CN113183154B - 一种柔性关节机械臂的自适应反演控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种柔性关节机械臂的自适应反演控制方法，包括如下步骤：建立柔性关节机械臂系统模型，初始化系统状态及控制参数；设计滤波变量，滤波变量结合系统模型设计未知动态观测器；未知动态观测器在有限时间内能收敛到平衡点领域附近；设计跟踪误差及虚拟控制律，根据跟踪误差及虚拟控制律设计反演控制器及跟踪微分器；在虚拟控制律和反演控制器的作用下，柔性关节机械臂系统可达到一致最终有界且跟踪误差能被约束在边界内。本发明提供的柔性关节机械臂的自适应反演控制方法，利用系统观测器及跟踪微分器，实现了柔性关节机械臂在受到扰动的情况下快速恢复稳定轨迹跟踪，减弱了扰动对机械臂轨迹造成的影响。

Description

一种柔性关节机械臂的自适应反演控制方法

技术领域

本发明涉及柔性关节机械臂的控制方法，特别涉及一种柔性关节机械臂的自适应反演控制方法。

背景技术

柔性关节机械臂具有质量轻、灵活度高、能耗低等诸多优点，因此在航天领域、医疗领域、工业生产中都具有广泛的应用前景。但是，由于机械臂存在非线性强耦合特点，在其在关节处使用谐波齿轮，会使得机械臂数学模型参数不确定，未建模动态不确定性和未知扰动的不确定性，从而影响跟踪轨迹的精度。因此，如何使机械臂能以更高的精度进行轨迹跟踪的问题亟待解决。

现有的实现机械臂快速跟踪的方法如公开号为CN110877333A的中国专利申请公开的一种柔性关节机械臂控制方法，包括如下步骤：1、建立柔性关节机械臂系统动力学模型；2、将柔性关节机械臂期望的关节和电机的位移、角速度作为基于模糊神经网络逼近器的自适应反演控制器的参考输入，将电动机提供转矩的外部输入作为自适应反演控制器的实际输入，如果自适应反演控制器的实际输出值和预设的期望值产生跟踪误差，该跟踪误差通过自适应反演控制器的迭代计算趋近于零。

由于公开号为CN109884890A的中国专利申请公开的一种电驱动机械臂伺服系统的时变约束反演控制方法，包括如下步骤：(1)建立机械臂伺服系统模型，通过初始化系统状态及控制参数得到机械臂伺服系统的状态空间模型；(2)设计误差向量和改进的边界李雅普诺夫函数，并根据改进的边界李雅普诺夫函数设计反演控制器；所述改进的边界李雅普诺夫函数在系统误差变大并接近边界时，会导致控制信号增大，增强控制效果，并使误差减小，最终保持在边界允许的范围内；所述改进的边界李雅普诺夫函数引入了自然常数e；所述误差向量包括关节位置向量误差和关节速度向量误差。

上述专利申请提供的机械臂控制方法仅针对已经出现的干扰进行计算，以减小超调量，快速实现跟踪；但是对于系统外部扰动以及模型参数不确定导致的系统干扰无法进行估计。

发明内容

为解决现有技术中存在的问题，本发明提供一种柔性关节机械臂的自适应反演控制方法，实现柔性关节机械臂在受到扰动的情况下快速恢复稳定轨迹跟踪，减弱了扰动对机械臂轨迹造成的影响。

一种柔性关节机械臂的自适应反演控制方法，包括如下步骤：

S100建立柔性关节机械臂系统模型，初始化系统状态及控制参数；

S200设计滤波变量，所述滤波变量结合系统模型设计未知动态观测器；所述未知动态观测器在有限时间内能收敛到平衡点领域附近；

S300设计跟踪误差及虚拟控制律，跟踪误差及虚拟控制律设计反演控制器及跟踪微分器；在虚拟控制律和反演控制器的作用下，柔性关节机械臂系统能够达到一致最终有界且跟踪误差能被约束在边界内。

