CN105608267A - 一种多变量全局优化算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多变量全局优化算法，包括以下步骤：初始采样、构建初始元模型集、在元模型集上搜索Pareto点集、更新适存度集合、判断新点集是否满足收敛条件、以增量RBF方法更新元模型集。本发明针对现有基于元模型的多变量优化方法采用的大都为单值元模型，一个变量函数须对应一个元模型，存在复杂度高、计算量大等问题，提出元模型集的概念，根据RBF函数的特点，将其系数向量转化为系数矩阵，使得多个变量可在同一元模型中进行仿真，大大优化了多变量优化算法。大大减少了计算工作量，降低了优化算法难度，节省宝贵计算资源，进而为工业设计中复杂机电产品结构优化设计提供一种新的思路与方法。

Description

一种多变量全局优化算法

【技术领域】

本发明涉及机电产品优化设计的技术领域，特别是多输入多输出问题优化设计的技术领域

【背景技术】

由于现代机电产品结构越来越复杂，对其进行优化仿真时需耗费很多计算机资源，这在实际中是无法接受的。因此，在过去近二十年中，响应面法应运而生并在工业中得到广泛应用，它是利用最小二乘回归法来实现目标模型的拟合，主要通过计算机实验产生的采样点来构造与目标模型相近似的数学模型进行仿真优化分析，因而能节约计算资源，降低计算量。

多输入多输出优化问题常常涉及至源模型的近似化问题，即仿真模型，计算模型、元模型等。这些模型促进了优化和概念搜索的发展，降低函数优化迭代次数，从而减少了计算机资源的消耗。使用这些仿真模型的关键之处在于近似模型的精度问题，如果精度不够准确，则求得的Pareto解集不能有效逼近Pareto边界。因此，选择合适的多输入多输出优化方法对机电产品系统的优化仿真是非常重要和迫切的研究之一。

【发明内容】

本发明的目的在于引入元模型集的概念，利用RBF函数线性化的特点，将其系数向量转化为系数矩阵，从而使得多输入输出优化过程在同一元模型中完成，并提出一种与元模型集方法相匹配的增量Pareto适存度算法，从而降低优化算法难度，节省宝贵计算资源，进而为工业设计中复杂机电产品结构优化设计提供一种新的思路与方法。

为实现上述目的，本发明提出了多变量全局优化算法，包括以下步骤；

步骤一：初始采样：通过拉丁超立方采样方法采样构建初始样本点集X⁽ⁱ⁾，主要依据设计变量个数p和采样点个数p²；

步骤二：构造初始元模型集：调用目标函数仿真，获得样本点集X⁽ⁱ⁾的响应值Y⁽ⁱ⁾，利用X⁽ⁱ⁾、Y⁽ⁱ⁾来构建初始元模型集，适存度集合F⁽ⁱ⁾通过Pareto适存度函数公式来计算；

步骤三：在元模型集上搜索Pareto点集：在元模型集上搜索非支配点集P_a ^(k)，以改进的增量拉丁超立方采样方法增加采样点，更新样本点集适存度值，在元模型集上搜索近似Pareto最优解，以全部边界点适存度值趋于零作为收敛准则；

步骤四：更新适存度集合：令X⁽ⁱ⁺¹⁾＝X⁽ⁱ⁾∪P_e ⁽ⁱ⁾，在目标函数进行仿真时，获得样本点集X⁽ⁱ⁺¹⁾对应值Y⁽ⁱ⁺¹⁾，然后根据增量Pareto适存度算法来计算样本点X⁽ⁱ⁺¹⁾，更新适存度集合F_e ⁽ⁱ⁺¹⁾；

步骤五：新点集是否满足收敛条件：判断经过精确分析的样本点的非支配点集F_e ⁽ⁱ⁺¹⁾是否满足收敛条件，如满足则退出循环，否则转向步骤三；

步骤六：以增量RBF方法更新元模型集，令i＝i+1，再次循环。

优选的，在步骤一中，拉丁超立方采样的通用公式为：X_ij＝[π_j(i)-U_ij]/n,1≤i≤n,1≤j≤d，其中，π_j(1),...,π_j(n)是一个随机排列，区间为[1,n]，U_ij,…,U[0,1]是区间[0,1]的一个均匀随机分布，d为采样点的维度，n为采样点个数，具体采样步骤为：

