CN110401390A - 基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属于永磁同步电机位置跟踪控制技术领域，具体公开了一种基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制方法。该方法针对永磁同步电机的控制精度需求以及驱动系统中的随机扰动和非线性问题，在传统的反步法中引入了命令滤波技术来解决计算过程中的“计算爆炸”问题，同时利用模糊逻辑系统逼近系统中的非线性函数，构造了模糊自适应位置跟踪控制器，并通过观测器对转子角速度进行观测，减少了因直接测量而造成的损失。本发明方法可以保证系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个足够小的邻域内。
Description
技术领域
本发明属于永磁同步电机位置跟踪控制技术领域，具体涉及一种基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制方法。
背景技术
近年来，人们对于环境的保护越来越重视，电动汽车凭借其污染少、成本低等优点而得到大力的发展。永磁同步电动机(PMSMs)作为电动汽车的驱动装置之一，具有工作效率高、可靠性高、使用范围广等特点，因而被使用于制造业、工业等领域。但永磁同步电动机具有强耦合性、多变量和高低非线性等特点，因此，如何在克服上述缺点的情况下实现对永磁同步电动机准确有效的控制是当前研究的热点之一。针对上述问题，一些先进的控制策略被提出并有效地适用于实际问题中，如自适应控制、状态反馈显性化、哈密顿控制等。
然而，上述控制方法没有考虑永磁同步电动机实际运行中铁损和随机扰动的影响。在电动车运行过程中，电动汽车随机驱动系统中的PMSMs会不可避免的出现轻载或高速运转的现象，这使得大量的铁芯损耗产生，严重的影响了系统的控制性能。电动汽车随机驱动系统中的PMSMs在运行过程中同样会存在随机噪声和振动，例如负载力矩，转动惯量和摩擦震动等，上述扰动项的存在会严重影响系统的控制效果，从而增加了电动汽车在实际运行过程中的驾驶风险。
在另一个前沿领域，作为先进控制方法的反步控制法已经被运用到PMSMs的驱动系统中，并取得了较好的控制效果，但反步法存在的缺点主要体现在“某些驱动系统的某些函数必须是线性的”和“复杂的计算爆炸问题”。上述问题的存在使得PMSMs驱动系统的使用具有较大的局限性。针对“某些驱动系统的功能必须是线性的”的问题，已经提出近似理论来解决，例如模糊逻辑系统(FLS)或神经网络(NN)。针对复杂的“计算爆炸”问题，已经提出动态面控制(DSC)方法来解决，并取得了显著成效。然而，在使用动态面控制方法时会存在滤波误差，并且此误差无法消除，这将影响控制效果。此外，上述控制策略应用于PMSMs驱动系统中时，需通过传感器直接测量系统状态变量信息。例如，通过传感器直接测量出电动机的角速度并提供给控制系统进行进一步的控制。但传感器在工作过程中存在较多弊端，如造价高、准确性难以保障和可靠性较低等，因此不适用于某些精度要求高的场合。
发明内容
针对现有技术中存在的上述技术问题，本发明提出了一种基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制方法，设计合理，克服了现有技术的不足，具有良好的效果。
为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制方法，包括如下步骤：
步骤1：建立动态数学模型；具体包括如下步骤：
步骤1.1：建立考虑铁损的永磁同步电机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：
其中，ud，uq表示定子电压；Θ和ω分别表示转子角位置和转子角速度；id，iq表示定子电流；iod，ioq表示励磁电流；J表示转动惯量；np表示极对数；Ld，Lq表示定子电感；Lld，Llq表示定子漏感；Lmd，Lmq表示励磁电感；R1表示定子电阻，Rc表示铁芯损耗电阻；TL表示负载转矩；λPM表示转子永磁体产生的磁通量；
步骤1.2：为简化计算过程，定义新的变量如公式(2)所示：
