CN115963819A - 一种非完整移动机器人编队控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非完整移动机器人编队控制方法，该方法首先对非完整移动机器人系统进行建模，然后通过构建合理的假设条件，设计一套结构简单且计算成本低廉的控制策略。该控制策略适用于具备建模不确定性、未知外部干扰以及无法预知的执行器故障等问题的机器人系统，且支持相邻的机器人在保持安全距离的同时进行一对一通信。

Description

一种非完整移动机器人编队控制方法

技术领域

本发明涉及移动机器人编队控制方法，特别涉及一种非完整移动机器人编队控制方法。

背景技术

在过去的几十年时间里，人们在多智能体系统的分布式控制研究方面投入了很多精力。这是因为多智能体系统中智能体之间信息交互比较困难，但同时多智能体系统在实际工程中的应用十分广泛，例如多机器人系统、能源系统、生物系统等。编队控制是多智能体系统研究中的一大热门方向，它可以分为三个比较典型的方面：基于位置的编队控制、基于距离的编队控制和基于方向的编队控制。然而，早期关于这个方向的研究主要是针对简化了的动力学模型，例如，单积分或者双积分模型。但是，由于系统模型中存在系统不确定性、外部扰动以及不可预知的执行器故障等因素，导致单积分和双积分模型无法适用于具有多个非完整移动机器人的多智能体系统。

针对非完整移动机器人编队控制的研究，虽然有比较丰富的成果，但是早期的控制方法局限于模型已知的移动机器人编队控制系统。对于动力学模型未知的移动机器人编队控制系统的分布式控制方法虽然也有相应的研究成果，然而，这些方法都没有考虑机器人之间的通信距离受限以及机器人之间可能存在碰撞的问题。实际应用中，机器人之间的有效通信距离往往会受到通信设备的限制，同时，如果机器人之间的距离太小可能会发生碰撞。所以，在多机器人编队控制的框架下保证通信有效性的同时避免机器人之间的碰撞是很有前景的研究方向。虽然目前有一些控制方法可以保证通信的有效性或者避免碰撞的发生，但都无法同时满足两个要求。

为了实现上述的控制目标，一种分布式控制方法是将某些势函数分别引入到Lyapunov函数中，但这类方法在选择设计参数时，可能会导致冲突。另外，相关文献也有提到，一种基于统一误差变换机制的分布式编队控制方法和一种分布式的自适应编队控制方案，虽然这两种方法能解决上述问题，但是由于这两种方法都是基于反步法，因此在设计控制器时，控制器的结构会由于引入了虚拟控制器的时间导数变得复杂。并且，基于统一误差变换机制的分布式编队控制方法，需要在线更新额外的自适应参数并且需要大量的可实时计算的神经元，所以同时也会增加控制方法的复杂度。

发明内容

针对现有技术存在的上述问题，本发明要解决的技术问题是：如何设计一种复杂度低、计算成本低的非完整移动机器人编队控制方法。

为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：一种非完整移动机器人编队控制方法，包括如下步骤：

S1：建立数学模型：

S11：建立非完整移动机器人系统内机器人的动力学模型，所述非完整移动机器人系统包含有N个两轮移动机器人，所述非完整移动机器人系统内第k个机器人的动力学模型如公式(2)所示：

其中，

中的(x_k,y_k)，θ_k分别表示第k个机器人的位置和朝向角度；

表示第k个机器人左、右轮子的角速度向量；

表示执行器的输出向量，即施加于轮子的控制扭矩向量；

表示第k个机器人左、右轮子未知的外部扰动；

J_k，M_k，C_k和D_k没有实际的物理意义，是中间变量，

表示三阶向量，

表示二阶向量。

S12：建立机器人系统动力学模型如公式(3)所示：

其中，r_k和b_k分别是第k个机器人的轮子半径和该机器人的半宽；d_k,1和d_k,2是表示其阻尼系数的两个正值常数；m_k,1和m_k,2没有实际的物理意义，是中间变量，m_k,c和m_k,w分别表示第k个机器人和轮子的质量；c_k是第k个机器人质心P_c,k到两个轮子连线中点P_o,k的距离；I_k,c表示以通过第k个机器人质心的垂直方向为轴的转动惯量，I_k,w表示带有电机的车轮绕车轮轴线的转动惯量，I_k,m表示带有电机转子的车轮绕车轮直径的转动惯量，I_k表示第k个机器人的总的转动惯量之和。

S2：分布式控制的假设条件：

假设1：领导者机器人的轨迹η_L是可测量的，

是分段连续的，并且两个都是有界的；假设1取消了对η_L的约束，因为轨迹η_L只要求实时可测，而不必先验已知，并且也不要求其时间导数必须已知，因此，本发明所设计的方案适合于更广泛的实际应用。

假设2：存在未知常数，σ _k,l和σ _k,m,且满足0＜σ _k,l≤σ_k,l(t)≤1，0＜σ _k,m≤σ_k,m(t)≤1，k＝1,…,N。假设2允许表示“健康指标”的未知时变函数是分段连续，这表明了本发明所提出的控制方案同时考虑了乘性PLOE执行器的初始和突发故障。