1)设采样水平为m个点，维度空间为n，将设计空间每个维度进行m等分，每个维度分成m个区间：(0,1/m),(1/m,2/m),…,(1-1/m,1)；

2)在每个维度m个区间内随机取值，得值且 $0\≤x_1^{\left(i\right)}\≤1/m,1/m\≤x_1^{\left(i\right)}\≤2/m,$ 以次类推；

3)根据每个维度值随机选取配对，形成m个采样点的n维数据。

优选的，在步骤二中，初始元模型集的具体构造步骤为：

1)选择合适的径向基函数φ，一般常用Cubic基函数，其表达式为φ(r)＝(r+c)³,0＜c＜1；

2)采样点的生成：主要通过计算机试验方法在设计空间里生成，然后对其进行函数估算，从而得到对应响应值；

3)将m个采样点x_i及对应响应值f代入公式Aλ＝f^*得出线性方程组，m×m阶矩阵A中元素A_ij＝φ(r)，式中，r—采样点x_i和x_j的距离范数；

4)对线性方程组求解，得出扩展RBF函数中基函数对应权重系数λ＝[λ₁,λ₂,...,λ_n]^T，再次将采样点x_i代入对应方程组即可得出RBF响应面确切表达式；

5)同时进行多点估值，则 $\mathrm{\λ}={\[{\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2,...,{\mathrm{\λ}}_n\]}^T=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}_{11},{\mathrm{\λ}}_{12},...,{\mathrm{\λ}}_{1m}\\ {\mathrm{\λ}}_{21},{\mathrm{\λ}}_{22},...,{\mathrm{\λ}}_{2m}\\ \mathrm{......................}\\ {\mathrm{\λ}}_{n1},{\mathrm{\λ}}_{n2},...,{\mathrm{\λ}}_{nm}\end{array}\right],$ 相应的，RBF元模型的响应值f^*(x)相应变为矩阵，这样，RBF元模型就被转变为同一元模型下的多值模型，即元模型集合。

优选的，在步骤3)中，公式Aλ＝f^*中，f^*＝[f^*(x₁),f^*(x₂),...,f^*(x_n)]^T，

A_i,j＝φ(||x_i-x_j||)(i,j＝1,2...,n)，λ＝[λ₁,λ₂,...,λ_n]^T，由于未知参数个数多于由采样点构造的方程个数，则Cubic基函数为欠定的，所以，系数λ还必须满足式因此可得到n+p个方程，其矩阵方程式为 $\left(\begin{array}{cc}A& G\\ G^T& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{\λ}\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f\\ 0\end{array}\right)$ 式中，G_i,j＝g(x_i)(i＝1,2...,n；j＝1,2,...,p)，c＝[c₁,c₂,...,c_p]^T，因此，即可求解参数λ和c。

优选的，在步骤二中，适存度集合为 $F_i={\[1-\underset{j\≠i}{max}\left(\underset{k}{min}\right(f_{s1}^i-f_{s1}^j,f_{s2}^i-f_{s2}^j,...,f_{sm}^i-f_{sm}^j\left)\right)\]}^l,$ 式中，A＝{x_i,i＝1,2,…,m}为设计点集合，F_i—第i个给定点x_i在A中的适存度表达式，—第i个给定点映射的第k个子目标函数比例缩放值；k＝i,2,…,m；l—边界指数，取值为1；max—计算给定点x_i对应的目标函数向量和其它给定点x_j(j＝1,2,…,m,j≠i)对应目标函数向量之差集合的最大值。

优选的，在步骤二中，为了计算Pareto适存度集合，设函数f_s ^*为第i个给定点函数值与其它点j函数值之差的最小值，那么： $f_k^{*}=\underset{k}{min}(f_{s1}^i-f_{s1}^j,f_{s2}^i-f_{s2}^j,...,f_{sm}^i-f_{sm}^j),$ 式中，j＝1,…n，且i≠j；k—子目标函数，k＝1,…m，则上式的行向量矩阵为：

对上式取最大值即为Pareto适存度函数公式值。因 $f_s^{*ij}=f_s^{*ji},$ 设 $-f_s^{*ji}=f_s^{*ji}(f_{sk}^j-f_{sk}^i)$ $=\underset{k}{min}(f_{s1}^j-f_{s1}^i,f_{s2}^j-f_{s2}^i,...,f_{sm}^j-f_{sm}^i),$ 则上式变换为：

