CN116047753B - 光学系统正交优化模型的构建及优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供一种光学系统正交优化模型的构建及优化方法，其中的构建方法包括以下步骤：S1、建立光学系统的初始评价函数；S2、当光学系统中的变量产生的变化步长为△x时，则初始评价函数的项即像差是自变量的线性函数，得到优化近似模型；S3、通过QR分解法对Jacobian矩阵A进行正交分解，对优化近似模型进行进一步优化；S4、通过正交变换和等价变换，得到最终评价函数同时，本发明还提供了一种基于该正交优化模型的优化方法，该算法通过将像差和变量的线性近似模型进行正交分解，构造出正交变量和正交像差系数，减小表现为线性的像差，并使用更精细的措施来减小非线性像差，进而提升优化的收敛精度和收敛速度。
Description
技术领域
本发明涉及光学系统优化技术领域，特别涉及一种光学系统正交优化模型的构建及优化方法。
背景技术
成像光学设计优化是指将评价函数最小化的过程，成像光学系统的评价函数通常等于像差加权后的平方和，将评价函数降到最低即将成像光学系统的各类像差降到最低。
阻尼最小二乘法是成像光学设计优化的主要算法，通常该算法会缓慢收敛到最终解，原因在于阻尼最小二乘法采用一阶矩阵信息结合阻尼因子项进行Hessian矩阵近似，但是采用该种处理方法不能将评价函数中的像差子集同时减少到零，且在大残差问题时会导致收敛精度低，收敛速度慢。
发明内容
鉴于上述问题，本发明的目的是提出一种光学系统正交优化模型的构建及优化方法。通过将像差和变量的线性近似模型进行正交分解，构造出正交变量和正交像差系数，将原始无约束优化模型中致力于梯度为零的位置求解转换成正交优化模型中致力于将正交像差系数降至零的求解。构造出正交变量后，根据其在预测评价函数减少方面的成功程度进行分级，快速减少表现为线性的像差，同时能够使用更精细的措施来减少非线性像差，进而提升优化的收敛精度和收敛速度。
为实现上述目的，本发明采用以下具体技术方案：
本发明提供一种光学系统正交优化模型的构建方法，包括以下步骤：
S1、建立光学系统的评价函数：
（1）
其中，为评价函数，f为像差向量，f的向量大小为m×1；
S2、当光学系统中的变量产生的变化步长为时，则评价函数的项即像差是自变量的线性函数，得到优化近似模型为：
（2）
其中，为变量的变化步长，/>的向量大小为n×1；A为像差向量f对结构参量x的一阶差商矩阵，即Jacobian矩阵，Jacobian矩阵A的大小为m×n；
S3、将像差对变量的Jacobian矩阵进行正交分解，优选QR分解法，对优化近似模型进行进一步优化：
（3）
其中，Q为Jacobian矩阵A进行QR分解后得到的标准正交矩阵；R为QR分解得到的上三角系数矩阵；
此时，将公式（3）进行等价变换为：
（4）
设 y=R/> x，/>，/> y为正交变量，g为正交变量/>y空间中评价函数的梯度，即正交像差系数，则优化近似模型为：
（5）
S4、根据正交变换的数学性质可知，则评价函数/>为：
（6）
评价函数的一阶梯度为：
（7）
优选地，为避免Jacobian矩阵A在正交分解后出现奇异矩阵，令变量数n>像差数m。
本发明还提供一种基于光学系统正交优化模型的优化方法，包括以下步骤：
S11、计算正交变量 y i，并根据正交变量/> y i计算对应的常规变量步长/> x i；
根据输入的像差向量f和标准正交矩阵Q，逐列计算正交变量 y i，进而计算得到与第i个正交变量/> y i对应的常规变量步长/> x i；
S22、对正交变量 y i进行线性和非线性分类；
根据常规变量步长 x i计算得到评价函数/>对正交变量/> y i的梯度，根据该梯度值的大小进行线性和非线性分类；
设置梯度阈值p，并根据梯度阈值p对正交变量 y i进行线性和非线性分类；
S33、根据正交变量y的变量特征进行分类迭代处理；
具体过程包括：
对于线性正交变量yi，通过求解线性正交变量/>yi对应的原始变量组x k，进而得到：
（10）
其中，x k为第k步的原始变量组；x k+1为第k+1步的变量组；
对于非线性正交变量yi，通过求解非线性正交变量/>yi对应的原始变量组x k，则需要对常规变量步长/> x i添加阻尼因子，进而得到：
（11）
其中，为阻尼因子。
优选地，阻尼因子的取值范围为0~1。
优选地，步骤S11包括：
首先计算第i个正交变量 y i：
（8）
其中， y i为第i个正交变量；
