CN104965412B - 受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法 - Google Patents
受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法 Download PDFInfo
- Publication number
- CN104965412B CN104965412B CN201510369604.8A CN201510369604A CN104965412B CN 104965412 B CN104965412 B CN 104965412B CN 201510369604 A CN201510369604 A CN 201510369604A CN 104965412 B CN104965412 B CN 104965412B
- Authority
- CN
- China
- Prior art keywords
- msub
- mrow
- mover
- mtd
- theta
- Prior art date
- Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
- Expired - Fee Related
Links
- 230000003044 adaptive effect Effects 0.000 title claims abstract description 39
- 238000000034 method Methods 0.000 title claims abstract description 39
- 238000013461 design Methods 0.000 claims abstract description 8
- 238000013112 stability test Methods 0.000 claims abstract description 4
- 230000008569 process Effects 0.000 claims description 10
- 239000011159 matrix material Substances 0.000 claims description 8
- 230000001133 acceleration Effects 0.000 claims description 7
- 238000006073 displacement reaction Methods 0.000 claims description 5
- 238000013507 mapping Methods 0.000 claims description 5
- 238000013178 mathematical model Methods 0.000 claims description 5
- 230000006978 adaptation Effects 0.000 claims description 3
- 230000003321 amplification Effects 0.000 claims description 3
- 238000013459 approach Methods 0.000 claims description 3
- 238000003199 nucleic acid amplification method Methods 0.000 claims description 3
- 238000006243 chemical reaction Methods 0.000 claims description 2
- 238000009795 derivation Methods 0.000 claims description 2
- 230000010354 integration Effects 0.000 claims description 2
- 230000000750 progressive effect Effects 0.000 claims description 2
- 238000006467 substitution reaction Methods 0.000 claims description 2
- 230000009897 systematic effect Effects 0.000 claims description 2
- 238000012546 transfer Methods 0.000 claims description 2
- 238000010626 work up procedure Methods 0.000 claims description 2
- 238000012360 testing method Methods 0.000 claims 1
- 230000009471 action Effects 0.000 description 7
- 230000008878 coupling Effects 0.000 description 4
- 238000010168 coupling process Methods 0.000 description 4
- 238000005859 coupling reaction Methods 0.000 description 4
- 238000010586 diagram Methods 0.000 description 4
- 238000004088 simulation Methods 0.000 description 4
- 230000001237 autorhythmic effect Effects 0.000 description 2
- 230000009286 beneficial effect Effects 0.000 description 2
- 230000004069 differentiation Effects 0.000 description 2
- 238000005259 measurement Methods 0.000 description 2
- 238000005312 nonlinear dynamic Methods 0.000 description 2
- 238000011160 research Methods 0.000 description 2
- 230000033764 rhythmic process Effects 0.000 description 2
- 230000008859 change Effects 0.000 description 1
- 238000005094 computer simulation Methods 0.000 description 1
- 230000007123 defense Effects 0.000 description 1
- 230000003111 delayed effect Effects 0.000 description 1
- 230000000694 effects Effects 0.000 description 1
- 230000004044 response Effects 0.000 description 1
- 230000001568 sexual effect Effects 0.000 description 1
- 230000036962 time dependent Effects 0.000 description 1
Landscapes
- Medicines Containing Antibodies Or Antigens For Use As Internal Diagnostic Agents (AREA)
- Feedback Control In General (AREA)
Abstract
本发明公开了一种受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法，属于机电伺服控制领域，方法包括：建立受控化发射平台的数学模型；设计输出反馈的自适应鲁棒控制器；输出反馈的自适应鲁棒控制器的稳定性测试。本发明对受控化发射平台框架间耦合系数进行估计，有效地补偿了受控化发射平台框架间耦合干扰力矩，并利用高阶滑模观测器有效地观测了系统的速度量，解决了传统ARC控制方法所存在的所需系统速度量不易获取的问题，同时保证了受控化发射平台优良的控制性能。
Description
技术领域