优选的，在步骤三中，改进的增量拉丁超立方采样方法的具体算法为：

1)建造(M+N)×K分析矩阵，将矩阵中所有元素清0；

2)计算原来N个采样点在分析矩阵中的位置，将相对应元素置1；

3)查找矩阵中元素为0的点，将其收集至空余坐标集中；

4)用标准拉丁超立方采样方法生成(M+N)个采样点，按空余坐标集中的位置生成新增采样点坐标。

优选的，在步骤三中，收敛标准为：其中，ε₁—大小1的正数，

优选的，在步骤四中，增量Pareto适存度算法具体步骤为：

1)设向量init_def为上一次Pareto适存度值，fit为当前给定点对应的函数值矩阵，并且将fit按比例缩放至[1，0]；

2)构造向量def为当前Pareto适存度值域，如果init_def非空，将其加入def前面部分；

3)设i为迭代过程中当前给定点对应函数值cur_fit，将对所有给定点进行循环，设j迭代过程中与i不同的给定点对应函数值oth_fit，对前i-1个给定点进行循环；

4)设f^*＝cur_fit-oth_fit，那么 $f_s^{*ij}=min\left(f^{*}\right),f_s^{*ji}=-f_s^{*ij}=min(-f^{*})$ 。如def第i个元素小于则将第i个元素替换为如def第i个元素小于则将第i个元素替换为

5)令i++,j++，再次循环。

优选的，在步骤五中，经过精确分析的样本点的非支配点集是否满足的收敛条件为：：其中，ε₂—大小1的正数。

有益效果：本发明针对现有基于元模型的多变量优化方法采用的大都为单值元模型，一个变量函数须对应一个元模型，存在复杂度高、计算量大等问题，提出元模型集的概念，根据RBF函数的特点，将其系数向量转化为系数矩阵，使得多个变量可在同一元模型中进行仿真，大大优化了多变量优化算法。然后，针对通过采样点计算Pareto适存度矩阵困难等问题，提出了增量迭代式Pareto适存度计算方法，利用上一次迭代产生的适存度值直接更新，大大减少了计算工作量，降低了优化算法难度，节省宝贵计算资源，进而为工业设计中复杂机电产品结构优化设计提供一种新的思路与方法。

【附图说明】

图1是本发明的元模型集上搜索近似Pareto流程图；

图2a是本发明中的Pareto边界分布图；

图2b是本发明中的Pareto精确分析点分布图；

图2c是本发明中的Pareto解集分布图；

图2d是本发明中的Pareto收敛曲线图；

图3是本发明中的五杆平面桁架结构图；

图4a是本发明中的Pareto边界分布图二；

图4b是本发明中的Pareto精确分析点分布图二；

图4c是本发明中的Pareto解集分布图二；

图4d是本发明中的Pareto收敛曲线图二；

【具体实施方式】

以下各实施例的说明是参考附加的图式，用以例示本发明可用以实施的特定实施例。本发明所提到的方向用语，例如「上」、「下」、「前」、「后」、「左」、「右」、「内」、「外」、「侧面」等，仅是参考附加图式的方向。因此，使用的方向用语是用以说明及理解本发明，而非用以限制本发明。在图中，结构相似的单元是以相同标号表示。

下面结合附图和具体实施例，对本发明进行详细说明。

如图1至图4d所示，本发明的多变量全局优化算法，包括以下步骤：

步骤一：初始采样：通过拉丁超立方采样方法采样构建初始样本点集X⁽ⁱ⁾，主要依据设计变量个数p和采样点个数p²；

步骤二：构造初始元模型集：调用目标函数仿真，获得样本点集X⁽ⁱ⁾的响应值Y⁽ⁱ⁾，利用X⁽ⁱ⁾、Y⁽ⁱ⁾来构建初始元模型集，适存度集合F⁽ⁱ⁾通过Pareto适存度函数公式来计算；

步骤三：在元模型集上搜索Pareto点集：在元模型集上搜索非支配点集P_a ^(k)，以改进的增量拉丁超立方采样方法增加采样点，更新样本点集适存度值，在元模型集上搜索近似Pareto最优解，以全部边界点适存度值趋于零作为收敛准则；

