电机1及电机2的功率角曲线和反步法电机1及电机2的曲线；
图4中，横坐标为时间，纵坐标为情况1中的旋转速度。图中曲线表示电机1及电机2的速度；
图5中，横坐标为时间，纵坐标为情况1中两电机电能，图中曲线表示电机1及电机2的电能。
图6中，横坐标为时间，纵坐标为情况1的两电机的控制输入，图中曲线表示电机1及电机2的控制输入；
图7中，横坐标为时间，纵坐标为情况1中电机SVC的接入点电压，图中曲线表示电机1及电机2的SVC的接入点电压；
图8中，横坐标为时间，纵坐标为情况1中SVC的控制输入，曲线为电机1及电机2的SVC的控制输入；
图9中，横坐标为时间，纵坐标为情况2中的跟踪性能，图中曲线为预先设定的跟踪性能曲线和所提DNADSC方案电机1及电机2的跟踪性能曲线；
图10中，横坐标为时间，纵坐标为情况2中的功率角，图中曲线表示电机1的功率角和电机2的功率角曲线；
图11中，横坐标为时间，纵坐标为情况2中电机旋转速度，图中曲线表示电机1及电机2的转速；
图12中，横坐标为时间，纵坐标为情况2中电机的电能，图中曲线表示电机1及电机2的电能；
图13中，横坐标为时间，纵坐标为情况2中电机的控制输入，图中曲线为电机1及电机2的控制输入；
图14中，横坐标为时间，纵坐标为情况2中电机SVC的接入点电压，图中曲线表示电机1及电机2的SVC接入点电压；
图15中，横坐标为时间，纵坐标为情况2中SVC的控制输入，图中曲线表示电机1及电机2的SVC的控制输入。
具体实施方式
下面利用附图和实施例对发明作进一步说明。
实现本发明目的采用的技术方案是，一种基于神经网络的自适应动态面分布控制方法，其特征是，它包括以下内容：
1)对于发电机励磁系统
(a)建立数学模型
由网络互联且具有静态无功补偿器的n个发电机构成的多机电力系统的数学模型为式(1)-式(3)：
电气方程：
静态无功补偿器(SVC)模型：
其中：i＝1,2,...,n,表示发电机的数量；δi是功率角的弧度；ωi是相对速度，单位是rad/s；ω0是同步机速度，单位是rad/s；Di是单位阻尼常数；Hi是惯性常数；Pmi是机械输入功率，单位是p.u.(per unit)；Pei是电源，单位是p.u.；E′qi是q轴内部暂态电位，单位是p.u.；Eqi是正交轴的电动势，单位是p.u.；Efi是励磁线圈等效电动势，单位是p.u.；xadi是励磁线圈和定子线圈之间的相互电抗，单位是p.u.；T′d0i是直轴暂态短路时间常数，单位是s；Qei是无功功率，单位是p.u.；Iqi是正交轴电流，单位是p.u.；Idi是直轴电流，单位是p.u.；Bij是在消除所有物理总线之后，第ith行第jth列柱单元节点suseptancen矩阵的列元素，即柱单元，单位是p.u.；xdi是直轴电抗，单位是p.u.；x'di是直轴暂态电抗，单位是p.u.；TCi是调节系统和静态无功补偿器的时间常数；uBi是静态无功补偿器的输入；BLi是静态无功补偿器中的可调等效电纳；BCi是可调电纳的初始值；di表示负载变化或机械输入功率增加所导致的持续的扰动；
(b)励磁控制器的设计模型
令ΔPei＝Pei-Pmi0其中Pmi0＝Pmi是一个常数，变换模型为：
ui是控制信号，
ui＝IqiEfi-(xdi-x′di)IdiIqi-Pmi-T′d0iQeiωi. (5)
并且
表示互联项满足
从式(3)得出
Pei＝E’qiIqi,Qei＝-E’qiIdi, (8)
其中E'qi,Iqi,和Idi通过计算得出，通过式(5)得到实际控制信号Efi，
令xi1＝δi-δi0,xi2＝ωi-ω0,xi3＝Pei,xi4＝Vmi其中
是SVC的访问点电压，X1i＝x′di+XTi,X′d∑i＝X1i+X2i+X1iX2i(BLi-BCi),X2i是传输线电抗，XTi是变压器电抗；
从式(5)-式(9)，在式(4)的多机电力系统模型中加入式(3)的静态无功补偿器，得到：
其中yi1和yi2是多机电力系统模型和SVC设备的输出，
u′Bi＝-xi4uBi
其中XdSi＝X3i+X2i+X3iX2i(BLi-BCi),X3i＝xdi+XTi.
