CN107728474A - 具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的实现方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于控制器设计领域，为提出具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的一般性设计方法，将有限时间收敛和传统扩张状态观测器相结合，使观测器的观测误差在有限时间内收敛到原点。并以上述有限时间扩张状态观测器为基础，设计一种一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器。本发明采用的技术方案是，具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的实现方法，步骤如下：一、设计n+1阶有限时间扩张状态观测器，建模；二、对于上述扩张状态观测器，求解扩张状态观测器参数；三、设计具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器；四、使控制系统满足有限时间收敛特性。本发明主要应用于控制器设计场合。

Description

具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的实现方法

技术领域

本发明属于控制器设计领域，具体涉及一种基于有限时间扩张状态观测器，并结合扰动反馈和状态反馈的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的一般性方法。

背景技术

在实际的物理系统中，广泛存在着大量的不确定性，如何估计并消除这些不确定性成为了一个十分重要的研究方向。自抗扰控制方法继承了经典控制理论和现代控制理论的优点，在不依赖具体数学模型的基础上，能够动态地抑制扰动与不确定性。自抗扰控制方法包括三个重要组成部分：跟踪微分器、扩张状态观测器和状态反馈。首先通过跟踪微分器来安排过渡过程，能够快速无超调地提取出微分信号。再通过设计扩张状态观测器来估计控制系统的未知扰动并进行反馈补偿，最后通过状态反馈对控制系统进行有效的控制。

扩张状态观测器是自抗扰控制方法中非常重要的一个组成部分，其主要可分为线性扩张状态观测器和非线性扩张状态观测器。对于扩张状态观测器的稳定性研究已经有了一些成果，如线性扩张状态观测器的稳定性证明，非线性扩张状态观测器的稳定性证明，单输入单输出扩张状态观测器的稳定性证明、多输入多输出扩张状态观测器的稳定性证明等。但以上理论成果都属于无限时间稳定性的领域，从时间最优的角度来看，满足有限时间稳定性的扩张状态观测器才是时间最优的扩张状态观测器设计。

相对于传统的扩张状态观测器，有限时间扩张状态观测器的特点是其能够满足有限时间收敛，其观测误差可以在有限时间内收敛到原点。选择一组合适的参数可以使有限时间扩张状态观测器满足有限时间收敛的性质。再通过设计有限时间非线性状态反馈，使自抗扰控制方法实现有限时间收敛，从而使控制系统的跟踪误差能够在有限时间内收敛到原点。

在此之前尚未有对于一般性n+1阶有限时间扩张状态观测器和具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器联合设计的研究，因此本发明提出的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的一般性设计方法具有明确的理论意义和重要的现实意义。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在提出具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的一般性设计方法，将有限时间收敛和传统扩张状态观测器相结合，使观测器的观测误差在有限时间内收敛到原点。并以上述有限时间扩张状态观测器为基础，设计一种一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器。本发明采用的技术方案是，具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的实现方法，步骤如下：

一、设计n+1阶有限时间扩张状态观测器，建模如下：

y⁽ⁿ⁾＝f(y^(n-1),...,y,ω,t)+b₀u,

其中y为系统输出，y⁽ⁿ⁾表示输出y的n阶导数，u为控制输入，t表示时间，b₀为控制输入u的控制增益，f(y^(n-1),...,y,ω,t)为自抗扰控制结构中的‘总扰动’，其包括内部的不确定性和外部扰动ω，简写为f(y,ω,t)，f(y,ω,t)应满足|f(y,ω,t)|≤p和其中表示f(y,ω,t)的一阶导数，p,δ>0为常值，即总扰动及其变化速率有界；

