CN104260107B - 一种实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法，包括以下步骤：采集直流电机位置指令信号y_d和考虑间隙影响的空间机械臂柔性关节动力学模型输出的位置信号y，设计滑模变结构控制器，获得滑模控制律；依据滑模控制律，采用微分几何反馈线性化方法获得线性解耦处理后柔性关节控制系统的控制输入；依据线性处理后柔性关节控制输入，针对考虑间隙影响的空间机械臂柔性关节动力学模型设计扰动观测器，获得补偿间隙非线性影响下柔性关节的控制输入，以保证控制系统的位置输出以所需精度跟踪期望的位置信号。本发明实施例提供的技术方案可以有效补偿间隙对系统位置精度的影响，实现高精度的跟踪控制，同时减少抖振现象。

Description

一种实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法

【技术领域】

本发明涉及自动化控制技术，尤其涉及一种实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法。

【背景技术】

行星齿轮传动关节由于承载能力大、可靠性高、寿命长等特点，被长寿命周期的大型空间机械臂所广泛应用。空间机械臂在太空运行过程中，间隙的存在会导致机械臂剧烈振动，使得机械臂工作精度降低，进而导致机械臂执行任务的失败。特别是在实际工程中，随着机械臂运行时间的推移，磨损使得间隙不断增大，将进一步导致机械臂的精度和工作性能的降低，直至不能满足使用要求而失效。故有必要对间隙非线性特性和关节齿隙补偿控制策略进行研究。

目前，针对间隙补偿的控制策略主要分为两类：一种是切换控制策略，由于间隙的存在会使得系统传动变得不连续，分为接触和间隙两种不同阶段，根据系统所处阶段采取相应控制策略实现相应控制目标，但是该方法计算量大，特别是当间隙接近于零时该方法几乎不可能实现。另一种方法是基于非线性补偿的线性反馈控制策略，主要通过线性反馈控制来设计外环控制器，并通过系统的频域分析或观测估计对间隙等非线性进行补偿，最后实现系统的期望输出。由于滑模控制在处理系统不确定参数方面的优势与良好的鲁棒特性，目前研究中普遍采用滑模控制方法对系统进行补偿，但其自身存在抖振问题。

【发明内容】

本发明的目的在于提供一种实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法，该方法通过设计扰动观测器对间隙的非线性影响进行补偿，进而设计滑模变结构控制器实现系统的鲁棒性控制。该控制方法采用滑模控制与扰动观测器相结合的手段，实现高精度的跟踪控制，并减少滑模控制造成的抖振现象。

为实现上述目的，本发明技术方案如下：

步骤101)依据所述空间机械臂柔性关节动力学模型，设计扰动观测器并进行稳定性分析，获得补偿间隙非线性影响后柔性关节控制系统输入；

步骤102)依据补偿后系统状态输入，采用微分几何反馈线性化方法获得线性解耦处理后柔性关节模型；

步骤103)根据线性解耦处理后柔性关节模型，设计滑模变结构控制器并进行稳定性分析，获得控制系统的位置输出。

上述方法中，步骤101)基于建立的空间机械臂柔性关节动力学方程，将间隙作为外部扰动量引入到模型中，同时计算柔性关节控制系统的传递函数G_p(s)以及预估名义传递函数G_n(s)，其中G_n(s)＝(1+Δ_p(s))G_p(s)，表示电机轴角速度，T_m表示电机驱动力矩，Δ_p(s)＝f(G_p(s))，f(x)表示将G_p(s)中控制变量引入随机偏差后表达式；根据柔性关节的传递函数G_p(s)设计扰动观测器，并对扰动观测器的稳定性进行分析，最后，基于设计的扰动观测器获得补偿间隙非线性影响下柔性关节的控制输入。

上述方法中，扰动观测器的设计主要是滤波器Q(s)的设计，且Q(s)＝(1+3τs)/(τs+1)³，τ表示响应周期；当系统满足T(s)＝Q(s)时计算δ＝||T(s)Δ_p(s)||_∞判断系统稳定性；若δ<1时柔性关节控制系统稳定，否则需要进一步调整低通滤波器Q(s)参数，直至满足要求；其中，Q(s)为低通滤波器，T(s)为互补灵敏度函数，且有：T(s)＝Q(s)G_p(s)/(G_n(s)+Q(s)(G_p(s)-G_n(s)))。

