CN104965413A - 受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法，属于机电伺服控制领域，方法包括：建立具有摩擦动态的受控化发射平台的数学模型；设计具有摩擦补偿的自适应控制器；具有摩擦补偿的自适应控制器稳定性测试。本发明基于自适应的控制方法，融合了滑模观测和摩擦补偿的思想，通过自适应控制策略自适应摩擦力参数和系统参数，在控制器中补偿摩擦力，增加系统的跟踪性能；有效地补偿了系统的非线性摩擦和框架间耦合干扰力矩，保证了伺服系统优良的控制性能，并且保证全局渐近稳定。

Description

受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法

技术领域

本发明属于机电伺服控制技术领域，特别是一种受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法。

背景技术

受控化发射平台广泛用于防空武器当中，其由方位框架和俯仰框架两部分构成，两者的数学模型基本一致，因此可以以方位伺服系统为对象进行控制器的设计和仿真研究。

在受控化发射平台的工作过程中，非线性摩擦存在于发射平台双轴耦合伺服系统中，对伺服性能有着重要影响，甚至对某些性能有着决定性影响。非线性摩擦补偿是伺服系统先进控制策略设计所面临的共性问题。在以往研究中，为了降低控制策略的设计难度，基于简化摩擦模型的补偿方法被广泛研究。这种简化的设计固然给控制器工程实现带来方便，并使系统控制性能对主要摩擦特性不敏感，然而，简化的控制策略总是存在补偿不准确的问题，尤其在低速伺服阶段，简化的控制策略设计可能不但不能有效抑制摩擦，更为严重的缺点是基于简化摩擦模型的控制器设计甚至可能由于补偿不精确会加重系统的非线性摩擦行为，造成自激极限环震荡。另一方面，发射平台双轴耦合伺服系统由方位框架和俯仰框架两部分组成，当这两部分同时运动时，会因陀螺效应而产生耦合干扰力矩，从而给系统的控制性能造成一定的影响。

发明内容

本发明的目的在于提供一种受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法，解决受控化发射平台中摩擦力补偿、两框架运动耦合以及系统参数不好获取等问题。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立具有摩擦动态的受控化发射平台的数学模型；

步骤2，设计具有摩擦补偿的自适应控制器；

步骤3，具有摩擦补偿的自适应控制器稳定性测试。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：(1)本发明通过自适应控制自适应摩擦力参数和系统参数，在控制器中补偿摩擦力，增加受控化发射平台的跟踪性能；(2)本发明自适应了摩擦力参数以及伺服系统框架间耦合系数，从而补偿了系统的非线性摩擦和框架间耦合干扰力矩，保证了伺服系统优良的控制性能；(3)本发明将摩擦的非线性动态考虑进入控制器的设计中，并证明被控系统的全局稳定性；(4)本发明仅要求系统各参数物理有界，不需要准确知道系统各参数的上下界的大小。

附图说明

图1为本发明的受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法流程图。

图2为本发明的受控化发射平台的原理图。

图3为本发明的输出摩擦补偿自适应控制方法原理示意图。

图4为本发明实施例的摩擦补偿AC控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪过程。

图5为本发明实施例的输出反馈ARC控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线。

图6为本发明实施例的摩擦补偿AC控制器作用下受控化发射平台控制输入随时间变化的曲线图。

图7为本发明实施例的滑模观测器对z的估计曲线图。

图8为本发明实施例的滑模观测器对z的估计误差曲线图。

图9为本发明实施例的滑模观测器对的估计曲线图。

图10为本发明实施例的滑模观测器对的估计曲线图。

图11为本发明实施例的摩擦补偿AC控制器和无摩擦部分AC控制及传统PID控制器控制作用下跟踪误差曲线图。

图12为本发明实施例的摩擦补偿AC控制器对θ₁估计值随时间变化的曲线图。

图13为本发明所设计的本发明所设计的摩擦补偿AC控制器对θ₂估计值随时间变化的曲线图。

图14为本发明所设计的本发明所设计的摩擦补偿AC控制器对θ₃估计值随时间变化的曲线图。

图15为本发明所设计的本发明所设计的摩擦补偿AC控制器对θ₄估计值随时间变化的曲线图。

图16为本发明所设计的本发明所设计的摩擦补偿AC控制器对θ₅估计值随时间变化的曲线图。

图17为本发明所设计的本发明所设计的摩擦补偿AC控制器对θ₆估计值随时间变化的曲线图。

图18为本发明所设计的本发明所设计的摩擦补偿AC控制器对θ₇估计值随时间变化的曲线图。

具体实施方式

结合图1，本发明的受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立具有摩擦动态的受控化发射平台的数学模型，具体如下；

步骤1-1、如图2所示，本发明所考虑的受控化发射平台由方位框架伺服系统和俯仰框架伺服系统两部分构成，两者的数学模型一致，因此以方位伺服系统为对象进行控制器的设计和仿真研究。本受控化发射平台通过配有电气驱动器的永磁直流电机驱动方位和俯仰两方向的惯性负载，以受控化发射平台方位伺服系统为对象，根据牛顿第二定律，受控化发射平台方位伺服系统的运动方程为：

