CN110687796A - 基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法。该方法包括构建有限时间命令滤波器、基于神经网络逼近的自适应更新律、有限时间误差补偿机制和针对输入饱和的动态辅助系统等步骤。本发明方法不仅避免了传统反步法存在的计算复杂性问题，还进一步消除了滤波过程中产生的误差。此外，为了进一步提高系统的鲁棒性，本发明方法采用神经网络逼近技术对系统中的不确定动态模型进行逼近。另外，考虑到实际应用过程中执行器遇到的输入饱和问题，本发明设计了动态辅助系统补偿输入饱和，使该发明更适合实际应用，最终保证了关节位置跟踪误差在有限时间内收敛到足够小的原点邻域。

Description

基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法。

背景技术

由于谐波减速器和力矩传感器共同作用引起的机械臂关节柔性已成为制约机器人高品质控制的瓶颈，因此人们开发了许多有效的控制方法，诸如滑模控制、反步控制、神经网络控制、模糊自适应控制等，以解决上述原因引起的机械臂关节柔性问题。

柔性关节机械臂通常工作在复杂的环境中，因此不可避免地会出现模型的不确定性。虽然采用滑模控制方法设计的控制器能够有效抑制系统不确定，但通常存在抖振问题。

相比之下，反步技术作为另一种经典的处理高阶非线性系统控制问题的方法，并不存在抖振问题，因此得到了广泛的应用。经典的反步方法经常与自适应神经网络/模糊技术相结合，利用神经网络/模糊系统来逼近系统中的不确定项。但在采用自适应反步控制方法时，需要对虚拟控制信号进行多次微分，这就导致了计算爆炸问题。

为了解决这一问题，人们提出了动态表面控制，并进一步扩展到自适应神经/模糊动态面控制。动态面控制通过应用一阶滤波器消除计算爆炸问题，但是加入滤波器后产生的滤波误差得不到补偿，因而无法进一步提高控制性能。人们又提出了命令滤波反步控制方法，该方法利用命令滤波消除了计算爆炸问题，并利用误差补偿机制消除了滤波误差。

由于有限时间控制具有收敛速度快、抗干扰能力强、控制精度高等优点，其在机器人控制设计中更具吸引力。此外，大多数关于柔性关节机械臂系统的研究都没有考虑系统输入的饱和问题，但是实际应用中，电机输出力矩通常会收到输入饱和的影响。

因此，如何将命令滤波反步法和有限时间控制技术相结合，应用于考虑具有输入饱和的柔性关节机械臂系统，从而实现关节位置对期望位置的跟踪控制，尚未见到相关技术。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，以解决具有不确定性和输入饱和的柔性关节机械臂系统的关节位置跟踪控制问题。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，包括如下步骤：

定义柔性关节机械臂的动力学模型如下：

其中，分别表示关节位置、速度和角速度向量；

H(q)∈R^n×n为对称正定惯性矩阵；

为科里奥利向心矩阵；

G(q)∈Rⁿ为重力向量；F∈R^n×n为阻尼摩擦系数的对角正定矩阵；

分别表示电机经过减速器后的关节位置、速度和角速度向量；

K_m∈R^n×n、J∈R^n×n和B∈R^n×n分别表示关节刚度矩阵、电机惯性矩阵和阻尼矩阵；

u∈Rⁿ为实际电机输出力矩向量；

sat(u)∈Rⁿ为经过输入饱和后的电机输出力矩向量；y∈Rⁿ为输出向量；

输入饱和sat(u)＝[sat(u₁),…,sat(u_n)]^T，其中，sat(u₁)表示向量sat(u)的第1个分量，sat(u_n)表示向量sat(u)的第n个分量，第p个分量sat(u_p)定义为：

其中，u_p是u的第p个分量，u_p的极限值为u_pm，u_pm为大于0的正常数；

引入状态变量s₁＝q,s₃＝q_m,将方程(1)改写为：

进一步定义如下变量：

则将方程式(3)进一步改写为：

下面构造考虑输入饱和的不确定柔性关节机械臂系统的基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，其具体过程如下：

