CN112820976A - 一种电动汽车电池换热风机系统及其控制方法 - Google Patents

Abstract

一种电动汽车电池换热风机系统及其控制方法，属于电动汽车电池仓温控风机技术领域，所述系统包括相变储热装置、电池仓，所述相变储热装置与电池仓串联，所述相变储热装置与电池仓之间设有换热通风管，换热风在通风管中呈顺时针运动模式。所述方法为设计状态观测器对不可测状态进行估计；利用神经网络方法对系统中存在的未知非线性函数进行估计；对于风机中存在的回滞现象，利用隐逆寻优的方法获取最终的控制信号，本发明将电池与相变储热装置结合，解决电动汽车电池散热管理与低温启动的问题，使用自适应动态面控制方法控制换热风机，达到控制系统平稳而快速地调节电机转速，在节能的同时实现电池仓温度动态平衡。

Description

一种电动汽车电池换热风机系统及其控制方法

技术领域

本发明属于电动汽车电池仓温控风机技术领域，具体涉及一种电动汽车电池换热风机系统及其控制方法。

背景技术

在电动汽车运行过程中，电动汽车电池会散发大量的热量，若热量不能及时散发可能引起电池热失控事故的发生；当电池停止工作后，电池的温度将向外界室温恢复，若外界室温偏低，低于电池的正常工作温度区间，电池的工作会因低温而导致放电容量急速衰减同时加速电池的老化。当前，针对电动汽车电池的低温启动问题的研究偏少，主要采用粗放式的用外部热源加热的方式进行；散热管理的研究相对较多，主要有空气冷却法、液体冷却法和相变材料冷却法三种，这三种方法通常都会采用接触式开放散热的结构，即通过冷却介质与电池接触换热，再将热量散发到外界的方式，而且通常都会辅以电机带动旋转设备来加速冷却介质的流动的方式来加强热交换的效率，但对电机的控制也粗放式的挡位控制；而在一些其他领域的风机控制方法如分级调速方法、PID控制方法、广义预测控制算法和滑模变结构控制算法等，也普遍存在控制精度低、对实际对象的非线性和时变不确定性不能很好解决、控制系统响应速度慢和系统抖震的问题。

发明内容

本发明提出了电动汽车电池与相变储热装置结合的基础结构来解决电动汽车电池散热管理与低温启动的问题，同时使用自适应动态面控制方法来控制换热风机，以达到控制系统平稳而快速地调节电机转速，在节能的同时实现电池仓温度动态平衡的目的。

本发明采用如下技术方案：

一种电动汽车电池换热风机系统，所述系统包括相变储热装置、电池仓，所述相变储热装置与电池仓串联，所述相变储热装置与电池仓之间设有两个换热通风管，每个换热通风管内部嵌入有换热风机，使换热风在通风管中呈顺时针运动模式，当电动汽车正常运行时，若电池仓温度高于正常电池仓工作温度，换热风机和相变储热装置开启，系统进入散热模式，即将电池仓的热量经过风机传输到相变储热装置中，此时相变储热装置处于吸热状态；当电动汽车处于停车将要启动状态时，若电池仓的温度低于正常电池仓工作温度，换热风机和相变储热装置开启，利用换热风机旋转将相变储热装置的热量传输到电池仓，对电池仓进行升温，相变储热装置处于放热状态。

所述的一种电动汽车电池换热风机系统的控制方法，所述方法为设计状态观测器对不可测状态进行估计；利用神经网络方法对系统中存在的未知非线性函数进行估计；对于风机中存在的回滞现象，利用隐逆寻优的方法获取最终的控制信号，

选取直流无刷电动机作为换热风机，该风机模型为：

其中，k_e为反电势系数，R为绕组相电阻，R_s＝2R，且L_s＝2(L-M)，L为绕组自感，M为两相绕组间互感，T_l为负载转矩，J为转动惯量，B为摩擦系数，k_t为转矩系数，将公式(1)变成如下形式：

