CN108345729B - 一种基于群论的对称索杆结构找形方法 - Google Patents

一种基于群论的对称索杆结构找形方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于群论的对称索杆结构找形方法，针对有支座边界条件的对称索杆结构，从结构所有节点和自由节点两个角度，根据群论确定其所属对称群后，求出考虑所有节点和考虑自由节点的与结构X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示的对称子空间，根据这些不可约表示对应的力密度分块子矩阵的秩亏条件及零空间，直接求得结构的可行力密度及节点坐标，最终求得笛卡尔坐标系下的节点坐标。本发明方法能准确、迅速地计算其杆件力密度和对应节点坐标。

Description

一种基于群论的对称索杆结构找形方法
技术领域
本发明属于空间结构、对称索杆结构的形态分析、设计与开发等领域，涉及一种对称索杆结构找形方法。
背景技术
在传统的结构中，结构是从几何和材料中获取刚度的，这种主要从几何和材料中获取刚度的结构即所谓的刚性结构。而索杆结构的主要从预应力中获取刚度，确定索杆结构的几何形状和预应力状态的分析就是所谓的找形分析，也称为初始形态分析，其中形为初始几何形状，态则是初始预应力态。
现有的找形方法大多针对自平衡的索杆体系，而在土木工程中应用的结构大多有约束条件。对于有支座边界约束条件的索杆结构，一些学者通过加虚拟杆件的方式将支座约束转化为杆件约束，从而将结构转化成自平衡的张拉整体结构进行分析，但是虚拟杆的设置方式不同对结果的影响比较大。
对于对称索杆结构，充分利用固有对称性可显著简化其找形分析过程。群集理论作为一种系统分析对称性的重要数学工具，结合对称群的对称操作及不可约表示建立结构的对称坐标系，将笛卡尔坐标系下的稀疏、带状分布的相关矩阵转换成对称坐标系下的分块、对角化矩阵，将显著提高张拉整体结构找形分析的计算效率。近年来，一些学者已成功将群集理论引入张拉整体结构的找形分析中，显著提高了张拉整体结构找形分析的计算效率。
发明内容
技术问题：本发明提供一种针对任意有支座边界约束的索杆结构，能准确、迅速地计算其杆件力密度和对应节点坐标的一种对称索杆结构找形方法。
技术方案：本发明针对任意有支座边界约束的索杆结构，确定其所属对称群后，求出考虑所有节点和考虑自由节点的与结构X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示的对称子空间，根据这些不可约表示对应的力密度分块子矩阵的秩亏条件及零空间，直接求得结构的可行力密度及节点坐标。
本发明的基于群论的对称索杆结构找形方法，包括以下步骤：
步骤1判断结构所属对称群，根据对称性对结构杆件进行分组；
步骤2根据结构在各不同对称操作下节点之间的转换关系，确定结构在所属对称群下所有独立对称操作对应的所有节点转换的置换矩阵Pg和自由节点转换的置换矩阵P′g，其中g表示结构所属对称群所有独立对称操作的集合；
步骤3根据结构X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示和所述步骤2确定的置换矩阵Pg，求得所有节点对应于X/Y/Z方向坐标的转换矩阵V(μ)i，根据结构X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示和所述步骤2确定的置换矩阵P′g，求得自由节点对应于X/Y/Z方向坐标的转换矩阵V′(μ)i；
步骤4根据下式求解对称坐标系下与X/Y/Z方向坐标对应的力密度分块子矩阵
Figure GDA0002887354570000021
Figure GDA0002887354570000022
其中，μ表示与结构X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示，i表示取不可约表示μ的第i行，D＝CT*diag(q)*C，CT表示拓扑矩阵C的转置，q为以符号表示的各杆件力密度列向量，diag()表示矩阵的对角线元素为括号中的元素，其余元素为0；
步骤5根据三个X/Y/Z方向坐标对应的力密度分块子矩阵
Figure GDA0002887354570000023
和不可约表示A1对应的力密度分块子矩阵
Figure GDA0002887354570000024
的总秩亏不小于d+1分析各力密度分块子矩阵，求得各组杆件力密度之间的解析关系，其中d为待求解结构的维度；
步骤6求得分别与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵的零空间，即为对称坐标系下节点在X/Y/Z方向的的坐标
Figure GDA0002887354570000025