$J\stackrel{\·}{y}=k_{u}u-F-c_{1}w-c_2\stackrel{\·}{w}-d_n---\left(1\right)$

式(1)中J为电机输出端的惯性负载参数，k_u为电机输出端的电压力矩放大系数，F为摩擦力，d_n为常值干扰，w、为俯仰伺服系统的角速度和角加速度，c₁、c₂是对应于w、的方位伺服系统和俯仰伺服系统之间耦合的耦合系数，y为惯性负载的位移，为惯性负载的加速度，u为系统的控制输入，t为时间变量；

步骤1-2、在系统运行过程中，使用LuGre动态摩擦模型描述系统执行机构所受到的摩擦力的行为，LuGre动态摩擦模型如下：

$\stackrel{\·}{z}=-\mathrm{\α}\left(\stackrel{\·}{y}\right)\left|\stackrel{\·}{y}\right|z+\stackrel{\·}{y}---\left(2\right)$

$F={\mathrm{\σ}}_{0}z+{\mathrm{\σ}}_1\stackrel{\·}{z}+{\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{y}---\left(3\right)$

其中，z为摩擦状态变量，其全局有界，的倒数为摩擦效应的正滑动函数，为一已知函数，F为摩擦力，σ₀为在速度方向的位置-力的等效刚度，σ₁为阻尼摩擦系数，σ₂为粘性摩擦系数；的表达式如下：

$\mathrm{\α}\left(\stackrel{\·}{y}\right)=\frac{1}{F_C+(F_S-F_C)e^{-{(\stackrel{\·}{y}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}}---\left(4\right)$

其中，F_C为库仑摩擦力，F_S为静摩擦力，为Stribeck速度。

综上，受控化发射平台的动态方程为：

$J\stackrel{\·\·}{y}=k_{u}u-{\mathrm{\σ}}_{0}z-{\mathrm{\σ}}_1\stackrel{\·}{z}-{\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{y}-c_{1}w-c_2\stackrel{\·}{w}-d_n---\left(5\right)$

步骤1-3、定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_2=u-{\mathrm{\θ}}_{2}z-{\mathrm{\θ}}_3\stackrel{\·}{z}-{\mathrm{\θ}}_4\stackrel{\·}{y}-{\mathrm{\θ}}_{5}w-{\mathrm{\θ}}_6\stackrel{\·}{w}-{\mathrm{\θ}}_7---\left(6\right)$

y＝x₁

式(6)中，其中 ${\mathrm{\θ}}_1=\frac{J}{k_u},{\mathrm{\θ}}_2=\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{k_u},{\mathrm{\θ}}_3=\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{k_u},{\mathrm{\θ}}_4=\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{k_u},{\mathrm{\θ}}_5=\frac{c_1}{k_u},{\mathrm{\θ}}_6=\frac{c_2}{k_u},{\mathrm{\θ}}_7=\frac{d_n}{k_u}$ 均为缓变量；即，系统各参数J、k_u、σ₀、σ₁、σ₂、c₁、c₂、d_n为随时间缓变或者不变的物理量，满足：

$\stackrel{\·}{J}={\stackrel{\·}{k}}_u={\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}}_0={\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}}_1={\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}}_2={\stackrel{\·}{c}}_1={\stackrel{\·}{c}}_2={\stackrel{\·}{d}}_n=0---\left(7\right)$

且系统各参数J、k_u、σ₀、σ₁、σ₂、c₁、c₂、d_n均为未知有界参数，其的上下界未知；

x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度。

步骤2、设计具有摩擦补偿的自适应控制器，具体如下：

步骤2-1、为了在自适应控制器中补偿摩擦力，需要知道摩擦的状态z和为便于自适应控制器设计，设计使用滑模观测器对摩擦状态进行观测，定义系统位置跟踪误差e₀、速度跟踪误差e₁及e₀和e₁组成的变量ε(t)：

e₀＝x₁-x_d          (8)

$e_1={\stackrel{\·}{x}}_1-{\stackrel{\·}{x}}_d=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_d---\left(9\right)$

ε(t)＝e₁+λe₀＝s           (10)

其中，x_d为系统所要跟踪的给定信号，x_d和其导数连续且有界。λ为一正常数，s为滑模面。

设计滑模观测器为：

$\stackrel{\·}{\hat{z}}=-\mathrm{\α}\left(x_2\right)\left|x_2\right|\hat{z}+x_2-{\mathrm{\μ}}_{0}sign\left(s\right)---\left(11\right)$

其中，为摩擦状态z的估计，μ₀为一正常数。

$sign\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ -1& s<0\end{array}\right.$

si gn(0)∈[-1,1]

则有估计误差动态为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}=-\mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)\left|x_2\right|\tilde{z}-{\mathrm{\&mu;}}_{0}sign\left(s\right)---\left(12\right)$

其中估计误差通过式(12)可知，通过选取合适的μ₀使得ε(t)为0和渐近为0。根据滑模等效控制理论，观测器的输出和由高频和低频成分构成，其中低频成分等效为和为更为准确地估计z和将和代替用于估计z和 和经过一个低通滤波器即得到和

$\mathrm{\&tau;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}}_{eq}+{\hat{z}}_{eq}=\hat{z}$

$\mathrm{\&tau;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\hat{z}}}_{eq}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}}_{eq}=\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}$

