CN112182739A - 一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法。该方法针对飞行器结构在复杂服役环境和有限样本条件下，充分考虑结构弹性参数和载荷等不确定性参数影响，开展非概率可信可靠性拓扑优化设计。首先建立给定可信度水平下的非概率可信可靠性约束指标，接着以结构质量为优化目标，以单元的相对密度作为设计变量，采用移动渐近线优化算法，通过迭代获得结构在给定载荷和边界条件下的最优构型。本发明在进行拓扑优化设计的过程中合理表征了有限试验样本条件下不确定性对结构构型的影响，兼顾了安全性和经济性。

Description

一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法

技术领域

本发明涉及结构拓扑优化设计技术领域，特别涉及一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法，该方法考虑了在给定可信度下材料弹性模量、结构外载荷和许用位移等参数的不确定性，建立了非概率可信可靠性指标，并基于SIMP插值模型对飞行器结构进行拓扑优化。

背景技术

随着科技水平、计算机技术及装备制造能力的快速提升，未来先进飞行器结构的设计理念将产生巨大变革。作为整个设计的前端，飞行器结构总体布局方案的优选对后续细节设计影响深远，以拓扑优化思想为牵引的智能优化技术应用价值凸显。然而，考虑实际飞行器设计和使用过程中不可规避的不确定性效应，常规确定性的分析和优化方法不再适用，亟待发展以可靠性约束为驱动的创新式设计流程和方法。结合实际航空航天工程所面临的复杂服役环境和有限样本数据情况，数据的分布规律无从获得，因此使得基于概率理论的数据处理可信度降低。基于非概率理论的可靠性分析优化方法在各领域的应用正广泛开展，但均有待深入，也缺乏对于可信度的评估。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：针对飞行器结构，克服现有技术的不足，提供一种针对飞行器结构的非概率可信可靠性拓扑优化设计方法。本发明充分考虑实际工程问题中各类不确定因素的影响，构建含可信度的非概率可靠性分析指标，所得到的结果更加符合真实情况，工程适用性更强。

本发明采用的技术方案为：一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法，该方法实现步骤如下：

第一步：根据飞行器复杂服役环境和结构材料属性，选取描述结构特性或外载荷的不确定性参数，如结构整体刚度区间矩阵K^I、载荷区间向量F^I和位移区间向量u^I，按照设计要求给定可信度水平α和该可信度下对应的可靠度许用值即可信可靠度R_α,targ；

第二步：根据有限元平衡方程K^Iu^I＝F^I以及位移关于弹性模量和载荷的单调性，认为当不确定性参数的可信度水平给定时，在相应的定量区间下得到的响应区间具有同样的置信度使用区间参数顶点组合法，求出结构位移在有界不确定性参数影响下的上下界：

其中

为第j个位移约束的实际位移区间，上标q_i＝1,2，当q_i＝1时表示对应值取下界，当q_i＝2时表示对应值取上界，即

(K^-1)²＝K ^-1，F_i ¹＝F _i，

i＝1,2,…,n；n为自然数，r＝1,2,…,2ⁿ；

第三步：基于结构非概率集合可靠性模型，建立给定可信度水平α下位移约束的非概率可信可靠性模型，标准化实际位移区间和安全位移区间，使其区间范围为[-1,1]：

其中δu_j,a和

为标准化的第j个位移约束的实际位移和实际位移区间，δu_j,s和

分别为标准化的第j个位移约束的安全位移和安全位移区间，

和

分别为实际位移区间和安全位移区间的中值，

为相应的区间半径，根据结构功能函数：

Φ(u_j,s,u_j,a)＝u_j,s-u_j,a

来判断结构是否安全，当Φ＜0时结构失效，当Φ≥0时结构安全；

第四步：在非概率可信可靠度R_α的基础上引入另一个约束指标：可信可靠性特征距离d_α，其定义为：给定可信度水平α下，原失效平面到目标失效平面的距离。其中目标失效平面是与原失效平面平行的平面，并且其可信可靠度R_α,targ为一给定值；

