CN102566420B - 一种垂直起降飞行器的滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

一种垂直起降飞行器的滑模控制方法，它有五大步骤：步骤一：垂直起降飞行器系统分析及建模；步骤二：垂直起降飞行器模型坐标变换；步骤三：垂直起降飞行器滑模控制设计；步骤四：跟踪性能检验与参数调节；步骤五：设计结束。本发明针对垂直起降飞行器系统，给出一种滑模控制方法，用于控制垂直起降飞行器的位置和角度。与现有技术相比，该方法在设计控制器过程中十分简便，通过调节设计参数，能够简单、灵活地控制系统功角和快速精确地跟踪预定轨迹。它在飞行控制技术领域里具有较好的实用价值和广阔的应用前景。

Description

一种垂直起降飞行器的滑模控制方法

(一)技术领域

本发明涉及一种垂直起降飞行器的滑模控制方法，它是针对欠驱动的垂直起降飞行器，给出一种滑模控制设计方法，用于垂直起降飞行器的姿态控制，属于飞行控制技术领域。

(二)背景技术

垂直起降空间飞行器是能够垂直起飞、垂直着陆的具有三个自由度，两个控制输入的欠驱动系统。在过去的数年里，由于垂直起降飞行器空间飞行器的在未来战争中的重要性，其控制研究在国内外受到的人们的极大重视。

近年来，滑模控制方法因其所具有的优良特性而受到越来越多的重视，该方法通过自行设计所需的滑模面和等效控制律，能快速响应输入的变换，而对参数变换和扰动不敏感，具有很好的鲁棒性，且物理制作简单。滑模控制逐渐引起了学者们的重视，其最大优点是滑动模态对加在系统上的干扰和系统的摄动具有完全的自适应性，而且系统状态一旦进入滑模运动，便快速地收敛到控制目标，为不确定性系统的鲁棒性设计提供了一种有效途径。

本专利申请设计了一种滑模控制方法，使得系统能够在全局范围内指数收敛，并具有很好的抗干扰能力。

(三)发明内容

发明目的

本发明一种垂直器将飞行器的滑模控制方法，其目的是：针对垂直起降飞行器系统，克服现有控制技术的不足，给出一种滑模控制方法，实现对垂直起降飞行器位置和角度的控制。

本发明给出一种垂直起降飞行器的滑模控制方法，其设计思想是：针对垂直起降飞行器系统，首先进行坐标变换，使它易于滑模控制器设计和稳定性能分析；之后对变换后的模型进行滑模控制器设计，得到新模型的控制输入，实现对垂直起降飞行器的姿态控制。

技术方案

下面具体介绍该设计方法的技术方案。

本发明给出一种垂直起降飞行器的滑模控制方法，垂直起降飞行器闭环控制系统示意图如图1。其方法步骤如下：

步骤一：垂直起降飞行器系统分析及建模

垂直起降飞行器系统采用负反馈的控制结构，输出量为飞行器位置。

垂直起降飞行器系统模型描述如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}=-u_1\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\ϵu}}_2\cos \mathrm{\θ}\\ \stackrel{\·\·}{y}=u_1*\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\ϵu}}_2\sin \mathrm{\θ}-g\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=u_2\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：x表示垂直起降飞行器的x坐标；

y表示垂直起降飞行器y坐标；

θ表示垂直起降飞行器转角；

u₁表示垂直起降飞行器推力；

u₂表示横滚力矩；

步骤二：垂直起降飞行器模型坐标变换

由于垂直起降飞行器模型属于欠驱动耦合系统，为了控制器设计的方便，对之进行适当的坐标变换。

令

$\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ {\mathrm{\ϵu}}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_1\\ {\mathrm{\ω}}_2\end{array}\right)---\left(2\right)$

式中ω₁，ω₂是新的控制输入。

令

x_c＝x-εsinθ，y_c＝y+εcosθ

${\mathrm{\ω}}_1=(v_1-{\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2)\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\ϵv}}_2\cos \mathrm{\θ}$