上述方法中，步骤102)中运用微分几何反馈线性化方法对柔性关节动力学方程进行精确解耦处理，具体步骤如下：

a)对系统输出函数y＝h(x)求偏导，计算系统的相对阶r；其中，若r≤n，则系统可控；否则系统不可控，不能用反馈线性化方法进行如下处理；

b)找到一组坐标变换为局部微分同胚，将柔性关节控制系统动力学方程转化为局部正则型，并判断解耦矩阵E(x)奇异性，若非奇异则坐标变换成立；

取坐标变换z为：

$z=\left[\begin{array}{c}h\\ L_{f}h\\ L_f^{2}h\\ L_f^{3}h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\\ \frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{x}_1-\frac{K_s}{J_L}{x}_3-\frac{C_L}{J_L}{x}_4\\ -\frac{C_L{K}_s}{{\mathrm{NJ}}_L^2}{x}_1+\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{x}_2+\frac{C_L{K}_s}{J_L^2}{x}_3+(\frac{C_L^2}{J_L^2}-\frac{K_s}{J_L})x_4\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T表示柔性关节控制系统状态变量，K_s表示扭转弹簧刚度系数，N表示减速比，J_L表示负载惯量，C_L表示关节阻尼系数；

根据上述坐标变换，获得线性解耦处理后柔性关节动力学方程：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{z}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]z+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]v\\ y=z_1=x_3\end{array}---\left(2\right)$

其中，z＝[z₁,z₂,z₃,z₄]^T表示系统方程线性化后新的状态变量；

c)选择系统控制律带入局部正则型内，完成系统的反馈线性化；

定义反馈变换：

$u=\mathrm{\&alpha;}\left(x\right)+\mathrm{\&beta;}\left(x\right)v=\frac{1}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)}\&lsqb;v-L_f^{4}h\left(x\right)\&rsqb;---\left(3\right)$

其中， $\mathrm{\&alpha;}\left(x\right)=-\frac{L_f^{4}h\left(x\right)}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)},\mathrm{\&beta;}\left(x\right)=\frac{1}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)},$

$L_f^{4}h\left(x\right)=-\frac{C_L{K}_s}{{\mathrm{NJ}}_L^2}{x}_2+\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2+\frac{C_L{K}_s}{J_L^2}{x}_4+(\frac{C_L^2}{J_L^2}-\frac{K_s}{J_L}){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4;$

则柔性关节控制输入 $u=\frac{1}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)}\&lsqb;v-L_f^{4}h\left(x\right)\&rsqb;=\frac{{\mathrm{NJ}}_L{J}_m}{K_s}\&lsqb;v-L_f^{4}h\left(x\right)\&rsqb;;$

其中，K_s表示扭转弹簧刚度系数，N表示减速比，J_L表示负载惯量，J_m表示电机惯量，L_g、L_f分别代表对函数h(x)求f的偏导以及g的偏导。

上述方法中，依据间隙特性以及关节动力学方程，考虑间隙影响的空间机械臂柔性关节动力学模型的数学表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_m{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m+C_m{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m=T_m-T_g\\ J_L{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_L+C_L{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_L=T_s-T_L\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，表示关节输出轴角速度，表示关节输出轴角加速度，表示电机轴角速度，表示电机轴角加速度，J_L表示负载惯量，J_m表示电机惯量，C_m表示电机阻尼系数，C_L表示关节阻尼系数，T_m表示电机驱动力矩，T_L表示负载力矩，T_g、T_s分别表示系统驱动和从动部分的传输力矩，其中齿轮间隙的非线性特性通过系统驱动和从动部分的传输力矩T_g、T_s和相对位移θ描述；

选定柔性关节的状态变量以及控制输出，将柔性关节动力学模型的表达

式转化为状态空间形式，获得空间机械臂柔性关节动力学方程：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ -\frac{K_s}{N^2{J}_m}{x}_1-\frac{C_m}{J_m}{x}_2+\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_m}{x}_3\\ x_4\\ \frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{x}_1-\frac{K_s}{J_L}{x}_2+\frac{C_L}{J_L}{x}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{J_m}\\ 0\\ 0\end{array}\right]u\\ y=h\left(x\right)=x_3\end{array}---\left(5\right)$

其中，状态变量u＝T_m，控制目标为柔性关节输出轴位置θ_L。

上述方法中，步骤103)设计滑模变结构控制器的具体步骤如下：

设计滑模控制律如下式所示：

$s=e^{\left(3\right)}+m_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+m_1\stackrel{\&CenterDot;}{e}+m_{0}e---\left(6\right)$

其中，给定期望输出轨迹z_d＝y_d，则系统输出跟踪轨迹误差为e＝y-y_d，分别表示误差的三阶导数、二阶导数和一阶导数，m_i>0,i＝0,1,2表示滑模控制律参数，选择切换函数s＝s(x,t)满足：μ,Ω表示控制方法需要调节的参数；

其中， $\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}s=1,& s>0\\ \mathrm{sgn}s=0,& s=0\\ \mathrm{sgn}s=-1,& s<0\end{array}\right.;$