对于受控的多机电力系统式(7)，下列假设是必要的：
假设1.参考信号yri是光滑有界的；属于一个所有t≥0的紧致集；
假设2.存在常数gmin和gmax，使得gmin≤gij≤gmax，i＝1,2,...,n,j＝2,3；
其中，由于参考信号yri总是有界的，gij,j＝2,3是未知的常数，所以假设1和假设2是合理的，它们也是动态面控制方案中的常见假设，
(c)径向基函数神经网络(RBFNNs)
采用径向基函数神经网络来逼近未知的连续函数，
Y＝θ*Tψ(ξ) (12)
其中ξ∈Rn是RBFNNs的输入，Y∈R是RBFNNs的输出，θ∈RN是一个N维权向量，N是神经元节点的数量，ψ(ξ):Rn→RN是非线性向量函数，且ψ(ξ)＝[ψ1(ξ),...,ψN(ξ)]T,ψk(ξ)是高斯函数；
径向基函数神经网络是一个在给定任意真实连续函数的意义上的通用逼近器其中是一个紧致集，任意εm＞0,通过选择适当的参数σk和ζk,k＝1,2…N,当N取足够大的整数时，存在一个RBF神经网络
θ*是权参数向量θ的最优值，ε(ξ)是近似误差且被定义为
ε(ξ)＝F(ξ)-θ*Tψ(ξ) (15)
(d)误差传递函数
ei:＝yi1-yri, (16)
式(16)表示第ith个子系统中的跟踪误差，yri是第ith个子系统的输出参考信号，yi时第ith个子系统的实际输出，
为实现预定的跟踪性能，性能函数被定义为正光滑递减函数，满足
其中0＜σ＜1，中是稳态跟踪误差的最大值，传递函数将式(16)变换成等效无约束函数：
式中si1是ei(t)的传递误差，Φi(·)是一个光滑的严格单调递增函数，满足
将式(18)代入式(19),得出结论
如果则式(20)成立；
2)分散自适应动态面控制器的设计过程
用于多机电力系统的分散式自适应动态面控制的设计过程为：
(1)由式(18)-式(20)得到
式中si1是第一个表面误差，对si1求导得
其中
考虑以下二次函数
然后对V1求导
式中x2di是要设计的虚拟控制信号，从式(25)中可知，选择式(26)虚拟控制率
式中ki1是正设计参数；
使x2di通过一阶低通滤波器，获得一个新的变量zi2，为式(27)
其中τi2是低通滤波器的时间常数；
(2)定义si2为第二个表面误差
si2＝xi2-zi2. (28)
考虑式(29)二次函数
由于其中是的估计值，将引入到式(31)中，然后对V2求导
其中ri2是式(30)的正设计参数，
用RBF神经网络逼近紧致集上的未知项，
是式(14)中的最优加权向量,ξi2＝(xi1,xi2,zi2)∈R3,|εi2(ξi2)|≤εi2m.令并且使用杨氏不等式得出
式中αi2是式(32)的正设计参数，εi2m表示式(15)中所示的近似误差的上边界，.