假设3：期望的相对距离和期望的方位角

分别满足

并且两者的初始条件分别满足d_l,k＜d_k(0)＜d_m,k，|β_k(0)|＜β_m,k，假设3对于控制方案解决潜在的CVCPFTFC问题是必要的，并且该假设也符合实际情况。

S3：分布式控制器的设计过程具体如下：

S31：分布式虚拟控制器需满足公式(13a,13b)和公式(15a,15b)的条件：

η_L＝[x_L,y_L,θ_L]^T表示领导者机器人R_L的姿态，如公式(10)：

其中，θ_L∈[-π，π)、v_L和w_L分别表示机器人R_L的线速度和角速度；

d_k和β_k(k＝1,……,N)分别表示相邻机器人的相对距离和方位角，具体表示如下：

当k＝1时，x_k-1＝x₀,y_k-1＝y₀，此时的x₀，y₀表示领导机器人R_L的姿态；

为避免碰撞并保持机器人之间通信的连通，d_k和β_k需要满足如下约束条件：

其中，d_l,k、d_m,k和

都是正值常数。

跟踪误差向量表示为

具体定义如下：

其中，d_k(t)和β_k(t)分别表示t时刻相邻机器人的相对距离和方位角，d_k ^*(t)和β_k ^*(t)分别表示t时刻期望的相对距离和期望的方位角；e_d,k,1(t)和e_β,k,1(t)分别表示相邻机器人之间的相对距离误差和方位角误差，这两个值的性能范围为:

其中，

和

是性能函数，可以由公式(16a,16b)得到：

其中，

分别表示相对距离误差的性能函数的上界初值和下界初值，

分别表示方位角误差性能函数的上界初值和下界初值，d_m,k，d_l,k，β_m,k，β_l,k表示正的常值，并且满足式(13)。

其中

v_r,k-1和θ_k-1分别表示第k-1个机器人R_k-1的线速度和方向角，特别地，v_r,0＝v_l，θ₀＝θ_l。接下来，使用类似反步法的设计过程继续设计控制方案。

分别表示第k个机器人与相邻机器人的相对距离误差、方位角误差的导数，w_r,k，v_r,k分别表示第k个机器人R_k的角速度和线速度。

S33：设计分布式虚拟控制器，第k个机器人的虚拟控制信号

设计为：

具体的设计方法如下：

ξ_k,1(t)表示归一化误差向量，它可以用下面的式子表示：

根据式(15)和式(19)得到ξ_d,k,1(t)∈(-1,1)和ξ_β,k,1(t)∈(-1,1)，继而，通过式(14)和式(19)，d_k和β_k定义为：

接下来用

表示一个中间变量向量，用式子表示为：

第k个机器人的虚拟控制信号

设计为：

在上式中，

μ_k,1＝diag{μ_d,k,1,μ_β,k,1}，其中μ_d,k,1和μ_β,k,1是正的设计参数，

S34：设计分布式实际控制器，第k个机器人R_k的控制器实际输入信号

用下面的式子表示：

具体的设计方法如下：

虚拟跟踪误差向量用e_k,2(t)表示，用公式定义为：

其中，e_d,k,2(t)，e_β,k,2(t)分别表示第k个机器人与相邻机器人之间相对距离和方位角的虚拟误差，ε_d,k(t)，ε_β,k(t)分别表示第k个机器人与相邻机器人之间相对距离和方位角的虚拟控制信号。

式(23)要满足下面的预设性能边界：

|e_d,k,2(t)|＜ρ_d,k,2(t)，|e_β,k,2(t)|＜ρ_β,k,2(t)  (24)

ρ_d,k,2(t)和ρ_β,k,2(t)分别表示为e_d,k,2(t)和e_β,k,2(t)对应的性能函数，两者根据下面的式子确定：

ρ_d,k,2(t)＝(ρ_d,k,0-ρ_d,k,∞)exp(-k_d,kt)+ρ_d,k,∞  (25a)

ρ_β,k,2(t)＝(ρ_β,k,0-ρ_β,k,∞)exp(-k_β,kt)+ρ_β,k,∞  (25b)

其中ρ_d,k,0＞e_d,k,2(0)，ρ_β,k,0＞e_β,k,2(0)，ρ_d,k,∞∈(0，ρ_d,k,0]，ρ_β,k,∞∈(0，ρ_β,k,0]，k_d,k＞0和k_β，κ＞0是设计参数，分别为e_d,k,2(t)，e_β,k,2(t)预先分配瞬态性能指标和稳态性能指标。

同设计虚拟控制器一样，ξ_k,2(t)表示归一化误差向量，用公式表示：

对应的中间变量向量可以表示为

用公式表示为：

第k个机器人R_k的控制器实际输入信号

定义为：

其中ρ_k,2＝diag{ρ_d,k,2，ρ_β,k,2}，μ_k,2＝diag{μ_d,k,2,μ_β,k,2}，并且μ_d,k,2和μ_β,k,2是正的设计参数，

作为优选，所述S1还包括S13坐标变换，具体步骤如下：

ω_k＝ζ_kB_k,τ_k＝H_k ^-1u_k  (5)