所述步骤S100中柔性关节机械臂系统模型表示为如下形式：

其中，M，g，L分别为机械臂质量、重力加速度和机械臂长度，q和θ分别为机械臂连杆角度和电机角度，

和

分别为机械臂连杆角加速度和电机角加速度；I和J分别为连杆惯量和电机惯量，K为弹性系数，u为控制力矩，d₁和d₂为有界干扰信号和模型不确定部分，表示为：

所述步骤S100中，所述初始化系统状态参数为：定义状态变量x₁＝q,

x₃＝θ,

系统输出为y＝x₁；则式柔性关节机械臂系统模型可改写为以下形式：

假设di及其导数有界，i＝1、2；即||d_i||≤η_i，i＝1、2；

其中，

和

分别是机械臂连杆角速度和电机角速度。

在步骤S200中，所述的滤波变量为：令a＝x₁-x₃，b＝sin(x₁)；定义x_2l、x_4l、a_l、b_l和u_l为x₂、x₄、a、b和u的滤波变量，分别满足：

根据公式(3)和公式(4)，对任意正定常数k，则不变流形

即

根据公式(3)和公式(5)，对任意正定常数k，则不变流形

即

不变流形β_i＝0，i＝1、2时；系统可消除赘余成分；

当k→0时，

成立，故可设计如下未知系统动态观测器：

其中，t为时间，

和

分别为d₁和d₂的估计值。

未知系统动态观测器有界，具体的证明如下：

假设扰动d₁以及扰动导数

有界；

定义观测器估计误差：

将式(6)代入式(7)可得：

对式(9)求导可得：

将式(3)和式(4)代入式(10)可得：

构造李雅普诺夫函数

求导可得：

求解式(12)可得

由于V_d1(t)和

有界，则估计误差

指数收敛到零点附近邻域，可得：

且当k→0时，有

证毕。

同理，对于未知系统动态估计器

可证得估计误差

指数收敛到零点附近邻域，可得：

且当k→0时，有

可得，

能够在有限时间内收敛到平衡点邻域附近。

在步骤S300中，设计自适应反演控制器具体过程如下：

S300-1定义虚拟控制率，根据虚拟控制率、公式(3)及期望轨迹定义跟踪误差；

S300-2定义跟踪参数，根据跟踪参数及虚拟控制率计算得出跟踪微分器；

S300-3根据跟踪误差及跟踪微分器计算得出反演控制器。

所述步骤S300-1还包括根据跟踪误差构造李雅普诺夫函数，所述李雅普诺夫函数用于证明系统的稳定性。

所述步骤S300-2中的跟踪微分器为：

其中，r₃表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出。

所述步骤S300-3中的反演控制器为：

其中，k₄为大于零的常数，e₃、e₄为跟踪误差，

为d₂的估计值，

为虚拟控制律的估计值。

设计自适应反演控制器具体如下：

定义柔性关节机械臂系统的跟踪误差为：

e₁＝y-y_d (15)

其中，y_d为期望轨迹，对e₁求导可得：

构造李雅普诺夫函数：

其中，F₁为约束边界函数，e₁为系统误差；约束边界函数表达式如(17)所示，对V₁求导可得：

其中，e₂＝x₂-α₁,α₁为虚拟控制律，代入式(12)可以得到：

根据式(19)可以设计α₁为：

其中k₁是大于零的常数。

将式(19)代入式(20)可得：

定义误差变量e₂为：

e₂＝x₂-α₁ (22)

对e₂求导得：

其中，e₃＝x₃-α₂，α₂为虚拟控制律；

构造李雅普诺夫函数V₂为：

由于虚拟控制律的导数

过于复杂难以获得，为解决此问题，设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₁表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₁、

由式(24)和式(25)可设计虚拟控制律α₂为：

其中，k₂为大于零的常数，

为d₁的估计值，

为

的估计值；

将式(26)代入式(24)中可得：

其中，

将式(19)代入式(27)可得：

构造李雅普诺夫函数V₃为：

对V₃求导可得：

对e₃求导可得：

其中，e₄＝x₄-α₃，α₃为虚拟控制律；

将式(31)代入式(30)中可得：

设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₂表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₂、

设计虚拟控制律α₃为：

其中，k₃为大于零的常数，

为

的估计值；

将式(34)代入式(32)中可得：

将式(28)代入式(35)中可得：

构造李雅普诺夫函数V₄为：

对V₄求导可得：

对e₄求导可得：

将式(39)代入式(38)中可得：

设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₃表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₃、

