CN103780188A - 基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统，其特征是：以永磁球形电机转子为被控对象，设置控制系统包括参数自适应调整模块、动态摩擦状态观测模块、动态摩擦前馈补偿模块和计算力矩模块。参数自适应调整模块采用自适应算法实时计算获得计算力矩模块和动态摩擦前馈补偿模块的调整参数；动态摩擦状态观测模块由两个动态项不同的状态观测器构成，实时计算动态摩擦模型中的状态量估计值；动态摩擦前馈补偿模块实时计算获得摩擦补偿力矩τ_fc；计算力矩模块计算获得主控制力矩τ_c；设置被控对象的总控制力矩τ为：τ=τ_fc+τ_c。本发明实现了永磁球形电机转子的动态摩擦补偿，从而提高控制精度，减少起动力矩。

Description

基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统

技术领域

本发明属于永磁球形电机动力学控制技术领域，涉及一种基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统。

背景技术

伴随着现代工业技术的不断发展，机器人、机械臂、全景摄像头等需要在三维空间内实现高精密伺服运动装置得到了广泛应用。由于该类装置通常采用多台单自由度电机并结合复杂的齿轮传动机构，一方面导致系统体积增大、重量增加、刚度降低。另一方面，受外界扰动等不确定性因素的影响，运动控制系统响应迟缓、动态性能较差，严重时甚至影响整个系统的稳定性。因此，国内外的研究学者开始着手研究一种能在单台电机上实现三自由度运动的球形特种电机。根据其不同的工作原理，可以分为感应球形电机、变磁阻球形电机、轮式球形电机以及永磁球形电机等。其中，永磁球形电机具有结构简单、体积小、重量轻等优点，近年来引起了学者们的广泛关注。

由于永磁球形电机定子与转子接触面间弹性鬓毛平均形变的存在，当其转子在三维空间内进行定点或者连续轨迹运动时必然受到摩擦力矩的影响。而摩擦力矩的存在给电机转子带来诸多不确定性因素，比如：在运动时造成滞滑现象、产生较大的位置误差、进而产生极限环，严重时甚至可能直接导致系统崩溃等。针对永磁球形电机转子控制系统，已经提出的控制方法主要有变结构控制、解耦控制以及自适应模糊控制。但是，现有的控制系统存在如下缺陷：

1、现有的控制系统在对永磁球形电机转子建模时，将可模型化的摩擦力矩一律视为外界扰动进行补偿，以达到补偿摩擦力矩的效果。但是，基于该建模方法的控制系统需要高增益的负反馈环节，大大增加系统控制器的计算负担，并需要较大的起动力矩。

2、现有的控制系统在设计摩擦补偿模块时基本采用简化的静态摩擦模型进行分析。但是，静态摩擦模型不能全面反映实际运动中摩擦力矩对永磁球形电机转子造成的动态影响，补偿能力有限，进而使控制器无法实现高精度的控制。

发明内容

本发明是为避免上述现有技术所存在的不足之处，提供一种基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统，以实现永磁球形电机转子动态摩擦补偿的目的，同时提高控制精度，减少起动力矩。

本发明为解决技术问题采用如下技术方案：

本发明基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统的特点是：以永磁球形电机转子为被控对象，检测获得电机转子的实际位置测量值q，令q_d为电机转子的期望位置，位置跟踪误差e为：e=q-q_d；设置所述控制系统包括参数自适应调整模块、动态摩擦状态观测模块、动态摩擦前馈补偿模块和计算力矩模块；

所述参数自适应调整模块是以位置跟踪误差e、电机转子的实际转速测量值

以及动态摩擦前馈补偿模块输出的摩擦补偿力矩τ_fc为输入变量，结合永磁球形电机转子数学模型和LuGre动态摩擦模型的结构信息分别构造线性回归矩阵

Y_qr、

和

根据所述线性回归矩阵

Y_qr、

和

以及位置跟踪误差e计算自适应律，利用所述自适应律在线计算获得计算力矩模块和动态摩擦前馈补偿模块的调整参数

和

并将所述调整参数和

分别输出给计算力矩模块和动态摩擦前馈补偿模块；

所述计算力矩模块根据位置跟踪误差e和参数自适应调整模块输出的调整参数

实时计算获得主控制力矩τ_c；

所述动态摩擦状态观测模块根据位置跟踪误差e和电机转子的实际转速测量值实时计算电机转子动态摩擦模型中的状态量估计值

和

并将所述状态量估计值

和

输出至动态摩擦前馈补偿模块；

所述动态摩擦前馈补偿模块根据参数自适应调整模块输出的调整参数

和

以及动态摩擦状态观测模块输出的状态量估计值和

实时计算获得摩擦补偿力矩τ_fc；

设置所述永磁球形电机转子的总控制力矩τ为：τ=τ_fc+τ_c。

本发明基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统的特点也在于：所述动态摩擦状态观测模块由两个动态项不同的状态观测器构成；所述两个动态项不同的状态观测器按如下方法构造：

a、采用LuGre动态摩擦模型描述永磁球形电机定子与转子接触面间的摩擦力矩τ_f，如式（1）：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\Ψz}\\ {\mathrm{\τ}}_f=Q_{0}z+Q_1\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+Q_2\stackrel{\·}{q}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式（1）中，z为状态量，表示永磁球形电机定子与转子接触面之间弹性鬓毛的平均形变，Q₀、Q₁和Q₂为动态摩擦参数矩阵，分别为弹性鬓毛偏移强度、滑动阻尼系数和粘滞摩擦系数，非线性函数矩阵Ψ为Stribeck效应方程矩阵；