其中，

为未知非线性函数，利用神经网络方法，得到：

其中ψ(ζ)为神经网络基函数，θ^*神经网络为最佳权向量，σ为神经网络误差，然后根据公式(3)得到：

其中

适当地选取参数q₁，q₂，将A₀表达成赫尔维茨矩阵，同时有e₁＝[1,0]，x＝[x₁,x₂]^T；对于不可测量状态x，构造如下状态观测器进行估计：

式中，k为设计参数且k≥1，v₀、ζ₀、Ξ分别为状态观测器可调参数，并且有：

根据式(7)和(8)，得到

其中，

为状态向量中的估计值，令估计误差为

得到：

其中∈＝[∈₁,∈₂]^T，根据式(7)，定义如下函数：

V_ε＝∈^TP∈ (11)

其中

和

并且有

定义如下的误差转换函数：

由于A₀是赫尔维茨矩阵，并且存在一个对称的正定矩阵

定义如下的二次函数：

对其求导可得：

因为：

所以对于任意的k≥1，均存在

根据式(7)中的状态观测器，设计输出反馈自适应动态面控制器，设计步骤如下，

第一步，定义系统的第一个误差面：

S₁＝y-y_r(18)

y_r是系统的参考信号，并对S₁关于时间求导得到以下的式子，

因为存在估计误差∈₂，得到以下式子：

将式(20)代入式(19)中得：

其中v_(0,2)，Ξ₍₂₎与ζ_(0,2)分别为向量v₀，Ξ与ζ₀的第2个值，

为被设计的虚拟控制律，设计虚拟控制律为：

其中，

为θ^*的估计，其被设计为：

同时根据公式(18)(19)得到：

将

通入一阶低通滤波器得到z₂，公式表示如下：

τ₂为一阶低通滤波器的时间常数，

第二步，定义系统的第二个误差面：

S₂＝v_(0,2)-z₂ (26)

对S₂进行求导可得：

最终的实际控制律w(u)被设计为：

根据公式(26)和(27)得到：

对整个系统进行稳定性分析，最终实现系统的L_∞跟踪性能，使跟踪误差收敛到任意小的集合，定义滤波误差为：

根据式(18)(23)和式(27)得出：

其中B₂为连续有界函数，

定义：

其中G₀与p为正设计参数，

定义如下李亚普诺夫函数：

其中

对V进行求导得出：

根据式(23)得出：

利用杨氏不等式得到：

其中M₂为紧集Ω₁×Ω₂上的最大值，κ为可设计的正参数，结合式(35)到式(37)

得出：

选取设计参数为：

σ_θγ_θ≥2c_l (43)

其中c₁满足

最终得出：

当V＝p时，

说明V(t)≤p是一个不变的集合，即如果V(0)≤p，对于所有的t≥0，V(t)≤p始终成立，V是统一有界的，并且证明整个闭环系统是有界的；

为了获得跟踪误差的L_∞的性能指标，对于所有的t≥0，要使

使得

并且满足y_r(0)＝y(0),S₁(0)＝0,v₀(0)＝0,ξ_(0,1)(0)＝0,Ξ(0)＝0,

进而得到S₂(0)＝0，y₂(0)＝0，同时，还得到如下的公式

由于

成立得到：

由式(45)和式(49)得出：

由于ζ_(0,1)(0)＝y(0)＝x₁(0)，∈₁(0)＝0成立，因此，公式Φ^-1∈(0)＝diag{0,1/k}∈(0)，

由于k≥1，有如下公式成立

由式(50)得到：

根据式(33)得到：

根据式(53)得出，系统中存在跟踪误差的L_∞范数，通过设计合适的参数c₁、c₂，误差S₁、S₂的无穷范数可以取到任意小，从而得到任意小的系统跟踪误差；

假定w(u)在t∈[t_i,t_i+1]单调递增的，定义变量u_μ(t)和w_μ(t)，其中μ是范围在0到所寻控制信号最大区间内的变量，且

u_μ(t)＝u₀(t)+μ (54)

u₀(t)为寻优过程中初始寻优信号，w_μ(t)为最优控制信号为μ时所对应的临时控制信号，

如果，临时控制信号大于最大值，所寻最优控制信号为最大值对应的最优实际控制信号；如果，临时控制信号大于最小值，所寻最优控制信号为最小值对应的最优实际控制信号；若都不满足，则：