其中，τ为低通滤波器的时间常数；

步骤2-2、针对受控化发射平台状态方程式(6)，当系统各参数θ₁、θ₂、θ₃、θ₄、θ₅、θ₆、θ₇均已知时，摩擦状态z和也已知，则控制量可设计为：

$u^{*}=-k_d\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_1({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{\&lambda;e}}_1)+{\mathrm{\&theta;}}_{2}z+{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{z}+{\mathrm{\&theta;}}_4{x}_2+{\mathrm{\&theta;}}_{5}w+{\mathrm{\&theta;}}_6\stackrel{\&CenterDot;}{w}+{\mathrm{\&theta;}}_7---\left(14\right)$

其中，控制器可调参数k_d>0，θ₁、θ₂、θ₃、θ₄、θ₅、θ₆、θ₇均为系统参数真值，z和为摩擦真实状态，则代入式(6)中有：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\left(t\right)=-(k_d/{\mathrm{\&theta;}}_1)\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(15\right)$

因为k_d>0，故ε(t)将渐近趋于0，即，x₁→x_d，故名义控制量u^*可将摩擦力准确的补偿，并且使得x₁→x_d，

根据自适应控制理论，基于参数θ₁、θ₂、θ₃、θ₄、θ₅、θ₆、θ₇和摩擦状态z和的估计值和设计自适应控制器为：

$u=-k_d\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{\&lambda;e}}_1)+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2\hat{z}+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4{x}_2+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{5}w+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_6\stackrel{\&CenterDot;}{w}+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_7---\left(16\right)$

参数的自适应律设计为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_1=-\mathrm{\&eta;}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{\&lambda;e}}_1\&rsqb;---\left(17\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2=-\mathrm{\&gamma;}\hat{z}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(18\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_3=-\mathrm{\&beta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(19\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_4=-{\mathrm{\&chi;x}}_2\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(20\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_5=-{\mathrm{\&tau;}}_{1}w\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(21\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_6=-{\mathrm{\&tau;}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{w}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(22\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_7=-k\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(23\right)$

其中，η、γ、β、χ、τ₁、τ₂、k、k_d、λ为自适应律增益，均为正常数。

步骤3、具有摩擦补偿的自适应控制器稳定性测试，具体如下：

步骤3-1、因ε(t)＝e₁+λe₀，则有

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\left(t\right)={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1+{\mathrm{\&lambda;e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+{\mathrm{\&lambda;e}}_1)---\left(24\right)$

则

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\left(t\right)={\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_1({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+{\mathrm{\&lambda;e}}_1)\\ =u-{\mathrm{\&theta;}}_{2}z-{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{z}-{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;}{y}-{\mathrm{\&theta;}}_{5}w-{\mathrm{\&theta;}}_6\stackrel{\&CenterDot;}{w}-{\mathrm{\&theta;}}_7-{\mathrm{\&theta;}}_1({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+{\mathrm{\&lambda;e}}_1)\end{array}---\left(25\right)$

定义李雅普诺夫函数如下：

$V\left(t\right)=\frac{1}{2}\&lsqb;{\mathrm{\&theta;}}_1{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(i\right)+\frac{1}{\mathrm{\&eta;}}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1^2+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^2+\frac{1}{\mathrm{\&beta;}}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_3^2+\frac{1}{\mathrm{\&chi;}}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_4^2+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_5^2+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_6^2+\frac{1}{k}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_7^2+{\tilde{z}}^2\&rsqb;---\left(26\right)$

其中， ${\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_i={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i-{\mathrm{\&theta;}}_i,(i=1,2,3,4,5,6,7)$

即：

$\begin{array}{c}V\left(t\right)=\frac{1}{2}\&lsqb;{\mathrm{\&theta;}}_1{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\frac{1}{\mathrm{\&eta;}}{\left({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_1\right)}^2+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}{\left({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_2\right)}^2+\frac{1}{\mathrm{\&beta;}}{\left({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3-{\mathrm{\&theta;}}_3\right)}^2+\frac{1}{\mathrm{\&chi;}}{\left({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4-{\mathrm{\&theta;}}_4\right)}^2+\\ \frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}{\left({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_5-{\mathrm{\&theta;}}_5\right)}^2+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}{\left({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_6-{\mathrm{\&theta;}}_6\right)}^2+\frac{1}{k}{\left({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_7-{\mathrm{\&theta;}}_7\right)}^2+\tilde{z}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\&rsqb;\end{array}---\left(27\right)$

李雅普诺夫方程的导数为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)={\mathrm{\&theta;}}_1\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\left(t\right)+\frac{1}{\mathrm{\&eta;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_1){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_1+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_2){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2+\frac{1}{\mathrm{\&beta;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3-{\mathrm{\&theta;}}_3){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_3+\\ \frac{1}{\mathrm{\&chi;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4-{\mathrm{\&theta;}}_4){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_4+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_5-{\mathrm{\&theta;}}_5){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_5+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_6-{\mathrm{\&theta;}}_6){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_6+\frac{1}{k}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_7-{\mathrm{\&theta;}}_7){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_7+\tilde{z}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\end{array}---\left(28\right)$