则考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型表示如公式(3)所示：
其中，ψ1,ψ2,ψ3,ψ4,ψ5,ψ6均表示未知的光滑非线性函数；
基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C2，C2表示复数集，定义差分运算L，由伊藤微分法则知：
其中，表示修正项，f和h表示关于x的局部Lipschitz函数，Tr表示对角线元素之和；LV表示V的差分运算；
假设存在一个C2的函数V(x):Rn→R+，取两个常数e0＞0和g0＞0，则存在：
其中，Rn表示全体n维实数列向量构成的集合，R+表示正数，q(x)表示函数V(x)的下限，表示函数V(x)的上限；
对于任意x∈Rn，当t≥t0时，随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dw满足：
其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望，V(x0)表示当x＝x0时V(x)的初始值；
命令滤波器定义如公式(6)所示：
其中，φ1和φ2表示实数，ωn＞0，ζ∈(0，1]；如果输入信号α1满足和对于所有的t≥0均成立，其中ρ1和ρ2是正的常量，并且φ1(0)＝α1(0)，φ2(0)＝0，则对于任意μ＞0：
必然存在ωn＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ1-α1|≤μ，和|φ1|都是有界的；
对于R表示实数集，总存在不等式，如公式(7)所示：
其中，ε＞0，p＞1，q＞1，并且(p-1)(q-1)＝1；
假设存在任意小的数ε＞0，总存在模糊逻辑系统MTP(Z)，使得连续函数f(Z)满足如下式子：f(Z)＝MTP(Z)+δ(Z)，其中δ(Z)是该函数的逼近误差，|δ(Z)|≤ε；
存在已知常数ie＝1,…,n，满足以下公式：其中，表示未知的光滑函数；
步骤2：设计降维观测器；具体包括如下步骤：
步骤2.1：由步骤1中的式(3)得：
令其中已知其中ie＝1,…,n，是未知光滑函数，且是一个未知的正常数；对于一个任意小的正数ε2，根据模糊逼近定理知：其中δ2(Z1)≤|ε2|，降维观测器设计如公式(9)所示：
步骤2.2：将式(9)简化得：
其中：
E1＝[1,0]T，H＝[g1,g2]T，
给定KT＝K＞0，这里存在PT＝P＞0使得：
DTP+PD＝-K (11)；
步骤2.3：误差稳定性分析；
降维观测器的误差e＝[e1,e2]T，其中，则降维观测器的误差如公式(12)所示：
其中，ψ＝[ψ1,ψ2]，选取一个李雅普诺夫函数
由知：
由杨氏不等式知：
选取：
P0＞0，λ＝λmin(P)λmin(K)，其中λmin(P)和λmin(K)分别表示P和K的最小特征值；
由公式(16)知，降维观测器的稳定性好；放置有降维观测器的控制系统的稳定性好；
步骤3：设计控制器；具体包括如下步骤：
步骤3.1：定义系统误差变量和补偿误差：
其中，zi,i＝1,2,3,4,5,6,为系统误差变量，vi,i＝1,2,3,4,5,6,为补偿误差；x1d为期望信号，xt,c,t＝1,2,3,5,为输入αt时滤波器的输出信号，ξi,i＝1,2,3,4,5,6,为误差补偿信号；
步骤3.2：定义未知常数χi＝||Mi||2，其中，i＝1,2,3,4,5,6,Mi表示未知理想权向量，其中，j＝1,2,3,4,5,6,表示χj的估计值；表示xt,c的L运算，Pi(Z)＝Pi表示基函数向量，δi(Z)为跟踪误差，且满足|δi(Z)|≤εi，εi表示任意小的正数，其中
控制器设计的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制函数或者真实控制律，在步骤3.1中，具体包括以下步骤：
步骤3.1.1：定义误差变量z1＝x1-x1d，v1＝z1-ξ1，选取李雅普诺夫函数为由式(4)得：
已知x1d为期望信号，由杨氏不等式知：
取其中|δ1(Z)|＜ε1，根据杨氏不等式知：
选取虚拟控制率、补偿信号和自适应律：
