CN111158241B - 具有不确定时滞的线性奇异系统的时滞相关h∞控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明的目的在于提供一种具有不确定时滞的线性奇异系统的时滞相关H∞控制方法，包括：给出具有不确定时滞的线性奇异系统的状态空间描述；选取Lyapunov‑Krasovskii函数，利用改进的自由权和Lyapunov‑Krasovskii函数相结合的方法，推导并证明使系统内稳定，且具有给定H∞扰动抑制水平γ的有界实引理及LMI不等式；设计基于慢速子状态反馈的无记忆控制器u(t)＝Kx₁(t)，给出使闭环系统稳定的包含非线性的矩阵不等式条件；对该矩阵不等式条件进行合同变换，针对矩阵不等式中的非线性项定义新的额外的矩阵变量和矩阵逆的限制条件，利用锥补线性化迭代方法，将非线性矩阵不等式的求解问题转换成非线性最小化问题，使所得结果在保证闭环系统稳定的同时具有给定的扰动抑制水平γ。

Description

具有不确定时滞的线性奇异系统的时滞相关H∞控制方法

技术领域

本发明属于线性时滞系统稳定性与鲁棒控制技术领域，具体地说是一种具有不确定时滞的线性奇异系统的时滞相关H∞控制方法。

背景技术

对于线性时滞系统，无论是一般系统还是奇异系统，控制和设计的前提是保证系统的稳定性。对时滞系统的稳定性研究，主要有频域法和时域法两种方法。其中频域法是根据特征方程(对时滞系统来说，特征方程为一超越方程)的根来判定稳定性，所以当系统阶次比较高时，对其稳定性即对根的分布的判定会比较复杂，因此频域法用的比较少。时域法是基于系统的状态空间方程来分析系统的稳定性，目前大多数文献都是用时域法来分析和研究时滞系统的稳定性。

近年来，时域的Lyapunov方法成为研究系统稳定性的一个比较热门的方法，而对时滞奇异系统鲁棒稳定性和控制问题的研究也越来越被广大的研究者关注。目前文献中所给出的线性时滞奇异系统的稳定性条件，可以根据时滞的特点分为两类，一类是时滞无关的稳定性条件，另一类是时滞相关稳定性条件。第一类给出的稳定性判定条件中不包含时滞的信息，与时滞大小无关，对于小时滞系统来说，这类条件存在很大的保守性。第二类给出的稳定性判定条件与时滞相关，包含有时滞的相关信息。这类方法在选取Lyapunov-Krasovskii函数V时，一般是增加一个或几个二次型积分项，使

中出现时滞信息。

目前国内外文献对时滞系统稳定性的研究大都是针对如何降低所得结果的保守性来进行的，其中对Lyapunov-Krasovskii函数V的二次积分项的处理是问题的关键，也一直是该领域的难点。国内外学者提出了很多有效的处理方法，例如Gu等提出的离散Lyapunov-Krasovskii泛函方法，Fridman等给出的确定模型变换法，Han和Niculescu等提出的参数化模型变换法。2000年，Gu等指出模型变换法会增加保守性，给出了一个定界不等式来处理

中出现的交叉项。此后，Park为了降低保守性，又给出了新的定界不等式。2001年，Moon等又对Park不等式进行了改进。2004年，Wu等给出了改进的模型变换法，在L-K函数的导数中引入额外的的自由权矩阵，并指出该方法比模型变换有较小的保守性。2005年，Zhu等利用模型转换和Moon不等式，给出了参数不确定广义时滞系统的时滞相关稳定性条件。2006年，Su等将普通时滞系统的稳定性条件推广应用到了广义时滞系统。之后，又有更多的研究者给出了各种定界不等式来降低所得结果的保守性，如2010年，Sun等提出的琴声不等式；2015年Liu等提出的Wiritinger型积分不等式和Zeng等提出的自由矩阵型积分不等式等等。2016年，Sun等在L-K函数中加入三重积分项，推导了系统的稳定性条件。

综上，如何合理的选择和构建Lyapunov-Krasovskii函数，是降低保守性的关键。因为Lyapunov-Krasovskii函数法得到的稳定性条件是充分条件，所以泛函的构造，以及利用定界不等式对

进行缩放对结果的保守性影响很大，如何获得保守性更小的结果，一直是该领域的研究焦点。

发明内容

针对上述现有技术，本发明要解决的是技术问题是在现有研究成果的基础上，将改进的自由权与Lyapunov-Krasovskii函数结合的方法应用于线性时滞奇异系统，提供一种具有不确定时滞的线性奇异系统的时滞相关H∞控制方法。