将式(25)代入(28)中

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)=u\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_{2}z\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{z}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;}{y}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_{5}w\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_6\stackrel{\&CenterDot;}{w}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_7\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-\\ {\mathrm{\&theta;}}_1\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+{\mathrm{\&lambda;e}}_1\&rsqb;\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+\frac{1}{\mathrm{\&eta;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_1){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_1+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_2){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2+\frac{1}{\mathrm{\&beta;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3-{\mathrm{\&theta;}}_3){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_3+\\ \frac{1}{\mathrm{\&chi;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4-{\mathrm{\&theta;}}_4){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_4+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_5-{\mathrm{\&theta;}}_5){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_5+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_6-{\mathrm{\&theta;}}_6){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_6+\frac{1}{k}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_7-{\mathrm{\&theta;}}_7){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_7+\tilde{z}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\end{array}---\left(29\right)$

将式(17)～(23)代入(29)中化简有：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)=u\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_2\tilde{z}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+\frac{1}{\mathrm{\&eta;}}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1(-\mathrm{\&eta;}\mathrm{\&epsiv;}(t)\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{\&lambda;e}}_1\&rsqb;)+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2(-\mathrm{\&gamma;}\hat{z}\mathrm{\&epsiv;}(t))+\\ \frac{1}{\mathrm{\&beta;}}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3(-\mathrm{\&beta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}\mathrm{\&epsiv;}(t\left)\right)+\frac{1}{\mathrm{\&chi;}}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4(-{\mathrm{\&chi;x}}_2\mathrm{\&epsiv;}(t\left)\right)+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_5(-{\mathrm{\&tau;}}_{1}w\mathrm{\&epsiv;}(t\left)\right)+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_6(-{\mathrm{\&tau;}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{w}\mathrm{\&epsiv;}(t\left)\right)+\\ \frac{1}{k}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_7(-k\mathrm{\&epsiv;}(t\left)\right)+\tilde{z}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\end{array}---\left(30\right)$

将式(16)代入(30)中有

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)=-k_d{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_2\tilde{z}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\tilde{z}}^2---\left(31\right)$

将同时式(12)代入(31)中，由均值不等式有：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)=-k_d{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_2\tilde{z}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+\tilde{z}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\\ \&le;-k_d{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\tilde{z}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\\ \tilde{z}(-\mathrm{\&alpha;}(x_2\left)\right|x_2|\tilde{z}-{\mathrm{\&mu;}}_{0}sign(s\left)\right)\\ =-k_d{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\tilde{z}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)-\\ \mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)\left|x_2\right|{\tilde{z}}^2-{\mathrm{\&mu;}}_0\tilde{z}sign\left(s\right)\\ =\&lsqb;k_d-\frac{1}{2}({\mathrm{\&theta;}}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3)\&rsqb;{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)-\&lsqb;\mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)\left|x_2\right|{\tilde{z}}^2+{\mathrm{\&mu;}}_0\tilde{z}sign\left(s\right)-\\ \frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\tilde{z}}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2\&rsqb;\end{array}---\left(32\right)$

故当下式满足时：

$k_d>\frac{1}{2}({\mathrm{\&theta;}}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3)---\left(33\right)$

${\mathrm{\&mu;}}_0<\left|\mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)\right|x_2\left|\tilde{z}-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2\tilde{z}-\frac{1}{2\tilde{z}}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2\right|---\left(34\right)$

有：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)<0---\left(35\right)$

步骤3-2、因为且V(t)正定，故V(t)有界，即 ε(t)均有界；又因参数θ_i(i＝1，2，3，4，5，6，7)均有界，则 也一致有界；同时，ε(t)有界且x_d、也有界，则x₁、x₂也一致有界；w，为受控化发射平台方位方向角速度和角加速度，也是一致有界的；因为x₂及α(x₂)有界，由式(2)可知，摩擦状态z也一致有界，由滑模观测器观测误差动态方程(12)可知也有界，故有界；由滑模观测器方程(11)可知，亦一致有界；

由控制量表达式(16)可知，构成u的表达式均一致有界，故控制量u有界。故控制系统中所有量均有界；

由式(32)有：

$\begin{array}{c}V(+\mathrm{\&infin;})-V\left(0\right)\&le;-{\&Integral;}_0^{+\mathrm{\&infin;}}\{\&lsqb;k_d-\frac{1}{2}({\mathrm{\&theta;}}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3)\&rsqb;{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\&lsqb;\mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)|x_2|{\tilde{z}}^2+\\ {\mathrm{\&mu;}}_0\tilde{z}sign\left(s\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\tilde{z}}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2\&rsqb;\}dt\end{array}---\left(36\right)$

即：

$\begin{array}{c}{\&Integral;}_0^{+\mathrm{\&infin;}}\&lsqb;k_d-\frac{1}{2}({\mathrm{\&theta;}}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3)\&rsqb;{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)dt\&le;V(+\mathrm{\&infin;})-V\left(0\right){\&Integral;}_0^{+\mathrm{\&infin;}}\{\&lsqb;\mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)|x_2|{\tilde{z}}_2+\\ {\mathrm{\&mu;}}_0\tilde{z}sign\left(s\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\tilde{z}}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2\&rsqb;\}dt\end{array}---\left(37\right)$