本发明属于机电伺服控制技术领域，特别是一种受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法。
背景技术
受控化发射平台广泛用于防空武器当中，其由方位框架和俯仰框架两部分构成，两者的数学模型基本一致，因此可以以方位伺服系统为对象进行控制器的设计和仿真研究。当受控化发射平台方位框架和俯仰框架两部分同时运动时，会因陀螺效应而产生耦合干扰力矩，从而给系统的控制性能造成一定的影响。
针对受控化发射平台的控制问题，许多方法相继被提出。其中自适应鲁棒控制(ARC)以其自身对不确定参数和常值干扰的自适应和对时变干扰的鲁棒性及能够获得渐近跟踪的稳态性能的优点，使其成为设计受控化发射平台控制器的较佳方法。虽然自适应鲁棒控制方法可以通过对不确定参数和常值干扰的自适应和对时变干扰的鲁棒性来提高系统的控制性能，但在传统的自适应鲁棒控制器设计和实际应用中常需用到系统的速度信号，而速度信号往往不易从传感器获取。传统的做法是对位置信号进行微分得到速度值。但是由于位置信号存在测量噪声，经过微分后得到的速度信号往往会放大测量噪声，使得该信号不理想甚至不可用。如先用滤波器对位置信号进行滤波处理，会导致信号延时，使得采集到的位置信号不是实时信号。因而传统的自适应鲁棒控制方法具有很大的工程局限性。
发明内容
本发明的目的在于提供一种受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于输出反馈的自适应鲁棒控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立受控化发射平台的数学模型；
步骤2，设计输出反馈的自适应鲁棒控制器；
步骤3，输出反馈的自适应鲁棒控制器的稳定性测试。
本发明与现有技术相比，其显著优点是：(1)本发明利用高阶滑模观测器有效地观测了系统速度量，从而解决了传统ARC控制方法所存在的所需系统速度量不易获取的问题，保证了受控化发射平台优良的控制性能；(2)本发明对受控化发射平台框架间耦合系数进行估计，有效地补偿了受控化发射平台框架间耦合干扰力矩；(3)本发明采用自适应的控制方法，使得不需要准确获得系统的参数情况，更利于在实际的工程运用；(4)本发明将鲁棒控制方法与自适应控制方法结合，使得控制器能够处理系统的未知干扰，增加了控制器的鲁棒性。
附图说明
图1为本发明的受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法流程图。
图2是本发明的受控化发射平台的原理图。
图3为本发明的输出反馈自适应鲁棒控制方法原理示意图。
图4为本发明实施例中系统干扰为f(t)＝0.1sin(πt)(N·m)时输出反馈ARC控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪过程图。
图5为本发明实施例中系统干扰为f(t)＝0.1sin(πt)(N·m)时输出反馈ARC控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线图。
图6为本发明实施例中系统干扰为f(t)＝0.1sin(πt)(N·m)时高阶滑模观测器对x2的估计曲线图。
图7为本发明实施例中系统干扰为f(t)＝0.1sin(πt)(N·m)时高阶滑模观测器对x2的估计误差曲线图。
图8为本发明实施例中系统干扰为f(t)＝0.1sin(πt)(N·m)时输出反馈ARC控制器作用下受控化发射平台控制输入随时间变化的曲线图。
图9为本发明实施例中系统干扰为f(t)＝0.1sin(πt)(N·m)时输出反馈ARC控制器和传统ARC控制器及PID控制器作用下系统的跟踪误差对比曲线图。
图10为本发明实施例中系统干扰为f(t)＝0.1sin(πt)(N·m)时输出反馈ARC控制器θ3估计值随时间变化的曲线图。
图11为本发明实施例中系统干扰为f(t)＝0.1sin(πt)(N·m)时输出反馈ARC控制器θ4估计值随时间变化的曲线图。
图12为本发明实施例中系统干扰为f(t)＝0.1sin(πt)(N·m)时输出反馈ARC控制器θ5估计值随时间变化的曲线图。
具体实施方式
结合图1，本发明受控化发射平台的输出反馈自适应鲁棒控制控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立受控化发射平台的数学模型，具体如下：
步骤1-1，如图2所示，本发明的受控化发射平台由方位框架和俯仰框架两部分构成，两者的数学模型一致，因此可以以方位框架伺服系统为对象进行控制器的设计和仿真研究。本受控化发射平台通过配有电气驱动器的永磁直流电机驱动两方向的惯性负载。考虑到电磁时间常数比机械时间常数小得多，且电流环响应速度远大于速度环和位置环的响应速度，故将电流环近似为比例环节；
因此，以受控化发射平台方位框架伺服系统为对象，根据牛顿第二定律，受控化发射平台方位框架的运动方程为：
式(1)中J为电机输出端的惯性负载参数，ku为电机输出端的电压力矩放大系数，B为电机输出端的粘性摩擦系数，dn为常值干扰，是其他未建模干扰，w、为俯仰框架伺服系统的角速度和角加速度，c1、c2是对应于w、的框架间耦合的耦合系数，y为惯性负载的位移，为惯性负载的加速度，u为系统的控制输入，t为时间变量；
步骤1-2定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：
y＝x1
式(2)中，其中均为缓变量，即系统各参数J、ku、B、dn、c1、c2为随时间缓变或者不变的物理量，满足：
其中，J、ku、B的名义值已知，dn、c1、c2为未知量，w、为随时间变化的已知量。并且，系统各参数dn、c1、c2的上下界已知，即：
θ∈Ωθ＝{θ:θmin<θ<θmax} (4)
其中，Ωθ为θ的取值范围，定义θ＝[θ3,θ4,θ5]T，θmin＝[θ3min,θ4min,θ5min]T，θmax＝[θ3max,θ4max,θ5max]T；
系统建模偏差，包括外负载干扰、未建模摩擦、未建模动态、系统实际参数与建模参数的偏离造成的干扰，为随时间变化的未知量，即并且上界已知，即：δ为系统偏差上界，为一已知正常数；
f(t,x1,x2)即为上述x1表示惯性负载的位移，x2表示惯性负载的速度。
步骤2，设计输出反馈自适应鲁棒控制器，具体如下：
步骤2-1，式(2)转化为y＝Cx的形式有：
因，θ3、θ4、θ5、w、均有界，定义则D(t)也有界，其上界设为D，则针对受控化发射平台设计高阶滑模观测器：
该高阶滑模观测器由Luenberger观测器和鲁棒精确微分器两部分组成，公式(6)为Luenberger观测器，公式(8)为鲁棒精确微分器，其中，v为鲁棒精确微分器内部动态向量，v＝[v1,v2]T，ω＝[ω1,ω2]T和分别为Luenberger观测器和高阶滑模观测器对系统状态x＝[x1,x2]T的估计，L＝[l1,l2]T为Luenberger观测器可调参数，P为一个2×2的矩阵：
该观测器在全局内状态观测误差有界，即存在一时刻t0，t0之后有状态估计误差
其中l1,l2的取值要使矩阵(9)的特征值小于零；表达式如(10)所示；
其中，v1，v2为鲁棒精确微分器内部动态，M为鲁棒精确微分器参数，M取值应大于等于D，α1、α2为鲁棒精确微分器参数，均为正数。
步骤2-2，对于自适应控制，为了避免系统不确定性参数的自适应过程有发散的危险，给参数自适应过程添加不连续映射；定义向量表示系统参数θ的自适应估计，表示估计误差，即一个不连续映射定义如下：
式中，·代表一函数向量，·i代表函数向量中的元素，i＝3、4、5
设计如下自适应律：
式中，Γ为正定对角矩阵，τ为参数自适应函数；
由上式可知，不连续映射使得参数自适应过程是一个受控的过程，使得估计的参数不超过预先给定的参数范围；对于任意的参数自适应函数τ，可以保证下式成立：
其中，为的取值范围。
步骤2-3，定义z1＝x1-x1d为系统的跟踪误差，x1d是系统期望跟踪的位置指令且该指令二阶连续可微，是系统期望跟踪的速度，是系统期望跟踪的加速度，根据式(2)中的第一个方程选取x2为虚拟控制律，使方程趋于稳定状态；令x2eq为虚拟控制的期望值，x2eq与真实状态x2的误差为z2＝x2-x2eq，对z1求导可得：
设计虚拟控制律：
式(5)中k1为控制器可调增益，且k1>0，则
对式(17)进行拉普拉斯变换，z1变换为z1(s)，z2变换为z2(s)，整理得到z1(s)＝G(s)z2(s)，由于z1(s)＝G(s)z2(s),式中G(s)＝1/(s+k1)是一个稳定的传递函数，则当z2趋于0时，z1也必然趋于0。所以在接下来的设计中，将以使z2趋于0为主要设计目标。
由z2＝x2-x2eq有：
式中，
