CN112558468A - 基于双观测器的发射平台自适应鲁棒输出反馈控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于双观测器的发射平台自适应鲁棒（ARC）输出反馈控制方法（ARCFZ）。该控制方法是针对如下问题提出的：发射平台由方位框架和俯仰框架两部分构成，两者的数学模型基本一致。在发射平台的工作过程中，由于传动系统中存在的粘性摩擦力、齿隙、两轴耦合、未知干扰等问题，将严重恶化发射平台伺服系统的跟踪性能。以上问题，使得发射平台伺服系统的控制器设计变得更加困难。所公开的控制方法有效地自适应了发射平台系统不好获取的参数，并解决了传统ARC控制方法设计过程中存在的所需速度不好获取以及存在强外部干扰鲁棒性会变差的问题，保证了发射平台伺服系统优良的跟踪性能。

Description

基于双观测器的发射平台自适应鲁棒输出反馈控制方法

技术领域

本发明涉及机电伺服控制技术领域，主要涉及一种基于双观测器的发射平台自适应鲁棒输出反馈控制方法。

背景技术

发射平台由方位框架和俯仰框架两部分构成，两者的数学模型基本一致，因此可以以方位伺服系统为对象进行控制器的设计和仿真研究。在发射平台的工作过程中，一方面，由于传动系统中存在的粘性摩擦力、齿隙等机械传动问题，将严重恶化发射平台的跟踪性能。另一方面，发射平台存在方位和俯仰两个方向的运动，两者方向的运动相互耦合，产生耦合力，也会对发射平台的跟踪性能造成严重的影响，与此同时，发射平台的俯仰和方位运动耦合系数以及伺服系统受到的常值干扰也是很难测出。以上问题，使得伺服转塔系统的控制器设计变得更加困难。故针对发射平台设计有效的控制器将是提高发射平台的跟踪性能的关键所在。

针对发射平台的控制问题，许多方法相继被提出。其中自适应鲁棒控制(ARC)以其自身对不确定参数和常值干扰的自适应和对时变干扰的鲁棒性及能够获得渐近跟踪的稳态性能的优点，使其成为设计发射平台控制器的较佳方法。但在传统的自适应控制方法的控制器设计和实际应用中，由于在对系统位置进行高精度伺服控制的过程中设计自适应鲁棒控制器的时要用到系统的速度信号。但是，当受到强外部干扰时，此方法的鲁棒性会变差，并且速度信号往往不好用传感器获取到，传统的做法是使用位置信号进行微分处理。但是由于位置信号存在测量噪声，得到的速度信号往往不理想。如先用滤波器对位置信号进行滤波处理，将会引入延时，使得到的位置信号不是实时信号。因而传统ARC控制方法具有很大的工程局限性。

通过上述分析，本发明基于传统的ARC控制方法，融合一阶滑模观测器以及模糊观测器的思想，设计基于输出反馈的自适应鲁棒控制器。有效地自适应了伺服转塔系统不好获取的参数，并解决了传统ARC控制方法设计过程中存在的所需速度不好获取，以及在强外部干扰下鲁棒性变差的问题。保证了伺服转塔系统优良的跟踪性能。

发明内容

本发明的目的在于提供一种自适应了发射平台不好获取的参数，解决传统ARC控制方法在控制器设计和实现过程中需要发射平台的速度信号，并保证ARC在强外部干扰下的控制性能这一问题的控制方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立发射平台的数学模型，转入步骤2；

步骤2，根据发射平台的数学模型，设计用于输出反馈的自适应鲁棒控制器，转入步骤3；

步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，在滑模观测器误差存在的情况下得到有界稳定的结果，在滑模观测器误差不存在的情况下，在有限的时间之后运用Barbalat引理可得到系统的全局渐近稳定的结果。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：有效地自适应了发射平台不好获取的参数，解决传统ARC控制方法在控制器设计和实现过程中需要发射平台的速度信号，并保证ARC在强外部干扰下的控制性能。仿真结果验证了其有效性。