第五步：基于经典的变密度拓扑优化SIMP(solid isotropic material withpenalization)模型，使用第四步得到的非概率可信可靠度指标即可信可靠性特征距离d_α作为约束，建立飞行器结构非概率可信可靠性的拓扑优化列式如下：

其中，M是结构设计域的质量，V_i为第i个单元的体积，N为设计域划分的单元总数，ρ_i表示第i个单元的密度，d_α,j是第j个约束在给定可信度水平α下的可靠性，m为约束的个数。ρ为单元相对密度的下限，是为了防止刚度矩阵奇异而预设的一个小值；

第六步：采用伴随向量法求解位移上下界的灵敏度，再根据复合函数的链式求导法则得到非概率可信可靠性约束d_α的灵敏度；

第七步：采用移动渐近线优化算法(Method of Moving Asymptotes)，以最小化结构质量为目标，以可信可靠性特征距离d_α为约束，利用可信可靠性d_α和结构质量的灵敏度进行迭代求解，在迭代过程中，如果当前设计不满足可靠度约束d_α＜0，或前后两个迭代步的设计变量变化绝对值之和大于容差ε时，则迭代步数加一，并返回步骤二，否则，进行下一步；

第八步：如果当前设计满足可信可靠性特征距离d_α＜0，而且前后两个迭代步的设计变量变化绝对值之和小于容差ε时，则迭代结束，得到飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计的最优构型。

有益效果

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明提供了一种针对飞行器结构的考虑可信度下的非概率可靠性拓扑优化设计新方法，弥补和完善了传统安全系数法和未评估可信度的非概率设计方法的局限性。所建立的非概率可信可靠性指标为复杂服役环境和小样本试验数据条件下飞行器结构拓扑优化设计提供了一种新的解决途径，提高了结构可靠性拓扑优化设计的合理性。

附图说明

图1是本发明针对飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法流程图；

图2是本发明中所用到的非概率可信可靠性模型的一维干涉示意图；

图3是本发明中所用到的不同可信度集合下的非概率可靠性模型的二维干涉示意图；

图4是本发明中所用到的给定可信度下参数标准化后的非概率可靠性模型的二维干涉示意图；

图5是本发明所用到的非概率可信可靠性模型的六种不同的干涉情况示意图；

图6是本发明所用的非概率可信可靠性指标即可信可靠性特征距离d_α的示意图；

图7是本发明所用的可信可靠性约束指标d_α在计算时的临界斜率示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅为本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域的普通技术人员在不付出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

如图1所示，本发明提出了一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法，包括以下步骤：

(1)根据飞行器复杂服役环境和结构材料属性，选取描述结构特性或外载荷的不确定性参数，如结构整体刚度区间矩阵K^I、载荷区间向量F^I和位移区间向量u^I，按照设计要求给定可信度α和该可信度下对应的可靠度许用值R_α,targ。

(2)根据有限元平衡方程有：

K^Iu^I＝F^I (1)

由于控制方程是线性的，所以可以采用下面的区间参数顶点法来求解

中任意分量

的上下界。通常认为在进行不确定性传播分析时，并不会损失可信度，即当不确定性变量的可信度水平一定时，在相应的定量区间下得到的响应区间具有同样的可信度。

区间参数顶点法定义如下：如果f(x₁,x₂,…,x_n)对自变量x_i(i＝1,2,…,n)是单调的，将自变量考虑为区间变量时，即：

由函数的单调性可知，f的取值范围为：

其中r为顶点(区间两端点)组合序数，

k_i＝1,2，i＝1,2,…,n；r＝1,2,…,2ⁿ。

所以，根据区间参数顶点法，得到第j个约束对应的位移

的取值区间为：

其中

为第j个位移约束的实际位移区间，上标q_i＝1,2，当q_i＝1时表示对应值取下界，当q_i＝2时表示对应值取上界，即

(K^-1)²＝K ^-1，F_i ¹＝F _i，

i＝1,2,…,N；

(3)通过步骤(2)求出位移区间的上下界之后，基于结构非概率集合可靠性模型，建立给定可信度α下位移约束的非概率可信可靠性模型。

设u_j,a为第j个位移约束的实际位移，u_j,s为第j个位移约束的安全位移，在不确定性因素影响下，位移为区间变量，即：

如图2所示，以上两个区间在同一数轴上表示的时候，将会有干涉的可能。图中

和

分别为实际位移区间和安全位移区间的中值。设结构极限状态函数为：

Φ(u_j,s,u_j,a)＝u_j,s-u_j,a (6)