由(18)式可知，根据自适应鲁棒控制理论，设计控制器如下：
式中，us表示鲁棒控制器，k2为控制器可调参数，代入到式(18)中有：
式中，为自适应参数回归器；因高阶滑模观测器在全局范围内状态观测误差有界，则始终存在一个常数δj，有j＝1、2；
要获得良好的跟踪性能，将us设计成满足以下条件的鲁棒控制量：
ii)z2us≤0 (22)
式中，ε为设计为任意正常数；
根据自适应鲁棒控制方法，要满足以上条件，将us设计成：
式中，h为以正常数，h的取值为：θM＝θmax-θmin为参数向量θ的上下界之差。
步骤3，输出反馈的自适应鲁棒控制器的稳定性测试，具体如下：
步骤3-1定义李雅普诺夫函数如下：
可得：
则有：
式中，V1(0)为V1(t)初值；
故有，随着时间t的增大，V1(t)逐渐趋于某一常数即当t→∞时，并有：
故z1、z2均有界，又因系统的位置和高阶滑模估计的速度有界，信号x2eq也有界，由不连续映射P1可知，参数自适应估计有界，故控制输入有界u，控制系统中所有量均有界。
步骤3-2，当不存在时变干扰时，定义李雅普诺夫函数：
对于各个参数估计值，设计自适应函数：
可得到：
经过有限时间t0之后，高阶滑模观测器的状态估计误差为0，此时，有则(29)式为：
可得
由式(31)可知V2(t)≤V2(0)，因此V2(t)∈L∞范数，进而可以得出z2∈L∞范数及范数。
对式(31)积分可得：
由式(32)可知当t→∞时，z2 2积分有界，且根据式(20)可得：当t→∞时，有界，因此H(t)是一致连续的，即存在且有界；
同时由(32)可知，有界，则由Barbalat引理可知：t→∞时，H(t)→0；故t→∞时，有z2→0，z1→0，即x1→x1d，故经过有限时间t0后，所设计的自适应控制律可使受控化发射平台获得渐进稳定性，最终实现位置的准确跟踪。
因此有结论：针对受控化发射平台(2)设计的输出反馈自适应鲁棒控制器可以使系统得到全局渐近稳定的结果，调节观测器参数l1、l2、α1、α2、M和控制器增益k1、k2及Γ可以使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。受控化发射平台输出反馈自适应鲁棒控制原理示意图如图3所示。
下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。
实施例
为考核所设计的控制器性能，在仿真中取如下参数对受控化发射平台进行建模：
惯性负载参数J＝0.0138kg·m2；粘性摩擦系数B＝0.2N·m·s/rad；力矩放大系数ku＝53.6N·m/V；常值干扰dn＝0.3N·m；俯仰方位耦合系数c1＝0.14N·m(rad/s),c2＝0.13N·m(rad/s)；时变干扰的上确界为δ＝0.3N·m；的上界δ2＝0.3N·m；θmin＝[0.0014,-0.0036,-0.0036]T；θmax＝[0.0167,0.0083,0.0083]T；俯仰方向的位置运动方程θ＝0.1sin(πt)[1-exp(-0.01t3)](rad)；
给定系统的期望指令为x1d＝sin(πt)[1-exp(-0.01t3)](rad)。
根据系统工况，仿真过程如下：
时变干扰f(t)＝0.1sin(πt)(N·m)时取如下的控制器以作对比：
输出反馈自适应鲁棒(ARC)控制器：取观测器参数l1＝-1，l2＝-1，D＝4，M＝4，α1＝3，α2＝4；控制器参数k1＝10，k2＝0.22；ε＝0.3；估计参数初值自调节律增益Γ＝diag[0.1,0.01,0.01]；俯仰方向角速度，角加速度由θ微分得到。
PID控制器：PID控制器参数的选取步骤是：首先在忽略电机系统非线性动态的情况下，通过MATLAB中的PID参数自整定功能获得一组控制器参数，然后在将系统的非线性动态加上后对已获得的自整定参数进行微调使系统获得最佳的跟踪性能。选取的控制器参数为kP＝0.11,kI＝0.2234,kD＝0.0476。
传统ARC控制器：为更加接近系统实际工况，在位置信号中加入幅值为5×10-14(rad)的噪声，控制器参数k1＝10，k2＝0.22；ε＝0.3；估计参数初值自调节律增益Γ＝diag[0.1,0.01,0.01]；速度信号直接由位置信号微分得到；俯仰方向角速度，角加速度由θ微分得到。
输出反馈ARC控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪如图4所示，跟踪误差如图5所示，输出反馈ARC控制器与传统ARC控制器及PID控制器的跟踪误差对比分别如图9所示。由图4可知，在输出反馈ARC控制器作用下，跟踪指令和系统的位置输出曲线基本重合，受控化发射平台的位置输出对指令的跟踪精度很高，由图5可知稳态跟踪误差的幅值约为-2×10-5(rad)，从图9中3种控制器的跟踪误差对比可以看出本发明所提出的输出反馈ARC控制器的跟踪误差相较于PID控制器和ARC控制器要小很多，ARC控制器的稳态跟踪误差的幅值约为2.5×10-3(rad)，PID控制器的稳态跟踪误差的幅值约为0.12(rad)。
图6、图7是本发明输出反馈ARC控制器中高阶滑模观测器估计系统速度和真实系统速度的对比曲线和两者的误差曲线，从图6中可以看出，系统真实速度输出曲线和高阶滑模观测器估计系统速度两者曲线基本重合，如不考虑系统离散误差，在时间t＝0.12(s)后高阶滑模观测器估计系统速度等于系统真实速度，考虑系统离散误差后，速度的估计的数量级等于离散时间的数量级。从图7中也可看出，两者的误差数量级比较小，验证了高阶滑模观测器速度估计的准确性。
图8是系统干扰为f(t)＝10sint(N·m)时输出反馈ARC控制器作用下受控化发射平台控制输入随时间变化的曲线图。从图中可以看出，所获得的控制输入是低频连续的信号，更利于在实际应用中的执行。
图10、图11和图12分别为输出反馈ARC控制器对θ3，θ4，θ5的自适应估计值。由于θ3，θ4，θ5在实际中并不好获取，而由图可知，即使我们得不到θ3，θ4，θ5的准确值，我们通过输出反馈ARC控制器也可实现对其的自适应，从而获取良好的位置跟踪结果。
Claims (2)
1.一种受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，建立受控化发射平台的数学模型；具体如下：
步骤1-1，受控化发射平台通过配有电气驱动器的永磁直流电机驱动俯仰和方位方向的惯性负载，以受控化发射平台方位框架伺服系统为对象，根据牛顿第二定律，受控化发射平台方位框架伺服系统的运动方程为：
<mrow>
<mi>J</mi>
<mover>
<mi>y</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mi>u</mi>
</msub>
<mi>u</mi>
<mo>-</mo>
<mi>B</mi>
<mover>
<mi>y</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>d</mi>
<mi>n</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mi>w</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mi>f</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mo>,</mo>
<mover>
<mi>y</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式(1)中J为电机输出端的惯性负载参数，ku为电机输出端的电压力矩放大系数，B为电机输出端的粘性摩擦系数，dn为常值干扰，为其他未建模干扰，w、为俯仰框架伺服系统的角速度和角加速度，c1、c2为对应于w、的框架间耦合的耦合系数，y为惯性负载的位移，u为系统的控制输入，t为时间变量；
步骤1-2，定义状态变量：则式(1)运动方程转化为系统状态空间方程：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>u</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mi>w</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>5</mn>
</msub>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mover>
<mi>d</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式(2)中，其中均为缓变量，即系统各参数J、ku、B、dn、c1、c2为随时间缓变或者不变的物理量，满足：