根据上述定义可得获得新的控制律：

$v=y_d^{\left(4\right)}-m_2{e}^{\left(3\right)}-m_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}-m_0\stackrel{\&CenterDot;}{e}-\mathrm{\&mu;}(s+\mathrm{\&Omega;}\mathrm{sgn}s);$

其中，e表示系统输出跟踪轨迹误差，分别表示误差的一阶、二阶、三阶导数项，m₀,m₁,m₂,μ,Ω表示控制方法需要调节的参数。

上述方法中，对滑模控制律稳定性以及参数m_i的设计与调节进行具体分析；由于满足滑模存在条件；根据柔性关节控制系统达到滑模面时误差方程满足条件：计算方程λ³+m₂λ²+m₁λ+m₀＝0根的符号，其中λ代表方程的特征根，判断系统的稳定性；若选取的系数m₀,m₁,m₂使得等式的根全部位于左半平面，则系统稳定，否则需要重新选取m_i的值；通过选择合适的m₀,m₁,m₂,μ,Ω最终使得误差在滑模面上一定时间内趋于0。

由以上技术方案可以看出，本发明具有以下有益效果：

一方面，本发明使用扰动观测器对系统进行观测，有效的补偿了被作为外部干扰及不确定性因素引入系统的间隙非线性影响，同时降低了滑模控制中的抖振现象；另一方面，滑模变结构控制器可以抵消扰动观测器的扰动观测误差，从而满足系统跟踪性能的要求。

【附图说明】

为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图。

图1本发明实施例所提供的空间机械臂柔性关节齿隙补偿方法流程图

图2本发明实施例所提供的空间机械臂柔性关节模型

图3本发明实施例所提供的扰动观测器结构示意图

图4本发明实施例所提供的空间机械臂柔性关节齿隙补偿的控制系统结构图

图5本发明实施例控制输入信号仿真示意图

图6本发明实施例未引入控制策略位置跟踪仿真示意图

图7本发明实施例引入本发明控制策略位置跟踪仿真示意图

【具体实施方式】

为了更好的理解本发明的技术方案，下面结合附图对本发明实施例进行详细描述。

应当明确，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。

空间机械臂柔性关节在建模过程中主要考虑关节齿轮传动间隙，由于间隙的存在，可逆运转的传动机构会产生回差，这样传动机构的输入轴与输出轴之间就不是线性关系，而是一种具有迟滞特性的非线性关系，故当传动机构进行换向时，输入与输出具有一定的延迟，故齿隙非线性是影响柔性关节动态特性和稳态精度的一个重要因素。

一般来说，提高机械臂柔性关节高精度控制性能的最直接方法是提高各个零部件的加工精度以及装配精度，并通过合理设计传动系统，改善润滑等方法来减少关节间摩擦、间隙等线性因素，但这种靠纯机械结构来提升机械臂性能的方法往往比较昂贵，甚至不可能实现，本发明从电机动力学对控制性能的影响角度出发，建立一种通过控制策略的设计改善考虑齿隙影响的高精度控制系统。

本发明实施例给出一种实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法，请参考图1，其为本发明实施例所提供的空间机械臂柔性关节齿隙补偿方法流程图，该方法包括以下步骤：

1、依据间隙特性以及关节动力学方程，获得考虑间隙影响的空间机械臂柔性关节动力学模型

本发明针对空间机械臂柔性关节控制系统，工作原理如图2所示。根据关节动力学方程，所述考虑间隙的空间机械臂柔性关节动力学模型可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_m{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m+C_m{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m=T_m-T_g\\ J_L{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_L+C_L{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_L=T_s-T_L\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：表示关节输出轴角速度，表示关节输出轴角加速度，表示电机轴角速度，表示电机轴角加速度，J_L表示负载惯量，J_m表示电机惯量，C_m表示电机阻尼系数，C_L表示关节阻尼系数，T_m表示电机驱动力矩，T_L表示负载力矩，T_g、T_s分别表示系统驱动和从动部分的传输力矩。

通过系统驱动和从动部分的传输力矩T_g、T_s和相对位移θ描述齿轮间隙的非线性特性影响(本发明采用间隙的死区模型)，具体数学描述为：

$T_s=\left\{\begin{array}{cc}{K}_s({\mathrm{\&theta;}}_a-{\mathrm{\&theta;}}_L-\mathrm{\&alpha;})& {\mathrm{\&theta;}}_a-{\mathrm{\&theta;}}_L>\mathrm{\&alpha;}\\ 0& \left|{\mathrm{\&theta;}}_a-{\mathrm{\&theta;}}_L\right|\&le;\mathrm{\&alpha;}\\ K_s({\mathrm{\&theta;}}_a-{\mathrm{\&theta;}}_L+\mathrm{\&alpha;})& {\mathrm{\&theta;}}_a-{\mathrm{\&theta;}}_L<-\mathrm{\&alpha;}\end{array}\right.,T_g=T_s/N,{\mathrm{\&theta;}}_a={\mathrm{\&theta;}}_m/N---\left(2\right)$