${\mathrm{\ω}}_2=-(v_1-{\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2)\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\ϵv}}_2\sin \mathrm{\θ}$

将上式代入式(2)，得

${\stackrel{\·\·}{x}}_c=v_1\sin \mathrm{\θ},$ ${\stackrel{\·\·}{y}}_c={-v}_1\cos \mathrm{\θ}-g,$ $\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=v_2---\left(3\right)$

再设x₁＝x_c，x₂＝y_c，x₃＝tanθ，v₁＝h₁secθ，则式(3)变换为

${\stackrel{\·\·}{x}}_1=x_3{h}_1,$ ${\stackrel{\·\·}{x}}_2={-h}_1-g,$ ${\stackrel{\·}{x}}_3=h_2---\left(4\right)$

其中h₁，h₂是新的控制输入。

令y＝(y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆)^T且y₁＝x₁， $y_2={\stackrel{\·}{x}}_1,$ y₃＝x₂， $y_4={\stackrel{\·}{x}}_2,$ y₅＝x₃， $y_6={\stackrel{\·}{x}}_3,$ 则式(4)变换为

${\stackrel{\·}{y}}_1=y_2,$ ${\stackrel{\·}{y}}_2=y_5{h}_1,$ ${\stackrel{\·}{y}}_3=y_4,$ ${\stackrel{\·}{y}}_4={-h}_1-g,$ ${\stackrel{\·}{y}}_5=y_6,$ ${\stackrel{\·}{y}}_6=h_2---\left(5\right)$

步骤三：垂直起降飞行器滑模控制设计

如图1所示，采用状态量的负反馈控制系统结构，控制器的输入信号是参考信号和飞行器的状态信号。根据垂直起降飞行器系统的模型信息，取滑模函数s并令其导数可得到等效控制部分u_eq，再通过可得到切换控制部分u_sw，从而得出滑模控制律u＝u_eq+u_sw。取李雅谱诺夫函数为验证得出证明该系统可以在有限时间内达到稳定。

同时，为了保证各个状态收敛，将部分状态误差转化为霍尔伍兹稳定的状态方程，通过Lyapunov方程进行收敛性分析。其具体实现过程如下：

第一步：设定预定轨迹x_d＝t，y_d＝sint，θ_d＝0。

第二步：令

$z_1=\left[\begin{array}{c}{y}_1+\∫y_4{y}_5\mathrm{dt}\\ \∫\∫y_3\mathrm{dtdt}\end{array}\right],$ $z_2=\left[\begin{array}{c}{y}_2+y_4{y}_5\\ \∫y_3\mathrm{dt}\end{array}\right],$ $z_3=\left[\begin{array}{c}{y}_3\\ y_5\end{array}\right],$ $z_4=\left[\begin{array}{c}{y}_4\\ y_6\end{array}\right]$

则式(5)变为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=f_1\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{\text{\·}}{z}}_4\text{=}{f}_2\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中

$f_1\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_2+y_4{y}_5\\ y_3\end{array}\right],$

$f_2\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}-g\\ 0\end{array}\right]$

$b=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],$ $u=\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right]$

定义z₁，z₂，z₃，z₄的指令为z_1d，z_2d，z_3d，z_4d，设误差信号为

e₁＝z₁-z_d

$e_2={\stackrel{\·}{e}}_1=z_2-{\stackrel{\·}{z}}_d$

$e_3={\stackrel{\·\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{z}}_2-{\stackrel{\·\·}{z}}_d=f_1(z_1,z_2,z_3)-{\stackrel{\·}{z}}_d$

$e_4={\stackrel{\·\·\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{f}}_1-{\stackrel{\·\·\·}{z}}_d=\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_1}{z}_2+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_2}{f}_1+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{z}_4-{\stackrel{\·\·\·}{z}}_d$

