CN105113628A - 一种预应力索杆结构的对称找力方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种预应力索杆结构的对称找力方法，属于现代空间结构的设计领域。第一步，组建力平衡矩阵，分别建立与外荷载向量、内力向量对应的对称子空间；第二步，计算对称型平衡矩阵的第一分块子矩阵；第三步，求解全对称自应力模态；第四步，判断全对称自应力模态是否为非零解，若为零解需重新设计几何构形；第五步，确定初始预应力组合系数；最后，判断所建立的预应力索杆结构是否满足稳定性条件，若结构稳定，则输出对称找力结果，并结束对称找力流程，否则返回上一步，以重新寻求初始预应力分布方案。

Description

一种预应力索杆结构的对称找力方法

技术领域

本发明涉及一种基于群论方法的预应力索杆结构的对称找力方法，属于空间结构的建筑设计和结构设计领域。

背景技术

预应力索杆结构由受拉的拉索单元和受压的压杆单元组成，该类结构与传统结构的一个显著区别是初始状态下，结构内部同时存在机构位移模态和自应力模态，并主要依靠初始预应力维持或改善结构的刚度。因此，初始预应力的分布方式直接影响着预应力索杆结构的整体性能。为了使预应力索杆结构达到最优力学性能，找寻其合理的初始预应力(简称找力)是首先需解决的关键问题。

通常情况下，确定预应力索杆结构的初始预应力分布必须先求出结构的自应力模态，再将这些自应力模态按某组合系数线性叠加，得到的结果即为结构初始平衡态下的预应力分布。该方法应用于低自应力模态体系时，求解较为方便。但在自应力模态数较多的情况下，求解过程复杂且工作量巨大。而且，并不是所有按该方法得到的初始预应力分布均可以施加到结构上，实际结构中施加的初始预应力还必须满足一定的约束条件。因此对于多自应力模态数、几何构形复杂的结构，需寻求更为合理、高效的找力方法。

当前部分预应力索杆结构的找力方法中，为了体现对结构对称性的要求，人为地对同类型单元进行分组归类，并对找力结果进行二次处理。然而，当结构的几何构形变得复杂、规模增大时，现有技术方法的操作难度和出错概率相应提高。

发明内容

技术问题：本发明提供一种综合利用群论方法和优化手段寻求能确保结构稳定以及预应力分布对称、合理的初始预应力分布方案，计算复杂度较低，计算效率高的预应力索杆结构的对称找力方法。

技术方案：本发明的预应力索杆结构的对称找力方法，包括以下步骤：

步骤1根据已给定的预应力索杆结构的初始几何构形，组建整体结构的力平衡矩阵H，明确结构的整体对称性和所属对称群，利用群论方法建立与外荷载向量对应的对称子空间并利用群论方法建立与内力向量对应的对称子空间

步骤2利用步骤1建立的整体结构的力平衡矩阵H及与外荷载向量对应的对称子空间与内力向量对应的对称子空间根据下式计算对称型平衡矩阵第一分块子矩阵

${\stackrel{\‾}{H}}^{(1-1)}={\left(V_P^{\left(1-1\right)}\right)}^T{\mathrm{HV}}_t^{\left(1-1\right)}$

式中为的转置，

步骤3基于奇异值分解法求解所述对称型平衡矩阵第一分块矩阵的零空间和满足正交性质：

${\stackrel{\‾}{H}}^{(1-1)}{\stackrel{\‾}{S}}^{(1-1)}=0$

然后根据下式求解预应力索杆结构的全对称自应力模态S：

$S=V_t^{(1-1)}{\stackrel{\‾}{S}}^{(1-1)}$

步骤4判断所述全对称自应力模态S是否为非平凡解：若S为非平凡解，即全对称自应力模态的二范数||S||₂＞0，则全对称自应力模态S可行，进入步骤5，否则，结束对称找力流程；

步骤5确定预应力索杆结构的初始预应力组合系数α：当所述全对称自应力模态S为一维列向量时，根据杆件内的预应力水平确定初始预应力组合系数α；当全对称自应力模态S为多维列向量时，综合考虑拉压杆受力特性、初始预应力分布的均匀性和总体水平，利用优化方法寻求初始预应力组合系数的最优解；

步骤6判断结构在所建立的初始预应力t作用下是否满足稳定性条件，如果结构维持稳定，即结构的切线刚度矩阵为正定矩阵，则输出对称找力结果；如果不满足稳定性条件，则返回步骤5。