其失效平面或极限状态平面为：

Φ(u_j,s,u_j,a)＝u_j,s-u_j,a＝0 (7)

当Φ(u_j,s,u_j,a)≥0时表示结构满足约束条件，当Φ(u_j,s,u_j,a)＜0时表示结构不满足约束条件。不同可信度下结构的非概率干涉模型如图3所示。

对实际位移和安全位移区间变量u_j,a∈u_j,a ^I、u_j,s∈u_j,s ^I做标准化变换：

其中，

为区间半径。则经过标准化变换，得到标准化的实际位移和安全位移区间δu_j,a∈[-1,1]，δu_j,s∈[-1,1]。将上式代入失效平面方程，有：

由此可以得到δu_j,s和δu_j,a之间的关系式为：

将上式在直角坐标系中画出，并标示出δu_j,s和δu_j,a的取值范围，如图4所示。

将给定可信度下满足约束条件的区域面积S_ABFED与变量区域的总面积S_ABCD之比定义为结构的非概率可信可靠度R_α。针对图5所示失效平面与变量区域相交的情况求解R_α。首先求解出失效平面与直线δu_j,s＝-1的交点，令式(10)中δu_j,s＝-1，可得δu_j,a为：

令

可解得

接着求出失效平面与直线δu_j,a＝1的交点，令式(10)中δu_j,a＝1，可求解出：

令

可解得

由以上两个交点的坐标，可求得给定可信度下结构非概率可靠度R_α的表达式为：

把式(11)和式(12)代入式(13)，得：

同理可求得其余五种失效平面与变量区域相交形式下结构非概率可信可靠度R_α的表达式为：

(4)由于非概率可信可靠度R_α在某些情况下为常数，对于梯度优化算法来说将会难以找到正确的优化方向，因此在非概率可信可靠度R_α的基础上引入另一个约束指标：可信可靠性特征距离d_α，如图6所示，d_α的定义为：给定可信度水平α下，原失效平面到目标失效平面的距离。其中目标失效平面是与原失效平面平行的平面，并且其可信可靠度R_α,targ为一给定值。

如图7所示，由于目标非概率可信可靠度一般接近1，故目标失效平面一般位于变量区域的右下角，图示为目标失效平面与变量区域相交形式的两种临界情况。首先计算临界情况下失效平面的斜率。对于k₁，有(2×2/k₁×1/2)/4＝1-R_α,targ，解得

同理可得k₂＝2(1-R_α,targ)。当失效平面的斜率取不同的值的时候，考虑其与临界斜率的大小关系，根据平行直线的距离公式求出可信可靠性特征距离d_α的表达式。对第j个约束有：

当d_α＞0时，失效平面在与目标非概率可信可靠度R_α,targ对应的目标失效平面上方，此时由于安全区域的面积小于目标值，对应的非概率可信可靠度R_α＜R_α,targ，不满足设计要求。当d_α＜0时，失效平面在与目标非概率可信可靠度R_α,targ对应的目标失效平面下方，此时由于安全区域的面积大于等于目标值，对应的非概率可信可靠度R_α＞R_α,targ，满足设计要求；

(5)基于经典的变密度拓扑优化SIMP模型，使用第四步得到的非概率可信可靠性指标即可信可靠性特征距离d_α≤0作为约束，建立飞行器结构非概率可信可靠性的拓扑优化列式如下：

其中，M是结构设计域的质量，V_i为第i个单元的体积，N为设计域划分的单元总数，ρ_i表示第i个单元的密度，d_α,j是第j个约束在给定可信度水平α下的优化特征距离，m为约束的个数。ρ为单元相对密度的下限，是为了防止刚度矩阵奇异而预设的一个小值；