设滑模面为s＝c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄。

其中c_i＞0，i＝1，2，3。

第三步：在第二步的基础上，令可以求得等效控制项为

$u_{\mathrm{eq}}=-{\left(\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}b\right)}^{-1}(c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{f}_2-c_1{\stackrel{\·}{z}}_{1d}-c_2{\stackrel{\·}{z}}_{2d}-c_3\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{\stackrel{\·}{z}}_{3d}-\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{\stackrel{\·}{z}}_{4d})$

由可以求得切换控制项为

$u_{\mathrm{sw}}=-{\left(\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}b\right)}^{-1}(\mathrm{Msgn}\left(s\right)+\mathrm{\λs})$

则控制律为

u_h＝u_eq+u_sw    (7)

控制系统的稳定性分析如下：

将(4)代入可以求得

$\stackrel{\·}{s}=-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\λs}---\left(8\right)$

取李雅谱诺夫函数为则

$\stackrel{\·}{V}=s\stackrel{\·}{s}=s(-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\λs})$

$=-M\left|s\right|-{\mathrm{\λs}}^2\≤-M\left|s\right|-{\mathrm{\λs}}^2\≤0$

可知，当s＝0时，有e₄＝-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃。取 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ {-c}_1& {-c}_2& {-c}_3\end{array}\right],$ A为霍尔伍兹。取E₁＝[e₁ e₂ e₃]^T，则误差变量可写为

${\stackrel{\·}{E}}_1={\mathrm{AE}}_1---\left(9\right)$

取Q＝Q^T＞0，由于A为霍尔伍兹的，则存在李雅谱诺夫方程A^TP+PA＝-Q，其解为P＝P^T＞0。针对式(9)，取李雅谱诺夫函数为则

${\stackrel{\·}{V}}_1={\stackrel{\·}{E}}_1^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^T{P\stackrel{\·}{E}}_1={\left({\mathrm{AE}}_1\right)}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P\left({\mathrm{AE}}_1\right)$

$=E_1^T{A}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^T{\mathrm{PAE}}_1=E_1^T(A^{T}P+\mathrm{PA})E_1$

$=-E_1^T{\mathrm{QE}}_1\≤-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|E_1\left|\right|}_2^2\≤0$

其中λ_min(Q)为正定阵Q的最小特征值。

由可知：e₁→0，e₂→0，e₃→0，即z₁→z_1d，z₂→z_2d，z₃→z_3d，通过滑模稳定性，从而保证z₄→z_4d。从而有x →x_d，y→y_d，θ→θ_d，实现了跟踪效果。

步骤四：跟踪性能检验与参数调节

这一步将检验系统性能是否满足设计要求，并且适当调节控制参数，见附图4(a)、图4(b)所示。借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab 7.0进行。

为了满足A为Hurwitz，需要保证A的特征值实部为负，即 $|A-\mathrm{\λI}|=\left|\begin{array}{ccc}-\mathrm{\λ}& 1& 0\\ 0& -\mathrm{\λ}& 1\\ -c_1& {-c}_2& {-c}_3-\mathrm{\λ}\end{array}\right|={\mathrm{\λ}}^2({-c}_3-\mathrm{\λ})-c_1-c_2\mathrm{\λ}={-\mathrm{\λ}}^3-c_3{\mathrm{\λ}}^2-c_2\mathrm{\λ}-c_1=0$ 的根实部为负。

参数c₁、c₂、c₃、M、λ，为调节参数。若跟踪误差过大，不满足设计要求，则可以改变c₁、c₂、c₃的值。收敛速度可以通过调整M、λ值改变。通过调节以上参数来使控制算法满足要求。

步骤五：设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面的控制需求，分别为设计的简便性，闭环系统的稳定性，跟踪的快速精确性。围绕这三个方面，首先在上述第一步中确定了闭环控制系统的具体构成；第二步中重点给出了垂直起降飞行器的数学模型变换方法。第三步给出了垂直起降飞行器的滑模控制方法。第四步中主要介绍了用以提高跟踪性能的参数调节方法；经上述各步骤后，设计结束。