上述系统写成如下状态空间表达式：

其中x＝[x₁,x₂,…,x_n+1]^T为系统的状态量，x_n+1＝f(y,ω,t)为系统的扩张状态，即总扰动，设计如下的n+1阶有限时间扩张状态观测器：

其中z＝[z₁,z₂,…,z_n+1]^T表示扩张状态观测器的状态，[s₁,s₂,…,s_n+1]^T表示观测器增益，e₁＝x₁-z₁表示系统状态x₁的观测误差，非线性误差项定义为 并应该满足α_i>0,s_i>0，i＝1,2,…,n+1；α₁,α₂,…,α_n+1代表误差项的指数参数且满足0<α_i<1，对比(1)和(2)得到如下观测误差动态方程：

其中误差e_i＝x_i-z_i，i＝1,2,…,n+1；

二、对于上述扩张状态观测器，求解扩张状态观测器参数s₁,s₂,…,s_n+1，α₁,α₂,…,α_n+1，有限时间扩张状态观测器参数s₁,s₂,…,s_n+1，α₁,α₂,…,α_n+1如满足以下条件：

1)

2)

则观测误差动态方程(3)满足有限时间收敛，其中S(θ)为指数观测器，θ为变量，满足S(θ)>δ₀I，δ₀>0和其中反位移算子A₀满足A₀：Rⁿ→Rⁿ，A_0i,j＝δ_i,j-1；进而观测器的状态在停息时间T(e)内收敛到系统状态；

三、设计具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器，使得跟踪误差动态方程近似成为积分链串联型：

其中齐次性的权r_i满足r₁＝1，r_i＝r_i-1+k，r_i>-k>0，i＝1,…,n；指数参数β_i满足β₀＝r₂，(β_i+1)r_i+1≥(β_i-1+1)r_i>0，i＝1,…,n-2，β_n-1>0；u_i满足u₀＝0， v_i代表参考输入v的i-1阶导数；

四、对于具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器设计，选择合适的控制器参数l_i和[β₁,β₂,…,β_n+1]^T，使控制系统满足有限时间收敛特性。

选择合适的控制器参数l_i和[β₁,β₂,…,β_n+1]^T，使控制器满足有限时间收敛特性，具体地：

控制器参数如满足以下条件：

1)控制器增益l_i满足其中M₁,M₂为定义的集合；

2)控制器指数参数β_i满足β₀＝r₂，(β_i+1)r_i+1≥(β_i-1+1)r_i>0，i＝1,…,n-2，β_n-1>0；

则在t>T(e)时，跟踪误差动态方程满足全局有限时间收敛，进而整个控制系统具有全局有限时间收敛特性。

本发明的特点及有益效果是：

与传统的扩张状态观测器相比，有限时间扩张状态观测器能够得到更快的收敛速度、更高的精确度和更强的抗干扰性能。选取合适的观测器参数，可以使观测误差动态方程满足齐次性和渐近稳定性，得到的观测误差动态方程能够满足有限时间收敛，从而实现观测器状态在有限时间内收敛到系统状态。

本发明提出的有限时间扩张状态观测器，一方面具有有限时间观测器状态跟踪方面的优势，即观测器误差e(t)在停息时间T(e)内收敛到原点；另一方面，也具有扩张状态观测器能够动态跟踪并抑制扰动的优点。

本发明提出的一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制可以使闭环系统在有限时间内收敛。在有限时间扩张状态观测器的基础上，采用具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器，可以极大地改善控制系统的快速性，准确性和抗干扰能力。

附图说明：

图1是求解有限时间扩张状态观测器参数的流程图。

图2是一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的结构图。

具体实施方式

具有有限时间收敛特性的自抗扰控制能够使控制系统的跟踪误差在有限时间内收敛，即能够使控制系统在有限时间内收敛。

具有有限时间收敛特性的自抗扰控制采用自抗扰控制技术中的非线性状态反馈，创新性地将分数幂项引入控制器设计中。通过设计基于有限时间扩张状态观测器、扰动反馈和状态反馈的自抗扰控制，闭环系统在有限时间内能够快速收敛，达到稳定，其结构如图2所示。

n+1阶有限时间扩张状态观测器和具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器的设计方法，适用于总扰动f(y,ω,t)满足|f(y,ω,t)|≤p和的一般性控制系统。