其中，

ξ_k＝[v_r,k,w_r,k]^T表示第k个机器人的线/角速度矢量，u_k＝[u_k,1,u_k,2]^T是辅助变量。B_k和H_k是可逆矩阵,将式(5)代入式(2)再用式(4)，第k个机器人的动力学可以表示为如下：

其中：

Γ_k＝B_k ^-1M_k ^-1σ_kH_k ^-1,Δ_k＝δ_k-ε_k

根据式(7a)可以推导出

其中，ζ_k表示第k个机器人的线/角速度向量，u_k表示是辅助变量，可以看作需要设计的控制输入，σ_k是反映第k个机器人执行器有效性的时变标量组成的对角矩阵。S_K(·)，Γ_k，Δ_k没有实际物理意义，是中间变量。

由上式表明，第k个机器人仅在垂直于驱动轮的轴线上移动，说明机器人在轮轴方向的速度为0,因此，式(9)被称为非完整约束。

作为优选，所述

的选择方法如下：

基于假设3，并依据式(17)选择

且满足|e_d,k,2|＜ρ_d,k,0，|e_β,k,2(0)|＜ρ_β,k,0；如此，可以满足初始条件

并且也不会违反相对距离和方位角约束(即式(13))。

相对于现有技术，本发明至少具有如下优点：

1.本发明设计的控制方法同基于反步法或基于神经网络的编队控制方案相比，具有控制器结构简单、计算成本低廉以及通信要求不高的优点。这是因为本发明所设计的控制方法不使用系统非线性的先验知识，也没有用到处理先验知识的非线性近似器。同时，控制器设计也没有涉及到虚拟控制器的时间导数或者领导者机器人的轨迹。并且，本发明设计的控制方法不使用邻居机器人的速度信息，也不需要执行器故障检测或诊断单元，以上的这些特点使得本发明所设计的控制方案执行起来更加直接和方便。此外，由于所有的闭环信号都是基于Lyapunov定理有界的，并且因为没有用到任何的势函数，所以本方案也避免了奇点问题。

2.与现有技术相比，本发明所设计的方法是一种结构简单、计算成本低的控制方案，这就使得本方案的设计和使用更直接、方便。本发明所设计的控制方案只用到了邻居机器人的姿态信息，而其他文献中提到的分布式编队控制方法，还需要邻居机器人的速度信息。所以相比较而言，本发明所设计的控制方案对于机器人之间的通信要求更低。另外，本发明在设计控制器时，考虑了系统同时存在建模的不确定性、未知的外部干扰和无法预知的执行器故障的情况，因此本方案在系统存在上述情况时仍能达到控制目标。

3.在设计控制器时，通过引入合适的性能函数约束相邻移动机器人之间的相对距离和方位角，从而在保证机器人之间通信可靠性的同时，也解决了由于距离太小可能导致机器人之间发生碰撞的问题。

附图说明

图1为相邻移动机器人模型。

图2为移动机器人通信拓扑。

具体实施方式

下面对本发明作进一步详细说明。

一种非完整移动机器人编队控制方法，包括如下步骤：

S1：建立数学模型：

S11：建立非完整移动机器人系统内机器人的动力学模型，所述非完整移动机器人系统包含有N个两轮移动机器人，所述非完整移动机器人系统内第k个机器人的动力学模型如公式(2)所示：

其中，

中的(x_k,y_k)，θ_k分别表示第k个机器人的位置和朝向角度；

表示第k个机器人左、右轮子的角速度向量；

表示执行器的输出向量，即施加于轮子的控制扭矩向量；

表示第k个机器人左、右轮子未知的外部扰动；

J_k，M_k，C_k和D_k没有实际的物理意义，是中间变量，

表示三阶向量，

表示二阶向量。

S12：建立机器人系统动力学模型如公式(3)所示：

其中，r_k和b_k分别是第k个机器人的轮子半径和该机器人的半宽；d_k,1和d_k,2是表示其阻尼系数的两个正值常数；m_k,1和m_k,2没有实际的物理意义，是中间变量，m_k,c和m_k,w分别表示第k个机器人和轮子的质量；c_k是第k个机器人质心P_c,k到两个轮子连线中点P_o,k的距离；I_k,c表示以通过第k个机器人质心的垂直方向为轴的转动惯量，I_k,w表示带有电机的车轮绕车轮轴线的转动惯量，I_k,m表示带有电机转子的车轮绕车轮直径的转动惯量，I_k表示第k个机器人的总的转动惯量之和。

S2：分布式控制的假设条件：

假设1：领导者机器人的轨迹η_L是可测量的，

是分段连续的，并且两个都是有界的；假设1取消了对η_L的约束，因为轨迹η_L只要求实时可测，而不必先验已知，并且也不要求其时间导数必须已知，因此，本发明所设计的方案适合于更广泛的实际应用。

假设2：存在未知常数，σ _k,l和σ _k,m,且满足0＜σ _k,l≤σ_k,l(t)≤1，0＜σ _k,m≤σ_k,m(t)≤1，k＝1,…,N。假设2允许表示“健康指标”的未知时变函数是分段连续，这表明本发明所提出的控制方案同时考虑了乘性PLOE执行器的初始和突发故障。