q i为标准正交矩阵Q的第1~i列，i=1,2,3…n；
y 1,/>y2,/>y3…/>yn是互相正交的变量，评价函数/>是正交变量/>y的函数，需将评价函数/>分别在n个正交方向上降至最低；
而后，根据第i个正交变量 y i求出一组对应的常规变量步长/> x i：
（9）。
优选地，步骤S22包括：
根据常规变量步长 x i，计算得到/>；
进而计算Jacobian矩阵A和对应的正交像差系数 ，即评价函数对正交变量/>y的梯度；/>为系统参数/>对应的标准正交矩阵的第1~i列，i=1,2,3…n；/>为系统参数/>对应的像差向量。
优选地，还可以通过设置梯度阈值p对正交变量y进行非线性分类：
即当||≤p时，则正交变量/>yi为线性变量，当|/>|>p时，则正交变量yi为非线性变量。
与现有的技术相比，本发明通过建立一组正交变量，并根据其在预测评价函数减少方面的成功程度进行分级，快速减少表现为线性的评价函数像差，同时能够使用更精细的措施来减少非线性像差，以解决光学优化收敛精度低和收敛速度慢的问题。
附图说明
图1是根据本发明实施例提供的光学系统正交优化模型的构建方法的流程示意图。
图2是根据本发明实施例提供的Cooke式光学系统的结构示意图。
图3是根据本发明实施例提供的光学系统正交优化模型的优化方法的流程示意图。
图4是根据本发明实施例提供的光学系统正交优化模型的优化方法与经典阻尼最小二乘法的优化效果对比图。
具体实施方式
在下文中，将参考附图描述本发明的实施例。在下面的描述中，相同的模块使用相同的附图标记表示。在相同的附图标记的情况下，它们的名称和功能也相同。因此，将不重复其详细描述。
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及具体实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，而不构成对本发明的限制。
图1示出了根据本发明实施例提供的光学系统正交优化模型的构建方法的流程示意图。
如图1所示，本发明实施例提供的光学系统正交优化模型的构建方法包括以下步骤：
S1、建立光学系统的评价函数：
（1）
其中，为评价函数，f为包含权重的广义的像差向量，像差的个数为m，即f的向量大小为m×1。
在本发明提供的一个实施例中：像差个数m设置为10。
S2、当光学系统中的变量产生的变化步长为时，则评价函数的项即像差是自变量的线性函数，得到优化近似模型为：
（2）
其中，为变量的变化步长，变量的个数为n个，即/>的向量大小为n×1，A为像差f对结构参量x的一阶差商矩阵，即Jacobian矩阵，Jacobian矩阵A的大小为m×n。
进一步地，为了避免Jacobian矩阵A在正交分解后出现奇异矩阵，优选n>m，即像差数必须小于变量数。
在本发明提供的一个实施例中：变量的个数n为8。
图2示出了根据本发明实施例提供的Cooke式光学系统的结构示意图。
如附图2中所示，变量包含6个曲率变量（x1，x2，x3，x4，x5，x6）和2个空气间隔变量（x7，x8），即Jacobian矩阵A的大小为10×8。
S3、通过QR分解法对Jacobian矩阵A进行正交分解，对优化近似模型进行进一步优化：
（3）
其中，Q为Jacobian矩阵A进行QR分解后得到的标准正交矩阵(QTQ = I)；R为QR分解得到的上三角系数矩阵。可理解为QT是A的正交基，R相当于是正交基的系数，QTf 是指像差f在正交基QT上的映射。
此时，将上式进行等价变换为：
（4）
设 y=R/> x，/>，那么/> y为正交变量，g为正交变量/>y空间中评价函数的梯度，即正交像差系数，则优化近似模型可表示为如下的正交化模型形式：
（5）
S4、根据正交变换的数学性质可知，则评价函数/>为：
（6）
因此，在求解过程中，评价函数的一阶梯度可直接表示为：
（7）
基于上述的光学系统正交优化模型构建方法，本发明还提出了一种基于该正交模型的优化方法，该算法通过逐列计算正交变量，从而构造出多个正交方向作为正交基，优化算法每一个正交方向所对应的变量组上进行寻优，即沿每个正交方向依次最小化评价函数。
图3示出了根据本发明实施例提供的光学系统正交优化模型的优化方法的流程示意图。
如图3所示，本发明实施例提供的光学系统正交优化模型的优化方法包括以下步骤：
S11、计算正交变量 y i，并根据正交变量/> y i计算对应的常规变量步长/> x i；