设计n+1阶有限时间扩张状态观测器和具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器是适合于任意阶次的一般性的扩张状态观测器和自抗扰控制器的设计，可根据实际需求灵活选择合适的阶次。适用于设计任意阶次的有限时间扩张状态观测器和具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器。

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚，以下从有限时间扩张状态观测器和一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器的建立、设计原理、求解方法等几个方面来对本发明作进一步说明。

基于有限时间扩张状态观测器的有限时间自抗扰控制设计方法，具体步骤如下：

1.设计n+1阶有限时间扩张状态观测器

对于一般性的单输入单输出系统，建模如下：

y⁽ⁿ⁾＝f(y^(n-1),...,y,ω,t)+b₀u,

其中y为系统输出，y⁽ⁿ⁾表示输出y的n阶导数，u为控制输入，t表示时间，b₀为控制输入u的控制增益，f(y^(n-1),...,y,ω,t)为自抗扰控制结构中的‘总扰动’，其包括内部的不确定性和外部扰动ω，简写为f(y,ω,t)，f(y,ω,t)应满足|f(y,ω,t)|≤p和其中表示f(y,ω,t)的一阶导数，p,δ>0为常值，即总扰动及其变化速率有界；

上述系统可以写成如下状态空间表达式：

其中x＝[x₁,x₂,…,x_n+1]^T为系统的状态量，x_n+1＝f(y,ω,t)为系统的扩张状态，即总扰动。设计如下的n+1阶有限时间扩张状态观测器：

其中z＝[z₁,z₂,…,z_n+1]^T表示扩张状态观测器的状态，[s₁,s₂,…,s_n+1]^T表示观测器增益，e₁＝x₁-z₁表示系统状态x₁的观测误差。非线性误差项定义为 并应该满足α_i>0,s_i>0，i＝1,2,…,n+1；α₁,α₂,…,α_n+1代表误差项的指数参数且满足0<α_i<1。对比(5)和(6)得到如下观测误差动态方程：

其中误差e_i＝x_i-z_i，i＝1,2,…,n+1。

2.对于上述扩张状态观测器，求解扩张状态观测器参数s₁,s₂,…,s_n+1，α₁,α₂,…,α_n+1

本发明提出的有限时间扩张状态观测器，特点是扩张状态观测器状态[z₁,z₂,…,z_n+1]^T将在有限时间内收敛到系统状态[x₁,x₂,…x_n]^T和扩张状态x_n+1＝f(y,ω,t)，即观测误差动态方程(7)是满足有限时间收敛的。

文献“Perruquetti W,Floquet T,Moulay E.Finite-time observers:application to secure communication.IEEE Transactions on Automatic Control,2008,53(1):356-360”中指出：如果观测误差动态方程满足对权具有齐次度d<0的齐次性，且系统满足渐近稳定性，那么观测误差动态方程是有限时间收敛的。注：表示n+1维正向量。

如上所述，选取适当的扩张状态观测器参数s₁,s₂,…,s_n+1，α₁,α₂,…,α_n+1。使观测误差动态方程(7)满足齐次性和渐近稳定性，则观测误差动态方程(7)可满足有限时间收敛。求解有限时间扩张状态观测器参数分为如下两步(如图1所示)：

步骤1：通过观测误差动态方程(7)满足齐次性来求解扩张状态观测器参数s₁,s₂,…,s_n+1，α₁,α₂,…,α_n+1之间的关系。

标量齐次性定义：令V(x):为一函数，如果对于任意的ε>0,σ>0使得

成立，则称该函数关于权满足齐次度为σ的齐次性。

向量齐次性定义：令f(x):为一向量函数，如果该函数满足：

其中i＝1,2,…,n，k≥-max{r_i,i＝1,2,…,n}，则称f(x)关于权满足齐次度为k的齐次性。

对观测误差动态方程(7)进行研究，定义变量并使其满足以下条件：

r_i+1＝r_i+d,1≤i≤n+1， (8)