将式(31)-式(33)代入式(30)得到
式中x3di是要设计的虚拟控制信号，从式(34)可知,应该选择虚拟控制率为
ki2是设计参数，设计用于估计未知参数的自适应率为
其中ri2和σi2是正设计参数，
使x3di通过一阶低通滤波器以获得一个新的变量zi3，
式中τi3是低通滤波器的时间常数；
(3)定义第三个误差面：
si3＝xi3-zi3, (38)
考虑式(39)二次函数：
因中的是的估计值，将被引入到式(42)中，对V3求导得
其中ri3是式(40)的正设计参数，式(41)
成立，同时与步骤(2)相似，使用RBF神经网络逼近紧致集上的未知项，
是式(14)中的最优加权向量，ξi3＝(xi1,xi2,xi3,zi3)∈R4，令并且使用杨氏不等式，得出结论
其中αi3是式(43)的正设计参数，εi3m表示式(15)中所示的近似误差的上边界，将式(41)-式(44)代入到式(40)，得出
然后，给出最终的实际控制率和用于估计的自适应率
ki3是式(46)的设计参数，设计用于估计未知参数的自适应率为
ri3和σi3是式(47)的正设计参数；
(4)为实现预定的跟踪性能，使式(48)
ei2:＝yi2-Vrefi, (48)
表示SVC设备中的访问点电压Vmi和参考电压之间Vrefi之间的跟踪误差，类似于式(16)-式(20)，得出
式中si4是ei2的转换误差，是一个正光滑递减函数，性能函数满足
0＜σ＜1，其中是稳态跟踪误差的最大值，Φi2(·)是一个光滑且严格单调递增的函数满足
然后对si4求导得
考虑式(54)二次函数，
因其中是的估计值，将被引入到式(56)中，然后对V4求导得：
用RBF神经网络逼近在紧致集上的未知项
令并且使用杨氏不等式，得到
αi4是式(57)的正设计参数，εi4m表示式(15)中所示的近似误差的上边界，将式(56)-式(58)代入式(55)，得到
接着，SVC的访问点电压的控制率和用于估计的自适应率给出如下：
其中ki4,ri4和σi4是式(60)-式(61)的正设计参数；
如式(21)所示,通过式(18)中的转换函数Φi将式(16)中的跟踪误差ei(t)转换成si1,这使ei(t)总保持在曲线和之间，因此，功率角的跟踪性能可以通过式(13)得到保证，使得发电机的相关速度总能跟踪参考值；
通过引入新变量zi2和zi3到式(27)和式(37)中，避免了虚拟控制律如式(35)中的x2di和x3di的重复导数，因此，解决了反步法中“复杂性爆炸”的问题，使得与反步法相比，控制律更加简便；
N-维最佳权重向量如式(31)中的和在式(42)中的其中N是估计的神经元节点数量，而不是估计最佳权重向量本身，使估计的未知神经元节点数量从N迅速降到1，因此，大大降低了计算负担，使得所提出的方法更适合于实时控制；
3)对于多机电力系统稳定性分析和功率角的跟踪性能的描述
(1)首先，定义yi2e和yi3e：
对于x2di和x3di在式(26)和式(35)中已分别给出定义，从式(27)和式(62)得出结论：
同样，从式(37)和式(63)得出：
然后对式(62)和式(63)求导，
其中，
是连续函数；
考虑闭环控制系统包括转换的多机电源系统式(7),一阶低通滤波器式(27),式(37),实际控制律式(46),自适应律式(36)和式(47)，令李雅普诺夫函数为
其中V1,V2,和V3已在式(24)、式(29)和式(39)中分别给出了定义,并假设分别在式(31)和式(42)中的紧致集和中给定的正常数εilm，满足|εil(ξil)|≤εilm,l＝2,3，对于任意给定的正常数p,如果
V(0)≤p, (71)
则通过适当的选择设计参数ki1,ki2，ki3，ri2，ri3，σi2，和σi3在闭环系统中的所有变量如si1,si2,si3,vi2,vi3是一致最终有界的,功率角δi的跟踪误差ei始终保持在预先设定的跟踪函数中，