其中：K_s表示扭转弹簧刚度系数，N表示减速比，α表示传动间隙，θ_a表示减速器端位置，θ_L表示关节输出轴位置。

为便于关节控制器的设计，将关节间隙的影响归纳为扰动项，并结合式(1)-式(2)将系统的二阶动力学方程转化为如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_m{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m+C_m{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m+\frac{K_s}{N}(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_m}{N}-{\mathrm{\&theta;}}_L)=T_m\\ J_L{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_L+C_L{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_L+K_s{\mathrm{\&theta;}}_L=\frac{K_s}{N}{\mathrm{\&theta;}}_m-T_L\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，各个参数的含义与上述介绍的一致。

选定系统状态变量u＝τ_m，柔性关节控制系统的控制目标为柔性关节输出轴位置θ_L，将式(3)转化为如下状态空间形式：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ -\frac{K_s}{N^2{J}_m}{x}_1-\frac{C_m}{J_m}{x}_2+\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_m}{x}_3\\ x_4\\ \frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{x}_1-\frac{K_s}{J_L}{x}_2+\frac{C_L}{J_L}{x}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{J_m}\\ 0\\ 0\end{array}\right]u---\left(4\right)$

输出定义为：y＝h(x)＝x₃，即以关节位置为系统的输出量。并根据函数f(x),g(x),h(x)定义，将原系统在形式上简化为如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，x∈R⁴是状态变量。

2、依据所述空间机械臂柔性关节动力学模型，设计扰动观测器并进行稳定性分析，获得补偿间隙非线性影响后柔性关节控制系统输入

图3表示扰动观测器结构示意图，其中基于建立的空间机械臂柔性关节模型计算系统的传递函数G_p(s)为：

$G_p\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_m\left(s\right)}{T_m\left(s\right)}=\frac{N^2(J_L{s}^2+C_{L}s+K_s)}{K_s(J_{L}s+C_L)+N^2(J_{m}s+C_m)(J_L{s}^2+C_{L}s+K_s)}---\left(6\right)$

根据本系统的G_p(s)表达式，可以取名义传递函数G_n(s)＝(1+Δ_p(s))G_p(s)

其中， ${\mathrm{\&Delta;}}_p\left(s\right)=\frac{N^2({\mathrm{\&Delta;J}}_L{s}^2+{\mathrm{\&Delta;C}}_{L}s+{\mathrm{\&Delta;K}}_s)}{{\mathrm{\&Delta;K}}_s({\mathrm{\&Delta;J}}_{L}s+{\mathrm{\&Delta;C}}_L)+N^2({\mathrm{\&Delta;J}}_{m}s+{\mathrm{\&Delta;C}}_m)({\mathrm{\&Delta;J}}_L{s}^2+{\mathrm{\&Delta;C}}_{L}s+{\mathrm{\&Delta;K}}_s)}$

由图3可知，当假设低通滤波器Q(s)＝1，则控制器U(s)及输出Y(s)为：

$U\left(s\right)=\frac{G_n\left(s\right)}{G_p\left(s\right)}E\left(s\right)-D\left(s\right)---\left(7\right)$

Y(s)＝G_p(s)[U(s)+D(s)](8)

将式(7)代入式(8)中得：

Y(s)＝G_n(s)E(s)(9)

从上式可以看出，系统的干扰和参数变动都已被补偿了，然而在实际操作中1/G_n(s)是无法实现的，因此，假设Q(s)＝1是不能够实现的，需要在扰动观测器中使用低通滤波器Q(s)，这样1/G_n(s)才能实现。所以，扰动观测器主要是针对滤波器Q(s)进行设计，且Q(s)的选择必须能够使控制器内部稳定并降低控制器内部扰动。Q(s)扰动观测器的具体表达式为：

$Q\left(s\right)=\&lsqb;1+\underset{k=1}{\overset{N-r}{\&Sigma;}}{a}_k{\left(\mathrm{\&tau;}s\right)}^k\&rsqb;{\&lsqb;1+\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{a}_k{\left(\mathrm{\&tau;}s\right)}^k\&rsqb;}^{-1}---\left(10\right)$

