KR100989190B1 - 등가정하중을 이용한 위상최적설계방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 다양한 시스템의 위상최적설계에 적용이 가능하며 적은 횟수의 해석으로 설계가 가능하면서도 많은 설계변수를 고려하여 매우 정확한 해를 얻을 수 있는 위상최적설계방법을 제공하는 것을 목적으로 한다.

상기의 목적을 달성하기 위하여 본 발명에 의한 등가정하중을 이용한 위상최적설계방법은, 설계 대상 구조물의 특성을 구별하여 특성에 맞는 등가정하중을 산출하는 1단계; 요소의 재료 유무를 결정하는 재료의 상대적 비율을 설계변수로 하고, 목적함수와 제한조건에 따른 각 요소의 유무를 판정하되, 상기 등가정하중을 다중하중조건으로 처리한 선형 정적 해석을 통해 설계위상을 도출하는 2단계; 및 상기 설계 대상 구조물의 위상과 상기 설계위상을 비교하여 진행을 결정하는 3단계로 구성되며; 상기 3단계에서 비교 결과의 차이가 설정값보다 작으면 설계를 종료하고, 결과의 차이가 설정값보다 크면 1단계로 돌아가되, 상기 설계위상을 새로운 설계 대상 구조물로 하여 등가정하중을 산출하는 것을 특징으로 한다.

구조최적설계, 위상최적설계, 등가정하중, 유한요소법

Description

등가정하중을 이용한 위상최적설계방법{METHOD FOR TOPOLOGY OPTIMIZATION DESIGN USING EQUIVALENT STATIC LOADS}

본 발명은 구조물의 최적설계에 관한 것으로, 더욱 자세하게는 구조물의 위상 최적설계에 관한 것이다.

구조물의 최적설계란, 모든 설계상수(design parameter)와 하중조건들이 주어졌을 때, 목적함수가 최소로 됨과 동시에 제반 설계제약조건들을 만족시키는 설계변수를 결정하는 수학적 방법에 의한 설계기술이라고 정의할 수 있다. 여기서 설계상수란 기본계획 단계에서 결정된 구조형태, 배치, 구조재료 등과 같이 설계를 위하여 미리 정해진 상수를 말하고, 하중조건들은 설계 시 고려해야할 모든 형태의 하중을 말한다. 그리고 목적함수란 설계의 목적에 따른 기준을 수식화한 것으로, 구조물의 중량, 성능 등의 기준을 수식화한 것이다. 또 설계제약조건이란 시방서 및 설계기준 등의 제약과 제작상의 한계 등을 모두 포함한 것이다.

구조최적설계는 최종적으로 구하고자 하는 설계변수에 따라 치수(size), 형상(shape), 위상(topology)의 세 가지로 구분할 수 있다. 도 2는 치수, 형상, 위상 최적설계의 개념을 나타내는 도면이다.

치수최적설계는 구조물에 요구되는 치수, 즉 두께나 단면적 등을 설계하는 것으로, 구조물의 형태(configuration) 자체는 최적설계과정에서 변하지 않고 그대로 유지된다.

형상최적설계는 구조물의 형상을 변수로 하여 최적해를 결정하는 것이다. 형상최적설계는 구조물의 형태가 변하는 점에서 치수최적설계와 차이가 있지만 개념적으로 비슷한 영역에 속하며, 그 해석에도 비슷한 방법을 사용한다.

위상최적설계는 재료의 분포를 결정하는 설계방법으로, 주어진 환경 하에서 어느 부분의 재료를 제거하여야 하고 어느 부분의 재료를 보강하여야 하는지를 결정하는 설계이다. 위상(topology)이란 용어는 원래 위상수학 또는 위상기하학 분야에서 나온 말이며, 치수최적설계 및 형상최적설계와는 개념적으로 큰 차이가 있다.