进一步的，本发明方法中，所述的步骤1中，整体对称性和所属对称群是根据已给定的预应力索杆结构拥有的独立对称操作确定的，所述的对称操作包括恒等变换、旋转、镜像、逆操作，在这些对称操作下结构的构形保持不变化。

进一步的，本发明方法中，所述的步骤4中，如果全对称自应力模态S为空集或零解，则S应视为平凡解，即||S||₂＝0。

进一步的，本发明方法中，所述的步骤5中，拉压杆受力特性是指预应力索杆结构中，拉索需始终承受拉力，即内力为正值，压杆需始终承受压力，即内力为负值。

进一步的，本发明方法中，所述的步骤5中，初始预应力组合系数的最优解是根据目标函数、预应力索杆结构考虑拉压杆受力特性的条件、预应力索杆结构考虑初始预应力总体水平的条件和预应力索杆结构考虑初始预应力分布均匀性的条件，利用优化方法寻求得到的；所述目标函数为：

$min\left({\mathrm{\β}}_1\underset{i=1}{\overset{b}{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_i+{\mathrm{\β}}_2{\left(\right|\left|t\right|{|}_2-P)}^2+{\mathrm{\β}}_3\underset{i=1}{\overset{b}{\Σ}}{\left(\left|t_i\right|-\stackrel{\‾}{t}\right)}^2\right)$

其中，β₁拉压杆受力特性权重系数，0＜β₁≤1，β₂为初始预应力总体水平权重系数，0＜β₂≤1，β₃为初始预应力分布均匀性权重系数，0＜β₃≤1，b为预应力索杆结构具有的杆件总数；

所述预应力索杆结构考虑拉压杆受力特性的条件为其中参数ω_i表示杆件i的受力特性，1＜i≤b，当杆件i为压杆且杆件内力为非正值时，ω_i＝0，当杆件i为拉索且杆件内力为非负值时，ω_i＝0，其他情况下ω_i＝1；

所述预应力索杆结构考虑初始预应力总体水平的条件为min(β₂(||t||₂-P)²)，结构的初始预应力向量t为全对称自应力模态S与组合系数α的乘积，即t＝Sα，||t||₂为t的二范数，P为给定的反映初始预应力总体水平的限值；

所述预应力索杆结构考虑初始预应力分布均匀性的条件为其中||t_i||为第i根杆件的内力t_i的绝对值，为所有b根杆件内力的绝对值的平均值，即 $\stackrel{\‾}{t}=\frac{1}{b}\underset{i=1}{\overset{b}{\Σ}}\left|t_i\right|.$

本发明引入群论方法，充分利用结构固有的整体对称性(步骤1，2)，单次直接求解得出结构的整体自应力模态；采用现有优化方法，并综合考虑拉压杆受力特性、初始预应力分布的均匀性和总体水平，从而保证得出的初始预应力更为合理、均匀(步骤5)。此外，所获取的初始预应力能确保满足结构可行性的要求，即满足结构的稳定性(步骤6)。

有益效果：本发明与现有技术相比，具有以下优点：

现有预应力索杆结构的找力方法未利用结构的整体对称性，当结构具有多组独立的自应力模态时，需要分两个阶段求解大规模矩阵的零空间，以获得结构的全对称自应力模态，而本发明充分利用了结构的固有对称性，不管预应力索杆结构是否具有多组独立的自应力模态，均仅需单次求解平衡矩阵第一分块子矩阵的零空间，即可获得结构的全对称自应力模态，所述的第一分块子矩阵的规模显著小于原矩阵，计算复杂度较低。另一方面，现有方法在进行预应力索杆结构找力时，需人为将不同的杆件分组归类，额外添加对称性约束条件，而本发明已自动考虑了不同杆件的对称性特点，无需人为将不同的杆件分组归类，因此本发明在一定程度上回避了现有技术求解过程的繁琐性，具有良好的计算效率。此外，现有方法在求解自应力模态数较高、单元类型数较多的预应力索杆结构时，由于相关矩阵的规模显著增大，计算复杂性剧增，相反，对于对称阶次较高，或自应力模态数较大、单元类型数较多的预应力索杆结构，本发明的计算效率提高显著。

本发明提出的对称找力方法限制条件少，适用于各种预应力索杆结构的初始预应力分布方案的确定。本发明所确定的全对称预应力分布方案，不但使得同类杆件单元具有相同截面和安全储备，而且考虑结构性能，节省原材料和施工成本。