其中，N代表Q(s)的阶数，r代表Q(s)的相对阶，ω_c＝1/τ是Q(s)的截止频率，参数a_k的具体数值参照二项式的系数。

设计扰动滤波器的同时还需要对其稳定性进行验证，定义内部回路的灵敏度函数S(s)以及互补灵敏度函数T(s)分别表示如下：

$\begin{array}{c}S\left(s\right)=\frac{G_n(1-Q(s\left)\right)}{G_n\left(s\right)+Q\left(s\right)\left(G_p\right(s)-G_n(s\left)\right)}\\ T\left(s\right)=\frac{Q\left(s\right)G_p\left(s\right)}{G_n\left(s\right)+Q\left(s\right)\left(G_p\right(s)-G_n(s\left)\right)}\end{array}---\left(11\right)$

其中，G_p(s)与G_n(s)分别代表系统的传递函数与名义传递函数。

当系统满足T(s)＝Q(s)时，计算δ＝||T(s)Δ_p(s)||_∞；若δ<1时则表征上述系统稳定，否则需要进一步调整低通滤波器Q(s)参数，直至满足要求为止。

3、依据补偿后系统状态输入，采用微分几何反馈线性化方法获得线性解耦处理后柔性关节模型

运用微分几何反馈线性化方法对柔性关节模型进行精确解耦处理的具体步骤如下：

a)对输出函数y＝h(x)求偏导，计算系统的相对阶r。其中，若r≤n，则系统可控；否则系统不可控，不能用反馈线性化方法进行如下处理；

为计算系统的相对阶，根据微分几何原理，对式(4)-式(5)作如下处理：

$\begin{array}{c}{L}_{g}h\left(x\right)=\frac{\&part;h}{\&part;x}g\left(x\right)=0\\ L_{f}h\left(x\right)=\frac{\&part;h}{\&part;x}f\left(x\right)=x_4\\ L_g{L}_{f}h\left(x\right)=0\\ L_f^{2}h\left(x\right)=\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{x}_1-\frac{K_s}{J_L}{x}_3-\frac{C_L}{J_L}{x}_4\\ L_g{L}_f^{2}h\left(x\right)=0\\ L_f^{3}h\left(x\right)=-\frac{C_L{K}_s}{{\mathrm{NJ}}_L^2}{x}_1+\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{x}_2+\frac{C_L{K}_s}{J_L^2}{x}_3+(\frac{C_L^2}{J_L^2}-\frac{K_s}{J_L})x_4\\ L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)=\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L{J}_m}\&NotEqual;0\end{array}---\left(12\right)$

由此可知，系统的相对阶r＝4≤n，故该系统是可以精确线性化的。

b)找到一组坐标变换为局部微分同胚，将原系统转化成局部正则型，然后判断解耦矩阵E(x)是否奇异，若非奇异则坐标变换成立；

取如下状态变换：

$z=\left[\begin{array}{c}h\\ L_{f}h\\ L_f^{2}h\\ L_f^{3}h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\\ \frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{x}_1-\frac{K_s}{J_L}{x}_3-\frac{C_L}{J_L}{x}_4\\ -\frac{C_L{K}_s}{{\mathrm{NJ}}_L^2}{x}_1+\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{x}_2+\frac{C_L{K}_s}{J_L^2}{x}_3+(\frac{C_L^2}{J_L^2}-\frac{K_s}{J_L})x_4\end{array}\right]---\left(13\right)$

其中，x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T表示状态变量，K_s表示扭转弹簧刚度系数，N表示减速比，J_L表示负载惯量，C_L表示关节阻尼系数。

根据上述坐标变换，将原系统转化成如下形式的线性系统：

$\stackrel{\&CenterDot;}{z}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]z+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]v---\left(14\right)$

输出y＝z₁＝x₃。

其中，z＝[z₁,z₂,z₃,z₄]^T表示系统方程线性化后新的状态变量.

c)选择系统控制律带入局部正则型内，完成系统的反馈线性化。

定义反馈变换：

$u=\mathrm{\&alpha;}\left(x\right)+\mathrm{\&beta;}\left(x\right)v=\frac{1}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)}\&lsqb;v-L_f^{4}h\left(x\right)\&rsqb;---\left(15\right)$

其中， $\mathrm{\&alpha;}\left(x\right)=-\frac{L_f^{4}h\left(x\right)}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)},\mathrm{\&beta;}\left(x\right)=\frac{1}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)},$

$L_f^{4}h\left(x\right)=-\frac{C_L{K}_s}{{\mathrm{NJ}}_L^2}{x}_2+\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2+\frac{C_L{K}_s}{J_L^2}{x}_4+(\frac{C_L^2}{J_L^2}-\frac{K_s}{J_L}){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4.$

故系统输入 $u=\frac{1}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)}\&lsqb;v-L_f^{4}h\left(x\right)\&rsqb;=\frac{{\mathrm{NJ}}_L{J}_m}{K_s}\&lsqb;v-L_f^{4}h\left(x\right)\&rsqb;.$ 其中，K_s表示扭转弹簧刚度系数，N表示减速比，J_L表示负载惯量，J_m表示电机惯量。