优点及功效

本发明针对垂直起降飞行器系统，给出一种滑模控制方法，用于控制垂直起降飞行器的位置和角度。具体优点包括两个方面：其一，与目前存在的处理方法相比，这种方法在设计控制器过程中十分简便。其二，通过调节设计参数，能够简单、灵活地控制系统功角和快速精确地跟踪预定轨迹。

(四)附图说明

图1：本发明闭环控制系统结构和组件连接关系示意图

图2：本发明垂直起降飞行器控制方法设计流程示意图

图3(a)：本发明实施方式中c₁＝86.1，c₂＝62.5，c₃＝13.3，

M＝1，λ＝0.4，ε＝10，g＝9.8时的垂直起降飞行器横向位置跟踪效果图

图3(b)：本发明实施方式中c₁＝86.1，c₂＝62.5，c₃＝13.3，

M＝1，λ＝0.4，ε＝10，g＝9.8时的垂直起降飞行器纵向位置跟踪效果图

图3(c)：本发明实施方式中c₁＝86.1，c₂＝62.5，c₃＝13.3，

M＝1，λ＝0.4，ε＝10，g＝9.8时的垂直起降飞行器转角跟踪效果图

图4(a)：本发明实施方式中c₁＝86.1，c₂＝62.5，c₃＝13.3，

M＝1，λ＝0.4，ε＝10，g＝9.8时的垂直起降飞行器推力输出图

图4(b)：本发明实施方式中c₁＝86.1，c₂＝62.5，c₃＝13.3，

M＝1，λ＝0.4，ε＝10，g＝9.8时的垂直起降飞行器转矩输出图

图5：垂直起降飞行器示意图。

图中的标号、符号和线条等说明如下：

图3-图4中的横坐标表示仿真时间，单位是秒；图3(a)表示垂直起降飞行器的横向位置，单位是米；图3(b)中纵坐标表示垂直起降飞行器的纵向位置，单位是米；图3(c)中纵坐标表示垂直起降飞行器的转角，单位是弧度；图4(a)中纵坐标表示推力控制量输入，单位是牛顿。

(五)具体实施方式

设计目标为垂直起降飞行器位置和角度的跟踪控制，其具体实施中，垂直起降飞行器滑模控制方法的仿真和检验都借助于Matlab7.0中的Simulink工具箱来实现。这里通过介绍一个具有一定代表性的实施方式，来进一步说明本发明技术方案中的相关设计以及设计参数的调节方法。图5是垂直起降飞行器示意图。

实施方式

见图2，本发明一种垂直起降飞行器的滑模控制方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：垂直起降飞行器系统模型分析

闭环控制系统采用负反馈的控制结构，输出量垂直起降飞行器的位置。所设计的闭环控制系统主要控制器环节和系统模型这两个部分，其结构布局情况见附图1所示。

垂直起降飞行器模型式(1)中，参数选取如下：ε＝10，g＝9.8。

步骤二：垂直起降飞行器模型变换

针对第一步中选取的垂直起降飞行器系统模型，由于垂直起降飞行器模型属于欠驱动耦合系统，为了控制器设计的方便，对之进行适当的坐标变换。

令

$\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ {\mathrm{\ϵu}}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_1\\ {\mathrm{\ω}}_2\end{array}\right)---\left(2\right)$

式中ω₁，ω₂是新的控制输入。

令

x_c＝x-εsinθ，y_c＝y+εcosθ

${\mathrm{\ω}}_1=(v_1-{\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2)\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\ϵv}}_2\cos \mathrm{\θ}$

${\mathrm{\ω}}_2=-(v_1-{\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2)\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\ϵv}}_2\sin \mathrm{\θ}$

将上式代入式(2)，得

${\stackrel{\·\·}{x}}_c=v_1\sin \mathrm{\θ},$ ${\stackrel{\·\·}{y}}_c={-v}_1\cos \mathrm{\θ}-g,$ $\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=v_2---\left(3\right)$