步骤四：更新适存度集合：令X⁽ⁱ⁺¹⁾＝X⁽ⁱ⁾∪P_e ⁽ⁱ⁾，在目标函数进行仿真时，获得样本点集X⁽ⁱ⁺¹⁾对应值Y⁽ⁱ⁺¹⁾，然后根据增量Pareto适存度算法来计算样本点X⁽ⁱ⁺¹⁾，更新适存度集合F_e ⁽ⁱ⁺¹⁾；

步骤五：新点集是否满足收敛条件：判断经过精确分析的样本点的非支配点集F_e ⁽ⁱ⁺¹⁾是否满足收敛条件，如满足则退出循环，否则转向步骤三；

步骤六：以增量RBF方法更新元模型集，令i＝i+1，再次循环。

进一步的，在步骤一中，拉丁超立方采样的通用公式为：X_ij＝[π_j(i)-U_ij]/n,1≤i≤n,1≤j≤d，其中，π_j(1),...,π_j(n)是一个随机排列，区间为[1,n]，U_ij,…,U[0,1]是区间[0,1]的一个均匀随机分布，d为采样点的维度，n为采样点个数，具体采样步骤为：

1)设采样水平为m个点，维度空间为n，将设计空间每个维度进行m等分，每个维度分成m个区间：(0,1/m),(1/m,2/m),…,(1-1/m,1)；

2)在每个维度m个区间内随机取值，得值且 $0\≤x_1^{\left(i\right)}\≤1/m,1/m\≤x_1^{\left(i\right)}\≤2/m,$ 以次类推；

3)根据每个维度值随机选取配对，形成m个采样点的n维数据。

进一步的，在步骤二中，初始元模型集的具体构造步骤为：

1)选择合适的径向基函数φ，一般常用Cubic基函数，其表达式为φ(r)＝(r+c)³,0＜c＜1；

2)采样点的生成：主要通过计算机试验方法在设计空间里生成，然后对其进行函数估算，从而得到对应响应值；

3)将m个采样点x_i及对应响应值f代入公式Aλ＝f^*得出线性方程组，m×m阶矩阵A中元素A_ij＝φ(r)，式中，r—采样点x_i和x_j的距离范数；

4)对线性方程组求解，得出扩展RBF函数中基函数对应权重系数λ＝[λ₁,λ₂,...,λ_n]^T，再次将采样点x_i代入对应方程组即可得出RBF响应面确切表达式；

5)同时进行多点估值，则 $\mathrm{\λ}={\[{\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2,...,{\mathrm{\λ}}_n\]}^T=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}_{11},{\mathrm{\λ}}_{12},...,{\mathrm{\λ}}_{1m}\\ {\mathrm{\λ}}_{21},{\mathrm{\λ}}_{22},...,{\mathrm{\λ}}_{2m}\\ \mathrm{......................}\\ {\mathrm{\λ}}_{n1},{\mathrm{\λ}}_{n2},...,{\mathrm{\λ}}_{nm}\end{array}\right],$ 相应的，RBF元模型的响应值f^*(x)相应变为矩阵。

进一步的，在步骤二的3)中，公式Aλ＝f^*中，f^*＝[f^*(x₁),f^*(x₂),...,f^*(x_n)]^T，A_i,j＝φ(||x_i-x_j||)(i,j＝1,2...,n)，λ＝[λ₁,λ₂,...,λ_n]^T，由于未知参数个数多于由采样点构造的方程个数，则Cubic基函数为欠定的，所以，系数λ还必须满足式因此可得到n+p个方程，其矩阵方程式为 $\left(\begin{array}{cc}A& G\\ G^T& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{\λ}\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f\\ 0\end{array}\right)$ 式中，G_i,j＝g(x_i)(i＝1,2...,n；j＝1,2,...,p)，c＝[c₁,c₂,...,c_p]^T，因此，即可求解参数λ和c。

