CN108256250B

CN108256250B - 基于全对称子空间刚度子矩阵的对称索杆结构找形方法

Info

Publication number: CN108256250B
Application number: CN201810081301.XA
Authority: CN
Inventors: 陈耀; 孙求知; 冯健
Original assignee: Southeast University
Current assignee: Southeast University
Priority date: 2018-01-26
Filing date: 2018-01-26
Publication date: 2021-03-19
Anticipated expiration: 2038-01-26
Also published as: CN108256250A

Abstract

本发明公开了一种基于全对称子空间刚度子矩阵的对称索杆结构找形方法，针对有支座边界条件的对称索杆结构，引入群集理论，确定其所属对称群后，根据全对称子空间对应的刚度子矩阵和节点不平衡力求出全对称子空间对应的节点位移增量，再按照结构总势能降低的原则确定位移增量系数从而不断更新节点坐标，最终求得平衡、稳定的索杆结构。主要步骤为：首先根据对称性定义一个初始构型，求得与结构全对称子空间相对应坐标转换矩阵，从而求得与全对称子空间相对应的刚度子矩阵和节点不平衡力，通过这两者求出的节点位移增量更新结构构型，最终求得刚度矩阵正定的平衡结构。

Description

基于全对称子空间刚度子矩阵的对称索杆结构找形方法

技术领域

本发明属于空间结构、对称索杆结构设计与开发等领域，涉及一种基于全对称子空间刚度子矩阵的对称索杆结构找形方法。

背景技术

在传统的结构中，结构是从几何和材料中获取刚度的，这种主要从几何和材料中获取刚度的结构即所谓的刚性结构。而索杆结构的主要从预应力中获取刚度，确定索杆结构的几何形状和预应力状态的分析就是所谓的找形分析，也称为初始形态分析，其中形为初始几何形状，态则是初始预应力态。

现有的找形方法大多针对自平衡的索杆体系，而在土木工程中应用的结构大多有约束条件。对于有支座边界约束条件的索杆结构，一些学者通过加虚拟杆件的方式将支座约束转化为杆件约束，从而将结构转化成自平衡的张拉整体结构进行分析，但是虚拟杆的设置方式不同对结果的影响比较大。

对于对称索杆结构，充分利用固有对称性可显著简化其找形分析过程。群集理论作为一种系统分析对称性的重要数学工具，结合对称群的对称操作及不可约表示建立结构的对称坐标系，将笛卡尔坐标系下的稀疏、带状分布的相关矩阵转换成对称坐标系下的分块、对角化矩阵，将显著提高张拉整体结构找形分析的计算效率。近年来，一些学者已成功将群集理论引入张拉整体结构的找形分析中，将力密度矩阵和平衡矩阵转换成维度较小的分块矩阵进行计算，显著提高了张拉整体结构找形分析的计算效率。

发明内容

技术问题：本发明提供一种针对有支座边界条件的索杆结构，能迅速、有效地计算其节点坐标、力密度和刚度矩阵得出稳定结构的一种基于全对称子空间刚度子矩阵的对称索杆结构找形方法。

技术方案：本发明针对有支座边界条件的对称索杆结构，引入群集理论，确定其所属对称群后，根据全对称子空间对应的刚度子矩阵和节点不平衡力求出全对称子空间对应的节点位移增量，再按照结构总势能降低的原则确定位移增量系数从而不断更新节点坐标，最终求得平衡、稳定的索杆结构。

本发明的基于全对称子空间刚度子矩阵的对称索杆结构找形方法，包括以下步骤：

步骤1输入结构拓扑信息，明确结构所属对称群，定义一组满足结构对称条件的初始节点坐标P⁰，形成初始结构，根据对称性对结构杆件分组，分别定义各分组的压杆自然长度、线刚度和拉索的自然长度、线刚度，求出初始结构总势能U⁰、初始结构切线刚度矩阵K⁰和初始结构自由节点不平衡力ε⁰，初始化迭代计数变量i＝1；

步骤2根据结构在各不同对称操作下节点之间和坐标之间的转换关系，求出结构在所属对称群下全对称子空间对应的坐标转换矩阵VT_A1，根据所述坐标转换矩阵VT_A1和步骤1得出的初始结构切线刚度矩阵K⁰、初始结构自由节点不平衡力ε⁰求得全对称子空间对应的初始结构刚度子矩阵

全对称子空间对应的初始结构自由节点不平衡力

其中()^T表示矩阵的转置；

步骤3修正与全对称子空间对应的结构刚度子矩阵

得到

步骤4根据式

计算与全对称子空间对应的节点位移增量

步骤5根据式

更新节点坐标Pⁱ，其中ηⁱ是常数，且ηⁱ∈[0,1]；

步骤6根据步骤5更新的节点坐标Pⁱ计算自由节点不平衡力εⁱ＝-Aⁱ*tⁱ，其中Aⁱ和tⁱ分别表示当前迭代步下结构的平衡矩阵和杆件内力，继而计算全对称子空间对应的节点不平衡力

