CN110034562A - 一种静止同步补偿器与发电机励磁鲁棒协调的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的一种静止同步补偿器与发电机励磁鲁棒协调的控制方法，首先，建立了含不确定参数和未知扰动的STATCOM与发电机励磁协调控制数学模型，然后，在含不确定参数的系统中，设计基于I&I自适应控制方法的参数自适应律来辨识系统的阻尼系数并且采用反步法对系统进行降阶，构造子系统的耗散不等式，并以满足该不等式成立为依据设计子系统的虚拟控制律，并结合L₂增益抑制理论来消除建模为L₂空间未知函数对子系统稳定性的影响，保证系统鲁棒性。本发明公开的方法解决了发电机励磁与静止同步补偿器协调控制系统存在的参数不确定性和未知扰动影响系统稳定性的问题，相比现有的方法能快速响应，曲线收敛速度快，提高了系统的暂态性能。

Description

一种静止同步补偿器与发电机励磁鲁棒协调的控制方法

技术领域

本发明属于电力系统技术领域，具体涉及一种静止同步补偿器与发电机励磁鲁棒协调的控制方法。

背景技术

柔性交流输电系统(FACTS)作为有效提升互联电网稳定性的先进技术之一，是我国智能电网建设中输电环节智能化的重要组成部分。而静止同步补偿器(STATCOM)作为一种主要的FACTS装置，具有降低损耗、稳定电压、降低谐波、提高系统暂态稳定性等优越性能。一方面，对于STATCOM装置控制策略的研究一直是学者们关注的热点；另一方面，发电机励磁是解决电力系统稳定性问题的传统方案和实施新控制方法的有效手段，因此，对于STATCOM与发电机励磁的协调控制策略的研究极具价值。

发明内容

本发明的目的是提供一种静止同步补偿器与发电机励磁鲁棒协调的控制方法，解决了发电机励磁与静止同步补偿器(STATCOM)协调控制系统存在的参数不确定性和未知扰动影响系统稳定性的问题。

本发明所采用的技术方案是，一种静止同步补偿器与发电机励磁鲁棒协调的控制方法，具体操作过程包括如下步骤：

步骤1，建立含不确定参数和未知扰动的静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统数学模型；

步骤2，采用浸入与不变自适应算为不确定参数设计自适应参数估计律；

步骤3，结合步骤2得到的自适应参数估计律和反步法推导发电机励磁控制律u_f和静止同步补偿器的控制律u_s，设计得到鲁棒协调控制器，根据L₂增益控制方法消除未知扰动对系统的影响，再通过耗散理论证明所设计的协调控制方法能保证系统具有鲁棒抑制能力，实现静止同步补偿器与发电机励磁协调控制。

本发明的其他特点还在于，

步骤1的具体过程如下：

步骤1.1，不考虑线路和静止同步补偿器本身的电磁暂态过程前提下，假定发电机的机械功率P_m恒定，采用发电机三阶非线性微分方程和静止同步补偿器一阶可控电流源模型，则包含静止同步补偿器的单机无穷大系统的非线性系统方程如式(1)所示：

其中：

x_dΣ＝x_d+X_L+X_T，x′_dΣ＝x′_d+X_L+X_T

式中，x_d和x′_d分别为发电机d轴等效电抗和暂态等效电抗；x_dΣ和x′_dΣ为系统的等效总电抗和等效暂态总电抗；X_T为变压器阻抗；X_L1、X_L2为输电线路等效电抗；δ是发电机功角；ω是发电机角速度，ω₀是发电机的额定同步角速度；E′_q是发电机q轴暂态电势；V_s是静止同步补偿器装设点母线电压，设为1；I_q是静止同步补偿器所等效的可控电源输出电流；D是发电机阻尼系数，考虑阻尼系数D具有不确定性，定义变量θ＝-D/H；H是发电机转子的转动惯量；p_m是原动机机械功率；T_q是静止同步补偿器的惯性时间常数；u_s为静止同步补偿器的控制输入信号；u_f为励磁系统的控制输入信号；p_e为发电机电磁功率；w₁、w₂、w₃为L₂空间的未知函数，w＝[w₁ w₂ w₃]^T为施加在发电机转子、导纳和静止同步补偿器控制器所遭受的不确定扰动；