为解决上述技术问题，本发明的一种具有不确定时滞的线性奇异系统的时滞相关H∞控制方法，包括以下步骤：

步骤一：建立具有状态时滞的线性奇异系统的状态空间模型，具体为：

其中，x(t)＝[x₁(t)；x₂(t)]∈Rⁿ为系统的状态向量，其中x₁(t)∈R^r表示系统的慢速状态，x₂(t)∈R^n-r为系统的快速状态；u(t)∈R^m为系统的控制输入；w(t)∈R^p为系统的干扰输入，且为能量有限信号，即w(t)∈L₂[0，∞)；z(t)为系统评价输出；

为状态的初始条件，且在区间[-h,0]上具有连续的一阶导数；矩阵E∈R^n×n为奇异矩阵，假定rank(E)＝r≤n；系数矩阵A₀₁，A₁₁，A₁₂，A₀₂，A₂₁，A₂₂，B₁，D₁，B₂，D₂，C₁，C₂，B₃，D₃为具有适当维数的常量矩阵，设该奇异系统满足正则无脉冲条件，即系统在[0,∞)上存在唯一的无脉冲解，假设时滞d(t)满足：0≤d(t)≤h，

步骤二：构造Lyapunov-Krasovskii函数，具体为：

其中P＝P^T>0，P∈R^r×r，R＝R^T≥0，R∈R^r×r，Q＝Q^T≥0，Q∈R^n×n，

求V(x_t)对时间变量的导数，并引入干扰抑制的H∞性能指标γ，然后根据第一步中的时滞奇异系统状态空间模型，推导满足不等式

的LMI条件，利用改进的自由权和Lyapunov-Krasovskii结合的方法，得到如下定理：

定理1：给定标量μ，γ，h>0，如果存在维数为r×r的矩阵P＝P^T>0，R＝R^T>0，维数为n×n的矩阵

维数为r×n的矩阵Z_i∈R^r×r，

以及维数为3r×r的矩阵N＝[N₁ N₂ N₃]^T，T＝[T₁ T₂ T₃]^T，M＝[M₁ M₂M₃]^T，使得下面LMI成立：

其中Ξ为如下矩阵：

其中

Ξ₁₃＝PA₁₂+Q₁₂A₂₂

Ξ₁₅＝PB₁+Q₁₂B₂

Ξ₂₃＝-(1-μ)Q₁₂

Ξ₃₃＝-(1-μ)Q₂₂

则步骤一中给出的满足时滞约束的时滞奇异系统不仅是内稳定的，而且在零初始的条件下，具有给定的H_∞扰动抑制水平γ；

步骤三：对于步骤一中的时滞线性奇异系统，利用慢速子系统状态x₁设计一个无记忆状态反馈控制器u(t)＝Kx₁(t)：

根据步骤二中得到的定理1，将状态反馈控制作用u(t)＝Kx₁(t)加入，分别用A_01K，A_02K，C_1K去替换定理1的LMI中的A₀₁，A₀₂，C₁，得到如下的不等式条件：

上面的矩阵不等式条件满足，可以使得闭环系统在稳定的同时具有给定的H_∞性能，即扰动抑制水平γ。

步骤四：对步骤三中矩阵不等式的非线性项进行处理，首先引入一个矩阵χ，对该矩阵不等式进行合同变换，即左乘向量χ^T，右乘向量χ，其中：

然后定义L＝P^-1，Y＝KP^-1，

因为

所以

所设计的控制器K＝YL^-1，计算并整理后得到如下不等式：

其中

引入新的矩阵变量G和S，使其满足

将上面的矩阵不等式变为如下的LMI：

最后应用锥补线性化迭代算法求解此LMI，通过引入额外矩阵变量和矩阵不等式并进行迭代，得到保证系统稳定且具有给定H_∞扰动抑制能力γ的可行控制器K＝TL^-1。

本发明的有益效果：本发明将改进的自由权与Lyapunov-Krasovskii函数结合的方法应用于具有不确定时滞的线性奇异系统，给出了基于慢速子系统状态反馈的时滞相关H∞控制器存在的矩阵不等式条件。针对矩阵不等式中的非线性项，定义新的额外的矩阵变量和矩阵逆的限制条件，并利用锥补线性化迭代方法，将非线性矩阵不等式的求解问题转换成非线性最小化问题，求解结果保证了时滞奇异系统在稳定的同时具有给定的扰动抑制水平γ，而且所得结论具有较小的保守性。本发明专利结构简单，易于实现，能很好的满足实际工程应用的需要。