第一步，让μ从0开始逐步增加；

第二步，计算出u_μ(t)和w_μ(t)的值，若w_μ(t)的值小于临时控制信号w(u)，则继续增加μ执行第二步，否则执行第三步；

第三步，停止增加μ，将此时的μ记为μ₀，进而得到最终的实际控制律u，利用得到的控制律，计算出对应的PWM占空比，实现对电机转速的控制。

本发明的优点与效果为：

本发明将使用自适应动态面控制方法的换热风机与相变储热装置结合，在节能的同时解决了电池仓散热管理、低温启动和电池仓温度保持动态稳定等问题。电池仓热管理方面：在电池仓温度与预设温度的温度差超过设定的阈值时，换热风机启动。在以温度差作为输入的控制系统中，利用温度与转速的对应关系求得相应的转速，换热风机的转速不断发生变化，使电池仓温度在1分钟内逼近预设温度，且长期稳定在预设温度附近，并使其误差低于5‰。当汽车在行驶过程中受到干扰等特殊情况时，温度差会因为扰动而再次增大，此时控制系统使换热风机转速也随之增加，并在6～10秒内使电池仓温度再次稳定在预设温度附近，并使其误差低于5‰。在环境温度较低时，电动汽车冷启动方法是在电池仓温度低于电池工作温度下限时，结合相变储热装置的储热为电池仓加热，等到电池仓的温度达到电池工况时最佳工作温度的下限后电动汽车再启动。根据电动汽车冷启动时电池仓具体温度而定，整个加热过程需要3～5分钟。

附图说明

图1是本发明提供的电动汽车电池温度控制结构图；

图2是本发明提供的电动汽车电池温度控制系统工作流程图；

图3是本发明提供的电动汽车电池仓温度自适应动态面控制方法的结构图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步解释。

本发明利用相变储热装置对电池仓进行温度管理，本发明是针对一个相变储热装置与电池仓串级连接的基础结构系统，该系统中相变储热装置与电池仓之间设置两个换热通风管，每个换热通风管内部嵌入换热风机(风机选取无刷直流电机)，使换热风在通风管中呈顺时针运动模式，并提出一种电动汽车电池换热风机控制方法，利用所测量电池仓温度的变化，采用自适应动态面控制方法，通过改变换热风机的转速，实现电池仓与相变储热装置之间的热量交换，进而达到对电池仓温度的控制。

在该基础结构中，需要判断电池仓温度与预设的电池正常工作温度的关系。当电动汽车正常运行时，若电池仓温度高于正常电池仓工作温度，需要开启换热风机和相变储热装置，系统进入散热模式，即将电池仓的热量经过风机传输到相变储热装置中，此时相变储热装置处于吸热状态；当电动汽车处于停车将要启动状态时，若电池仓的温度低于正常电池仓工作温度，此时不立即启动，而是开启换热风机和相变储热装置，利用换热风机旋转将相变储热装置的热量传输到电池仓，对电池仓进行升温，此时相变储热装置处于放热状态。

同时为使电池仓温度快速达到预设温度值附近，并动态保持在预设温度水平附近，发明了自适应动态面控制方法对换热风机的转速进行控制，通过换热风机来控制电池仓与相变储热装置间的热量交换，实现对电池仓内部温度的实时调节。考虑到风机系统状态不可测量，设计状态观测器来对不可测状态进行估计。对于系统中存在的未知非线性函数，利用神经网络方法对其进行估计。对于风机中存在的回滞现象，利用隐逆寻优的方法来获取最终的控制信号。选取直流无刷电动机作为本发明的换热风机，该风机数学模型为：

其中，k_e为反电势系数，R为绕组相电阻，R_s＝2R，且L_s＝2(L-M)，L为绕组自感，M为两相绕组间互感，T_l为负载转矩，J为转动惯量，B为摩擦系数，k_t为转矩系数。将公式(1)写成如下形式：

其中，

为未知非线性函数，利用神经网络方法，可以得到：

其中ψ(ζ)为神经网络基函数，θ^*神经网络为最佳权向量，σ为神经网络误差，然后根据公式(3)可以得到：

其中

通过适当地选取参数q₁，q₂，可将A₀表达成赫尔维茨矩阵，同时有e₁＝[1,0]，x＝[x₁,x₂]^T。

本系统的控制目标是针对风机非线性系统设计一种自适应神经网络动态面控制方案，使得输出y可以很好的跟踪参考信号y_r并实现L_∞跟踪性能，在该控制系统中，所有信号都是半全局最终一致有界的。