치수최적설계는 구조물의 형태에 변화가 없으며, 형상최적설계는 형상에 변화가 있어도 설계 대상물에 새로운 구멍이 생기거나 존재하던 구멍이 사라지는 등의 설계 결과는 얻을 수 없다. 반면에 위상최적설계는 존재하지 않던 구멍을 만들기도 하고 존재하던 구멍을 재료로 메워 전혀 다른 형태의 설계결과를 제공하기도 한다.

이상의 차이를 구조최적설계의 해석에 이용되는 유한요소법(finite elements method)을 적용하여 설명하면 다음과 같다.

유한요소법이란 행렬을 이용한 구조역학법의 하나로, 전체 물체에 대한 문제를 한 번에 풀지 않고 각각의 유한요소에 대한 방정식을 세우고 그들을 조합하여 전체 물체에 대한 방정식을 구하는 방법이다. 구조최적설계를 위해서는 설계영역을 유한개의 요소로 이산화(discreteness)하고 요소와 절점으로 구성되는 정보를 유한요소법으로 해석하여 최적의 해를 구하는 것이 일반적이다.

치수최적설계는 유한요소모델의 절점이나 요소의 정보는 바뀌지 않고 단지 요소의 두께만 바뀌는 설계방법이다. 그리고 형상최적설계는 유한요소모델의 절점의 정보, 즉 좌표값이 바뀌는 설계방법이다.

이렇게 치수최적설계와 형상최적설계가 유한요소의 절점과 요소 정보를 이용하는 반면, 위상최적설계는 유한요소모델의 요소 하나하나가 설계변수가 된다. 이는 위상최적설계가 요소를 구성하는 재료의 유무를 결정하는 방법이기 때문이다.

결국 위상최적설계에서는 요소의 개수가 설계변수의 개수이다. 하지만, 설계변수에 대한 목적함수 및 제한조건의 변화율을 계산하여 설계가 진행될 방향을 결정하는 최적설계의 특성상, 설계변수의 개수가 많아질수록 시간과 효율성에서 문제가 발생한다. 따라서 종래의 치수최적설계와 형상최적설계에 적용하던 방법들은 위상최적설계에 적용할 수 없다.

컴퓨터 기술의 발전으로 대량계산이 가능해지면서, 수치최적설계 방법과 형상최적설계 방법은 많이 발전하였지만, 여전히 위상최적설계는 고비용과 시간상의 문제로 사용되지 않고 있다. 하지만, 수치최적설계와 형상최적설계를 수행하기에 앞서 위상최적설계를 수행한다면 설계비용이 크게 감소될 것이고, 경량화가 중요한 설계요소인 경우에 매우 뛰어난 결과를 얻을 수 있기 때문에 위상최적설계에 대한 관심이 높아지고 있다.

본 발명은 다양한 시스템의 위상최적설계에 적용이 가능하며 적은 횟수의 해석으로 설계가 가능하면서도 많은 설계변수를 고려하여 매우 정확한 해를 얻을 수 있는 위상최적설계방법을 제공하는 것을 목적으로 한다.

상기의 목적을 달성하기 위하여 본 발명에 의한 등가정하중을 이용한 위상최적설계방법은, 설계 대상 구조물의 특성을 구별하여 특성에 맞는 등가정하중을 산출하는 1단계; 요소의 재료 유무를 결정하는 재료의 상대적 비율을 설계변수로 하고, 목적함수와 제한조건에 따른 각 요소의 유무를 판정하되, 상기 등가정하중을 다중하중조건으로 처리한 선형 정적 해석을 통해 설계위상을 도출하는 2단계; 및 상기 설계 대상 구조물의 위상과 상기 설계위상을 비교하여 진행을 결정하는 3단계로 구성되며; 상기 3단계에서 비교 결과의 차이가 설정값보다 작으면 설계를 종료하고, 결과의 차이가 설정값보다 크면 1단계로 돌아가되, 상기 설계위상을 초기값으로 적용한 뒤 등가정하중을 산출하는 것을 특징으로 한다.