在反步控制方法的第一步、第二步和第三步中都将采用下面的有限时间命令滤波器：

其中，i＝1,2,3，z＝1,2,...,n；

均表示有限时间命令滤波器的状态；h_i,z,1表示的导数；

f_i,z,1，f_i,z,2均表示有限时间命令滤波器参数；

χ_i为有限时间虚拟控制信号，χ_i,z表示虚拟控制信号χ_i的第z个分量，sign表示符号函数；

在反步控制方法设计过程中，将有限时间跟踪误差信号δ₁、δ₂、δ₃和δ₄定义为：

其中，s_d为期望的位置向量，s_d和s_d的一阶导数均为光滑、已知和有界的信号；

对于i＝1,2,3,

为有限时间命令滤波器的输出；

为反步控制方法第i步中第一个有限时间命令滤波器的状态；

为反步控制方法第i步中第n个有限时间命令滤波器的状态；

应用有限时间命令滤波器的滤波误差满足：

其中，都是正常数；

T₁,T₂,T₃分别表示第一步反步、第二步反步和第三步反步所用命令滤波器的收敛时间；为消除命令滤波器产生的滤波误差r_i+1-χ_i，构造以下有限时间误差补偿机制：

其中，η_j表示误差补偿向量，η_j(0)表示η_j的初始值,η_j(0)＝0，j＝1,2,3,4；

η_j,1,η_j,2,...,η_j,n表示误差补偿向量η_j的n个分量；

k_j,l_j表示比例增益，k_j,l_j均为正常数且满足l_j,z＜2k_j,z；

其中，l_j,z表示比例增益l_j的第z个分量，k_j,z表示比例增益k_j的第z个分量；

为了补偿柔性关节机械臂系统中的输入饱和，定义如下动态辅助系统：

其中，λ为动态辅助函数向量；

有限时间虚拟控制信号构造如下：

其中，e_j,z为正常数，j＝1,2,3,4，z＝1,2,...,n；

γ为正常数且满足0＜γ＜1，g为正常数，

为通过自适应更新律得到的估计变量；

S_2,1,S_2,2,...,S_2,n以及S_4,1,S_4,2,...,S_4,n均为神经网络逼近的径向基函数向量；

θ_j,1,θ_j,2,...,θ_j,n表示θ_j的分量，θ_j定义为：

选取以下Lyapunov函数来证明误差补偿机制的稳定性：

在有限时间t＞T＝max{T₁ T₂ T₃}内，公式(13)写为：

k₀＝min(2k₁-1,2k₂-1,2k₃-1,k₄),ψ为正常数；

则公式(14)表示为：

或者：

其中，0＜v＜1；

由公式(15)得知，如果

那么

在有限时间内，

将衰减并驱动η_j进入区域

由公式(16)得知，如果

那么

在有限时间内，

将衰减并驱动η_j进入区域

因此，

其中：

下面选择有限时间虚拟控制信号χ_i、有限时间误差补偿机制η_j和自适应更新律

通过以下四个步骤证明闭环系统的稳定性，其具体过程如下：

步骤1.选取Lyapunov函数：

对V₁求导得：

将χ₁,

代入公式(21)得：

步骤2.选取Lyapunov函数：

对V₂求导得：

由于函数X₂＝[X_2,1,…,X_2,n]^T含有不确定性，因此利用神经网络逼近技术对函数X₂进行逼近，则X_2,z重写为：

其中，W_2,z为理想权矩阵，S_2,z为基函数向量；

为近似误差且满足为常数；根据杨不等式得到：

其中，||W_2,z||表示W_2,z的范数；将χ₂,

和公式(26)代入公式(24)表示为：

步骤3.选取Lyapunov函数：

对公式(28)求导得：

将χ₃,代入公式(29)表示为：

步骤4.选取Lyapunov函数：

公式(31)能够写为：

由于函数X₄＝[X_4,1,…,X_4,n]^T含有不确定性，因此利用神经网络逼近技术对函数X₄进行逼近，则X_4,z重写为：

式中，W_4,z为理想权矩阵，S_4,z为基函数向量；

为近似误差且满足

为常数；根据杨不等式得到：

