CN113378326B - 一种考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种考虑随机‑区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法。首先，基于结构柔顺度的均值和方差区间定义了最坏情况下的稳健性目标函数并构建了稳健性热力耦合拓扑优化模型；然后，结合单变量降维方法和混沌‑切比雪夫多项式展开方法，发展了一种高效的混合不确定性分析方法，用以计算热力耦合结构不确定性能响应；最后，基于所提出的混合不确定性分析方法推导结构拓扑设计变量的灵敏度，并采用基于梯度的优化算法求解，最终获取热力耦合结构的稳健性拓扑构型。本发明通过构造基于降维积分策略的多项式展开模型有效提升了热力耦合结构的不确定性能响应求解效率，实现了热力耦合工况下结构的高效稳健性拓扑优化设计。

Description

一种考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及稳健性拓扑优化方法领域，尤其涉及一种考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法。

背景技术

拓扑优化是一种在给定的约束条件下，在给定的设计域内寻找材料的最佳分布，从而使结构的性能达到最优的结构优化方法。拓扑优化方法通常是以结构材料的有无(连续体拓扑优化)或者杆系结构的节点布局(离散体拓扑优化)为优化对象，一般应用于结构的概念设计阶段。因此，拓扑优化方法相比于传统的尺寸优化和形状优化等结构优化方法具有更多的设计自由度和更大的设计空间，能够有效地缩短结构的设计周期、提高材料的使用效率、降低结构的开发成本以及有效提高结构的性能，是一个具有生命力和挑战性的研究方向。

在最近几十年，现代加工方法与技术的发展为复杂结构的加工制造提供了可能，与此同时，拓扑优化理论及方法也得到了不断的完善与发展。因此，拓扑优化方法已经逐渐成为当前产品设计和开发的重要工具，并已经被广泛应用于车辆、船舶、桥梁以及航空航天等领域。较早的拓扑优化通常仅考虑结构的传热性能或机械性能，然而在现代高端装备的设计中，结构通常会同时承受机械载荷和温度载荷的作用。热力场耦合作用将对结构性能产生重要影响，仅考虑单物理场的设计可能导致结构失效，进而损害装备结构的性能。因此，考虑热力场耦合作用下的结构拓扑优化设计具有重要意义。

在实际的工程问题当中，由于各种主观和客观因素的限制，材料属性、尺寸大小、环境温度及外部载荷等参数往往具有不同程度的不确定性。在热力场耦合问题当中，可能涉及的不确定性参数相对较多，在这些不确定性参数当中，有些参数有足够的实验数据，可以精确描述其概率分布，而有些参数由于测量困难或者成本限制，没有足够的实验数据，仅知道其大概的分布区间，这就是在工程实践当中比较常见且复杂的随机-区间混合不确定性问题。然而，当前热力耦合拓扑优化问题中并没有考虑这些不确定性影响，有可能导致设计出的结构不能满足现代装备的服役可靠性要求。因此，在结构热力耦合拓扑优化设计中，充分考虑参数的不确定性的影响，以获得科学合理的结构构型对提升装备的安全性与可靠性具有十分重要的意义。

混沌-切比雪夫多项式展开(PCCI)方法是一种比较常见且有效的混合不确定性分析方法，然而，在热力场耦合这种多场耦合问题当中，相较于单一场问题，变量的个数将大大增加，使得PCCI方法在处理这一类问题时将面临计算量随变量个数增加而急剧增加的问题。此外，拓扑优化方法需要进行反复的迭代运算，每一步都需要进行混合不确定性分析，这使得计算量增加的问题将会被进一步放大。使用PCCI方法进行混合不确定性分析时，其核心的问题就是求解正交多项式的展开系数，而求解正交多项式的展开系数目前比较常见的有两种方法，一种是最小二乘法，另外一种是积分法。最小二乘法的计算量可以根据所需的精度进行调整，但是，样本点太少时，最小二乘法的精度也会较差，而使用积分法时，则需要求解两个高维积分，计算量将随变量个数增加而急剧增加。