其中，αt为虚拟控制律，ξi为误差补偿信号，且其中，hi和mi是设计参数，由此得：
步骤3.1.2：定义误差变量v2＝z2-ξ2，选取由式(4)得：
选取由杨氏不等式得：
虚拟控制率、补偿信号和自适应律为：
将式(21)带入式(19)中得：
步骤3.1.3：定义误差变量z3＝x3-x2,c，v3＝z3-ξ3，选取李雅普诺夫函数：通过式(4)得：
选取：
由杨氏不等式得：
取补偿信号、虚拟控制律和自适应律为：
将补偿信号、虚拟控制律和自适应律带入式(23)得：
步骤3.1.4：定义误差变量z4＝x4-x3,c，v4＝z4-ξ4，选取李雅普诺夫函数利用式(4)得：
选取：
同理得：
取补偿信号、真实控制率和自适应律为：
将式(26)带入式(25)得：
步骤3.1.5：定义误差变量z5＝x5，v5＝z5-ξ5，选取李雅普诺夫函数利用式(4)得：
由杨氏不等式得：
选取：
同理得：
取虚拟控制律、补偿信号和自适应律分别为：
将式(29)带入式(28)中得：
步骤3.1.6：定义误差变量z6＝x6-x5,c，v6＝z6-ξ6，选取李雅普诺夫函数利用式(4)得
选取：
取真实控制律、补偿信号和自适应律分别为：
将真实控制律、补偿信号和自适应律代入式(31)得：
由公式(18)、(22)、(24)、(27)、(30)、(32)知vi为有界，其中vi为补偿误差；
步骤4：系统稳定性分析，具体包括如下步骤：
步骤4.1：选择Lyapunov函数V＝V6
其中：
由a0和b0，将公式(33)改写为：
LV≤-a0V+b0,t≥0 (34)；
由式(5)和式(34)得：
由式(35)得：
步骤4.2：定义滤波误差|xt,c-αt|≤σt，构造Lyapunov函数对函数求导得：
取由式(36)得则知补偿误差ξi为有界；其中，
由步骤1-步骤4知，zi＝vi+ξi，vi和ξi均为有界，则z1有界且满足通过调整参数a0，b0，k0和c0能够使z1收敛于原点周围期望的邻域内。
本发明所带来的有益技术效果：
(1)本发明在设计控制器时，考虑了铁损和随机扰动，提高了系统的鲁棒性、稳定性和实际应用性。
(2)考虑到传感器使用过程中存在可靠性低和造价高等缺点，本发明设计降维观测器来估计角速度信号，提高了系统的可靠性，同时，本发明通过使用模糊逻辑系统来逼近PMSMs驱动系统中未知的随机非线性系统。
(3)本发明将CFC技术与误差补偿技术相结合，在解决系统复杂的“计算爆炸”问题的同时，通过误差补偿技术减小了滤波误差的影响，提高了PMSMs的工作效率和控制精度。
附图说明
图1为本发明中基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制器、坐标变换、SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图；
其中，1-基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制器；2-坐标变换单元；3-SVPWM逆变器；4-转速检测单元；5-电流检测单元；
图2是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图；
图3是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图；
图4是采用本发明控制方法后转子角度估计值和转子角度实际值跟踪仿真图；
图5是采用本发明控制方法后转子角速度估计值和转子角速度实际值跟踪仿真图；
图6是采用本发明控制方法后同步电动机d轴定子电压仿真图；
图7是采用本发明控制方法后同步电动机q轴定子电压仿真图。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：
本发明的基本思想为：
利用模糊系统逼近永磁同步电机驱动系统中未知的随机非线性函数，同时基于Lyapunov函数，运用反步法构造中间虚拟控制信号，逐步递推得到控制律，从而保证电压电流稳定在一个有界区域内，减小跟踪误差，提高控制精度。
下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：