步骤1.2，选取状态变量为[x₁ x₂ x₃ x₄]^T＝[δ-δ₀ ω-ω₀ E′_q-E′_q0 I_q-I_q0]^T，其中，δ₀、ω₀、E′_q0、I_q0分别为各变量对应的初始值；

对式(1)中的常量进行参数替换： 则静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型如式(2)所示：

其中，θ为不确定参数，w₁、w₂、w₃为不确定的未知扰动；

假定系统输出如式(3)所示：

y＝[q₁x₁ q₂x₂]^T (3)

其中，q₁、q₂为非负的权重系数，其表示为x₁和x₂的加权比重。

步骤2的具体过程如下：

步骤2.1，定义不确定参数估计误差如式(4)所示：

式中，为θ的估计值，β(x₁,x₂)为待设计函数；

步骤2.2，对式(4)进行求导，将式(2)代入后得到不确定参数估计误差的导数如式(5)所示：

为了保留不确定项w₁，构造含有z的微分函数，设计自适应参数替换律如式(6)所示：

将式(6)代入式(5)得：

步骤2.3，为了使参数估计误差Z指数收敛，设计其中，ρ为正数，设函数β为：构造Lyapunov函数V(z)如式(8)所示：

则V(z)求其对于时间的导数如式(9)所示：

从式(8)和式(9)得到V(z)是正定的，是负定的，根据LaSalle's定理得：不确定参数估计律是渐进稳定的。

步骤3的具体过程如下：

步骤3.1，设计鲁棒协调控制器，首先，将式(2)的高阶系统降阶成4个子系统，定义系统的状态误差函数如式(10)-式(13)：

e₁＝x₁ (10)

式中，表示虚拟控制量；

根据式(2)，对式(10)进行求导得：

对于此一阶系统，将视为虚拟控制量，将设计为：

式中，c₁＞0；

步骤3.2，将式(2)的前两阶组成子系统并且采用L₂增益消除不确定扰动对系统响应的影响，达到扰动w₁对于输出是γ-耗散的；

首先，根据式(2)求e₂的导数如式(16)所示：

然后，根据耗散控制理论表示扰动w₁的能量供给与耗散关系函数S₁如式(17)所示：

将输出式(3)以及式(14)-式(16)代入式(17)中得：

式中：

通过设计虚拟控制量使得式(18)满足S₁≤0，因此，根据步骤2得到的不确定参数估计律可将设计为如式(19)所示：

式中，η₁＞0为所设计的参数；

将式(19)代入式(18)中，并根据式(4)定义的不确定参数估计误差，将式(19)整理得到式(20)：

将代入式(20)中得到S₁≤0，则证明参数估计律在虚拟控制量的作用下，静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型式(2)中的前两阶组成的子系统对于不确定扰动w₁是γ-耗散的；

步骤3.3，将式(2)表示的三阶系统采用反步法设计并求取控制律u_f，并且结合L₂增益来消除不确定扰动w₁和w₂对系统响应的影响；

首先，求取e₃的导数如式(21)所示：

然后，根据耗散控制理论来表示扰动w₂的能量供给与耗散关系函数S₂如式(22)所示：

由式(1)得：v与静止同步补偿器的等效电流之间具有相应函数关系，设计发电机励磁控制输入u_f如式(23)所示：

式中，v^*为发电机动态与静止同步补偿器一阶动态模型之间互联的间变量，定义其为：

将式(3)以及式(23)、式(24)整理代入(22)中得：

其中，η₂＞0为所设计的参数；

将代入式(25)，得出S₂≤0，则参数估计律在控制变量u_f的作用下保证了静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型式(2)对于不确定扰动w₁、w₂的输出响应是γ-耗散的，所设计的闭环控制系统中的所有解全局有界且渐进稳定的；