发明内容

本发明的目的是提供一种考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法，能够解决结构混合不确定性热力耦合拓扑优化问题。针对传统方法解决热力耦合拓扑优化当中混合不确定性问题的局限性，本发明提出了一种高效的稳健性拓扑优化设计方法。首先，基于结构柔顺度的均值和方差区间定义了最坏情况下的稳健性目标函数并构建了稳健性热力耦合拓扑优化模型；然后，通过结合单变量降维方法(UDR)和PCCI方法，发展了一种高效的混合不确定性分析方法，用以计算热力耦合结构不确定性能响应；最后，基于所提出混合不确定性分析方法推导结构拓扑设计变量的灵敏度，并采用基于梯度的优化算法求解，最终获取热力耦合结构的稳健性拓扑构型。本发明能够处理考虑混合不确定性的热力耦合拓扑优化问题，其中通过构造基于降维积分策略的多项式展开模型有效提升了热力耦合结构的不确定性能响应求解效率。本发明对于考虑混合不确定性的热力耦合拓扑优化问题，在保证较高计算精度的同时，极大地提高了计算效率，在优化迭代计算过程当中具有较好的稳定性与收敛性，所获得的结构构型在不确定条件下具有较好的稳健性。

为达到上述目的而采用了一种考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法，其包括如下步骤：

一种考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法，包括如下步骤：

S1：将随机-区间混合不确定变量进行标准化处理，将随机向量X＝[X₁,X₂,…,X_n]转化为标准正态向量ξ＝[ξ₁,ξ₂,…,ξ_n]，区间向量Y＝[Y₁,Y₂,…,Y_m]转化为标准区间向量η＝[η₁,η₂,…,η_m]。假设随机变量X_i,(i＝1,2,...,n)服从正态分布，则可以通过：

将其转化为标准正态变量ξ_i,(i＝1,2,...,n)，其中n表示随机变量的个数，μ_i和σ_i分别表示X_i的均值和方差。而对于区间变量Y_i＝[Y_i ^L,Y_i ^R],(i＝1,2,...,m)，可以通过：

将其转化为标准区间变量η_i＝[-1,1],(i＝1,2,...,m)，其中

表示区间中点，

表示区间半径，m为区间变量个数，Y_i ^L和Y_i ^R分别表示区间变量Y_i的上边界和下边界；

S2：考虑最坏情况，随机-区间不确定性拓扑优化的稳健性目标函数定义为：

其中，

和

分别表示均值的区间上界和标准差的区间上界，C表示结构的柔顺度，λ表示权重系数；

S3：构建考虑混合不确定性的稳健性热力耦合拓扑优化模型：

其中M为单元的总个数，ρ_i表示单元设计变量，ρ_min是防止矩阵奇异的单元设计变量极小值，F为结构机械载荷，F_ΔT表示结构热载荷，U是结构整体位移矩阵，K表示结构整体刚度矩阵，V_i是单元的体积，V₀为初始设计域体积，f是目标体积分数；