因V(t)有界，由(37)可知，ε∈L₂范数，即将收敛到一个界内，又由式(24)可知，范数，即，当t→∞时，有界，则由Barbalat引理有，即，当时间趋于无穷大时，ε(t)将收敛到零。由(24)可知，当ε(t)收敛到零，系统跟踪误差也将渐近收敛到0，即x₁→x_1d，最终实现位置的准确跟踪。

因此有结论：针对受控化发射平台(2)设计的摩擦补偿自适应控制器可以使系统得到全局渐近稳定的结果，受控化发射平台摩擦补偿自适应控制原理示意图如图3所示。

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例

为考核所设计的控制器性能，在仿真中取如下参数对受控化发射平台进行建模：

惯性负载参数J＝0.0138kg·m²；粘性摩擦系数B＝0.2N·m·s/rad；力矩放大系数k_u＝53.6N·m/V；常值干扰d_n＝1N·m；俯仰方位耦合系数c₁＝0.14N·m(rad/s),c₂＝0.13N·m(rad/s)；在速度方向的位置-力的等效刚度σ₀＝0.03N·m/rad，阻尼摩擦系数σ₁＝0.8N·m·s/rad，粘性摩擦系数σ₂＝0.65N·m·s/rad，库仑摩擦力F_C＝16.69N·m，静摩擦力F_S＝2.19N·m，Stribeck速度俯仰方向的位置运动方程为θ＝0.1sin(πt)[1-exp(-0.01t₃)](rad)；

给定系统的期望指令为x_1d＝8sin(πt)[1-exp(-0.01t₃)](rad)。

取如下的控制器以作对比：

摩擦补偿自适应(AC)控制器：取滑模观测器参数μ₀＝0.001，λ＝100；控制器参数k_d＝1；自适应律增益η＝0.01、γ＝0.05、β＝0.05、χ＝0.05、τ₁＝0.5、τ₂＝0.5、k＝1；俯仰方向角速度，角加速度由θ微分得到。

PID控制器：PID控制器参数的选取步骤是：首先在忽略直驱电机系统非线性动态的情况下，通过MATLAB中的PID参数自整定功能获得一组控制器参数，然后在将系统的非线性动态加上后对已获得的自整定参数进行微调使系统获得最佳的跟踪性能。选取的控制器参数为k_P＝1,k_I＝0.665,k_D＝0.01576。

AC控制器：控制器参数k_d＝1；自调节律增益η＝0.01、τ₁＝0.5、τ₂＝0.5、k＝1；俯仰方向角速度，角加速度由θ微分得到。

摩擦补偿AC控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪如图4所示、跟踪误差如图5所示、摩擦补偿AC控制器与AC控制器及PID控制器的跟踪误差对比如图11所示。由图4可知，受控化发射平台的位置输出和期望指令曲线基本重合，在摩擦补偿AC控制器作用下，受控化发射平台的位置输出对指令的跟踪精度很高，由图5可知，稳态跟踪误差的幅值约为-1×10^-6(rad)，从图11中3种控制器的跟踪误差对比可以看出本发明所提出的摩擦补偿AC控制器的跟踪误差相较于PID控制器和AC控制器要小很多，AC控制器的稳态跟踪误差的幅值约为6×10^-3(rad)，，PID控制器的稳态跟踪误差的幅值约为0.7(rad)。

图6是本发明摩擦补偿AC控制器的控制量曲线。从图中可以看出，所获得的控制输入是低频连续的信号，利于在实际应用中的执行。

图7、图8是本发明摩擦补偿AC控制器中滑模观测器估计摩擦内状态z和估计的摩擦内状态与真值之间的估计误差曲线。从图7可以看出，滑模观测器估计摩擦内状态的曲线和实际摩擦内动态曲线基本重合，从图8中可以看出，所设计的滑模观测器对摩擦内状态z的估计达到了5×10^-4的精度。

图9、图10是本发明摩擦补偿AC控制器中滑模观测器估计摩擦内状态和估计的摩擦内状态与真值之间的估计误差曲线。从图9可以看出滑模观测器估计摩擦内状态的曲线和实际摩擦内动态曲线基本重合，从图10可以看出，所设计的滑模观测器对摩擦内状态z的估计达到了2×10^-3的精度。

图12、图13、图14、图15、图16、图17和图18分别为摩擦补偿AC控制器对θ₁、θ₂、θ₃、θ₄、θ₅、θ₆、θ₇的自适应估计值。在真实工况下，这些参数均不好获取，而由图可知，即使我们得不到这些参数的准确值，通过摩擦补偿AC控制器也可实现对其的自适应，从而获取良好的位置跟踪结果。

Claims (4)

1.一种受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立具有摩擦动态的受控化发射平台的数学模型；

步骤2，设计具有摩擦补偿的自适应控制器；

步骤3，具有摩擦补偿的自适应控制器稳定性测试。

2.根据权利要求1所述的受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法，其特征在于，步骤1所述建立具有摩擦动态的受控化发射平台的数学模型，具体如下：

步骤1-1、受控化发射平台通过配有电气驱动器的永磁直流电机驱动俯仰和方位两个方向的惯性负载，以受控化发射平台方位伺服系统为对象，根据牛顿第二定律，受控化发射平台方位伺服系统的运动方程为：