其中，||W_4,z||表示W_4,z的范数；将χ₄,和公式(34)代入公式(32)得：

根据杨不等式得到：

将公式(36)代入公式(35)得：

定义μ₂＝max{||W_2,z||²}，μ₄＝max{||W_4,z||²}；

则对μ₂，μ₄估计得到的估计值

能够由如下自适应更新律得到：

其中，π₂＞0,π₄＞0和ρ₂＞0,ρ₄＞0为常数；

定义

考虑Lyapunov方程：

对

求导可知：

根据杨不等式可知：

其中，

将公式(42)代入公式(41)得：

其中，

如果

则有

如果则有

如果

则有

如果

则有

进而得到：

其中，a＝min(2k_j-l_j,2β₂,2β₄)，

存在一个常数0＜v＜1，使得公式(44)能够表示为：

或者

由公式(45)得知，如果

则有

则在有限时间内将θ_j,

驱动到如下区域：

到达公式(47)中区域所需的时间T_r如下：

其中，

表示

次幂，

为

的初始条件；

由公式(46)得知，如果则有

则

在有限时间内将θ_j,

驱动到如下区域：

到达公式(49)中区域所需的时间T_r如下：

由公式(47)和公式(49)得知，最终θ_j会收敛到区域：

其中，到达公式(51)中区域的时间满足：

最后得到：

其中，

意味着δ₁在有限时间内收敛到原点的期望邻域内；

通过误差补偿信号、虚拟控制信号、动态辅助系统和自适应更新律，能够使关节位置在有限时间内跟踪期望的信号，并且闭环系统中的所有信号在有限时间内都是有界的。

本发明具有如下优点：

本发明采用有限时间命令滤波反步，不仅能够避免传统反步法存在的计算复杂性问题，还能进一步消除滤波过程中产生的误差，并且考虑到有限时间收敛性。为进一步提高系统的鲁棒性，本发明采用神经网络逼近技术对系统中的不确定动态模型进行逼近。此外，考虑到实际应用过程中执行器遇到的输入饱和问题，设计动态辅助系统补偿输入饱和，使本发明更适合实际应用。最终保证关节位置跟踪误差在有限时间内收敛到足够小的原点邻域。

附图说明

图1为本发明基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法的流程示意图。

图2为本发明实施例中考虑输入饱和时_q和s_d的轨迹图。

图3为本发明实施例中考虑输入饱和的sat(u)轨迹图。

图4为本发明实施例中不考虑输入饱和时q和s_d的轨迹图。

图5为本发明实施例中不考虑输入饱和的u轨迹图。

图6为本发明方法和自适应命令滤波反步控制的整体跟踪误差响应曲线对比结果图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

如图1所示，本发明述及了一种基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，以解决具有不确定性和输入饱和的柔性关节机械臂系统的关节位置跟踪控制问题。

该控制方法包括如下步骤：

定义柔性关节机械臂的动力学模型如下：

其中，

分别表示关节位置、速度和角速度向量；H(q)∈R^n×n为对称正定惯性矩阵；为科里奥利向心矩阵；G(q)∈Rⁿ为重力向量；F∈R^n×n为阻尼摩擦系数的对角正定矩阵；分别表示电机经过减速器后的关节位置、速度和角速度向量；K_m∈R^n×n、J∈R^n×n和B∈R^n×n分别表示关节刚度矩阵、电机惯性矩阵和阻尼矩阵，它们都是常正定对角矩阵；u∈Rⁿ为实际电机输出力矩向量；sat(u)∈Rⁿ为经过输入饱和后的电机输出力矩向量；y∈Rⁿ为输出向量。本发明假设和B包含不确定参数。

输入饱和sat(u)＝[sat(u₁),…,sat(u_n)]^T，其中，sat(u₁)表示向量sat(u)的第1个分量，sat(u_n)表示向量sat(u)的第n个分量，第p个分量sat(u_p)定义为：