<mrow>
<mover>
<mi>J</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msub>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>u</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mover>
<mi>B</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msub>
<mover>
<mi>d</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>n</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mover>
<mi>c</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mover>
<mi>c</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，J、ku、B的名义值已知，dn、c1、c2为未知量，w、为随时间变化的已知量；并且，系统各参数dn、c1、c2的上下界已知，即：
θ∈Ωθ＝{θ:θmin＜θ＜θmax} (4)
其中，Ωθ为θ的取值范围，定义θ＝[θ3,θ4,θ5]T，θmin＝[θ3min,θ4min,θ5min]T，θmax＝[θ3max,θ4max,θ5max]T；θ3min、θ4min、θ5min和θ3max、θ4max、θ5max分别为参数θ3、θ4、θ5的下界和上界；
为系统建模偏差，包括外负载干扰、未建模摩擦、未建模动态、系统实际参数与建模参数的偏离造成的干扰，为随时间变化的未知量，并且上界已知，即δ为系统偏差上界，为一已知正常数；
f(t,x1,x2)即为上述x1表示惯性负载的位移，x2表示惯性负载的速度；
步骤2，设计输出反馈的自适应鲁棒控制器；步骤如下：
步骤2-1，式(2)转化为y＝Cx的形式有：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mi>B</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mfrac>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mi>C</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mi>E</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
因为θ3、θ4、θ5、w、均有界，定义则D(t)也有界，其上界设为D，则针对受控化发射平台设计高阶滑模观测器：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>&omega;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>&omega;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>l</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&omega;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>&omega;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>&theta;</mi>
</mfrac>
<mi>u</mi>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mfrac>
<msub>
<mi>&omega;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>l</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&omega;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi>
<mi>v</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mover>
<mi>v</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>v</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&omega;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<mi>v</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
该高阶滑模观测器由Luenberger观测器和鲁棒精确微分器两部分组成，公式(6)为Luenberger观测器，公式(8)为鲁棒精确微分器，其中，v为鲁棒精确微分器内部动态向量，v＝[v1,v2]T，ω＝[ω1,ω2]T和分别为Luenberger观测器和高阶滑模观测器对系统状态x＝[x1,x2]T的估计，L＝[l1,l2]T为Luenberger观测器可调参数，P为一个2×2的矩阵：
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>l</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
该高阶滑模观测器在全局内状态观测误差有界，即存在一时刻t0，t0之后有状态估计误差
其中l1,l2的取值要使得矩阵(9)的特征值小于零；表达式如(10)所示；
<mrow>
<mi>A</mi>
<mo>-</mo>
<mi>L</mi>
<mi>C</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>l</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>l</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>9</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>v</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&alpha;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msup>
<mi>M</mi>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</msup>
<mo>|</mo>
<msub>
<mi>v</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&omega;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msup>
<mo>|</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</msup>
<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
<mi>g</mi>
<mi>n</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>v</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&omega;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>v</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>v</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&alpha;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mi>M</mi>
