CN102594245B - 一种欠驱动双耦合电机的滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种欠驱动双耦合电机的滑模控制方法，它有六大步骤。步骤一：欠驱动双耦合电机系统分析与建模；步骤二：滑模控制律的设计；步骤三：滑模控制律稳定性分析；步骤四：参数c_i的设计与调节；步骤五：由仿真效果判断是否需要对参数进行调整；步骤六：设计结束。本发明可有效地实现该欠驱动系统的鲁棒控制，更广泛的扩大了控制方法的应用范围，并且在响应速度和控制精度方面都有很好的控制效果。

Description

一种欠驱动双耦合电机的滑模控制方法

(一)技术领域

本发明涉及一种欠驱动双耦合电机的滑模控制方法。它是针对欠驱动双耦合电机系统给出的一种滑模控制设计方法，属于自动控制技术领域。

(二)背景技术

双耦合电机控制系统是特殊机械手的一种结构形式，是典型的欠驱动系统。欠驱动系统是指系统的独立控制变量个数小于系统自由度个数的一类非线性系统，在节约能量、降低造价、减轻重量、增强系统灵活度等方面都较完全驱动系统优越。简单的说就是输入比要控制的量多的系统。欠驱动系统结构简单，便于进行整体的动力学分析和试验。同时由于系统的高度非线性、参数摄动、多目标控制要求及控制量受限等原因，欠驱动系统又足够复杂，便于研究和验证各种算法的有效性。当驱动器故障时，可能使完全驱动系统成为欠驱动系统，欠驱动控制算法可以起到容错控制的作用。从控制理论的角度看，欠驱动系统控制输入的限制是具有挑战性的控制问题，研究欠驱动机械系统的控制问题有助于非完整约束系统控制理论的发展。

近年来，滑模控制方法因其所具有的优良特性而受到越来越多的重视，该方法通过自行设计所需的滑模面和等效控制律，能快速响应输入的变换，而对参数变换和扰动不敏感，具有很好的鲁棒性，且物理制作简单。滑模控制逐渐引起了学者们的重视，其最大优点是滑动模态对加在系统上的干扰和系统的摄动具有完全的自适应性，而且系统状态一旦进入滑模运动，便快速地收敛到控制目标，为不确定性系统的鲁棒性设计提供了一种有效途径。本发明采用滑模控制方法，有效地实现了欠驱动双耦合电机系统的鲁棒控制。

(三)发明内容

1、发明目的：

本发明的目的是提供一种欠驱动双耦合电机的滑模控制方法，该方法设计欠驱动双耦合电机的滑模控制器，实现跟踪的高精度控制，并且达到快速稳定系统的设计要求，从而更有效地实现欠驱动系统的鲁棒控制。

2、技术方案

为了达到上述目的，本发明结合流程框图1中的步骤，具体介绍该设计方法的技术方案。

本发明一种欠驱动双耦合电机的滑模控制方法，该方法具体步骤如下：

步骤1：欠驱动双耦合电机系统分析与建模

本发明所针对的系统是欠驱动双耦合电机系统，工作原理如图2所示。系统的工作原理是：驱动器通过齿轮传递控制负载的转动角度。根据动力学方程，对欠驱动双耦合电机系统进行分析，便可得到其数学模型如下：

$J_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+c_{12}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+k({\mathrm{\θ}}_2-g_r^{-1}{\mathrm{\θ}}_1)=0$ (1)

$J_d{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+c_{11}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\mathrm{kg}}_r^{-1}(g_r^{-1}{\mathrm{\θ}}_1-{\mathrm{\θ}}_2)=T_d+d$

其中：θ₁为驱动器转动角度，θ₂为负载转动角度，J₁为负载转动惯量，J_d为驱动器转动惯量，

为齿轮齿数比，T_d为控制输入，c₁₁为驱动器阻尼，c₁₂为负载阻尼，

为扭转弹性常数，d为加在驱动器上的干扰，

系统的控制目标为负载转动角度θ₂，设跟踪的理想负载角度为θ_2d，定义跟踪误差为e＝θ₂-θ_2d。

令x₁＝θ₂，x₃＝θ₁，d＝0，u＝T_d，则式(1)可写为

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=-\frac{c_{12}}{J_1}{x}_2-\frac{k}{J_1}(x_1-g_r^{-1}{x}_3)$ (2)