然后根据下式求出笛卡尔坐标系下结构的节点坐标模态：
Figure GDA0002887354570000026
Figure GDA0002887354570000027
Figure GDA0002887354570000028
步骤7根据设计要求中给出的固定节点，选取其中任意两个固定节点A、B，找出所述步骤6求出的节点的X/Y/Z方向的坐标
Figure GDA0002887354570000029
中与选定的固定节点A、B相应的节点A0、B0的坐标，然后根据下式求出比例放大系数：
Figure GDA00028873545700000210
根据下式求出结构实际构形下的坐标x0'，y0'，z0'：
xo'＝coe*xo
yo'＝coe*yo
zo'＝coe*zo
进行整体平移，即根据下式求出结构的n个自由节点在笛卡尔坐标系下的真实坐标xj，yj，zj，其中n为结构中自由节点总数，j＝1,2,3,…,n：
Figure GDA0002887354570000031
Figure GDA0002887354570000032
Figure GDA0002887354570000033
其中，xf，yf，zf为设计要求中给出的任意一个固定节点的坐标，
Figure GDA0002887354570000034
为对应的该固定节点实际构型下的坐标，f为整数且f∈[1,nf]，nf为结构固定节点总数。
进一步的，本发明方法中，步骤3中，所有节点对应于X/Y/Z方向坐标的转换矩阵V(μ)i按照如下方式求得：首先将不同对称操作下与X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示和对应于所有节点转换的置换矩阵Pg求乘积，将这些乘积求和得出所有节点对应于X/Y/Z方向坐标的三个投影算子矩阵，然后根据所述三个投影算子矩阵的列空间分别求出所有节点对应于X/Y/Z方向坐标的三个转换矩阵V(μ)i。
进一步的，本发明方法中，步骤3中，自由节点对应于X/Y/Z方向坐标的转换矩阵V′(μ)i按照如下方式求得：首先将不同对称操作下与X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示和对应于自由节点转换的置换矩阵Pg'求乘积，将这些乘积求和得出自由节点对应于X/Y/Z方向坐标的三个投影算子矩阵，然后根据所述三个投影算子矩阵的列空间分别求出自由节点对应于X/Y/Z方向坐标的三个转换矩阵V′(μ)i。
进一步的，本发明方法中，步骤5中，按照如下方式求出各组杆件力密度之间的解析关系：与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵
Figure GDA0002887354570000035
中，非方阵自动满足秩亏要求，无需进行计算，方阵则令三个力密度分块子矩阵行列式等于0，联立三个力密度分块子矩阵对应的
Figure GDA0002887354570000036
组成方程组，解该方程组，即得到各组杆件力密度之间的解析关系，其中，方阵为行数与列数相等的矩阵，非方阵为行数与列数不相等的矩阵。
进一步的，本发明方法中，步骤6中，按照以下方式求出与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵的零空间：将符合所述步骤5求得的各组杆件力密度之间的解析关系，并且使拉索受拉为正值、压杆受压为负值的数值分别代入与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵，进行零空间求解，得到零空间。-
本发明在分析和研究现有将群论引入对称张拉整体结构找形分析的基础上，将应用于自平衡张拉整体结构的找形方法引入有支座边界约束条件的对称索杆结构的找形问题中，把结构节点分为自由节点和有约束节点，从所有节点和自由节点两个角度出发，结合与结构X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示，提出了一种新的对称索杆结构找形方法，大大简化了对称索杆结构的找形分析。
有益效果：本发明与现有技术相比，具有以下优点：