$J\stackrel{\&CenterDot;}{y}=k_{u}u-F-c_{1}w-c_2\stackrel{\&CenterDot;}{w}-d_n---\left(1\right)$

式(1)中J为电机输出端的惯性负载参数，k_u为电机输出端的电压力矩放大系数，F为摩擦力，d_n为常值干扰，w、为俯仰伺服系统的角速度和角加速度，c₁、c₂是对应于w、的方位伺服系统和俯仰伺服系统之间耦合的耦合系数，y为惯性负载的位移，为惯性负载的加速度，u为系统的控制输入，t为时间变量；

步骤1-2、在系统运行过程中，采用LuGre动态摩擦模型描述系统执行机构所受到的摩擦力的行为，LuGre动态摩擦模型如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{z}=-\mathrm{\&alpha;}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)\left|\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right|z+\stackrel{\&CenterDot;}{y}---\left(2\right)$

$F={\mathrm{\&sigma;}}_{0}z+{\mathrm{\&sigma;}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{z}+{\mathrm{\&sigma;}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{y}---\left(3\right)$

其中，z为摩擦状态变量，其全局有界；的倒数为摩擦效应的正滑动函数，为一已知函数；F为摩擦力，σ₀为在速度方向的位置-力的等效刚度，σ₁为阻尼摩擦系数，σ₂为粘性摩擦系数；的表达式如下：

$\mathrm{\&alpha;}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)=\frac{1}{F_C+(F_S-F_C)e^{-{(\stackrel{\&CenterDot;}{y}/{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_s)}^2}}---\left(4\right)$

其中，F_C为库仑摩擦力，F_S为静摩擦力，为Stribeck速度；

综上，受控化发射平台的动态方程为：

$J\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=k_{u}u-{\mathrm{\&sigma;}}_{0}z-{\mathrm{\&sigma;}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{z}-{\mathrm{\&sigma;}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{y}-c_{1}w-c_2\stackrel{\&CenterDot;}{w}-d_n---\left(5\right)$

步骤1-3、定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=u-{\mathrm{\&theta;}}_{2}z-{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{z}-{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;}{y}-{\mathrm{\&theta;}}_{5}w-{\mathrm{\&theta;}}_6\stackrel{\&CenterDot;}{w}-{\mathrm{\&theta;}}_7---\left(6\right)$

y＝x₁

式(6)中，其中 ${\mathrm{\&theta;}}_1=\frac{J}{k_u},{\mathrm{\&theta;}}_2=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0}{k_u},{\mathrm{\&theta;}}_3=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_1}{k_u},{\mathrm{\&theta;}}_4=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_2}{k_u},{\mathrm{\&theta;}}_5=\frac{c_1}{k_u},{\mathrm{\&theta;}}_6=\frac{c_2}{k_u},\mathrm{\&theta;}=\frac{d_n}{k_u}$ 均为缓变量；即系统各参数J、k_u、σ₀、σ₁、σ₂、c₁、c₂、d_n为随时间缓变或者不变的物理量，满足：

$\stackrel{\&CenterDot;}{J}={\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_u={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_0={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{c}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{c}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_n=0---\left(7\right)$

且系统各参数J、k_u、σ₀、σ₁、σ₂、c₁、c₂、d_n均为未知有界参数，其上下界未知；

其中，x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度。

3.根据权利要求1所述的受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法，其特征在于，步骤2所述设计具有摩擦补偿的自适应控制器，具体如下：

步骤2-1、系统位置跟踪误差e₀、速度跟踪误差e₁及e₀和e₁组成的变量ε(t)为：

e₀＝x₁-x_d              (8)

$e_1={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_h=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d---\left(9\right)$

ε(t)＝e₁+λe₀＝s           (10)

其中，x_d为系统所要跟踪的给定信号，x_d和其导数连续且有界；λ为一正常数，s为滑模面；

设计滑模观测器为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}=-\mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)\left|x_2\right|\hat{z}+x_2-{\mathrm{\&mu;}}_{0}sign\left(s\right)---\left(11\right)$

其中，为摩擦状态z的估计，μ₀为一正常数；

$sign\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ -1& s<0\end{array}\right.$

sign(0)∈[-1,1]

则有估计误差动态为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}=-\mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)\left|x_2\right|\tilde{z}-{\mathrm{\&mu;}}_0\mathrm{si}gn\left(s\right)---\left(12\right)$

其中估计误差通过式(12)可知，通过选取合适的μ₀使得ε(t)为0和渐近为0。根据滑模等效控制理论，观测器的输出和由高频和低频成分构成，其中低频成分为和将和代替用于估计z和和经过一个低通滤波器即得到和

$\mathrm{\&tau;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}}_{eq}+{\hat{z}}_{eq}=\hat{z}---\left(13\right)$

$\mathrm{\&tau;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\hat{z}}}_{eq}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}}_{eq}=\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}$

其中，τ为低通滤波器的时间常数；

步骤2-2、针对受控化发射平台状态方程式(6)，当系统各参数θ₁、θ₂、θ₃、θ₄、θ₅、θ₆、θ₇均已知时，摩擦状态z和也已知，则控制量设计为：

$u^{*}=-k_d\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_1({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_h-{\mathrm{\&lambda;e}}_1)+{\mathrm{\&theta;}}_{2}z+{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{z}+{\mathrm{\&theta;}}_4{x}_2+{\mathrm{\&theta;}}_{5}w+{\mathrm{\&theta;}}_6\stackrel{\&CenterDot;}{w}+{\mathrm{\&theta;}}_7---\left(14\right)$