对式(70)中V求导得
从式(28)和式(62)得出
xi2＝si2+yi2e+x2di. (73)
通过使用杨氏不等式，有
将式(73)-式(75)，式(26)中的虚拟控制律x2di代入到式(25)中，有
与式(73)相同,从式(38)和式(63)中得到
xi3＝si3+yi3e-x3di. (77)
通过使用杨氏不等式有
将式(77)-式(79)和式(35)中的虚拟控制律x3di，式(36)中的自适应律代入到式(34)中,得到
此外，将式(46)和式(47)代入到式(45),将式(60)和式(61)代入到式(59)，有
考虑假设1,合理定义紧凑集合
在中，Bi0＞0，在紧致集Π中，令Mi2在Bi2中是最大值，令Mi3在Bi3中是最大值，对于任意p＞0，使用杨氏不等式，不等式
保持μ为正常数，令
将式(76)、式(80)、式(81)和式(84)-式(88)代入到式(72)中，得到
其中
定义αi0为正设计参数且条件选择为
接着，从式(91)中得到
令
接着，V＝p,当时,意味着V≤p是一个不变集，例如：若V(0)≤p,则对于所有t≥0，V(t)≤p，通过解不等式式(94)得到
而
limt→∞V(t)＝C*/2αi0 (97)
因此对于所有的信号，如si1,si2,si3,si4,yi2e,yi3e在闭环系统中都是一致最终有界的，从式(17)-式(20)知，对于所有的t≥0，si1和si4的有界性说明使得功率角的跟踪误差ei(t)满足式(17)，能够保持在曲线和之间，跟踪误差ei2(t)访问点电压满足式(50)，保持在曲线和之间，值得注意的是，可以通过选择合适的设计参数如ki1,ki2,ki3,ki4,ri2,σi2,ri3,σi3,ri4,σi4，使得αi0的选值可以足够大，使得在闭环系统中的所有信号如si1,si2,si3,si4,yi2e,yi3e都可以收敛到任意小的值。
本发明的一种基于神经网络的自适应动态面分布控制方法应用于多机励磁系统，具有SVC设备的多机励磁系统如图1所示，发电机和传输线的参数如表1所示，其设计的详细过程如下：
表1具有SVC的双机励磁系统系统参数
在仿真中，选择虚拟控制律和最终控制律的设计参数为k11＝5,k21＝3,；k12＝3,k22＝2,k13＝6,k23＝8，k14＝2.5,k24＝3；每一步骤低通滤波器的时间常数选择为τ12＝τ22＝0.005,τ13＝τ23＝0.01；自适应律的设计参数为r12＝5,σ12＝0.001；r13＝3,σ23＝0.0005；r14＝8,σ24＝0.0001.对于神经网络高斯函数 存在21个节点，基函数ζ1j∈R3和ζ2j∈R3的中心在[-63,+63]×[-314,+3144]×[-1,+1]上等间隔，宽度设计为η1j＝η2j＝1,forj＝1,...,21。对于神经网络高斯函数存在17个节点，基函数ζ3j∈R4和ζ2j∈R4的中心在[-63,+63]×[-314,+3144]×[-2,+2]×[-1,+1]上等间隔，宽度设计为η3j＝η4j＝1,for j＝1,...,17。对于神经网络高斯函数存在15个节点，基函数ζ5j∈R8和ζ6j∈R8的中心在[-63,+63]×[-314,+3144]×[-1,+1]×[-1,+1]×[-1,+1]×[-1,+1]×[-2,+2]上等间隔，宽度设计为η5j＝η6j＝1,for j＝1,...,15。同时，选择光滑的严格单调递增函数 .Then,
为了证明本发明一种基于神经网络的自适应动态面分布控制方法对于具有SVC装置的双机励磁系统的有效性，因操作点不同分为两种情况，包括所提出的分散神经自适应动态面控制和故障发生时间的比较。假设对称三相短路故障发生在发电机1和发电机2之间的某一传输线上，加入50％的持续外部干扰，即d1＝d2＝0.5p.u..
