CN112039374A - 考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于永磁同步电动机位置跟踪控制技术领域，具体公开了一种考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法。该方法针对永磁同步电动机容易出现的输入饱和问题，同时结合欧拉方法建立永磁同步电动机离散系统模型；在传统的反步法中引入命令滤波控制技术，克服了反步控制算法中存在的“计算复杂性”问题；利用径向基函数神经网络处理永磁同步电动机离散系统中的高阶非线性项，构造了考虑输入饱和的永磁同步电动机离散系统命令滤波控制器；本发明方法能够克服输入饱和的影响并且保证理想的控制效果，实现了电机快速平稳运行。

Description

考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法

技术领域

本发明属于永磁同步电动机位置跟踪控制技术领域，尤其涉及一种考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法。

背景技术

近几年来，随着信息技术，自动化技术以及微电子技术的迅速发展，永磁同步电动机普遍应用于工农业生产中。与传统的电动机相比，永磁同步电动机具有结构简单、体积小、效率高等优点，在冶金行业、陶瓷行业和纺织行业等中、低压电动机中获得业绩，并逐步积累设计和总结经验，使永磁同步电动机不断改进。永磁体产生永磁同步电动机的磁场，从而避免通过励磁电流产生的磁场而导致的励磁损耗，使电动机的损耗低，降低了生产成本，提高电动机的运行效率；永磁同步电动机具有较大的功率因数，电动机满负载时功率因数接近1，且与级数无关，电动机电流小、铜耗少，提高了电动机运行的可靠性，因而在各个领域普遍应用，故对其研究具有重要意义。

然而由于永磁同步电动机数学模型具有高度非线性以及多变量等特点，并且永磁同步电动机的运行对参数的变化以及外部负载扰动等因素敏感，因此，要实现永磁同步电动机的有效控制是一项具有挑战性工作。

近年来，非线性控制方法取得突飞猛进的发展，如反步法控制、滑模控制、自适应控制和其它的一些先进控制方法。然而，这些技术多数考虑永磁同步电动机连续系统，针对其离散系统的控制算法较少。由于实际的工程系统大多采用离散控制技术，如数字计算机控制领域，而且离散的控制算法在可实现性和稳定性上优越于连续算法。因此，针对永磁同步电动机离散系统构建控制方法有着十分重要的现实意义。另一方面，永磁同步电动机开始启动时导致电压突然升高，超过设备可承受的范围，使控制系统性能下降，导致设备损坏甚至对人身安全造成严重的危害，需要对电压进行约束。因此在永磁同步电动机的位置控制过程中考虑输入饱和具有一定的实际意义。

另外，反步法已经被广泛应用到永磁同步电动机控制系统中，并取得了良好的控制效果。然而，传统反步法对虚拟控制变量进行反复求差分容易产生“计算复杂性”问题。因此，在设计控制器的过程中引入命令滤波技术能有效的解决上述问题。此外，对于一些具有高度非线性和参数不确定的高阶系统，非线性项会导致控制器设计变得十分复杂，不利于计算机控制系统的在线控制，相关研究已经提出了模糊逻辑系统(FLS)或神经网络(NN)等近似理论，将系统简单化，从而使控制器的设计更简单。

发明内容

本发明的目的在于提出一种考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法，该方法考虑了永磁同步电动机离散系统运行中易出现的输入饱和问题，利于实现电动机快速稳定的位置跟踪控制。本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法，包括如下步骤：

a.建立永磁同步电动机离散系统动态数学模型；

在同步旋转坐标系下，永磁同步电动机离散系统动态数学模型表示为：

式(1)中，k为永磁同步电动机离散系统的步数；

Θ(k)、Θ(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的转子角度；

ω(k)、ω(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的角速度；

i_ds(k)、i_ds(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的d轴电流；

i_qs(k)、i_qs(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的q轴电流；

u_ds(k)表示永磁同步电动机离散系统第k步d轴的对称饱和非线性输入；

u_qs(k)表示永磁同步电动机离散系统第k步q轴的对称饱和非线性输入；

T_l表示永磁同步电动机离散系统的负载转矩；J表示转动惯量；B表示摩擦系数；n_p表示磁极对数；R_s表示定子等效电阻；l_d为定子侧的d轴等效电感，l_q为定子侧的q轴等效电感；Φ表示永磁体的磁链；Δ_T表示永磁同步电动机离散系统的采样周期；

为简化以上永磁同步电动机离散系统动态数学模型，定义新的变量如下：

由于u_qs(k)和u_ds(k)的基本特性相同，为表述方便，定义u(k)代指u_qs(k)和u_ds(k)；

根据u(k)的特性，u(k)可描述为：

u_max、u_min是未知的输入饱和常数，且u_max＞0，u_min＜0；

定义v_q(k)和v_d(k)分别表示q轴、d轴定子的输入电压，由于v_q(k)和v_d(k)的基本特性相同，为表述方便，定义v(k)代指v_q(k)和v_d(k)：

定义如下平滑函数g(v(k))：

由公式(3)和公式(4)得到：

u(k)＝g(v(k))+Y(v(k)) (5)

式中，Y(v(k))是有界函数，Y(v(k))的边界为：|Y(v(k))|＝|u(k)-g(v(k))|≤max{u_max(1-tan(1)),u_min(tan(1)-1)}＝D；其中，D为正常数；