<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
<mi>g</mi>
<mi>n</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>v</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>v</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>10</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，v1，v2为鲁棒精确微分器内部动态，M为鲁棒精确微分器参数，M取值大于等于D，α1、α2为鲁棒精确微分器参数，均为正数；
步骤2-2，给参数自适应过程添加不连续映射：定义向量表示系统参数θ的自适应估计， 表示估计误差，即一个不连续映射定义如下：
<mrow>
<msub>
<mi>Proj</mi>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mo>&CenterDot;</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>m</mi>
<mi>a</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mi>n</mi>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mo>&CenterDot;</mo>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>></mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>min</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mi>n</mi>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mo>&CenterDot;</mo>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo><</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mo>&CenterDot;</mo>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mi>o</mi>
<mi>t</mi>
<mi>h</mi>
<mi>e</mi>
<mi>r</mi>
<mi>s</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，·代表一函数向量，·i代表函数向量中的元素，i＝3、4、5；
设计如下自适应律：
<mrow>
<mover>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>Proj</mi>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&Gamma;</mi>
<mi>&tau;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>,</mo>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>&Omega;</mi>
<mi>&theta;</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，Γ为正定对角矩阵，τ为参数自适应函数；
由上式可知，不连续映射使得参数自适应过程是一个受控的过程，使得估计的参数不超过预先给定的参数范围；对于任意的参数自适应函数τ，可以保证下式成立：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>P</mi>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>&Element;</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&Omega;</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mi>&theta;</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>{</mo>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>:</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mi>min</mi>
</msub>
<mo><</mo>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo><</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mrow>
<mi>m</mi>
<mi>a</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>}</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>,</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>13</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>P</mi>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msup>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msup>
<mi>&Gamma;</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<msub>
<mi>Proj</mi>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
</msub>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi>&Gamma;</mi>
<mi>&tau;</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>-</mo>
<mi>&tau;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&le;</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mo>&ForAll;</mo>
<mi>&tau;</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>14</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
2
其中，为的取值范围；
步骤2-3，定义z1＝x1-x1d为系统的跟踪误差，x1d是系统期望跟踪的位置指令且该指令二阶连续可微，是系统期望跟踪的速度，是系统期望跟踪的加速度，根据式(2)中的第一个方程选取x2为虚拟控制律，使方程趋于稳定状态；令x2eq为虚拟控制的期望值，x2eq与真实状态x2的误差为z2＝x2-x2eq，对z1求导可得：
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>z</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>e</mi>
<mi>q</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>15</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
设计虚拟控制律：
<mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>e</mi>