附图说明

图1为本发明中预应力索杆结构的对称找力方法技术流程图。

图2为二维C_2v对称预应力索杆结构的初始几何构形。

具体实施方式

下面结合实施例和说明书附图对本发明作进一步的说明。

图1为本发明中预应力索杆结构的对称找力方法技术流程图，主要包括以下步骤：

(1)根据已给定的预应力索杆结构的初始几何构形，组建整体结构的力平衡矩阵H；根据该索杆结构拥有的独立对称操作明确结构的整体对称性和所属的对称群，所述的对称操作包括恒等变换、旋转、镜像、逆操作，在这些对称操作下结构的几何构形保持不变化。利用群论方法建立与外荷载向量P对应的对称子空间所述的对称子空间即为外荷载向量置换矩阵R_P的正交基向量，其中

$R_P=\underset{s=1}{\overset{\mathrm{\τ}}{\Σ}}{R}_{P,s}---\left(1\right)$

式中τ为结构所属对称群具有的独立对称操作个数，R_P,s为对称操作s下外荷载向量P的转换矩阵。类似地，利用群论方法建立与内力向量t对应的对称子空间所述的对称子空间即为内力向量置换矩阵R_t的正交基向量，其中

$R_t=\underset{s=1}{\overset{\mathrm{\τ}}{\Σ}}{R}_{t,s}---\left(2\right)$

式中矩阵R_t,s为对称操作s下内力向量t的转换矩阵。

(2)利用整体结构的力平衡矩阵H及上一步所建立的计算对称型平衡矩阵第一分块子矩阵

基于群论方法，可将整体结构的力平衡矩阵H分块对角化，不仅能收获较为显著的计算效率，而且各分块子矩阵具有明确的物理意义，所关联的对称性不同，分别对应着不同的对称子空间。在对称坐标系下，对称型平衡矩阵可分解为：

式中μ为对称群具有的不可约表示种类数，正整数i∈[1,μ]，h∈[1,l_i]，l_i和l_μ分别为不可约表示Γ⁽ⁱ⁾和Γ^(μ)的维数。式(3)中，对称型平衡矩阵由多个沿对角分布的低维子矩阵构成，各分块子矩阵对应着不可约表示Γ⁽ⁱ⁾关联的对称子空间，且沿主对角线从上到下依次对应着由高阶至低阶的对称属性。因此，全对称自应力模态自然来自于对称型平衡矩阵的第一分块子矩阵考虑到各分块矩阵线性独立，可由下式独立求解：

${\stackrel{\‾}{H}}^{(1-1)}={\left(V_P^{(1-1)}\right)}^T{\mathrm{HV}}_t^{(1-1)}---\left(4\right)$

零空间的确定

(3)基于奇异值分解法，求解所述对称型平衡矩阵第一分块矩阵的零空间使二者满足：

${\stackrel{\‾}{H}}^{(1-1)}{\stackrel{\‾}{S}}^{(1-1)}=0---\left(5\right)$

随后，根据群论方法，求得结构的全对称自应力模态S为：

$S=V_t^{(1-1)}{\stackrel{\‾}{S}}^{(1-1)}---\left(6\right)$

式中所得的全对称自应力模态考虑了结构的整体对称性，使得同类杆件具有相等的自应力，从而有效缩小了多自应力模态索杆结构找力分析的解空间。该方法无需预先人为对杆件分组，避免了常规找力方法的二次求解，计算过程简便易行，对于复杂几何构形或高对称性的索杆结构尤为适用。

(4)判断求解所得全对称自应力模态S是否为非平凡解：若S为非平凡解，即全对称自应力模态的二范数||S||₂＞0，则求解所得全对称自应力模态可行，继续进入下一步求解；否则，当S为空集或零解时，S为平凡解，即||S||₂＝0，那么找力结果并不可行，说明该结构在给定构形下不存在全对称自应力模态，无法满足结构的对称性和稳定性要求，因此需要重新设计结构的初始几何构形，并结束上述对称找力流程。

(5)确定预应力索杆结构的初始预应力组合系数α：当求解所得全对称自应力模态S为一维列向量时，根据杆件内的预应力水平直接确定初始预应力组合系数α，并进入下一步；当求解所得全对称自应力模态S为多维列向量时，需综合考虑拉压杆受力特性(指预应力索杆结构中拉索始终处于受拉状态、压杆始终处于受压状态)、初始预应力分布的均匀性和总体水平，利用优化方法寻求初始预应力组合系数α的最优解，其中目标函数为：

