CN107264794B - 一种可拆卸混合式驱动垂直起降无人机的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种可拆卸混合式驱动垂直起降无人机的控制方法，属于飞行器结构设计领域。由于机身吊舱可拆卸，不同功能对应的机身吊舱的尺寸、重量不同，因此对整个控制系统对于机体的重量、转动惯量参数不确定的情况下的鲁棒性提出了较高要求。本发明的提供的控制方法，针对机身吊舱可拆卸更换的无人机，采用自适应滑模控制方案对速度进行控制，采用基于反推方法加前馈控制的鲁棒自适应控制策略对姿态角进行控制，以使得控制器对无人机结构参数、气动参数变化时具有较强的鲁棒性与自适应能力，实现无人机长航时、长航程的运行。

Description

一种可拆卸混合式驱动垂直起降无人机的控制方法

技术领域

本发明属于飞行器结构设计领域，涉及一种可拆卸混合式驱动垂直起降无人机的控制方法。

背景技术

垂直起降飞行器指的是能够以零速度进行起飞与着陆，具备定点悬停的能力，并能以固定翼飞机的方式水平巡航飞行的飞行器。飞行器的垂直起降技术的诞生背景来自于战争的需求。战场上要求飞行器在跑道被破坏的情况下仍然能进行起飞降落，因此催生了固定翼飞机的垂直起降技术。

与传统固定翼飞行器相比，垂直起降飞行器对跑道无依赖，且具有可悬停的优势。与传统直升机或者多旋翼飞行器相比，垂直起降飞行器具有巡航功能，巡航段具有固定翼高速、省能源的特点，并具有更大的航程。正因为具备这些优点，垂直起降飞行器尤其适用于需要悬停或对起降场地有特殊要求的场合。

目前常见的垂直起降无人机大致分为三类：一类是倾转式旋翼机，一类是尾座式无人机，还有一类是矢量推进式。其中倾转式旋翼机为了实现垂直模态到平飞模态的转换，需要倾转旋翼等动力机构，控制结构复杂；而尾座式无人机和矢量推进式无人机结构外形简单，但这样的代价是对控制系统提出了极高的要求，而且飞行安全性与可靠性不能保证。

发明内容

本发明针对现有垂直起降无人机控制结构复杂、控制系统要求高等问题，提供了一种可拆卸混合式驱动垂直起降无人机的设计方案，并且设计了过渡模态下的参数不确定的鲁棒控制律。

本发明针对机身吊舱可拆卸的无人机，提供了一种可拆卸混合式驱动垂直起降无人机的控制方法，用于控制无人机在垂直起降模式和平飞模式之间的转换。所述无人机的机身吊舱的尾部固定连接尾推电机，在主翼上通过横梁固定连接四个升力电机。所述控制方法包括：

(1)采用自适应滑模控制方案对速度进行控制；

设速度控制指令为V_d，控制误差e_V＝V-V_d，V表示无人机的实际速度；取控制律如下：

其中，P′＝Pcosα，P为尾推电机推力，α为攻角；k_V、δ_V为正数，表示增益系数；C_D为时变未知的阻力系数，是C_D的标称值；Q为动压，Q＝0.5ρV²，ρ表示空气密度；S表示机翼参考面积；为估计的无人机质量；μ为航迹倾角。

其中，通过自适应的方法估计组装不同机身吊舱的无人机的质量，如下：

其中，系数γ为正数，g为重力加速度。

(2)采用如下舵偏角δ_e控制律对航迹倾角的进行控制：

参数变量：

其中，参数c₁、c₂、c₃均为正数，q为俯仰角速率，c_A为机翼参考长度，为攻角产生的升力系数，的标称值为为零攻角升力系数，的标称值为C_Mα为攻角产生的俯仰力矩系数，C_Mα的标称值为为升降舵产生的俯仰力矩系数，的标称值为I_Z为俯仰转动惯量，I_Z的标称值为m的标称值为m₀，μ的标称值为μ₀；函数ε为一任意小的正数；|Δ₁|_max为Δ₁的最大值，|Δ₃|_max为Δ₃的最大值；L₁(t)为四个升力电机在t时刻的总拉力。