情况1:操作点为:
δ10＝60.550,ω10＝314.15,Pm10＝1.12p.u.,Vref1＝1.05p.u.
δ20＝60.320,ω20＝314.15,Pm20＝1.05p.u.,Vref2＝1.01p.u.
情况1的控制目标是设计式(46)和式(60)中的控制律u1,u2和uB1,uB2，实现功率角的预先设定的跟踪性能，并且功率角δ1,δ2，速度ω10,ω20，电能Pe1,Pe2都保持在操作点的小邻域内。案例的仿真结果如图2-图8所示，图2示出了功率角的跟踪性能，通过使用在式(18)中的误差变换函数Φi1(·),i＝1,2，使功率角的跟踪误差曲线总是保持在预先设定的跟踪性能函数中；图3分别示出了采用提出的神经网络自适应动态面分布控制方法，即DNADSC方法和传统反步法的两电机间的功率角；从图3和图4可以看出，与传统的反步法相比，所提出的DNADSC方法具有更好的跟踪瞬态性能和更小的稳定跟踪误差。旋转速度、电能、控制输入、SVC装置的接入电压和两电机SVC装置的控制输入分别如图4-图8所示。图2-图8显示了所提DNADSC方法的有效性。
情况2:操作点为:
δ10＝30.50,ω10＝314.2,Pm10＝1.06p.u.,Vref1＝1.2p.u.
δ20＝30.80,ω20＝314.2,Pm20＝1.02p.u.,Vref2＝1.00p.u.
假设在t＝2s时，在传输线上发生三相短路，并在t＝2.4s时消除故障。在情况2中的控制目标是设计式(46)中的控制律u1,u2和式(60)中的控制律uB1,uB2，以实现功率角的预先设定的跟踪性能，并使功率角δ1,δ2，速度ω10,ω20和电能Pe1,Pe2在消除传输线上的三相短路之后仍能保持在操作点的一个任意小的邻域内。图9示出了两电机间功率角的跟踪性能，从图9中可以看出，在消除输电线路上的三相短路后，功率角的跟踪误差可以利用预先设定的跟踪性能函数短时间地恢复到操作点。图10-图14分别为旋转速度、电能、控制输入、SVC装置的接入点电压和当三相短路发生时两电机SVC装置的控制输入。
本发明提出了一种基于神经网络的自适应动态面分布控制方法，即(DNADSC)方法用于具有SVC设备的多机励磁系统中。首先，这种方案第一次解决了具有SVC设备的多机励磁系统的控制问题。其次，通过引入误差传递函数使功率角的跟踪性能能够保持在预先设定的曲线内。第三，通过使用RBF神经网络作为逼近器，使得每个电机的未知非线性动态和不同电机间的未知非线性关联项可以是完全未知的状态。最后，通过对RBF神经网络加权向量范数的估计而不是对加权向量本身的估计来使得计算负担大大减少。仿真结果验证了所提DNADSC方法的有效性。
具体实施方式仅是对本发明的说明，并不构成对权利要求保护范围的限制，本领域技术人员不经过创造性劳动的等同替代，均在本发明保护范围内。

Claims (1)

1.一种基于神经网络的自适应动态面分布控制方法，其特征是，它包括以下内容：
1)对于发电机励磁系统
(1)建立数学模型
由网络互联且具有静态无功补偿器的n个发电机构成的多机电力系统的数学模型为式(1)-式(3)：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>H</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>H</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>E</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
电气方程：
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静态无功补偿器(SVC)模型：
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其中：i＝1,2,...,n,表示发电机的数量；δi是功率角的弧度；ωi是相对速度，单位是rad/s；ω0是同步机速度，单位是rad/s；Di是单位阻尼常数；Hi是惯性常数；Pmi是机械输入功率，单位是p.u.(perunit)；Pei是电源，单位是p.u.；E′qi是q轴内部暂态电位，单位是p.u.；Eqi是正交轴的电动势，单位是p.u.；Efi是励磁线圈等效电动势，单位是p.u.；xadi是励磁线圈和定子线圈之间的相互电抗，单位是p.u.；T′d0i是直轴暂态短路时间常数，单位是s；Qei是无功功率，单位是p.u.；Iqi是正交轴电流，单位是p.u.；Idi是直轴电流，单位是p.u.；Bij是在消除所有物理总线之后，第ith行第jth列柱单元节点suseptancen矩阵的列元素，即柱单元，单位是p.u.；xdi是直轴电抗，单位是p.u.；x'di是直轴暂态电抗，单位是p.u.；TCi是调节系统和静态无功补偿器的时间常数；uBi是静态无功补偿器的输入；BLi是静态无功补偿器中的可调等效电纳；BCi是可调电纳的初始值；di表示负载变化或机械输入功率增加所导致的持续的扰动；
(2)励磁控制器的设计模型
令ΔPei＝Pei-Pmi0其中Pmi0＝Pmi是一个常数，变换模型为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>H</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>H</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>P</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
ui是控制信号，
ui＝IqiEfi-(xdi-x′di)IdiIqi-Pmi-T′d0iQeiωi. (5)
并且
<mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
表示互联项满足
<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>,</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
从式(3)得出
Pei＝E′qiIqi,Qei＝-E′qiIdi, (8)
其中E'qi,Iqi,和Idi通过计算得出，通过式(5)得到实际控制信号Efi，
令xi1＝δi-δi0,xi2＝ωi-ω0,xi3＝Pei,xi4＝Vmi其中
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cosx</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msqrt> <msubsup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;Sigma;</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
是SVC的访问点电压，X1i＝x′di+XTi,X′d∑i＝X1i+X2i+X1iX2i(BLi-BCi),X2i是传输线电抗，XTi是变压器电抗；
从式(5)-式(9)，在式(4)的多机电力系统模型中加入式(3)的静态无功补偿器，得到：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中yi1和yi2是多机电力系统模型和SVC设备的输出，i＝1,…,n,l＝2,…,4,
u′Bi＝-xi4uBi
