CN107765548A

CN107765548A - 基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法

Info

Publication number: CN107765548A
Application number: CN201710745711.5A
Authority: CN
Inventors: 胡健; 王元刚
Original assignee: Nanjing University of Science and Technology
Current assignee: Nanjing University of Science and Technology
Priority date: 2017-08-26
Filing date: 2017-08-26
Publication date: 2018-03-06
Anticipated expiration: 2037-08-26
Also published as: CN107765548B

Abstract

本发明公开了一种基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法，包括以下步骤：建立发射平台的数学模型；设计基于双观测器的发射平台运动控制器；对基于双观测器的发射平台运动控制器进行稳定性测试。本发明采用双观测器，第一个观测器用来逼近内部不可测量的摩擦状态，第二个观测器用来补偿外部扰动，同时设计自适应控制器以估计系统中不确定的参数和常值干扰，能够有效地解决系统的外部干扰和非线性摩擦等问题，提高发射平台的控制性能。

Description

基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法

技术领域

本发明涉及一种控制方法，具体涉及一种基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法。

背景技术

发射平台是一套典型的机电伺服系统，通常由传感器、执行机构、机械传动机构、负载和控制器组成。由于发射平台可以工作于各种地形情况下，因此被广泛应用于防空武器中。在发射平台工作过程中，外部扰动、摩擦非线性等不确定非线性因素总是存在于伺服系统中。受这些因素的影响，系统容易出现转速低频振荡，发出不规则电磁噪声，特别是在低速运行时，易出现极限环振荡，会导致系统控制性能的严重下降甚至失稳。

针对不可测量的状态、外部扰动和参数不确定性等，传统控制方式难以满足伺服系统的跟踪精度要求，因此需要研究高性能的控制方法。近年来，各种先进控制策略应用于电机伺服系统，如自适应控制器。其中基于非线性观测器的自适应鲁棒控制器虽然能够很好的处理摩擦问题，但是当外部扰动等不确定性非线性逐渐增大时，所设计的自适应控制器的保守性就会逐级暴露出来，越强的外部扰动会导致越差的跟踪性能，最终会带来系统的失稳。

因此，需要设计高效的控制器同时解决这些问题，从而实现发射平台高精度的运动控制。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法，有效地解决发射平台中存在的外部扰动、摩擦非线性等不确定非线性因素的影响，实现高精度的跟踪控制。

实现本发明目的的技术方案为：一种基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立发射平台的数学模型；

步骤2，设计基于双观测器的发射平台运动控制器；

步骤3，对基于双观测器的发射平台运动控制器进行稳定性测试。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)本发明同时考虑了外部扰动和非线性摩擦等不确定性的非线性因素，在精确建模的基础上创造性地采用两个神经网络观测器分别对不可测量的摩擦状态和外部扰动进行了观测，同时设计自适应控制器以估计系统中不确定的参数和常值干扰；(2)本发明全面提升发射平台的综合控制性能，包括系统运行的稳定性、对非线性摩擦、外部扰动的鲁棒性及跟踪精度。

附图说明

图1为本发明的发射平台高精度运动控制方法流程图。

图2是本发明的发射平台系统组成框图。

图3是基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法的原理示意图。

图4是本发明所采用的RBF神经网络的结构图。

图5是系统期望的跟踪信号示意图。

图6(a)、图6(b)是AC和DRBF两种控制器下的位置跟踪误差曲线图。

图7是神经网络观测器对不可测量的摩擦状态z的估计和实际曲线图。

图8是神经网络观测器对外部扰动f的估计和实际曲线图。

具体实施方式

结合图1、图2、图3，本发明的一种基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法，包括以下步骤：

步骤一、建立发射平台的数学模型。

本发明的发射平台由方位轴伺服子系统和俯仰轴伺服子系统两部分组成。由于方位轴伺服子系统和俯仰轴伺服子系统数学模型基本一致，因此这里以方位轴伺服子系统为对象进行数学建模。根据牛顿第二定律，发射平台的动力学模型方程为：