本发明的优点和积极效果在于：

(1)本发明使用的无人机结构简单，由于控制机构冗余，平飞过程中有尾推电机进行速度控制，因此相对于倾转旋翼机来说，过渡模态过程中机翼与机体之间无需相对转动，不需要相应控制部件。机身吊舱与机翼均可拆卸/组装，功能丰富。机翼与横梁、机翼与机身吊舱之间是通过可拆卸的连接方式。机身吊舱可以根据不同功能选择不同外形与负载，比如航拍功能下，吊舱可以选择为适合搭载相机的吊舱，并且吊舱下开孔；如运载功能下，吊舱体积可尽量做大，以满足运载要求。机翼与横梁之间可以拆卸，这样方便于携带，节省运输与储存的空间。

(2)无人机控制方法简单。在垂直起降状态下，机体质量主要分布在竖直方向，整机相当于X型四旋翼，具有良好的对称性，采用四个升力电机进行高度与姿态控制，控制简单。在水平飞行状态下，无人机则以普通固定翼方式飞行，飞行速度高，效率高，利用尾推电机进行速度控制，升降舵、方向舵进行姿态控制，控制方便。在过渡飞行状态下，机体不需要进行转动，整个控制策略为尾推电机进行航向速度控制，方向舵、升降舵进行姿态稳定，保持俯仰角/航迹倾角的稳定，与此同时，机翼升力逐渐增大，四个升力电机的拉力可逐渐减小为零。由于控制输入有8个，分别是4个电机转速和2个升降舵以及2个方向舵，使得整个无人机系统是一个冗余控制系统，因此控制操作简单，便于实现。

(3)由于机身吊舱可拆卸，不同功能对应的机身吊舱的尺寸、重量不同，这样会对整个控制系统对于机体的重量、转动惯量参数不确定的情况下的鲁棒性提出了较高要求。本发明的控制方法实现了控制器对无人机结构参数、气动参数变化时具有较强的鲁棒性与自适应能力，可实现无人机长航时、长航程的运行。水平飞行模式下利用主机翼提供巡航时所需升力，仅需要一个尾推电机进行动力控制，提高了飞行效率，实现了长航时、长航程飞行和垂直起降。

附图说明

图1是本发明的可拆卸混合式驱动垂直起降无人机(带机身吊舱)的布局示意图；

图2是本发明的可拆卸混合式驱动垂直起降无人机的平面示意图，其中，a为右视图，b为俯视图，c为后视图；

图3是本发明的垂直起降无人机的机体(不带机身吊舱)布局示意图；

图4是本发明的可拆卸混合式驱动垂直起降无人机的机体(不带机翼与机身吊舱)布局示意图；

图5是以航拍为例，展示本发明的可拆卸混合式驱动垂直起降无人机的机身吊舱示意图；

图6是本发明实施例中升力L₁(t)控制指令的示意图；

图7是本发明实施例中速度V_d(t)控制指令的示意图；

图8是本发明实施例中航迹倾角μ_d(t)控制指令的示意图；

图9是本发明实施例的模态转换过程中速度状态仿真示意图；

图10是本发明实施例的模态转换过程中俯仰姿态角仿真示意图；

图11是本发明实施例的模态转换过程中航迹倾角仿真示意图；

图12是本发明实施例的模态转换过程中攻角仿真示意图；

图13是本发明实施例的模态转换过程中无人机高度仿真示意图；

图14是本发明的混合式驱动垂直起降无人机的升力系数和攻角关系示意图；

图15是本发明的混合式驱动垂直起降无人机的阻力系数和攻角关系示意图；

图16是本发明的混合式驱动垂直起降无人机的俯仰力矩系数和攻角关系示意图；

图17是本发明的混合式驱动垂直起降无人机的升阻比和攻角关系示意图。

图中标号：

1-翼梢小翼 2-主翼 3-机身吊舱 4-尾推电机 5-升力电机 6-升降舵 7-方向舵8-横梁 9-镜头 10-相机电池 11-锂电池 12-飞控板 13-相机

具体实施方式

下面将结合附图和实施方案对本发明作进一步的详细说明。

本发明设计了一款可拆卸混合式驱动垂直起降无人机，混合式指的是动力推进部分包括两部分。其中，动力部分包括两部分，一部分是纵向四个电动机提供垂直起飞时的升力，另一部分是巡航段时的尾推电机。控制部分包括两部分，一部分是垂直起降段利用升力电机进行高度与姿态控制，另一部分是平飞段尾推电机进行速度控制，方向舵、升降舵进行姿态控制。可以看出，混合式驱动垂直起降无人机集成了旋翼无人机和固定翼无人机的优点。