本发明的优点在于将有边界支座约束的预应力索杆结构，从所有节点和自由节点两个角度出发，充分利用与结构X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示求解力密度分块子矩阵，直接对维度较小的力密度分块子矩阵进行分析。现有的方法将笛卡尔坐标系下的稀疏、带状分布的相关矩阵转换成对称坐标系下的分块、对角化矩阵时需要计算所有不可约表示对应的对称子空间，求出所有投影算子矩阵及其列空间组成整体转换矩阵，将力密度矩阵转换成分块、对角化矩阵时不能区分与X/Y/Z方向相关联或无关分块子矩阵，需要进行整体力密度矩阵秩的分析，对于高对称结构和杆件数较多的结构，需要计算大量投影算子矩阵和坐标转换矩阵，且进行力密度矩阵秩的分析时矩阵维度较大，计算量较大，因而计算效率较低。且现有找形方法主要针对自平衡的张拉整体结构，对有支座约束的索杆结构不适用。本发明所述方法首先将结构节点分为自由节点和约束节点，从结构所有节点和自由节点两个角度出发，明确与结构X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示，求出两组节点相应的投影算子矩阵，继而求出两组与节点坐标相关联的对称子空间的基向量，得到对应的力密度分块子矩阵，分析分块子矩阵的秩亏条件及零空间，直接求得结构的可行力密度及节点坐标。对于任何结构最多只需求出六个对称子空间和三个分块力密度矩阵，避免了求对称群中所有对称操作下的转换矩阵，减少了程序的计算量和复杂度，显著提高了索杆结构找形分析的计算效率，且本发明所述方法不仅适用于有约束的索杆结构，对于自平衡张拉整体结构同样适用。
附图说明
图1为基于群论的对称索杆结构找形方法流程示意。
图2为一个C2V对称张拉整体结构。
图2中，细实线表示拉索构件，粗实线表示压杆构件。第一节点A、第二节点B、第三节点C、第四节点D表示结构的四个自由节点，第五节点E、第六节点F表示结构的两个约束节点；第一拉索1连接第一节点A和第五节点E、第二拉索2连接第二节点B和第六节点F、第三拉索3连接第三节点C和第六节点F、第四拉索4连接第四节点D和第五节点E，第五拉索5连接第一节点A和第二节点B，第六拉索6连接第三节点C和第四节点D，第一压杆7连接第一节点A和第四节点D，第二压杆8连接第二节点B和第三节点C，第一拉索1、第二拉索2、第三拉索3、第四拉索4为斜向拉索，第五拉索5、第六拉索6为水平拉索。
具体实施方式
下面结合实施例和说明书附图对本发明作进一步的说明。
基于MATLAB编程平台，对图2结构采用本发明所述方法进行求解。图2所示结构有6个节点，8根杆件，其中节点1、2、3、4为自由节点，节点5、6为约束节点，属于C2V对称结构，根据对称性，将杆件分为三组，水平拉索、斜向拉索和压杆，分别用Th、Tv和Td表示水平拉索、斜向拉索和压杆的力密度。
如图2所示结构有四个对称操作：恒等变换(E)，绕z轴旋转180°(C2)、相对于水平面的镜像对称(σV)和相对于竖向平面的镜像对称(σ′V)。
当引入对称群的相关概念后，计算基于的坐标系自动从笛卡尔坐标系转换为对称坐标系。从结构所有节点的角度出发，在对称操作C2(即绕z轴旋转180°)作用下，第一节点A转换到原先第三节点C的位置，第二节点B转换到原先第四节点D的位置，第五节点E转换到原先第六节点F的位置，第三节点C转换到原先第一节点A的位置，第四节点D转换到原先第二节点B的位置，第六节点F转换到原先第五节点E的位置，
Figure GDA0002887354570000052
可写成如下形式：
Figure GDA0002887354570000051
同理，可写出结构所有节点在其他对称操作下的置换矩阵。
从结构自由节点的角度出发，在对称操作C2(即绕z轴旋转180°)作用下，第一节点A转换到原先第三节点C的位置，第二节点B转换到原先第四节点D的位置，第三节点C转换到原先第一节点A的位置，第四节点D转换到原先第二节点B的位置，
Figure GDA0002887354570000061
可写成如下形式：
Figure GDA0002887354570000062
同理，可写出结构自由节点在其他对称操作下的置换矩阵。
C2V对称结构不可约表示有4个：A1、A2、B1、B2，其节点坐标z对应A1表示的一维子空间
Figure GDA00028873545700000620
x对应于对称子空间
Figure GDA0002887354570000063
y对应于对称子空间
Figure GDA0002887354570000064
完整的力密度矩阵由四个小矩阵块对角形成，这里只需求解对称子空间
Figure GDA0002887354570000065
和
Figure GDA0002887354570000066
对应的三个转换小矩阵
Figure GDA0002887354570000067
利用可约表示Pg、P′g和不可约表示A1给出投影算子矩阵
Figure GDA0002887354570000068
的列空间
Figure GDA0002887354570000069
和
Figure GDA00028873545700000610
Figure GDA00028873545700000611
Figure GDA00028873545700000612
则