结合拉格朗日第二方程以及坐标变换，则基于LuGre动态摩擦模型的永磁球形电机转子数学模型如式（2）所示：

$M\left(q\right)\stackrel{\·\·}{q}+C(q,\stackrel{\·}{q})+Q_3\stackrel{\·}{q}+Q_{0}z-Q_1{\mathrm{\Ψ}}_z={\mathrm{\τ}}_i---\left(2\right)$

式（2）中，

为电机转子的实际加速度测量值，M(q)为电机转子数学模型的惯性矩阵，

为哥式力和向心力矩阵，τ_i为电机转子数学模型中的输入力矩，整合后的动态摩擦参数矩阵Q₃为：Q₃=Q₁+Q₂；

b、引入参考变量

为电机转子的期望速度，Λ为正定的反馈增益对角矩阵，设置参考误差e_r为：

c、构造两个动态项不同的状态观测器：

采用参考误差e_r作为其中一个状态观测器的动态项，以Ψe_r作为另一个状态观测器的动态项；分别以所述状态量估计值

和

作为两个状态观测器的观测值，根据LuGre动态摩擦模型的结构信息和动态项e_r、Ψe_r分别设计状态观测器的更新律如式（3）和式（4）所示：

$\frac{d{\hat{z}}_0}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\Ψ}{\hat{z}}_0-e_r---\left(3\right)$

$\frac{d{\hat{z}}_1}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\Ψ}{\hat{z}}_1+\mathrm{\Ψ}{e}_r---\left(4\right)$

利用所述状态观测器的更新律分别构造两个动态项不同的状态观测器。

本发明基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统的特点还在于：所述参数自适应调整模块是采用自适应算法，并利用不同的自适应律实时计算获得调整参数

和所述调整参数和

的自适应律按如下方法确定：

a、定义线性回归矩阵

是将电机转子数学模型线性化，得到式（5）：

$M\left(q\right){\stackrel{\·\·}{q}}_r+C(q,\stackrel{\·}{q}){\stackrel{\·}{q}}_r=Y(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)\mathrm{\ξ}---\left(5\right)$

式（5）中，ξ为电机转子数学模型的动力学参数；

将电机转子的转动惯量I_d、I_q和I_p等效为ξ=[I_dqI_p]^T，其中：I_d=I_q=I_dq。在式（5）中，用估计矩阵

和

分别代替M(q)和

得到式（6）：

$\hat{M}\left(q\right){\stackrel{\·\·}{q}}_r+\hat{C}(q,\stackrel{\·}{q}){\stackrel{\·}{q}}_r=Y(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)\widehat{\mathrm{\ξ}}---\left(6\right)$

式（6）中，

为电机转子数学模型的调整参数；

b、定义线性回归矩阵Y_qr、

和

是将LuGre动态摩擦模型线性化，并用动态摩擦状态观测模块输出的状态量估计值和

代替LuGre动态摩擦模型中两种不同位置上的状态量z，得到式（7）：

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{fc}}=Y_{\mathrm{qr}}{\widehat{\mathrm{\θ}}}_3+{\hat{Z}}_0{\widehat{\mathrm{\θ}}}_0-\mathrm{\Ψ}{\hat{Z}}_1{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1---\left(7\right)$

式（7）中，Y_qr、和

分别为LuGre动态摩擦模型的线性回归矩阵，和分别为LuGre动态摩擦模型的调整参数；

c、根据Lyapunov稳定性原理，确定调整参数

和

的自适应律分别如式（8）、式（9）、式（10）和式（11）所示：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ξ}}}=-{\mathrm{\Γ}}^{T}Y{(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)}^T{e}_r---\left(8\right)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}}_0=-{\mathrm{\Γ}}_0^T{\hat{Z}}_0^T{e}_r---\left(9\right)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}}_1={\mathrm{\Γ}}_1^T{\hat{Z}}_1^T\mathrm{\Ψ}{e}_r---\left(10\right)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}}_3=-{\mathrm{\Γ}}_3^T{Y}_{\mathrm{qr}}^T{e}_r---\left(11\right)$