再设x₁＝x_c，x₂＝y_c，x₃＝tanθ，v₁＝h₁secθ，则式(3)变换为

${\stackrel{\·\·}{x}}_1=x_3{h}_1,$ ${\stackrel{\·\·}{x}}_2={-h}_1-g,$ ${\stackrel{\·}{x}}_3=h_2---\left(4\right)$

其中h₁，h₂是新的控制输入。

令y＝(y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆)^T且y₁＝x₁， $y_2={\stackrel{\·}{x}}_1,$ y₃＝x₂， $y_4={\stackrel{\·}{x}}_2,$ y₅＝x₃， $y_6={\stackrel{\·}{x}}_3,$ 则式(4)变换为

${\stackrel{\·}{y}}_1=y_2,$ ${\stackrel{\·}{y}}_2=y_5{h}_1,$ ${\stackrel{\·}{y}}_3=y_4,$ ${\stackrel{\·}{y}}_4={-h}_1-g,$ ${\stackrel{\·}{y}}_5=y_6,$ ${\stackrel{\·}{y}}_6=h_2---\left(5\right)$

步骤三：垂直器将飞行器滑模控制设计

如图1所示，采用垂直起降飞行器闭环控制系统示意图图1的结构。利用Matlab 7.0环境下的m语言编程实现主垂直起降飞行器滑模控制器的结构和功能。即控制器的输入信号是参考信号和状态信号输出。

第一步：设定预定轨迹x_d＝t，y_d＝sint，θ_d＝0。

第二步：令

$z_1=\left[\begin{array}{c}{y}_1+\∫y_4{y}_5\mathrm{dt}\\ \∫\∫y_3\mathrm{dtdt}\end{array}\right],$ $z_2=\left[\begin{array}{c}{y}_2+y_4{y}_5\\ \∫y_3\mathrm{dt}\end{array}\right],$ $z_3=\left[\begin{array}{c}{y}_3\\ y_5\end{array}\right],$ $z_4=\left[\begin{array}{c}{y}_4\\ y_6\end{array}\right]$

则式(5)变为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=f_1\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{\text{\·}}{z}}_4\text{=}{f}_2\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中

$f_1\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_2+y_4{y}_5\\ y_3\end{array}\right],$

$f_2\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}-g\\ 0\end{array}\right]$

$b=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],$ $u=\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right]$

定义z₁，z₂，z₃，z₄的指令为z_1d，z_2d，z_3d，z_4d，设误差信号为

e₁＝z₁-z_d

$e_2={\stackrel{\·}{e}}_1=z_2-{\stackrel{\·}{z}}_d$

$e_3={\stackrel{\·\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{z}}_2-{\stackrel{\·\·}{z}}_d=f_1(z_1,z_2,z_3)-{\stackrel{\·}{z}}_d$

$e_4={\stackrel{\·\·\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{f}}_1-{\stackrel{\·\·\·}{z}}_d=\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_1}{z}_2+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_2}{f}_1+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{z}_4-{\stackrel{\·\·\·}{z}}_d$

设滑模面为s＝c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄。

其中c_i＞0，i＝1，2，3。

第三步：在第二步的基础上，令可以求得等效控制项为

$u_{\mathrm{eq}}=-{\left(\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}b\right)}^{-1}(c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{f}_2-c_1{\stackrel{\·}{z}}_{1d}-c_2{\stackrel{\·}{z}}_{2d}-c_3\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{\stackrel{\·}{z}}_{3d}-\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{\stackrel{\·}{z}}_{4d})$

由可以求得切换控制项为

$u_{\mathrm{sw}}=-{\left(\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}b\right)}^{-1}(\mathrm{Msgn}\left(s\right)+\mathrm{\λs})$

则控制律为

u_h＝u_eq+u_sw    (7)

控制系统的稳定性分析如下：

将(4)代入可以求得

$\stackrel{\·}{s}=-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\λs}---\left(8\right)$

取李雅谱诺夫函数为则

$\stackrel{\·}{V}=s\stackrel{\·}{s}=s(-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\λs})$