假设3：期望的相对距离和期望的方位角

分别满足

并且两者的初始条件分别满足d_l,k＜d_k(0)＜d_m,k，|β_k(0)|＜β_m,k，假设3对于控制方案解决潜在的CVCPFTFC问题是必要的，并且该假设也符合实际情况。

S3：分布式控制器的设计过程具体如下：

S31：分布式虚拟控制器需满足公式(13a,13b)和公式(15a,15b)的条件：

η_L＝[x_L,y_L,θ_L]^T表示领导者机器人R_L的姿态，如公式(10)：

其中，θ_L∈[-π，π)、v_L和w_L分别表示机器人R_L的线速度和角速度；

d_k和β_k(k＝1,……,N)分别表示相邻机器人的相对距离和方位角，具体表示如下：

当k＝1时，x_k-1＝x₀,y_k-1＝y₀，此时的x₀，y₀表示领导机器人R_L的姿态。

为避免碰撞并保持机器人之间通信的连通，d_k和β_k需要满足如下约束条件：

其中，d_l,k、d_m,k和

都是正值常数；

跟踪误差向量表示为

具体定义如下：

其中，d_k(t)和β_k(t)分别表示t时刻相邻机器人的相对距离和方位角，d_k ^*(t)和β_k ^*(t)分别表示t时刻期望的相对距离和期望的方位角；e_d,k,1(t)和e_β,k,1(t)分别表示相邻机器人之间的相对距离误差和方位角误差，e_d,k,1和e_d,k,1(t)表示相同的含义，e_β,k,1和e_β,k,1(t)表示相同的含义，e_d,k,1(t)和e_β,k,1(t)这两个值的性能范围为:

其中，

和

是性能函数，可以由公式(16a,16b)得到：

其中，

分别表示相对距离误差的性能函数的上界初值和下界初值，

分别表示方位角误差性能函数的上界初值和下界初值。d_m,k，d_l,k，β_m,k，β_l,k表示正的常值，并且满足式(13)。

其中

v_r,k-1和θ_k-1分别表示第k-1个机器人R_k-1的线速度和方向角，特别地，v_r,0＝v_l，θ₀＝θ_l。接下来，使用类似反步法的设计过程继续设计控制方案；

分别表示第k个机器人与相邻机器人的相对距离误差和方位角误差的导数，w_r,k，v_r,k分别表示第k个机器人R_k的角速度和线速度；

S33：设计分布式虚拟控制器，第k个机器人的虚拟控制信号

设计为：

具体的设计方法如下：

ξ_k,1(t)表示归一化误差向量，它可以用下面的式子表示：

根据式(15)和式(19)得到ξ_d,k,1(t)∈(-1,1)和ξ_β,k,1(t)∈(-1,1)，继而，通过式(14)和式(19)，d_k和β_k用下面的式子表示：

接下来用

表示一个中间变量向量，用公式表示为：

第k个机器人的虚拟控制信号

设计为：

在上式中，

μ_k,1＝diag{μ_d,k,1,μ_β,k,1}，其中μ_d,k,1和μ_β,k,1是正的设计参数，

S34：设计分布式实际控制器，第k个机器人R_k的控制器实际输入信号

用下面的式子表示：

具体的设计方法如下：

虚拟跟踪误差向量用e_k,2(t)表示，用公式定义为：

其中，e_d,k,2(t)，e_β,k,2(t)分别表示第k个机器人与相邻机器人相对距离和方位角的虚拟误差，ε_d,k(t)，ε_β,k(t)分别表示第k个机器人与相邻机器人相对距离和方位角的虚拟控制信号。w_r,k(t)和w_r,k的含义相同，v_r,k(t)和v_r,k的含义相同。

式(23)要满足下面的预设性能边界：

|e_d,k,2(t)|＜ρ_d,k,2(t)，|e_β,k,2(t)|＜ρ_β,k,2(t)  (24)

ρ_d,k,2(t)和ρ_β,k,2(t)分别对应的表示为e_d,k,2(t)和e_β,k,2(t)的性能函数，两者根据下面的式子确定：

ρ_d,k,2(t)＝(ρ_d,k,0-ρ_d,k,∞)exp(-k_d,kt)+ρ_d,k,∞  (25a)

ρ_β,k,2(t)＝(ρ_β,k,0-ρ_β,k,∞)exp(-k_β,kt)+ρ_β,k,∞  (25b)

其中ρ_d,k,0＞e_d,k,2(0)，ρ_β,k,0＞e_β,k,2(0)，ρ_d,k,∞∈(0，ρ_d,k,0]，ρ_β,k,∞∈(0，ρ_β,k,0]，k_d,k＞0和k_β，κ＞0是设计参数，分别为e_d,k,2(t)，e_β,k,2(t)预先分配瞬态性能指标和稳态性能指标；