Γ、Γ₀、Γ₁和Γ₃均为正定的增益对角矩阵。

与已有技术相比，本发明的有益效果体现在：

1、本发明采用多模块相结合的方式，实现对永磁球形电机转子的复合控制。动态摩擦状态观测模块可以实时计算电机转子动态摩擦模型中不可测的状态量估计值，动态摩擦前馈补偿模块可以直接有效地补偿控制系统中的动态摩擦力矩，参数自适应调整模块可以降低动态摩擦等不确定因素对依赖模型信息的控制系统的影响。所述复合控制系统相较之前的控制系统具有更高的控制精度和稳定性。

2、本发明采用LuGre动态摩擦模型描述永磁球形电机定子与转子接触面间的摩擦力矩。该模型利用电机定子与转子接触面之间弹性鬓毛的平均形变来描述动态摩擦力矩的非线性动态变化，相较之前研究中使用的无摩擦补偿模型、简化的静态摩擦模型以及将摩擦力矩和外界扰动视为一体的永磁球形电机转子数学模型具有明显优势。一方面能够真实、完整地反映永磁球形电机转子在实际运动中与定子之间的静、动态摩擦特性。另一方面，本发明设计的控制方法能够有效降低控制器计算的复杂程度，避免高增益的负反馈环节，从而降低起动力矩，同时减小对控制器的硬件要求。

3、本发明采用两个动态项不同的状态观测器观测LuGre动态摩擦模型中不可测的状态量z。该动态项充分利用永磁球形电机转子位置和转速的误差信息，保证了永磁球形电机转子控制系统的快速性。同时，降低了状态量z与估计值和

之间的误差，提高观测精度，实现快速、精确的摩擦补偿控制。该方案不仅适用于本发明中的永磁球形电机转子控制系统，而且对于高精度的伺服运动控制系统具有推广价值。

4、本发明采用参数自适应调整模块对动态摩擦前馈补偿模块中需要的调整参数进行在线调整，克服了永磁球形电机转子运动中摩擦力矩等不确定性因素造成的参数动态变化影响。同时，采用动态摩擦前馈补偿模块对LuGre动态摩擦模型进行控制，能显著提高摩擦力矩的补偿效果，为实现永磁球形电机转子的高精度控制提供保障。

附图说明

图1为本发明基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统的结构框图。

图2为永磁球形电机转子的位置跟踪误差曲线。

图3(a)、图3(b)和图3(c)为状态量z的观测曲线。

图4为摩擦补偿曲线。

图5为永磁球形电机转子的三维位置跟踪曲线。

图6为永磁球形电机转子分别在无摩擦补偿的等效PD控制系统、基于静态摩擦补偿的控制系统和基于动态摩擦补偿的控制系统下跟踪误差的比较曲线。

图7(a)、图7(b)和图7(c)为永磁球形电机转子分别在无摩擦补偿的等效PD控制系统、基于静态摩擦补偿的控制系统和基于动态摩擦补偿的控制系统下控制力矩的比较曲线。

具体实施方式

本实施例中采用的是一台三自由度的永磁球形电机，由一个球形转子和球壳状的定子组成，其输出轴固定在转子上。转子上沿赤道面对称均匀分布四层永磁体，每层分别有十个铁钕硼材料的圆柱形永磁体，圆柱型永磁体镶嵌在转子上，N、S级交替排列；定子上沿赤道面均匀镶嵌两层线圈，每层共有十二个圆柱型线圈。通过实施本发明可以实现永磁球形电机转子倾斜、俯仰以及自旋的高精度运动控制。

如图1所示，本实施例中的基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统是以永磁球形电机转子为被控对象，通过三个增量式旋转编码器检测获得电机转子的实际位置测量值q，令q_d为电机转子的期望位置，位置跟踪误差e为：e=q-q_d；设置控制系统包括参数自适应调整模块、动态摩擦状态观测模块、动态摩擦前馈补偿模块和计算力矩模块。