$=-M\left|s\right|-{\mathrm{\λs}}^2\≤-M\left|s\right|-{\mathrm{\λs}}^2\≤0$

可知，当s＝0时，有e₄＝-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃。取 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ {-c}_1& {-c}_2& {-c}_3\end{array}\right],$ A为霍尔伍兹。取E₁＝[e₁ e₂ e₃]^T，则误差变量可写为

${\stackrel{\·}{E}}_1={\mathrm{AE}}_1---\left(9\right)$

取Q＝Q^T＞0，由于A为霍尔伍兹的，则存在李雅谱诺夫方程A^TP+PA＝-Q，其解为P＝P^T＞0。针对式(9)，取李雅谱诺夫函数为则

${\stackrel{\·}{V}}_1={\stackrel{\·}{E}}_1^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^T{P\stackrel{\·}{E}}_1={\left({\mathrm{AE}}_1\right)}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P\left({\mathrm{AE}}_1\right)$

$=E_1^T{A}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^T{\mathrm{PAE}}_1=E_1^T(A^{T}P+\mathrm{PA})E_1$

$=-E_1^T{\mathrm{QE}}_1\≤-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|E_1\left|\right|}_2^2\≤0$

其中λ_min(Q)为正定阵Q的最小特征值。

由可知：e₁→0，e₂→0，e₃→0，即z₁→z_1d，z₂→z_2d，z₃→z_3d，通过滑模稳定性，从而保证z₄→z_4d。从而有x →x_d，y→y_d，θ→θ_d，实现了跟踪效果。

步骤四：跟踪性能检验与参数调节

借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab7.0，检验系统跟踪性能是否满足设计要求。见附图4(a)、图4(b)所示。

为了满足A为Hurwitz，需要保证A的特征值实部为负，即 $|A-\mathrm{\λI}|=\left|\begin{array}{ccc}-\mathrm{\λ}& 1& 0\\ 0& -\mathrm{\λ}& 1\\ -c_1& {-c}_2& {-c}_3-\mathrm{\λ}\end{array}\right|={\mathrm{\λ}}^2({-c}_3-\mathrm{\λ})-c_1-c_2\mathrm{\λ}={-\mathrm{\λ}}^3-c_3{\mathrm{\λ}}^2-c_2\mathrm{\λ}-c_1=0$ 的根实部为负。

参数c₁、c₂、c₃、M、λ，为调节参数。若跟踪误差过大，不满足设计要求，则可以改变c₁、c₂、c₃的值。收敛速度可以通过调整M、λ值改变。在本专利的例子中，取c₁＝86.1，c₂＝62.5，c₃＝13.3，M＝1，λ＝0.4，ε＝10，g＝9.8。见图3(a)、图3(b)、图3(c)。

步骤五：设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面的控制需求，分别为设计的简便性，闭环系统的稳定性，跟踪的快速精确性。围绕这三个方面，首先在上述第一步中确定了闭环控制系统的具体构成；第二步中重点给出了垂直起降飞行器的模型变化方法。第三步给出了垂直起降飞行器的滑模控制方法。第四步中主要介绍了用以提高跟踪性能的参数调节方法；经上述各步骤后，设计结束。

Claims (1)

1.一种垂直起降飞行器的滑模控制方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：垂直起降飞行器系统分析及建模

垂直起降飞行器系统采用负反馈的控制结构，输出量为飞行器位置；

垂直起降飞行器系统模型描述如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{..}{x}=-u_1\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\ϵu}}_2\cos \mathrm{\θ}\\ \stackrel{..}{y}=u_1*\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\ϵu}}_2\sin \mathrm{\θ}-g\\ \stackrel{..}{\mathrm{\θ}}=u_2\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：x表示垂直起降飞行器的x坐标；

y表示垂直起降飞行器y坐标；

θ表示垂直起降飞行器转角；

u₁表示垂直起降飞行器推力；

u₂表示横滚力矩；

其中，ε=10,g=9.8；

步骤二：垂直起降飞行器模型坐标变换

由于垂直起降飞行器模型属于欠驱动耦合系统，为了控制器设计的方便，对之进行坐标变换；

令

$\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ {\mathrm{\ϵu}}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_1\\ {\mathrm{\ω}}_2\end{array}\right)---\left(2\right)$