이때, 2단계의 목적함수가 변형에너지이고 제한조건이 재료의 분포인 것이 바람직하다.

또한, 변형에너지는 재료의 밀도 및 탄성계수의 함수이고, 재료의 밀도 및 탄성계수는 설계변수의 함수인 것이 좋다.

나아가, 상기 3단계는, 상기 설계 대상 구조물의 위상과 상기 설계위상을 각 요소별로 비교하는 단계, 비교 결과의 차이가 상기 설정값보다 큰 요소가 차지하는 퍼센트를 계산하는 단계, 및 상기 퍼센트와 설정 퍼센트를 비교하여 진행을 결정하는 단계로 구성되며, 상기 진행을 결정하는 단계에서, 상기 퍼센트가 설정 퍼센트보다 작으면 설계를 종료하고, 상기 퍼센트가 설정 퍼센트보다 크면 1단계로 돌아가되, 상기 설계위상을 초기값으로 적용한 뒤 등가정하중을 산출하는 단계일 수 있다.

1단계에서 구조물의 특성이 선형 동적 시스템인 경우, 질량에 의한 관성 효과 및 진동 효과 등 동적효과를 고려한 선형 시스템의 운동방정식을 이용하여 산출된 모든 시간 단계에서의 변위와 선형강성행렬을 곱하여 등가정하중을 구할 수 있다.

1단계에서 구조물의 특성이 비선형 정적시스템인 경우, 비선형 시스템의 평형방적식을 이용하여 산출된 비선형 절점변위와 선형강성행렬을 곱하여 등가정하중을 구할 수 있다.

1단계에서 구조물의 특성이 비선형 동적시스템인 경우, 질량에 의한 관성 효과 및 진동 효과 등 동적효과를 고려한 비선형 동적 시스템의 운동방정식을 이용하여 산출된 모든 시간 단계에서의 비선형 변위와 선형강성행렬을 곱하여 등가정하중을 구할 수 있다.

본 발명에 따르면, 다양한 시스템의 환경적 특징을 반영하여 산출된 등가정하중을 이용함으로써 선형 정적 시스템의 해석방법을 이용하여 위상최적설계를 수 행할 수 있다. 따라서 거의 모든 시스템의 위상최적설계에 적용이 가능하다. 또, 위상최적설계 단계에서의 해석의 횟수를 크게 줄이면서도, 많은 설계변수를 고려할 수 있어 정확한 해를 얻을 수 있는 장점이 있다.

또한, 비선형 시스템의 위상최적설계에 수반되는 유한요소 정보의 오류현상을 원천적으로 방지할 수 있는 장점이 있다.

본 발명을 첨부된 도면을 참조하여 상세히 설명하면 다음과 같다.

도 1은 본 발명의 등가정하중을 이용한 위상최적설계방법에 관한 순서도이다.

먼저, 1단계로 설계 대상인 구조물의 특성에 따라서 등가정하중을 산출한다.

등가정하중이란 동적시스템에서 나타나는 응답과 동일한 응답을 발생시키는 정적 선형 시스템에서의 하중을 의미한다. 본 발명의 발명자는 2000년에 등가정하중을 이용한 동적시스템의 수치최적설계에 대한 논문을 처음 발표하였으며, 이후 국내외 저명한 학술지에 다양한 시스템에 대한 등가정하중을 이용한 수치최적설계 및 형상최적설계에 대하여 발표하였다. 하지만, 등가정하중을 이용한 위상최적설계에 대하여는 아직 연구가 발표된 바 없다. 다양한 특성을 갖는 시스템에서 등가정하중을 구하는 방법은 본 발명의 발명자가 발표한 논문과 같으므로 나중에 설명한다.

다음 2단계로 등가정하중을 다중하중조건으로 하여 설계위상을 도출한다.