根据中值定理得知，存在一个常数0＜λ＜1，使得：

其中，v(0)表示定子的输入电压v(k)的初始值；g(v(0))表示平滑函数g(v(k))的初始值；

v(k+1)表示k+1步定子的输入电压；g(v(k+1))表示k+1步的平滑函数；v_λ(k)＝λv(k)+(1-λ)v(0)；设定v(0)＝0，g(v(0))＝0，式(6)改写为：

其中，

因此永磁同步电动机离散系统的q轴对称饱和非线性输入u_qs(k)为：

永磁同步电动机离散系统的d轴对称饱和非线性输入u_ds(k)为：

由公式(2)定义的新变量，将式(1)通过欧拉方法得到永磁同步电动机离散系统的输入饱和模型，即：

b.根据命令滤波技术和反步法原理，设计一种考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法，永磁同步电动机离散系统的动态数学模型简化为两个独立的子系统；

即由状态变量x₁(k)，x₂(k)和q轴对称饱和非线性输入u_qs(k)作为输入信号组成的子系统以及由状态变量x₃(k),x₄(k)和d轴对称饱和非线性输入u_ds(k)作为输入信号组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，存在径向基函数神经网络W^TS(Z)使得：f(Z)＝W^TS(Z)+τ，τ是逼近误差且满足|τ|≤ε，ε为任意小的正常数；

是输入向量，q是神经网络输入维数，R^q为实数向量集；W∈R^p是权重向量，神经网络节点数p为正整数，且p＞1，R^p为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_p(Z)]^T∈R^p为基函数向量；s_c(Z)为高斯函数，s_c(Z)的表达式为：

其中，c＝1,...,p，μ_c是高斯函数s_c(Z)接受域的中心，η_c为高斯函数s_c(Z)的宽度；

定义命令滤波器如下公式(10)所示：

式(10)中，ξ为滤波器的时间常数，W_n为正常数；

Z_i,1(k)，Z_i,2(k)均为k步时命令滤波器的输出信号，Z_i,1(k+1)，Z_i,2(k+1)均为k+1步时命令滤波器的输出信号，虚拟控制函数α_i(k)为命令滤波器的输入信号，i＝1,2；

如果虚拟控制函数α_i(k)满足：|α_i(k+1)-α_i(k)|≤ρ₁和|α_i(k+2)-2α_i(k+1)+α_i(k)|≤ρ₂，对于所有的k≥1成立，其中ρ₁和ρ₂是正的常数，Z_i,1(0)＝α_i(0)，Z_i,2(0)＝0，对于任意ε＞0，存在ξ∈(0,1]和W_n＞0，|Z_i,1(k)-α_i(k)|≤ε是有界的；

虚拟控制函数α_i(k)的表达式将在下面的控制方法设计中给出；

定义误差变量e₁(k)、e₂(k)、e₃(k)、e₄(k)为：

定义补偿信号ξ₁(k)、ξ₂(k)、ξ₃(k)、ξ₄(k)为：

其中，x_1d(k)为给定的期望信号；α_1d(k)＝Z_1,1(k)，α_2d(k)＝Z_2,1(k)为命令滤波器的输出信号；v_j(k)表示补偿误差，j＝1,2,3,4；离散控制方法每一步都选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制函数，具体过程如下：

b.1.根据误差变量e₁(k)＝x₁(k)-x_1d(k)，补偿信号ξ₁(k)＝e₁(k)-v₁(k)和式(9)得：

v₁(k+1)＝e₁(k+1)-ξ₁(k+1)＝x₁(k)+Δ_Tx₂(k)-x_1d(k+1)-ξ₁(k+1)；

选取Lyapunov函数

对V₁(k)求差分得到ΔV₁(k)，即：

构造虚拟控制函数α₁(k)和补偿信号ξ₁(k+1)，即：

其中，t₁为常数，且|t₁|≤1；

根据虚拟控制函数α₁(k)、补偿信号ξ₁(k+1)、误差变量e₂(k)＝x₂(k)-α_1d(k)、补偿信号ξ₂(k)＝e₂(k)-v₂(k)以及式(11)得：

b.2.根据误差变量e₂(k)＝x₂(k)-α_1d(k)，补偿信号ξ₂(k)＝e₂(k)-v₂(k)和式(9)得：

v₂(k+1)＝e₂(k+1)-ξ₂(k+1)

＝(1+Δ_Ta₂)x₂(k)+a₁Δ_Tx₃(k)+a₃Δ_Tx₃(k)x₄(k)+a₄Δ_TT_l-α_1d(k+1)-ξ₂(k+1)；

选择Lyapunov函数

则对V₂(k)求差分得到ΔV₂(k)，即：

永磁同步电动机离散系统的负载转矩T_l是一个有界的值，设定|T_l|≤d，d为正常数且d＞0；

构造虚拟控制函数α₂(k)和补偿信号ξ₂(k+1)：

其中，t₂为常数，且|t₂|≤1；

根据虚拟控制函数α₂(k)、补偿信号ξ₂(k+1)、误差变量e₃(k)＝x₃(k)-α_2d(k)、补偿信号ξ₃(k)＝e₃(k)-v₃(k)和式(13)得：

b.3.根据误差变量e₃(k)＝x₃(k)-α_2d(k)，补偿信号ξ₃(k)＝e₃(k)-v₃(k)和式(9)得：

v₃(k+1)＝e₃(k+1)-ξ₃(k+1)＝(1+b₁Δ_T)x₃(k)+b₂Δ_Tx₂(k)+b₃Δ_Tx₂(k)x₄(k)+b₄Δ_Tu_qs(k)