附图说明

图1是本发明发射平台的原理图。

图2是自适应鲁棒输出反馈控制方法原理示意图。

图3是系统无干扰时本发明所设计的ARCFZ控制器与传统ARC和PID控制方法在系统输出对期望指令的跟踪误差对比图，其中图a为指令信号图，图b为无干扰下PID控制方法跟踪误差图，图c是无干扰下ARC控制器跟踪误差图，图d是无干扰下ARCFZ控制器跟踪误差图。

图4是系统无干扰时本发明所设计的滑模观测器对x₁的估计曲线图。

图5是系统无干扰时本发明所设计的滑模观测器对x₂的估计曲线图。

图6是系统无干扰时本发明所设计的ARCFZ控制器对系统参数θ的估计曲线图。

图7是系统干扰为f(t)＝(0.1x₁x₂-15u)(N·m)时本发明所设计的ARCFZ控制器与传统ARC和PID控制方法在系统输出对期望指令的跟踪误差对比图，其中图a为指令信号图，图b为有干扰下PID控制方法跟踪误差图，图c是有干扰下ARC控制器跟踪误差图，图d是有干扰下ARCFZ控制器跟踪误差图。

图8是系统干扰为f(t)＝(0.1x₁x₂-15u)(N·m)时本发明所设计的滑模观测器对x₁的估计曲线图。

图9是系统干扰为f(t)＝(0.1x₁x₂-15u)(N·m)时本发明所设计的滑模观测器对x₂的估计曲线图。

图10是系统干扰为f(t)＝(0.1x₁x₂-15u)(N·m)时本发明所设计的ARCFZ控制器对系统参数θ的估计曲线图。

图11是系统干扰为f(t)＝(0.1x₁x₂-15u)(N·m)时本发明所设计的模糊观测器对系统干扰f(t)的估计曲线图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

结合图1～2，本发明基于双观测器的发射平台自适应鲁棒输出反馈控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立发射平台的数学模型，具体如下：

本发明所考虑的发射平台由方位框架和俯仰框架两部分构成，两者的数学模型基本一致，因此可以以方位伺服系统为对象进行控制器的设计和仿真研究。本发射平台通过配有电气驱动器的永磁直流电机驱动两方向的惯性负载。考虑到电磁时间常数比机械时间常数小得多，且电流环速度远大于速度环和位置环的响应速度，故可将电流环近似为比例环节。

因此，以发射平台方位伺服系统为对象。根据牛顿第二定律，发射平台的运动方程为：

式中y表示惯性负载的位移，J_eq表示惯性负载参数，k_u表示电机输出端电压与力矩放大系数，u为发射平台方位伺服系统的自适应鲁棒控制器控制输入，B_eq代表发射平台方位伺服系统的粘性摩擦系数，d_n为发射平台方位伺服系统的常值干扰，f(t)表示发射平台方位伺服系统的其他未建模干扰，比如非线性摩擦，外部干扰以及未建模不确定，ω为俯仰伺服系统的角速度，