모든 최적설계의 문제는 '주어진 설계영역 내에서 제한조건을 고려하여 목적 함수가 최소값을 갖는 설계변수를 찾는 것'으로 표현할 수 있다. 이러한 최적설계는 설계값을 찾아가는 과정에 민감도 해석을 이용한다. 민감도 해석이란 설계변수의 변화에 따른 목적함수와 제한조건의 영향을 평가하는 것이다. 따라서 설계변수가 많을수록 민감도 해석의 양도 늘어나며, 설계변수의 개수가 많은 위상최적설계를 민감도 해석을 통하여 수행한다는 것은 매우 어렵다.

본 발명의 발명자는 등가정하중을 이용한 등가하중법으로 위상최적설계를 수행하면 거의 모든 시스템의 위상최적설계에 적용이 가능하고, 매우 정확한 해를 얻을 수 있으면서도 해석의 횟수가 크게 줄어드는 것을 확인할 수 있었다.

등가정하중을 이용하여 설계위상을 도출하는 수식은 다음과 같다.

x는 위상최적설계를 위한 설계변수이며, 요소의 재료 유무를 결정하는 재료의 상대적 비율을 의미한다. x가 0에 가까운 수를 가지면 요소의 재료는 존재하지 않는 것이고 1에 가까우면 요소의 재료가 존재하는 것이다. 이때 재료의 밀도인 ρ와 탄성계수(Young's modulus)인 E는 설계변수 x에 대한 함수이다.

는 변형에너지(strain energy)로 위상최적설계를 위한 목적함수이다. 변형에너지는 설계변수 x에 대한 함수인 ρ와 E의 함수이다.

는 계산된 등가정하중으로서 밀도와 탄성계수의 함수인 강성행렬

과 선형변위벡터

의 곱으로 구성된다. 위상최적설계의 제한조건은 재료 분포(mass fraction)이다. 즉, 설계영역(

)에서 남길 것으로 결정된 재료의 양이다. 예를 들어 설계영역에서 재료를 50%만 남기는 범위 안에서 위상최적설계를 수행하고 싶다면

는 0.5로 정의된다. 설계영역에서 원하는 재료의 양을 남기는 범위 내에서 변형에너지를 최소화하는 설계위상을 도출하는 것이다.

등가정하중을 이용하면 모든 시스템에 대하여 선형 정적 해석을 통해 설계위상의 도출이 가능하다. 이러한 등가정하중은 선형 정적 해석 단계에서 다중하중조건으로 처리되어 외력으로 작용한다. 즉, 모든 등가정하중을 동시에 적용할 수 있으며 최적해는 모든 시간 단계에서 응답을 고려한다. 예를 들어, 동적특성을 고려한 설계의 경우 종래에는 동적계수를 사용하거나, 가장 위험한 시간대의 응답만을 일부 사용하여 최적설계를 수행해 왔다. 이런 종래의 방법은 설계가 진행되면서 위험 시간이 바뀔 경우 예상치 못한 결과를 얻을 가능성이 많았다. 그러나 등가정하중법은 모든 시간에 대한 응답을 고려하므로 그러한 단점이 없다.

그리고 3단계로, 도출된 설계위상이 수렴조건을 만족하는지 확인한다.

도출된 설계위상으로부터 초기 설계값을 변경하고 해석을 수행하면 설계 개선의 효과는 있으나 설계자가 초기에 원했던 제한조건을 만족하지 못하는 경우가 발생한다. 이는 동적, 비선형 정적, 또는 비선형 동적 해석의 민감도와 정적 해석의 민감도 차이에 따른 것이다. 이러한 민감도의 차이를 극복하기 위해서는 다시 전체 과정을 수행하여야 한다. 이러한 반복과정을 통하여 민감도의 차이는 점차 줄어들게 되며, 최종적으로 모든 반응과 민감도가 거의 일치하게 되어 설계자의 원래 제한조건을 만족하는 최적해를 얻게 된다. 따라서 도출된 설계위상이 수렴조건을 만족하는지 확인하여야 한다. 수렴조건은 더 이상 설계를 진행하여도 설계값의 변화가 없는 상태의 조건을 말하는 것이다. 수렴조건을 만족하면 그 값을 위상최적설계의 최적해로 결정하고 해석을 종료하고, 수렴조건을 만족하지 않으면 설계위상 값을 초기값으로 하여 1단계부터 다시 수행한다.