其中，u_p是u的第p个分量，u_p的极限值为u_pm，u_pm为大于0的正常数。

引入状态变量s₁＝q,

s₃＝q_m,将方程(1)改写为：

进一步定义如下变量：

则将方程式(3)进一步改写为：

假设1：Y₂是有界的，即||H^-1(s₁)K_m||≤ψ,ψ＞0是常数。

下面构造考虑输入饱和的不确定柔性关节机械臂系统的基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，其具体过程如下：

在反步控制方法的第一步、第二步和第三步中都将采用下面的有限时间命令滤波器：

其中，i＝1,2,3，z＝1,2,...,n；

均表示有限时间命令滤波器的状态；h_i,z,1表示

的导数；f_i,z,1，f_i,z,2均表示有限时间命令滤波器参数；χ_i为有限时间虚拟控制信号，χ_i,z表示虚拟控制信号χi的第z个分量，sign表示符号函数。

引理1.如果虚拟输入信号χ_i,z不受噪声干扰，即χ_i,z＝χ_i,z,0，则有限时间命令滤波器可以在有限时间内达到稳定，并且有

如果虚拟输入信号χ_i,z受噪声干扰影响，即|χ_i,z-χ_i,z,0|≤ρ_i,z，则

可以在有限时间内实现，其中，ρ_i,z,

都是正常数。

在控制方法设计过程中，将有限时间跟踪误差信号定义为：

其中，s_d为期望的位置向量，s_d和s_d的一阶导数

均为光滑、已知和有界的信号。

对于i＝1,2,3,

为有限时间命令滤波器的输出；

为反步第i步中第一个命令滤波器的状态，

为反步第i步中第n个命令滤波器的状态。

由引理1可知，在有限时间命令滤波过程中如下存在滤波误差：

其中，都是正常数；

分别表示第一步反步、第二步反步和第三步反步所用命令滤波器的收敛时间。

为消除有限时间命令滤波器产生的滤波误差r_i+1-χ_i，构造以下有限时间误差补偿机制：

其中，η_j表示误差补偿向量，η_j(0)表示η_j的初始值,η_j(0)＝0，j＝1,2,3,4。

η_j,1,η_j,2,...,η_j,n表示误差补偿向量η_j的n个分量；k_j,l_j表示比例增益，k_j,l_j均为正常数且满足l_j,z＜2k_j,z；l_j,z表示比例增益l_j的第z个分量，k_j,z表示比例增益k_j的第z个分量。

为了补偿柔性关节机械臂系统中的输入饱和，定义如下动态辅助系统：

其中，λ为动态辅助函数向量。

有限时间虚拟控制信号构造如下：

其中，e_j,z为正常数，j＝1,2,3,4，z＝1,2,...,n。γ为正常数且满足0＜γ＜1，g为正常数，为通过自适应更新律得到的估计变量。S_2,1,S_2,2,...,S_2,n以及S_4,1,S_4,2,...,S_4,n均为神经网络逼近的径向基函数向量。θ_j,1,θ_j,2,...,θ_j,n表示θ_j的分量，θ_j定义为：