为俯仰伺服系统的角加速度，c₁是对应ω的耦合系数，c₂是对应

的耦合系数；

代表粘性摩擦力，且发射平台方位伺服系统参数都大于0。

为了方便后续控制器的设计与系统稳定性分析，在不影响系统跟踪精度的前提下，作出如下假设：

假设1：上述动力学模型中的参数都是一个常量或者渐变量，为了设计出可行性较好的控制器，在本发明中将所有发射平台方位伺服系统参数当作一个常量来处理。也就是说：

假设2：f(t)是未知的时变扰动，但具有一定的上下界，且上下界已知；

假设3：发射平台方位伺服系统所有参数都是有界的，且上下界均已知；

定义不确定参数矩阵θ：

则发射平台的运动方程简化为

即得发射平台的数学模型；

其中不确定非线性d(t)＝f(t)/J_eq，定义

将发射平台的数学模型用状态空间表示为：

假设4：参数不确定矩阵θ以及不确定非线性d(t)满足：

其中，Ω_θ是参数不确定矩阵θ的区间，δ_d(t)是f(t)的上界。

步骤2，所述输出反馈自适应鲁棒控制器，步骤如下：

步骤2.1、建立模糊干扰观测器：采用模糊观测器估计外界干扰与其他估计误差的和，在控制输入中进行前馈补偿；通过IF-THEN规则构造模糊逻辑系统：

R⁽ⁱ⁾：若x₁是

且x₂是

则D(x)是Sⁱ；

其中

为属于x₁的模糊集合，

为属于x₂的模糊集合，Sⁱ为结论的模糊集合；D(x)为所要估计的函数。

采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器来设计模糊控制器，即：

式中，

为xi的隶属度函数，

l1为x₁的模糊规则条数，l2为x₂的模糊规则条数，n为常量。

定义模糊基函数ρ_l1l2(x)：

取模糊控制器的输入为x＝[x₁ x₂]^T，ρ_l1l2(x)简化为ρ(x)，则模糊逻辑系统的输出为：

上式中

是β的估计值，β是模糊逻辑系统的可调参数值；

引理1：根据模糊逻辑系统的万能逼近定理，若D(x)是定义在紧集Ω上的连续函数，则对于给定的任意常数ε₁＞0，存在上述等式(9)定义的模糊逻辑系统，使得如下不等式

当x∈Ω时成立。

取

则：

将模糊控制作为一个干扰观测器，求解式(5)中不确定非线性d(t)；即如下式：

步骤2.2、建立滑模观测器：

仅使用角度位置测量信息重建发射平台全部状态的滑模观测器，通过滑模观测器估计的状态信息实现闭环系统的输出反馈控制。

假设发射平台方位伺服系统状态x₂是不可测的，只有x₁可测；为了估计发射平台的状态，根据式(5)和式(11)，设计如下的滑模观测器：

其中

为外界干扰与其他估计误差和的估计，λ₁和λ₂均为滑模观测器的增益，且

等效输出注入项

是通过对信号

使用低通滤波器滤波后得到的，该观测器的设计将使对系统状态的估计在有限时间内一个接一个的收敛到真实值。

定理1：存在一组观测器增益λ₁、λ₂，使得式(5)以及式(12)能观测到状态x₁、x₂在有限时间内收敛到相应的状态值；

证明：定义观测器误差为

其中x＝[x₁ x₂]^T是每一个通道的状态向量，其中

为观测到的状态向量，e＝[e₁ e₂]^T；则定义如下的观测器动态误差：

将其简化：

将式(14)带入式(13)可得：

其中

中间变量

对于误差e₁选择如下的Lyapunov函数：

可得：

所以当λ₁≤-max|e₂|，则保证

因此状态e₁将收敛至滑模面e₁＝0为了说明该收敛将在有限时间内发生，定义中间函数

且增益λ₁＜-e₂-ε₂，其中正实数ε₂＞0；有：

定义中间函数f(t，W₁)＝-ε₂，则有

中间函数

则g(0)＝W₁(e₁(0))，则有：

使用比较法则引理，推出W₁(t)≤g(t)，可得：

W₁(t)≤W₁(e₁(0))-ε₂t (20)