如图1所示，考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制方法，其涉及的部件主要包括基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3和转速检测单元4与电流检测单元5，Uα和Uβ表示两相旋转坐标系下的电压，U、V和W表示三相电压。
其中，转速检测单元4和电流检测单元5用于检测永磁同步电机的电流值和转速变量，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，运用基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制永磁同步电机的转速。
为了设计一个更加有效的控制器，建立永磁同步电机动态模型是十分重要的。
一种基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制方法，包括如下步骤：
步骤1：建立动态数学模型；具体包括如下步骤：
步骤1.1：建立考虑铁损的永磁同步电机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：
其中，ud，uq表示定子电压；Θ和ω分别表示转子角位置和转子角速度；id，iq表示定子电流；iod，ioq表示励磁电流；J表示转动惯量；np表示极对数；Ld，Lq表示定子电感；Lld，Llq表示定子漏感；Lmd，Lmq表示励磁电感；R1表示定子电阻，Rc表示铁芯损耗电阻；TL表示负载转矩；λPM表示转子永磁体产生的磁通量；
步骤1.2：为简化计算过程，定义新的变量如公式(2)所示：
则考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型表示如公式(3)所示：
其中，ψ1,ψ2,ψ3,ψ4,ψ5,ψ6均表示未知的光滑非线性函数；
基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C2，C2表示复数集，定义差分运算L，由伊藤微分法则知：
其中，表示修正项，f和h表示关于x的局部Lipschitz函数，Tr表示对角线元素之和；LV表示V的差分运算；
假设存在一个C2的函数V(x):Rn→R+，取两个常数e0＞0和g0＞0，则存在：
其中，Rn表示全体n维实数列向量构成的集合，R+表示正数，q(|x|)表示函数V(x)的下限，表示函数V(x)的上限；
对于任意x∈Rn，当t≥t0时，随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dw满足：t≥t0；
其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望，V(x0)表示当x＝x0时V(x)的初始值；
命令滤波器定义如公式(6)所示：
其中，φ1和φ2表示实数，ωn＞0，ζ∈(0，1]；如果输入信号α1满足和对于所有的t≥0均成立，其中ρ1和ρ2是正的常量，并且φ1(0)＝α1(0)，φ2(0)＝0，则对于任意μ＞0：
必然存在ωn＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ1-α1|≤μ，和|φ1|都是有界的；
对于R表示实数集，总存在不等式，如公式(7)所示：
其中，ε＞0，p＞1，q＞1，并且(p-1)(q-1)＝1；
假设存在任意小的数ε＞0，总存在模糊逻辑系统MTP(Z)，使得连续函数f(Z)满足如下式子：f(Z)＝MTP(Z)+δ(Z)，其中δ(Z)是该函数的逼近误差，|δ(Z)|≤ε；
存在已知常数ie＝1,…,n，满足以下公式：其中，表示未知的光滑函数；
步骤2：设计降维观测器；具体包括如下步骤：
步骤2.1：由步骤1中的式(3)得：
令其中已知其中ie＝1,…,n，是未知光滑函数，且是一个未知的正常数；对于一个任意小的正数ε2，根据模糊逼近定理知：其中δ2(Z1)≤|ε2|，降维观测器设计如公式(9)所示：
步骤2.2：将式(9)简化得：
其中：
E＝[0,1]T，E1＝[1,0]T，H＝[g1,g2]T，
给定KT＝K＞0，这里存在PT＝P＞0使得：