수렴조건을 나타내는 수식은 다음과 같다.

는 i번째 설계변수를 의미하고 k는 설계단계를 의미하며, 설계 결과의 차가 일정한 값

(이하 설정값)보다 작다면 수렴한 것으로 간주하는 것이다.

그러나 위상최적설계는 구조물의 모든 요소를 설계변수로 선정하기 때문에 모든 설계변수가 상기 식을 만족하기 어렵다. 따라서 전체 설계변수의 개수를 n이라 할 때 상기 식을 위배하는 요소의 개수를 세어서 전체 설계변수에 대하여 일정 퍼센트를 넘지 않으면 수렴한 것으로 간주하며, 이를 나타내는 수식은 다음과 같다.

여기서 ε₂는 임의로 결정한 퍼센트 값(이하 설정퍼센트)이다.

예를 들어, 1000개의 요소를 가지는 구조물의 경우 전체 설계변수 n은 1000이다. 설정퍼센트ε₂를 1%로 가정하면, 현재 설계단계와 이전 설계단계 설계변수의 차이가 설정값ε₁보다 큰 요소의 개수가 n의 1%인 10개보다 작으면 수렴조건을 만족하는 것이다.

수렴조건을 만족하지 않으면 설계위상 값을 초기값으로 하여 1단계부터 다시 수행하여야 한다. 하지만, 위상최적설계의 설계변수인 x에 대한 결과값은 구조물 재료 분포의 상대적 비율 값의 형태로 나타내기 때문에, 다음 설계단계의 초기값으로 바로 적용하는 것이 불가능하다. 따라서 설계결과값 x를 이용하여 설계를 갱신하는 과정을 거쳐야 한다. 예를 들어, 초기에 구조물의 요소들이 모두 같은 물성치를 가지는 재료로 시작했다 하더라도, 한 번의 위상최적설계가 끝나면 구조물의 각 요소들은 모두 다른 설계 결과값을 가지게 되는 것이다. 이때 설계 결과는 요소 재료 분포의 상대적인 비율로 산출되므로 산출된 비율을 이용하여 탄성계수, 밀도 등의 물성치들을 계산해주어야 한다. 즉, 위상최적설계의 결과로부터 설계를 갱신하기 위해서는 재료의 물성치를 변경해주어야 한다.

k번째 설계단계에서 설계를 시작할 때의 탄성계수 및 밀도를 기준으로, 위상최적설계 결과로부터 얻어진 설계변수

를 이용하여 다음 설계단계인 (k+1)의 해석단계에서 사용할 재료 물성치를 계산하는 수식은 다음과 같다.

어떤 설계단계에서 위상최적설계를 수행한 결과 어느 부분의 재료가 사라졌다면 그 부분의 물성치는 작은 값을 가지게 된다. 이렇게 수정된 물성치를 이용하여 다음 설계단계에서 등가정하중을 산출하면 재료가 없는 부분은 등가정하중이 작은 값으로 계산된다. 설계단계를 진행함에 따라 재료가 분포하게 되는 부분과 재료가 사라지는 부분의 구분이 명확해지며 설계의 종료에 가까워진다.