步骤3.4，根据式(2)构造新的状态变量，并且根据式(13)将控制输入变量x₄的中间控制律设计为如式(26)所示：

首先，对式(13)求导：

然后，根据耗散控制理论来表示扰动w₃的能量供给与耗散关系函数S₃如式(28)所示：

将静止同步补偿器控制律u_s设计为如式(29)所示：

将式(3)以及式(27)和式(29)代入到式(28)中得：

式中，η₃＞0为所设计的参数；

将代入式(30)，得出S₃≤0，则参数估计律在控制变量u_f的作用下保证了静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型式(2)对于不确定扰动w₃的输出响应是γ-耗散的，则控制系统对于扰动w₁、w₂、w₃具有不大于γ的L₂增益，证明了所设计的协调控制策略保证了系统的稳定性，并且具有L₂增益下的鲁棒抑制能力。

本发明的有益效果是，针对发电机励磁与静止同步补偿器(STATCOM)协调控制系统存在的参数不确定性和未知扰动影响系统稳定性的问题，提出了一种基于浸入与不变自适应算法的STATCOM与发电机励磁非线性鲁棒协调控制策略，并且通过仿真算例验证了所提算法不仅解决了未知扰动和参数不确定性影响系统稳定性问题，而且所提出算法相比于传统的反步法振幅小，响应时间短，保留了系统的非线性特性，提高系统的暂态稳定性。

附图说明

图1是本发明采用含STATCOM的SMIB系统；

图2是本发明的实施算例中的发电机功角响应曲线图；

图3是本发明的实施算例中的角速度响应曲线图；

图4是本发明的实施算例中的发电机暂态电势的响应曲线图；

图5是本发明的实施算例中的STATCOM接入点等效电流的响应曲线图；

图6是本发明的实施算例中的不确定参数估计响应图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明提出了一种静止同步补偿器与发电机励磁鲁棒协调的控制方法，具体操作过程包括如下步骤：

步骤1，建立含不确定参数和未知扰动的静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统数学模型；

步骤1的具体过程如下：

步骤1.1，不考虑线路和静止同步补偿器本身的电磁暂态过程前提下，假定发电机的机械功率P_m恒定，采用发电机三阶非线性微分方程和静止同步补偿器一阶可控电流源模型，则包含静止同步补偿器的单机无穷大系统的非线性系统方程如式(1)所示：

其中：

x_dΣ＝x_d+X_L+X_T，x′_dΣ＝x′_d+X_L+X_T

式中，x_d和x′_d分别为发电机d轴等效电抗和暂态等效电抗；x_dΣ和x′_dΣ为系统的等效总电抗和等效暂态总电抗；X_T为变压器阻抗；X_L1、X_L2为输电线路等效电抗；δ是发电机功角；ω是发电机角速度，ω₀是发电机的额定同步角速度；E′_q是发电机q轴暂态电势；V_s是静止同步补偿器装设点母线电压，设为1；I_q是静止同步补偿器所等效的可控电源输出电流；D是发电机阻尼系数，考虑阻尼系数D具有不确定性，定义变量θ＝-D/H；H是发电机转子的转动惯量；p_m是原动机机械功率；T_q是静止同步补偿器的惯性时间常数；u_s为静止同步补偿器的控制输入信号；u_f为励磁系统的控制输入信号；p_e为发电机电磁功率；w₁、w₂、w₃为L₂空间的未知函数，w＝[w₁ w₂ w₃]^T为施加在发电机转子、导纳和静止同步补偿器控制器所遭受的不确定扰动；

步骤1.2，选取状态变量为[x₁ x₂ x₃ x₄]^T＝[δ-δ₀ ω-ω₀ E′_q-E′_q0 I_q-I_q0]^T，其中，δ₀、ω₀、E′_q0、I_q0分别为各变量对应的初始值；

为了便于进行控制器设计，对式(1)中的常量进行参数替换： 则静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型如式(2)所示：