本发明中，由于系统状态不可测，因而利用输出反馈的方式对控制器进行设计。对于不可测量状态x，通过构造如下状态观测器进行估计：

式中，k为设计参数且k≥1，v₀、ζ₀、Ξ分别为状态观测器可调参数，并且有：

根据式(7)和(8)，可以得到

其中，

为状态向量中的估计值，令估计误差为

可以得到：

其中∈＝[∈₁,ε₂]^T，根据式(7)，定义如下函数：

V_ε＝∈^TP_∈ (11)

其中

和

并且有

定义如下的误差转换函数：

由于A₀是赫尔维茨矩阵，并且还存在一个对称的正定矩阵

定义如下的二次函数：

对其求导可得：

因为：

所以对于任意的k≥1，均存在

根据式(7)中所写的状态观测器，设计输出反馈自适应动态面控制器，设计步骤如下，

第一步，定义系统的第一个误差面：

S₁＝y-y_r (18)

y_r是系统的参考信号。并对S₁关于时间求导得到以下的式子，

因为存在估计误差ε₂，所以得到以下式子：

将式(20)代入式(19)中，可得，

其中v_(0,2)，Ξ₍₂₎与ζ_(0,2)分别为向量v₀，Ξ与ζ₀的第2个值，

为被设计的虚拟控制律，设计虚拟控制律为：

其中，

为θ^*的估计，其被设计为：

同时根据公式(18)(19)可以得到：

将

通入一阶低通滤波器得到z₂，公式表示如下：

τ₂为一阶低通滤波器的时间常数。

第二步，定义系统的第二个误差面：

S₂＝v_(0,2)-z₂ (26)

对S₂进行求导可得：

最终的实际控制律w(u)被设计为：

考虑公式(26)和(27)，可得：

对整个系统进行稳定性分析，最终实现系统的L_∞跟踪性能，使跟踪误差收敛到任意小的集合，定义滤波误差为：

根据式(18)(23)和式(27)可得：

其中B₂为连续有界函数。

定义：

其中G₀与p为正设计参数。

定义如下李亚普诺夫函数：

其中

对V进行求导，可得：

根据式(23)可得：

利用杨氏不等式，可以得到：

其中M₂为紧集Ω₁×Ω₂上的最大值，κ为可设计的正参数。结合式(35)到式(37)可得：

选取设计参数为：

σ_θγ_θ≥2c₁ (43)

其中c₁满足

最终可得：

当V＝p时，

说明V(t)≤p是一个不变的集合。换句话说，如果V(0)≤p，对于所有的t≥0，V(t)≤p始终成立。所以，V是统一有界的，并且还可以证明整个闭环系统是有界的。

为了获得跟踪误差的L_∞的性能指标，对于所有的t≥0，要使

使得

并且满足y_r(0)＝y(0),S₁(0)＝0,v₀(0)＝0,ξ_(0,1)(0)＝0,Ξ(0)＝0,

进而得到S₂(0)＝0，y₂(0)＝0，同时，还可以得到如下的公式

由于

成立，可以得到：

由式(45)和式(49)可得：

由于ζ_(0,1)(0)＝y(0)＝x₁(0)，∈₁(0)＝0成立。因此，公式Φ^-1∈(0)＝diag{0,1/k}∈(0)。

由于k≥1，有如下公式成立

由式(50)可以得到：

根据式(33)可以得到：

根据式(53)可以得出，系统中存在跟踪误差的L_∞范数，通过设计合适的参数c₁、c₂，误差S₁、S₂的无穷范数可以取到任意小，从而得到任意小的系统跟踪误差。

考虑公式(28)，由于电机中存在回滞，w(u)是一个带有回滞现象的临时控制信号，而最终需要设计的控制信号u隐含在临时控制信号中，我们需要通过寻优的方法寻找到一种最优性能指标，假定w(u)在t∈[t_i,t_i+1]单调递增的，定义变量u_μ(t)和w_μ(t)，其中μ是范围在0到所寻控制信号最大区间内的变量。且

u_μ(t)＝u₀(t)+μ (54)

u₀(t)为寻优过程中初始寻优信号。w_μ(t)为最优控制信号为μ时所对应的临时控制信号。

如果，临时控制信号大于最大值，所寻最优控制信号为最大值对应的最优实际控制信号；如果，临时控制信号大于最小值，所寻最优控制信号为最小值对应的最优实际控制信号；若都不满足，则：