또한 종래의 비선형정적, 비선형동적특성을 고려한 위상최적설계의 경우 유한요소의 정보에 오류가 발생한다. 즉, 위상최적설계가 진행이 되면 재료가 없어지는 요소가 발생하기 때문에 비선형해석을 수행하면 재료가 없는 요소의 정보가 근접한 요소의 정보와 간섭하는 현상이 발생하는 것이며, 이러한 현상은 비선형성을 고려한 위상최적설계에 큰 문제이다. 하지만, 본 발명을 이용하는 경우 설계를 갱신하는 과정에서 재료가 없는 요소의 등가정하중이 작은 값으로 적용되기 때문에 유한요소의 정보 오류현상을 막을 수 있다.

지금까지 설명한 것처럼, 시스템에 따른 등가정하중을 산출하고 이를 위상최적설계에 다중하중조건으로 적용하여 수행하는 일련의 설계과정은 시스템이 어떠한 환경에 놓여있느냐에 상관없이 동일하다. 다만 다른 것은 시스템이 가지는 환경에 맞는 해석을 수행하고 등가정하중을 구하는 과정이 차이가 난다. 지금부터는 각 특성에 맞는 등가정하중을 산출하는 방법에 대하여 간략히 설명한다.

선형 동적시스템에서의 등가정하중은 유한요소모델의 선형강성행렬과 동적 해석의 결과로부터 얻어진 변위장을 곱하여 계산한다. 따라서 등가정하중을 계산하기 위해서는 먼저 선형 동적 해석을 수행한다.

동적 해석을 위한 구조물의 운동방정식은 다음과 같다.

여기서

와

는 위상에 대한 질량행렬과 강성행렬로 밀도벡터ρ와 탄성계수벡터E의 함수이다. 이때 밀도와 탄성계수는 위상최적설계에서의 설계변수 x의 함수이다. z^L(t)는 동하중에 의한 변위벡터, f(t)는 동적해석을 위한 동하중이다. 이러한 동적 해석으로부터 모든 시간 단계에서의 변위벡터인 z^L(t)를 얻을 수 있다. 여기서 위첨자 L은 선형임을 의미한다.

다음으로 등가정하중을 계산하는 식은 다음과 같다.

임의의 시간의 동적 변위장 z^L(t)와 선형강성행렬

를 곱하여 등가정하중을 산출할 수 있다. 여기서 선형 강성행렬

는 유한요소 해석기로부터 얻을 수 있다. 이렇게 구한

는 모든 시 절점에서의 변위장을 일치시키기 위해 정적 해석에 사용하는 하중이다. 만약 시간 t를 n개의 시간 단계로 나누어 동적 해석을 수행하였다면 등가정하중은 총 n개의 하중 집합을 가지게 되는 것이다.

마지막으로 정적 해석을 위한 유한요소 방정식은 다음과 같다.

등가정하중이 외력으로 작용하며 이 해석으로부터 계산되는 것은 선형 변위 벡터 z^L(s)이다. 이 선형 변위 벡터는 모든 시 절점에서의 동적 변위벡터 z^L(t)와 정확하게 일치한다. 따라서 등가정하중을 이용하면 정적 해석을 통하여 동적 변위장을 얻을 수 있음을 알 수 있으며, 등가정하중

는 동적특성을 고려한 위상최적설계에 적용된다. 이와 같은 방법으로 동하중이 작용하는 경우에 적용되는 등가정하중을 산출하고 위상최적설계 시 하중조건으로 적용한다.

비선형 정적시스템에 대한 설계는 동적특성의 고려, 즉 시간에 대한 고려가 없으므로 등가정하중이 아닌 등가하중이라 명하여야 할 것이다. 하지만, 동적시스템의 경우와 용어를 일치시키기 위해 등가정하중으로 표현한다. 비선형 정적시스템에서도 등가정하중은 유한요소모델의 강성행렬과 비선형정적 해석의 결과로부터 얻어진 변위장과의 곱으로 이루어진다. 먼저 비선형 해석을 수행한다.

비선형 정적시스템의 평형방정식은 다음과 같다.