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>sinx</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cosx</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>cosx</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>X</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mi>m</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mo>&amp;Sigma;</mo> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中Xd∑i＝X3i+X2i+X3iX2i(BLi-BCi),X3i＝xdi+XTi.
对于受控的多机电力系统式(7)，下列假设是必要的：
假设1.参考信号yri是光滑有界的；属于一个所有t≥0的紧致集；
假设2.存在常数gmin和gmax，使得gmin≤gij≤gmax，i＝1,2,...,n,j＝2,3；
其中，由于参考信号yri总是有界的，gij,j＝2,3是未知的常数，所以假设1和假设2是合理的，它们也是动态面控制方案中的常见假设，
(3)径向基函数神经网络(RBFNNs)
采用径向基函数神经网络来逼近未知的连续函数，
其中ξ∈Rn是RBFNNs的输入，Y∈R是RBFNNs的输出，是一个N维权向量，N是神经元节点的数量，ψ(ξ):Rn→RN是非线性向量函数，且ψ(ξ)＝[ψ1(ξ),...,ψN(ξ)]T,ψk(ξ)是高斯函数；
径向基函数神经网络是一个在给定任意真实连续函数的意义上的通用逼近器其中是一个紧致集，任意εm＞0,通过选择适当的参数σk和ζk,k＝1,2…N,当N取足够大的整数时，存在一个RBF神经网络|ε|≤εm
是权参数向量的最优值，ε(ξ)是近似误差且被定义为
(4)误差传递函数
ei:＝yi1-yri, (16)
式(16)表示第ith个子系统中的跟踪误差，yri是第ith个子系统的输出参考信号，yi时第ith个子系统的实际输出，
为实现预定的跟踪性能，性能函数被定义为正光滑递减函数，满足
其中0＜σ＜1，中是稳态跟踪误差的最大值，传递函数将式(16)变换成等效无约束函数：
式中si1是ei(t)的传递误差，Φi(·)是一个光滑的严格单调递增函数，满足
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <mn>0.</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(18)代入式(19),得出结论
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>,</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
如果则式(20)成立；
2)分散自适应动态面控制器的设计过程
用于多机电力系统的分散式自适应动态面控制的设计过程为：
(1)由式(18)-式(20)得到
式中si1是第一个表面误差，对si1求导得
其中
考虑以下二次函数
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
然后对V1求导
式中x2di是要设计的虚拟控制信号，从式(25)中可知，选择式(26)虚拟控制率
式中ki1是正设计参数；
使x2di通过一阶低通滤波器，获得一个新的变量zi2，为式(27)
<mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中τi2是低通滤波器的时间常数；
(2)定义si2为第二个表面误差
si2＝xi2-zi2. (28)
考虑式(29)二次函数
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由于其中是的估计值，将引入到式(31)中，然后对V2求导
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中ri2是式(30)的正设计参数，
用RBF神经网络逼近紧致集上的未知项，
<mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mo>*</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
是式(14)中的最优加权向量,ξi2＝(xi1,xi2,zi2)∈R3,|εi2(ξi2)|≤εi2m.令并且使用杨氏不等式得出
<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中αi2是式(32)的正设计参数，εi2m表示式(15)中所示的近似误差的上边界，.
将式(31)-式(33)代入式(30)得到
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中x3di是要设计的虚拟控制信号，从式(34)可知,应该选择虚拟控制率为
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
ki2是设计参数，设计用于估计未知参数的自适应率为
<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>36</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中ri2和σi2是正设计参数，
使x3di通过一阶低通滤波器以获得一个新的变量zi3，
<mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>37</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中τi3是低通滤波器的时间常数；
(3)定义第三个误差面：
si3＝xi3-zi3, (38)
考虑式(39)二次函数：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>39</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
因中的是的估计值，将被引入到式(42)中，对V3求导得
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>40</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中ri3是式(40)的正设计参数，式(41)
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>,</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>,</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>41</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
成立，同时与步骤(2)相似，使用RBF神经网络逼近紧致集上的未知项，
<mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mo>*</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>42</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 5