$min\left({\mathrm{\β}}_1\underset{i=1}{\overset{b}{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_i+{\mathrm{\β}}_2{\left(\right|\left|t\right|{|}_2-P)}^2+{\mathrm{\β}}_3\underset{i=1}{\overset{b}{\Σ}}{\left(\left|t_i\right|-\stackrel{\‾}{t}\right)}^2\right)---\left(7\right)$

其中，β₁拉压杆受力特性权重系数，0＜β₁≤1，β₂为初始预应力总体水平权重系数，0＜β₂≤1，β₃为初始预应力分布均匀性权重系数，0＜β₃≤1，b为预应力索杆结构具有的杆件总数；为预应力索杆结构考虑拉压杆受力特性的条件，其中参数ω_i表示杆件i的受力特性，1＜i≤b，当杆件i为压杆且杆件内力为非正值时，ω_i＝0，当杆件i为拉索且杆件内力为非负值时，ω_i＝0，其他情况下ω_i＝1；min(β₂(||t||₂-P)²)为预应力索杆结构考虑初始预应力总体水平的条件，结构的初始预应力向量t为全对称自应力模态S与组合系数α的乘积，即t＝Sα，||t||₂为t的二范数，P为给定的反映初始预应力总体水平的限值；为预应力索杆结构考虑初始预应力分布均匀性的条件，其中|t_i|为第i根杆件的内力t_i的绝对值，为所有b根杆件内力的绝对值的平均值，即

(6)判断结构在所建立的初始预应力作用下是否满足稳定性条件：如果结构维持稳定，即该结构的切线刚度矩阵为正定矩阵，则输出对称找力结果，过程结束；如果不满足稳定性条件，需返回上一步，并重新寻求索杆结构的初始预应力分布t。

下面结合具体的案例对本发明进行更为详细的描述：

图2所示的预应力索杆结构的几何构形较简单，由4个节点、2根斜向的压杆单元、4根拉索单元构成。竖向拉索具有单位长度，且水平拉索与竖向拉索的长度比值为2:1。结构具有τ＝4个独立的对称操作：恒等变换E、旋转对称C₂、沿X轴和Y轴的镜像对称操作σ_x和σ_y，因此该索杆结构属于C_2v对称群。

利用群论方法，求得与单元内力向量t、节点荷载向量P相对应的对称子空间分别为：

$V_t^{\left(1-1\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\×{\left[\begin{array}{cccccc}-1& 0& -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& -1& -1\end{array}\right]}^T---\left(8\right)$

$V_P^{(1-1)}={\left[\begin{array}{cccccccc}0& -0.5& 0& -0.5& 0& 0.5& 0& 0.5\\ -0.5& 0& 0.5& 0& 0.5& 0& -0.5& 0\end{array}\right]}^T---\left(9\right)$

并求得对称型平衡矩阵的第一分块子矩阵为：

${\stackrel{\‾}{H}}^{(1-1)}={\left(V_P^{(1-1)}\right)}^T{\mathrm{HV}}_t^{(1-1)}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1.414& -0.632\\ -1.414& 0& -1.265\end{array}\right]---\left(10\right)$

式(10)中2×3阶矩阵为行满秩矩阵，其零空间为：

${\stackrel{\‾}{S}}^{(1-1)}={\left[\begin{array}{ccc}-0.632& 0.316& 0.707\end{array}\right]}^T---\left(11\right)$

根据式(6)中求得该索杆结构的全对称自应力模态为：

$S=\frac{1}{2\sqrt{5}}{\left[\begin{array}{cccccc}2& 1& 2& 1& -\sqrt{5}& -\sqrt{5}\end{array}\right]}^T---\left(12\right)$

取初始预应力的组合系数为能满足结构的拉压杆受力特点、预应力分布均匀性和合理性、结构稳定性(切线刚度矩阵的最小特征值为正值，切线刚度矩阵为正定矩阵)等要求。因此，最终确定出该预应力索杆结构的初始预应力分布，其中水平拉索1、3的初始预应力为200N，竖向拉索2、4的初始预应力为100N，而斜向压杆单元5、6的初始预应力为

上述实施例仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和等同替换，这些对本发明权利要求进行改进和等同替换后的技术方案，均落入本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种预应力索杆结构的对称找力方法，其特征在于，该方法

步骤1根据已给定的预应力索杆结构的初始几何构形，组建整体结构的力平衡矩阵H，明确结构的整体对称性和所属对称群，利用群论方法建立与外荷载向量对应的对称子空间并利用群论方法建立与内力向量对应的对称子空间