附图说明

图1是本发明的流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明具体实施方式做进一步说明。

本发明将系统状态分为两部分：慢速子系统状态x₁和快速子系统状态x₂，给出线性时滞奇异系统的状态空间描述；选取Lyapunov-Krasovskii函数，利用改进的自由权和Lyapunov-Krasovskii函数相结合的方法，推导并证明使系统内稳定，且具有给定H∞扰动抑制水平γ的有界实引理及LMI不等式；设计基于慢速子状态反馈的无记忆控制器u(t)＝Kx₁(t)，使得闭环系统稳定，且在零初始的条件下，具有给定的扰动抑制水平γ，推导相关的定理并给出系统的稳定性条件；对定理中的矩阵不等式进行合同变换，针对矩阵不等式中的非线性项定义新的额外的矩阵变量和矩阵逆的限制条件，利用锥补线性化迭代方法，将非线性矩阵不等式的求解问题转换成非线性最小化问题。

结合附图1，本发明包括以下几个步骤：

步骤一：建立具有状态时滞的线性奇异系统的状态空间模型，如下所示：

上式中x(t)＝[x₁(t)；x₂(t)]∈Rⁿ为系统的状态向量，其中x₁(t)∈R^r表示系统的慢速状态，而x₂(t)∈R^n-r为系统的快速状态。u(t)∈R^m为系统的控制输入；w(t)∈R^p为系统的干扰输入，且为能量有限信号，即w(t)∈L₂[0，∞)；z(t)为系统评价输出；

为状态的初始条件，且在区间[-h,0]上具有连续的一阶导数；矩阵E∈R^n×n可能为奇异矩阵，假定rank(E)＝r≤n；系数矩阵A₀₁，A₁₁，A₁₂，A₀₂，A₂₁，A₂₂，B₁，D₁，B₂，D₂，C₁，C₂，B₃，D₃为具有适当维数的常量矩阵。设该奇异系统满足正则无脉冲条件，即系统在[0,∞)上存在唯一的无脉冲解。

假设时滞d(t)满足：

步骤二：构造如下的Lyapunov-Krasovskii函数：

其中P＝P^T>0，P∈R^r×r，R＝R^T≥0，R∈R^r×r，Q＝Q^T≥0，Q∈R^n×n，Z_i＝Z_i ^T＞0(i＝1,2)。

求V(x_t)对时间变量的导数。

对上式中的积分项

进行如下处理

根据牛顿-莱布尼茨公式，有

定义向量

引入适当维数的自由权矩阵N，T，M，可以得到

将上面三个等式的左边加到

中，然后将其中的积分项和对应的交叉项进行如下形式的运算

对其它两个积分项类似进行处理后可以得到

因为Z₁和Z₂均为正定矩阵，所以上式中的后三项均为负，因此有：

根据泛函导数中出现的状态相关的变量，定义向量

根据步骤一给出的时滞奇异系统的状态空间模型，可以得到

综合整理之后可得

下面考虑系统的扰动抑制能力，设对任意干扰输入w(t)，满足如下的H∞性能指标γ，即

||z(t)||₂＜γ||w(t)||₂ (15)

定义如下不等式：

对上式两边从0到∞进行积分可知，如果上式满足，不但能保证系统稳定，还能够保证||z(t)||₂＜γ||w(t)||₂成立。也即上面的不等式满足，则步骤一中满足时滞约束的时滞奇异系统是内稳定的，且在零初始条件下具有给定的H_∞扰动抑制水平γ。

由步骤一中时滞奇异系统的状态方程可知

从而进一步整理可以得到

多次使用Schur补引理后，可以得到使系统内稳定且具有给定的H_∞扰动抑制水平γ的如下定理。

定理1：给定标量μ，γ，h>0，如果存在维数为r×r的矩阵P＝P^T>0，R＝R^T>0，维数为n×n的矩阵

维数为r×n的矩阵Z_i∈R^r×r，

以及维数为3r×r的矩阵N＝[N₁ N₂ N₃]^T，T＝[T₁ T₂ T₃]^T，M＝[M₁ M₂M₃]^T，使得下面LMI成立：

其中Ξ为如下矩阵：

其中

则步骤一中给出的满足时滞约束的时滞奇异系统不仅是内稳定的，而且在零初始的条件下，具有给定的H_∞扰动抑制水平γ。

步骤三：对于步骤一中的时滞线性奇异系统，利用慢速子系统状态x₁设计一个无记忆状态反馈控制器u(t)＝Kx₁(t)。

将状态反馈控制作用u(t)＝Kx₁(t)加入，分别用A_01K，A_02K，C_1K去替换定理1的LMI中的A₀₁，A₀₂，C₁，根据步骤二中得到的定理1，得到如下的矩阵不等式条件：