DTP+PD＝-K (11)；
步骤2.3：误差稳定性分析；
降维观测器的误差e＝[e1,e2]T，其中，则降维观测器的误差如公式(12)所示：
其中，ψ＝[ψ1,ψ2]，选取一个李雅普诺夫函数
由知：
由杨氏不等式知：
选取：
P0＞0，λ＝λmin(P)λmin(K)，其中λmin(P)和λmin(K)分别表示P和K的最小特征值；
由公式(16)知，降维观测器的稳定性好；放置有降维观测器的控制系统的稳定性好；
步骤3：设计控制器；具体包括如下步骤：
步骤3.1：定义系统误差变量和补偿误差：
其中，zi,i＝1,2,3,4,5,6,为系统误差变量，vi,i＝1,2,3,4,5,6,为补偿误差；x1d为期望信号，xt,c,t＝1,2,3,5,为输入αt时滤波器的输出信号，ξi,i＝1,2,3,4,5,6,为误差补偿信号；
步骤3.2：定义未知常数χi＝||Mi||2，其中，i＝1,2,3,4,5,6,Mi表示未知理想权向量，其中，j＝1,2,3,4,5,6,表示χj的估计值；表示xt,c的L运算，Pi(Z)＝Pi表示基函数向量，δi(Z)为跟踪误差，且满足|δi(Z)|≤εi，εi表示任意小的正数，其中
控制器设计的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制函数或者真实控制律，在步骤3.1中，具体包括以下步骤：
步骤3.1.1：定义误差变量z1＝x1-x1d，v1＝z1-ξ1，选取李雅普诺夫函数为由式(4)得：
已知x1d为期望信号，由杨氏不等式知：
取其中|δ1(Z)|＜ε1，根据杨氏不等式知：
选取虚拟控制率、补偿信号和自适应律：
其中，αt为虚拟控制律，ξi为误差补偿信号，且其中，hi和mi是设计参数，由此得：
步骤3.1.2：定义误差变量v2＝z2-ξ2，选取由式(4)得：
选取由杨氏不等式得：
虚拟控制率、补偿信号和自适应律为：
将式(21)带入式(19)中得：
步骤3.1.3：定义误差变量z3＝x3-x2,c，v3＝z3-ξ3，选取李雅普诺夫函数：通过式(4)得：
选取：
由杨氏不等式得：
取补偿信号、虚拟控制律和自适应律为：
将补偿信号、虚拟控制律和自适应律带入式(23)得：
步骤3.1.4：定义误差变量z4＝x4-x3,c，v4＝z4-ξ4，选取李雅普诺夫函数利用式(4)得：
选取：
同理得：
取补偿信号、真实控制率和自适应律为：
将式(26)带入式(25)得：
步骤3.1.5：定义误差变量z5＝x5，v5＝z5-ξ5，选取李雅普诺夫函数利用式(4)得：
由杨氏不等式得：
选取：
同理得：
取虚拟控制律、补偿信号和自适应律分别为：
将式(29)带入式(28)中得：
步骤3.1.6：定义误差变量z6＝x6-x5,c，v6＝z6-ξ6，选取李雅普诺夫函数利用式(4)得
选取：
取真实控制律、补偿信号和自适应律分别为：
将真实控制律、补偿信号和自适应律代入式(31)得：
由公式(18)、(22)、(24)、(27)、(30)、(32)知vi为有界，其中vi为补偿误差；
步骤4：系统稳定性分析，具体包括如下步骤：
步骤4.1：选择Lyapunov函数V＝V6
其中：
由a0和b0，将公式(33)改写为：
LV≤-a0V+b0,t≥0 (34)；
由式(5)和式(34)得：
由式(35)得：
步骤4.2：定义滤波误差|xt,c-αt|≤σt，构造Lyapunov函数对函数求导得：
取由式(36)得则知补偿误差ξi为有界；
其中，
由步骤1-步骤4知，zi＝vi+ξi，vi和ξi均为有界，则z1有界且满足通过调整参数a0，b0，k0和c0能够使z1收敛于原点周围期望的邻域内。
在虚拟环境下对建立的基于观测器的PMSMs随机命令滤波模糊控制器进行仿真，验证所提出的基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制方法的可行性，选择参数如下：
J＝0.002kg·m2,λPM＝0.0844Wb,Lld＝0.00177,Rc＝200Ω,Ld＝0.00977H,Lq＝0.00977H,
np＝3,Lmd＝0.007H,Lmq＝0.008H,Llq＝0.00177,R＝2.21Ω.