其中，控制器可调参数k_d>0，θ₁、θ₂、θ₃、θ₄、θ₅、θ₆、θ₇均为系统参数真值，z和为摩擦真实状态，则代入式(6)中有：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\left(t\right)=-(k_d/{\mathrm{\&theta;}}_1)\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(15\right)$

因为k_d>0，故ε(t)将渐近趋于0，即，x₁→x_d，故名义控制量u^*能够将摩擦力补偿，并且使得x₁→x_d，

根据自适应控制理论，基于参数θ₁、θ₂、θ₃、θ₄、θ₅、θ₆、θ₇和摩擦状态z和的估计值和设计自适应控制器为：

$u=-k_d\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{\&lambda;e}}_1)+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2\hat{z}+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4{x}_2+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{5}w+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_6\stackrel{\&CenterDot;}{w}+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_7---\left(16\right)$

参数的自适应律设计为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_1=-\mathrm{\&eta;}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{\&lambda;e}}_1\&rsqb;---\left(17\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2=-\mathrm{\&gamma;}\hat{z}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(18\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_3=-\mathrm{\&beta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(19\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_4=-{\mathrm{\&chi;x}}_2\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(20\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_5=-{\mathrm{\&tau;}}_{1}w\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(21\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_6=-{\mathrm{\&tau;}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{w}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(22\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_7=-k\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(23\right)$

其中，η、γ、β、χ、τ₁、τ₂、k、k_d、λ为自适应律增益，均为正常数。

4.根据权利要求1所述的受控化发射平台的摩擦补偿自适应控制方法，其特征在于，步骤3所述具有摩擦补偿的自适应控制器稳定性测试，具体如下：

步骤3-1、因ε(t)＝e₁+λe₀，则有

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\left(t\right)={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1+{\mathrm{\&lambda;e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+{\mathrm{\&lambda;e}}_1)---\left(24\right)$

则

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\left(t\right)={\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_1({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+{\mathrm{\&lambda;e}}_1)\\ =u-{\mathrm{\&theta;}}_{2}z-{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{z}-{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;}{y}-{\mathrm{\&theta;}}_{5}w-{\mathrm{\&theta;}}_6\stackrel{\&CenterDot;}{w}-{\mathrm{\&theta;}}_7-{\mathrm{\&theta;}}_1({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+{\mathrm{\&lambda;e}}_1)\end{array}---\left(25\right)$

定义李雅普诺夫函数如下：

$V\left(t\right)=\frac{1}{2}\&lsqb;{\mathrm{\&theta;}}_1{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\frac{1}{\mathrm{\&eta;}}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1^2+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^2+\frac{1}{\mathrm{\&beta;}}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_3^2+\frac{1}{\mathrm{\&chi;}}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_4^2+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_5^2+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_6^2+\frac{1}{k}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_7^2+{\tilde{z}}^2\&rsqb;---\left(26\right)$

其中，(i＝1，2，3，4，5，6，7)

即：

$\begin{array}{c}V\left(t\right)=\frac{1}{2}\&lsqb;{\mathrm{\&theta;}}_1{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\frac{1}{\mathrm{\&eta;}}{({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_1)}^2+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}{({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_2)}^2\frac{1}{\mathrm{\&beta;}}{({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3-{\mathrm{\&theta;}}_3)}^2+{({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4-{\mathrm{\&theta;}}_4)}^2+\\ \frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}{({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_5-{\mathrm{\&theta;}}_5)}^2+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}{({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_6-{\mathrm{\&theta;}}_6)}^2+\frac{1}{k}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_7-{\mathrm{\&theta;}}_7)+\tilde{z}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\&rsqb;\end{array}---\left(27\right)$

李雅普诺夫方程的导数为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)={\mathrm{\&theta;}}_1\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\left(t\right)+\frac{1}{\mathrm{\&eta;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_1){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_1+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_2){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2+\frac{1}{\mathrm{\&beta;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3-{\mathrm{\&theta;}}_3)\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}+\\ \frac{1}{\mathrm{\&chi;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4-{\mathrm{\&theta;}}_4){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_4+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_5-{\mathrm{\&theta;}}_5){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_5+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_6-{\mathrm{\&theta;}}_6){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_6+\frac{1}{k}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_7-{\mathrm{\&theta;}}_7){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_7+\tilde{z}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\end{array}---\left(28\right)$

将式(25)代入(28)中，

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)=u\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_{2}z\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{z}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;}{y}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_{5}w\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_6\stackrel{\&CenterDot;}{w}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_7\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)-\\ {\mathrm{\&theta;}}_1\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+{\mathrm{\&lambda;e}}_1\&rsqb;\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+\frac{1}{\mathrm{\&eta;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_1){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_1+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_2){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2+\frac{1}{\mathrm{\&beta;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3-{\mathrm{\&theta;}}_3){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_3+\\ \frac{1}{\mathrm{\&chi;}}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4-{\mathrm{\&theta;}}_4){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_4+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_5-{\mathrm{\&theta;}}_5){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_5+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_6-{\mathrm{\&theta;}}_6){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_6+\frac{1}{k}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_7-{\mathrm{\&theta;}}_7){\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_7+\tilde{z}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\end{array}---\left(29\right)$