从该式中看出，由于W₁(t)＝|e₁(t)|，所以|e₁|将会在某个时刻T1等于0；因此，在T1时刻之后，误差e₁将会收敛到0；由于在滑模面上有

求解等效输出注入项

在T1时刻之后，有如下误差：

对于误差e₂选择如下的Lyapunov函数：

可得：

所以兰

则保证

因此误差e₂将收敛至滑模面e₂＝0；

步骤2.3、对于自适应控制，为了避免发射平台方位伺服系统不确定性参数的自适应过程有发散的危险，给参数自适应过程添加不连续映射，定义向量

表示位置参数θ的自适应估计，

表示估计误差，即

一个不连续映射定义如下

式中，i＝1、2、3、4、5；

设计如下自适应律：

式中，Γ为正定对角矩阵，τ为参数自适应函数。

由上式可知，不连续映射使得参数自适应过程是一个受控的过程，其意义在于使得估计的参数不超过预先给定的参数范围；对于任意的参数自适应函数τ，保证下式成立：

P1：

P2：

步骤2.4、设计自适应鲁棒控制器：

u＝u_a+u_s

其中，u_a是模型的前馈补偿项，u_s为反馈项，u_s反馈项可以分为线性反馈项u_s1和非线性鲁棒反馈项u_s2，k₂为正反馈增益。

步骤2.4.1、定义x_2eq作为x₂的虚拟控制输入，定义以下控制误差：

其中k₁为正反馈增益，z₁为位置跟踪误差，z₂为速度跟踪误差；由于z₁(s)＝G(s)z₂(s)，G(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定传递函数，因此让z₁趋向于0等价于让z₂趋向于0；接下来的目的是让z₂趋向于0；根据式(5)，得

步骤2.4.2、对实际自适应鲁棒控制器u设计控制律以便让z₂趋向于0；根据式(29)，自适应鲁棒控制器u为：

将式(30)带入式(29)得：

定义

则上式被改写成：

设计参数

的自适应律为：

上式中Γ₁为模型参数θ的自适应速律矩阵，Γ₂为可调参数β的自适应速律矩阵；

在式(30)中，设计

其中h_s为所有误差的上界，即：

且ε是一个正实数；具有以下特性：

步骤3、运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，在滑模观测器误差存在的情况下得到有界稳定的结果，在滑模观测器误差不存在的情况下，在有限的时间之后运用Barbalat引理可得到系统的全局渐近稳定的结果，具体如下：

定理2：当滑模观测器误差

时，根据式(32)和式(33)所设计的控制器能够获得渐近跟踪的性能；

证明：建立如下的Lyapunov函数：

对上式进行求导可得：

由于模型参数θ和模糊逻辑系统的可调参数β都被认为是一个常量，所以具有以下性质：

将式(37)进行化简得到：

运用式(25)和式(33)可得：

由于k₂为一正的增益，故

亘小于零，也就是说是

亘成立的；根据李雅普诺夫稳定性定理可知，所设计的控制器能够获得渐进跟踪的性能；

定理3：根据式(30)、式(32)和式(35)所设计的控制器能够获得有界稳定的性能；

证明：建立如下的Lyapunov函数：

对上式进行求导可得：

由于k₂为一正的增益，根据李雅普诺夫稳定性定理可知，所设计的控制器能够获得有界稳定的性能。

因此有结论：针对发射平台伺服系统(1)设计的输出反馈自适应鲁棒控制器可以使系统得到全局渐近稳定的结果，调节观测器参数λ₁、λ₂和控制器增益k₁、k₂及Γ₁、Γ₂可以使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。伺服转塔系统输出反馈自适应鲁棒控制原理示意图如图2所示。

实施例

使用MATLAB进行仿真实验，验证本发明所提算法的可行性。发射平台方位系统的控制框图如图2所示，其中x₁为角速度状态，即发射平台方位子系统的输出角速度信号，x_1d为发射平台方位子系统的期望跟踪姿态。表1为发射平台机电伺服系统方位回转轴系的系统参数设计。