${\stackrel{\·}{x}}_3=x_4$

${\stackrel{\·}{x}}_4=\frac{u}{J_d}-\frac{c_{11}}{J_d}{x}_4-\frac{{\mathrm{kg}}_r^{-1}}{J_d}(g_r^{-1}{x}_3-x_1)$

取 $f_1(x_1,x_2,x_3)=-\frac{c_{12}}{J_1}{x}_2-\frac{k}{J_1}(x_1-g_r^{-1}{x}_3),$ $f_2(x_1,x_3,x_4)=-\frac{c_{11}}{J_d}{x}_4-\frac{{\mathrm{kg}}_r^{-1}}{J_d}(g_r^{-1}{x}_3-x_1),$ 则

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=f_1(x_1,x_2,x_3)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=x_4---\left(3\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_4=f_2(x_1,x_3,x_4)+\frac{1}{J_d}u$

步骤2：滑模控制律的设计

根据欠驱动双耦合电机控制系统的模型信息，取滑模函数并令其导数

可得到等效控制部分u_eq，再通过

可得到切换控制部分u_sw，从而得出滑模控制律u＝u_eq+u_sw。

由步骤1可知，定义负载转动角度θ₂为x₁，定义跟踪的理想负载角度θ_2d为x_d，跟踪误差转化为e＝x₁-x_d，取误差方程为

e₁＝x₁-x_d

$e_2={\stackrel{\·}{e}}_1=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_d$

$e_3={\stackrel{\·\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·\·}{x}}_d=f_1(x_1,x_2,x_3)-{\stackrel{\·\·}{x}}_d---\left(4\right)$

$e_4={\stackrel{\·\·\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{f}}_1-{\stackrel{\·\·\·}{x}}_d=\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_1}{x}_2+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_2}{f}_1+\frac{{\∂f}_1}{\∂x_3}{x}_4-{\stackrel{\·\·\·}{x}}_d$

可知 $\left|\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}\right|=\frac{k}{J_1{g}_r}\≤{\mathrm{\β}}_3.$

取滑模函数为

s＝c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄    (5)

其中c_i＞0，i＝1，2，3。

令

则由式(3)、(4)和式(5)可得等效控制部分

$u_{\mathrm{eq}}=-{\left[\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}b\right]}^{-1}\{c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_1}{x}_2+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_2}{f}_1+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_1}{x}_2]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_2}{f}_1]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{\∂f_1}{{\∂x}_3}]x_4+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{f}_2-c_1{\stackrel{\·}{x}}_d-c_2{\stackrel{\·\·}{x}}_d-c_3{\stackrel{\·\·\·}{x}}_d-{\stackrel{\·\·\·\·}{x}}_d\}---\left(6\right)$

由

设计切换控制部分，可得

$u_{\mathrm{sw}}=-{\left[\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}b\right]}^{-1}[\mathrm{Msgn}\left(s\right)+\mathrm{\λs}]---\left(7\right)$

其中λ＞0，M的值由下面第3步的稳定性分析得到， $\mathrm{sgn}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ 0& s=0\\ -1& s<0\end{array}\right..$

控制律设计为等效控制和切换控制之和，即：

u＝u_eq+u_sw    (8)

步骤3：滑模控制律稳定性分析

取Lyapunov函数为

验证得出

证明该系统可以在有限时间内达到稳定。然后再分析带有误差变量的Lyapunov函数

验证

从而保证e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，

实现所需的跟踪效果。

由式(3)、(4)和式(5)可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{s}=c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1+c_2{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2+c_3{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_4\\ =c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2\right]\\ +\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1\right]+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}\right]x_4+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}(f_2+\mathrm{bu})-c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-c_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-c_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\end{array}---\left(9\right)$

将控制律式(8)代入上式，得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s}$

取ρ＞0，取Lyapunov函数为

则

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=s\stackrel{\&CenterDot;}{s}=s(-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\mathrm{sgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s})$