S4：固定区间变量的取值，基于埃尔米特多项式展开，可将功能函数C(ξ,η)表示为：

其中

表示埃尔米特多项式展开项，

表示埃尔米特多项式展开系数，χ₁表示展开项的索引指标集合，如下：

其中Nⁿ表示n维自然数空间，

表示第i个随机变量对应的指标数，p₁为展开阶次，由于展开系数

是一个仅与区间变量有关的函数，可以采用切比雪夫多项式展开表示为：

其中

表示切比雪夫多项式展开项，

表示切比雪夫多项式展开系数，χ₂表示展开项的索引指标集合，如下：

其中N^m表示m维自然数空间，

表示第j个区间变量对应的指标数，p₂为展开阶次，结合式(5)和(7)，功能函数C(ξ,η)可表示为：

S5：式(5)中的系数

可如下求解：

其中

为单变量埃尔米特多项式，权函数

e是自然常数。同理，

可表示为：

其中

为单变量切比雪夫多项式，权函数

S6：采用降维积分对式(10)和式(11)中的多项式展开系数进行求解计算；

S7：计算热力耦合结构柔顺度的均值和标准差，在得到多项式系数

后，利用多项式正交特性，可得：

S8：根据三角函数的有界特性可知

均值和标准差的上边界可近似为：

S9：将由式(14)和式(15)带入式(3)中，可求得稳健性目标函数：

S10：求解稳健性目标函数关于设计变量ρ_i(i＝1,2,…,M)的灵敏度信息；

S11：基于稳健性目标函数对设计变量的灵敏度信息，采用基于梯度的MMA优化算法对设计变量进行更新迭代；

S12：判断收敛性。若不收敛，则回到步骤S4，直至计算收敛后，得到热力耦合结构最优的稳健性拓扑构型。

作为本发明考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法进一步的改进，S4步骤的式(5)中埃尔米特多项式展开项

可以由单变量埃尔米特多项式

得到：

单变量埃尔米特多项式满足如下正交条件：

<H_j(ξ_i),H_k(ξ_i)>＝∫ω_H(ξ_i)H_j(ξ_i)H_k(ξ_i)dξ＝〈H_j(ξ_i),H_k(ξ_i)〉δ_jk (18)

其中δ_jk,(j,k＝0,1,···,p₁)表示克罗内克函数，因此，当j＝k时，〈H_j(ξ)²〉＝j！，

切比雪夫多项式展开项

可以由单变量切比雪夫多项式

求得：

的三角函数形式如下：

其中θ_i＝arccos(η_i)＝[0,π]，相应的，单变量切比雪夫多项式的内积为：

作为本发明考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法进一步的改进，S6中的正交多项式展开系数

的求解中，采用了降维积分策略对式(10)和式(11)中的高维积分进行求解，具体步骤包括：

S6.1：将式(11)中的

近似表示为如下形式：

其中：

表示区间变量η_j的中点。

S6.2：将按式(22)带入式(11)中，可得：

式中，

可由式(21)得到，与此同时，由于正交多项式的正交特性，当且仅当

时，对该式的后半部分有：

基于式(23)，对于式(24)的前半部分有：

可见，式(26)是由m个积分累加得到的，取其中一项将其展开：

由于多项式的正交特性，当且仅当

时，式(27)前半部分的高维积分：

而后半部分的一维积分

可用高斯-埃尔米特插值积分进行求解；

由此，可以整理得到当

时：

当

但

时：

当

即除

外，

中有任意一个数不为零时：

S6.3：而在求解

时，需要求解式(10)的高维积分

类似于公式(22)和(23),C(ξ,η)可近似表示为：

其中：

表示随机变量ξ_j的均值；

S6.4：于是，式(10)可表示为：

同理可得，当

时：

当

但

时：

当

时，即除

外，

中有任意一个数不为零时：

作为本发明考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法进一步的改进，

S10中求解稳健性目标函数关于设计变量的灵敏度信息，具体步骤包括：

S10.1：对目标函数求导得：

式中：

利用符号函数将式(38)改写为：

由于符号函数在x＝0处不可导，这里使用双曲正切函数tanh对其进行拟合：

sign(x)＝tanh(lx) (41)

当系数l足够大时，双曲正切函数tanh将无限逼近于符号函数sign，这里取l＝100，于是，式(40)可进一步表示为：

S10.2：要求解式(43)中的灵敏度，就需要求解

在确定性条件下，结构柔顺度关于每个设计变量的灵敏度

是一个确定值，考虑随机-区间混合不确定性，对其可同理采用式(9)进行展开：

其中

表示展开系数，同时，直接通过式(9)对设计变量求导可得：

对比式(43)与式(44)可知：

将式(45)带入式(42)求得稳健性热力耦合拓扑优化目标函数关于设计变量的灵敏度：

其中l表示拟合系数。

本发明的有益效果是：

1、本发明能够实现考虑随机-区间混合不确定性的结构热力耦合拓扑优化设计。

2、本发明结合单变量降维方法和混沌-切比雪夫多项式展开，提出了一种新的混合不确定性分析方法，相较于传统的混合不确定性分析方法，该方法避免了混合不确定性分析过程当中变量个数增加时，计算量急剧增加的问题，极大地降低了计算量，能高效分析混合不确定性问题。