<mi>q</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>16</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式(5)中k1为控制器可调增益，且k1＞0，则
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>z</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>17</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
对式(17)进行拉普拉斯变换，z1变换为z1(s)，z2变换为z2(s)，整理得到z1(s)＝G(s)z2(s)，由于z1(s)＝G(s)z2(s)，其中G(s)＝1/(s+k1)是一个稳定的传递函数，则当z2趋于0时，z1也必然趋于0；
由z2＝x2-x2eq有：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>z</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>e</mi>
<mi>q</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mi>u</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>e</mi>
<mi>q</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mi>w</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>5</mn>
</msub>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>d</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mi>u</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>(</mo>
<mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mi>w</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>5</mn>
</msub>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>d</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mi>u</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mi>w</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>5</mn>
</msub>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>d</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>18</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，
由式(18)，设计控制器如下：
<mrow>
<mi>u</mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mn>4</mn>
</msub>
<mi>w</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mn>5</mn>
</msub>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>u</mi>
<mi>s</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>19</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，us表示鲁棒控制器，k2为控制器可调参数，代入到式(18)中有：
式中，为自适应参数回归器；因高阶滑模观测器在全局范围内状态观测误差有界，则始终存在一个常数δj，有j＝1、2；δj为的上界，和分别表示惯性负载位移和速度的误差；
us满足以下条件：
ii)z2us≤0 (22)
式中，ε为设计为任意正常数；
根据自适应鲁棒控制方法，要满足以上条件，将us设计成：
<mrow>
<msub>
<mi>u</mi>
<mi>s</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<msup>
<mi>h</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mrow>
<mn>4</mn>
<mi>&epsiv;</mi>
</mrow>
</mfrac>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>23</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，h为一正常数，h的取值为：θM＝θmax-θmin为参数向量θ的上下界之差；θ2max是指参数θ2的上界，θ1min是指参数θ1的下界；
步骤3，输出反馈的自适应鲁棒控制器的稳定性测试。
2.根据权利要求1所述的受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法，其特征在于，步骤3所述输出反馈的自适应鲁棒控制器的稳定性测试，具体为：
步骤3-1当存在时变干扰时，定义李雅普诺夫函数如下：
<mrow>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msubsup>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>24</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
可得：
<mrow>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>exp</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mo>-</mo>
<mi>&lambda;</mi>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mi>&epsiv;</mi>
<mi>&lambda;</mi>
</mfrac>
<mo>&lsqb;</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<mi>exp</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mo>-</mo>
<mi>&lambda;</mi>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>25</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，V1(0)为V1(t)初值；
故有，随着时间t的增大，V1(t)逐渐趋于常数即当t→∞时，并有：
<mrow>
<mo>|</mo>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>|</mo>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>&epsiv;</mi>
</mrow>
<mrow>
<msub>
<mi>&lambda;&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
</msqrt>
<mo>&le;</mo>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>&epsiv;</mi>
</mrow>
<mrow>
<msub>