$=-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\left|s\right|-{\mathrm{\&lambda;s}}^2\&le;-\mathrm{\&rho;}\left|s\right|-{\mathrm{\&lambda;s}}^2\&le;0$

由式(5)可知，当s＝0时，有e₄＝-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃。取 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -c_1& {-c}_2& {-c}_3\end{array}\right],$ A为Hurwitz。取E₁＝[e₁ e₂ e₃]^T，则误差变量可写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1={\mathrm{AE}}_1---\left(10\right)$

取Q＝Q^T＞0，由于A为Hurwitz，则存在Lyapunov方程A^TP+PA＝-Q，其解为P＝P^T＞0。针对式(10)，取Lyapunov函数为

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1={\left({\mathrm{AE}}_1\right)}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P\left({\mathrm{AE}}_1\right)$

$=E_1^T{A}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^T{\mathrm{PAE}}_1=E_1^T(A^{T}P+\mathrm{PA})E_1$

$=-E_1^T{\mathrm{QE}}_1\&le;{-\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|E_1\left|\right|}_2^2\&le;0$

其中λ_min(Q)为正定阵Q的最小特征值。

由

可知：e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，

实现了跟踪效果。

步骤4：参数c_i的设计与调节

参数c_i的设计条件为：满足A为Hurwitz且 $\max \{{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2\}<{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{left}}(-A),$ 其中

λ_left(-A)表示-A的所有特征根中实部最小的特征根的实部。

为了满足A为Hurwitz，需要保证A的特征值实部为负，即 $|A-\mathrm{\&lambda;I}|=\left|\begin{array}{ccc}-\mathrm{\&lambda;}& 1& 0\\ 0& -\mathrm{\&lambda;}& 1\\ -c_1& {-c}_2& -c_3-\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right|={\mathrm{\&lambda;}}^2({-c}_3-\mathrm{\&lambda;})-c_1-c_2\mathrm{\&lambda;}=-{\mathrm{\&lambda;}}^3-c_3{\mathrm{\&lambda;}}^2-c_2\mathrm{\&lambda;}-c_1=0$ 的根实部为负。取特征值为三重根-3，由(λ+3)³＝0可得λ³+9λ²+27λ+27＝0，从而按λ³+c₃λ²+c₂λ+c₁＝0可取c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9。

为了验证是否满足 $\max \{{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2\}<{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{left}}(-A),$ 将c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9代入-A中，求得-A的三个特征值均为3，即λ_left(-A)＝3。取

β₁＝β₂＝0，则 $\max \{{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2\}=0.1<3,$ 满足条件。

步骤5：由仿真效果判断是否需要对参数进行调整

通过Matlab仿真后，若控制效果不能满足要求，返回步骤4继续调节参数，直到控制效果达到要求；若控制效果满足要求，则设计结束。

步骤6：设计结束

整个设计过程分为六大步骤。第一步确定了欠驱动双耦合电机控制系统的数学模型；第二步得到了系统的滑模控制律；第三步分析了滑模控制律是否稳定；第四步是对设计的控制律进行参数设置；第五步是针对仿真结果对参数进行调整。经过上述各步骤后，设计结束。

3、优点及功效

本发明的优点在于对加在系统上的干扰和系统的摄动具有完全的自适应性，而且系统状态一旦进入滑模运动，便快速地收敛到控制目标，为不确定性系统的鲁棒性设计提供了一种有效途径。因此，采用滑模控制方法，可有效地实现该欠驱动系统的鲁棒控制，更广泛的扩大了控制方法的应用范围，并且在响应速度和控制精度方面都有很好的控制效果。

(四)附图说明

图1本发明实施步骤流程框图

图2本发明中双耦合电机工作原理示意图

图3本发明闭环控制系统结构示意图

图4(a)本发明位置跟踪仿真示意图

图4(b)本发明速度跟踪仿真示意图

图5本发明控制输入仿真示意图

图中符号说明如下：

图2中，θ₁为驱动器转动角度，θ₂为负载转动角度，J₁为负载转动惯量，J_d为驱动器转动惯量，T₁为负载上的干扰，T_d为控制输入，c₁₁为驱动器阻尼，c₁₂为负载阻尼，r₁为负载的内齿半径，r_d为驱动器内齿半径，r_p1为中间齿轮外齿半径，r_p2中间齿轮内齿半径。