同设计虚拟控制器一样，ξ_k,2(t)表示归一化误差向量，用下面的公式表示：

对应的中间变量向量可以表示为

用公式表示为：

第k个机器人R_k的实际输入信号

定义为：

其中ρ_k,2＝diag{ρ_d,k,2，ρ_β,k,2}，μ_k,2＝diag{μ_d,k,2,μ_β,k,2}，并且μ_d,k,2和μ_β,k,2是正的设计参数，

具体的，包括S13坐标变换，具体步骤如下：

ω_k＝ζ_kB_k,τ_k＝H_k ^-1u_k  (5)

其中，

ζ_k＝[v_r,k,w_r,k]^T表示第k个机器人的线/角速度矢量，u_k＝[u_k,1,u_k,2]^T是辅助变量。B_k和H_k是可逆矩阵,将式(5)代入式(2)再用式(4)，第k个机器人的动力学可以表示为：

其中：

Γ_k＝B_k ^-1M_k ^-1σ_kH_k ^-1,Δ_k＝δ_k-ε_k

根据式(7a)可以推导出

其中，ζ_k表示第k个机器人的线/角速度向量，u_k表示是辅助变量，可以看成是要设计的控制输入，σ_k是反映第k个机器人执行器有效性的时变标量组成的对角矩阵。S_K(·)，Γ_k，Δ_k没有实际物理意义，是中间变量。

由上式表明，第k个机器人仅在垂直于驱动轮的轴线上移动，说明机器人在轮轴方向的速度为0,因此，式(9)被称为非完整约束。

具体的，所述

的选择方法如下：

基于假设3，并依据式(17)选择

且满足|e_d,k,2|＜ρ_d,k,0，|e_β,k,2(0)|＜ρ_β,k,0；如此，可以满足初始条件

并且也不会违反相对距离和方位角约束(式(13))。

通过调整k_i,k和ρ_i,k,∞的值，可以分别预先设置相对距离跟踪误差e_d,k,1、方位角跟踪误差e_β,k,1的非对称瞬态和稳态性能界限，同时也可以预先设置虚拟跟踪误差e_k,2的收敛速度和稳态误差大小，其中k_i,k＞0，

因为控制增益μ_d,k,1＞0,μ_β,k,1＞0,μ_d,k,2＞0,μ_β,k,2＞0不再主导闭环系统的性能，所以可以自由选择控制增益。

具体的，所述S1中还包括执行器故障分析：本发明考虑了执行器出现未知故障的情况，为了使得控制方法更准确，还需进行执行器的故障分析，并融入控制方法的设计中。

由于移动机器人经常在危险且复杂的环境中工作，因此，执行器可能会出现无法预知的故障。在这种情况下，实际的控制扭矩τ_a,k,k＝1,…,N与期望的控制输入

两者不再相同。但两者可以通过公式(4)联系起来：

τ_a,k＝σ_k(t)τ_k+ε_k(t)  (4)

其中，

表示执行器未知但有界的部分，σ_k(t)＝diag{σ_k,l(t),σ_k,m(t)}是对角矩阵，而σ_k,l(t)∈(0,1]和σ_k,m(t)∈(0,1]是反映第k个机器人执行器有效性的时变标量，因此也被称为“健康指标”。特别地，当满足σ_k,i＝1、ε_k,i＝0，i∈{l,m}时，执行器是有效的。当σ_k,i∈(0,1)时，执行器出现部分失效(POLE)²。

为了分析本发明方法的可行性，接下来对系统进行稳定性分析。

引理1：令Ω是

内的一个开集合，考虑函数

并且该函数满足以下条件：

a)对于任意的

定义在Ω_t:＝{t:(z,t)∈Ω}上的函数t→g(z,t)是可测量的；

b)对任意的

定义在Ω_z:＝{z:(z,t)∈Ω}上的函数z→g(z,t)是连续的；

c)对于任意的紧凑集合

存在常数c₀和l₀，满足

因此对于初值问题

在范围[t₀,t_max)(其中t_max＞t₀)内存在唯一最大解，也就是

引理2：令所有的(z,t)∈Ω满足引理1中的条件，并且初值问题

在范围t∈[t₀,t_max)内存在唯一最大解。由此可以得到t_max＝∞或者

引理3：H_kM_kB_k是对角正定矩阵；

引理4：H_kσ_kH_k ^-1是对称正定矩阵；

性能函数：本发明设计控制器时用到了性能函数，为便于理解，此处对性能函数作简要说明。当系统的跟踪误差严格收敛到一个预先设定的范围内，用公式表达如下：

其中，ρ^j(t)＞0,j∈{l,u}就是性能函数，并且性能函数满足以下条件：

a)ρ^j(t)对于任意t≥0都是光滑且有界的；

b)ρ^j(t)的一阶导数对于任意t≥0是有界的。

常用的性能函数形式为

其中

引理是为了控制器设计和稳定性分析方便而先得到证明的公式或条件。

步骤1：由于虚拟控制器的时间导数表达式过于复杂，不便于稳定性分析，因此需要简化移动机器人的闭环动态系统的数学表达式。

对式子(19)两边求导并把(18)式代入，通过式(20)、(23)和(26)可以直接推导出

式中，ε_0,1(·)＝[0,0]^T，Ξ_k-1,1，Θ_k,1和Ψ_k,1的具体表达式见上面的公式(*)。很显然，Θ_k,1在方位角的约束下是负正的。同样地，对式子(26)两边求导并把(7)式代入，通过式(20)、(23)和(26)可以直接得到