进一步的，在步骤二中，适存度集合为

$F_i={\[1-\underset{j\≠i}{max}\left(\underset{k}{min}\right(f_{s1}^i-f_{s1}^j,f_{s2}^i-f_{s2}^j,...,f_{sm}^i-f_{sm}^j\left)\right)\]}^l,$ 式中，A＝{x_i,i＝1,2,…,m}为设计点集合，F_i—第i个给定点x_i在A中的适存度表达式，—第i个给定点映射的第k个子目标函数比例缩放值；k＝i,2,…,m；l—边界指数，取值为1；max—计算给定点x_i对应的目标函数向量和其它给定点x_j(j＝1,2,…,m,j≠i)对应目标函数向量之差集合的最大值。

进一步的，在步骤二中，为了计算Pareto适存度集合，设函数f_s ^*为第i个给定点函数值与其它点j函数值之差的最小值，那么： $f_k^{*}=\underset{k}{\min }(f_{s1}^i-f_{s1}^j,f_{s2}^i-f_{s2}^j,...,f_{sm}^i-f_{sm}^j),$ 式中，j＝1,…n，且i≠j；k—子目标函数，k＝1,…m，则上式的行向量矩阵为：

对上式取最大值即为Pareto适存度函数公式值。因 $f_s^{*ij}=f_x^{*ji},$ 设 $-f_s^{*ji}=f_s^{*ji}(f_{sk}^j-f_{sk}^i)$ $=\underset{k}{min}(f_{s1}^j-f_{s1}^i,f_{s2}^j-f_{s2}^i,...,f_{sm}^j-f_{sm}^i),$ 则上式变换为：

进一步的，在步骤三中，改进的增量拉丁超立方采样方法的具体算法为：

1)建造(M+N)×K分析矩阵，将矩阵中所有元素清0；

2)计算原来N个采样点在分析矩阵中的位置，将相对应元素置1；

3)查找矩阵中元素为0的点，将其收集至空余坐标集中；

4)用标准拉丁超立方采样方法生成(M+N)个采样点，按空余坐标集中的位置生成新增采样点坐标。

进一步的，在步骤三中，收敛标准为：其中，ε₁—大小1的正数，具体搜索流程如图1所示。

进一步的，在步骤四中，增量Pareto适存度算法具体步骤为：

1)设向量init_def为上一次Pareto适存度值，fit为当前给定点对应的函数值矩阵，并且将fit按比例缩放至[1，0]；

2)构造向量def为当前Pareto适存度值域，如果init_def非空，将其加入def前面部分；

3)设i为迭代过程中当前给定点对应函数值cur_fit，将对所有给定点进行循环，设j迭代过程中与i不同的给定点对应函数值oth_fit，对前i-1个给定点进行循环；

4)设f^*＝cur_fit-oth_fit，那么 如def第i个元素小于则将第i个元素替换为如def第i个元素小于则将第i个元素替换为

5)令i++,j++，再次循环。

进一步的，在步骤五中，经过精确分析的样本点的非支配点集F_e ⁽ⁱ⁺¹⁾是否满足的收敛条件为：：其中，ε₂—大小1的正数。

为验证本发明提出的算法，采用凸边界优化问题和五杆平面桁架结构设计优化两个例子进行验证。

(1)凸边界优化问题：

测试函数： $\left.\begin{array}{c}{\mathrm{minf}}_1(x_1,x_2)={(x_1-1)}^2+{(x_2-1)}^2\\ f_2(x_1,x_2)={x_1}^2+{(x_2-5)}^2\\ f_1^{*}(x_1,x_2)=x_1-8\≤0\\ f_2^{*}(x_1,x_2)=1-x_1\≤0\\ f_3^{*}(x_1,x_2)=x_2-6\≤0\end{array}\right\}$

收敛标准值ε₁＝1.02，ε₂＝1.008，采用本文所述算法，经12次迭代后满足收敛条件，结果如图2a、b、c、d所示，统计结果如表1所示。

表1例1结果分析表

从图2(a)可知，采用上述方法得到的Pareto边界是均匀分布的，获得的近似Pareto边界总体上趋向于实际的Pareto边界，从而使得由近似模型获得的非支配点能直接收敛于实际Pareto边界。由图2(b)可知，逐次增量分析的大部分设计点分布于Pareto边界上，且比例高达61％，而且分析次数也大大降低。

五杆平面桁架结构设计优：

主要特性参数：杨氏模量E＝7030.8×10⁷N/m²，密度ρ＝27680.37N/m³，许用应力σ_a＝±1.7577×10⁸N，5个设计变量为每根杆的截面区域，其定义范围为：