根据输入的像差向量f和标准正交矩阵Q，逐列计算正交变量 y i，进而计算得到与第i个正交变量/> y i对应的常规变量步长/> x i。
首先计算第i个正交变量 y i：
（8）
其中， y i为第i个正交变量，q i为标准正交矩阵Q的第1~i列，i=1,2,3…n，f是像差向量。
进一步地， y 1,/>y2,/>y3…/>yn是互相正交的变量，将评价函数/>看成是正交变量/>y的函数，那么对应到n个正交方向上，要求评价函数/>分别在每个方向降至最低。
而后，根据第i个正交变量 y i求出一组对应的常规变量步长/> x i：
（9）
S22、对正交变量 y i进行线性和非线性分类；
根据常规变量步长 x i计算得到评价函数/>对正交变量/>y的梯度阈值p，并根据梯度阈值p对正交变量/> y进行线性和非线性分类。
具体过程包括：
根据步骤S11计算出的常规变量步长 x i，计算出/>，而后计算出Jacobian矩阵A’和对应的正交像差系数/> ，即评价函数对正交变量/>y的梯度；/>为系统参数/>对应的标准正交矩阵的第1~i列，i=1,2,3…n；/>为系统参数/>对应的像差向量。
优选地，可设置梯度阈值p对正交变量y进行非线性分类，即当|/>|≤p时，则认为/>yi为线性变量，若|/>|>p时，则认为/>yi为非线性变量。
在本发明提供的一个实施例中：可设置梯度阈值p=0.2对正交变量y进行非线性分类：
即当||≤0.2时，则认为/>yi为线性变量；
当||>0.2时，则认为/>yi为非线性变量。
S33、根据正交变量y的变量特征进行分类迭代处理。
具体过程包括：
对于线性正交变量yi，通过求解该正交变量/>yi对应的原始变量组后，直接步骤S11计算好的步长相加即可求得新的变量，如下所示：
（10）
式中，x k为第k步的原始变量组，x k+1为第k+1步的变量组， x i为第i个正交变量对应的常规变量步长。
对于非线性正交变量对应的原始变量组，则需要对该步长进行阻尼，求出该方向上的最小评价函数
（11）
式中，为阻尼因子，可用来精细减少非线性像差。
进一步地，阻尼因子的选择方式可直接选为0~1之间的定值，若需要对评价函数进行更精细的调控，可将阻尼因子根据变量的非线性度进行设定，或通过其他阻尼因子优选的方式进行设定。
在本发明提供的一个实施例中：将取为定值0.1。
表1
表1为本发明的正交优化模型和原始优化模型参数对比表，本发明在Inter(R)CPU 2.7GHz，4.00G的PC机上，使用MATLAB 2017a平台，对图2所示的Cooke式光学系统完成优化仿真。表2为实施例中采用本发明方法和经典阻尼最小二乘方法的评价函数随迭代次数的变化情况表。
表2
| 优化迭代次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 20 |
| 经典阻尼最小二乘法 | 759.4786 | 59.8027 | 55.3145 | 37.6443 | 35.601 | 20.659 |
| 本发明提出的正交优化方法 | 759.4786 | 56.4781 | 47.2216 | 43.0462 | 27.4257 | 15.5825 |
图4示出了根据本发明实施例提供的光学系统正交优化模型的优化方法与经典阻尼最小二乘法的优化效果对比图。
如图4所示，为采用本发明方法和经典阻尼最小二乘法对图2所示的Cooke式光学系统进行优化的效果图。表2本发明方法和经典阻尼最小二乘方法的评价函数随迭代次数的变化情况，其中，阻尼最小二乘法的优化公式为：（其中A为像差f对结构参量x的Jacobian矩阵，f为像差，D为阻尼因子，I为单位矩阵）。从图2可以看出，采用本发明方法可获得更高的收敛速度和收敛精度。
本发明提供的方法通过将像差和变量的线性近似模型进行正交分解，构造出正交变量和正交像差系数，并根据正交变量在预测评价函数减少方面的成功程度进行分级，快速减少表现为线性的像差，同时能够使用更精细的措施来减少非线性像差，进而提升了优化的收敛精度和收敛速度。
尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。
以上本发明的具体实施方式，并不构成对本发明保护范围的限定。任何根据本发明的技术构思所作出的各种其他相应的改变与变形，均应包含在本发明权利要求的保护范围内。
Claims (7)
1.一种光学系统正交优化模型的构建方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、建立光学系统的评价函数：