평형방정식을 이용한 비선형정적 해석으로부터 비선형 변위벡터 z^N을 산출할 수 있다. 여기서 위첨자 N은 비선형 해석으로부터 얻어진 값임을 의미하고, 위첨자 L은 선형 해석으로부터 얻어지는 값임을 의미한다. 평형방정식에서 볼 수 있듯이, 선형 해석의 경우 강성행렬

는 설계변수 x의 함수인 밀도ρ와 탄성계수E만의 함수이지만, 비선형 강성행렬

은 이뿐만 아니라 비선형 변위 z^N의 함수이다.

다음으로 등가정하중을 계산하는 식은 다음과 같다.

비선형 해석으로부터 얻은 비선형 절점변위 벡터에 선형강성행렬

을 곱하면 등가정하중

를 얻을 수 있다.

마지막으로 아래의 식으로부터 산출된

를 이용하여 다시 선형해석을 수행하면 선형절점변위벡터 z^L을 얻을 수 있다.

이때 얻은 선형절점변위벡터 z^L은 상기 평형방정식에서 얻은 비선형변위벡터 z^N과 동일하다. 즉,

는 비선형 해석으로부터 도출된 변위장과 동일한 변위장을 유발하는 등가정하중을 의미한다. 비선형 해석은 단위 하중을 증가시키며 변위를 계산하는 방법으로 최종적인 변위장을 계산한다. 등가정하중법을 이용한 변위장의 일치는 위와 같이 명확한 관계를 갖는다. 즉, 비선형 해석에서 변위가 계산되는 과정과 상관없이 최종적인 변위값 만을 필요로 한다. 이렇게 계산된 등가정하중

을 이용하여 위상최적설계를 수행한다.

비선형 동적시스템에서의 등가정하중은 유한요소모델의 선형 강성행렬과 비선형동적 해석에서 얻어진 응답의 곱으로 구할 수가 있다. 따라서 등가정하중을 계산하기 위해서는 먼저 비선형동적 해석이 선행되어야만 한다.

비선형동적 해석을 위한 유한요소방정식은 다음과 같다.

여기서

은 질량행렬이고,

는 비선형 강성행렬이며, 위상최적설계의 설계변수인 x의 함수인 밀도ρ와 탄성계수E 그리고 시간에 따른 비선형변위벡터 z^N(t)로 이루어진다. 비선형동적 해석으로부터 모든 시간 단계에서의 비선형 변위벡터 z^N(t)를 얻을 수가 있다.

다음으로 등가정하중이 구하는 식은 다음과 같다.

선형 강성행렬

은 거의 모든 유한요소해석기로부터 쉽게 얻을 수 있다. 앞에서 얻어진 비선형 변위벡터 z^N(t)은 선형 강성행렬과 곱해진다. 이러한 수학적 계산에 의해 등가정하중

가 얻어진다. 즉,

는 모든 시간 단계 t에서의 변위장을 정확히 일치시키기 위한 선형 정적 해석을 위한 하중이다.

마지막으로 선형 정적 유한요소해석을 위한 방정식은 다음과 같다. 여기서부터는 시간을 의미하는 t를 s로 바꾸어 표현하기로 한다.

앞에서 구해진 등가정하중

는 외력으로 작용되며 오른쪽 항에 위치하고 있다. 이 해석으로부터 계산되는 것은 선형 변위 벡터 z^L(s)이다. 이 벡터 세트 z^L(s) 각각은 모든 시 절점에서의 동적 비선형 변위벡터 z^N(t)과 정확히 일치하게 된다. 따라서 등가정하중을 이용하면 선형 해석을 통해서도 비선형동적 변위장을 얻을 수 있다는 것을 알 수 있게 된다. 이렇게 구해진 등가정하중을 비선형동적특성을 고려한 위상최적설계에 다중하중조건으로 적용할 수 있다.