(五)具体实施方式

下面将结合附图和技术方案对本发明做进一步的详细说明。

见图1，本发明一种欠驱动双耦合电机的滑模控制方法，该方法具体步骤如下：

步骤1：欠驱动双耦合电机系统模型分析与构建

本发明所针对的系统是欠驱动双耦合电机系统，工作原理如图2所示。系统的工作原理是：驱动器通过齿轮传递控制负载的转动角度。根据动力学方程，对欠驱动双耦合电机系统进行分析，便可得到其数学模型如下：

$J_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2+c_{12}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2+k({\mathrm{\&theta;}}_2-g_r^{-1}{\mathrm{\&theta;}}_1)=0$ (1)

$J_d{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1+c_{11}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1+{\mathrm{kg}}_r^{-1}(g_r^{-1}{\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_2)=T_d+d$

其中：θ₁为驱动器转动角度，θ₂为负载转动角度，J₁为负载转动惯量，J_d为驱动器转动惯量，

为齿轮齿数比，T_d为控制输入，c₁₁为驱动器阻尼，c₁₂为负载阻尼，

为扭转弹性常数，d为加在驱动器上的干扰，

系统的控制目标为负载转动角度θ₂，设跟踪的理想负载角度为θ_2d，定义跟踪误差为e＝θ₂-θ_2d。

令x₁＝θ₂，x₃＝θ₁，d＝0，u＝T_d，则式(1)可写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-\frac{c_{12}}{J_1}{x}_2-\frac{k}{J_1}(x_1-g_r^{-1}{x}_3)$ (2)

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=\frac{u}{J_d}-\frac{c_{11}}{J_d}{x}_4-\frac{{\mathrm{kg}}_r^{-1}}{J_d}(g_r^{-1}{x}_3-x_1)$

取 $f_1(x_1,x_2,x_3)=-\frac{c_{12}}{J_1}{x}_2-\frac{k}{J_1}(x_1-g_r^{-1}{x}_3),$ $f_2(x_1,x_3,x_4)=-\frac{c_{11}}{J_d}{x}_4-\frac{{\mathrm{kg}}_r^{-1}}{J_d}(g_r^{-1}{x}_3-x_1),$ 则

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f_1(x_1,x_2,x_3)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4---\left(3\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=f_2(x_1,x_3,x_4)+\frac{1}{J_d}u$

步骤2：滑模控制律的设计

由步骤1可知，定义负载转动角度θ₂为x₁，定义跟踪的理想负载角度θ_2d为x_d，跟踪误差转化为e＝x₁-x_d，取误差方程为

e₁＝x₁-x_d

$e_2={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d$

$e_3={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d=f_1(x_1,x_2,x_3)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d---\left(4\right)$

$e_4={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d=\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1+\frac{{\&PartialD;f}_1}{\&PartialD;x_3}{x}_4-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d$

可知 $\left|\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}\right|=\frac{k}{J_1{g}_r}\&le;{\mathrm{\&beta;}}_3.$

取滑模函数为

s＝c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄    (5)

其中c_i＞0，i＝1，2，3。

令

则由式(3)、(4)和式(5)可得等效控制部分

$u_{\mathrm{eq}}=-{\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}b\right]}^{-1}\{c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{\&PartialD;f_1}{{\&PartialD;x}_3}]x_4+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}{f}_2-c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-c_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-c_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\}---\left(6\right)$

由

设计切换控制部分，可得

$u_{\mathrm{sw}}=-{\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}b\right]}^{-1}[\mathrm{Msgn}\left(s\right)+\mathrm{\&lambda;s}]---\left(7\right)$

其中A＞0，M的值由下面第3步的稳定性分析得到， $\mathrm{sgn}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ 0& s=0\\ -1& s<0\end{array}\right..$