式中ω₁，ω₂是新的控制输入；

令

x_c=x-εsinθ，y_c=y+εcosθ

${\mathrm{\ω}}_1=(v_1-\mathrm{\ϵ}{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}^2)\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\ϵv}}_2\cos \mathrm{\θ}$

${\mathrm{\ω}}_2=-(v_1-\mathrm{\ϵ}{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}^2)\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{\ϵ}{v}_2\sin \mathrm{\θ}$

将上式代入式（2），得

${\stackrel{..}{x}}_c=v_1\sin \mathrm{\θ},{\stackrel{..}{y}}_c=-v_1\cos \mathrm{\θ}-g,\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}=v_2---\left(3\right)$

再设x₁=x_c，x₂=y_c，x₃=tanθ，v₁=h₁secθ，则式（3）变换为

${\stackrel{..}{x}}_1=x_3{h}_1,{\stackrel{..}{x}}_2=-h_1-g,{\stackrel{.}{x}}_3=h_2---\left(4\right)$

其中h₁，h₂是新的控制输入；

令y=(y₁y₂y₃y₄y₅y₆)^T且y₁=x₁，y₃=x₂，y₅=x₃，则式（4）变换为

${\stackrel{.}{y}}_1=y_2,{\stackrel{.}{y}}_2=y_5{h}_1,{\stackrel{.}{y}}_3=y_4,{\stackrel{.}{y}}_4=-h_1-g,{\stackrel{.}{y}}_5=y_6,{\stackrel{.}{y}}_6=h_2---\left(5\right)$

步骤三：垂直起降飞行器滑模控制设计

采用状态量的负反馈控制系统结构，控制器的输入信号是参考信号和飞行器的状态信号根据垂直起降飞行器系统的模型信息，取滑模函数s并令其导数得到等效控制部分u_eq，再通过得到切换控制部分u_sw，从而得出滑模控制律u=u_eq+u_sw；取李雅谱诺夫函数为验证得出证明该系统在有限时间内达到稳定；

同时，为了保证各个状态收敛，将部分状态误差转化为霍尔伍兹稳定的状态方程，通过李雅谱诺夫方程进行收敛性分析；其具体实现过程如下：

第一步：设定预定轨迹x_d=t，y_d=sint，θ_d=0；

第二步：令

$z_1=\left[\begin{array}{c}{y}_1+{\∫y}_4{y}_5\mathrm{dt}\\ \∫\∫y_3\mathrm{dtdt}\end{array}\right],z_2=\left[\begin{array}{c}{y}_2+y_4{y}_5\\ \∫y_3\mathrm{dt}\end{array}\right],z_3=\left[\begin{array}{c}{y}_3\\ y_5\end{array}\right],z_4=\left[\begin{array}{c}{y}_4\\ y_6\end{array}\right]$

则式（5）变为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{.}{z}}_2=f_1\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)\\ {\stackrel{.}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{.}{z}}_4=f_2\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中

$f_1\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_2+y_4{y}_5\\ y_3\end{array}\right],$

$f_2\left(\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}-g\\ 0\end{array}\right]$

$b=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right]$

定义z₁，z₂，z₃，z₄的指令为z_1d，z_2d，z_3d，z_4d，设误差信号为

$\begin{array}{c}{e}_1=z_1-z_d\\ e_2={\stackrel{.}{e}}_1=z_2-{\stackrel{.}{z}}_d\\ e_3={\stackrel{..}{e}}_1={\stackrel{.}{z}}_2-{\stackrel{..}{z}}_d=f_1(z_1,z_2,z_3)-{\stackrel{.}{z}}_d\\ e_4={\stackrel{...}{e}}_1={\stackrel{.}{f}}_1-{\stackrel{...}{z}}_d=\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_1}{z}_2+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_2}{f}_1+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{z}_4-{\stackrel{...}{z}}_d\end{array}$