（1）
其中，为评价函数，f为像差向量，f的向量大小为m×1；
S2、当所述光学系统中的变量产生的变化步长为时，则所述评价函数/>的项即像差是自变量的线性函数，得到优化近似模型为：
（2）
其中，为变量的变化步长，/>的向量大小为n×1，A为像差向量f对结构参量x的一阶差商矩阵，即Jacobian矩阵，Jacobian矩阵A的大小为m×n；
S3、通过QR分解法对所述Jacobian矩阵A进行正交分解，对所述优化近似模型进行进一步优化：
（3）
其中，Q为所述Jacobian矩阵A进行QR分解后得到的标准正交矩阵；R为QR分解得到的上三角系数矩阵；
此时，将所述公式（3）进行等价变换为：
（4）
设 y=R/> x，/>，/> y为正交变量，g为正交变量/>y空间中评价函数/>的梯度，即正交像差系数，则所述优化近似模型为：
（5）
S4、根据正交变换的数学性质可知，则评价函数/>为：
（6）；
为避免所述Jacobian矩阵A在正交分解后出现奇异矩阵，令变量数n>像差数m。
2.根据权利要求1所述的光学系统正交优化模型的构建方法，其特征在于，所述评价函数的一阶梯度为：
（7）。
3.一种对权利要求1-2所述任一项的光学系统正交优化模型构建方法得到的光学系统正交优化模型进行优化的优化方法，其特征在于，包括以下步骤：
S11、计算正交变量 y i，并根据所述正交变量/> y i计算对应的常规变量步长/> x i；
根据输入的像差向量f和所述标准正交矩阵Q，逐列计算正交变量 y i，进而计算得到与第i个正交变量/> y i对应的常规变量步长/> x i；
S22、对正交变量 y i进行线性和非线性分类；
根据所述常规变量步长 x i计算得到所述评价函数/>对所述正交变量 /> y i的梯度，根据该梯度值的大小进行线性和非线性分类；
设置梯度阈值p，并根据所述梯度阈值p对所述正交变量 y i进行线性和非线性分类；
S33、根据所述正交变量y的变量特征进行分类迭代处理；
具体过程包括：
对于线性正交变量yi，通过求解所述线性正交变量/>yi对应的原始变量组x k，进而得到：
（10）
其中，x k为第k步的原始变量组，x k+1为第k+1步的变量组；
对于非线性正交变量yi，通过求解所述非线性正交变量/>yi对应的原始变量组x k，则需要对所述常规变量步长/> x i添加阻尼因子，进而得到：
（11）
其中，为阻尼因子。
4.根据权利要求3所述的光学系统正交优化模型的优化方法，其特征在于，所述阻尼因子的取值范围为0~1。
5.根据权利要求4所述的光学系统正交优化模型的优化方法，其特征在于，所述步骤S11包括：
首先计算第i个正交变量 y i：
（8）
其中， y i为第i个正交变量；
q i为所述标准正交矩阵Q的第1~i列，i=1,2,3…n；
y 1, />y2, />y3…/>yn是互相正交的变量，所述评价函数/>是正交变量/>y的函数，需将评价函数/>分别在n个正交方向上降至最低；
而后，根据所述第i个正交变量 y i求出一组对应的常规变量步长/> x i：
（9）。
6.根据权利要求5所述的光学系统正交优化模型的优化方法，其特征在于，所述步骤S22包括：
根据所述常规变量步长 x i，计算得到/>；
进而计算所述Jacobian矩阵A和对应的正交像差系数=/>，即所述评价函数对所述正交变量/>y的梯度；
为系统参数/>对应的标准正交矩阵的第1~i列，i=1,2,3…n；/>为系统参数/>对应的像差向量；
通过设置梯度阈值p对所述正交变量y进行非线性分类：
即当||≤p时，则所述正交变量/>yi为线性变量，当|/>|>p时，则所述正交变量/>yi为非线性变量。
7.根据权利要求6所述的光学系统正交优化模型的优化方法，其特征在于，
当||≤0.2时，即可判断出所述评价函数在所述正交变量/>yi对应的方向上是线性变化的，则所述正交变量/>yi为线性变量；
当||>0.2时，则所述正交变量/>yi为非线性变量。
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Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| CN116047753A (zh) | 2023-05-02 |
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