综合当前垂直起降无人机来看，本发明提供的无人机设计难点有以下两点：

一是外形结构设计。机身吊舱可拆卸的外形结构设计能够扩展无人机的功能，满足不同条件下的需求，这种可拆卸的结构布局在现有的垂直起降无人机中是不具备的，因此这种可拆卸的外形结构具有较强的任务适应性。良好的气动布局设计能够使得无人机性能充分发挥出来，多冗余控制机构能为控制系统的设计带来方便。此外，为了携带方便性与存储的节省空间，本无人机还采用机翼可拆卸结构。

二是过渡模态的设计。垂直起降无人机的飞行模式包括三种，一种是垂直起降模式，一种是平飞模式，另一种是过渡模式。前两种模式可以借鉴现有的成熟的多旋翼与固定翼的控制设计，而过渡模态要求水平速度由零加速到巡航速度，同时保持姿态稳定，这就要求姿态控制与速度控制之间需要协调控制，实现满足要求的过渡过程。此外，由于机身吊舱可拆卸，不同功能对应的机身吊舱的尺寸、重量不同，这样会对整个控制系统对于机体的重量、转动惯量参数不确定的情况下的鲁棒性提出了较高要求，对控制律的设计提出了较高要求。

本发明提供的可拆卸混合式驱动垂直起降无人机，机体与机身吊舱之间可拆卸组装，机身吊舱可以根据不同功能选择不同外形与负载。如图1、图2和图3所示，为本发明实现的可拆卸混合式驱动垂直起降无人机的一种布局，包括翼梢小翼1，主翼2，机身吊舱3，尾推电机4，升力电机5，升降舵6和方向舵7。升力电机5指的是垂直起降阶段为无人机提供升力的电机，尾推电机4指的是平飞过程中为无人机提供水平推力的电机。

在机身吊舱3的尾部固定连接尾推电机4。主翼2固定连接有横梁8，且与横梁8之间为可拆卸组装。四个升力电机5与横梁8固定连接。主翼2通过横梁8固定连接四个升力电机5以及尾翼。四个升力电机5对称布置在机身吊舱3的左右两侧，一侧两个升力电机5，其中位于同一侧的两个升力电机5布置在主翼2的前后两侧，同一侧的升力电机5关于主翼2的中轴平面对称。在主翼2的两端固定连接有翼梢小翼1。无人机包含两个方向舵面7和两个升降舵面6。两个方向舵面7通过舵机固定于纵向尾翼，两个升降舵面6通过舵机固定于水平尾翼。其中，纵向尾翼与水平尾翼之间成π型连接，可以通过碳纤维3D制作成一体结构。

主翼2为机体的主机翼，带有一定的翼型，能够保证巡航过程中产生足够的升力。翼梢小翼1增加了机翼升力及向前推力，减小诱导阻力，提高气动效果，提高飞行性能。主翼2机翼为碳纤维结构，中空结构，内部布置有梁结构，其中自动驾驶仪、电池与电机之间的连线从机翼的空间穿过。主翼2也是可拆卸的，可以方便携带，如图4所示，为拆卸了主翼2的情形。

机身吊舱3为碳纤维结构，与机翼之间可拆卸，如图3所示，为从主翼2上拆卸下机身吊舱3的情形，可根据不同的功能设计不同的吊舱。如图5所示，是一个航拍功能的吊舱，在机身吊舱3内部还装有相机13、镜头9、相机电池10和锂电池11。机身吊舱3内还装有飞控板12、电机、电子调速器、自动驾驶仪、数据通信模块等飞控设备。

无人机上还安装有超声波传感器、摄像头、红外传感器、攻角传感器和速度传感器等。超声波传感器用于测量无人机与外界物体的距离，避免撞上其它物体。摄像头用于采集图像，通过图像识别软件，实现辨识物体的功能和降落过程中的导航与定位功能。红外传感器用来探测温度，解决具有一定温度的问题，可用来实现避免碰触动物或人体的功能。

无人机上，电机连接电子调速器，电子调速器与舵机的引线与自动驾驶仪连接。机载传感器与自动驾驶仪连接，自动驾驶仪与数据通信模块连接，电池为自动驾驶仪以及电机以及舵机供电。

四个升力电机5用于垂直起降段的姿态控制与高度控制；尾推电机4用于提供巡航段的动力，用于巡航段平飞时的进行速度控制。两个升降舵6和两个方向舵7均由舵机控制，升降舵与方向舵用于巡航段平飞时的姿态控制。