由以上可知，观测误差动态方程(7)对于权满足齐次度为d的齐次性。

在这里设置r₁＝1，可以得到r₂＝α，d＝r₂-r₁＝α-1。从公式(8)-(10)中可以得到r_i＝(i-1)α-(i-2),1<i≤n+1和α_i＝iα-(i-1),1<i≤n+1。因为r₁>r₂>…>r_n+1>0，所以

因此当α₁,α₂,…,α_n+1满足条件：时，观测误差动态方程(7)关于权{(i-1)α-(i-2)}_1≤i≤n+1满足齐次度为α-1的齐次性。

步骤2：通过观测误差动态方程满足渐近稳定性来进一步求解扩张状态观测器参数：s₁,s₂,…,s_n+1，α₁,α₂,…,α_n+1。

首先，我们考虑总扰动为常值扰动的情况，即观测误差动态方程(7)变成

我们选取V_α(e)＝η^TS(θ)η为李雅普诺夫函数，其中 S(θ)为一个指数观测器，θ为一个变量，其满足S(θ)>δ₀I，δ₀>0和其中反位移算子A₀满足A₀：Rⁿ→Rⁿ，A_0i,j＝δ_i,j-1。

根据文献“Bhat S P,Bernstein D S.Geometric homogeneity withapplications to finite-time stability.Mathematics of Control,Signals,andSystems,2005,17(2):101-127”中的引理4.2，我们得到

其中系数系数所以，在总扰动为常值的情况下，观测误差动态方程(11)是渐近稳定的，其同时又满足齐次性。因此，在总扰动为常值的情况下，有限时间扩张状态观测器(6)满足有限时间稳定性。

然后，我们考虑总扰动为有界扰动的情况，计算李雅普诺夫函数的导数：

对上式进行放缩，根据文献“Qian C,Lin W.Non-Lipschitz continuousstabilizers for nonlinear systems with uncontrollable unstablelinearization.Systems&Control Letters,2001,42(3):185-200”中的引理2.4,可知，存在正常数使得下列不等式成立：

其中中间变量b_n+1,k>0，令b＝max{b_n+1,k}。我们可以将公式(13)转化为

其中S＝|S(1)_n+1,n+1|。令对于θ≥1，可以得到

另一方面，令ξ＝[ξ₁,ξ₂,…,ξ_n+1]^T，由S(θ)>δ₀I可以得到

最终我们得到

其中系数因此该观测误差动态方程满足有限时间稳定性。并且我们可以由文献“Shen Y,Xia X.Semi-global finite-time observers for nonlinearsystems.Automatica,2008,44(12):3152-3156”中的引理1得到系统的停息时间满足

因此有限时间扩张状态观测器将在停息时间T(e)收敛到系统状态和扩张状态。根据以上两个步骤的分析，给出如下定理来确定一般性的n+1阶有限时间扩张状态观测器的参数。

定理1：有限时间扩张状态观测器参数s₁,s₂,…,s_n+1，α₁,α₂,…,α_n+1如满足以下条件：

1)

2)

则观测误差动态方程(7)满足有限时间收敛，其中S(θ)满足S(θ)>δ₀I，δ₀>0和反位移算子A₀满足A₀：Rⁿ→Rⁿ，A_0i,j＝δ_i,j-1。

进而观测器的状态在停息时间T(e)内收敛到系统状态。

3.设计一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器。

设计一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器使得跟踪误差动态方程近似成为积分链串联型：

其中控制器增益l_i满足其中M₁,M₂为定义的集合；齐次性的权r_i满足r₁＝1，r_i＝r_i-1+k，r_i>-k>0，i＝1,…,n；指数参数β_i满足β₀＝r₂，(β_i+1)r_i+1≥(β_i-1+1)r_i>0，i＝1,…,n-2，β_n-1>0；u_i满足u₀＝0， v_i代表参考输入v的i-1阶导数。