其中，θ为不确定参数，w₁、w₂、w₃为未知扰动；

假定系统输出如式(3)所示：

y＝[q₁x₁ q₂x₂]^T (3)

其中，q₁、q₂为非负的权重系数，其表示为x₁和x₂的加权比重。

控制目标为：针对含有不确定参数和未知扰动的非线性系统(2)，设计自适应律来辨识不确定参数θ，通过励磁控制律u_f和STATCOM控制律u_s协调控制使系统在遭受扰动时，状变变量[δ₀ ω₀ E′_q0 I_q0]^T不会失去同步而导致系统失去稳定性，在扰动发生后所有状态变量暂态响应轨线有界并且稳定运行于某一平衡点。

步骤2，采用浸入与不变自适应算法为不确定参数设计自适应参数估计律；

步骤2的具体过程如下：

步骤2.1，定义不确定参数估计误差如式(4)所示：

式中，为θ的估计值，β(x₁,x₂)为待设计函数；

步骤2.2，对式(4)进行求导，将式(2)前两阶代入后得到不确定参数估计误差的导数如式(5)所示：

为了保留不确定项w₁，构造含有Z的微分函数，设计自适应参数替换律如式(6)所示：

将式(6)代入式(5)得：

步骤2.3，为了使参数估计误差Z指数收敛，设计其中，ρ为正数，设函数β为：为了证明参数估计律稳定性，构造Lyapunov函数V(z)如式(8)所示：

则V(z)求其对于时间的导数如式(9)所示：

从式(8)和式(9)得到V(z)是正定的，是负定的，根据LaSalle's定理得：不确定参数估计律是渐进稳定的。

与传统自适应控制方法对比，I&I自适应方法有以下优点：(a)由于在参数估计律中引入函数β(x₁,x₂)，因此，不遵循确定性-等价性原理；(b)不需要构造Lyapunov函数，并且所设计的估计律克服了传统自适应逆推法中参数估计形式单一的缺陷。

步骤3，结合步骤2得到的自适应参数估计律和反步法推导发电机励磁控制律u_f和静止同步补偿器的控制律u_s，设计得到鲁棒协调控制器，根据L₂增益控制方法消除未知扰动对系统的影响，再通过耗散理论证明所设计的协调控制方法能保证系统具有鲁棒抑制能力，实现静止同步补偿器与发电机励磁协调控制。

步骤3的具体过程如下：

步骤3.1，设计鲁棒协调控制器，首先，将式(2)的高阶系统降阶成4个子系统，定义系统的状态误差函数如式(10)-式(13)：

e₁＝x₁ (10)

式中，表示虚拟控制量；

根据式(2)，对式(10)进行求导得：

对于此一阶系统，将视为虚拟控制量，将设计为：

式中，c₁＞0；

步骤3.2，将式(2)的前两阶组成子系统并且采用L₂增益消除不确定扰动对系统响应的影响，达到扰动w₁对于输出是γ-耗散的；

首先，根据式(2)求e₂的导数如式(16)所示：

然后，根据耗散控制理论表示扰动w₁的能量供给与耗散关系函数S₁如式(17)所示：

将输出式(3)以及式(14)-式(16)代入式(17)中得：

其中，

通过设计虚拟控制量使得式(18)满足S₁≤0，因此，根据步骤2得到的不确定参数估计律将设计为如式(19)所示：

式中，η₁＞0为所设计的参数；

将式(19)代入式(18)中，并根据式(4)定义的不确定参数估计误差，将式(19)整理得到式(20)：

将代入式(20)中得到S₁≤0，则证明参数估计律在虚拟控制量的作用下，静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型式(2)中的前两阶组成的子系统对于不确定扰动w₁是γ-耗散的；