3、本发明针对考虑混合不确定性的热力耦合拓扑优化问题，能够获得更稳健的结构拓扑构型，保障结构在热力耦合工况下的性能稳定性。相较于传统的基于确定性假设的拓扑优化方法，使用本方法获得的结构构型在热力场耦合作用下具有更好的稳健性。

附图说明

图1为本发明的流程框图。

图2为结构设计域及边界条件示意图。

图3为确定性及稳健性拓扑优化结果示意图。

图4为确定性及稳健性拓扑优化迭代曲线示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明通过结合UDR和PCCI方法，发展了一种高效的混合不确定性分析方法，并将其用于考虑不确定性的热力耦合拓扑优化问题中，得到了一种高效的稳健性热力耦合拓扑优化方法。为方便介绍，下文中将本发明所提出混合不确定性分析方法记为UDR_PCCI。下面结合附图及具体实例、采用与蒙特卡洛模拟(MCS)对比的方法对本发明作进一步详细说明：

本算例考虑如图2所示的悬臂梁，悬臂梁的长度为1m，宽度为0.45m，悬臂梁的左端完全固定，悬臂梁的右上角受到一个压力F₁，右下角受到一个拉力F₂，材料的热膨胀系数为α＝2.3×10^-5/℃，弹性模量E＝70GPa。整个结构划分成45×100个四边形单元，体积分数设置为0.5。

不确定变量的分布和参数如表1中所示，一共有五个不确定变量，其中包括三个随机变量以及两个区间变量。对于随机变量，参数1和参数2分别代表分布的均值和标准差；对于区间变量，参数1和参数2分别代表区间的下边界和上边界。悬臂梁右上角受到的压力F₁的大小和右下角受到的拉力F₂的大小，以及悬臂梁整体的温度上升大小ΔT为随机不确定变量，压力F₁与水平方向的夹角θ₁以及拉力F₂方向与垂直方向的夹角θ₂为区间不确定变量。当这些结构变量设置为随机变量的均值以及区间变量的中点值时，确定性拓扑优化的结果如图3中的(a)所示，考虑混合不确定性参数，采用本发明提出的稳健性拓扑优化的结果如图3中的(b)所示。采用本发明所得稳健性目标函数以及采用MCS方法的计算结果在表2中给出。

表1不确定变量的分布和参数表

变量	参数1	参数2	分布类型
				F<sub>1</sub>(kN)	700	70	正态
F<sub>2</sub>(kN)	700	70	正态
				ΔT(℃)	1	0.1	正态
θ<sub>1</sub>	-π/20	π/20	区间
				θ<sub>2</sub>	-π/20	π/20	区间

本发明方法具体的计算步骤详细说明如下：

(1)将随机-区间混合不确定变量进行标准化处理。将随机-区间混合不确定变量进行标准化处理，将随机向量X＝[F₁,F₂,ΔT]转化为标准正态向量ξ＝[ξ₁,ξ₂,ξ₃]，区间向量Y＝[θ₁,θ₂]转化为标准区间向量η＝[η₁,η₂]。

(2)考虑最坏情况，取权重系数为1，随机-区间不确定性拓扑优化的稳健性目标函数可表示为：

(3)构建考虑混合不确定性的稳健性热力耦合拓扑优化模型：

K(ξ,η)U(ξ,η)＝F(ξ,η)+F_ΔT(ξ,η)