式中m表示等效转动惯量，y表示执行器的位置，u是系统控制输入，T_L是负载扭矩；代表其他未建模干扰，包括外部干扰以及未建模动态。

摩擦力矩F采用LuGre摩擦模型来表示：

其中，σ₀表示接触面间的鬃毛刚度系数，σ₁表示鬃毛阻尼系数，σ₂表示粘性摩擦系数。为相对角速度。z表示鬃毛的平均变形量，且平均变形动力学方程表示为：

非线性函数表示不同的摩擦效应，表达式如下：

其中F_c表示Coulomb摩擦力矩，F_s表示最大静摩擦力矩，表示Stribeck速度。

在实际应用中，由于受温度、润滑和材料磨损的影响，摩擦系数不是一成不变的。当模型中的参数发生变化时，摩擦力矩也会改变。通过观测摩擦各系数的变化未必精确，而且使得运算复杂化，为此引入摩擦系数λ来反应摩擦力矩的变化。本发明引入摩擦系数λ来反映动摩擦参数σ₀和σ₁的变化，因此修正后的摩擦力矩可以表示为：

把方程(3)(5)带入到方程(1)中，整理得：

定义状态变量则式(6)运动方程转换为状态方程：

其中θ＝[θ₁ θ₂ θ₃ θ₄]^T为系统的未知参数，且θ₁＝J,θ₂＝λ,θ₃＝λσ₁+σ₂,θ₄＝T_L。定义新的函数N(x₂)＝σ₀-σ₁α(x₂)|x₂|。为了便于控制器设计，我们假设参数不确定性θ和外部扰动大小范围已知。

步骤二、设计基于双观测器的发射平台度运动控制器，具体步骤如下：

步骤2-1、设计双观测器。

图4是本发明所采用的神经网络的结构图。本发明设计两个RBF神经网络观测器分别去估计不可测量的摩擦状态z和外部扰动f这两个不同的任务,如下：

z＝W₁ ^*Th₁(x)+ε_approx1 (8)

f＝W₂ ^*Th₂(x)+ε_approx2 (9)

式中，W₁ ^*,W₂ ^*分别为两个神经网络的理想权值，h₁(x),h₂(x)为两个网络的高斯基函数输出，ε_approx1,ε_approx2为两个神经网络的逼近误差。且满足：

ε_approx1≤ε_N1和ε_approx2≤ε_N2。

这里的两个网络输入都取X＝[x₁,x₂]^T，则网络输出为：

其中是z的估计，为f的估计，为W_i ^*的估计。

设计一个带有不连续映射类型的权值自适应律为：

其中：

式中Γ₁,Γ₂表示权值自适应正对角矩阵，τ₁,τ₂为权值自适应函数，i＝1,2。上述的投影映射具有以下特性：

定义是估计误差，我们可以得到：

其中是状态z的观测误差，是f的观测误差。

步骤2-2、设计自适应控制器，具体如下：

定义系统输入位置指令为x_1d，位置跟踪误差信号e₁＝x₁-x_1d。定义x_2eq为虚拟控制的期望值，速度跟踪误差为e₂＝x₂-x_2eq。则e₁的误差动力学方程为：

根据方程(19)，设计虚拟控制函数x_2eq为：

其中k₁是正的反馈增益。将(20)带入(19)中，我们可以得到误差动力学方程为：

从(21)中我们可以看到，我们需要让e₂收敛到零，从而使e₁收敛于零。由(7)，e₂的导数可以表示为：

则系统的控制量u可以设计为：

其中为θ的估计，U_a为模型前馈补偿项，U_s1为线性稳定反馈项以稳定系统的名义模型，k₂>0，U_s2为非线性鲁棒反馈项。

设计带有不连续映射的参数自适应律为：

其中，是参数自适应回归量。Γ₃是一个正的对角矩阵，它表示参数的自适应增益；τ₃为参数自适应函数；参数自适应所采用的不连续映射形式和权值自适应采用的形式相同，且具有和P1、P2相同的特性。

将方程(23)带入到(22)中，e₂的导数可以表示为：

为了处理双神经网络的逼近误差，非线性鲁棒反馈项U_s2的设计需要满足两个条件：

e₂·U_s2≤0 (27)

式中ε_s是一个正实数。

因此，非线性鲁棒反馈项U_s2可以设计为：

式中h_s是所有误差的上限，且是满足下列条件的任何光滑函数：

其中

步骤三，稳定性测试

A.若选择足够大的反馈增益k₁、k₂使得下面定义的矩阵是正定的

则对于任何的自适应函数τ₁τ₂，所提出的控制律(23)具有以下的特征：

闭环控制器中的所有信号都是有界的，并考虑了Lyapunov函数

是有界的通过

其中λ₁＝2σ_min(Λ₁)/θ_max，σ_min(Λ₁)是正定矩阵Λ₁的最小特征值。

B.如果一段有限时间后系统只存在参数不确定性，即一段有限的时间后ε_approx1＝ε_approx2＝0，除了在A的结果，还可以实现渐进输出跟踪，即e→0 as t→∞，其中e＝[e₁,e₂]^T。