步骤3.3，将式(2)表示的三阶系统采用反步法设计并求取控制律u_f，并且结合L₂增益来消除不确定扰动w₁和w₂对系统响应的；

首先，求取e₃的导数如式(21)所示：

然后，根据耗散控制理论来表示扰动w₂的能量供给与耗散关系函数S₂如式(22)所示：

由式(1)得：v与静止同步补偿器的等效电流之间具有相应函数关系，设计发电机励磁控制输入u_f如式(23)所示：

式中，v^*为发电机动态与静止同步补偿器一阶动态模型之间互联的间变量，定义其为：

将式(3)以及式(23)、式(24)整理代入(22)中得：

其中，η₂＞0为所设计的参数；

将代入式(25)，得出S₂≤0，则参数估计律在控制变量u_f的作用下保证了静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型式(2)对于不确定扰动w₁、w₂的输出响应是γ-耗散的，所设计的闭环控制系统中的所有解全局有界且渐进稳定的。

步骤3.4，根据式(2))构造新的状态变量，并且根据式(13)将控制输入变量x₄的中间控制律设计为如式(26)所示：

首先，对式(13)求导：

然后，根据耗散控制理论来表示扰动w₃的能量供给与耗散关系函数S₃如式(28)所示：

将静止同步补偿器控制律u_s设计为如式(29)所示：

将式(3)以及式(27)和式(29)代入到式(28)中得：

式中，η₃＞0为所设计的参数；

将代入式(30)，得出S₃≤0，则参数估计律在控制变量u_f的作用下保证了静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型式(2)对于不确定扰动w₃的输出响应是γ-耗散的，则控制系统对于扰动w₁、w₂、w₃具有不大于γ的L₂增益，证明了所设计的协调控制策略保证了系统的稳定性，并且具有L₂增益下的鲁棒抑制能力。

实施例

为了验证本发明的静止同步补偿器(STATCOM)与发电机励磁鲁棒反步自适应协调控制方法(BACC)对状态输入在系统遭受不确定参数θ和不确定扰动w₁、w₂、w₃影响下的控制效果，进行仿真验证。其中单机无穷大系统(SMIB)如图1所示，带有励磁设备的发电机经过变压器与带有断路器的输电线路相连，STATCOM装设在线路中点处，这也是更能提高系统传输能量、有效提高输电容量和距离的接入点。

SMIB的参数和本发明的静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统数学模型中的参数选取如下：H＝5.9，V_L＝1.0，E′_q＝1.08，P_m＝1.0，ω₀＝314.159rad/s，δ₀＝60°，T_q＝0.02，X_T＝0.15，γ＝0.5，q₁＝0.6，q₂＝0.4，η₁＝η₂＝η₃＝0.4。系统状态输入的初始状态点选为[δ₀ ω₀ E′_q0 I_qo]^T＝[60 314.15 1 0.3098]^T，不确定阻尼系数设置为D＝1，则不确定参数将不确定扰动建模L₂空间函数设置为：w₁＝e^-2t sin(5t)、w₂＝e^-2t cos(5t)、w₃＝e^-2t sin(5t)。

仿真情况如下：假设系统在t＝1.0s时，输电线路上STATCOM连母线右侧出口处发生三相短路故障，0.1s后故障切除，系统恢复稳定状态，保持在平衡点。在这个过程中，将本发明的控制方法与基于传统自适应逆推协调控制器(TABCC)在同样的初始条件下的仿真结果进行比较。

x₁(发电机功角)、x₂(角速度)、x₃(发电机的暂态电势)、x₄(STATCOM接入系统的等效电流)和不确定参数估计的暂态响应曲线如图2-图6所示。

从图2和图3得出：实线表示本发明的BACC在受到短路故障下的暂态响应曲线图，虚线表示TABCC在相同情况下的响应曲线图。当系统在1s时，输电线路发生故障并且在0.1s后故障切除，本发明的BACC相比于传统的TABCC能快速的做出响应，发电机功角大概需要2s可以保持到平衡状态，角速度相比于传统的TABCC使过渡时间缩短了3s，达到平衡状态。并且振幅小，曲线收敛速度快，提高了系统的暂态性能。