其中

是虚拟控制器的时间导数，可以用如下的式子表示

从上式中可以看出

是复杂的，并且由于h_k,1的存在使得

是不确定的，因此在控制器设计中无法直接使用它。值得注意的是，不同于反步法，本设计方案不需要

的任何先验知识，并且不需要非线性近似器去补偿

令

和

移动机器人的闭环动态系统可以用下面的简洁表达式表示：

上式是定义在集合

中，其中

理论结果可以归纳为以下定理。

定理1：在假设1-3下，考虑经过坐标变换(见(7)式)的非完整移动机器人动力学系统(见(2)式)。通过适当地选择性能函数来保证满足初始条件ξ_i(0)∈Ω_ξ,i＝1,2，由式(22)和式(28)构成的分布式控制方案可以解决CVCPFTFC问题。

步骤2：证明式子(32)在时间间隔[0,t_max)内存在唯一最大解(ξ₁,ξ₂)。由式(33)可以看出，ξ_i(t),i＝1,2的吸引域

是非空的开集合。并且，通过选择合适的性能函数

可以满足初始条件ξ_i(0)∈Ω_ξ。因为系统的非线性、外部扰动、性能函数和它的一阶导数都是分段连续的，且分布式控制信号ε_k(·)和u_k(·)在Ω_ξ都是光滑的，所以可以很容易地验证式(32)的右边满足引理1中的所有条件。因此，闭环动态表达式(32)在时间间隔[0,t_max)内存在唯一最大解(ξ₁,ξ₂)，即

在后面的一个部分，证明在式(34)下，所有的闭环信号在时间间隔[0,t_max)都是有界的。

步骤3：证明在式(34)下，所有的闭环信号在时间间隔[0,t_max)都是有界的。在这个部分，将用简单的形式分析稳定性。首先，引入下面的增广向量/矩阵：z_i＝col{ε_1,i…,ε_N,i}，Ψ₁＝col{Ψ_1,1,…,Ψ_N,1}，ε＝col{ε₁,…,ε_N}，Λ₁＝diag{Λ_1,1,…,Λ_N,1}，P₁＝diag{ρ_1,1,…,ρ_N,1}，U₁＝diag{μ_1,1,…μ_N,1}，κ＝1，…，N。然后可以很容易地验证对于所有的

U₁，Λ₁和P₁都是对角正定矩阵。另外，将U₁设计成一个常矩阵。此部分的其它内容又以下两个步骤组成。

步骤3.1：证明式(29)中的每个量都是有界的并且式(31)中的

也是有界的。考虑以下的Lyapunov函数：

通过式(21)和式(29)可以推导出

其中，

从式(*)可以验证对于任意的

矩阵Q₁是正定的，因为Θ_k,1在方位角约束(见式(13b))下是负正的。将式(22)代入式(36)可以得到

因为U₁，Λ₁和P₁都是对角矩阵，所以U₁Λ₁P₁ ^-1＝P₁ ^-1Λ₁U₁。另外，很明显，

式中，

是斜对称的，

是正定的。由

和式(22)可以进一步推导出：

值得注意的是，式(*)中的

和

通过构造或者假设都是有界的。在式(34)的约束下，ξ_k,1和ξ_k,2对于所有的t∈[0,t_max)都是有界的。然后应用极值理论，可以很容易地从(*)得到存在一个正常数

使得

同时，易得

其中，

和

是正常数。通过式(38)和式(39)，

可以进一步缩小范围，

这表明当

时，

因此，可以得到对所有的t∈[0,t_max)，z₁都是有界的，通过式(21)可以进一步得到存在正的常数

使得对任意的t∈[0,t_max)都有

这表明Λ_k,1(·)和式(22)中的ε_k都有界。由于

和性能函数的有界性，可以从式(14)、(20)、(26)和(34)得到对任意的t∈[0,t_max)都满足e_k,1和e_k,2是有界的。然后，由式(5)和(23)可以得到ζ_k和ω_k是有界的。另外地，从式(14)-(17)可以推断出所设计的控制方案没有超出相对距离和方位角的约束(见式(13))。由于在假设1下η_L的有界性，根据式(11a)可以得到η_k也是有界的。由上述结论可以得到，式(29)中的每个量都是有界的并且式(31)中的

也是有界的。

步骤3.2：证明对任意的t∈[0,t_max)所有的闭环信号都是有界的。令u＝col{u₁,…,u_N}，B＝diag{B₁,…,B_N}，H＝diag{H₁,…H_N}，σ＝diag{σ₁,…σ_N}，σ＝diag{σ₁,…σ_N}，C＝diag{C₁,…,C_N}，D＝diag{D₁,…,D_N}，ε＝diag{ε₁,…,ε_N}，δ＝diag{δ₁,…,δ_N}，Λ₂＝diag{Λ_1，2,…,Λ_N,2}，P₂＝diag{ρ_1,2,…,ρ_N,2}，U₂＝diag{μ_1,2,…,μ_N,2}，k＝1,…,N。对任意的