-α_2d(k+1)-ξ₃(k+1)；

选择Lyapunov函数

对V₃(k)求差分得到ΔV₃(k)，即：

f₃(k)＝(1+b₁Δ_T)x₃(k)+b₂Δ_Tx₂(k)-α_2d(k+1)+b₃Δ_Tx₂(k)x₄(k)-ξ₃(k+1)；

由径向基函数神经网络逼近原理得知，对于给定的任意ε₃＞0，存在径向基函数神经网络W₃ ^TS₃(Z₃(k))，使得：f₃(k)＝W₃ ^T||S₃(Z₃(k))||+τ₃；其中，f₃(k)为一未知的非线性函数；W₃表示权重向量，S₃(Z₃(k))表示基函数向量；Z₃(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k),x₄(k)]^T，τ₃表示逼近误差，并满足不等式|τ₃|≤ε₃，||W₃||是向量W₃的范数，从而：

其中，||S₃(Z₃(k))||表示基函数向量S₃(Z₃(k))的范数；

取ξ₃(k)＝0，选取q轴定子的输入电压v_q(k)、q轴对称饱和非线性输入u_qs(k)和自适应律

为：

其中，

表示W₃的估计值；γ₃和δ₃为正常数；定义||W₃||＝η₃且η₃＞0；

(k)为变量η₃的估计值，定义变量η₃的估计误差

为：

设定

从而：

其中，

为W₃的估计误差，即

b.4.根据误差变量e₄(k)＝x₄(k)，补偿信号ξ₄(k)＝e₄(k)-v₄(k)和式(9)得：

v₄(k+1)＝x₄(k+1)-ξ₄(k+1)＝(1+c₁Δ_T)x₄(k)+c₂Δ_Tx₂(k)x₃(k)+c₃Δ_Tu_ds(k)-ξ₄(k+1)；

选取Lyapunov函数

P为正常数且P＞0，对V₄(k)求差分得到ΔV₄(k)：

f₄(k)＝(1+c₁Δ_T)x₄(k)+c₂Δ_Tx₂(k)x₃(k)；

由径向基函数神经网络逼近原理得知，对于给定的任意ε₄＞0，存在径向基函数神经网络W₄ ^TS₄(Z₄(k))，使得：f₄(k)＝W₄ ^T||S₄(Z₄(k))||+τ₄；其中，f₄(k)为一未知的非线性函数；Z₄(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k),x₄(k)]^T，τ₄表示逼近误差，并满足不等式|τ₄|≤ε₄，||W₄||是向量W₄的范数，从而：

其中，||S₄(Z₄(k))||表示基函数向量S₄(Z₄(k))的范数；

取ξ₄(k)＝0，选取d轴定子的输入电压v_d(k)、d轴对称饱和非线性输入u_ds(k)和自适应律

为：

其中，

表示W₄的估计值，γ₄和δ₄为正常数；定义||W₄||＝η₄且η₄＞0；

为变量η₄的估计值，定义变量η₄的估计误差

为：

设定

从而：

其中，

为W₄的估计误差，即

c.对构建的考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法进行稳定性分析；

选择Lyapunov函数：

对V(k)求差分得到ΔV(k)：

根据

m＝3,4和式(17)、式(21)得到：

由基函数向量S(Z)的定义得知，||S₃(Z₃(k))||²＜l₃，||S₄(Z₄(k))||²＜l₄，l₃和l₄分别表示径向基函数神经网络W₃ ^TS₃(Z₃(k))和

的节点数；

由杨氏不等式，得到式(26)-式(29)，即：

由误差变量e₃(k)＝x₃(k)-α_2d(k)、e₄(k)＝x₄(k)、式(9)、式(16)、式(20)以及杨氏不等式得：

将式(26)、(27)、(28)、(29)和(30)代入式(25)得到：

将式(26)、(27)、(28)、(29)和(31)代入式(25)得到：

永磁同步电动机离散系统的q轴电流是一个有界的数值，因此，定义

其中，N是正常数，将式(22)、(32)和(33)代入式(24)得到：

其中，

选择参数P和参数Δ_T，使不等式满足

和

成立，其中，|v₃(k)|表示补偿误差v₃(k)的绝对值，|v₄(k)|表示补偿误差v₄(k)的绝对值，得到ΔV(k)≤0，进而得知

σ表示任意小的正常数；

如果α_id(k)-α_i(k)是有界的以及|t_i|≤1,i＝1,2；则ξ_j(k)是有界的，j＝1,2,3,4，由于e₁(k)＝v₁(k)+ξ₁(k)以及ξ₁(k)是有界的，因此，误差变量e₁(k)是有界的；

由以上分析得到，在定子的输入电压v_q(k)和v_d(k)的作用下，永磁同步电动机离散系统的误差变量e₁(k)能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，并保证其他信号有界。

本发明具有如下优点：

(1)本发明方法针对离散时间系统，与连续时间系统的控制方法相比具有较高的稳定性和可实现性且在计算机领域应用广泛。

(2)本发明方法综合考虑永磁同步电动机离散系统输入饱和问题，利用输入饱和技术消除输入饱和造成的影响，保证设计的控制系统在输入饱和后仍能稳定运行，有利于保护设备及人身安全，有效地解决了输入饱和情况下永磁同步电动机离散系统的位置跟踪控制问题。

(3)本发明方法采用命令滤波技术，有效地避免了在传统反步法中对虚拟函数的连续求差分造成的“计算复杂性”问题，同时引入补偿信号，消除了滤波误差。

(4)使用神经网络来处理电动机系统中未知的非线性项，有效地解决了永磁同步电动机的高度非线性控制问题，最终达到更加准确的控制精度。

(5)本发明方法不需要根据永磁同步电动机离散系统的不同而修改控制器的参数，原理上能够实现对所有型号和功率的永磁同步电动机离散系统的稳定控制，在控制过程中减少了对永磁同步电动机离散系统参数的测量，利于实现永磁同步电动机离散系统位置跟踪控制。