第一步，让μ从0开始逐步增加；

第二步，计算出u_μ(t)和w_μ(t)的值，若w_μ(t)的值小于临时控制信号w(u)，则继续增加μ执行第二步，否则执行第三步；

第三步，停止增加μ，将此时的μ记为μ₀，进而得到最终的实际控制律u。

利用所设计得到的控制律，计算出对应的PWM占空比，进而实现对电机转速的控制。

本发明提供了一种电动汽车电池的换热风机控制方法，其中包括电池仓温度较高时的散热控制流程和电动汽车在环境温度较低时冷启动的加热控制流程。该换热风机控制结构由相变储热装置、换热风机、电池仓、测温传感器和位置传感器组成。所述的电池仓温度较高时散热控制流程按照下述的电动汽车电池风机散热控制方法执行，所述的冷启动时加热控制流程按照下述的电动汽车电池风机加热控制方法执行。电池仓的规定的工作温度区间为24℃-35℃，

电动汽车电池风机散热控制方法包括：

在汽车运行时，测温元件对电池仓温度进行实时监测，判断电池仓温度是否超过电池仓最大工作温度35℃。若电池仓温度大于电池仓规定工作温度区间最大温度，则风机控制系统进入散热模式。打开相变储热装置开关，开启换热风机，使电池仓热量经过风道进入相变储热装置，储存多余的热量。在控制系统中，将电池仓规定工作温度的中间温度30℃作为预设温度，将测速元件所测转速与预设转速作差得到转速差，将转速差值作为自适应动态面控制的方法的输入，得到第一个误差面，利用李雅普诺夫稳定性原理设计第一阶系统的虚拟控制律，将设计出来的虚拟控制律通入一阶低通滤波器后得到的值进行第二个误差面的设计，重复上述步骤直到设计出实际的控制律，然后通过实际控制律去实现脉冲宽度调制(PWM)，利用PWM技术可以改变电机电枢电压的通断时间比，从而控制风机的转速。使控制方法能够根据不同的转速差设置不同的风机转速，使电池仓的温度迅速恢复到规定的工作温度区间。

在自适应动态面控制方法中，最终的控制目标是通过使用所设计的控制律可以让系统的信号跟踪误差足够小，让系统的信号稳定在参考信号附近，如果遇到扰动，同样可以使系统的信号迅速稳定在参考信号附近。在该发明中，就是使电池仓的温度跟踪误差足够小，并且使其能够稳定在预设温度附近，当电动汽车在行驶过程中遇到干扰等特殊情况时，同样可以使电池仓的温度迅速稳定在预设温度附近。使电池仓温度可以被控制在预设温度左右，从而保证整个电池仓的温度处于一个良好的工作环境，起到保护电池的作用。

电动汽车冷启动时电池风机加热控制方法包括：

电动汽车在进行冷启动时，首先通过测温元件对电池仓测温，判断当前电池仓温度是否能够达到规定工作温度区间最低温度24℃，若电池仓温度高于规定工作温度区间最小温度24℃，则不需要加热，电动汽车可以正常启动。若电池仓温度低于规定工作温度区间最小温度24℃，风机控制系统进入加热模式。在加热模式中，打开相变储热装置的开关器，利用风机使相变储热装置的热量经过风道传输到电池仓，使电池仓温度达到规定工作温度区间最小温度24℃。此时，风机的作用是加快热量的传输速度，使电池仓温度不断升高。当电池仓的温度达到电池仓规定工作最低温度时，电动汽车可以正常启动，整个加热过程结束。当电动汽车进入行驶状态，电池仓温度达到30℃后，风机控制系统则进入散热模式(该散热模式与上述散热模式相同)。在散热模式中，电池仓所产生的热量再次被储存到相变储热装置中。在电动汽车熄火时，系统关闭相变储热装置的开关器，使相变储热装置中的热量可以长时间保存，为下一次汽车冷启动做准备。