上面的矩阵不等式条件满足，可以使得闭环系统在稳定的同时具有给定的H_∞性能(扰动抑制水平γ)。

步骤四：步骤三中的不等式中含有多个非线性项，例如Ξ₁₁中含有两个矩阵变量K和P的乘积形式PD₁K，而

中含有矩阵变量K和Q₂₂乘积的形式，所以该矩阵不等式不满足LMI形式，要对其进行如下的处理。

首先对步骤三中的矩阵不等式进行合同变换。定义如下矩阵#

由于Ξ₁₁中除了含有非线性项PD₁K，还含有Q₁₂D₂K，所以为了后面换元法和控制器设计的需要，这里设定Q₁₂＝0。

将步骤三中的矩阵不等式进行合同变换，即左乘向量χ^T，右乘向量χ，由于向量χ为正定，所以并不改变不等式的正负性。

定义L＝P^-1，Y＝KP^-1，

因为

所以

所设计的控制器K＝YL^-1。计算并整理后得到如下不等式：

其中

由步骤三中的定理1可知，如果存在适当维数矩阵，L＞0，

以及自由权矩阵N，S，M使得上面的矩阵不等式成立，则步骤一的时滞奇异系统在控制器u(t)＝Kx₁(t)的作用下，不仅能保持内部稳定，且具有给定H_∞扰动抑制能力γ，且此时的H_∞控制器增益K＝TL^-1。

注意到上面的矩阵不等式中含有两个非线性项，矩阵变量和矩阵的逆同时存在，无法用直接LMI工具箱直接进行求解，因此通过引入新的矩阵变量G和S，使其满足

将上面的矩阵不等式变为如下的LMI：

求解此LMI，可以得到保证系统稳定且具有给定H_∞扰动抑制能力γ的控制器增益K＝TL^-1。此LMI有可行解的前提是

利用Schur补引理和进一步用新的矩阵变量代替各矩阵的逆，然后采用锥补迭代方法求最小化解可以得到满足限定条件的LMI的解。具体过程如下：

对于

利用Schur补引理，将其化成如下的等价形式：

定义新的附加矩阵变量表示矩阵的逆，使其满足

从而进一步等价为如下的不等式约束：

为了让一个矩阵变量等于另一个矩阵的逆，或者让二者趋近与相等，采用下面给出的锥补迭代方法，通过求解使各矩阵和与其逆相对应的新矩阵乘积的迹(trace)最小这一优化为题来保证。

定义如下的优化问题

在MATLAB中是利用函数mincx求此最优化问题，如果最优化问题的解也即mincx函数的返回值copt为5r时，则步骤一中时滞奇异系统在满状态反馈控制器u(t)＝Kx₁(t)＝YL^-1x₁(t)的作用下，不仅满足系统内部稳定，还能保证系统具有给定的H_∞扰动抑制性能指标γ。锥补迭代算法求解的目的是：给定时滞上界h最小化γ，或者给定γ最大化时滞上界h。

具体算法步骤如下：

(1)根据目的需要，给定时滞h(和足够大γ)或γ(和足够小h)的初始值，使其满足优化问题中的不等式约束。

(2)用函数xfeasp函数，求可行的决策变量xfeas，然后再用dec2mat将决策变量转换成可行的矩阵变量，记为

同时设置迭代次数k＝0。

(3)利用函数defcx(求解c)和mincx(求最优化值和此时的xopt)求解下面的最小化问题：

Minimize

Subject to LMI

(4)利用dec2mat函数，将mincx函数返回值的决策变量xopt转换成矩阵变量，并令

U^k+1＝U，G^k+1＝G，V^k+1＝V，F^k+1＝F。

(5)将第(3)步得到的矩阵变量S，L，

G，

去验证如下的两个不等式是否成立，

(6)如果第(5)步的验证条件成立，则适当增加h或者减小γ(由目的决定)，然后回到步骤(2)。如果不成立，并且没有超过最大迭代次数(本例中设置的最大迭代次数为150)，令k＝k+1，然后回到步骤(3)。如果到了最大迭代次数还未求出可行解，则证明此LMI无解，终止程序，然后给出上次得到的h(为给定γ时，最大时滞h)或者γ(给定时滞h，得到的最小γ)。