从图4中和图5得出：实线表示本发明的BACC受到短路故障下的暂态响应曲线图，虚线表示TABCC在相同情况下的响应曲线图。当系统在1s时，输电线路线路发生故障并且在0.1s后故障切除。x₃和x₄的暂态响应曲线相比于传统的TABCC方法更快的收敛到故障前的稳定运行状态，使发电机暂态电势和STATCOM接入点等效电流的响应时间缩短了2s和3s左右，而且系统振荡幅值小，提高了系统的暂态稳定性能，对扰动和故障具有较好的鲁棒性。

图6为不确定参数辨识在本发明的BACC的响应曲线图。从图中可以看出，θ估计真值只需1s左右可以迅速的稳定在-0.17，与所设置的真值基本一致，则表明采用I&I所设计的参数自适应律在本发明的BACC下能有效的辨识不确定参数。

Claims (4)

1.一种静止同步补偿器与发电机励磁鲁棒协调的控制方法，其特征在于，具体操作过程包括如下步骤：

步骤1，建立含不确定参数和未知扰动的静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统数学模型；

步骤2，采用浸入与不变自适应算为不确定参数设计自适应参数估计律；

步骤3，结合步骤2得到的自适应参数估计律和反步法推导发电机励磁控制律u_f和静止同步补偿器的控制律u_s，设计得到鲁棒协调控制器，根据L₂增益控制方法消除未知扰动对系统的影响，再通过耗散理论证明所设计的协调控制方法能保证系统具有鲁棒抑制能力，实现静止同步补偿器与发电机励磁协调控制。

2.如权利要求1所述的一种静止同步补偿器与发电机励磁鲁棒协调的控制方法，其特征在于，所述步骤1的具体过程如下：

步骤1.1，不考虑线路和静止同步补偿器本身的电磁暂态过程前提下，假定发电机的机械功率P_m恒定，采用发电机三阶非线性微分方程和静止同步补偿器一阶可控电流源模型，则包含静止同步补偿器的单机无穷大系统的非线性系统方程如式(1)所示：

其中：

x_dΣ＝x_d+X_L+X_T，X_L＝X_L1+X_L2，x′_dΣ＝x′_d+X_L+X_T

式中，x_d和x′_d分别为发电机d轴等效电抗和暂态等效电抗；x_dΣ和x′_dΣ为系统的等效总电抗和等效暂态总电抗；X_T为变压器阻抗；X_L1、X_L2为输电线路等效电抗；δ是发电机功角；ω是发电机角速度，ω₀是发电机的额定同步角速度；E′_q是发电机q轴暂态电势；V_s是静止同步补偿器装设点母线电压，设为1；I_q是静止同步补偿器所等效的可控电源输出电流；D是发电机阻尼系数，考虑阻尼系数D具有不确定性，定义变量θ＝-D/H；H是发电机转子的转动惯量；p_m是原动机机械功率；T_q是静止同步补偿器的惯性时间常数；u_s为静止同步补偿器的控制输入信号；u_f为励磁系统的控制输入信号；p_e为发电机电磁功率；w₁、w₂、w₃为L₂空间的未知函数，w＝[w₁ w₂ w₃]^T为施加在发电机转子、导纳和静止同步补偿器控制器所遭受的不确定扰动；

步骤1.2，选取状态变量为[x₁ x₂ x₃ x₄]^T＝[δ-δ₀ ω-ω₀ E′_q-E′_q0 I_q-I_q0]^T，其中，δ₀、ω₀、E′_q0、I_q0分别为各变量对应的初始值；

对式(1)中的常量进行参数替换： 则静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型如式(2)所示：

其中，θ为不确定参数，w₁、w₂、w₃为不确定的未知扰动；

假定系统输出如式(3)所示：

y＝[q₁x₁ q₂x₂]^T (3)