步骤7判断是否满足

其中‖ ‖₂表示二范数，ε_th表示不平衡力的容许误差，若满足，则输出节点坐标Pⁱ和杆件内力tⁱ，本方法结束；若不满足，则通过式

计算更新与全对称子空间对应的刚度矩阵子矩阵

令迭代计数变量i＝i+1，返回步骤3。

进一步的，本发明方法中，步骤1中按照如下方式对结构杆件进行分组：根据对称性，某一根杆件在某对称操作下能够转换到另一根杆件的位置，则这两根杆件划分为一组。

进一步的，本发明方法中，步骤1中，按照如下方式定义各分组杆件的自然长度：同组杆件自然长度相同，即

其中，l⁰为杆件自然长度列向量，a₁、a_m分别为第一组拉索和第m组拉索的自然长度，b₁、b_n分别为第一组压杆和第n组压杆的自然长度，m和n分别为拉索和压杆的分组个数。

进一步的，本发明方法中，步骤2中，按照如下方式求得结构在所属对称群下全对称子空间对应的坐标转换矩阵VT_A1：VT_A1＝F(O^A1)，其中，函数F表示求矩阵的列空间，投影算子矩阵

g表示对称操作，A₁表示对应于全对称子空间的不可约表示的特征标，kron()求表示张量积，P_g表示在对称操作g下自由节点的置换矩阵，T_g表示对称操作g对应的坐标转换矩阵。

进一步的，本发明方法中，步骤3中，通过如下方式修正与全对称子空间对应的结构刚度子矩阵

得到

其中

为矩阵

的最小特征值，I为单位矩阵。

进一步的，本发明方法中，步骤5中，通过以下方式确定常数ηⁱ：首先，令η′ⁱ＝1.0，通过式

计算临时节点坐标P′ⁱ和该迭代步下结构临时总势能U′ⁱ，判断是否满足U′ⁱ≤U′^i-1，若满足，则ηⁱ＝1.0；若不满足，通过二分法搜寻[0,1]中使得U′ⁱ≤U′^i-1的最大值作为ηⁱ。

进一步的，本发明方法中，步骤7中，不平衡力的容许误差ε_th设置为10^-6。

本发明在分析和研究现有张拉整体结构找形方法的基础上，从刚度矩阵和自由节点不平衡力的角度出发，引入群集理论，直接在全对称子空间中进行找形，将刚度矩阵和自由节点不平衡力转换为维度较小的矩阵进行计算，提出了一种基于全对称子空间刚度子矩阵的对称索杆结构找形方法，通过迭代求出稳定的结构。

有益效果：本发明与现有技术相比，具有以下优点：

本发明的优点在于充分利用了与不可约表示A1关联的全对称子空间进行找形计算，利用全对称子空间基向量作为转换矩阵，将笛卡尔坐标系下的刚度矩阵和自由节点不平衡力转换为对称坐标系下与全对称子空间对应的子矩阵，考虑到结构的全对称子空间包含了结构的全部对称属性，直接根据这些维度较小的子矩阵进行找形计算即可得到稳定结构。现有的将群论引入结构找形的方法中，需要计算结构所述对称群下所有不可约表示的对称子空间，形成完整的转换矩阵从而将将笛卡尔坐标系下的稀疏、带状分布的相关矩阵转换成对称坐标系下的分块、对角化矩阵，进而逐个分析这些分块矩阵；本发明所述方法只需计算第一个不可约表示关联的对称子空间，直接求出相关矩阵对称坐标系下第一分块子矩阵进行分析求解，无需求解其他对称子空间和分块矩阵。并且结构对称属性越高，本发明相较于现有公开的方法所需计算量越小，对于C_n(n≥2)对称的结构，至少有2个不可约表示(C₂)，不可约表示的维度至少为2(C₂)，本发明方法相较于现有方法来说，刚度矩阵的维度是现有方法的1/4，不平衡力的维度是现有方法的1/2；对于C_nv和D_n(n≥2)对称结构，至少有3个不可约表示(C_3v、D₃)，不可约表示的维度至少为4(C_2v、C_3v、D₂、D₃)，刚度矩阵的维度是现有方法的1/16，不平衡力的维度是现有方法的1/4，且当n越大时，矩阵维度相差越大，本发明所述方法的优势越明显。现有的基于群论找形方法需要计算多个转换矩阵，分析这多个转换矩阵对应的力密度子矩阵，本发明方法针对属于任意对称群的结构，只需要计算1个转换矩阵，通过该转换矩阵对应的刚度子矩阵进行找形分析。且本发明直接通过不平衡力修正节点坐标，与已有的通过平衡矩阵和力密度矩阵相互迭代修正节点坐标的方法相比，本发明所述方法从本质上直接修正节点坐标更容易保证结果收敛。进一步的，本发明在计算过程中直接对不正定的刚度矩阵进行修正，与现有的找形完成后判断结构是否稳定的方法相比，本发明所述方法可以确保找形得出的是稳定结构，无需进行进一步的稳定性判断。与传统方法相对比，本发明所述方法只需关注全对称不可约表示，对于任何结构最多只需求出一个坐标转换矩阵，避免了高对称结构和杆件数较多的复杂结构求所有不可约表示对应的坐标转换矩阵和大型刚度矩阵，从结点不平衡力对结构坐标修正避免了传统方法迭代可能不收敛的弊端，大大减少了程序的计算量和复杂度，显著提高了对称索杆找形分析的计算效率。