<mi>&lambda;&theta;</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>m</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
</msqrt>
<mo>,</mo>
<mo>|</mo>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>|</mo>
<mo>&le;</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mfrac>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>&epsiv;</mi>
</mrow>
<mrow>
<msub>
<mi>&lambda;&theta;</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>m</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
</msqrt>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>26</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
故z1、z2均有界；又因系统的位置和高阶滑模估计的速度有界，信号x2eq也有界，由不连续映射(P1)可知，参数自适应估计有界，故控制输入u有界，控制系统中所有量均有界；
步骤3-2，当不存在时变干扰时，定义李雅普诺夫函数：
<mrow>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msubsup>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msup>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<msup>
<mi>&Gamma;</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>27</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
对于各个参数估计值，设计自适应函数：
可得到：
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&le;</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msubsup>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mi>H</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>29</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
由式(29)可知因此V2(t)∈L∞范数，进而可以得出z2∈L∞范数及范数；
对式(29)积分可得：
<mrow>
<msubsup>
<mo>&Integral;</mo>
<mn>0</mn>
<mi>t</mi>
</msubsup>
<mi>H</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&tau;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>d</mi>
<mi>&tau;</mi>
<mo>&le;</mo>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mo>&Integral;</mo>
<mn>0</mn>
<mi>t</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&tau;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>d</mi>
<mi>&tau;</mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>30</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
由式(30)可知当t→∞时，z2 2积分有界，且根据式(20)可得：当t→∞时，有界，因此H(t)是一致连续的，即存在且有界；
同时由(30)可知，有界，则由Barbalat引理可知：t→∞时，H(t)→0；故t→∞时，有z2→0，z1→0，即x1→x1d，故经过有限时间t0后，所设计的自适应控制律可使受控化发射平台获得渐进稳定性，最终实现位置的准确跟踪。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| CN201510369604.8A CN104965412B (zh) | 2015-06-29 | 2015-06-29 | 受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| CN201510369604.8A CN104965412B (zh) | 2015-06-29 | 2015-06-29 | 受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| CN104965412A CN104965412A (zh) | 2015-10-07 |
| CN104965412B true CN104965412B (zh) | 2017-12-12 |
Family
ID=54219450
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| CN201510369604.8A Expired - Fee Related CN104965412B (zh) | 2015-06-29 | 2015-06-29 | 受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| CN (1) | CN104965412B (zh) |
Families Citing this family (6)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN106125551B (zh) * | 2016-07-25 | 2018-12-18 | 浙江工业大学 | 适用于周期伺服系统的积分滑模重复控制器 |
| CN107621783B (zh) * | 2017-08-26 | 2021-09-03 | 南京理工大学 | 基于摩擦补偿的发射平台自适应鲁棒控制方法 |
| CN107765548B (zh) * | 2017-08-26 | 2021-01-08 | 南京理工大学 | 基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法 |
| CN108107738A (zh) * | 2018-02-08 | 2018-06-01 | 上海机电工程研究所 | 变采样率非线性驱动惯性稳定跟踪控制系统及方法 |
| CN110501899A (zh) * | 2019-08-29 | 2019-11-26 | 北京理工大学 | 一种基于遗传算法参数自整定的pid随动控制方法 |
| CN112558468B (zh) * | 2020-11-16 | 2022-10-14 | 南京理工大学 | 基于双观测器的发射平台自适应鲁棒输出反馈控制方法 |
Citations (8)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JPH08202405A (ja) * | 1995-01-26 | 1996-08-09 | Fanuc Ltd | ロバスト適応制御方法 |
| KR20070018438A (ko) * | 2005-08-10 | 2007-02-14 | 순천대학교 산학협력단 | 적응 퍼지 신경회로망 제어기를 이용한 효율 최적화제어시스템 |
| CN104238361A (zh) * | 2014-09-03 | 2014-12-24 | 南京理工大学 | 电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法与系统 |