0＜ρ_min≤ρ_i≤1,i＝1,2,…,M

其中M为单元的总个数，ρ_i表示单元设计变量。ρ_min是防止矩阵奇异的单元设计变量极小值。F为结构机械载荷，F_ΔT表示结构热载荷，U是结构整体位移矩阵，K表示结构整体刚度矩阵。V_i是单元的体积，V₀为初始设计域体积，f是目标体积分数；

(4)固定区间变量的取值，基于埃尔米特多项式展开，可将功能函数C(ξ,η)表示为：

其中

表示埃尔米特多项式展开项，

表示埃尔米特多项式展开系数。根据埃尔米特正交多项式展开阶次p₁＝2以及随机不确定变量的个数n＝3，按照

确定索引指标集合χ₁：

同时，可以得到索引指标集合中元素的个数

由于展开的多项式部分仅与随机变量有关，因此，展开系数

是一个与区间变量有关的函数，同样可以将其近似展开为p₂＝2阶的切比雪夫多项式：

其中

表示切比雪夫多项式展开项，

表示切比雪夫多项式展开系数。根据切比雪夫正交多项式展开阶次p₂＝2以及区间不确定变量个数m＝2，按照

确定索引指标集合χ₂：

同时可以得到索引指标集合中元素的个数

此时，功能函数C(ξ,η)展开可表示为：

(5)埃尔米特多项式展开系数

可如下求解：

其中

为单变量埃尔米特多项式，权函数

同理，

可表示为：

其中

为单变量切比雪夫多项式，权函数

(6)采用降维积分的方法对多项式展开系数

进行求解计算；

①将

和C(ξ,η)做如下形式的展开：

其中：

表示区间变量η_j的中点，

表示随机变量ξ_j的均值。

②采用降维积分的方法可以得到，当

时：

当

但

时：

当

即除

外，

中有任意一个数不为零时：

上述公式中，需要使用高斯-切比雪夫插值积分计算一维积分，此处针对每个变量取三个插值点，则降维积分求解过程当中所需的样本点为：

对应原区间变量的取值为：

上述公式中需要求解

同理，采用降维积分策略，当

时：

当

但

时：

当

时，即除

外，

中有任意一个数不为零时：

上述公式中，需要使用高斯-埃尔米特插值积分计算一维积分，此处针对每个变量取三个插值点，则降维积分求解过程当中所需的样本点为：

对应原随机变量的取值为：

(7)计算热力耦合结构柔顺度的均值和标准差。在得到多项式系数

后，利用正交多项式特性，可得：

(8)根据三角函数的有界特性可知

均值和标准差的上边界可近似为：

(9)获得稳健性目标函数：

(10)求解稳健性目标函数关于设计变量的灵敏度信息：

(11)基于目标函数对设计变量的灵敏度信息，采用基于梯度的MMA优化算法对设计变量进行更新迭代。

(12)判断收敛性。若不收敛，则回到步骤(4)。直至计算收敛后，得到热力耦合结构最优的稳健性拓扑构型。

图3中给出了图2所示悬臂梁的确定性拓扑优化设计结果与稳健性拓扑优化设计结果，其中图3中a是使用确定性拓扑优化设计方法得到的结构构型，b是使用考虑混合不确定性的稳健性拓扑优化设计方法得到的结构构型。显然，考虑不确定性的设计不同于确定性假设下的设计，例如，图3中的b从中心下边界到右上的局部拓扑比图3中的a的确定性结果更直。图4中的a和b分别是确定性拓扑优化和稳健性拓扑优化过程的迭代曲线。对于确定性情况，目标代表图4中a的结构柔顺度；对于不确定情况，目标表示稳健性目标函数值。从迭代历史可以看出，所提出的稳健性拓扑优化方法具有良好的稳定性和收敛性。