表1回转电机伺服系统的规格参数

选择以下的三种控制器作为比较：

(1)ARCFZ：这是自适应鲁棒控制器(如式30)，具有模糊干扰观测器(如式11)、滑模状态观测器(如式12)和自适应率(如式33)，在本发明中提出并给出了描述。两轴耦合系数c₁＝0.13，c₂＝0.2，单位为N·m·s/rad。控制器增益选择为k₁＝300，k₂＝200，参数θ的范围为θ_min＝[100，1，1，1，1]^T，θ_max＝[10000，100，100，100，100]^T，其方位轴的角度信号为w＝sin(πt)，θ初始值为θ₀＝[4000，15，10，15，10]^T自适应增益矩阵为Γ₁＝diag[2000，100，10，5，10]，β的自适应增益阵Γ₂＝50×I₂₅.滑模观测器的增益为λ₁＝-5，λ₂＝-8。

(2)ARC：这是自适应鲁棒控制器(如式30)，具有自适应率(如式33)，其中

控制器参数与ARCFZ中的相应参数相同。

(3)PID：这是传统的位置速度电流三回路比例积分微分控制器。其增益分别为k_p＝30，k_i＝4，k_d＝0，分别表示比例增益、积分增益和导数增益。

给定三个控制器的运动轨迹信号为：x_1d＝3sin(πt)(1-e^-0.5t)，分为以下两种情况进行测试：

(1)工作环境为无外部干扰的情况下。

无干扰情况下，三个控制器下的期望运动轨迹和相应的跟踪性能如图3所示。可以看出ARC和ARCFZ控制性能明显优于传统PID控制，通过图4，图5可以看出无干扰下滑模观测器的状态估计基本上趋近于真值。图6分别为无干扰下参数估计图。

(2)通过对物理运动系统施加0.1x₁x₂-15u的外部干扰，这种扰动使系统的动力学几乎完全改变，可以认为是最彻底的验证。

在这种情况下，三个控制器下的期望运动轨迹和相应的跟踪性能如图7所示。可以看出ARC控制性能明显受到比较大的影响，从图10和图11可以看出ARCFZ对参数和干扰的有着良好的逼近效果，从图8，图9可以看出ARCFZ对真实状态有着较好的估计效果，所以其控制性能并没有下降太多。

综上所述，ARCFZ具有较好的跟踪性能和良好的鲁棒性，且能较好地解决强外部干扰的问题。

Claims (6)

1.一种基于发射平台的自适应鲁棒输出反馈控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立发射平台的数学模型，转入步骤2；

步骤2，根据发射平台的数学模型，设计用于输出反馈的自适应鲁棒控制器，转入步骤3；

步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，在滑模观测器误差存在的情况下得到有界稳定的结果，在滑模观测器误差不存在的情况下，在有限的时间之后运用Barbalat引理可得到系统的全局渐近稳定的结果。

2.根据权利要求1所述的发射平台的输出反馈的自适应鲁棒控制方法，其特征在于，步骤1中，建立发射平台的数学模型，具体如下：

所考虑的发射平台包括方位框架和俯仰框架，所述发射平台通过配有电气驱动器的永磁直流电机驱动两方向的惯性负载；考虑到电磁时间常数比机械时间常数小得多，且电流环速度远大于速度环和位置环的响应速度，故将电流环近似为比例环节；

以发射平台方位伺服系统为对象，根据牛顿第二定律，发射平台的运动方程：

式中y表示惯性负载的位移，J_eq表示惯性负载参数，k_u表示电机输出端电压与力矩放大系数，u为发射平台方位伺服系统的自适应鲁棒控制器控制输入，B_eq代表发射平台方位伺服系统的粘性摩擦系数，d_n为发射平台方位伺服系统的常值干扰，f(t)表示发射平台方位伺服系统的其他未建模干扰，ω为俯仰伺服系统的角速度，