将式(17)～(23)代入(29)中化简有：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)=u\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_2\tilde{z}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+\frac{1}{\mathrm{\&eta;}}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1(-\mathrm{\&eta;}\mathrm{\&epsiv;}(t)\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{\&lambda;e}}_1\&rsqb;)+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2(-\mathrm{\&gamma;}\hat{z}\mathrm{\&epsiv;}(t\left)\right)+\\ \frac{1}{\mathrm{\&beta;}}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3(-\mathrm{\&beta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{z}}\mathrm{\&epsiv;}(t\left)\right)+\frac{1}{\mathrm{\&chi;}}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4(-{\mathrm{\&chi;x}}_2\mathrm{\&epsiv;}(t\left)\right)+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_5(-{\mathrm{\&tau;}}_{1}w\mathrm{\&epsiv;}(t\left)\right)+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_6(-{\mathrm{\&tau;}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{w}\mathrm{\&epsiv;}(t\left)\right)+\\ \frac{1}{k}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_7(-k\mathrm{\&epsiv;}(t\left)\right)+\tilde{z}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\end{array}---\left(30\right)$

将式(16)代入(30)中有，

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)=-k_d{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_2\tilde{z}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\tilde{z}}^2---\left(31\right)$

将同时式(12)代入(31)中，由均值不等式有：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)=-k_d{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_2\tilde{z}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_3\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+\tilde{z}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}\\ \&le;-k_d{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\tilde{z}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\\ \tilde{z}(-\mathrm{\&alpha;}(x_2\left)\right|x_2|\tilde{z}-{\mathrm{\&mu;}}_{0}sign(s\left)\right)\\ =k_d{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\tilde{z}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)-\\ \mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)\left|x_2\right|{\tilde{z}}^2-{\mathrm{\&mu;}}_0\tilde{z}sign\left(s\right)\\ =-\&lsqb;k_d-\frac{1}{2}({\mathrm{\&theta;}}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3)\&rsqb;{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)-\&lsqb;\mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)\left|x_2\right|{\tilde{z}}^2+{\mathrm{\&mu;}}_0\tilde{z}sign\left(s\right)-\\ \frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\tilde{z}}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2\&rsqb;\end{array}---\left(32\right)$

故当下式满足时：

$k_d>\frac{1}{2}({\mathrm{\&theta;}}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3)---\left(33\right)$

${\mathrm{\&mu;}}_0<\left|\mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)\right|x_2|\tilde{z}-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2\tilde{z}-\frac{1}{2\tilde{z}}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2|---\left(34\right)$

有：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)<0---\left(35\right)$

步骤3-2、因为且V(t)正定，故V(t)有界，即(i＝1，2，3，4，5，6，7)，ε(t)均有界；又因参数θ_i(i＝1，2，3，4，5，6，7)均有界，则(i＝1，2，3，4，5，6，7)也一致有界；同时，ε(t)有界且x_d、也有界，则x₁、x₂也一致有界；w，为受控化发射平台方位方向角速度和角加速度，也是一致有界的；因为x₂及α(x₂)有界，由式(2)可知，摩擦状态z也一致有界，由滑模观测器观测误差动态方程(12)可知也有界，故有界；由滑模观测器方程(11)可知，亦一致有界；

由控制量表达式(16)可知，构成u的表达式均一致有界，故控制量u有界；故控制系统中所有量均有界；

由式(32)有：

$\begin{array}{c}V(+\mathrm{\&infin;})-V\left(0\right)\&le;-{\&Integral;}_0^{+\mathrm{\&infin;}}\{\&lsqb;k_d-\frac{1}{2}({\mathrm{\&theta;}}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3)\&rsqb;{\mathrm{\&epsiv;}}^2+\&lsqb;\mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)|x_2|{\tilde{z}}^2+\\ {\mathrm{\&mu;}}_0\tilde{z}sign\left(s\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\tilde{z}}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2\&rsqb;\}dt\end{array}---\left(36\right)$

即：

$\begin{array}{c}{\&Integral;}_0^{+\mathrm{\&infin;}}\&lsqb;k_d-\frac{1}{2}({\mathrm{\&theta;}}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3)\&rsqb;{\mathrm{\&epsiv;}}^2\left(t\right)dt\&le;V(+\mathrm{\&infin;})-V\left(0\right)-{\&Integral;}_0^{+\mathrm{\&infin;}}\{\&lsqb;\mathrm{\&alpha;}\left(x_2\right)|x_2|{\tilde{z}}^2+\\ {\mathrm{\&mu;}}_0\tilde{z}sign\left(s\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_2{\tilde{z}}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}^2\&rsqb;\}dt\end{array}---\left(37\right)$

因V(t)有界，由(37)可知，ε∈L₂范数，即将收敛到一个界内，又由式(24)可知，范数，即，当t→∞时，有界，则由Barbalat引理有，即，当时间趋于无穷大时，ε(t)将收敛到零；由(24)可知，当ε(t)收敛到零，系统跟踪误差也将渐近收敛到0，即x₁→x_1d。