选取以下Lyapunov函数来证明误差补偿机制的稳定性：

在有限时间t＞T＝max{T₁ T₂ T₃}内，公式(13)写为：

k₀＝min(2k₁-1,2k₂-1,2k₃-1,k₄),

ψ为正常数。

则公式(14)表示为：

或者：

其中，0＜v＜1。

由公式(15)得知，如果

那么

在有限时间内，

将衰减并驱动η_j进入区域

由公式(16)得知，如果

那么

在有限时间内，

将衰减并驱动η_j进入区域

因此，

其中：

下面选择有限时间虚拟控制信号χ_i、有限时间误差补偿机制η_j和自适应更新律

通过以下四个步骤证明闭环系统的稳定性。具体过程如下：

步骤1.选取Lyapunov函数：

对V₁求导得：

将χ₁,

代入公式(21)得：

步骤2.选取Lyapunov函数：

对V₂求导得：

由于函数X₂＝[X_2,1,…,X_2,n]^T含有不确定性，因此利用神经网络逼近技术对函数X₂进行逼近，则X_2,z重写为：

其中，z＝1,…,n，W_2,z为理想权矩阵，S_2,z为基函数向量。

为近似误差且满足

为常数。根据杨不等式得到：

其中，||W_2,z||表示W_2,z的范数；将χ₂,

和公式(26)代入公式(24)表示为：

步骤3.选取Lyapunov函数：

对公式(28)求导得：

将χ₃,

代入公式(29)表示为：

步骤4.选取Lyapunov函数：

公式(31)能够写为：

由于函数X₄＝[X_4,1,...,X_4,n]^T含有不确定性，因此利用神经网络逼近技术对函数X₄进行逼近，则X_4,z重写为：

式中，W_4,z为理想权矩阵，S_4,z为基函数向量。

为近似误差且满足

为常数。根据杨不等式得到：

其中，||W_4,z||表示W_4,z的范数。将χ₄,和公式(34)代入公式(32)得：

根据杨不等式得到：

将公式(36)代入公式(35)得：

定义μ₂＝max{||W_2,z||²}，μ₄＝max{||W_4,z||²}。

则对μ₂，μ₄估计得到的估计值

能够由如下自适应更新律得到：

其中，π₂＞0,π₄＞0和ρ₂＞0,ρ₄＞0为常数。

定义

考虑Lyapunov方程：

对

求导可知：

根据杨不等式可知：

其中，

将公式(42)代入公式(41)得：

其中，

如果

则有

如果

则有

如果则有

如果

则有

进而得到：

其中，

存在一个常数0＜v＜1，使得公式(44)能够表示为：

或者

由公式(45)得知，如果

则有

则

在有限时间内将θ_j,

驱动到如下区域：

到达公式(47)中区域所需的时间T_r如下：

其中，

表示

的1-[(γ+1)/2]次幂，为

的初始条件；

由公式(46)得知，如果

则有

则

在有限时间内将θ_j,

驱动到如下区域：

到达公式(49)中区域所需的时间T_r如下：

由公式(47)和公式(49)得知，最终θ_j会收敛到区域：

其中，到达公式(51)中区域的时间满足：

最后得到：

其中，

意味着δ₁在有限时间内收敛到原点的期望邻域内。

通过选择具有公式(9)中的误差补偿信号、公式(11)中的虚拟控制信号、公式(10)中的动态辅助系统和公式(38)中的自适应更新律，能够使关节位置在有限时间内跟踪期望的信号，并且闭环系统中的所有信号在有限时间内都是有界的。

下面对本发明提出的考虑输入饱和的不确定柔性关节机械臂系统的基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法的有效性进行验证。

本发明以双连杆柔性关节机械臂为例，以验证本发明方法的有效性。其中：

对称正定惯性矩阵

和科里奥利向心矩阵

定义为：

其中，m₁和m₂表示连杆的质量，L_c1和L_c2表示连杆的质量中心，L₁和L₂表示连杆的长度。I₁和I₂表示惯性矩。重力矢量G(q)和阻尼摩擦系数矩阵F都假定为零。

q₁表示关节向量q的第1个分量，q₂表示关节向量q的第2个分量。H₁₁、H₁₂、H₂₁、H₂₂分别表示H(q)的对应分量，C₁₁、C₁₂、C₂₁、C₂₂分别表示

的对应分量。

关节刚度矩阵K_m、电机惯性矩阵J和阻尼矩阵B：

K_m＝diag[70,70],J＝diag[2.5,2.5],B＝diag[50,50]。

其他参数假定为：

L₁＝1.4,L₂＝1.4,L_c1＝1,L_c2＝1,I₁＝0.2,I₂＝0.2,m₁＝1,m₂＝1。

u_1m＝500,u_2m＝500，u_1m、u_2m分别表示u的第1个分量u₁、第2个分量u₂的极限值。

期望轨迹s_d＝[s_d,1,s_d,2]^T＝[2sin(t),2cos(t)]^T，控制增益取：

k_j＝20,e_j,1＝5,e_j,2＝5,l_j,1＝5,l_j,2＝5,f_1，1,1＝40,f_1,1，2＝40,f_1，2,1＝40,f_1,2，2＝40,

图2显示了当考虑输入饱和时，基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制下的关节位置信号响应曲线。结果表明，该方法能使q₁,q₂快速、准确地跟踪s_d的相应分量s_d,1,s_d,2。