选取参考信号为x1d＝sin(t)，负载转矩为选择控制器参数为：k1＝k2＝k3＝k4＝20,k5＝k6＝5,hi＝10,mi＝0.5,ri＝2,i＝1,2,3,4,5,6；命令滤波器的参数如下：τ1＝τ3＝0.7,τ2＝τ4＝0.9,ω1＝ω3＝500,ω2＝ω4＝800。
选择H＝[200,10000]，且D是一个严格的Hurwitz矩阵。选择K＝diag[100,100]，由式(8)可得
对于基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制方法的仿真结果如图2、图3、图4、图5、图6、图7所示。跟踪信号和期望信号如图2所示，系统的控制效果理想，响应速度快，鲁棒性强。位置跟踪误差如图3所示，系统跟踪误差稳定在0.05以内且最大误差不超过0.2。由图2和图3看出，系统的实际信号可以很好的跟踪期望信号。跟踪信号的实际值和估计值如图4所示。系统转子角速度的实际值和估计值如图5所示，估计值曲线可以很好的跟踪实际值的曲线，所设计的观测器可以实现对实际值的观测。d轴定子电压和q轴定子电压如图6和图7所示，由图6和图7看出，控制器输入ud和uq都稳定在一个有界区域内。
以上模拟信号清楚地表明，本发明中基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制方法可以高效地跟踪参考信号，因此，具有良好实际实施意义。
当然，上述说明并非是对本发明的限制，本发明也并不仅限于上述举例，本技术领域的技术人员在本发明的实质范围内所做出的变化、改型、添加或替换，也应属于本发明的保护范围。
Claims (1)
1.基于观测器的永磁同步电机随机命令滤波模糊控制方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤1：建立动态数学模型；具体包括如下步骤：
步骤1.1：建立考虑铁损的永磁同步电机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：
其中，ud，uq表示定子电压；Θ和ω分别表示转子角位置和转子角速度；id，iq表示定子电流；iod，ioq表示励磁电流；J表示转动惯量；np表示极对数；Ld，Lq表示定子电感；Lld，Llq表示定子漏感；Lmd，Lmq表示励磁电感；R1表示定子电阻，Rc表示铁芯损耗电阻；TL表示负载转矩；λPM表示转子永磁体产生的磁通量；
步骤1.2：为简化计算过程，定义新的变量如公式(2)所示：
则考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型表示如公式(3)所示：
其中，ψ1,ψ2,ψ3,ψ4,ψ5,ψ6均表示未知的光滑非线性函数；
基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C2，C2表示复数集，定义差分运算L，由伊藤微分法则知：
其中，表示修正项，f和h表示关于x的局部Lipschitz函数，Tr表示对角线元素之和；LV表示V的差分运算；
假设存在一个C2的函数V(x):Rn→R+，取两个常数e0＞0和g0＞0，则存在：
其中，Rn表示全体n维实数列向量构成的集合，R+表示正数，q(|x|)表示函数V(x)的下限，表示函数V(x)的上限；
对于任意x∈Rn，当t≥t0时，随机系统dx＝f(x)dt+h(x)dw满足：
其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望，V(x0)表示当x＝x0时V(x)的初始值；
命令滤波器定义如公式(6)所示：
其中，φ1和φ2表示实数，ωn＞0，ζ∈(0，1]；如果输入信号α1满足和对于所有的t≥0均成立，其中ρ1和ρ2是正的常量，并且φ1(0)＝α1(0)，φ2(0)＝0，则对于任意μ＞0：
必然存在ωn＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ1-α1|≤μ，和|φ1|都是有界的；
对于R表示实数集，总存在不等式，如公式(7)所示：
其中，ε＞0，p＞1，q＞1，并且(p-1)(q-1)＝1；
假设存在任意小的数ε＞0，总存在模糊逻辑系统MTP(Z)，使得连续函数f(Z)满足如下式子：f(Z)＝MTP(Z)+δ(Z)，其中δ(Z)是该函数的逼近误差，|δ(Z)|≤ε；
存在已知常数满足以下公式：其中，表示未知的光滑函数；
步骤2：设计降维观测器；具体包括如下步骤：