附图说明

图1为本发明实施例中考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制器、坐标变换单元和SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图；

图2是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图；

图3是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图；

图4是采用本发明控制方法后d轴对称饱和非线性输入和d轴定子电压对比仿真图；

图5是采用本发明控制方法后q轴对称饱和非线性输入和q轴定子电压对比仿真图。

具体实施方式

本发明的基本思想为：

针对永磁同步电动机离散系统中易出现的输入饱和问题，结合欧拉方法建立永磁同步电动机离散系统模型；在传统的反步法中引入命令滤波控制技术，克服了在离散系统中连续求差分所引起的“计算复杂性”问题，同时引入补偿信号，消除滤波误差；利用径向基函数神经网络处理永磁同步电动机离散系统模型中的非线性项，结合自适应控制方法解决了系统中存在的参数未知和输入饱和问题，构造考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制器。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

图1为本发明实施例中考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制器、坐标变换单元和SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图，其中，ω表示转子角速度，U_α和U_β表示两相旋转坐标系下的电压，U、V和W表示三相交流电压。

结合图1所示，考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法，其采用的部件包括考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3、转速检测单元4和电流检测单元5。其中，转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测永磁同步电动机离散系统的转速相关变量电流值，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，通过考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制永磁同步电动机的位置跟踪控制。

为了设计一个更加有效的控制器，建立永磁同步电动机离散系统模型是十分必要的。

具体的，考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法，包括如下步骤：

a.建立永磁同步电动机离散系统动态数学模型；

在同步旋转坐标系下，永磁同步电动机离散系统动态数学模型表示为：

式(1)中，k为永磁同步电动机离散系统的步数；

Θ(k)、Θ(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的转子角度；

ω(k)、ω(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的角速度；

i_ds(k)、i_ds(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的d轴电流；

i_qs(k)、i_qs(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的q轴电流；

u_ds(k)表示永磁同步电动机离散系统第k步d轴的对称饱和非线性输入；

u_qs(k)表示永磁同步电动机离散系统第k步q轴的对称饱和非线性输入；

T_l表示永磁同步电动机离散系统的负载转矩；J表示转动惯量；B表示摩擦系数；n_p表示磁极对数；R_s表示定子等效电阻；l_d为定子侧的d轴等效电感，l_q为定子侧的q轴等效电感；Φ表示永磁体的磁链；Δ_T表示永磁同步电动机离散系统的采样周期。

为简化以上永磁同步电动机离散系统动态数学模型，定义新的变量如下：

由于u_qs(k)和u_ds(k)的基本特性相同，为表述方便，定义u(k)代指u_qs(k)和u_ds(k)。

根据u(k)的特性，u(k)可描述为：

u_max、u_min是未知的输入饱和常数，且u_max＞0，u_min＜0。

定义v_q(k)和v_d(k)分别表示q轴、d轴定子的输入电压。由于v_q(k)和v_d(k)的基本特性相同，为表述方便，定义v(k)代指v_q(k)和v_d(k)：

定义如下平滑函数g(v(k))：

由公式(3)和公式(4)得到：

u(k)＝g(v(k))+Y(v(k)) (5)

式中，Y(v(k))是有界函数，Y(v(k))的边界为：|Y(v(k))|＝|u(k)-g(v(k))|≤max{u_max(1-tan(1)),u_min(tan(1)-1)}＝D；其中，D为正常数。

根据中值定理得知，存在一个常数0＜λ＜1，使得：

其中，v(0)表示定子的输入电压v(k)的初始值；g(v(0))表示平滑函数g(v(k))的初始值；

v(k+1)表示k+1步定子的输入电压；g(v(k+1))表示k+1步的平滑函数；v_λ(k)＝λv(k)+(1-λ)v(0)；设定v(0)＝0，g(v(0))＝0，式(6)改写为：

其中，

因此永磁同步电动机离散系统的q轴对称饱和非线性输入u_qs(k)为：

永磁同步电动机离散系统的d轴对称饱和非线性输入u_ds(k)为：

由公式(2)定义的新变量，将式(1)通过欧拉方法得到永磁同步电动机离散系统的输入饱和模型，即：

b.根据命令滤波技术和反步法原理，设计一种考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法，永磁同步电动机离散系统的动态数学模型简化为两个独立的子系统；

即由状态变量x₁(k)，x₂(k)和q轴对称饱和非线性输入u_qs(k)作为输入信号组成的子系统以及由状态变量x₃(k),x₄(k)和d轴对称饱和非线性输入u_ds(k)作为输入信号组成的子系统。

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，存在径向基函数神经网络W^TS(Z)使得：f(Z)＝W^TS(Z)+τ，τ是逼近误差且满足|τ|≤ε，ε为任意小的正常数；

是输入向量，q是神经网络输入维数，R^q为实数向量集；W∈R^p是权重向量，神经网络节点数p为正整数，且p＞1，R^p为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_p(Z)]^T∈R^p为基函数向量。s_c(Z)为高斯函数，s_c(Z)的表达式为：