图3显示了输入饱和sat(u)的信号响应曲线，u的分量u₁,u₂均限制在[-500，500]之间。

图4显示了不考虑输入饱和的自适应有限时间命令滤波反步控制下的关节位置信号响应曲线，图5显示了相应的u的信号响应曲线。由图4和图5看出，尽管本发明方法也可以使q₁,q₂快速、准确地跟踪s_d的相应分量s_d,1,s_d,2，但输入分量均超过了相应的限制值。

进一步采用整体跟踪误差来比较本发明的方法与不考虑有限时间收敛的自适应命令滤波反步控制的性能。图6分别显示了本发明方法和自适应命令滤波反步控制的整体跟踪误差响应曲线。通过两种方法的比较，能够看出本发明有限时间跟踪控制的跟踪误差不仅小于渐近跟踪控制的跟踪误差，而且具有更快的收敛速度。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，其特征在于，

包括如下步骤：

定义柔性关节机械臂的动力学模型如下：

其中，

分别表示关节位置、速度和角速度向量；

H(q)∈R^n×n为对称正定惯性矩阵；

为科里奥利向心矩阵；

G(q)∈Rⁿ为重力向量；F∈R^n×n为阻尼摩擦系数的对角正定矩阵；

分别表示电机经过减速器后的关节位置、速度和角速度向量；

K_m∈R^n×n、J∈R^n×n和B∈R^n×n分别表示关节刚度矩阵、电机惯性矩阵和阻尼矩阵；

u∈Rⁿ为实际电机输出力矩向量；

sat(u)∈Rⁿ为经过输入饱和后的电机输出力矩向量；y∈Rⁿ为输出向量；

输入饱和sat(u)＝[sat(u₁),…,sat(u_n)]^T，其中，sat(u₁)表示向量sat(u)的第1个分量，sat(u_n)表示向量sat(u)的第n个分量，第p个分量sat(u_p)定义为：