4.对于上述一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器设计，选择合适的控制器参数l_i和[β₁,β₂,…,β_n+1]^T，使控制系统满足有限时间收敛特性。

步骤1：求解跟踪误差的误差动态方程，通过有限时间控制器设计将其转化为积分链形式。

首先，求得跟踪误差的方程如下

其中为跟踪误差的向量，x＝[x₁,x₂,…,x_n]^T为系统的状态向量，v＝[v₁,v₂,…,v_n]^T为系统输入的向量。将控制输入u代入到跟踪误差动态方程(21)中，得到：

其中跟踪误差动态方程(22)为积分链形式。

步骤2：进一步求解一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器参数l_i和[β₁,β₂,…,β_n+1]^T。

扩张定义：定义扩张为一类映射，使得对于每个实数ε>0都有微分同胚映射存在，其中扩张系数r₁,r₂,…r_n为正实数。

Γ_n(x)函数定义：定义函数其中c>max{r₁,…,r_n}。其满足且Γ_n(0)＝0，和当x≠0时，Γ_n(x)>0。

由于跟踪误差动态方程为积分链形式，该方程对权r＝(r₁,…r_n)满足齐次度为k的齐次性，因此跟踪误差动态方程(22)只需要满足渐近稳定性，就可以实现有限时间收敛。渐近稳定性通过数学归纳法进行证明：

第1步：考虑跟踪误差动态方程对于一个给定的控制器增益参数l₁>0，设计控制律为选择为李雅普诺夫函数，求其导数得对于来说是负定的，因此u₁能使该跟踪误差动态方程稳定。

第j-1步：经过了j-1步之后，考虑跟踪误差动态方程

设计控制律u_j-1对跟踪误差动态方程进行反馈镇定，选取对于正定的李雅普诺夫函数其导数是负定的。的结构依赖于具体细节在第j步介绍。

第j步：考虑跟踪误差动态方程

设计控制律其中l_j是待设计的参数。设函数 是非负的并且在是正的。很容易得出因此选择李雅普诺夫函数为其中由齐次性的定义可知，都满足齐次性，因此对于是正定的。

然后求李雅普诺夫函数的导数，得到其中因此我们可以将重写为一个新的形式：其中由于是负定的，也是负定的。下面分情况进行讨论：

当ω_j＝0时，即时，可以得到W_j＝0，因此在的条件下，有

当ω_j≠0时，定义一个单位球面和如果是空集，那么是负定的。如果是非空的，由于具有齐次性，根据连续性可知，是闭集，因此是紧集。

定义集合和因为的值不依赖于l_j，并且M₂≥0，所以当M₂＝0时，ω_j＝0，因此M₂≠0，所以M₂>0。选择可以得到对于所有的有成立。因此满足渐近稳定性。

第n步：令j＝n，成立。因此该一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器能够使跟踪误差动态方程达到有限时间收敛。

根据以上两个步骤的分析，给出如下定理来确定一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器的参数。

定理2：一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器的参数如满足以下条件：

1)控制器增益l_i满足其中M₁,M₂为定义的集合。

2)控制器指数参数β_i满足β₀＝r₂，(β_i+1)r_i+1≥(β_i-1+1)r_i>0，i＝1,…,n-2，β_n-1>0；

则在t>T(e)时，跟踪误差动态方程(22)满足全局有限时间收敛，进而整个控制系统具有全局有限时间收敛特性。

通过设计结合有限时间扩张状态观测器、扰动反馈和状态反馈的一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制，可以使闭环系统在有限时间内收敛。一般性的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的结构如图2所示。