{64.516mm²＜A_i＜6451.6mm²}_{i＝1,2,...,5}

在满足五杆平面桁架结构屈服强度和稳定性条件的前提下，优化目标为最小化桁架的承载值。经分析可知，其函数为：

$W=\mathrm{\ρ}L(A_1+A_2+A_3+\sqrt{2}(A_4+A_5\left)\right),$ 式中，L＝9.144m，每根杆上的应力要小于σ_a，即：

{-1.7577×10⁸N＜σ_i＜1.7577×10⁸N}_{i＝1,2,...,5}

设收敛标准值ε₁＝1.02，ε₂＝1.008，经12次迭代后得到94个Pareto边界点，占精确分析点总量的48％，且精确分析次数为249次。例二Pareto边界分布、精确分析点分布、解集分布及收敛曲线如图4a、b、c、d所示，计算结果如表2所示。

表2例2结果分析表

结合两个例子的测试结果可以得出，基于元模型集的多变量全局优化算法相对于多目标遗传算法来讲，获取Pareto边界迭代次数少，进行精确分析的次数也大大降低，这对于节约计算机资源，提高仿真优化效率具有重要意义。

本发明公开了一种多变量全局优化算法，包括以下步骤：初始采样、构建初始元模型集、在元模型集上搜索Pareto点集、更新适存度集合、判断新点集是否满足收敛条件、以增量RBF方法更新元模型集。本发明针对现有基于元模型的多变量优化方法采用的大都为单值元模型，一个变量函数须对应一个元模型，存在复杂度高、计算量大等问题，提出元模型集的概念，根据RBF函数的特点，将其系数向量转化为系数矩阵，使得多个变量可在同一元模型中进行仿真，大大优化了多变量优化算法。然后，针对通过采样点计算Pareto适存度矩阵困难等问题，提出了增量迭代式Pareto适存度计算方法，利用上一次迭代产生的适存度值直接更新，大大减少了计算工作量，降低了优化算法难度，节省宝贵计算资源，进而为工业设计中复杂机电产品结构优化设计提供一种新的思路与方法。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内，本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (10)

1.一种多变量全局优化算法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一：初始采样：通过拉丁超立方采样方法采样构建初始样本点集X⁽ⁱ⁾，主要依据设计变量个数p和采样点个数p²；

步骤二：构造初始元模型集：调用目标函数仿真，获得样本点集X⁽ⁱ⁾的响应值Y⁽ⁱ⁾，利用X⁽ⁱ⁾、Y⁽ⁱ⁾来构建初始元模型集，适存度集合F⁽ⁱ⁾通过Pareto适存度函数公式来计算；

步骤三：在元模型集上搜索Pareto点集：在元模型集上搜索非支配点集以改进的增量拉丁超立方采样方法增加采样点，更新样本点集适存度值，在元模型集上搜索近似Pareto最优解，以全部边界点适存度值趋于零作为收敛准则；

步骤四：更新适存度集合：令在目标函数进行仿真时，获得样本点集X⁽ⁱ⁺¹⁾对应值Y⁽ⁱ⁺¹⁾，然后根据增量Pareto适存度算法来计算样本点X⁽ⁱ⁺¹⁾，更新适存度集合

步骤五：新点集是否满足收敛条件：判断经过精确分析的样本点的非支配点集是否满足收敛条件，如满足则退出循环，否则转向步骤三；

步骤六：以增量RBF方法更新元模型集，令i＝i+1，再次循环。

2.根据权利要求1所述的多变量全局优化算法，其特征在于，在步骤一中，拉丁超立方采样的通用公式为：X_ij＝[π_j(i)-U_ij]/n,1≤i≤n,1≤j≤d，其中，π_j(1),...,π_j(n)是一个随机排列，区间为[1,n]，U_ij,…,U[0,1]是区间[0,1]的一个均匀随机分布，d为采样点的维度，n为采样点个数，具体采样步骤为：