设置参数自适应调整模块是以位置跟踪误差e、电机转子的实际转速测量值

以及动态摩擦前馈补偿模块输出的摩擦补偿力矩τ_fc为输入变量，结合永磁球形电机转子数学模型和LuGre动态摩擦模型的结构信息分别构造线性回归矩阵

Y_qr、

和

根据线性回归矩阵

Y_qr、和

以及位置跟踪误差e计算自适应律，利用自适应律在线计算获得计算力矩模块和动态摩擦前馈补偿模块的调整参数

和

并将调整参数

和

分别输出给计算力矩模块和动态摩擦前馈补偿模块。可以在线估计控制系统中需要的调整参数，克服动态摩擦等不确定因素造成的参数变化。

计算力矩模块根据位置跟踪误差e和参数自适应调整模块输出的调整参数

实时计算获得主控制力矩τ_c；动态摩擦状态观测模块根据位置跟踪误差e和电机转子的实际转速测量值

实时计算电机转子动态摩擦模型中不可测的状态量估计值和并将状态量估计值

和

输出至动态摩擦前馈补偿模块；动态摩擦前馈补偿模块根据参数自适应调整模块输出的调整参数和

以及动态摩擦状态观测模块输出的状态量估计值

和

实时计算获得摩擦补偿力矩τ_fc；

设置永磁球形电机转子的总控制力矩τ为：τ=τ_fc+τ_c。

在本实施例中，动态摩擦状态观测模块由两个动态项不同的状态观测器构成；两个动态项不同的状态观测器按如下方法构造：

a、由于LuGre动态摩擦模型可以精确描述摩擦的各种静态和动态特性，故采用LuGre动态摩擦模型描述永磁球形电机定子与转子接触面间的摩擦力矩τ_f，其一般表达式如式（1）所示：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}=v-\frac{\left|v\right|}{g\left(v\right)}z\\ F={\mathrm{\σ}}_{0}z+{\mathrm{\σ}}_1\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{\σ}}_{2}v\end{array}\right.---\left(1\right)$

式（1）中，z为物体接触面之间弹性鬓毛的平均形变，它是不可测的状态量。v表示两个接触面之间的相对速度。σ₀、σ₁和σ₂为动态摩擦参数，分别代表鬓毛偏移强度、滑动阻尼系数和粘滞摩擦系数；F为动态摩擦力；g(v)为描述Stribeck效应的方程，且恒大于0，如式（2）所示。

${\mathrm{\σ}}_{0}g\left(v\right)=F_c+(F_s-F_c)e^{{-(v/v_s)}^2}---\left(2\right)$

式（2）中，F_c、F_s分别代表库仑摩擦力和最大静摩擦力，v_s为Stribeck速率。

由于永磁球形电机转子控制系统是三输入-三输出的多变量控制系统，则对式（1）所示的LuGre动态摩擦模型进行等效变换，变换后的矩阵表达式如式（3）所示。

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\Ψz}\\ {\mathrm{\τ}}_f=Q_{0}z+Q_1\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+Q_2\stackrel{\·}{q}\end{array}\right.---\left(3\right)$

式（3）中，z为状态量，表示永磁球形电机定子与转子接触面之间弹性鬓毛的平均形变，Q₀、Q₁和Q₂为动态摩擦参数矩阵，分别为弹性鬓毛偏移强度、滑动阻尼系数和粘滞摩擦系数，非线性函数矩阵Ψ为Stribeck效应方程矩阵；

由于电机转子运行时所做的倾斜、俯仰以及自旋的三维运动可以分解为三个绕球心坐标轴的独立运动。故定义静止坐标系xyz和动坐标系dqp，并将其分别固定在电机转子输出轴的起点与终点位置上。其中，动坐标系dqp下电机转子的惯性主轴分别为d轴、q轴和p轴，并采用α、β和γ来定义坐标系之间的三个相对位置，在此基础上进行坐标变换，其具体变换过程分解如下：首先，静止坐标系xyz从初始位置出发，绕x轴逆时针旋转α角到达位置xy₁z₁；然后，绕y₁轴逆时针旋转β角到达位置x₁y₁p；最后，绕p轴逆时针旋转γ角到达终点位置dqp。

结合拉格朗日第二方程以及所述坐标变换，则基于LuGre动态摩擦模型的永磁球形电机转子数学模型如式（4）所示：

$M\left(q\right)\stackrel{\·\·}{q}+C(q,\stackrel{\·}{q})+Q_3\stackrel{\·}{q}+Q_{0}z-Q_1{\mathrm{\Ψ}}_z={\mathrm{\τ}}_i---\left(4\right)$

式（4）中，

为电机转子的实际加速度测量值，M(q)为电机转子数学模型的惯性矩阵，为哥式力和向心力矩阵，τ_i为电机转子数学模型中的输入力矩，整合后的动态摩擦参数矩阵Q₃为：Q₃=Q₁+Q₂；

b、引入参考变量

为电机转子的期望速度，Λ为正定的反馈增益对角矩阵，设置参考误差e_r为：

由于参考误差e_r同时包含位置和速度的误差信息，故e_r和e具有一致的收敛性。

c、构造两个动态项不同的状态观测器：

考虑到控制系统中LuGre动态摩擦模型不同的非线性变化，通过构造两个动态项不同的非线性观测器来估计该模型中不可测的状态量z。采用参考误差e_r作为其中一个状态观测器的动态项，以Ψe_r作为另一个状态观测器的动态项；分别设置状态量估计值

和

作为两个状态观测器的观测值，根据LuGre动态摩擦模型的结构信息和动态项e_r、Ψe_r分别设计状态观测器的更新律如式（5）和式（6）所示：

$\frac{d{\hat{z}}_0}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\Ψ}{\hat{z}}_0-e_r---\left(5\right)$

$\frac{d{\hat{z}}_1}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\Ψ}{\hat{z}}_1+\mathrm{\Ψ}{e}_r---\left(6\right)$