设滑模面为s=c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄，

其中c_i>0，i=1,2,3；

第三步：在第二步的基础上，令求得等效控制项为

$u_{\mathrm{eq}}=-{\left(\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}b\right)}^{-1}(c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{f}_2-c_1{\stackrel{.}{z}}_{1d}-c_2{\stackrel{.}{z}}_{2d}-c_3\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{\stackrel{.}{z}}_{3d}-\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{\stackrel{.}{z}}_{4d})$

由求得切换控制项为

$u_{\mathrm{sw}}=-{\left(\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}b\right)}^{-1}(\mathrm{Msgn}\left(s\right)+\mathrm{\λs})$

则控制律为

u_h=u_eq+u_sw  （7）

控制系统的稳定性分析如下：

将（4）代入求得

$\stackrel{.}{s}=-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\λs}---\left(8\right)$

取李雅谱诺夫函数为则

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{V}=s\stackrel{.}{s}=s(-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\λs})\\ =-M\left|s\right|-{\mathrm{\λs}}^2\≤-M\left|s\right|-{\mathrm{\λs}}^2\≤0\end{array}$

当s=0时，有e₄=-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃；取 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -c_1& -c_2& -c_3\end{array}\right],$ A为霍尔伍兹；取E₁=[e₁ e₂ e₃]^T，则误差变量写为

${\stackrel{\·}{E}}_1={\mathrm{AE}}_1---\left(9\right)$

取Q=Q^T>0，由于A为霍尔伍兹的，则存在李雅谱诺夫方程A^TP+PA=-Q，其解为P=P^T>0；针对式（9），取李雅谱诺夫函数为则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1={\stackrel{\·}{E}}_1^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P{\stackrel{\·}{E}}_1={\left({\mathrm{AE}}_1\right)}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P\left({\mathrm{AE}}_1\right)\\ =E_1^T{A}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^T{\mathrm{PAE}}_1=E_1^T(A^{T}P+\mathrm{PA})E_1\\ =-E_1^T{\mathrm{QE}}_1\≤-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|E_1\left|\right|}_2^2\≤0\end{array}$

其中λ_min(Q)为正定阵Q的最小特征值；

由知：e₁→0，e₂→0，e₃→0，即z₁→z_1d，z₂→z_2d，z₃→z_3d，通过滑模稳定性，从而保证z₄→z_4d，从而有x→x_d，y→y_d，θ→θ_d，实现了跟踪效果；其中，M=1,λ=0.4；

步骤四：跟踪性能检验与参数调节

这一步将检验系统性能是否满足设计要求，并且调节控制参数，借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab7.0进行；

为了满足A为霍尔伍兹，需要保证A的特征值实部为负，即 $|A-\mathrm{\λI}|=\left|\begin{array}{ccc}-\mathrm{\λ}& 1& 0\\ 0& -\mathrm{\λ}& 1\\ -c_1& -c_2& -c_3-\mathrm{\λ}\end{array}\right|={\mathrm{\λ}}^2({-c}_3-\mathrm{\λ})-c_1-c_2\mathrm{\λ}=-{\mathrm{\λ}}^3-c_3{\mathrm{\λ}}^2-c_2\mathrm{\λ}-c_1=0$ 的根实部为负；

参数c₁、c₂、c₃、M、λ，为调节参数，若跟踪误差过大，不满足设计要求，则改变c₁、c₂、c₃的值；收敛速度通过调整M、λ值改变；通过调节以上参数来使控制算法满足要求；

步骤五：设计结束

整个设计过程考虑了三个方面的控制需求，分别为设计的简便性，闭环系统的稳定性，跟踪的快速精确性；围绕这三个方面，首先在上述步骤一中确定了闭环控制系统的具体构成；步骤二中给出了垂直起降飞行器的数学模型变换方法；步骤三给出了垂直起降飞行器的滑模控制方法；步骤四中给出了用以提高跟踪性能的参数调节方法；经上述各步骤后，设计结束。