附图说明

图1为基于全对称子空间刚度子矩阵的对称索杆结构找形方法

图2(a)为一个D₄对称索杆结构，图2(b)为该D₄对称索杆结构拉索编号，图2(c)为该D₄对称索杆结构压杆编号。

在图2(a)、图2(b)和图2(c)中，细实线均表示拉索构件，粗实线均表示压杆构件。图2(a)中，A、B、C、D、E、F、G、H表示自由节点，I、J、K、L表示约束节点，图2(b)中，1、2、3、4、5、6、7、8表示第一组拉索，9、10、11、12、13、14、15、16表示第二组拉索，图2(c)中，17、18、19、20表示压杆。

具体实施方式

下面结合实施例和说明书附图对本发明作进一步的说明。

1.输入已知信息，图2所示结构为三维结构，判断该结构为D₄对称结构，有8个对称操作，恒等变换E，绕z轴三个旋转对称C₄、

分别绕z＝0平面内x＝0、y＝0、y＝x、y＝-x四个旋转轴的C'₂对称，其不可约表示有5个：A1、A2、B1、B2、E，其中A1、A2、B1、B2为一维，E为二维，在本发明所述方法法中，只需考虑一维不可约表示A1。图2结构有12个节点，20根杆件，输入各杆件连接节点信息形成拓扑矩阵C，定义一组初始节点坐标作为初始构型：节点A坐标P_A ⁰(-1,0,-1)，节点B坐标P_B ⁰(-1,0,1)，节点I坐标P_I ⁰(-2,0,0)，其余节点坐标根据对称性分别定义。定义第一组拉索和第二组拉索的自然长度均为1，定义压杆的自然长度均为3，定义所有拉索和压杆的线刚度均为1，求出杆件初始内力t⁰＝{t⁰ ₁-t⁰ ₁₆＝0.414，t⁰ ₁₇-t⁰ ₂₀＝-1}，求出求出初始结构总势能U⁰＝{U⁰ ₁-U⁰ ₁₆＝0.0858，U⁰ ₁₇-U⁰ ₂₀＝0.5}、初始结构切线刚度矩阵K⁰(24×24维)和初始结构自由节点不平衡力ε⁰(20×1维)；

2.各对称操作下全对称子空间不可约表示对应的特征标均为1，对称操作C₄作用下自由节点的置换矩阵

和坐标转换矩阵

分别为：

其余对称操作下置换矩阵和坐标转换矩阵分别以类似方法求得，利用式

求得投影算子矩阵，对该矩阵求列空间可得：

进而求得全对称子空间对应的初始结构刚度子矩阵：

全对称子空间对应的初始结构自由节点不平衡力

3.进入迭代循环，迭代进行239次后，得到稳定的结构如图2所示，此时结构节点坐标为：节点A坐标P_A ²³⁹(-1.200,0,-1.311)，节点B坐标P_B ²³⁹(-1.200,0,1.311)，节点I坐标P_I ⁰(-2,0,0)，结构内力为t²³⁹＝{t²³⁹ ₁-t²³⁹ ₈＝4.609，t²³⁹ ₉-t²³⁹ ₁₆＝1.697，t²³⁹ ₁₇-t²³⁹ ₂₀＝-3.934}，结构切线刚度矩阵最小特征值为7.78，该结构稳定。

因此，基于全对称子空间刚度子矩阵的对称索杆结构找形方法针对有支座边界条件的索杆结构，从刚度矩阵和自由节点不平衡力的角度出发，引入群集理论，直接在全对称子空间中进行找形，将刚度矩阵和自由节点不平衡力转换为维度较小的矩阵进行计算，在迭代过程中不断减小节点不平衡力，最终使得节点平衡求得稳定结构。本发明方法的流程图如图1所示。