利用状态观测器的更新律分别构造两个动态项不同的状态观测器。

本实施例中的参数自适应调整模块是采用自适应算法，并利用不同的自适应律实时计算获得调整参数

和

调整参数

和

的自适应律按如下方法确定：

a、定义线性回归矩阵

是将电机转子数学模型线性化，得到式（7）：

$M\left(q\right){\stackrel{\·\·}{q}}_r+C(q,\stackrel{\·}{q}){\stackrel{\·}{q}}_r=Y(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)\mathrm{\ξ}---\left(7\right)$

式（7）中，ξ为电机转子数学模型的动力学参数；

定义I_d、I_q和I_p分别为电机转子在动坐标系dqp下相对惯性主轴d轴、q轴和p轴的转动惯量，由于电机转子关于p轴对称且质量分布均匀，故将转动惯量I_d、I_q和I_p等效为ξ=[I_dqI_p]^T，其中：I_d=I_q=I_dq。

线性回归矩阵

如式（8）所示：

$Y(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{11}& Y_{12}\\ Y_{21}& Y_{22}\\ Y_{31}& Y_{32}\end{array}\right]---\left(8\right)$

式（8）中，Y₁₁、Y₁₂、Y₁₃、Y₂₁、Y₂₂和Y₂₃分别如（9）所示：

$\left\{\begin{array}{c}{Y}_{11}={\cos }^2{q}_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·\·}{q}}_{\mathrm{r\α}}-{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{\β}}\cos q_{\mathrm{\β}}\sin q_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\α}}-{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{\α}}\cos q_{\mathrm{\β}}\sin q_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\β}}\\ Y_{12}={\sin }^2{q}_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·\·}{q}}_{\mathrm{r\β}}+\sin q_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·\·}{q}}_{\mathrm{r\γ}}+{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{\β}}\cos q_{\mathrm{\β}}\sin q_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\α}}+{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{\α}}\cos q_{\mathrm{\β}}\sin q_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\β}}+{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\β}{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\γ}}\\ Y_{21}={\stackrel{\·\·}{q}}_{\mathrm{r\β}}+{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{\α}}\cos q_{\mathrm{\β}}\sin q_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\α}}\\ Y_{22}=-{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{\α}}\cos q_{\mathrm{\β}}\sin q_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\α}}-{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{\α}}\cos q_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\γ}}\\ Y_{31}=0\\ Y_{32}=\sin q_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·\·}{q}}_{\mathrm{r\α}}+{\stackrel{\·\·}{q}}_{\mathrm{r\γ}}+{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{\α}}\cos q_{\mathrm{\β}}{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\β}}\end{array}\right.---\left(9\right)$

式（9）中，包含下标α、β和γ的变量分别表示该变量在三个相对位置α、β和γ上的分量。

在式（7）中，用估计矩阵和

分别代替M(q)和

得到式（10）：

$\hat{M}\left(q\right){\stackrel{\·\·}{q}}_r+\hat{C}(q,\stackrel{\·}{q}){\stackrel{\·}{q}}_r=Y(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)\widehat{\mathrm{\ξ}}---\left(10\right)$

式（10）中，

为电机转子数学模型的调整参数；

为了消除控制系统的位置跟踪误差，设置参考误差增益矩阵Λ_r，可得计算力矩模块输出的主控制力矩τ_c如式（11）所示：

${\mathrm{\τ}}_c=-{\mathrm{\Λ}}_r{e}_r+Y(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)\widehat{\mathrm{\ξ}}---\left(11\right)$

b、定义线性回归矩阵Y_qr、

和

是将LuGre动态摩擦模型线性化，并用动态摩擦状态观测模块输出的状态量估计值

和代替LuGre动态摩擦模型中两种不同位置上的z。由于LuGre动态摩擦模型中的动态参数矩阵Q₀和Q₁以及整合后的动态参数矩阵Q₃均未知，故分别定义

和

作为Q₀、Q₁和Q₃的估计值。同时定义向量θ₀、θ₁和θ₃，令向量θ₀、θ₁和θ₃中的元素分别等于矩阵Q₀、Q₁和Q₃对角线上的元素，完成Q₀、Q₁和Q₃的等效变换，进而通过动态摩擦前馈补偿模块实时计算得到式（12）：

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{fc}}=Y_{\mathrm{qr}}{\widehat{\mathrm{\θ}}}_3+{\hat{Z}}_0{\widehat{\mathrm{\θ}}}_0-\mathrm{\Ψ}{\hat{Z}}_1{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1---\left(12\right)$

式（12）中，Y_qr、和

分别为LuGre动态摩擦模型的线性回归矩阵，

和

分别为LuGre动态摩擦模型的调整参数。其中，线性回归矩阵Y_qr、

和

均为对角矩阵，其表达式分别如式（13）、式（14）和式（15）所示：

$Y_{\mathrm{qr}}=\mathrm{diag}({\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\α}},{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\β}},{\stackrel{\·}{q}}_{\mathrm{r\γ}})---\left(13\right)$