| CN104252134A (zh) * | 2014-09-17 | 2014-12-31 | 南京理工大学 | 基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法 |
| CN104333280A (zh) * | 2014-09-17 | 2015-02-04 | 南京理工大学 | 一种直驱电机系统的鲁棒自适应控制方法 |
| CN104485866A (zh) * | 2014-12-15 | 2015-04-01 | 南京理工大学 | 基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制方法 |
| CN104570728A (zh) * | 2014-11-20 | 2015-04-29 | 南京理工大学 | 一种电机位置伺服系统自适应鲁棒输出反馈控制方法 |
| CN104698850A (zh) * | 2015-02-11 | 2015-06-10 | 南京理工大学 | 一种改进的电机位置伺服系统的自适应鲁棒控制方法 |
-
2015
- 2015-06-29 CN CN201510369604.8A patent/CN104965412B/zh not_active Expired - Fee Related
Patent Citations (8)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JPH08202405A (ja) * | 1995-01-26 | 1996-08-09 | Fanuc Ltd | ロバスト適応制御方法 |
| KR20070018438A (ko) * | 2005-08-10 | 2007-02-14 | 순천대학교 산학협력단 | 적응 퍼지 신경회로망 제어기를 이용한 효율 최적화제어시스템 |
| CN104238361A (zh) * | 2014-09-03 | 2014-12-24 | 南京理工大学 | 电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法与系统 |
| CN104252134A (zh) * | 2014-09-17 | 2014-12-31 | 南京理工大学 | 基于扩张状态观测器的电机伺服系统自适应鲁棒位置控制方法 |
| CN104333280A (zh) * | 2014-09-17 | 2015-02-04 | 南京理工大学 | 一种直驱电机系统的鲁棒自适应控制方法 |
| CN104570728A (zh) * | 2014-11-20 | 2015-04-29 | 南京理工大学 | 一种电机位置伺服系统自适应鲁棒输出反馈控制方法 |
| CN104485866A (zh) * | 2014-12-15 | 2015-04-01 | 南京理工大学 | 基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制方法 |
| CN104698850A (zh) * | 2015-02-11 | 2015-06-10 | 南京理工大学 | 一种改进的电机位置伺服系统的自适应鲁棒控制方法 |
Non-Patent Citations (1)
| Title |
|---|
| 基于修正LuGre模型的自适应鲁棒控制在机电伺服系统中的应用;吴跃飞 等;《机械工程学报》;20141130;第50卷(第22期);第207-212页 * |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| CN104965412A (zh) | 2015-10-07 |
Similar Documents
| Publication | Publication Date | Title |
|---|---|---|
| CN104965412B (zh) | 受控化发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法 | |
| CN108303885B (zh) | 一种基于干扰观测器的电机位置伺服系统自适应控制方法 | |
| CN105563489B (zh) | 基于非线性自抗扰控制技术的柔性机械臂控制方法 | |
| CN103728882B (zh) | 微陀螺仪的自适应反演非奇异终端滑模控制方法 | |
| CN104111607B (zh) | 一种考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法 | |
| CN105116725B (zh) | 基于扩张状态观测器的伺服系统自适应滑模控制方法 | |
| CN108628172B (zh) | 一种基于扩张状态观测器的机械臂高精度运动控制方法 | |
| CN104730922B (zh) | 基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制和极点配置确定参数方法 | |
| Mao et al. | Design and implementation of continuous finite-time sliding mode control for 2-DOF inertially stabilized platform subject to multiple disturbances | |
| CN107121932B (zh) | 电机伺服系统误差符号积分鲁棒自适应控制方法 | |
| CN108155833B (zh) | 考虑电气特性的电机伺服系统渐近稳定控制方法 | |
| CN110572093B (zh) | 基于电机位置伺服系统期望轨迹和干扰补偿的arc控制方法 | |
| CN107193211B (zh) | 基于自抗扰和反演技术的单臂机械手控制器及其设计方法 | |
| CN108489015B (zh) | 基于极点配置和帕德近似的空调系统温度控制方法 | |
| CN106773684B (zh) | 基于智能学习评价的柔性机械臂复合控制方法 | |
| CN105159077B (zh) | 直驱电机系统干扰补偿的有限时间连续滑模控制方法 | |
| CN104197793B (zh) | 一种导弹pid控制器参数自适应调节的方法 | |
| CN103728988B (zh) | 基于内模的scara机器人轨迹跟踪控制方法 | |
| CN108406779A (zh) | 一种基于未知输入观测器的机械臂运动控制方法 | |
| CN105182984A (zh) | 飞行器俯仰姿态的线性自抗扰控制器设计与参数整定 | |
| CN112558468B (zh) | 基于双观测器的发射平台自适应鲁棒输出反馈控制方法 | |
| CN112859600B (zh) | 一种基于扩张状态观测器的机械系统有限时间控制方法 | |
| CN104965413B (zh) | 受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法 | |
| CN104407514B (zh) | 基于神经网络状态观测器的微陀螺仪反演控制方法 | |
| CN115981162A (zh) | 一种基于新型扰动观测器的机器人系统滑模控制轨迹跟踪方法 |
Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| C06 | Publication | ||
| PB01 | Publication | ||
| C10 | Entry into substantive examination | ||
| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
| GR01 | Patent grant | ||
| GR01 | Patent grant | ||
| CF01 | Termination of patent right due to non-payment of annual fee | ||
| CF01 | Termination of patent right due to non-payment of annual fee |
Granted publication date: 20171212 Termination date: 20200629 |