为了验证所提出方法的有效性，计算了确定性设计和稳健性设计结构在混合不确定性条件下的稳健性目标函数。从表1中可以看出，当结构的材料属性和载荷具有不确定性时，稳健性设计结果要明显好于确定性设计。稳健性设计结果的柔度为837.45，而确定性设计结果的柔度为904.38，也就是说，稳健性设计得到的结构的刚度要比确定性设计结果好7.4％。此外，为验证本方法的计算精度，表中还给出了调用功能函数10⁶次的MCS方法得到的稳健性目标函数值。针对稳健性设计结果，采用所提出UDR_PCCI方法得到的目标函数为841.11，而MCS方法为837.45，误差小于0.5％。与此同时，若采用传统插值积分的方法，需要调用功能函数243次，而本发明提出的UDR_PCCI方法仅需调用功能函数70次，在保证良好精度的同时也具有较高的计算效率。

表2拓扑优化结果的稳健性目标函数

本发明针对考虑随机-区间混合不确定性参数的热力耦合拓扑优化问题，提出了一种高效的稳健性拓扑优化设计方法。首先，基于结构柔顺度的均值和方差区间定义了最坏情况下的稳健性目标函数并构建了稳健性热力耦合拓扑优化模型；然后，通过结合UDR和PCCI方法，发展了一种高效的混合不确定性分析方法，用以计算热力耦合结构不确定性能响应；最后，基于所提出UDR_PCCI方法推导结构拓扑设计变量的灵敏度，并采用基于梯度的优化算法求解，最终获取热力耦合结构的稳健性拓扑构型。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干等同替代或明显变型，而且性能或用途相同，都应当视为属于本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1：将随机-区间混合不确定变量进行标准化处理，将随机向量X＝[X₁,X₂,…,X_n]转化为标准正态向量ξ＝[ξ₁,ξ₂,…,ξ_n]，区间向量Y＝[Y₁,Y₂,…,Y_m]转化为标准区间向量η＝[η₁,η₂,…,η_m]，假设随机变量X_i，i＝1,2,...,n服从正态分布，则可以通过：

将其转化为标准正态变量ξ_i，i＝1,2,...,n，其中随机变量的个数是n个，μ_i和σ_i分别表示X_i的均值和方差，而对于区间变量Y_i＝[Y_i ^L,Y_i ^R]，i＝1,2,...,m，可以通过：

将其转化为标准区间变量η_i＝[-1,1]，i＝1,2,...,m，其中

表示区间中点，

表示区间半径，其中区间变量个数是m个，Y_i ^L和Y_i ^R分别表示区间变量Y_i的上边界和下边界；

S2：考虑最坏情况，随机-区间不确定性拓扑优化的稳健性目标函数定义为：

其中，

和

分别表示均值的区间上界和标准差的区间上界，C表示结构的柔顺度，λ表示权重系数；

S3：构建考虑混合不确定性的稳健性热力耦合拓扑优化模型：

其中M为单元的总个数，ρ_i表示单元设计变量，ρ_min是防止矩阵奇异的单元设计变量极小值，F为结构机械载荷，F_ΔT表示结构热载荷，U是结构整体位移矩阵，K表示结构整体刚度矩阵，V_i是单元的体积，V₀为初始设计域体积，f是目标体积分数；