是式(14)中的最优加权向量，ξi3＝(xi1,xi2,xi3,zi3)∈R4，令并且使用杨氏不等式，得出结论
<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>m</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>44</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中αi3是式(43)的正设计参数，εi3m表示式(15)中所示的近似误差的上边界，将式(41)-式(44)代入到式(40)，得出
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>m</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>45</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
然后，给出最终的实际控制率和用于估计的自适应率
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>46</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
ki3是式(46)的设计参数，设计用于估计未知参数的自适应率为
<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>47</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
ri3和σi3是式(47)的正设计参数；
(4)为实现预定的跟踪性能，使式(48)
ei2:＝yi2-Vrefi, (48)
表示SVC设备中的访问点电压Vmi和参考电压之间Vrefi之间的跟踪误差，类似于式(16)-式(20)，得出
式中si4是ei2的转换误差，是一个正光滑递减函数，性能函数满足
0＜σ＜1，其中是稳态跟踪误差的最大值，Φi2(·)是一个光滑且严格单调递增的函数满足
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <mn>0.</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>51</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
然后对si4求导得
考虑式(54)的二次函数，
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>54</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
因其中是的估计值，将被引入到式(56)中，然后对V4求导得：
用RBF神经网络逼近在紧致集上的未知项
令并且使用杨氏不等式，得到
<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> <mi>m</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>58</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
αi4是式(57)的正设计参数，εi4m表示式(15)中所示的近似误差的上边界，将式(56)-式(58)代入式(55)，得到
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> <mi>m</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>59</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
接着，SVC的访问点电压的控制率和用于估计的自适应率给出如下：
<mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>60</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>61</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中ki4,ri4和σi4是式(60)-式(61)的正设计参数；
3)对于多机电力系统稳定性分析和功率角的跟踪性能的描述
(1)首先，定义yi2e和yi3e：
<mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>63</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对于x2di和x3di在式(26)和式(35)中已分别给出定义，从式(27)和式(62)得出结论：
<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>64</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
同样，从式(37)和式(63)得出：
<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>65</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
然后对式(62)和式(63)求导，
其中，
<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;times;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>l</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>69</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
是连续函数；
考虑闭环控制系统包括转换的多机电源系统式(7),一阶低通滤波器式(27),式(37),实际控制律式(46),自适应律式(36)和式(47)，令李雅普诺夫函数为
<mrow> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>e</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>70</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中V1,V2,和V3已在式(24)、式(29)和式(39)中分别给出了定义,并假设分别在式(31)和式(42)中的紧致集和中给定的正常数εilm，满足|εil(ξil)|≤εilm,l＝2,3，对于任意给定的正常数p,如果
V(0)≤p, (71)
则通过适当的选择设计参数ki1,ki2，ki3，ri2，ri3，σi2，和σi3在闭环系统中的所有变量如si1,si2,si3,vi2,vi3是一致最终有界的,功率角δi的跟踪误差ei始终保持在预先设定的跟踪函数中，
对式(70)中V求导得
<mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>72</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
从式(28)和式(62)得出