和t≥0，U₂，Λ₂和P₂都是对称正定矩阵。另外，U₂，H,M，B都是常数矩阵。通过引理3，可以进一步得到HMB和U₂HMB也是对称正定矩阵。因此可以很容易地得到U₂HMBΛ₂P₂ ^-1＝P₂ ^-1Λ₂U₂HMB  (42)

进一步地，考虑如下的Lyapunov函数：

由式(27)、(31)和(42)可以得到

其中

矩阵B、矩阵M和矩阵D都是常数矩阵，C和ζ_k，k＝1,…,N都是有界的。另外，P₂、

ε和δ通过构造或者假设都是有界的。考虑ξ₂、ε和

的有界性，可以找到一个正的常数

使得对任意的t∈[0,t_max)

将式(28)和(45)代入式(44)中，

的有界范围可以表示为

其中，

是对称正定的。类似于式(38)到(40)的分析，

的有界性可以直接表示为

其中，

λ_2,1＝min{eig{γ}}都是正的常数。从式(46)可以得到只要

就有

因此，可以进一步得到，对任意的t∈[0,t_max)，z₂都是有界的，这表明，存在正的常数

和

使得对任意的t∈[0,t_max)，满足：

由式(28)可以推导出Λ_k,2和u_k是有界的。进一步由式(5)可以得到τ_k是有界的。因此，可以得到对任意的t∈[0,t_max)，所有的闭环信号都是有界的。

步骤3.3：证明满足式(13)。根据式(41)和(47)可以得到对任意的t∈[0,t_max)，有

从引理2可以得到t_max＝∞，这意味着在闭环系统中的所有信号都是一致有界的。并且在式(21)和(27)下，z_k,i，κ＝1，…，N，i＝1,2的有界性可以保证对任意的t≥0，不会超出预设性能的界限(见式(15)和(24))。同时，在式(14)-(17)下，相对距离和方位角可以一直保持在相应的约束范围(见式(13))内。以上就完成了稳定性证明。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (3)

1.一种非完整移动机器人编队控制方法，其特征在于：包括如下步骤：

S1：建立数学模型：

S11：建立非完整移动机器人系统内机器人的动力学模型，所述非完整移动机器人系统包含有N个两轮移动机器人，所述非完整移动机器人系统内第k个机器人的动力学模型如公式(2)所示：

其中，

中的(x_k,y_k)，θ_k分别表示第k个机器人的位置和朝向角度；

表示第k个机器人左、右轮子的角速度向量；

表示执行器的输出向量，即施加于轮子的控制扭矩向量；

表示第k个机器人左、右轮子未知的外部扰动；

J_k，M_k，C_k和D_k没有实际的物理意义，是中间变量，

表示三阶向量，

表示二阶向量；

S12：建立的机器人系统动力学模型公式具体说明如公式(3)所示：

其中，r_k和b_k分别是第k个机器人的轮子半径和该机器人的半宽；d_k,1和d_k,2是表示其阻尼系数的两个正值常数；m_k,1和m_k,2没有实际的物理意义，是中间变量，m_k,c和m_k,w分别表示第k个机器人和轮子的质量；c_k是第k个机器人质心P_c,k到两个轮子连线中点P_o,k的距离；I_k,c表示以通过第k个机器人质心的垂直方向为轴的转动惯量，I_k,w表示带有电机的车轮绕车轮轴线的转动惯量，I_k,m表示带有电机转子的车轮绕车轮直径的转动惯量，I_k表示第k个机器人的总的转动惯量之和；

S2：分布式控制的假设条件：

假设1：领导者机器人的轨迹η_L是可测量的，

是分段连续的，并且两者都是有界的；

假设2：存在未知常数，σ_k,l和σ_k,m,且满足0＜σ _k,l≤σ_k,l(t)≤1，0＜σ _k,m≤σ_k,m(t)≤1，k＝1,...,N；

假设3：期望的相对距离和期望的方位角

分别满足

并且两者的初始条件分别满足d_l,k＜d_k(0)＜d_m,k，|β_k(0)|＜β_m,k；

S3：分布式控制器的设计过程具体如下：

S31：分布式虚拟控制器需满足公式(13a,13b)和公式(15a,15b)的条件：

η_L＝[x_L,y_L,θ_L]^T表示领导者机器人R_L的姿态，如公式(10)：

其中，θ_L∈[-π，π)、v_L和w_L分别表示机器人R_L的线速度和角速度；

d_k和β_k(k＝1,......,N)分别表示与相邻机器人的相对距离和方位角，具体表示如下：

当k＝1时，x_k-1＝x₀,y_k-1＝y₀，此时的x₀，y₀表示领导机器人R_L的姿态；

为避免碰撞并保持机器人之间通信的连通，d_k和β_k需要满足如下约束条件：

其中，d_l,k、d_m,k和

都是正值常数；

和

分别表示期望的相对距离和期望的方位角，跟踪误差向量表示为

具体定义如下：

其中，d_k(t)和β_k(t)分别表示t时刻相邻机器人的相对距离和方位角，

和

分别表示t时刻期望的相对距离和期望的方位角；e_d,k,1(t)和e_β,k,1(t)分别表示相邻机器人之间的相对距离误差和方位角误差，这两个值的性能范围为:

其中，

和

i∈{d,β}是性能函数，可以由公式(16a,16b)得到：

其中，k_i,k＞0，

分别表示相对距离误差的性能函数的上界初值和下界初值，

分别表示方位角误差性能函数的上界初值和下界初值，d_m,k，d_l,k，β_m,k，β_l,k表示正的常值，并且满足式(13)；

S32：

其中

v_r,k-1和θ_k-1分别表示第k-1个机器人R_k-1的线速度和方向角，特别地，v_r,0＝v_l，θ₀＝θ_l，接下来，使用类似于反步法的设计过程设计控制方案；

分别表示第k个机器人与相邻机器人的相对距离误差、方位角误差的一阶导数，w_r,k，v_r,k分别表示第k个机器人R_k的角速度和线速度；

S33：设计分布式虚拟控制器，第k个机器人的虚拟控制信号

设计为：

具体的设计方法如下：

ξ_k,1(t)表示归一化误差向量，它可以用下面的式子表示：

根据式(15)和式(19)得到ξ_d,k,1(t)∈(-1,1)和ξ_β,k,1(t)∈(-1,1)，继而，通过式(14)和式(19)，d_k和β_k可表示为：

接下来用

表示一个中间变量向量，定义为：

第k个机器人的虚拟控制信号

设计为：

在上式中，

μ_k,1＝diag{μ_d,k,1,u_β,k,1}，其中μ_d,k,1和u_β,k,1是正的设计参数，

S34：设计分布式实际控制器，第k个机器人R_k的实际输入信号

用下面的式子表示：

具体的设计方法如下：

虚拟跟踪误差向量用e_k,2(t)表示，定义为：

其中，e_d,k,2(t)，e_β,k,2(t)分别表示第k个机器人与相邻机器人相对距离和方位角的虚拟误差，ε_d,k(t)，ε_β,k(t)分别表示第k个机器人与相邻机器人相对距离和方位角的虚拟控制信号；

虚拟跟踪误差需满足下面的预设性能边界：

|e_d,k,2(t)|＜ρ_d,k,2(t)，|e_β,k,2(t)|＜ρ_β,k,2(t)  (24)

ρ_d,k,2(t)和ρ_β,k,2(t)分别表示e_d,k,2(t)和e_β,k,2(t)对应的预设性能函数，两者根据下面的式子确定：

ρ_d,k,2(t)＝(ρ_d,k,0-ρ_d,k,∞)exp(-k_d,kt)+ρ_d,k,∞  (25a)

ρ_β,k,2(t)＝(ρ_β,k,0-ρ_β,k,∞)exp(-k_β,kt)+ρ_β,k,∞  (25b)

其中ρ_d,k,0＞e_d,k,2(0)，ρ_β,k,0＞e_β,k,2(0)，ρ_d,k,∞∈(0，ρ_d,k,0]，ρ_β,k,∞∈(0，ρ_β,k,0]，k_d,k＞0和k_β，κ＞0是设计参数，分别为e_d,k,2(t)，e_β,k,2(t)预先设定瞬态性能指标和稳态性能指标；

同设计虚拟控制器一样，ξ_k,2(t)表示归一化误差向量，用下面的公式表示：

对应的中间变量向量可以表示为

用定义为：

第k个机器人R_k的控制器实际输入信号

用表示为：

其中ρ_k,2＝diag{ρ_d,k,2，ρ_β,k,2}，μ_k,2＝diag{μ_d,k,2,μ_β,k,2}，并且μ_d,k,2和μ_β,k,2是正值，

2.如权利要求1所述的一种非完整移动机器人编队控制方法，其特征在于：所述S1还包括S13坐标变换，具体步骤如下：

ω_k＝ζ_kB_k,τ_k＝H_k ^-1u_k  (5)

其中，

ζ_k＝[v_r,k,w_r,k]^T表示第k个机器人的线/角速度矢量，u_k＝[u_k,1,u_k,2]^T是辅助变量，B_k和H_k是可逆矩阵,将式(5)代入式(2)再用式(4)，第k个机器人的动力学可以表示为如下：

其中：

根据式(7a)可以推导出

其中，ζ_k表示第k个机器人的线/角速度向量，u_k表示是辅助变量，可以看作需要设计的控制输入，σ_k是反映第k个机器人执行器有效性的时变标量组成的对角矩阵，S_K(·)，Γ_k，Δ_k没有实际物理意义，是中间变量。

3.如权利要求1或2所述的一种非完整移动机器人编队控制方法，其特征在于：所述

ρ_d,k,2(t),ρ_β,k,2(t)的选择方法如下：

基于假设3，并依据式(17)选择

ρ_d,k,0,ρ_β,k,0，且满足|e_d,k,2|＜ρ_d,k,0，|e_β,k,2(0)|＜ρ_β,k,0；如此，可以满足初始条件

并且也不会违反相对距离和方位角约束。

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