控制律设计为等效控制和切换控制之和，即：

u＝u_eq+u_sw    (8)

步骤3：滑模控制律稳定性分析

由式(3)、(4)和式(5)可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{s}=c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1+c_2{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2+c_3{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_4\\ =c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2\right]\\ +\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1\right]+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}\right]x_4+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}(f_2+\mathrm{bu})-c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-c_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-c_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\end{array}---\left(9\right)$

将控制律式(8)代入上式，得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s}$

取

ρ＞0，取Lyapunov函数为

则

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=s\stackrel{\&CenterDot;}{s}=s(-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\mathrm{sgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s})$

$=-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\left|s\right|-{\mathrm{\&lambda;s}}^2\&le;-\mathrm{\&rho;}\left|s\right|-{\mathrm{\&lambda;s}}^2\&le;0$

由式(5)可知，当s＝0时，有e₄＝-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃。取 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -c_1& {-c}_2& {-c}_3\end{array}\right],$ A为Hurwitz。取E₁＝[e₁ e₂ e₃]^T，则误差变量可写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1={\mathrm{AE}}_1---\left(10\right)$

取Q＝Q^T＞0，由于A为Hurwitz，则存在Lyapunov方程A^TP+PA＝-Q，其解为P＝P^T＞0。针对式(10)，取Lyapunov函数为

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1={\left({\mathrm{AE}}_1\right)}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P\left({\mathrm{AE}}_1\right)$

$=E_1^T{A}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^T{\mathrm{PAE}}_1=E_1^T(A^{T}P+\mathrm{PA})E_1$

$=-E_1^T{\mathrm{QE}}_1\&le;{-\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|E_1\left|\right|}_2^2\&le;0$

其中λ_min(Q)为正定阵Q的最小特征值。

由

可知：e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，实现了跟踪效果。

步骤4：参数c_i的设计与调节

参数c_i的设计条件为：满足A为Hurwitz且 $\max \{{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2\}<{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{left}}(-A),$ 其中

λ_left(-A)表示-A的所有特征根中实部最小的特征根的实部。

为了满足A为Hurwitz，需要保证A的特征值实部为负，即 $|A-\mathrm{\&lambda;I}|=\left|\begin{array}{ccc}-\mathrm{\&lambda;}& 1& 0\\ 0& -\mathrm{\&lambda;}& 1\\ -c_1& {-c}_2& -c_3-\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right|={\mathrm{\&lambda;}}^2({-c}_3-\mathrm{\&lambda;})-c_1-c_2\mathrm{\&lambda;}=-{\mathrm{\&lambda;}}^3-c_3{\mathrm{\&lambda;}}^2-c_2\mathrm{\&lambda;}-c_1=0$ 的根实部为负。取特征值为三重根-3，由(λ+3)³＝0可得λ³+9λ²+27λ+27＝0，从而按λ³+c₃λ²+c₂λ+c₁＝0可取c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9。

为了验证是否满足 $\max \{{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2\}<{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{left}}(-A),$ 将c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9代入-A中，求得-A的三个特征值均为3，即λ_left(-A)＝3。取

β₁＝β₂＝0，则 $\max \{{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2\}=0.1<3,$ 满足条件。

步骤5：由仿真效果判断是否需要对参数进行调整

通过Matlab仿真查看控制的效果及响应速度。若控制效果不能满足要求，返回步骤4继续调节参数，直到控制效果达到要求。若控制效果满足要求，则设计结束。

控制系统示意图见图3。仿真结果如图4(a)、图4(b)和图5所示。可见，采用本方法可以实现对理想位置和速度的高精度跟踪。

步骤6：设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面的要求，首先是针对欠驱动双耦合电机控制系统设计了滑模控制律；其次将Lyapunov方程和闭环系统Lyapunov函数相结合，分析了滑模控制律的稳定性；最后，给出了保证闭环系统稳定的控制参数选取方法。

综上所述，对欠驱动双耦合电机控制系统而言，使用滑模控制算法能够实现其跟踪的高精度控制，并且达到快速稳定系统的设计要求。

Claims (1)