实施例1

在图1所示换热风机系统中，绕组相电阻R_s＝2.1Ω，绕组自感L＝1.98×10^-3H，摩擦系数B＝0.0045Nm/rad/s，负载转矩T_l＝0.75Nm，转动惯量J＝0.0036kgm²，转矩系数k_t＝0.4，w(u)为系统中控制信号输入产生的回滞，是定子相电压，u为所需设计的最终控制器。由于系统中x₂并无实际的物理意义，且换热风机仅输出转速x₁可测，因而构建状态观测器对x₂进行估计，进而实现控制器设计。将系统写成公式(4)的形式，利用公式(7)对未知状态进行估计，其中，状态观测器的参数选取为k＝1.5，q₁＝2，q₂＝1，e₂＝[0,1]，对于(2)中所示系统存在的未知非线性函数，利用神经网络对未知非线性函数进行估计，神经网络基函数ψ(ζ)选择21个节点且均匀分布在[-4,4]×[-4,4]×[-4,4]×[-4,4]上，且基函数的宽度为2。在公式(18)中，y代表风机的实际输出转速，y_r为期望的转速，为实现对风机转速的控制，进而实现装置内部空气流动换热，根据公式(18)-(29)中所示设计步骤，得到w(u)的控制律为公式(28)所示。

为使风机转速控制的跟踪误差足够小，选取设计参数l₁＝35，l₂＝3，γ_θ＝1.6，σ_θ＝0.05，κ＝0.03，自适应调参律的初值

进而根据公式(53)可得||S₁||_∞足够小，进而可得系统的跟踪误差低于5‰。

由于风机内部存在回滞，这使得最终的控制器u会产生回滞输入w(u)。因此，需要用隐逆的方法将最终控制器u利用计算机从回滞w(u)中解算出来。考虑到公式(54)及隐逆寻优的步骤得到最终控制律u。

得到u后，利用占空比与输出电压u的关系，得到控制电压的PWM波，通过PWM波产生控制电压。于是，当电池仓内温度发生变化时，首先将温度转变成风机需换热的对应转速，然后将电机的参考转速与实际转速的转速差输入到控制系统中，计算得到w(u)，接着利用隐逆的方法计算出最终控制器u，并将u输入到换热风机的执行器中，通过功率驱动实现换热风机的转动，以达到调节电池仓温度的目的，最后将输出的实际转速反馈回来进而形成闭环控制。

Claims (2)

1.一种电动汽车电池换热风机系统，其特征在于：所述系统包括相变储热装置、电池仓，所述相变储热装置与电池仓串联，所述相变储热装置与电池仓之间设有两个换热通风管，每个换热通风管内部嵌入有换热风机，使换热风在通风管中呈顺时针运动模式，当电动汽车正常运行时，若电池仓温度高于正常电池仓工作温度，换热风机和相变储热装置开启，系统进入散热模式，即将电池仓的热量经过风机传输到相变储热装置中，此时相变储热装置处于吸热状态；当电动汽车处于停车将要启动状态时，若电池仓的温度低于正常电池仓工作温度，换热风机和相变储热装置开启，利用换热风机旋转将相变储热装置的热量传输到电池仓，对电池仓进行升温，相变储热装置处于放热状态。

2.根据权利要求1所述的一种电动汽车电池换热风机系统的控制方法，其特征在于：所述方法为设计状态观测器对不可测状态进行估计；利用神经网络方法对系统中存在的未知非线性函数进行估计；对于风机中存在的回滞现象，利用隐逆寻优的方法获取最终的控制信号，

选取直流无刷电动机作为换热风机，该风机模型为：

其中，k_e为反电势系数，R为绕组相电阻，R_s＝2R，且L_s＝2(L-M)，L为绕组自感，M为两相绕组间互感，T_l为负载转矩，J为转动惯量，B为摩擦系数，k_t为转矩系数，将公式(1)变成如下形式：

其中，

为未知非线性函数，利用神经网络方法，得到：

其中ψ(ζ)为神经网络基函数，θ^*神经网络为最佳权向量，σ为神经网络误差，然后根据公式(3)得到：

其中

适当地选取参数q₁，q₂，将A₀表达成赫尔维茨矩阵，同时有e₁＝[1,0]，x＝[x₁,x₂]^T；

对于不可测量状态x，构造如下状态观测器进行估计：

式中，k为设计参数且k≥1，v₀、ζ₀、Ξ分别为状态观测器可调参数，并且有：

根据式(7)和(8)，得到

其中，

为状态向量中的估计值，令估计误差为

得到：

其中∈＝[∈₁,∈₂]^T，根据式(7)，定义如下函数：

V_ε＝∈^TP∈ (11)