이상에서는 본 발명을 특정의 바람직한 실시예에 대해서 도시하고 설명하였다. 그러나 본 발명은 상술한 실시예에만 국한되는 것은 아니며, 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자라면 본 발명의 기술적 사상을 벗어남이 없이 얼마든지 다양하게 변경 실시할 수 있을 것이다. 따라서 본 발명의 권리범위는 특정 실시예에 한정되는 것이 아니라, 첨부된 특허청구범위에 의해 정해지는 것으로 해석되어야 할 것이다.

도 1은 본 발명의 등가정하중을 이용한 위상최적설계방법에 관한 순서도이다.

도 2는 치수, 형상, 위상 최적설계의 개념을 나타내는 도면이다.

Claims (8)

1. 설계 대상 구조물의 특성을 구별하여 특성에 맞는 등가정하중을 산출하는 1단계;

   요소의 재료 유무를 결정하는 재료의 상대적 비율을 설계변수로 하고, 목적함수와 제한조건에 따른 각 요소의 유무를 판정하되, 상기 등가정하중을 다중하중조건으로 처리한 선형 정적 해석을 통해 설계위상을 도출하는 2단계; 및

   상기 설계 대상 구조물의 위상과 상기 설계위상을 비교하여 진행을 결정하는 3단계로 구성되며;

   상기 3단계에서 비교 결과의 차이가 설정값보다 작으면 설계를 종료하고, 결과의 차이가 설정값보다 크면 1단계로 돌아가되, 상기 설계위상을 초기값으로 적용한 뒤 등가정하중을 산출하는 것을 특징으로 하는 위상최적설계방법.
2. 제1항에 있어서,

   상기 2단계에서 목적함수가 변형에너지이고, 제한조건이 재료의 분포인 것을 특징으로 하는 위상최적설계방법.
3. 제2항에 있어서,

   상기 변형에너지가 재료의 밀도 및 탄성계수의 함수인 것을 특징으로 하는 위상최적설계방법.
4. 제3항에 있어서,

   상기 재료의 밀도 및 탄성계수가 상기 설계변수의 함수인 것을 특징으로 하는 위상최적설계방법.
5. 제1항에 있어서,

   상기 3단계가,

   상기 설계 대상 구조물의 위상과 상기 설계위상을 각 요소별로 비교하는 단계,

   비교 결과의 차이가 상기 설정값보다 큰 요소가 차지하는 퍼센트를 계산하는 단계, 및

   상기 퍼센트와 설정퍼센트를 비교하여 진행을 결정하는 단계로 구성되며,

   상기 진행을 결정하는 단계에서, 상기 퍼센트가 설정퍼센트보다 작으면 설계를 종료하고, 상기 퍼센트가 설정퍼센트보다 크면 1단계로 돌아가되, 상기 설계위상을 초기값으로 적용한 뒤 등가정하중을 산출하는 것을 특징으로 하는 위상최적설계방법.
6. 제1항에 있어서,

   상기 1단계에서 구조물의 특성이 선형 동적 시스템인 경우, 질량에 의한 관성 효과 및 진동 효과 등 동적효과를 고려한 선형 시스템의 운동방정식을 이용하여 산출된 모든 시간 단계에서의 변위와 선형강성행렬을 곱하여 등가정하중을 구하는 것을 특징으로 하는 위상최적설계방법.
7. 제1항에 있어서,

   상기 1단계에서 구조물의 특성이 비선형 정적시스템인 경우, 비선형 시스템의 평형방적식을 이용하여 산출된 비선형 절점변위와 선형강성행렬을 곱하여 등가정하중을 구하는 것을 특징으로 하는 위상최적설계방법.
8. 제1항에 있어서,

   상기 1단계에서 구조물의 특성이 비선형 동적시스템인 경우, 질량에 의한 관성 효과 및 진동 효과 등 동적효과를 고려한 비선형 동적 시스템의 운동방정식을 이용하여 산출된 모든 시간 단계에서의 비선형 변위와 선형강성행렬을 곱하여 등가정하중을 구하는 것을 특징으로 하는 위상최적설계방법.

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