1.一种欠驱动双耦合电机的滑模控制方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤1：欠驱动双耦合电机系统分析与建模

欠驱动双耦合电机系统是驱动器通过齿轮传递控制负载的转动角度，根据动力学方程，对欠驱动双耦合电机系统进行分析，便得到其数学模型如下：

$\begin{array}{c}{J}_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2+c_{12}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2+k({\mathrm{\&theta;}}_2-g_r^{-1}{\mathrm{\&theta;}}_1)=0\\ J_d{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1+c_{11}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1+{\mathrm{kg}}_r^{-1}(g_r^{-1}{\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_2)=T_d+d\end{array}---\left(1\right)$

其中：θ₁为驱动器转动角度，θ₂为负载转动角度，J_l为负载转动惯量，J_d为驱动器转动惯量

为齿轮齿数比，T_d为控制输入，c₁₁为驱动器阻尼，c₁₂为负载阻尼，为扭转弹性常数，d为加在驱动器上的干扰，为负载的内齿半径，r_d为驱动器内齿半径，r_p1为中间齿轮外齿半径，r_p2中间齿轮内齿半径；

该系统的控制目标为负载转动角度θ₂，设跟踪的理想负载角度为θ_2d，定义跟踪误差为e=θ₂-θ_2d；

令x₁=θ₂，x₃=θ₁，d=0，u=T_d，则式（1）写为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-\frac{c_{12}}{J_1}{x}_2-\frac{k}{J_1}(x_1-g_r^{-1}{x}_3)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=\frac{u}{J_d}-\frac{c_{11}}{J_d}{x}_4-\frac{{\mathrm{kg}}_r^{-1}}{J_d}(g_r^{-1}{x}_3-x_1)\end{array}---\left(2\right)$

取 $f_1(x_1,x_2,x_3)=-\frac{c_{12}}{J_1}{x}_2-\frac{k}{J_1}(x_1-g_r^{-1}{x}_3),f_2(x_1,x_2,x_3)=-\frac{x_{11}}{J_d}{x}_4-\frac{{\mathrm{kg}}_r^{-1}}{J_d}(g_r^{-1}{x}_3-x_1),$ 则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f_1(x_1,x_2,x_3)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=f_2(x_1,x_2,x_2)+\frac{1}{J_d}u\end{array}---\left(3\right)$

步骤2：滑模控制律的设计

根据欠驱动双耦合电机控制系统的模型信息，取滑模函数并令其导数

得到等效控制部分u_eq，再通过

得到切换控制部分u_sw，从而得出滑模控制律u=u_eq+u_sw；

由步骤1知，定义负载转动角度θ₂为x₁，定义跟踪的理想负载角度θ_2d为x_d，跟踪误差转化为e=x₁-x_d，取误差方程为

$\begin{array}{c}{e}_1=x_1-x_d\\ e_2={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d\\ e_3={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d=f_1(x_1,x_2,x_3)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\\ e_4={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d=\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}{x}_4-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\end{array}---\left(4\right)$

有 $\left|\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}\right|=\frac{k}{J_1{g}_r}\&le;{\mathrm{\&beta;}}_3;$

取滑模函数为

s=c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄（5）

其中c_i>0，i=1,2,3；

令

则由式（3）、（4）和式（5）得等效控制部分

$u_{\mathrm{eq}}={-\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;f}_3}b\right]}^{-1}\{c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{x}_2]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}]x_4+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}{f}_2-c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-c_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-c_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\}---\left(6\right)$

由设计切换控制部分，得

$u_{\mathrm{sw}}=-{\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}b\right]}^{-1}[\mathrm{Msgn}\left(s\right)+\mathrm{\&lambda;s}]---\left(7\right)$

其中λ>0，M的值由下面步骤3的稳定性分析得到，

控制律设计为等效控制和切换控制之和，即：

u=u_eq+u_sw       （8）

步骤3：滑模控制律稳定性分析

取Lyapunov函数为

验证得出

证明该系统在有限时间内达到稳定；然后再分析带有误差变量的Lyapunov函数

验证

从而保证e₁→0，e₂→0，即

实现所需的跟踪效果；

由式（3）、（4）和式（5）得

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{s}=c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1+c_2{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2+c_3{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_4\\ =c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2\right]\\ +\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1\right]+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}\right]x_4+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}(f_2+\mathrm{bu})-c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-c_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-c_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\end{array}---\left(9\right)$