为俯仰伺服系统的角加速度，c₁是对应ω的耦合系数，c₂是对应

的耦合系数；

代表粘性摩擦力，且发射平台方位伺服系统参数都大于0；

为了方便后续自适应鲁棒控制器的设计与发射平台方位伺服系统稳定性分析，在不影响发射平台方位伺服系统跟踪精度的前提下，作出如下假设：

假设1：

假设2：f(t)是未知的时变扰动，但具有一定的上下界，且上下界已知；

假设3：发射平台方位伺服系统所有参数都是有界的，且上下界均已知；

定义不确定参数矩阵θ：

则发射平台的运动方程简化为

即得发射平台的数学模型；

其中不确定非线性d(t)＝f(t)/J_eq，定义

将发射平台的数学模型用状态空间表示为：

假设4：参数不确定矩阵θ以及不确定非线性d(t)满足：

其中，Ω_θ是参数不确定矩阵θ的区间，δ_d(t)是f(t)的上界。

3.根据权利要求2所述的发射平台的输出反馈的自适应鲁棒控制方法，其特征在于：发射平台方位伺服系统的其他未建模干扰包括非线性摩擦，外部干扰以及未建模不确定都由模糊观测器估计得到。

4.根据权利要求2所述的发射平台的输出反馈自适应鲁棒控制方法，其特征在于，步骤2中，根据发射平台的数学模型，设计用于输出反馈的自适应鲁棒控制器，步骤如下：

步骤2.1、建立模糊干扰观测器：

采用模糊观测器估计外界干扰与其他估计误差的和，在控制输入中进行前馈补偿；通过IF-THEN规则构造模糊逻辑系统：

R⁽ⁱ⁾：若x₁是

且x₂是

则D(x)是Sⁱ；

其中

为属于x₁的模糊集合，

为属于x₂的模糊集合，Sⁱ为结论的模糊集合；D(x)为所要估计的函数；

采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器来设计模糊控制器，即：

式中，

为xi的隶属度函数，

l1为x₁的模糊规则条数，l2为x₂的模糊规则条数，n为常量；

定义模糊基函数ρ_l1l2(x)：

取模糊控制器的输入为x＝[x₁ x₂]^T，ρ_l1l2(x)简化为ρ(x)，则模糊逻辑系统的输出

为：

上式中

是β的估计值，β是模糊逻辑系统的可调参数值；

引理1：根据模糊逻辑系统的万能逼近定理，若D(x)是定义在紧集Ω上的连续函数，则对于给定的任意常数ε₁>0，存在上述等式(9)定义的模糊逻辑系统，使得如下不等式

当x∈Ω时成立；

取

则：

将模糊控制作为一个干扰观测器，求解式(5)中不确定非线性d(t)；即如下式：

步骤2.2、建立滑模观测器：

仅使用角度位置测量信息重建发射平台全部状态的滑模观测器，通过滑模观测器估计的状态信息实现闭环系统的输出反馈控制；

假设发射平台方位伺服系统状态x₂是不可测的，只有x₁可测；为了估计发射平台的状态，根据式(5)和式(11)，设计如下的滑模观测器：

其中

为外界干扰与其他估计误差和的估计，λ₁和λ₂均为滑模观测器的增益，且

等效输出注入项

和

是通过对信号

使用低通滤波器滤波后得到的，该观测器的设计将使对系统状态的估计在有限时间内一个接一个的收敛到真实值；

定理1：存在一组观测器增益λ₁、λ₂，使得式(5)以及式(12)能观测到状态x₁、x₂在有限时间内收敛到相应的状态值；

证明：定义观测器误差

其中x＝[x₁ x₂]^T是每一个通道的状态向量，其中

为观测到的状态向量，e＝[e₁ e₂]^T；则定义如下的观测器动态误差：

其中，

表示位置参数θ的自适应估计；

将其简化：

将式(14)带入式(13)可得：

其中

中间变量

对于观测器误差e₁选择如下的Lyapunov函数：

可得：

所以当λ₁≤-max|e₂|，则保证

因此观测器误差e₁将收敛至滑模面e₁＝0为了说明该收敛将在有限时间内发生，定义中间函数

且增益λ₁<-e₂-ε₂，其中正实数ε₂>0；有：

定义中间函数f(t,W₁)＝-ε₂，则有

中间函数

则g(0)＝W₁(e₁(0))，则有：

使用比较法则引理，推出W₁(t)≤g(t)，可得：

W₁(t)≤W₁(e₁(0))-ε₂t (20)