步骤2利用步骤1建立的整体结构的力平衡矩阵H及与外荷载向量对应的对称子空间与内力向量对应的对称子空间根据下式计算对称型平衡矩阵第一分块子矩阵

${\stackrel{\‾}{H}}^{(1-1)}={\left(V_P^{(1-1)}\right)}^T{\mathrm{HV}}_t^{(1-1)}$

式中为的转置，

步骤3基于奇异值分解法求解所述对称型平衡矩阵第一分块矩阵的零空间和满足正交性质：

${\stackrel{\‾}{H}}^{(1-1)}{\stackrel{\‾}{S}}^{(1-1)}=0$

然后根据下式求解预应力索杆结构的全对称自应力模态S：

$S=V_t^{(1-1)}{\stackrel{\‾}{S}}^{(1-1)}$

步骤4判断所述全对称自应力模态S是否为非平凡解：若S为非平凡解，即全对称自应力模态的二范数||S||₂＞0，则全对称自应力模态S可行，进入步骤5，否则，结束对称找力流程；

步骤5确定预应力索杆结构的初始预应力组合系数α：当所述全对称自应力模态S为一维列向量时，根据杆件内的预应力水平确定初始预应力组合系数α；当全对称自应力模态S为多维列向量时，综合考虑拉压杆受力特性、初始预应力分布的均匀性和总体水平，利用优化方法寻求初始预应力组合系数的最优解；

步骤6判断结构在所建立的初始预应力t作用下是否满足稳定性条件，如果结构维持稳定，即结构的切线刚度矩阵为正定矩阵，则输出对称找力结果；如果不满足稳定性条件，则返回步骤5。

2.根据权利要求1所述的预应力索杆结构的对称找力方法，其特征在于，所述的步骤1中，整体对称性和所属对称群是根据已给定的预应力索杆结构拥有的独立对称操作确定的，所述的对称操作包括恒等变换、旋转、镜像、逆操作，在这些对称操作下结构的构形保持不变化。

3.根据权利要求1所述的预应力索杆结构的对称找力方法，其特征在于，所述的步骤4中，如果全对称自应力模态S为空集或零解，则S应视为平凡解，即||S||₂＝0。

4.根据权利要求1、2或3所述的预应力索杆结构的对称找力方法，其特征在于，所述的步骤5中，拉压杆受力特性是指预应力索杆结构中，拉索需始终承受拉力，即内力为正值，压杆需始终承受压力，即内力为负值。

5.根据权利要求1、2或3所述的预应力索杆结构的对称找力方法，其特征在于，所述的步骤5中，初始预应力组合系数的最优解是根据目标函数、预应力索杆结构考虑拉压杆受力特性的条件、预应力索杆结构考虑初始预应力总体水平的条件和预应力索杆结构考虑初始预应力分布均匀性的条件，利用优化方法寻求得到的；所述目标函数为：

$\min ({\mathrm{\β}}_1\underset{i=1}{\overset{b}{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_i+{\mathrm{\β}}_2{\left(\left|\right|t|{|}_2-P\right)}^2+{\mathrm{\β}}_3\underset{i=1}{\overset{b}{\Σ}}{\left(\left|t_i\right|-\stackrel{\‾}{t}\right)}^2)$

其中，β₁拉压杆受力特性权重系数，0＜β₁≤1，β₂为初始预应力总体水平权重系数，0＜β₂≤1，β₃为初始预应力分布均匀性权重系数，0＜β₃≤1，b为预应力索杆结构具有的杆件总数；

所述预应力索杆结构考虑拉压杆受力特性的条件为其中参数ω_i表示杆件i的受力特性，1＜i≤b，当杆件i为压杆且杆件内力为非正值时，ω_i＝0，当杆件i为拉索且杆件内力为非负值时，ω_i＝0，其他情况下ω_i＝1；

所述预应力索杆结构考虑初始预应力总体水平的条件为min(β₂(||t||₂-P)²)，结构的初始预应力向量t为全对称自应力模态S与组合系数α的乘积，即t＝Sα，||t||₂为t的二范数，P为给定的反映初始预应力总体水平的限值；

所述预应力索杆结构考虑初始预应力分布均匀性的条件为其中|t_i|为第i根杆件的内力t_i的绝对值，为所有b根杆件内力的绝对值的平均值，即 $\stackrel{\‾}{t}=\frac{1}{b}\underset{i=1}{\overset{b}{\Σ}}\left|t_i\right|.$