4、根据线性解耦处理后柔性关节模型，设计滑模变结构控制器并进行稳定性分析，获得控制系统的位置输出

基于上述线性化系统，为了使系统具有更好的鲁棒性和抗干扰性，在柔性关节的控制上，采用滑模控制方法，通过选择适当的参数，就可以保证控制系统的位置输出以所需精度跟踪期望的位置信号，从而实现高精度轨迹跟踪任务。滑模变结构控制器设计的具体步骤如下：

设计滑模控制律

a)给定期望输出轨迹z_d＝y_d，定义系统输出跟踪轨迹误差为e＝y-y_d，令分别表示期望输出轨迹的四阶导数、三阶导数、二阶导数和一阶导数，相应的分别表示误差的导数项。设计滑模控制律如下式所示：

$s=e^{\left(3\right)}+m_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+m_1\stackrel{\&CenterDot;}{e}+m_{0}e---\left(16\right)$

其中，m_i>0,i＝1,2,3；

选择切换函数s＝s(x,t)满足：

其中， $\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}s=1,& s>0\\ \mathrm{sgn}s=0,& s=0\\ \mathrm{sgn}s=-1,& s<0\end{array}\right.$

对式(16)进行求导得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=e^{\left(4\right)}+m_2{e}^{\left(3\right)}+m_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+m_0\stackrel{\&CenterDot;}{e}=-\mathrm{\&mu;}(s+\mathrm{\&Omega;}\mathrm{sgn}s)---\left(17\right)$

把代入式(17)，得：

$y^{\left(4\right)}=y_d^{\left(4\right)}-m_2{e}^{\left(3\right)}-m_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}-m_0\stackrel{\&CenterDot;}{e}-\mathrm{\&mu;}(s+\mathrm{\&Omega;}\mathrm{sgn}s)---\left(18\right)$

由式(14)可知，y⁽⁴⁾＝z₁ ⁽⁴⁾＝v

因此对于线性化系统，如式(14)所示，新的控制律可以写成：

$v=y_d^{\left(4\right)}-m_2{e}^{\left(3\right)}-m_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}-m_0\stackrel{\&CenterDot;}{e}-\mathrm{\&mu;}(s+\mathrm{\&Omega;}\mathrm{sgn}s)---\left(19\right)$

通过调整参数m₀,m₁,m₂,μ,Ω，可以实现输出信号y＝z₁对期望输出信号的理想跟踪。

b)滑模控制律稳定性分析及参数m_i的设计与调节。

基于上述控制律，根据系统达到滑模面时误差方程满足条件进行参数设计与调节。首先判断符号，若则说明滑模存在条件满足，否则，则不能使用该方法进行控制。由于则在μ>0,Ω>0时，满足：

$s\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{\&mu;}(s+\mathrm{\&Omega;}\mathrm{sgn}s)s=-\mathrm{\&mu;}(s^2+\mathrm{\&Omega;}|s\left|\right)<0$

因此，滑模存在条件满足。

基于上述控制律，当达到滑模面时，s＝0，此时误差方程满足：

$e^{\left(3\right)}+m_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+m_1\stackrel{\&CenterDot;}{e}+m_{0}e=0---\left(20\right)$

其中，根据霍尔维茨多项式要求，通过计算方程λ³+m₂λ²+m₁λ+m₀＝0根的符号，判断柔性关节控制系统的稳定性。若选取的系数m₀,m₁,m₂使得等式的根全部位于左半平面，则系统稳定，否则需要重新选取m_i的值。通过选择合适的m₀,m₁,m₂,μ,Ω最终可以使得误差在滑模面上一定时间内趋于0。基于上述参数设计，利用滑模变结构设计系统控制律，从而完成轨迹跟踪任务。

依据本发明实施例所提供的方法，对空间机械臂柔性关节系统的控制进行了仿真，控制系统示意图如图4所示，选择空间机械臂柔性关节的参数及控制策略参数如下：

J_L＝2.5Kg.m²,J_m＝0.32Kg.m²,K_s＝5500,C_m＝0.2,C_L＝0.1,N＝60；扰动观测器中低通滤波器设计为Q(s)＝(3τs+1)/(τs+1)³，其中τ＝0.5；滑模变结构中控制器参数分别为μ＝420,Ω＝1,m₀＝800,m₁＝600,m₂＝0.1；取期望信号z_d＝sin(t+15°)，仿真时间20s，间隙大小取2α＝0.01⁰。