其中

和

并且有

定义如下的误差转换函数：

由于A₀是赫尔维茨矩阵，并且存在一个对称的正定矩阵

定义如下的二次函数：

对其求导可得：

因为：

所以对于任意的k≥1，均存在

根据式(7)中的状态观测器，设计输出反馈自适应动态面控制器，设计步骤如下，

第一步，定义系统的第一个误差面：

S₁＝y-y_r (18)

y_r是系统的参考信号，并对S₁关于时间求导得到以下的式子，

因为存在估计误差∈₂，得到以下式子：

将式(20)代入式(19)中得：

其中v_(0,2)，Ξ₍₂₎与ζ_(0,2)分别为向量v₀，Ξ与ζ₀的第2个值，

为被设计的虚拟控制律，设计虚拟控制律为：

其中，

为θ^*的估计，其被设计为：

同时根据公式(18)(19)得到：

将

通入一阶低通滤波器得到z₂，公式表示如下：

τ₂为一阶低通滤波器的时间常数，

第二步，定义系统的第二个误差面：

S₂＝v_(0,2)-z₂ (26)

对S₂进行求导可得：

最终的实际控制律w(u)被设计为：

根据公式(26)和(27)得到：

对整个系统进行稳定性分析，最终实现系统的L_∞跟踪性能，使跟踪误差收敛到任意小的集合，定义滤波误差为：

根据式(18)(23)和式(27)得出：

其中B₂为连续有界函数，

定义：

其中G₀与p为正设计参数，

定义如下李亚普诺夫函数：

其中

对V进行求导得出：

根据式(23)得出：

利用杨氏不等式得到：

其中M₂为紧集Ω₁×Ω₂上的最大值，κ为可设计的正参数，结合式(35)到式(37)得出：

选取设计参数为：

σ_θγ_θ≥2c₁ (43)

其中c₁满足

最终得出：

当V＝p时，

说明V(t)≤p是一个不变的集合，即如果V(0)≤p，对于所有的t≥0，V(t)≤p始终成立，V是统一有界的，并且证明整个闭环系统是有界的；

为了获得跟踪误差的L_∞的性能指标，对于所有的t≥0，要使

使得

并且满足y_r(0)＝y(0),S₁(0)＝0,v₀(0)＝0,ξ_(0,1)(0)＝0,Ξ(0)＝0,

进而得到S₂(0)＝0，y₂(0)＝0，同时，还得到如下的公式

由于

成立得到：

由式(45)和式(49)得出：

由于ζ_(0,1)(0)＝y(0)＝x₁(0)，∈₁(0)＝0成立，因此，公式Φ^-1∈(0)＝diag{0,1/k}∈(0)，由于k≥1，有如下公式成立

由式(50)得到：

根据式(33)得到：

根据式(53)得出，系统中存在跟踪误差的L_∞范数，通过设计合适的参数c₁、c₂，误差S₁、S₂的无穷范数可以取到任意小，从而得到任意小的系统跟踪误差；

假定w(u)在t∈[t_i,t_i+1]单调递增的，定义变量u_μ(t)和w_μ(t)，其中μ是范围在0到所寻控制信号最大区间内的变量，且

u_μ(t)＝u₀(t)+μ (54)

u₀(t)为寻优过程中初始寻优信号，w_μ(t)为最优控制信号为μ时所对应的临时控制信号，

如果，临时控制信号大于最大值，所寻最优控制信号为最大值对应的最优实际控制信号；如果，临时控制信号大于最小值，所寻最优控制信号为最小值对应的最优实际控制信号；若都不满足，则：

第一步，让μ从0开始逐步增加；

第二步，计算出u_μ(t)和w_μ(t)的值，若w_μ(t)的值小于临时控制信号w(u)，则继续增加μ执行第二步，否则执行第三步；

第三步，停止增加μ，将此时的μ记为μ₀，进而得到最终的实际控制律u，利用得到的控制律，计算出对应的PWM占空比，实现对电机转速的控制。

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