(6)本发明采用移动渐进线方法(MMA)这一梯度优化算法求解优化问题，因此需要获取目标函数和约束函数对设计变量的偏导数，即进行灵敏度分析。由于本发明的设计变量远多于约束函数个数，采用差分的方式求解灵敏度会带来巨额计算量。针对这一特点，本发明采用伴随向量法进行约束函数对设计变量的灵敏度分析。

由复合函数链式求导法则，对于第j(j＝1,2,…,m)个约束，其可信可靠性特征距离d_j对单个设计变量ρ_i(i＝1,2,…,N)的偏导数为：

其中：

其中

和

可以通过式(19)和式(20)直接计算，而

和

则无法直接求解，需要构造如下的约束函数的增广拉格朗日函数进行间接求解：

其中，λ_j(j＝1,2,…,m)为拉格朗日乘子向量，也被称为伴随向量。由于F-Ku＝0，故

上式对设计变量ρ_i求全导数得：

其中：

上式对任意λ_j均成立，因此可以选取适当λ_j的使得

所在项的系数为零，即令：

利用刚度矩阵的对称性可以将上式改为：

则通过给有限元模型施加虚拟载荷

所求得的位移即为λ_j。求解出λ_j后，约束点位移上下界对设计变量的灵敏度则由下式给出：

其中

分别为对应于

的伴随向量、单元刚度矩阵和位移向量，λ _j、K _j、u _j分别为对应于u _j,a的伴随向量、总体刚度矩阵和位移向量。在本发明的优化模型中，载荷F不随设计变量变化，即

则上式可以改写为：

此外，目标函数M对设计变量的偏导为：

(7)采用MMA优化算法进行迭代计算，根据当前的单元设计变量、约束函数d_α,j对设计变量的灵敏度、目标函数M对设计变量的灵敏度，求解出新的设计变量。在迭代过程中，如果当前设计不满足可信可靠性特征距离d_α＜0，或前后两个迭代步的设计变量变化绝对值之和大于容差ε时，则迭代步数加一，并返回步骤(2)，否则，进行步骤(8)；

(8)同时考虑可靠度约束和相对变化量，如果当前设计满足可信可靠性特征距离d_α≤0，并且前后两个迭代步的设计变量变化绝对值之和小于容差ε时，则迭代结束，将当前拓扑优化的结果作为最终的优化结果。

综上所述，本发明提出了一种针对飞行器结构在复杂服役环境和有限样本条件下，充分考虑结构弹性参数和载荷等不确定性参数影响，开展非概率可信可靠性拓扑优化设计。首先建立给定可信度水平下的非概率可信可靠性约束指标，接着以结构质量为优化目标，以单元的相对密度作为设计变量，采用移动渐近线优化算法，通过迭代获得结构在给定外载和边界条件下的最优构型。本发明在进行拓扑优化设计的过程中合理表征了有限试验样本条件下不确定性对结构构型的影响，兼顾了安全性和经济性。以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于工程结构的可靠性优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (7)

1.一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

第一步：根据飞行器复杂服役环境和结构材料属性，选取描述结构特性或外载荷的不确定性参数，包括结构整体刚度区间矩阵K^I、载荷区间向量F^I和位移区间向量u^I，按照设计要求给定可信度水平α和该可信度水平下对应的可靠度许用值即可信可靠度R_α,targ；

第二步：根据有限元平衡方程K^Iu^I＝F^I以及位移关于弹性模量和载荷的单调性，认为当不确定性参数的可信度水平一定时，在相应的定量区间下得到的响应区间具有同样的可信度，使用区间参数顶点组合法，求出结构位移在有界不确定性参数影响下的上下界；

第三步：基于结构非概率集合可靠性模型，建立给定可信度水平α下位移约束的非概率可信可靠性模型，标准化实际位移区间和安全位移区间；

第四步：在非概率可信可靠度R_α的基础上引入另一个约束指标：可信可靠性特征距离d_α，其定义为：给定可信度水平α下，原失效平面到目标失效平面的距离；其中目标失效平面是与原失效平面平行的平面，并且其可信可靠度R_α,targ为一给定值；