xi2＝si2+yi2e+x2di. (73)
通过使用杨氏不等式，有
<mrow> <msub> <mi>&amp;Psi;S</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>74</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;Psi;S</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>75</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(73)-式(75)，式(26)中的虚拟控制律x2di代入到式(25)中，有
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>76</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
与式(73)相同,从式(38)和式(63)中得到
xi3＝si3+yi3e-x3di. (77)
通过使用杨氏不等式有
<mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>78</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>e</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>79</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(77)-式(79)和式(35)中的虚拟控制律x3di，式(36)中的自适应律代入到式(34)中,得到
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>e</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>80</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
此外，将式(46)和式(47)代入到式(45),将式(60)和式(61)代入到式(59)，有
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>m</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>81</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> <mi>m</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>82</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
考虑假设1,合理定义紧凑集合
<mrow> <mo>&amp;Pi;</mo> <mo>:</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>:</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>83</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在中，Bi0＞0，在紧致集Π中，令Mi2在Bi2中是最大值，令Mi3在Bi3中是最大值，对于任意p＞0，使用杨氏不等式，不等式
<mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msup> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;mu;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>84</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msup> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;mu;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>85</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mo>*</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>86</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mo>*</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>87</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>4</mn> </mrow> <mrow> <mo>*</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>88</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
保持μ为正常数，令
<mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;mu;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>89</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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将式(76)、式(80)、式(81)和式(84)-式(88)代入到式(72)中，得到
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其中
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定义αi0为正设计参数且条件选择为
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接着，从式(91)中得到
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接着，V＝p,当时,意味着V≤p是一个不变集，例如：若V(0)≤p,则对于所有t≥0，V(t)≤p，通过解不等式式(94)得到
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而
limt→∞V(t)＝C*/2αi0 (97)
因此对于所有的信号，如si1,si2,si3,si4,yi2e,yi3e在闭环系统中都是一致最终有界的，从式(17)-式(20)知，对于所有的t≥0，si1和si4的有界性说明使得功率角的跟踪误差ei(t)满足式(17)，能够保持在曲线和之间，跟踪误差ei2(t)访问点电压满足式(50)，保持在曲线和之间，值得注意的是，可以通过选择合适的设计参数如ki1,ki2,ki3,ki4,ri2,σi2,ri3,σi3,ri4,σi4，使得αi0的选值可以足够大，使得在闭环系统中的所有信号如si1,si2,si3,si4,yi2e,yi3e都可以收敛到任意小的值。
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