实验结果如图5至图7所示：

图5为本发明实施例控制输入信号仿真示意图，用于验证本发明采用的控制方法的有效性；图6为本发明实施例未引入控制策略位置跟踪仿真示意图，图中虚线代表理想位置信号，实线代表跟踪位置信号，从图中可以看出间隙的非线性特性将对空间机械臂柔性关节的位置精度造成十分剧烈的影响，需要采取相应的补偿策略进行抑制；图7为本发明实施例引入本发明控制策略位置跟踪仿真示意图，图中实线代表理想位置信号，虚线代表跟踪位置信号，从图中可以看出实际轨迹快速的跟踪上理想轨迹，即由于间隙的非线性给空间机械臂柔性关节的位置精度造成的偏差得到补偿，改善了系统运行的动态性能，证明了本发明涉及的实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿方法的可行性与有效性。

Claims (7)

1.一种实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤101)依据所述空间机械臂柔性关节动力学模型，设计扰动观测器并进行稳定性分析，获得补偿间隙非线性影响后柔性关节控制系统输入；

步骤102)依据补偿后系统状态输入，采用微分几何反馈线性化方法获得线性解耦处理后柔性关节模型；

步骤103)根据线性解耦处理后柔性关节模型，设计滑模变结构控制器并进行稳定性分析，获得控制系统的位置输出。

2.根据权利要求1所述的实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法，其特征在于，步骤101)基于建立的空间机械臂柔性关节动力学方程，将间隙作为外部扰动量引入到模型中，同时计算柔性关节控制系统的传递函数G_p(s)以及预估名义传递函数G_n(s)，其中G_n(s)＝(1+△_p(s))G_p(s)，表示电机轴角速度，T_m表示电机驱动力矩，△_p(s)＝f(G_p(s))，f(x)表示将G_p(s)中控制变量引入随机偏差后表达式；根据柔性关节的传递函数G_p(s)设计扰动观测器，并对扰动观测器的稳定性进行分析，最后，基于设计的扰动观测器获得补偿间隙非线性影响下柔性关节的控制输入。

3.根据权利要求2所述的实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法，其特征在于，扰动观测器的设计主要是滤波器Q(s)的设计，且Q(s)＝(1+3τs)/(τs+1)³，τ表示响应周期；当系统满足T(s)＝Q(s)时计算δ＝||T(s)△_p(s)||_∞判断系统稳定性；若δ<1时柔性关节控制系统稳定，否则需要进一步调整低通滤波器Q(s)参数，直至满足要求；其中，Q(s)为低通滤波器，T(s)为互补灵敏度函数，且有：T(s)＝Q(s)G_p(s)/(G_n(s)+Q(s)(G_p(s)-G_n(s)))。

4.根据权利要求1所述的实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法，其特征在于，步骤102)中运用微分几何反馈线性化方法对柔性关节动力学方程进行精确解耦处理，具体步骤如下：

a)对系统输出函数y＝h(x)求偏导，计算系统的相对阶r；其中，若r≤n(n为系统阶数)，则系统可控；否则系统不可控，不能用反馈线性化方法进行如下处理；

b)找到一组坐标变换为局部微分同胚，将柔性关节控制系统动力学方程转化为局部正则型，并判断解耦矩阵E(x)奇异性，若非奇异则坐标变换成立；

取坐标变换z为：

$z=\left[\begin{array}{c}h\\ L_{f}h\\ L_f^{2}h\\ L_f^{3}h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\\ \frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{x}_1-\frac{K_s}{J_L}{x}_3-\frac{C_L}{J_L}{x}_4\\ -\frac{C_L{K}_s}{{\mathrm{NJ}}_L^2}{x}_1+\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{x}_2+\frac{C_L{K}_s}{J_L^2}{x}_3+(\frac{C_L^2}{J_L^2}-\frac{K_s}{J_L})x_4\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T表示柔性关节控制系统状态变量，K_s表示扭转弹簧刚度系数，N表示减速比，J_L表示负载惯量，C_L表示关节阻尼系数；

根据上述坐标变换，获得线性解耦处理后柔性关节动力学方程：

$\stackrel{\&CenterDot;}{z}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]z+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]v---\left(2\right)$

y＝z₁＝x₃

其中，z＝[z₁,z₂,z₃,z₄]^T表示系统方程线性化后新的状态变量；

c)选择系统控制律带入局部正则型内，完成系统的反馈线性化；

定义反馈变换：

$u=\mathrm{\&alpha;}\left(x\right)+\mathrm{\&beta;}\left(x\right)v=\frac{1}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)}\&lsqb;v-L_f^{4}h\left(x\right)\&rsqb;---\left(3\right)$

其中， $\mathrm{\&alpha;}\left(x\right)=-\frac{L_f^{4}h\left(x\right)}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)},\mathrm{\&beta;}\left(x\right)=\frac{1}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)},$