其中，c＝1,...,p，μ_c是高斯函数s_c(Z)接受域的中心，η_c为高斯函数s_c(Z)的宽度。

定义命令滤波器如下公式(10)所示：

式(10)中，ξ为滤波器的时间常数，W_n为正常数；

Z_i,1(k)，Z_i,2(k)均为k步时命令滤波器的输出信号，Z_i,1(k+1)，Z_i,2(k+1)均为k+1步时命令滤波器的输出信号，虚拟控制函数α_i(k)为命令滤波器的输入信号，i＝1,2。

如果虚拟控制函数α_i(k)满足：|α_i(k+1)-α_i(k)|≤ρ₁和|α_i(k+2)-2α_i(k+1)+α_i(k)|≤ρ₂，对于所有的k≥1成立，其中ρ₁和ρ₂是正的常数，Z_i,1(0)＝α_i(0)，Z_i,2(0)＝0，对于任意ε＞0，存在ξ∈(0,1]和W_n＞0，|Z_i,1(k)-α_i(k)|≤ε是有界的。

虚拟控制函数α_i(k)的表达式将在下面的控制方法设计中给出。

定义误差变量e₁(k)、e₂(k)、e₃(k)、e₄(k)为：

定义补偿信号ξ₁(k)、ξ₂(k)、ξ₃(k)、ξ₄(k)为：

其中，x_1d(k)为给定的期望信号；α_1d(k)＝Z_1,1(k)，α_2d(k)＝Z_2,1(k)为命令滤波器的输出信号；v_j(k)表示补偿误差，j＝1,2,3,4。

离散控制方法每一步都选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制函数，具体过程如下：

b.1.根据误差变量e₁(k)＝x₁(k)-x_1d(k)，补偿信号ξ₁(k)＝e₁(k)-v₁(k)和式(9)得：

v₁(k+1)＝e₁(k+1)-ξ₁(k+1)＝x₁(k)+Δ_Tx₂(k)-x_1d(k+1)-ξ₁(k+1)；

选取Lyapunov函数

对V₁(k)求差分得到ΔV₁(k)，即：

构造虚拟控制函数α₁(k)和补偿信号ξ₁(k+1)，即：

其中，t₁为常数，且|t₁|≤1。

根据虚拟控制函数α₁(k)、补偿信号ξ₁(k+1)、误差变量e₂(k)＝x₂(k)-α_1d(k)、补偿信号ξ₂(k)＝e₂(k)-v₂(k)以及式(11)得：

b.2.根据误差变量e₂(k)＝x₂(k)-α_1d(k)，补偿信号ξ₂(k)＝e₂(k)-v₂(k)和式(9)得：

v₂(k+1)＝e₂(k+1)-ξ₂(k+1)

＝(1+Δ_Ta₂)x₂(k)+a₁Δ_Tx₃(k)+a₃Δ_Tx₃(k)x₄(k)+a₄Δ_TT_l-α_1d(k+1)-ξ₂(k+1)；

选择Lyapunov函数

则对V₂(k)求差分得到ΔV₂(k)，即：

永磁同步电动机离散系统的负载转矩T_l是一个有界的值，设定|T_l|≤d，d为正常数且d＞0。

构造虚拟控制函数α₂(k)和补偿信号ξ₂(k+1)：

其中，t₂为常数，且|t₂|≤1。

根据虚拟控制函数α₂(k)、补偿信号ξ₂(k+1)、误差变量e₃(k)＝x₃(k)-α_2d(k)、补偿信号ξ₃(k)＝e₃(k)-v₃(k)和式(13)得：

b.3.根据误差变量e₃(k)＝x₃(k)-α_2d(k)，补偿信号ξ₃(k)＝e₃(k)-v₃(k)和式(9)得：

v₃(k+1)＝e₃(k+1)-ξ₃(k+1)＝(1+b₁Δ_T)x₃(k)+b₂Δ_Tx₂(k)+b₃Δ_Tx₂(k)x₄(k)+b₄Δ_Tu_qs(k)

-α_2d(k+1)-ξ₃(k+1)；

选择Lyapunov函数

对V₃(k)求差分得到ΔV₃(k)，即：

f₃(k)＝(1+b₁Δ_T)x₃(k)+b₂Δ_Tx₂(k)-α_2d(k+1)+b₃Δ_Tx₂(k)x₄(k)-ξ₃(k+1)；

由径向基函数神经网络逼近原理得知，对于给定的任意ε₃＞0，存在径向基函数神经网络W₃ ^TS₃(Z₃(k))，使得：f₃(k)＝W₃ ^T||S₃(Z₃(k))||+τ₃；其中，f₃(k)为一未知的非线性函数；W₃表示权重向量，S₃(Z₃(k))表示基函数向量；Z₃(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k),x₄(k)]^T，τ₃表示逼近误差，并满足不等式|τ₃|≤ε₃，||W₃||是向量W₃的范数。从而：

其中，||S₃(Z₃(k))||表示基函数向量S₃(Z₃(k))的范数；取ξ₃(k)＝0，选取q轴定子的输入电压v_q(k)、q轴对称饱和非线性输入u_qs(k)和自适应律

为：

其中，

表示W₃的估计值；γ₃和δ₃为正常数；定义||W₃||＝η₃且η₃＞0；

为变量η₃的估计值，定义变量η₃的估计误差

为：

设定

从而：

其中，

为W₃的估计误差，即

b.4.根据误差变量e₄(k)＝x₄(k)，补偿信号ξ₄(k)＝e₄(k)-v₄(k)和式(9)得：

v₄(k+1)＝x₄(k+1)-ξ₄(k+1)＝(1+c₁Δ_T)x₄(k)+c₂Δ_Tx₂(k)x₃(k)+c₃Δ_Tu_ds(k)-ξ₄(k+1)；

选取Lyapunov函数

P为正常数且P＞0，对V₄(k)求差分得到ΔV₄(k)：

f₄(k)＝(1+c₁Δ_T)x₄(k)+c₂Δ_Tx₂(k)x₃(k)；

由径向基函数神经网络逼近原理得知，对于给定的任意ε₄＞0，存在径向基函数神经网络

使得：

其中，f₄(k)为一未知的非线性函数；Z₄(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k),x₄(k)]^T，τ₄表示逼近误差，并满足不等式|τ₄|≤ε₄，||W₄||是向量W₄的范数。从而：