其中，q₁、q₂为非负的权重系数，其表示为x₁和x₂的加权比重。

3.如权利要求2所述的一种静止同步补偿器与发电机励磁鲁棒协调的控制方法，其特征在于，所述步骤2的具体过程如下：

步骤2.1，定义不确定参数估计误差如式(4)所示：

式中，为θ的估计值，β(x₁,x₂)为待设计函数；

步骤2.2，对式(4)进行求导，将式(2)代入后得到不确定参数估计误差的导数如式(5)所示：

为了保留不确定项w₁，构造含有z的微分函数，设计自适应参数替换律如式(6)所示：

将式(6)代入式(5)得：

步骤2.3，为了使参数估计误差Z指数收敛，设计其中，ρ为正数，设函数β为：构造Lyapunov函数V(z)如式(8)所示：

则V(z)求其对于时间的导数如式(9)所示：

从式(8)和式(9)得到V(z)是正定的，是负定的，根据LaSalle's定理得：不确定参数估计律是渐进稳定的。

4.如权利要求3所述的一种静止同步补偿器与发电机励磁鲁棒协调的控制方法，其特征在于，所述步骤3的具体过程如下：

步骤3.1，设计鲁棒协调控制器，首先，将式(2)的高阶系统降阶成4个子系统，定义系统的状态误差函数如式(10)-式(13)：

e₁＝x₁ (10)

式中，表示虚拟控制量；

根据式(2)，对式(10)进行求导得：

对于此一阶系统，将视为虚拟控制量，将设计为：

式中，c₁＞0；

步骤3.2，将式(2)的前两阶组成子系统并且采用L₂增益消除不确定扰动对系统响应的影响，达到扰动w₁对于输出是γ-耗散的；

首先，根据式(2)求e₂的导数如式(16)所示：

然后，根据耗散控制理论表示扰动w₁的能量供给与耗散关系函数S₁如式(17)所示：

将输出式(3)以及式(14)-式(16)代入式(17)中得：

式中：

通过设计虚拟控制量使得式(18)满足S₁≤0，因此，根据步骤2得到的不确定参数估计律可将设计为如式(19)所示：

式中，η₁＞0为所设计的参数；

将式(19)代入式(18)中，并根据式(4)定义的不确定参数估计误差，将式(19)整理得到式(20)：

将代入式(20)中得到S₁≤0，则证明参数估计律在虚拟控制量的作用下，静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型式(2)中的前两阶组成的子系统对于不确定扰动w₁是γ-耗散的；

步骤3.3，将式(2)表示的三阶系统采用反步法设计并求取控制律u_f，并且结合L₂增益来消除不确定扰动w₁和w₂对系统响应的影响；

首先，求取e₃的导数如式(21)所示：

然后，根据耗散控制理论来表示扰动w₂的能量供给与耗散关系函数S₂如式(22)所示：

由式(1)得：v与静止同步补偿器的等效电流之间具有相应函数关系，设计发电机励磁控制输入u_f如式(23)所示：

式中，v^*为发电机动态与静止同步补偿器一阶动态模型之间互联的间变量，定义其为：

将式(3)以及式(23)、式(24)整理代入(22)中得：

其中，η₂＞0为所设计的参数；

将代入式(25)，得出S₂≤0，则参数估计律在控制变量u_f的作用下保证了静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型式(2)对于不确定扰动w₁、w₂的输出响应是γ-耗散的，所设计的闭环控制系统中的所有解全局有界且渐进稳定的；

步骤3.4，根据式(2)构造新的状态变量，并且根据式(13)将控制输入变量x₄的中间控制律设计为如式(26)所示：

首先，对式(13)求导：

然后，根据耗散控制理论来表示扰动w₃的能量供给与耗散关系函数S₃如式(28)所示：

将静止同步补偿器控制律u_s设计为如式(29)所示：

将式(3)以及式(27)和式(29)代入到式(28)中得：

式中，η₃＞0为所设计的参数；

将代入式(30)，得出S₃≤0，则参数估计律在控制变量u_f的作用下保证了静止同步补偿器与发电机励磁的协调控制系统的数学模型式(2)对于不确定扰动w₃的输出响应是γ-耗散的，则控制系统对于扰动w₁、w₂、w₃具有不大于γ的L₂增益，证明了所设计的协调控制策略保证了系统的稳定性，并且具有L₂增益下的鲁棒抑制能力。