将控制律式（8）代入上式，得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s}$

取 $M={\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;},\mathrm{\&rho;}>0,$ 取Lyapunov函数为 $V=\frac{1}{2}{s}^2$ 则

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=s\stackrel{\&CenterDot;}{s}=s(-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\mathrm{sgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s})\\ =-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\left|s\right|-{\mathrm{\&lambda;s}}^2\&le;-\mathrm{\&rho;}\left|s\right|-{\mathrm{\&lambda;s}}^2\&le;0\end{array}$

由式（5）知，当s=0时，有e₄=-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃；取 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -c_1& -c_2& -c_3\end{array}\right],$ A为Hurwitz；取 $E_1={[e_1,e_2,e_3]}^T,$ 则误差变量写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1={\mathrm{AE}}_1---\left(10\right)$

取Q=Q^T>0，由于A为Hurwitz，则存在Lyapunov方程A^TP+PA=-Q，其解为P=P^T>0；针对式（10），取Lyapunov函数为

则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=\stackrel{\&CenterDot;}{E_1^T}{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1={\left({\mathrm{AE}}_1\right)}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P\left({\mathrm{AE}}_1\right)\\ =E_1^T{A}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^T{\mathrm{PAE}}_1=E_1^T(A^{T}P+\mathrm{PA})E_1\\ =-E_1^T{\mathrm{QE}}_1\&le;-{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|E_1\left|\right|}_2^2\&le;0\end{array}$

其中λ_min(Q)为正定阵Q的最小特征值；

由

知：e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，实现了跟踪效果；

步骤4：参数c_i的设计与调节

参数c_i的设计条件为：满足A为Hurwitz且 $\max \{{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2\}<{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{left}}(-A),$ 其中 ${\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,$ ${\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2>0,{\mathrm{\&beta;}}_1\&GreaterEqual;{\left|\right|\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}\left|\right|}_{\&infin;},{\mathrm{\&beta;}}_2\&GreaterEqual;{\left|\right|\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}\left|\right|}_{\&infin;},$ λ_left(-A)表示-A的所有特征根中实部最小的特征根的实部；

为了满足A为Hurwitz，需要保证A的特征值实部为负，即 $|A-\mathrm{\&lambda;I}|=|\left|\begin{array}{ccc}-\mathrm{\&lambda;}& 1& 0\\ 0& -\mathrm{\&lambda;}& 1\\ -c_1& -c_2& -c_3-\mathrm{\&lambda;}\end{array}|\right|={\mathrm{\&lambda;}}^2(-c_3-\mathrm{\&lambda;})-c_1-c_2\mathrm{\&lambda;}=-{\mathrm{\&lambda;}}^3-c_3{\mathrm{\&lambda;}}^2-c_2\mathrm{\&lambda;}-c_1=0$ 的根实部为负；取特征值为三重根-3，由(λ+3)³＝0得λ³+9λ²+27λ+27=0从而按λ³+c₃λ²+c₂λ+c₁=0取c₁=27，c₂=27，c₃=9；

为了验证是否满足

将c₁=27，c₂=27，c₃=9代入-A中，求得-A的三个特征值均为3，即λ_left(-A)=3；取

β₁=β₂=0，则 $\max \{{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2\}=0.1<3,$ 满足条件；

步骤5：由仿真效果判断是否需要对参数进行调整

通过Matlab仿真后，若控制效果不能满足要求，返回步骤4继续调节参数，直到控制效果达到要求；若控制效果满足要求，则设计结束；

步骤6：设计结束

整个设计过程分为六大步骤；第一步确定了欠驱动双耦合电机控制系统的数学模型；第二步得到了系统的滑模控制律；第三步分析了滑模控制律是否稳定；第四步是对设计的控制律进行参数设置；第五步是针对仿真结果对参数进行调整；经过上述各步骤后，设计结束。

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