其中，||S₄(Z₄(k))||表示基函数向量S₄(Z₄(k))的范数；取ξ₄(k)＝0，选取d轴定子的输入电压v_d(k)、d轴对称饱和非线性输入u_ds(k)和自适应律

为：

其中，

表示W₄的估计值，γ₄和δ₄为正常数；定义||W₄||＝η₄且η₄＞0；

为变量η₄的估计值，定义变量η₄的估计误差

为：

设定

从而：

其中，

为W₄的估计误差，即

c.对构建的考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法进行稳定性分析。

选择Lyapunov函数：

对V(k)求差分得到ΔV(k)：

根据

m＝3,4和式(17)、式(21)得到：

由基函数向量S(Z)的定义得知，||S₃(Z₃(k))||²＜l₃，||S₄(Z₄(k))||²＜l₄，l₃和l₄分别表示径向基函数神经网络W₃ ^TS₃(Z₃(k))和

的节点数。

由杨氏不等式，得到式(26)-式(29)，即：

由误差变量e₃(k)＝x₃(k)-α_2d(k)、e₄(k)＝x₄(k)、式(9)、式(16)、式(20)以及杨氏不等式得：

将式(26)、(27)、(28)、(29)和(30)代入式(25)得到：

将式(26)、(27)、(28)、(29)和(31)代入式(25)得到：

永磁同步电动机离散系统的q轴电流是一个有界的数值，因此，定义

其中，N是正常数。将式(22)、(32)和(33)代入式(24)得到：

其中，

选择参数P和参数Δ_T，使不等式满足

和

成立，其中，|v₃(k)|表示补偿误差v₃(k)的绝对值，|v₄(k)|表示补偿误差v₄(k)的绝对值，得到ΔV(k)≤0，进而得知

σ表示任意小的正常数。

如果α_id(k)-α_i(k)是有界的以及|t_i|≤1,i＝1,2；则ξ_j(k)是有界的，j＝1,2,3,4，由于e₁(k)＝v₁(k)+ξ₁(k)以及ξ₁(k)是有界的，因此，误差变量e₁(k)是有界的。

由以上分析得到，在定子的输入电压v_q(k)和v_d(k)的作用下，永磁同步电动机离散系统的误差变量e₁(k)能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，并保证其他信号有界。

在虚拟环境下对所建立的考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法进行仿真，以验证所提出控制方法的可行性。

电动机及负载参数为：

J＝0.003978Kg·m²，R_s＝0.68Ω，l_d＝0.00315H，l_q＝0.00258H，Φ＝0.1245Wb，B＝0.001158N·m/(rad/s)；

转子角位置设定值为：x_1d(k)＝4cos(Δ_Tkπ/2)；

采样周期：Δ_T＝0.0025s，负载转矩为：

选择控制律参数为：

W_n＝250，ξ＝0.4，γ₃＝0.96，γ₄＝0.96，δ₃＝0.002，δ₄＝0.002；

选择径向基函数神经网络如下：神经网络W₃ ^TS₃(z₃(k))和

包含8个中心平均分布在在[-8,8]内节点，宽度均为5；

相应的仿真结果如图2、图3、图4和图5所示。其中：

图2是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图；

图3是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图；

图4是采用本发明控制方法后d轴对称饱和非线性输入u_ds(k)和d轴定子电压对比仿真图；

图5是采用本发明控制方法后q轴对称饱和非线性输入u_qs(k)和q轴定子电压对比仿真图；

通过仿真结果表明本发明方法能够有效的减少输入饱和带来的不利影响，位置跟踪误差小、跟踪效果好。

模拟信号清楚地表明，本发明提出的考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法，能够在输入饱和情况下，快速稳定地跟踪参考信号。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a.建立永磁同步电动机离散系统动态数学模型；

在同步旋转坐标系下，永磁同步电动机离散系统动态数学模型表示为：

式(1)中，k为永磁同步电动机离散系统的步数；

Θ(k)、Θ(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的转子角度；

ω(k)、ω(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的角速度；

i_ds(k)、i_ds(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的d轴电流；

i_qs(k)、i_qs(k+1)分别表示永磁同步电动机离散系统第k步、k+1步的q轴电流；

u_ds(k)表示永磁同步电动机离散系统第k步d轴的对称饱和非线性输入；

u_qs(k)表示永磁同步电动机离散系统第k步q轴的对称饱和非线性输入；

T_l表示永磁同步电动机离散系统的负载转矩；J表示转动惯量；B表示摩擦系数；n_p表示磁极对数；R_s表示定子等效电阻；l_d为定子侧的d轴等效电感，l_q为定子侧的q轴等效电感；Φ表示永磁体的磁链；Δ_T表示永磁同步电动机离散系统的采样周期；