通过虚拟控制律的计算，反演控制器设计如下：

其中，k₄为大于零的常数，

为d₂的估计值，

为虚拟控制律

的估计值。

利用李雅普诺夫函数证明系统稳定性，具体如下：

将式(42)代入式(40)可得：

其中，

将式(36)代入式(43)中可得：

通过式(25)、(33)和(41)逼近

不用对虚拟控制律α_i求导，从而避免反演法的“微分爆炸”问题，存在一个正常数ω_i，满足：

其中，T_td是跟踪微分器的调节时间。

由式(20)中可以看出，性能函数F₁>0。此外，

中也不存在分母为零的情况，因此α₁和

表达式中均不存在奇异值问题。

构造李雅普诺夫函数：

对V_s求导可得：

对V_s求导可得：

根据杨氏不等式可得：

将和式(17)代入式(16)可得：

其中，

可进一步表示为：

其中，ρ、γ的表达式分别为：

选取参数k₁>0、k₂>1、k₃>0.5、k₄>1，滤波系数k＜1，则ρ>0。将式(10)两边同时积分可得：

0≤V_s(t)≤μ(t) (53)

其中，

当t→∞时，V_s有界，满足

由V_s表达式(46)可知，e_i(i＝1,2,3,4)，

能够达到一致最终有界。因为系统期望轨迹y_d与其导数

有界，从e_i(i＝1,2,3,4)的表达式可知，系统输出信号y以及状态变量x_j(j＝2,3,4)均有界，由表达式(42)可知系统控制器输出U有界。因此，证得系统所有闭环信号均可保证一致最终有界且稳定。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

(1)针对柔性关节机械臂模型不确定以及扰动造成的影响，本发明设计未知动态观测器，并基于该观测器设计跟踪微分器，利用该未知系统观测器及跟踪微分器，实现柔性关节机械臂在受到扰动的情况下快速恢复稳定轨迹跟踪，减弱了扰动对机械臂轨迹造成的影响。

附图说明

图1为本发明公开的柔性关节机械臂的自适应反演控制方法的算法基本流程图；

图2为本发明公开的柔性关节机械臂的自适应反演控制方法与传统方法的跟踪轨迹的比较图；

图3为本发明公开的柔性关节机械臂的自适应反演控制方法与传统方法位置跟踪误差的对比图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，对本发明做进一步说明。

如图1所示，一种柔性关节机械臂的自适应反演控制方法，包括如下步骤：

S100建立柔性关节机械臂系统模型，初始化系统状态及控制参数；

柔性关节机械臂系统模型表示为如下形式：

其中，M，g，L分别为机械臂质量、重力加速度和机械臂长度，q和θ分别为机械臂连杆角度和电机角度，

和

分别为机械臂连杆角加速度和电机角加速度；I和J分别为连杆惯量和电机惯量，K为弹性系数，u为控制力矩，d₁和d₂为有界干扰信号和模型不确定部分，表示为：

所述初始化系统状态参数为：定义状态变量x₁＝q,

x₃＝θ,

系统输出为y＝x₁；则式柔性关节机械臂系统模型可改写为以下形式：

假设di及其导数有界，i＝1、2；即||d_i||≤η_i，i＝1、2；

其中，

和

分别是机械臂连杆角速度和电机角速度。

S200设计滤波变量，所述滤波变量结合系统模型设计未知动态观测器；所述未知动态观测器在有限时间内能收敛到平衡点领域附近；

所述的滤波变量为：令a＝x₁-x₃，b＝sin(x₁)；定义x_2l、x_4l、a_l、b_l和u_l为x₂、x₄、a、b和u的滤波变量，分别满足：

根据公式(3)和公式(4)，对任意正定常数k，则不变流形

即

根据公式(3)和公式(5)，对任意正定常数k，则不变流形

即

不变流形β_i＝0，i＝1、2时；系统可消除赘余成分；

当k→0时，

成立，故可设计如下未知系统动态观测器：

其中，t为时间，

和

分别为d₁和d₂的估计值。

未知系统动态观测器有界，具体的证明如下：

假设扰动d₁以及扰动导数

有界，

定义观测器估计误差：

将式(6)代入式(7)可得：

对式(9)求导可得：

将式(3)和式(4)代入式(10)可得：

构造李雅普诺夫函数

求导可得：

求解式(12)可得

由于V_d1(t)和

有界，则估计误差

指数收敛到零点附近邻域，可得：

且当k→0时，有

证毕。

同理，对于未知系统动态估计器

可证得估计误差

指数收敛到零点附近邻域，可得：

且当k→0时，有

可得，

能够在有限时间内收敛到平衡点邻域附近。

S300设计跟踪误差及虚拟控制律，跟踪误差及虚拟控制律设计反演控制器及跟踪微分器；在虚拟控制律和反演控制器的作用下，柔性关节机械臂系统能够达到一致最终有界且跟踪误差能被约束在边界内。