$L_f^{4}h\left(x\right)=-\frac{C_L{K}_s}{{\mathrm{NJ}}_L^2}{x}_2+\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2+\frac{C_L{K}_s}{J_L^2}{x}_4+(\frac{C_L^2}{J_L^2}-\frac{K_s}{J_L}){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4;$

则柔性关节控制输入 $u=\frac{1}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)}\&lsqb;v-L_f^{4}h\left(x\right)\&rsqb;=\frac{{\mathrm{NJ}}_L{J}_m}{K_s}\&lsqb;v-L_f^{4}h\left(x\right)\&rsqb;;$

其中，K_s表示扭转弹簧刚度系数，N表示减速比，J_L表示负载惯量，J_m表示电机惯量，L_g、L_f分别代表对函数h(x)求f的偏导以及g的偏导。

5.根据权利要求4所述的实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法，其特征在于，依据间隙特性以及关节动力学方程，考虑间隙影响的空间机械臂柔性关节动力学模型的数学表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_m{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m+C_m{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m=T_m-T_g\\ J_L{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_L+C_L{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_L=T_s-T_L\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，表示关节输出轴角速度，表示关节输出轴角加速度，表示电机轴角速度，表示电机轴角加速度，J_L表示负载惯量，J_m表示电机惯量，C_m表示电机阻尼系数，C_L表示关节阻尼系数，T_m表示电机驱动力矩，T_L表示负载力矩，T_g、T_s分别表示系统驱动和从动部分的传输力矩，其中齿轮间隙的非线性特性通过系统驱动和从动部分的传输力矩T_g、T_s和相对位移θ描述；

选定柔性关节的状态变量以及控制输出，将柔性关节动力学模型的表达式转化为状态空间形式，获得空间机械臂柔性关节动力学方程：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ -\frac{K_s}{N^2{J}_m}{x}_1-\frac{C_m}{J_m}{x}_2+\frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_m}{x}_3\\ x_4\\ \frac{K_s}{{\mathrm{NJ}}_L}{x}_1-\frac{K_s}{J_L}{x}_2+\frac{C_L}{J_L}{x}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{J_m}\\ 0\\ 0\end{array}\right]u---\left(5\right)$

y＝h(x)＝x₃

其中，状态变量 $x={\&lsqb;x_1,x_2,x_3,x_4\&rsqb;}^T={\&lsqb;{\mathrm{\&theta;}}_m,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m,{\mathrm{\&theta;}}_L,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_L\&rsqb;}^T,$ u＝T_m，控制目标为柔性关节输出轴位置θ_L。

6.根据权利要求1所述的实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法，其特征在于，步骤103)设计滑模变结构控制器的具体步骤如下：

设计滑模控制律如下式所示：

$s=e^{\left(3\right)}+m_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+m_1\stackrel{\&CenterDot;}{e}+m_{0}e---\left(6\right)$

其中，给定期望输出轨迹z_d＝y_d，则系统输出跟踪轨迹误差为e＝y-y_d，e⁽³⁾,分别表示误差的三阶导数、二阶导数和一阶导数，m_i>0,i＝0,1,2表示滑模控制律参数，选择切换函数s＝s(x,t)满足：μ,Ω表示控制方法需要调节的参数；

其中， $\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}s=1,& s>0\\ \mathrm{sgn}s=0,& s=0\\ \mathrm{sgn}s=-1,& s<0\end{array}\right.;$

根据上述定义可得获得新的控制律：

$v=y_d^{\left(4\right)}-m_2{e}^{\left(3\right)}-m_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}-m_0\stackrel{\&CenterDot;}{e}-\mathrm{\&mu;}(s+\mathrm{\&Omega;}\mathrm{sgn}s);$

其中，e表示系统输出跟踪轨迹误差，分别表示误差的一阶、二阶、三阶导数项，m₀,m₁,m₂,μ,Ω表示控制方法需要调节的参数。

7.根据权利要求6所述的实现空间机械臂柔性关节齿隙补偿的方法，其特征在于，对滑模控制律稳定性以及参数m_i的设计与调节进行具体分析；由于 $s\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{\&mu;}(s+\mathrm{\&Omega;}\mathrm{sgn}s)s=-\mathrm{\&mu;}(s^2+\mathrm{\&Omega;}|s\left|\right)<0,$ 满足滑模存在条件；根据柔性关节控制系统达到滑模面时误差方程满足条件：计算方程λ³+m₂λ²+m₁λ+m₀＝0根的符号，其中λ代表方程的特征根，判断系统的稳定性；若选取的系数m₀,m₁,m₂使得等式的根全部位于左半平面，则系统稳定，否则需要重新选取m_i的值；通过选择合适的m₀,m₁,m₂,μ,Ω最终使得误差在滑模面上一定时间内趋于0。