${\hat{Z}}_0=\mathrm{diag}({\hat{z}}_{0\mathrm{\α}},{\hat{z}}_{0\mathrm{\β}},{\hat{z}}_{0\mathrm{\γ}})---\left(14\right)$

${\hat{Z}}_1=\mathrm{diag}({\hat{z}}_{1\mathrm{\α}},{\hat{z}}_{1\mathrm{\β}},{\hat{z}}_{1\mathrm{\γ}})---\left(15\right)$

c、确定调整参数

和

的自适应律。

首先，定义调整参数误差为

和

然后，构造Lyapunov函数V，其表达式如式（16）所示：

$V=\frac{1}{2}{e}_r^{T}M\left(q\right)e_r+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\ξ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\ξ}}+\frac{1}{2}{\tilde{z}}_0^T{Q}_0{\tilde{z}}_0+\frac{1}{2}{\tilde{z}}_1^T{Q}_1{\tilde{z}}_1+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_0^T{\mathrm{\Γ}}_0^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_0+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^T{\mathrm{\Γ}}_1^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_3^T{\mathrm{\Γ}}_3^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_3---\left(16\right)$

式（16）中，Γ、Γ₀、Γ₁和Γ₃均为正定的增益对角矩阵。对式（15）的左右两边分别求导，得到式（17）：

$\stackrel{\·}{V}=e_r^{T}M\left(q\right){\stackrel{\·}{e}}_r+\frac{1}{2}{e}_r^T\stackrel{\·}{M}\left(q\right)e_r+{\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\ξ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\ξ}}+{\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{z}}_0^T{Q}_0{\tilde{z}}_0+{\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{z}}_1^T{Q}_1{\tilde{z}}_1+{\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\θ}}}_0^T{\mathrm{\Γ}}_0^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_0+{\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\θ}}}_1^T{\mathrm{\Γ}}_1^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{\mathrm{\θ}}}_3^T{\mathrm{\Γ}}_3^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_3---\left(17\right)$

根据Lyapunov稳定性原理，确定调整参数

和的自适应律分别如式（18）、式（19）、式（20）和式（21）所示：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ξ}}}=-{\mathrm{\Γ}}^{T}Y{(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)}^T{e}_r---\left(18\right)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}}_0=-{\mathrm{\Γ}}_0^T{\hat{Z}}_0^T{e}_r---\left(19\right)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}}_1={\mathrm{\Γ}}_1^T{\hat{Z}}_1^T\mathrm{\Ψ}{e}_r---\left(20\right)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}}_3=-{\mathrm{\Γ}}_3^T{Y}_{\mathrm{qr}}^T{e}_r---\left(21\right)$

综上，控制系统输出的总控制力矩τ如式（22）所示：

$\mathrm{\τ}={\mathrm{\τ}}_c+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{fc}}=-{\mathrm{\Λ}}_r{e}_r+Y(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)\widehat{\mathrm{\ξ}}+Y_{\mathrm{qr}}{\widehat{\mathrm{\θ}}}_3+{\hat{Z}}_0{\widehat{\mathrm{\θ}}}_0-\mathrm{\Ψ}{\hat{Z}}_1{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1---\left(22\right)$

式（22）中，采用总控制力矩τ代替基于LuGre动态摩擦模型的永磁球形电机转子数学模型的输入力矩τ_i进行驱动，可以显著提高摩擦力矩的补偿效果，为实现永磁球形电机转子的高精度控制提供保障。

给定电机转子的期望位置q_d=[sinπt cosπt t]^T，初始位置q_d0=[0.2 -0.2 -0.2]^T，初始速度 ${\stackrel{\·}{q}}_{d0}={\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]}^T.$ 期望位置q_d为章动运动，它是一种类似于陀螺的运动，即永磁球形电机转子在动坐标系dqp下围绕惯性主轴d轴、q轴和p轴做倾斜、俯仰以及自旋的三自由度运动，这是一种可以最大程度地检验永磁球形电机转子是否具有转矩全可控的运行工况。根据实际样机参数，基于动力学仿真软件ADAMS计算得到电机转子的转动惯量I_dq=0.01548kg·m²，I_dq=0.01571kg·m²。在此基础上，针对空载情况下的永磁球形电机，充分考虑其在运动时受到的动态摩擦影响，进行仿真验证。

图2为永磁球形电机转子的位置跟踪误差曲线。其中，曲线a、曲线b和曲线c分别为电机转子运动时三个相对位置α、β和γ的位置跟踪误差曲线。由图2可知，三个相对位置α、β和γ的位置跟踪误差均能够快速收敛到0.02rad以内，且稳定后的位置跟踪误差小于0.001rad，保证了跟踪精度。