稳定性分析：

A.对式(31)求导可得：

由(30)我们可以得到

从而导致方程(32)，因此V₁(t)是全局有界的，同样的e₁和e₂是有界的。根据假定和方程(19)-(21)，我们可以推断出x_2eq和状态x都是有界的。通过投影定律，参数估计和权值估计是有界的。因此根据(10)(11)，和是有界的。很明显控制输入信号u在(23)是有界的。

B.考虑以下的李雅普诺夫函数：

由上面V₁(t)的导数，我们可以得到

整理上式方程可得：

由(16)的性质，我们可以得到

因此Q∈L₂,V₂∈L_∞，可以很容易的得到且一致连续。由Barbalat引理可知Q→0as t→∞。

下面结合实施例和附图对本发明做进一步说明。

实施例

系统参数为：m＝0.125kgm²,T_L＝0.3Nm,d＝0.05x₁x₂。位置参考跟踪信号选择为x_1d＝sin(t)。

LuGre摩擦模型参数为：σ₀＝12Nm/rad,σ₁＝0.1Nms/rad,σ₂＝13.2Nms/rad,F_s＝8.45Nm,F_c＝3.24Nm。

为了验证控制算法的有效性，对以下两种控制器进行对比。

1)本发明基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法(DRBF)：

神经网络参数为：b_1i＝3,c_1i＝0.5[-2,-1,0,1,2]^T,b_2i＝1,c_2i＝0.5[-2,-1,0,1,2]^T。

控制器参数为：k₁＝160,k₂＝50,Γ₁＝diag{10,10,10,10,10},

Γ₂＝diag{0.02,0.02,0.02,0.02},Γ₃＝diag{0.005,0.0005,0.03,0.002}。

2)自适应控制器(AC)：传统的自适应控制器，为保证对比的公平性，其控制器参数的取值和DRBF控制器相同。

图5是系统期望的跟踪信号。图6(a)、图6(b)是AC和DRBF两种控制器的位置跟踪误差曲线图。从图中可以看出，DRBF控制器的性能明显优于AC控制器。图7是神经网络观测器对不可测量的摩擦状态的估计和实际曲线图。图8是神经网络观测器对外部扰动的估计和实际曲线图。可以看出，本发明所提出的双神经网络观测器能够很好的处理不可测量的摩擦状态和外部扰动。

Claims

1.一种基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立发射平台的数学模型；

步骤2，设计基于双观测器的发射平台运动控制器；

2.根据权利要求1所述的基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法，其特征在于，步骤1建立发射平台的数学模型，具体如下：

发射平台由方位轴伺服子系统和俯仰轴伺服子系统两部分组成，以方位轴伺服子系统为对象进行数学建模，根据牛顿第二定律，发射平台的动力学模型方程为：

<mrow> <mi>m</mi> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mi>F</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中m表示等效转动惯量，y表示执行器的位置，u是系统控制输入，T_L是负载扭矩；代表其他未建模干扰；

摩擦力矩F采用LuGre摩擦模型来表示：

<mrow> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，σ₀表示接触面间的鬃毛刚度系数，σ₁表示鬃毛阻尼系数，σ₂表示粘性摩擦系数；为相对角速度，z表示鬃毛的平均变形量，且平均变形动力学方程表示为：

<mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>&alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

非线性函数表示不同的摩擦效应，表达式如下：

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引入摩擦系数λ来反映动摩擦参数σ₀和σ₁的变化，因此修正后的摩擦力矩表示为：

<mrow> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mi>&lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

把方程(3)(5)带入到方程(1)中，整理得：

<mrow> <mi>J</mi> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mi>&lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>&alpha;</mi> <mo>(</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

定义状态变量则式(6)运动方程转换为状态方程：

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其中θ＝[θ₁ θ₂ θ₃ θ₄]^T为系统的未知参数，且θ₁＝J,θ₂＝λ,θ₃＝λσ₁+σ₂,θ₄＝T_L；。定义新的函数N(x₂)＝σ₀-σ₁α(x₂)|x₂|；假设参数不确定性θ和外部扰动大小范围已知。

3.根据权利要求2所述的基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法，其特征在于，步骤2具体如下：