S4：固定区间变量的取值，基于埃尔米特多项式展开，可将功能函数C(ξ,η)表示为：

其中H_χ1(ξ)表示埃尔米特多项式展开项，h_χ1(η)表示埃尔米特多项式展开系数，χ₁表示展开项的索引指标集合，如下：

其中Nⁿ表示n维自然数空间，

表示第i个随机变量对应的指标数，p₁为展开阶次，由于展开系数

是一个仅与区间变量有关的函数，可以采用切比雪夫多项式展开表示为：

其中

表示切比雪夫多项式展开项，

表示切比雪夫多项式展开系数，χ₂表示展开项的索引指标集合，如下：

其中N^m表示m维自然数空间，

表示第j个区间变量对应的指标数，p₂为展开阶次，结合式(5)和(7)，功能函数C(ξ,η)可表示为：

S5：式(5)中的系数

可如下求解：

其中

为单变量埃尔米特多项式，权函数

e是自然常数，同理，

可表示为：

其中

为单变量切比雪夫多项式，权函数

S6：采用降维积分对式(10)和式(11)中的多项式展开系数进行求解计算；

S7：计算热力耦合结构柔顺度的均值和标准差，在得到多项式系数

后，利用多项式正交特性，可得：

S8：根据三角函数的有界特性可知

均值和标准差的上边界可近似为：

S9：将由式(14)和式(15)带入式(3)中，可求得稳健性目标函数：

S10：求解稳健性目标函数关于设计变量ρ_i，i＝1,2,...,M的灵敏度信息；

S11：基于稳健性目标函数对设计变量的灵敏度信息，采用基于梯度的MMA优化算法对设计变量进行更新迭代；

S12：判断收敛性，若不收敛，则回到步骤S4，直至计算收敛后，得到热力耦合结构最优的稳健性拓扑构型。

2.根据权利要求1所述的一种考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法，其特征在于：S4步骤的式(5)中埃尔米特多项式展开项

可以由单变量埃尔米特多项式

得到：

单变量埃尔米特多项式满足如下正交条件：

其中δ_jk，j,k＝0,1,...,p₁表示克罗内克函数，因此，当j＝k时，<H_j(ξ)²>＝j！，

切比雪夫多项式展开项

可以由单变量切比雪夫多项式

求得：

的三角函数形式如下：

其中θ_i＝arccos(η_i)＝[0,π]，相应的，单变量切比雪夫多项式的内积为：

3.根据权利要求2所述的一种考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法，其特征在于：S6中的正交多项式展开系数

的求解中，采用了降维积分策略对式(10)和式(11)中的高维积分进行求解，具体步骤包括：

S6.1：将式(11)中的

近似表示为如下形式：

其中：

表示区间变量η_j的中点；

S6.2：将按式(22)带入式(11)中，可得：

式中，

可由式(21)得到，与此同时，由于正交多项式的正交特性，当且仅当

时，对该式的后半部分有：

基于式(23)，对于式(24)的前半部分有：

可见，式(26)是由m个积分累加得到的，取其中一项将其展开：

由于多项式的正交特性，当且仅当

时，式(27)前半部分的高维积分：

而后半部分的一维积分

可用高斯-埃尔米特插值积分进行求解；

由此，可以整理得到当

时：

当

但

时：

当

即除

外，

中有任意一个数不为零时：

S6.3：而在求解

时，需要求解式(10)的高维积分

类似于公式(22)和(23),C(ξ,η)可近似表示为：

其中：

表示随机变量ξ_j的均值；

S6.4：于是，式(10)可表示为：

同理可得，当

时：

当

但

时：

当

时，即除

外，

中有任意一个数不为零时：

4.根据权利要求1所述的一种考虑随机-区间混合的稳健性热力耦合拓扑优化方法，其特征在于：

S10中求解稳健性目标函数关于设计变量的灵敏度信息，具体步骤包括：

S10.1：对目标函数求导得：

式中：

利用符号函数将式(38)改写为：

由于符号函数在x＝0处不可导，这里使用双曲正切函数tanh对其进行拟合：

当系数

足够大时，双曲正切函数tanh将无限逼近于符号函数sign，这里取

于是，式(40)可进一步表示为：

S10.2：要求解式(42)中的灵敏度，就需要求解

在确定性条件下，结构柔顺度关于每个设计变量的灵敏度

是一个确定值，考虑随机-区间混合不确定性，对其可同理采用式(9)进行展开：

其中

表示展开系数，同时，直接通过式(9)对设计变量求导可得：

对比式(43)与式(44)可知：

将式(46)带入式(43)求得稳健性热力耦合拓扑优化目标函数关于设计变量的灵敏度：

其中

表示拟合系数。

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