1)设采样水平为m个点，维度空间为n，将设计空间每个维度进行m等分，每个维度分成m个区间：(0,1/m),(1/m,2/m),…,(1-1/m,1)；

2)在每个维度m个区间内随机取值，得值且 以次类推；

3)根据每个维度值随机选取配对，形成m个采样点的n维数据。

3.根据权利要求1所述的多变量全局优化算法，其特征在于，在步骤二中，初始元模型集的具体构造步骤为：

1)选择合适的径向基函数φ，一般常用Cubic基函数，其表达式为φ(r)＝(r+c)³,0＜c＜1；

2)采样点的生成：主要通过计算机试验方法在设计空间里生成，然后对其进行函数估算，从而得到对应响应值；

3)将m个采样点x_i及对应响应值f代入公式Aλ＝f^*得出线性方程组，m×m阶矩阵A中元素A_ij＝φ(r)，式中，r—采样点x_i和x_j的距离范数；

4)对线性方程组求解，得出扩展RBF函数中基函数对应权重系数λ＝[λ₁,λ₂,...,λ_n]^T，再次将采样点x_i代入对应方程组即可得出RBF响应面确切表达式；

5)同时进行多点估值，则相应的，RBF元模型的响应值f^*(x)相应变为矩阵，这样，RBF元模型就被转变为同一元模型下的多值模型，即元模型集合。

4.根据权利要求3所述的多变量全局优化算法，其特征在于，在步骤3)中，公式Aλ＝f^*中，f^*＝[f^*(x₁),f^*(x₂),...,f^*(x_n)]^T，

A_i,j＝φ(||x_i-x_j||)(i,j＝1,2...,n)，λ＝[λ₁,λ₂,...,λ_n]^T，由于未知参数个数多于由采样点构造的方程个数，则Cubic基函数为欠定的，所以，系数λ还必须满足式因此可得到n+p个方程，其矩阵方程式为式中，G_i,j＝g(x_i)(i＝1,2...,n；j＝1,2,...,p)，c＝[c₁,c₂,...,c_p]^T，因此，即可求解参数λ和c。

5.根据权利要求1所述的多变量全局优化算法，其特征在于，在步骤二中，适存度集合为式中，A＝{x_i,i＝1,2,...,m}为设计点集合，F_i—第i个给定点x_i在A中的适存度表达式，—第i个给定点映射的第k个子目标函数比例缩放值；k＝i,2,...,m；l—边界指数，取值为1；max—计算给定点x_i对应的目标函数向量和其它给定点x_j(j＝1,2,...,m,j≠i)对应目标函数向量之差集合的最大值。

6.根据权利要求1所述的多变量全局优化算法，其特征在于，在步骤二中，为了计算Pareto适存度集合，设函数为第i个给定点函数值与其它点j函数值之差的最小值，那么：式中，j＝1,...n，且i≠j；k—子目标函数，k＝1,...m，则上式的行向量矩阵为：

对上式取最大值即为Pareto适存度函数公式值。因设则上式变换为：

7.根据权利要求1所述的多变量全局优化算法，其特征在于，在步骤三中，改进的增量拉丁超立方采样方法的具体算法为：

1)建造(M+N)×K分析矩阵，将矩阵中所有元素清0；

2)计算原来N个采样点在分析矩阵中的位置，将相对应元素置1；

3)查找矩阵中元素为0的点，将其收集至空余坐标集中；

4)用标准拉丁超立方采样方法生成(M+N)个采样点，按空余坐标集中的位置生成新增采样点坐标。

8.根据权利要求1所述的多变量全局优化算法，其特征在于，在步骤三中，收敛标准为：其中，ε₁—大小1的正数。

9.根据权利要求1所述的多变量全局优化算法，其特征在于，在步骤四中，增量Pareto适存度算法具体步骤为：

1)设向量init_def为上一次Pareto适存度值，fit为当前给定点对应的函数值矩阵，并且将fit按比例缩放至[1，0]；

2)构造向量def为当前Pareto适存度值域，如果init_def非空，将其加入def前面部分；

3)设i为迭代过程中当前给定点对应函数值cur_fit，将对所有给定点进行循环，设j迭代过程中与i不同的给定点对应函数值oth_fit，对前i-1个给定点进行循环；

4)设f^*＝cur_fit-oth_fit，那么 如def第i个元素小于则将第i个元素替换为如def第i个元素小于则将第i个元素替换为

5)令i++,j++，再次循环。

10.根据权利要求1所述的多变量全局优化算法，其特征在于，在步骤五中，经过精确分析的样本点的非支配点集是否满足的收敛条件为：：其中，ε₂—大小1的正数。