其中，u_p是u的第p个分量，u_p的极限值为u_pm，u_pm为大于0的正常数；

引入状态变量s₁＝q,

s₃＝q_m,

将方程(1)改写为：

进一步定义如下变量：

则将方程式(3)进一步改写为：

下面构造考虑输入饱和的不确定柔性关节机械臂系统的基于神经网络的自适应有限时间命令滤波反步控制方法，其具体过程如下：

在反步控制方法的第一步、第二步和第三步中都将采用下面的有限时间命令滤波器：

其中，i＝1,2,3，z＝1,2,...,n；

均表示有限时间命令滤波器的状态；h_i,z,1表示

的导数；

f_i,z,1，f_i,z,2均表示有限时间命令滤波器的参数；

χ_i为有限时间虚拟控制信号，χ_i,z表示虚拟控制信号χ_i的第z个分量，sign表示符号函数；

在反步控制方法设计过程中，将有限时间跟踪误差信号δ₁、δ₂、δ₃和δ₄定义为：

其中，s_d为期望的位置向量，s_d和s_d的一阶导数

均为光滑、已知和有界的信号；

对于i＝1,2,3,为有限时间命令滤波器的输出；

为反步控制方法第i步中第一个有限时间命令滤波器的状态；

为反步控制方法第i步中第n个有限时间命令滤波器的状态；

应用有限时间命令滤波器的滤波误差满足：

其中，

都是正常数；

T₁,T₂,T₃分别表示第一步反步、第二步反步和第三步反步所用命令滤波器的收敛时间；

为消除命令滤波器产生的滤波误差r_i+1-χ_i，构造以下有限时间误差补偿机制：

其中，η_j表示误差补偿向量，η_j(0)表示η_j的初始值,η_j(0)＝0，j＝1,2,3,4；

η_j,1,η_j,2,...,η_j,n表示误差补偿向量η_j的n个分量；

k_j,l_j表示比例增益，k_j,l_j均为正常数且满足l_j,z＜2k_j,z；

其中，l_j,z表示比例增益l_j的第z个分量，k_j,z表示比例增益k_j的第z个分量；

为了补偿柔性关节机械臂系统中的输入饱和，定义如下动态辅助系统：

其中，λ为动态辅助函数向量；

有限时间虚拟控制信号构造如下：

其中，e_j,z为正常数，j＝1,2,3,4，z＝1,2,...,n；

γ为正常数且满足0＜γ＜1，g为正常数，

为通过自适应更新律得到的估计变量；

S_2,1,S_2,2,...,S_2,n以及S_4,1,S_4,2,...,S_4,n均为神经网络逼近的径向基函数向量；

θ_j,1,θ_j,2,...,θ_j,n表示θ_j的分量，θ_j定义为：

选取以下Lyapunov函数来证明误差补偿机制的稳定性：

在有限时间t＞T＝max{T₁ T₂ T₃}内，公式(13)写为：

k₀＝min(2k₁-1,2k₂-1,2k₃-1,k₄),

ψ为正常数；

则公式(14)表示为：

或者：

其中，0＜v＜1；

由公式(15)得知，如果

那么

在有限时间内，

将衰减并驱动η_j进入区域

由公式(16)得知，如果

那么

在有限时间内，

将衰减并驱动η_j进入区域

因此，

其中：

下面选择有限时间虚拟控制信号χ_i、有限时间误差补偿机制η_j和自适应更新律

通过以下四个步骤证明闭环系统的稳定性，其具体过程如下：

步骤1.选取Lyapunov函数：

对V₁求导得：

将χ₁,代入公式(21)得：

步骤2.选取Lyapunov函数：

对V₂求导得：

由于函数X₂＝[X_2,1,…,X_2,n]^T含有不确定性，因此，利用神经网络逼近技术对函数X₂进行逼近，则X_2,z重写为：

其中，W_2,z为理想权矩阵，S_2,z为基函数向量；

为近似误差且满足

为常数；根据杨不等式得到：

其中，||W_2,z||表示W_2,z的范数；将χ₂,

和公式(26)代入公式(24)表示为：

步骤3.选取Lyapunov函数：

对公式(28)求导得：

将χ₃,

代入公式(29)表示为：

步骤4.选取Lyapunov函数：

公式(31)能够写为：

由于函数X₄＝[X_4,1,…,X_4,n]^T含有不确定性，因此，利用神经网络逼近技术对函数X₄进行逼近，则X_4,z重写为：

式中，W_4,z为理想权矩阵，S_4,z为基函数向量；

为近似误差且满足

为常数；根据杨不等式得到：

其中，||W_4,z||表示W_4,z的范数；将χ₄,和公式(34)代入公式(32)得：

根据杨不等式得到：

将公式(36)代入公式(35)得：

定义μ₂＝max{||W_2,z||²}，μ₄＝max{||W_4,z||²}；

则对μ₂，μ₄估计得到的估计值能够由如下自适应更新律得到：

其中，π₂＞0,π₄＞0和ρ₂＞0,ρ₄＞0为常数；

定义

考虑Lyapunov方程：

对

求导可知：

根据杨不等式可知：

其中，

将公式(42)代入公式(41)得：

其中，

如果

则有

如果则有

如果

则有

如果则有

进而得到：

其中，a＝min(2k_j-l_j,2β₂,2β₄)，

存在一个常数0＜v＜1，使得公式(44)能够表示为：

或者

由公式(45)得知，如果

则有

则

在有限时间内将θ_j,

驱动到如下区域：

到达公式(47)中区域所需的时间T_r如下：

其中，表示的1-[(γ+1)/2]次幂，

表示

的初始条件；

由公式(46)得知，如果

则有

则

在有限时间内将θ_j,

驱动到如下区域：

到达公式(49)中区域所需的时间T_r如下：

由公式(47)和公式(49)得知，最终θ_j会收敛到区域：

其中，到达公式(51)中区域的时间满足：

最后得到：

其中，

意味着δ₁在有限时间内收敛到原点的期望邻域内；

通过误差补偿信号、虚拟控制信号、动态辅助系统和自适应更新律，能够使关节位置在有限时间内跟踪期望的信号，并且闭环系统中的所有信号在有限时间内都是有界的。

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