Figure GDA00028873545700000613
Figure GDA00028873545700000614
同理可求出
Figure GDA00028873545700000615
和
Figure GDA00028873545700000616
利用子空间
Figure GDA00028873545700000617
的向量基
Figure GDA00028873545700000618
和
Figure GDA00028873545700000619
求出节点坐标z对应的力密度分块子矩阵
Figure GDA0002887354570000071
Figure GDA0002887354570000072
同理，可求出节点坐标x，y对应的力密度分块子矩阵：
Figure GDA0002887354570000073
Figure GDA0002887354570000074
结构维度为2，完整的力密度矩阵需满足秩亏至少为d+1＝3的要求，分析上述三个力密度分块子矩阵，使得每个矩阵分别有至少一个秩亏，
Figure GDA0002887354570000075
和
Figure GDA0002887354570000076
均是维度1′2的非方阵矩阵，自动满足秩亏要求，无需进行计算，计算方阵
Figure GDA0002887354570000077
的行列式等于
Figure GDA0002887354570000078
即可得出各个单元力密度之间的解析关系：
Td＝-0.5*Th
根据拉索受拉的原则即可指定单元力密度。
确定单元力密度后，在MATLAB平台中，对单元力密度赋予数值，将符号矩阵
Figure GDA0002887354570000079
转换为数值矩阵求零空间，其中
Figure GDA00028873545700000710
的零空间是对称坐标系下节点的Z方向坐标
Figure GDA00028873545700000711
Figure GDA00028873545700000712
的零空间是对称坐标系下节点的X方向坐标
Figure GDA00028873545700000713
Figure GDA00028873545700000714
的零空间是对称坐标系下节点的Y方向坐标
Figure GDA00028873545700000715
通过坐标转换矩阵
Figure GDA00028873545700000716
求出笛卡尔坐标系下结构某尺寸为单位长度的节点坐标，并且通过已知的约束节点坐标求出比例放大系数，最后通过平移求出真实结构在笛卡尔坐标系中的节点坐标。
因此，一种对称索杆结构找形方法从有支座边界约束索杆结构的所有节点和自由节点两个角度出发，求出与结构X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示的对称子空间，根据这些不可约表示对应的力密度分块子矩阵的秩亏条件及零空间，对维度较小的力密度分块子矩阵进行分析，直接求得结构的可行力密度及节点坐标。
上述实施例仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和等同替换，这些对本发明权利要求进行改进和等同替换后的技术方案，均落入本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种基于群论的对称索杆结构找形方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
步骤1判断结构所属对称群，根据对称性对结构杆件进行分组；
步骤2根据结构在各不同对称操作下节点之间的转换关系，确定结构在所属对称群下所有独立对称操作对应的所有节点转换的置换矩阵Pg和自由节点转换的置换矩阵P′g，其中g表示结构所属对称群所有独立对称操作的集合；
步骤3根据结构X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示和所述步骤2确定的置换矩阵Pg，求得所有节点对应于X/Y/Z方向坐标的转换矩阵V(μ)i，根据结构X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示和所述步骤2确定的置换矩阵P′g，求得自由节点对应于X/Y/Z方向坐标的转换矩阵V′(μ)i；
步骤4根据下式求解对称坐标系下与X/Y/Z方向坐标对应的力密度分块子矩阵
Figure FDA0002887354560000011
Figure FDA0002887354560000012