图3（a）、图3（b）和图3（c）为状态量z的观测曲线，分别描述了动态摩擦模型状态量z以及状态量估计值

和

在三个相对位置α、β和γ上的变化情况。由图3（a）、图3（b）和图3（c）可知，两个动态项不同的状态观测器能够准确估计动态摩擦模型中状态量z的变化情况，且估计值

和

能够快速逼近状态量z。

图4为摩擦补偿曲线。其中，曲线a1、曲线b1和曲线c1分别表示永磁球形电机转子数学模型的摩擦力矩，曲线a2、曲线b2和曲线c2分别表示本发明的控制系统输出的摩擦补偿力矩。由图4可知，曲线a1和曲线a2、曲线b1和曲线b2以及曲线c1和曲线c2均有相同的变化趋势，且幅值差异很小，说明本发明的控制系统具有良好的摩擦补偿效果。

图5为永磁球形电机转子的三维位置跟踪曲线。由图5可知，永磁球形电机转子的实际位置可以较快地、平滑地跟踪给定的期望位置，系统的动态性能和稳态性能都得到有效保障。

与无摩擦补偿的等效PD控制系统以及基于静态摩擦补偿的控制系统相比较，本发明基于动态摩擦补偿的自适应控制系统体现了更为优越的性能。

图6为永磁球形电机转子分别在无摩擦补偿的等效PD控制系统、基于静态摩擦补偿的控制系统和基于动态摩擦补偿的控制系统下三个相对位置α、β和γ的位置跟踪误差比较曲线。其中，曲线a1、曲线b1和曲线c1分别代表本发明的控制系统中三个相对位置α、β和γ的位置跟踪误差曲线；曲线a2、曲线b2和曲线c2分别代表基于静态摩擦补偿的控制系统中三个相对位置α、β和γ的位置跟踪误差曲线；曲线a3、曲线b3和曲线c3分别代表无摩擦补偿的等效PD控制系统中三个相对位置α、β和γ的位置跟踪误差曲线。由图6可知，相较于本发明的控制系统，另外两种控制系统的位置跟踪误差曲线波动较大，最高可达0.05rad左右，位置跟踪精度显然不如动态摩擦补偿控制。

图7（a）、图7（b）和图7（c）为永磁球形电机转子分别在无摩擦补偿的等效PD控制系统、基于静态摩擦补偿的控制系统和基于动态摩擦补偿的控制系统下总控制力矩的比较曲线，分别描述了总控制力矩在三个相对位置α、β和γ上的变化情况。由图7（a）、图7（b）和图7（c）可知，采用本发明的控制系统时，系统输出的总控制力矩曲线均较平滑；而采用基于静态摩擦补偿的控制系统和无摩擦补偿的等效PD控制系统时，系统输出的总控制力矩均有不同程度的抖振现象。尤其在速度方向变化时，抖振情况最为严重，如图中尖峰所示。这在实际控制中将带来较大的转矩脉动和噪声，同时降低位置跟踪精度。另外，由于本发明中采用的动态摩擦力矩明显要大于静态摩擦力矩，在同等条件下所需要的起动力矩反而接近后者，可见本发明所述的控制系统起动力矩相对较小，相应减小控制难度。

Claims (3)

1.一种基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统，其特征是：以永磁球形电机转子为被控对象，检测获得电机转子的实际位置测量值q，令q_d为电机转子的期望位置，位置跟踪误差e为：e=q-q_d；设置所述控制系统包括参数自适应调整模块、动态摩擦状态观测模块、动态摩擦前馈补偿模块和计算力矩模块；

所述参数自适应调整模块是以位置跟踪误差e、电机转子的实际转速测量值以及动态摩擦前馈补偿模块输出的摩擦补偿力矩τ_fc为输入变量，结合永磁球形电机转子数学模型和LuGre动态摩擦模型的结构信息分别构造线性回归矩阵

Y_qr、

和

根据所述线性回归矩阵Y_qr、

和以及位置跟踪误差e计算自适应律，利用所述自适应律在线计算获得计算力矩模块和动态摩擦前馈补偿模块的调整参数和

并将所述调整参数和

分别输出给计算力矩模块和动态摩擦前馈补偿模块；

所述计算力矩模块根据位置跟踪误差e和参数自适应调整模块输出的调整参数

实时计算获得主控制力矩τ_c；

所述动态摩擦状态观测模块根据位置跟踪误差e和电机转子的实际转速测量值

实时计算电机转子动态摩擦模型中的状态量估计值

和

并将所述状态量估计值

和输出至动态摩擦前馈补偿模块；

所述动态摩擦前馈补偿模块根据参数自适应调整模块输出的调整参数

和

以及动态摩擦状态观测模块输出的状态量估计值

和

实时计算获得摩擦补偿力矩τ_fc；

设置所述永磁球形电机转子的总控制力矩τ为：τ=τ_fc+τ_c。

2.根据权利要求1所述的基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统，其特征是：所述动态摩擦状态观测模块由两个动态项不同的状态观测器构成；所述两个动态项不同的状态观测器按如下方法构造：

a、采用LuGre动态摩擦模型描述永磁球形电机定子与转子接触面间的摩擦力矩τ_f，如式（1）：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\Ψz}\\ {\mathrm{\τ}}_f=Q_{0}z+Q_1\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}+Q_2\stackrel{\·}{q}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式（1）中，z为状态量，表示永磁球形电机定子与转子接触面之间弹性鬓毛的平均形变，Q₀、Q₁和Q₂为动态摩擦参数矩阵，分别为弹性鬓毛偏移强度、滑动阻尼系数和粘滞摩擦系数，非线性函数矩阵Ψ为Stribeck效应方程矩阵；