第五步：基于变密度拓扑优化SIMP模型，使用第四步得到的非概率可信可靠度指标即可信可靠性特征距离d_α作为约束，建立飞行器结构非概率可信可靠性的拓扑优化列式；

第六步：采用伴随向量法求解位移上下界的灵敏度，再根据复合函数的链式求导法则得到非概率可信可靠性约束d_α的灵敏度；

第七步：采用移动渐近线优化算法MMA，以最小化结构质量为目标，以可信可靠性特征距离d_α为约束，利用d_α和结构质量的灵敏度进行迭代求解，在迭代过程中，如果当前设计不满足可靠度约束d_α＜0，或前后两个迭代步的设计变量变化绝对值之和大于容差ε时，则迭代步数加一，并返回第二步，否则，进行下一步；

第八步：如果当前设计满足可信可靠性特征距离d_α＜0，而且前后两个迭代步的设计变量变化绝对值之和小于容差ε时，则迭代结束，得到飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计的最优构型。

2.根据权利要求1所述的一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法，其特征在于：所述第二步中，采用区间参数顶点法求解响应上下界，同时认为响应区间具有相同的可信度水平；具体的，根据有限元平衡方程K^Iu^I＝F^I以及位移关于弹性模量和载荷的单调性，认为当不确定性参数的可信度水平一定时，在相应的定量区间下得到的响应区间具有同样的可信度，使用区间参数顶点组合法，求出结构位移在有界不确定性参数影响下的上下界：

其中

为第j个位移约束的实际位移区间，上标q_i＝1,2，当q_i＝1时表示对应值取下界，当q_i＝2时表示对应值取上界，即

(K^-1)²＝K ^-1，F_i ¹＝F _i，

i＝1,2,…,n；n、l为自然数，r＝1,2,…,2ⁿ。

3.根据权利要求1所述的一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法，其特征在于：所述第三步中，基于结构非概率集合可靠性模型，建立给定可信度水平α下位移约束的非概率可信可靠性模型，标准化实际位移区间和安全位移区间，使其区间范围为[-1,1]：

其中δu_j,a和

为标准化的第j个位移约束的实际位移和实际位移区间，δu_j,s和

分别为标准化的第j个位移约束的安全位移和安全位移区间，

和

分别为实际位移区间和安全位移区间的中值，

为相应的区间半径，根据结构功能函数：

Φ(u_j,s,u_j,a)＝u_j,s-u_j,a

来判断结构是否安全，当Φ＜0时结构失效，当Φ≥0时结构安全。

4.根据权利要求1所述的一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法，其特征在于：所述第三步中，使用非概率可信可靠性模型来量化结构的非概率可靠度，根据该模型，将给定可信度水平α下满足约束条件的变量设计域面积与变量设计域总面积之比定义为结构的非概率可信可靠度R_α。

5.根据权利要求1所述的一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法，其特征在于：所述第四步中，采用了给定可信度水平α下可信可靠性特征距离d_α作为衡量结构是否失效的非概率可靠性指标，该指标的表达式为：

式中

k₂＝2(1-R_α,targ)是目标失效平面与变量区域相交的临界斜率。

6.根据权利要求1所述的一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法，其特征在于：所述第五步中采用了SIMP模型来避免中间密度单元的产生，对于SIMP模型，单元的弹性模量是材料相对密度的函数：

其中P＞1是惩罚因子，用于实现对中间密度单元的惩罚，取P＝3，E₀是完全实心材料的弹性模量。

7.根据权利要求1所述的一种飞行器结构非概率可信可靠性拓扑优化设计方法，其特征在于：所述第五步：基于变密度拓扑优化SIMP模型，使用第四步得到的非概率可信可靠度指标即可信可靠性特征距离d_α作为约束，建立飞行器结构非概率可信可靠性的拓扑优化列式如下：

其中，M是结构设计域的质量，V_i为第i个单元的体积，N为设计域划分的单元总数，ρ_i表示第i个单元的密度，d_α,j是第j个约束在给定可信度水平α下的可靠性，m为约束的个数；ρ为单元相对密度的下限，是为了防止刚度矩阵奇异而预设的一个小值。

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