其中，μ表示与结构X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示，i表示取不可约表示μ的第i行，D＝CT*diag(q)*C，CT表示拓扑矩阵C的转置，q为以符号表示的各杆件力密度列向量，diag()表示矩阵的对角线元素为括号中的元素，其余元素为0；
步骤5根据三个X/Y/Z方向坐标对应的力密度分块子矩阵
Figure FDA0002887354560000013
和不可约表示A1对应的力密度分块子矩阵
Figure FDA0002887354560000014
的总秩亏不小于d+1分析各力密度分块子矩阵，求得各组杆件力密度之间的解析关系，其中d为待求解结构的维度；
步骤6求得分别与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵的零空间，即为对称坐标系下节点在X/Y/Z方向的的坐标
Figure FDA0002887354560000019
然后根据下式求出笛卡尔坐标系下结构的节点坐标模态：
Figure FDA0002887354560000015
Figure FDA0002887354560000016
Figure FDA0002887354560000017
步骤7根据设计要求中给出的固定节点，选取其中任意两个固定节点A、B，找出所述步骤6求出的节点的X/Y/Z方向的坐标
Figure FDA0002887354560000018
中与选定的固定节点A、B相应的节点A0、B0的坐标，然后根据下式求出比例放大系数：
Figure FDA0002887354560000021
根据下式求出结构实际构形下的坐标x0'，y0'，z0'：
xo'＝coe*xo
yo'＝coe*yo
zo'＝coe*zo
进行整体平移，即根据下式求出结构的n个自由节点在笛卡尔坐标系下的真实坐标xj，yj，zj，其中n为结构中自由节点总数，j＝1,2,3,…,n：
Figure FDA0002887354560000022
Figure FDA0002887354560000023
Figure FDA0002887354560000024
其中，xf，yf，zf为设计要求中给出的任意一个固定节点的坐标，
Figure FDA0002887354560000025
为对应的该固定节点实际构型下的坐标，f为整数且f∈[1,nf]，nf为结构固定节点总数。
2.根据权利要求1所述的一种基于群论的对称索杆结构找形方法，其特征在于，所述步骤3中所有节点对应于X/Y/Z方向坐标的转换矩阵V(μ)i按照如下方式求得：首先将不同对称操作下与X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示和对应于所有节点转换的置换矩阵Pg求乘积，将这些乘积求和得出所有节点对应于X/Y/Z方向坐标的三个投影算子矩阵，然后根据所述三个投影算子矩阵的列空间分别求出所有节点对应于X/Y/Z方向坐标的三个转换矩阵V(μ)i。
3.根据权利要求1所述的一种基于群论的对称索杆结构找形方法，其特征在于，所述步骤3中自由节点对应于X/Y/Z方向坐标的转换矩阵V′(μ)i按照如下方式求得：首先将不同对称操作下与X/Y/Z方向坐标对应的不可约表示和对应于自由节点转换的置换矩阵P′g求乘积，将这些乘积求和得出自由节点对应于X/Y/Z方向坐标的三个投影算子矩阵，然后根据所述三个投影算子矩阵的列空间分别求出自由节点对应于X/Y/Z方向坐标的三个转换矩阵V′(μ)i。
4.根据权利要求1、2或3所述的一种基于群论的对称索杆结构找形方法，其特征在于，所述步骤5中按照如下方式求出各组杆件力密度之间的解析关系：与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵
Figure FDA0002887354560000032
中，非方阵自动满足秩亏要求，无需进行计算，方阵则令三个力密度分块子矩阵行列式等于0，联立三个力密度分块子矩阵对应的
Figure FDA0002887354560000031
组成方程组，解该方程组，即得到各组杆件力密度之间的解析关系，其中，方阵为行数与列数相等的矩阵，非方阵为行数与列数不相等的矩阵。
5.根据权利要求1、2或3所述的一种基于群论的对称索杆结构找形方法，其特征在于，所述步骤6中，按照以下方式求出与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵的零空间：将符合所述步骤5求得的各组杆件力密度之间的解析关系，并且使拉索受拉为正值、压杆受压为负值的数值分别代入与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵，进行零空间求解，得到零空间。
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