结合拉格朗日第二方程以及坐标变换，则基于LuGre动态摩擦模型的永磁球形电机转子数学模型如式（2）所示：

$M\left(q\right)\stackrel{\·\·}{q}+C(q,\stackrel{\·}{q})+Q_3\stackrel{\·}{q}+Q_{0}z-Q_1{\mathrm{\Ψ}}_z={\mathrm{\τ}}_i---\left(2\right)$

式（2）中，

为电机转子的实际加速度测量值，M(q)为电机转子数学模型的惯性矩阵，

为哥式力和向心力矩阵，τ_i为电机转子数学模型中的输入力矩，整合后的动态摩擦参数矩阵Q₃为：Q₃=Q₁+Q₂；

b、引入参考变量

为电机转子的期望速度，Λ为正定的反馈增益对角矩阵，设置参考误差e_r为：

c、构造两个动态项不同的状态观测器：

采用参考误差e_r作为其中一个状态观测器的动态项，以Ψe_r作为另一个状态观测器的动态项；分别以所述状态量估计值

和

作为两个状态观测器的观测值，根据LuGre动态摩擦模型的结构信息和动态项e_r、Ψe_r分别设计状态观测器的更新律如式（3）和式（4）所示：

$\frac{d{\hat{z}}_0}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\Ψ}{\hat{z}}_0-e_r---\left(3\right)$

$\frac{d{\hat{z}}_1}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\Ψ}{\hat{z}}_1+\mathrm{\Ψ}{e}_r---\left(4\right)$

利用所述状态观测器的更新律分别构造两个动态项不同的状态观测器。

3.根据权利要求1所述的基于动态摩擦补偿的永磁球形电机转子自适应控制系统，其特征是：所述参数自适应调整模块是采用自适应算法，并利用不同的自适应律实时计算获得调整参数

和

所述调整参数

和

的自适应律按如下方法确定：

a、定义线性回归矩阵

是将电机转子数学模型线性化，得到式（5）：

$M\left(q\right){\stackrel{\·\·}{q}}_r+C(q,\stackrel{\·}{q}){\stackrel{\·}{q}}_r=Y(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)\mathrm{\ξ}---\left(5\right)$

式（5）中，ξ为电机转子数学模型的动力学参数；

将电机转子的转动惯量I_d、I_q和I_p等效为ξ=[I_dqI_p]^T，其中：I_d=I_q=I_dq。在式（5）中，用估计矩阵

和

分别代替M(q)和

得到式（6）：

$\hat{M}\left(q\right){\stackrel{\·\·}{q}}_r+\hat{C}(q,\stackrel{\·}{q}){\stackrel{\·}{q}}_r=Y(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)\widehat{\mathrm{\ξ}}---\left(6\right)$

式（6）中，为电机转子数学模型的调整参数；

b、定义线性回归矩阵Y_qr、和

是将LuGre动态摩擦模型线性化，并用动态摩擦状态观测模块输出的状态量估计值

和

代替LuGre动态摩擦模型中两种不同位置上的状态量z，得到式（7）：

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{fc}}=Y_{\mathrm{qr}}{\widehat{\mathrm{\θ}}}_3+{\hat{Z}}_0{\widehat{\mathrm{\θ}}}_0-\mathrm{\Ψ}{\hat{Z}}_1{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1---\left(7\right)$

式（7）中，Y_qr、

和分别为LuGre动态摩擦模型的线性回归矩阵，

和

分别为LuGre动态摩擦模型的调整参数；

c、根据Lyapunov稳定性原理，确定调整参数

和

的自适应律分别如式（8）、式（9）、式（10）和式（11）所示：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ξ}}}=-{\mathrm{\Γ}}^{T}Y{(q,\stackrel{\·}{q},{\stackrel{\·}{q}}_r,{\stackrel{\·\·}{q}}_r)}^T{e}_r---\left(8\right)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}}_0=-{\mathrm{\Γ}}_0^T{\hat{Z}}_0^T{e}_r---\left(9\right)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}}_1={\mathrm{\Γ}}_1^T{\hat{Z}}_1^T\mathrm{\Ψ}{e}_r---\left(10\right)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{\mathrm{\θ}}}_3=-{\mathrm{\Γ}}_3^T{Y}_{\mathrm{qr}}^T{e}_r---\left(11\right)$

Γ、Γ₀、Γ₁和Γ₃均为正定的增益对角矩阵。

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