设计自适应反演控制器具体如下：

定义柔性关节机械臂系统的跟踪误差为：

e₁＝y-y_d (15)

其中，y_d为期望轨迹，对e₁求导可得：

构造李雅普诺夫函数：

其中，F₁为约束边界函数，e₁为系统误差；约束边界函数表达式如(17)所示，对V₁求导可得：

其中，e₂＝x₂-α₁,α₁为虚拟控制律，代入式(12)可以得到：

根据式(19)可以设计α₁为：

其中k₁是大于零的常数。

将式(19)代入式(20)可得：

定义误差变量e₂为：

e₂＝x₂-α₁ (22)

对e₂求导得：

其中，e₃＝x₃-α₂，α₂为虚拟控制律；

构造李雅普诺夫函数V₂为：

由于虚拟控制律的导数

过于复杂难以获得，为解决此问题，设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₁表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₁、

由式(24)和式(25)可设计虚拟控制律α₂为：

其中，k₂为大于零的常数，

为d₁的估计值，

为

的估计值；

将式(26)代入式(24)中可得：

其中，

将式(19)代入式(27)可得：

构造李雅普诺夫函数V₃为：

对V₃求导可得：

对e₃求导可得：

其中，e₄＝x₄-α₃，α₃为虚拟控制律；

将式(31)代入式(30)中可得：

设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₂表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₂、

设计虚拟控制律α₃为：

其中，k₃为大于零的常数，

为

的估计值；

将式(34)代入式(32)中可得：

将式(28)代入式(35)中可得：

构造李雅普诺夫函数V₄为：

对V₄求导可得：

对e₄求导可得：

将式(39)代入式(38)中可得：

设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₃表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₃、

通过虚拟控制律的计算，反演控制器设计如下：

其中，k₄为大于零的常数，

为d₂的估计值，

为虚拟控制律

的估计值。

利用李雅普诺夫函数证明系统稳定性，具体如下：

将式(42)代入式(40)可得：

其中，

将式(36)代入式(43)中可得：

通过式(25)、(33)和(41)逼近

不用对虚拟控制律α_i求导，从而避免反演法的“微分爆炸”问题，存在一个正常数ω_i，满足：

其中，T_td是跟踪微分器的调节时间。

由式(20)中可以看出，性能函数F₁>0。此外，

中也不存在分母为零的情况，因此α₁和

表达式中均不存在奇异值问题。

构造李雅普诺夫函数：

对V_s求导可得：

对V_s求导可得：

根据杨氏不等式可得：

将和式(17)代入式(16)可得：

其中，

可进一步表示为：

其中，ρ、γ的表达式分别为：

选取参数k₁>0、k₂>1、k₃>0.5、k₄>1，滤波系数k＜1，则ρ>0。将式(10)两边同时积分可得：

0≤V_s(t)≤μ(t) (53)

其中，

当t→∞时，V_s有界，满足

由V_s表达式(46)可知，e_i(i＝1,2,3,4)，

能够达到一致最终有界。因为系统期望轨迹y_d与其导数

有界，从e_i(i＝1,2,3,4)的表达式可知，系统输出信号y以及状态变量x_j(j＝2,3,4)均有界，由表达式(42)可知系统控制器输出U有界。因此，证得系统所有闭环信号均可保证一致最终有界且稳定。

为了更好地体现出本文提出控制方法的优越性和有效性，对以下两种控制方法进行仿真对比。

W1:本文提出的基于未知系统动态估计器的反演控制方法，其中虚拟控制律表达式为(20)、(26)和(34)，控制器表达式为(32)。

W2:现有的控制方法，其中虚拟控制律和控制器分别设计为：

为保证对比的公平性，两种方法的系统参数与控制器参数均保持一致。其中，系统参数设置为MgL＝10，I＝2，J＝0.1，K＝22，未知系统动态设置为：

仿真实验中，期望轨迹设置为y_d＝0.5sin(t)，系统初始值设置为x₁(0)＝0.4，x_j(0)＝0(j＝2,3,4)，虚拟控制律和控制器增益参数设置为k₁＝8.8，k₂＝2，k₃＝25，k₄＝8，滤波常数设置为k＝0.01，跟踪参数设置为r_i＝1(i＝1,2,3)，预设性能函数设置为F₁＝(1-0.05)exp^-1.5t+0.05。