从该式中看出，由于W₁(t)＝|e₁(t)|，所以|e₁|将会在某个时刻T1等于0；因此，在T1时刻之后，状态e₁将会收敛到0；由于在滑模面上有

求解等效输出注入项

在T1时刻之后，有如下误差：

对于观测器误差e₂选择如下的Lyapunov函数：

可得：

所以当

则保证

因观测器误差e₂将收敛至滑模面e₂＝0；

步骤2.3、对于自适应控制，为了避免发射平台方位伺服系统不确定性参数的自适应过程有发散的危险，给参数自适应过程添加不连续映射，定义

表示估计误差，即

一个不连续映射定义如下

式中，i＝1、2、3、4、5；

设计如下自适应律：

式中，Γ为正定对角矩阵，τ为参数自适应函数；

由上式可知，不连续映射使得参数自适应过程是一个受控的过程，其意义在于使得估计的参数不超过预先给定的参数范围；对于任意的参数自适应函数τ，保证下式成立：

P1：

P2：

步骤2.4、设计自适应鲁棒控制器：

u＝u_a+u_s

其中，u_a是模型的前馈补偿项，u_s为反馈项，u_s反馈项可以分为线性反馈项u_s1和非线性鲁棒反馈项u_s2，k₂为正反馈增益。

5.根据权利要求4所述的发射平台的输出反馈自适应鲁棒控制方法，其特征在于，步骤2.4中设计自适应鲁棒控制器，具体如下：

步骤2.4.1、定义x_2eq作为x₂的虚拟控制输入，定义以下控制误差：

其中k₁为正反馈增益，z₁为位置跟踪误差，z₂为速度跟踪误差；由于z₁(s)＝G(s)z₂(s)，传递函数G(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，因此让z₁趋向于0等价于让z₂趋向于0；接下来的目的是让z₂趋向于0；根据式(5)，得

步骤2.4.2、对实际自适应鲁棒控制器u设计控制律以便让z₂趋向于0；根据式(29)，自适应鲁棒控制器u为：

u＝u_a+u_s

将式(30)带入式(29)得：

定义中间变量

则上式被改写成：

设计参数

的自适应律为：

上式中Γ₁为模型参数θ的自适应速律矩阵，Γ₂为可调参数β的自适应速律矩阵；

在式(30)中，设计

其中h_s为所有误差的上界，即：

且参量ε是一个正实数；具有以下特性：

。

6.根据权利要求4所述的发射平台的输出反馈自适应鲁棒控制方法，其特征在于，步骤3中，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，在滑模观测器误差存在的情况下得到有界稳定的结果，在滑模观测器误差不存在的情况下，在有限的时间之后运用Barbalat引理可得到系统的全局渐近稳定的结果，具体如下：

定理2：当滑模观测器误差

时，根据式(32)和式(33)所设计的控制器能够获得渐近跟踪的性能；

证明：建立如下的Lyapunov函数：

对上式进行求导可得：

由于模型参数θ和模糊逻辑系统的可调参数β都被认为是一个常量，所以具有以下性质：

将式(37)进行化简得到：

运用式(25)和式(33)可得：

由于k₂为一正的增益，故

恒小于零，也就是说是

恒成立的；根据李雅普诺夫稳定性定理可知，所设计的控制器能够获得渐进跟踪的性能；

定理3：根据式(30)、式(32)和式(35)所设计的控制器能够获得有界稳定的性能；

证明：建立如下的Lyapunov函数：

对上式进行求导可得：

由于k₂为一正的增益，根据李雅普诺夫稳定性定理可知，所设计的控制器能够获得有界稳定的性能。

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