步骤2-1、设计双观测器

设计两个RBF神经网络观测器分别去估计不可测量的摩擦状态z和外部扰动f这两个不同的任务，如下：

z＝W₁ ^*Th₁(x)+ε_approx1 (8)

f＝W₂ ^*Th₂(x)+ε_approx2 (9)

式中，W₁ ^*,W₂*分别为两个神经网络的理想权值，h₁(x),h₂(x)为两个网络的高斯基函数输出，ε_approx1,ε_approx2为两个神经网络的逼近误差，且满足：

ε_approx1≤ε_N1和ε_approx2≤ε_N2；

两个网络输入都取X＝[x₁,x₂]^T，则网络输出为：

其中是z的估计，为f的估计，为W_i ^*的估计；

设计一个带有不连续映射类型的权值自适应律为：

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其中：

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式中Γ₁,Γ₂表示权值自适应正对角矩阵，τ₁,τ₂为权值自适应函数，i＝1,2，上述的投影映射具有以下特性：

P1

P2

定义是估计误差，可以得到：

<mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>h</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>p</mi> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>o</mi> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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其中是状态z的观测误差，是f的观测误差；

步骤2-2、设计自适应控制器，具体如下：

定义系统输入位置指令为x_1d，位置跟踪误差信号e₁＝x₁-x_1d，定义x_2eq为虚拟控制的期望值，速度跟踪误差为e₂＝x₂-x_2eq，则e₁的误差动力学方程为：

<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据方程(19)，设计虚拟控制函数x_2eq为：

<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中k₁是正的反馈增益，将(20)带入(19)中，可以得到误差动力学方程为：

<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

从(21)中可以看到，需要让e₂收敛到零，从而使e₁收敛于零；由(7)，e₂的导数可以表示为：

<mrow> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

则系统的控制量u可以设计为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>f</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中为θ的估计，U_a为模型前馈补偿项，U_s1为线性稳定反馈项以稳定系统的名义模型，k₂>0，U_s2为非线性鲁棒反馈项；

设计带有不连续映射的参数自适应律为：

其中，是参数自适应回归量；Γ₃是一个正的对角矩阵，它表示参数的自适应增益；τ₃为参数自适应函数；参数自适应所采用的不连续映射形式和权值自适应采用的形式相同，且具有和P1、P2相同的特性。

将方程(23)带入到(22)中，e₂的导数表示为：

e₂·U_s2≤0 (27)

式中ε_s是一个正实数；

因此，非线性鲁棒反馈项U_s2可以设计为：

<mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>4</mn> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中

θ_2M＝θ_2max-θ_2min,θ_M＝θ_max-θ_min。

4.根据权利要求3所述的基于双观测器的发射平台高精度运动控制方法，其特征在于，步骤3具体为：

<mrow> <msub> <mi>&Lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

闭环控制器中的所有信号都是有界的，并考虑了Lyapunov函数

<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

是有界的通过

<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&le;</mo> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中λ₁＝2σ_min(Λ₁)/θ_max，σ_min(Λ₁)是正定矩阵Λ₁的最小特征值；

B.如果一段有限时间后系统只存在参数不确定性，即一段有限的时间后ε_approx1＝ε_approx2＝0，除了在A的结果，还可以实现渐进输出跟踪；即e→0as t→∞，其中e＝[e₁,e₂]^T；

稳定性分析：

A.对式(31)求导可得：

由(30)可以得到

<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

从而导致方程(32)，因此V₁(t)是全局有界的，同样的e1和e2是有界的。根据假定和方程(19)-(21)，可以推断出x_2eq和状态x都是有界的；通过投影定律，参数估计和权值估计是有界的；因此根据(10)(11)，和是有界的；则控制输入信号u在(23)是有界的；

B.考虑以下的李尔诺夫函数：

<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&Gamma;</mi> <mn>3</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&Gamma;</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&Gamma;</mi> <mn>2</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

由上面V₁(t)的导数，我们可以得到

整理上式方程可得：

由(16)的性质，我们可以得到

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>&le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mo>&lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&Gamma;</mi> <mn>3</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>Pr</mi> <mi>o</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Gamma;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&tau;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>&lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&Gamma;</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>Pr</mi> <mi>o</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&tau;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mi>T</mi> </msup> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>&Gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>Pr</mi> <mi>o</mi> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&tau;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>&Lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>&le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mi>min</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mo>=</mo> <mi>&Delta;</mi> </mover> <mo>-</mo> <mi>Q</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>38</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

因此Q∈L₂,V₂∈L_∞，可以得到且一致连续；由Barbalat引理可知Q→0as t→∞。