为简化以上永磁同步电动机离散系统动态数学模型，定义新的变量如下：

由于u_qs(k)和u_ds(k)的基本特性相同，为表述方便，定义u(k)代指u_qs(k)和u_ds(k)；

根据u(k)的特性，u(k)可描述为：

u_max、u_min是未知的输入饱和常数，且u_max＞0，u_min＜0；

定义v_q(k)和v_d(k)分别表示q轴、d轴定子的输入电压，由于v_q(k)和v_d(k)的基本特性相同，为表述方便，定义v(k)代指v_q(k)和v_d(k)：

定义如下平滑函数g(v(k))：

由公式(3)和公式(4)得到：

u(k)＝g(v(k))+Y(v(k)) (5)

式中，Y(v(k))是有界函数，Y(v(k))的边界为：|Y(v(k))|＝|u(k)-g(v(k))|≤max{u_max(1-tan(1)),u_min(tan(1)-1)}＝D；其中，D为正常数；

根据中值定理得知，存在一个常数0＜λ＜1，使得：

其中，v(0)表示定子的输入电压v(k)的初始值；g(v(0))表示平滑函数g(v(k))的初始值；

v(k+1)表示k+1步定子的输入电压；g(v(k+1))表示k+1步的平滑函数；v_λ(k)＝λv(k)+(1-λ)v(0)；设定v(0)＝0，g(v(0))＝0，式(6)改写为：

其中，

因此永磁同步电动机离散系统的q轴对称饱和非线性输入u_qs(k)为：

永磁同步电动机离散系统的d轴对称饱和非线性输入u_ds(k)为：

由公式(2)定义的新变量，将式(1)通过欧拉方法得到永磁同步电动机离散系统的输入饱和模型，即：

b.根据命令滤波技术和反步法原理，设计一种考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法，永磁同步电动机离散系统的动态数学模型简化为两个独立的子系统；

即由状态变量x₁(k)，x₂(k)和q轴对称饱和非线性输入u_qs(k)作为输入信号组成的子系统以及由状态变量x₃(k),x₄(k)和d轴对称饱和非线性输入u_ds(k)作为输入信号组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，存在径向基函数神经网络W^TS(Z)使得：f(Z)＝W^TS(Z)+τ，τ是逼近误差且满足|τ|≤ε，ε为任意小的正常数；

是输入向量，q是神经网络输入维数，R^q为实数向量集；W∈R^p是权重向量，神经网络节点数p为正整数，且p＞1，R^p为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_p(Z)]^T∈R^p为基函数向量；s_c(Z)为高斯函数，s_c(Z)的表达式为：

其中，c＝1,...,p，μ_c是高斯函数s_c(Z)接受域的中心，η_c为高斯函数s_c(Z)的宽度；

定义命令滤波器如下公式(10)所示：

式(10)中，ξ为滤波器的时间常数，W_n为正常数；

Z_i,1(k)，Z_i,2(k)均为k步时命令滤波器的输出信号，Z_i,1(k+1)，Z_i,2(k+1)均为k+1步时命令滤波器的输出信号，虚拟控制函数α_i(k)为命令滤波器的输入信号，i＝1,2；

如果虚拟控制函数α_i(k)满足：|α_i(k+1)-α_i(k)|≤ρ₁和|α_i(k+2)-2α_i(k+1)+α_i(k)|≤ρ₂，对于所有的k≥1成立，其中ρ₁和ρ₂是正的常数，Z_i,1(0)＝α_i(0)，Z_i,2(0)＝0，对于任意ε＞0，存在ξ∈(0,1]和W_n＞0，|Z_i,1(k)-α_i(k)|≤ε是有界的；

虚拟控制函数α_i(k)的表达式将在下面的控制方法设计中给出；

定义误差变量e₁(k)、e₂(k)、e₃(k)、e₄(k)为：

定义补偿信号ξ₁(k)、ξ₂(k)、ξ₃(k)、ξ₄(k)为：

其中，x_1d(k)为给定的期望信号；α_1d(k)＝Z_1,1(k)，α_2d(k)＝Z_2,1(k)为命令滤波器的输出信号；v_j(k)表示补偿误差，j＝1,2,3,4；

离散控制方法每一步都选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制函数，具体过程如下：

b.1.根据误差变量e₁(k)＝x₁(k)-x_1d(k)，补偿信号ξ₁(k)＝e₁(k)-v₁(k)和式(9)得：

v₁(k+1)＝e₁(k+1)-ξ₁(k+1)＝x₁(k)+Δ_Tx₂(k)-x_1d(k+1)-ξ₁(k+1)；

选取Lyapunov函数

对V₁(k)求差分得到ΔV₁(k)，即：

构造虚拟控制函数α₁(k)和补偿信号ξ₁(k+1)，即：

其中，t₁为常数，且|t₁|≤1；

根据虚拟控制函数α₁(k)、补偿信号ξ₁(k+1)、误差变量e₂(k)＝x₂(k)-α_1d(k)、补偿信号ξ₂(k)＝e₂(k)-v₂(k)以及式(11)得：

b.2.根据误差变量e₂(k)＝x₂(k)-α_1d(k)，补偿信号ξ₂(k)＝e₂(k)-v₂(k)和式(9)得：

v₂(k+1)＝e₂(k+1)-ξ₂(k+1)