在一个实例中，如图2所示，首先，有限时间扩张状态观测器观测系统状态，得到n+1阶观测器状态[z₁,z₂,…,z_n+1]^T，并将n阶观测器状态[z₁,z₂,…,z_n]^T送至具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器中。其次，具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器利用系统参考输入v和n阶观测器状态[z₁,z₂,…,z_n]^T得到u_n。再次，u_n、z_n+1和通过线性组合得到控制输入u，对被控对象进行控制，得到系统输出y。最后，控制输入u经过b₀和系统输出y送至有限时间扩张状态观测器，形成闭环。

Claims (2)

1.一种具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的实现方法，其特征是，步骤如下：

一、设计n+1阶有限时间扩张状态观测器，建模如下：

y⁽ⁿ⁾＝f(y^(n-1),...,y,ω,t)+b₀u,

其中y为系统输出，y⁽ⁿ⁾表示输出y的n阶导数，u为控制输入，t表示时间，b₀为控制输入u的控制增益，f(y^(n-1),...,y,ω,t)为自抗扰控制结构中的‘总扰动’，其包括内部的不确定性和外部扰动ω，简写为f(y,ω,t)，f(y,ω,t)应满足|f(y,ω,t)|≤p和其中表示f(y,ω,t)的一阶导数，p,δ>0为常值，即总扰动及其变化速率有界；

上述系统写成如下状态空间表达式：

其中x＝[x₁,x₂,…,x_n+1]^T为系统的状态量，x_n+1＝f(y,ω,t)为系统的扩张状态，即总扰动，设计如下的n+1阶有限时间扩张状态观测器：

其中Z＝[z₁,z₂,…,z_n+1]^T表示扩张状态观测器的状态，[s₁,s₂,…,s_n+1]^T表示观测器增益，e₁＝x₁-z₁表示系统状态x₁的观测误差，非线性误差项定义为i＝1,2,…,n+1，并应该满足α_i>0,s_i>0，i＝1,2,…,n+1；α₁,α₂,…,α_n+1代表误差项的指数参数且满足0<α_i<1，对比(1)和(2)得到如下观测误差动态方程：

其中误差e_i＝x_i-z_i，i＝1,2,…,n+1；

二、对于上述扩张状态观测器，求解扩张状态观测器参数s₁,s₂,…,s_n+1，α₁,α₂,…,α_n+1，有限时间扩张状态观测器参数s₁,s₂,…,s_n+1，α₁,α₂,…,α_n+1如满足以下条件：

1)

2)

则观测误差动态方程(3)满足有限时间收敛，其中S(θ)为指数观测器，θ为变量，满足S(θ)>δ₀I，δ₀>0和其中反位移算子A₀满足A₀：Rⁿ→Rⁿ，A_0i,j＝δ_i,j-1；进而观测器的状态在停息时间T(e)内收敛到系统状态；

三、设计具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器，使得跟踪误差动态方程近似成为积分链串联型：

其中齐次性的权r_i满足r₁＝1，r_i＝r_i-1+k，r_i>-k>0，i＝1,…,n；指数参数β_i满足β₀＝r₂，(β_i+1)r_i+1≥(β_i-1+1)r_i>0，i＝1,…,n-2，β_n-1>0；u_i满足u₀＝0， v_i代表参考输入v的i-1阶导数；

四、对于具有有限时间收敛特性的自抗扰控制器设计，选择合适的控制器参数l_i和[β₁,β₂,…,β_n+1]^T，使控制系统满足有限时间收敛特性。

2.如权利要求1所述的具有有限时间收敛特性的自抗扰控制的实现方法，其特征是，选择合适的控制器参数l_i和[β₁,β₂,…,β_n+1]^T，使控制器满足有限时间收敛特性，具体地：

控制器参数如满足以下条件：

1)控制器增益l_i满足其中M₁,M₂为定义的集合；

2)控制器指数参数β_i满足β₀＝r₂，(β_i+1)r_i+1≥(β_i-1+1)r_i>0，i＝1,…,n-2，β_n-1>0；

则在t>T(e)时，跟踪误差动态方程满足全局有限时间收敛，进而整个控制系统具有全局有限时间收敛特性。