步骤2.1：由步骤1中的式(3)得：
令其中已知其中 是未知光滑函数，且是一个未知的正常数；对于一个任意小的正数ε2，根据模糊逼近定理知：其中δ2(Z1)≤|ε2|，降维观测器设计如公式(9)所示：
步骤2.2：将式(9)简化得：
其中：
E＝[0,1]T，E1＝[1,0]T，H＝[g1,g2]T，给定KT＝K＞0，这里存在PT＝P＞0使得：
DTP+PD＝-K (11)；
步骤2.3：误差稳定性分析；
降维观测器的误差e＝[e1,e2]T，其中，则降维观测器的误差如公式(12)所示：
其中，ψ＝[ψ1,ψ2]，选取一个李雅普诺夫函数
由知：
由杨氏不等式知：
选取：
P0＞0，λ＝λmin(P)λmin(K)，其中λmin(P)和λmin(K)分别表示P和K的最小特征值；
由公式(16)知，降维观测器的稳定性好；放置有降维观测器的控制系统的稳定性好；
步骤3：设计控制器；具体包括如下步骤：
步骤3.1：定义系统误差变量和补偿误差：
其中，zi,i＝1,2,3,4,5,6,为系统误差变量，vi,i＝1,2,3,4,5,6,为补偿误差；x1d为期望信号，xt,c,t＝1,2,3,5,为输入αt时滤波器的输出信号，ξi,i＝1,2,3,4,5,6,为误差补偿信号；
步骤3.2：定义未知常数χi＝||Mi||2，其中，i＝1,2,3,4,5,6,Mi表示未知理想权向量，其中，j＝1,2,3,4,5,6,表示χj的估计值；Lxt,c＝lxt,c表示xt,c的L运算，Pi(Z)＝Pi表示基函数向量，δi(Z)为跟踪误差，且满足|δi(Z)|≤εi，εi表示任意小的正数，其中
控制器设计的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制函数或者真实控制律，在步骤3.1中，具体包括以下步骤：
步骤3.1.1：定义误差变量z1＝x1-x1d，v1＝z1-ξ1，选取李雅普诺夫函数为由式(4)得：
已知x1d为期望信号，由杨氏不等式知：
取其中|δ1(Z)|＜ε1，根据杨氏不等式知：
选取虚拟控制率、补偿信号和自适应律：
其中，αt为虚拟控制律，ξi为误差补偿信号，且其中，hi和mi是设计参数，由此得：
步骤3.1.2：定义误差变量v2＝z2-ξ2，选取由式(4)得：
选取由杨氏不等式得：
虚拟控制率、补偿信号和自适应律为：
将式(21)带入式(19)中得：
步骤3.1.3：定义误差变量z3＝x3-x2,c，v3＝z3-ξ3，选取李雅普诺夫函数：通过式(4)得：
选取：
由杨氏不等式得：
取补偿信号、虚拟控制律和自适应律为：
将补偿信号、虚拟控制律和自适应律带入式(23)得：
步骤3.1.4：定义误差变量z4＝x4-x3,c，v4＝z4-ξ4，选取李雅普诺夫函数利用式(4)得：
选取：
同理得：
取补偿信号、真实控制率和自适应律为：
将式(26)带入式(25)得：
步骤3.1.5：定义误差变量z5＝x5，v5＝z5-ξ5，选取李雅普诺夫函数利用式(4)得：
由杨氏不等式得：
选取：
同理得：
取虚拟控制律、补偿信号和自适应律分别为：
将式(29)带入式(28)中得：
步骤3.1.6：定义误差变量z6＝x6-x5,c，v6＝z6-ξ6，选取李雅普诺夫函数利用式(4)得
选取：
取真实控制律、补偿信号和自适应律分别为：
将真实控制律、补偿信号和自适应律代入式(31)得：
由公式(18)、(22)、(24)、(27)、(30)、(32)知vi为有界，其中vi为补偿误差；
步骤4：系统稳定性分析，具体包括如下步骤：
步骤4.1：选择Lyapunov函数V＝V6
其中：
由a0和b0，将公式(33)改写为：
LV≤-a0V+b0,t≥0 (34)；
由式(5)和式(34)得：
由式(35)得：
步骤4.2：定义滤波误差|xt,c-αt|≤σt，构造Lyapunov函数对函数求导得：
取由式(36)得则知补偿误差ξi为有界；
其中，
由步骤1-步骤4知，zi＝vi+ξi，vi和ξi均为有界，则z1有界且满足通过调整参数a0，b0，k0和c0能够使z1收敛于原点周围期望的邻域内。
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- 2019-07-22 CN CN201910658467.8A patent/CN110401390B/zh active Active
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