本发明可拆卸混合式驱动垂直起降无人机，其中垂直起降模式与平飞模式控制策略如下表1所示。

表1垂直起降无人机控制策略

表1中给出了无人机在垂直起降模式和平飞模式下，在各种状态下的控制方式。例如在垂直起降模式下，控制策略与四旋翼类似；而在巡航平飞过程中，速度控制与固定翼无人机类似，但是姿态控制可以由两种途径进行控制，除了气动舵面控制外，还可以靠四个升力电机的差动进行控制。

由于无人机的机身吊舱可拆卸、更换，这种形式的设计结构带来的最大的问题在于不同的机身吊舱会导致整个无人机的质量、气动参数以及转动惯量发生变化，这对于控制器的性能要求很高。准确地说，这种结构要求控制器能够针对无人机结构参数、气动参数变化时具有较强的鲁棒性与自适应能力。而本发明将充分考虑这些因素针对混合式驱动垂直起降无人机的模态转换过程设计鲁棒自适应控制器。

模态转换过程中，一般假设飞行器只进行纵向运动，横侧向不进行机动。

纵向运动方程如下所示：

其中，m为无人机的质量，V为无人机的速度，μ为航迹倾角，α为攻角，q为俯仰角速率，P为尾推电机推力，L为升力，X_D为阻力，g为重力加速度，M_Z为俯仰控制力拒，I_Z为俯仰转动惯量。

纵向运动方程，对于速度控制回路来说，是一个质心(位置环)动力学方程，对其影响最大的因素是无人机质量与阻力系数；而对于航迹角控制回路来说，是一个姿态动力学方程，根据牛顿定理以及工程经验，在刚体的转动运动中，平动惯量(质量)的影响相对于转动惯量的影响可以近似忽略，因此对姿态运动影响较大的是转动惯量、升力系数以及俯仰力矩系数。

考虑到速度控制回路为一阶系统，系统较为简单，而且一般要求对速度控制的平滑性较高，而且不同吊舱质量变化范围较大，因此可以采用自适应滑模控制方案。对于姿态控制回路来说，由于控制系统为三阶系统，较为复杂，采用参数自适应控制器将更为复杂，宜适合采用基于反推方法加前馈控制的鲁棒自适应控制策略。

下面说明速度控制回路。

公式(2)中的升力L＝L₁+L₂，L₁为四个升力电机总拉力，L₂为机翼产生的升力。L₁(t)为四个升力力电机在t时刻的总拉力，初值L₁(t₀)＝mg，表明在初始时刻t₀处于悬停状态，μ(t₀)＝α(t₀)＝q(t₀)＝0，即初始时刻的航迹倾角、攻角和俯仰角速率都为0。在模态转换的时候，速度不断增大，机翼产生的升力L₂不断增大，此时可以在有限时间内将L₁(t)减小至零。值得注意的是，在此阶段时间中，速度一直会增大至巡航速度V_巡航。为了使控制指令平滑，采用以下设定控制指令如下：

μ_d(t)＝0(5)

其中，T_μ1、T_μ2和t_V分别是人为选定的固定时间点，t_V表示选定的速度切换时间，T_μ1为一固定时间，表示该时刻之前L₁(t)大小为mg，T_μ2也为一固定时刻，在此时刻前后，L₁(t)大小变化如(3)表示。V_d(t)为在t时刻的速度控制指令，μ_d(t)为在t时刻的航迹倾角控制指令。

将公式(1)改写为如下形式：

其中，P′＝Pcosα，X_D＝0.5ρV²SC_D＝C_DQS，Q＝0.5ρV²为动压，ρ表示空气密度，S表示机翼参考面积，C_D为时变未知的阻力系数。设控制指令为V_d，控制误差e_V＝V-V_d，V为无人机的实际速度，则