仿真效果如图2-3所示，图2为柔性关节机械臂角位置跟踪效果图，其中，W1为本方案公开的方法，W2为现有方法，y_d为预设轨迹，根据图2所示可知，W1的轨迹与预设轨迹基本重合，而W2的轨迹与预设轨迹之间存在偏差，即WI和W2两种控制方法均可以跟踪上期望轨迹，但相比于传统方法W2，本发明公开的方法W1响应时间较短，恢复稳定的速度较快，有更好的鲁棒性。

图3为柔性关节机械臂角位置跟踪误差效果图，其中，W1为本方案公开的方法，W2为现有方法，F1约束边界，根据图3所示可知，W1的跟踪误差始终位于约束边界F1内，且稳定性良好；而W2的跟踪误差会越过约束边界F1，同时跟踪误差波动大；即相较于传统方法W2，本发明公开的方法W1有更好的瞬态、稳态性能和鲁棒性，且具有更好的效果。

Claims (5)

1.一种柔性关节机械臂的自适应反演控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

S100建立柔性关节机械臂系统模型，初始化系统状态及控制参数；

柔性关节机械臂系统模型表示为如下形式：

其中，M，g，L分别为机械臂质量、重力加速度和机械臂长度，q和θ分别为机械臂连杆角度和电机角度，

和

分别为机械臂连杆角加速度和电机角加速度；I和J分别为连杆惯量和电机惯量，K为弹性系数，u为控制力矩，d₁和d₂为有界干扰信号和模型不确定部分，d₁和d₂表示为：

所述初始化系统状态参数为：定义状态变量x₁＝q，

x₃＝θ，

系统输出为y＝x₁；则将柔性关节机械臂系统模型改写为以下形式：

假设d_i及其导数有界，i＝1、2；

其中，

和

分别是机械臂连杆角速度和电机角速度；

S200设计滤波变量，所述滤波变量结合系统模型设计未知动态观测器；所述未知动态观测器在有限时间内能收敛到平衡点领域附近；

所述的滤波变量为：令a＝x₁-x₃，b＝sin(x₁)；定义x_2l、x_4l、a_l、b_l和u_l为x₂、x₄、a、b和u的滤波变量，分别满足：

根据公式(3)和公式(4)，对任意正定常数k，则不变流形

即

根据公式(3)和公式(5)，对任意正定常数k，则不变流形

即

不变流形β_i＝0，i＝1、2时，系统消除赘余成分；

当k→0时，

成立，设计如下未知动态观测器：

其中，t为时间，

和

分别为d₁和d₂的估计值；

S300设计跟踪误差及虚拟控制律，根据跟踪误差及虚拟控制律设计反演控制器及跟踪微分器；在虚拟控制律和反演控制器的作用下，柔性关节机械臂系统能够达到一致最终有界且跟踪误差能被约束在边界内。

2.根据权利要求1所述的柔性关节机械臂的自适应反演控制方法，其特征在于，在步骤S300中，设计反演控制器具体过程如下：

S300-1定义虚拟控制率，根据虚拟控制率、公式(3)及期望轨迹定义跟踪误差；

S300-2定义跟踪参数，根据跟踪参数及虚拟控制率计算得出跟踪微分器；

S300-3根据跟踪误差及跟踪微分器计算得出反演控制器。

3.根据权利要求2所述的柔性关节机械臂的自适应反演控制方法，其特征在于：所述步骤S300-1还包括根据跟踪误差构造李雅普诺夫函数，所述李雅普诺夫函数用于证明系统的稳定性。

4.根据权利要求2所述的柔性关节机械臂的自适应反演控制方法，其特征在于，所述步骤S300-2中的跟踪微分器为：

其中，r₃表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出。

5.根据权利要求2所述的柔性关节机械臂的自适应反演控制方法，其特征在于，所述步骤S300-3中的反演控制器为：

其中，k₄为大于零的常数，e₃、e₄为跟踪误差，

为d₂的估计值，

为虚拟控制律的估计值。

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