本发明的目的在于提供一种具有不确定时滞的线性奇异系统的时滞相关H∞控制方法，包括：给出具有不确定时滞的线性奇异系统的状态空间描述；选取Lyapunov-Krasovskii函数，利用改进的自由权和Lyapunov-Krasovskii函数相结合的方法，推导并证明使系统内稳定，且具有给定H∞扰动抑制水平γ的有界实引理及LMI不等式；设计基于慢速子状态反馈的无记忆控制器u(t)＝Kx₁(t)，给出使闭环系统稳定的包含非线性的矩阵不等式条件；对该矩阵不等式条件进行合同变换，针对矩阵不等式中的非线性项定义新的额外的矩阵变量和矩阵逆的限制条件，利用锥补线性化迭代方法，将非线性矩阵不等式的求解问题转换成非线性最小化问题，使所得结果在保证闭环系统稳定的同时具有给定的扰动抑制水平γ。

Claims (1)

1.一种具有不确定时滞的线性奇异系统的时滞相关H∞控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：建立具有状态时滞的线性奇异系统的状态空间模型，具体为：

其中，x(t)＝[x₁(t)；x₂(t)]∈Rⁿ为系统的状态向量，其中x₁(t)∈R^r表示系统的慢速状态，x₂(t)∈R^n-r为系统的快速状态；u(t)∈R^m为系统的控制输入；w(t)∈R^p为系统的干扰输入，且为能量有限信号，即w(t)∈L₂[0，∞)；z(t)为系统评价输出；

为状态的初始条件，且在区间[-h,0]上具有连续的一阶导数；矩阵E∈R^n×n为奇异矩阵，假定rank(E)＝r≤n；系数矩阵A₀₁，A₁₁，A₁₂，A₀₂，A₂₁，A₂₂，B₁，D₁，B₂，D₂，C₁，C₂，B₃，D₃为具有适当维数的常量矩阵，设该奇异系统满足正则无脉冲条件，即系统在[0,∞)上存在唯一的无脉冲解，假设时滞d(t)满足：0≤d(t)≤h，

步骤二：构造Lyapunov-Krasovskii函数，具体为：

其中P＝P^T>0，P∈R^r×r，R＝R^T≥0，R∈R^r×r，Q＝Q^T≥0，Q∈R^n×n，

求V(x_t)对时间变量的导数，并引入干扰抑制的H∞性能指标γ，然后根据第一步中的时滞奇异系统状态空间模型，推导满足不等式

的LMI条件，利用改进的自由权和Lyapunov-Krasovskii结合的方法，得到如下定理：

定理1：给定标量μ，γ，h>0，如果存在维数为r×r的矩阵P＝P^T>0，R＝R^T>0，维数为n×n的矩阵

维数为r×n的矩阵Z_i∈R^r×r，

以及维数为3r×r的矩阵N＝[N₁ N₂ N₃]^T，T＝[T₁ T₂ T₃]^T，M＝[M₁ M₂M₃]^T，使得下面LMI成立：

其中Ξ为如下矩阵：

其中

Ξ₁₃＝PA₁₂+Q₁₂A₂₂

Ξ₁₅＝PB₁+Q₁₂B₂

Ξ₂₃＝-(1-μ)Q₁₂

Ξ₃₃＝-(1-μ)Q₂₂

则步骤一中给出的满足时滞约束的时滞奇异系统不仅是内稳定的，而且在零初始的条件下，具有给定的H_∞扰动抑制水平γ；

步骤三：对于步骤一中的时滞线性奇异系统，利用慢速子系统状态x₁设计一个无记忆状态反馈控制器u(t)＝Kx₁(t)：

根据步骤二中得到的定理1，将状态反馈控制作用u(t)＝Kx₁(t)加入，分别用A_01K，A_02K，C_1K去替换定理1的LMI中的A₀₁，A₀₂，C₁，得到如下的不等式条件：

上面的矩阵不等式条件满足，可以使得闭环系统在稳定的同时具有给定的H_∞性能，即扰动抑制水平γ；

步骤四：对步骤三中矩阵不等式的非线性项进行处理，首先引入一个矩阵x，对该矩阵不等式进行合同变换，即左乘向量x^T，右乘向量x，其中：

然后定义L＝P^-1，Y＝KP^-1，

因为

所以

所设计的控制器K＝YL^-1，计算并整理后得到如下不等式：

其中

引入新的矩阵变量G和S，使其满足

将上面的矩阵不等式变为如下的LMI：

最后应用锥补线性化迭代算法求解此LMI，通过引入额外矩阵变量和矩阵不等式并进行迭代，得到保证系统稳定且具有给定H_∞扰动抑制能力γ的可行控制器K＝TL^-1。

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