取控制律为：

其中，是C_D的标称值。sign为符号函数，k_V、δ_V为正的增益系数，表示对质量m的估计值。δ_Vsign(e_V)为滑模项。

控制器通过自适应的方法估计安装不同机身吊舱时无人机的质量。取Lyapunov函数其中γ为一个正的系数。对其V_V沿着系统轨线(8)求导得：

取自适应律：

则有：

由于阻力系数残差一般来说是有界的，而动压Q也是有界的，参考面积S也是有界的，因此，选择则有

由Barbalat引理可得，lim_t→∞e_V＝0，并且速度控制回路的闭环系统所有信号有界。

本发明根据公式(8)所述的控制律，根据求取的P′，转换为尾推电机的推力P，实现对速度的控制。

对于姿态运动回路方程，对公式(2)所示方程组改写如下：

其中，机翼产生的升力ρ为空气密度，Q＝0.5ρV²为动压，S为机翼参考面积，为攻角产生的升力系数，为零攻角升力系数；

俯仰控制力拒c_A为机翼参考长度，δ_e为升降舵的控制舵偏角，C_Mα为攻角产生的俯仰力矩系数，为升降舵产生的俯仰力矩系数。

由于期望飞行状态为平飞加速，则有

记m的标称值为m₀，其中m∈[m₁,m₂]，m₁和m₂为两个正常数，的标称值为的标称值为C_Mα的标称值为的标称值为I_Z的标称值为将公式(14)化为标称形式：

其中，各中间参数所代表的公式如下，

由于控制目的在于控制航迹角μ＝0，则采用反步策略。下面首先介绍一个技术性引理。

引理：给定任意一个小的正数ε＞0，对于任何以下不等式成立，

记

首先取其中|Δ₁|_max为Δ₁的最大值，参数c₁为正数。定义z₂/b₁＝α-α_d，则有：

取第一个Lyapunov函数：V_μ＝0.5μ²，求导得：

然后，有：

取定义b₁z₃＝q-q_d，则有：

参数c₂为正数。

取第二个Lyapunov函数：求导得：

对z₃求导得：

取控制律：

参数c₃为正数。|Δ₃|_max为Δ₃的最大值。

取第三个Lyapunov函数：求导得：

取整个闭环姿态运动回路的Lyapunov函数为V₂＝V_μ+V_q+V_e，求导得：

因此，整个姿态控制回路的系统控制误差最终一致有界，且最终由：由于ε任意小，则控制结果满足要求。

本发明基于反推方法加前馈控制的鲁棒自适应控制方案对姿态角进行控制。反推控制体现在公式(25)之后的设计方法体系。前馈控制如虚拟控制指令q_d中项，其余类似。鲁棒自适应指的虚拟控制指令q_d中的σ(z₂)一项，称为鲁棒自适应项。本发明根据公式(30)所示的控制律来对姿态角进行控制。

本发明的无人机在整个飞行阶段的控制策略是：垂直起飞，达到预定高度后进行定点悬停，通过尾推电机加速，使得前向速度增大至巡航速度，升力电机减速至零，此过程中，保持高度不变，即保持航迹倾角为零，实现平飞巡航。在降落的时候，无人机尾推电机减速，升力电机加速至抵消重力，此过程中阻力会使得前向速度减弱至零，四个升力电机调节转速并且保持姿态的稳定，使得无人机降落。

本发明实施例中，取质量、转动惯量、气动系数拉偏10％。根据控制目的的分析，取如下的控制指令：

μ_d(t)＝0 (35)

其中，

对应的控制指令示意图如图6～8所示，模态转换过程中的状态变化如图9～13所示。通过仿真图可以看出，在0到20s内，由于L₁的存在，航迹倾角几乎为0，速度按照设定好的指令进行加速，因此可实现定高水平加速。在20s到40s内，由于L₁逐渐减小到0，由于此时速度已经达到30m/s的巡航速度，气动力足够大，此时航迹倾角控制器作用逐渐明显，此时攻角逐渐增大以增加升力满足定高飞行，航迹倾角控制效果符合要求，在此过程中，高度损失约为0.2m，几乎不变。在40s以后，飞机实现巡航飞行。

可以看出，本方法设计的控制器首先能够实现由定高悬停状态(V(t₀)＝μ(t₀)＝α(t₀)＝q(t₀)＝0)到巡航定高平飞状态(V(t_F)＝V_巡航，μ(t_F)＝0，其他状态随动)的模态转换过程，另一方面对参数的不确定性具有较强的自适应性与鲁棒性。