＝(1+Δ_Ta₂)x₂(k)+a₁Δ_Tx₃(k)+a₃Δ_Tx₃(k)x₄(k)+a₄Δ_TT_l-α_1d(k+1)-ξ₂(k+1)；

选择Lyapunov函数

则对V₂(k)求差分得到ΔV₂(k)，即：

永磁同步电动机离散系统的负载转矩T_l是一个有界的值，设定|T_l|≤d，d为正常数且d＞0；

构造虚拟控制函数α₂(k)和补偿信号ξ₂(k+1)：

其中，t₂为常数，且|t₂|≤1；

根据虚拟控制函数α₂(k)、补偿信号ξ₂(k+1)、误差变量e₃(k)＝x₃(k)-α_2d(k)、补偿信号ξ₃(k)＝e₃(k)-v₃(k)和式(13)得：

b.3.根据误差变量e₃(k)＝x₃(k)-α_2d(k)，补偿信号ξ₃(k)＝e₃(k)-v₃(k)和式(9)得：

v₃(k+1)＝e₃(k+1)-ξ₃(k+1)＝(1+b₁Δ_T)x₃(k)+b₂Δ_Tx₂(k)+b₃Δ_Tx₂(k)x₄(k)+b₄Δ_Tu_qs(k)-α_2d(k+1)-ξ₃(k+1)；

选择Lyapunov函数

对V₃(k)求差分得到ΔV₃(k)，即：

f₃(k)＝(1+b₁Δ_T)x₃(k)+b₂Δ_Tx₂(k)-α_2d(k+1)+b₃Δ_Tx₂(k)x₄(k)-ξ₃(k+1)；

由径向基函数神经网络逼近原理得知，对于给定的任意ε₃＞0，存在径向基函数神经网络W₃ ^TS₃(Z₃(k))，使得：f₃(k)＝W₃ ^T||S₃(Z₃(k))||+τ₃；其中，f₃(k)为一未知的非线性函数；W₃表示权重向量，S₃(Z₃(k))表示基函数向量；Z₃(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k),x₄(k)]^T，τ₃表示逼近误差，并满足不等式|τ₃|≤ε₃，||W₃||是向量W₃的范数，从而：

其中，||S₃(Z₃(k))||表示基函数向量S₃(Z₃(k))的范数；

取ξ₃(k)＝0，选取q轴定子的输入电压v_q(k)、q轴对称饱和非线性输入u_qs(k)和自适应律

为：

其中，

表示W₃的估计值；γ₃和δ₃为正常数；定义||W₃||＝η₃且η₃＞0；

为变量η₃的估计值，定义变量η₃的估计误差

为：

设定

从而：

其中，

为W₃的估计误差，即

b.4.根据误差变量e₄(k)＝x₄(k)，补偿信号ξ₄(k)＝e₄(k)-v₄(k)和式(9)得：

v₄(k+1)＝x₄(k+1)-ξ₄(k+1)＝(1+c₁Δ_T)x₄(k)+c₂Δ_Tx₂(k)x₃(k)+c₃Δ_Tu_ds(k)-ξ₄(k+1)；

选取Lyapunov函数

P为正常数且P＞0，对V₄(k)求差分得到ΔV₄(k)：

f₄(k)＝(1+c₁Δ_T)x₄(k)+c₂Δ_Tx₂(k)x₃(k)；

由径向基函数神经网络逼近原理得知，对于给定的任意ε₄＞0，存在径向基函数神经网络

使得：

其中，f₄(k)为一未知的非线性函数；Z₄(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k),x₄(k)]^T，τ₄表示逼近误差，并满足不等式|τ₄|≤ε₄，||W₄||是向量W₄的范数，从而：

其中，||S₄(Z₄(k))||表示基函数向量S₄(Z₄(k))的范数；

取ξ₄(k)＝0，选取d轴定子的输入电压v_d(k)、d轴对称饱和非线性输入u_ds(k)和自适应律

为：

其中，

表示W₄的估计值，γ₄和δ₄为正常数；定义||W₄||＝η₄且η₄＞0；

为变量η₄的估计值，定义变量η₄的估计误差

为：

设定

从而：

其中，

为W₄的估计误差，即

c.对构建的考虑输入饱和的永磁同步电动机命令滤波离散控制方法进行稳定性分析；

选择Lyapunov函数：

对V(k)求差分得到ΔV(k)：

根据

m＝3,4和式(17)、式(21)得到：

由基函数向量S(Z)的定义得知，||S₃(Z₃(k))||²＜l₃，||S₄(Z₄(k))||²＜l₄，l₃和l₄分别表示径向基函数神经网络W₃ ^TS₃(Z₃(k))和

的节点数；

由杨氏不等式，得到式(26)-式(29)，即：

由误差变量e₃(k)＝x₃(k)-α_2d(k)、e₄(k)＝x₄(k)、式(9)、式(16)、式(20)以及杨氏不等式得：

将式(26)、(27)、(28)、(29)和(30)代入式(25)得到：

将式(26)、(27)、(28)、(29)和(31)代入式(25)得到：

永磁同步电动机离散系统的q轴电流是一个有界的数值，因此，定义

其中，N是正常数，将式(22)、(32)和(33)代入式(24)得到：

其中，

选择参数P和参数Δ_T，使不等式满足

和

成立，其中，|v₃(k)|表示补偿误差v₃(k)的绝对值，|v₄(k)|表示补偿误差v₄(k)的绝对值，得到ΔV(k)≤0，进而得知

σ表示任意小的正常数；

如果α_id(k)-α_i(k)是有界的以及|t_i|≤1,i＝1,2；则ξ_j(k)是有界的，j＝1,2,3,4，由于e₁(k)＝v₁(k)+ξ₁(k)以及ξ₁(k)是有界的，因此，误差变量e₁(k)是有界的；

由以上分析得到，在定子的输入电压v_q(k)和v_d(k)的作用下，永磁同步电动机离散系统的误差变量e₁(k)能够收敛到原点的一个充分小的邻域内，并保证其他信号有界。

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