对本发明的混合式驱动垂直起降无人机进行气动数据仿真，计算状态：海平面，飞行速度30m/s。半模计算，攻角-2°～16°。

气动参数CFD计算结果如图14～图17所示。其中，Alpha表示攻角，Cl表示升力系数，Cd表示阻力系数系数，mz表示俯仰力矩系数，K表示升阻比。

通过计算得到升降舵舵效纵向静稳定，纵向操稳比约等于1。

本发明的垂直起降无人机，一方面不需要机场跑道，部署方便，可以部署于平原、山地等地形，甚至是汽车、舰艇等移动平台；另一方面，无人机能够进行巡航飞行，飞行效率相对于旋翼无人机大大提高，而控制方面由于控制机构冗余，其控制难度相对于尾座式以及推力矢量式无人机来说将降低，而且飞行安全性与可靠性提高。此外，在结构方面，由于目前的垂直起降无人机采用机身固定结构，这样机载能力以及无人机功能都是有限的，本发明突破这个局限，采用可拆卸机身吊舱结构与可拆卸机翼结构，一方面能够实现对于不同载荷的要求，另一方面能够实现对于不同功能的要求，并且易于携带，节省运输与储存的空间。

Claims (5)

1.一种可拆卸混合式驱动垂直起降无人机的控制方法，在无人机的机身吊舱的尾部固定连接尾推电机，在主翼上通过横梁固定连接四个升力电机；其特征在于，所述的无人机的机身吊舱与机体之间可拆卸组装，所述控制方法包括：

(1)采用自适应滑模控制方案实现对速度的控制；

设速度控制指令为V_d，控制误差e_V＝V-V_d，V表示无人机的实际速度；取控制律如下：

其中，P′＝Pcosα，P为尾推电机推力，α为攻角；k_V、δ_V为正数，表示增益系数；C_D为时变未知的阻力系数，是C_D的标称值；Q为动压，Q＝0.5ρV²，ρ表示空气密度；S表示机翼参考面积；为估计的无人机质量；μ为航迹倾角；

其中，通过自适应的方法估计组装不同机身吊舱的无人机的质量，如下：

其中，系数γ为正数，g为重力加速度；

(2)采用如下舵偏角δ_e控制律对航迹倾角的进行控制：

参数变量：

其中，参数c₁、c₂、c₃均为正数，q为俯仰角速率，c_A为机翼参考长度，为攻角产生的升力系数，的标称值为为零攻角升力系数，的标称值为C_Mα为攻角产生的俯仰力矩系数，C_Mα的标称值为为升降舵产生的俯仰力矩系数，的标称值为I_Z为俯仰转动惯量，I_Z的标称值为m的标称值为m₀，μ的标称值为μ₀；函数ε为一任意小的正数；|Δ₁|_max为Δ₁的最大值，|Δ₃|_max为Δ₃的最大值；L₁(t)为四个升力电机在t时刻的总拉力。

2.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于，所述控制方法控制无人机在垂直起降模式和平飞模式之间的转换，在无人机垂直起飞时，当无人机达到预定高度后进行定点悬停，然后通过尾推电机加速，使得前向速度增大至巡航速度，升力电机减速至零，在该过程中，保持航迹倾角为零；在无人机降落时，无人机尾推电机减速，升力电机加速至抵消无人机的重力，在该过程中阻力使前向速度减弱至零，四个升力电机调节转速并且保持姿态的稳定，使得无人机降落。

3.根据权利要求1或2所述的控制方法，其特征在于，所述控制方法在垂直起降模式和平飞模式之间转换时，采用以下控制指令：

μ_d(t)＝0

其中，T_μ1、T_μ2和t_V分别是人为选定的固定时间点；V_d(t)为在t时刻的速度控制指令，μ_d(t)为在t时刻的航迹倾角控制指令。

4.根据权利要求1或2所述的控制方法，其特征在于，所述的无人机的主翼与横梁之间可拆卸组装。

5.根据权利要求1或2所述的控制方法，其特征在于，所述的控制方法对速度和航迹倾角控制的稳定性通过下面方法来验证；

(1)对速度控制具有稳定性，验证如下：

取Lyapunov函数其中系数γ为正数；

将和带入下式：

并且对V_V进行求导，得到：

由Barbalat引理得到：lim_t→∞e_V＝0，并且速度控制回路中所有信号有界，具有稳定性；

(2)对航迹倾角控制具有稳定性，验证如下：

取整个闭环姿态运动回路的Lyapunov函数

将控制律带入下面姿态控制回路方程，

并且对V₂进行求导，得到ε为一任意小的正数；

由上，姿态控制回路中控制误差最终一致有界，且由于ε任意小，则控制结果满足要求，对航迹倾角控制具有稳定性。