CN112926153A - 一种结合k-s函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种基于结合K‑S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法，包括以下步骤：(1)输入结构的几何尺寸，赋予弹性模量、泊松比、密度等材料属性，建立基结构有限元模型；(2)输入疲劳拓扑优化参数，形成优化模型；(3)初始化变量并获取基结构信息；(4)对结构进行疲劳分析，提取分析结果；(5)引入质量和疲劳过滤函数、K‑S函数、拉格朗日乘子构建拉格朗日方程，实现对优化模型的显式化；(6)利用Kuhn‑Tucker方法对优化模型进行求解，获得满足质量收敛精度的连续拓扑变量解；(7)对连续拓扑变量解进行反演，获得离散拓扑变量，使结构满足疲劳寿命约束，获得最优拓扑结构。本发明从概念设计阶段便将疲劳寿命的影响考虑在内，对于考虑疲劳特性的工程结构设计具有重要意义。

Description

一种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法
技术领域
本发明涉及结构中材料的布局设计，适用于考虑疲劳特性的结构初始概念设计。
背景技术
疲劳破坏有几个典型特点：1.突然性，即构件失效时没有明显的塑性变形进行预警； 2.低应力：即构件发生破坏时循环应力的最大值往往远低于材料的抗拉强度或屈服强度； 3.缺陷敏感：即疲劳破坏对构件缺陷十分敏感，如缺口，裂纹及组织缺陷等，这与疲劳破坏的局部展开息息相关。以航空航天工程为代表，疲劳破坏广泛存在于机械工程中，疲劳破坏占全部力学破坏的50％～90％，是工业中的致命杀手。
结构拓扑优化是一种根据给定负载工况、约束条件，对材料布局进行优化设计的一种数学方法。随着工业从原先的粗放式生产转为数字化、精细化生产，简单的尺寸优化和形状优化越来越难以满足目标。尤其是在航空航天工程中，“为减重每一克而奋斗”的目标要求结构具有轻量化的特点，同时，严苛的工作环境也对结构的性能提出挑战。由于缺少参考先例，当多个约束结合在一起时，工程师的经验和直觉往往是不准确的。拓扑优化恰恰能胜任这一工作。它创造性地将寻求最优结构问题转化为在设计域内求解材料的最优分布问题。在目标函数和约束条件的指导下，能完美的满足设计要求。
疲劳破坏广泛存在于机械工程中。目前工程实际中对在位移、刚度、强度、频率、体积、质量等约束下的拓扑优化开展了一些研究。但有关在疲劳寿命约束的结构拓扑优化的研究不多。因此，因此对结构进行优化设计时考虑疲劳特性非常必要，使结构在满足疲劳特性的要求下，结构的得到轻量化设计，从而降低成本，节约材料。
本发明针对结构疲劳特性提出了一种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法，这种疲劳拓扑优化模型以结构质量最小为目标、结构疲劳寿命为约束，利用拉格朗日乘子对疲劳寿命约束建立拉格朗日函数，对约束进行显式化处理，最后利用Kuhn-Tucker方法中的鞍点条件求解，在反演的过程中利用二分法进行阈值的选取，消除了阈值选择的盲目性。这种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法便于对结构概念设计中需要考虑结构疲劳特性的要求的结构设计。
发明内容
本发明针对结构考虑疲劳特性的优化设计问题，与考虑应力、位移等约束的结构优化相比，疲劳寿命在工程问题中更值得关注，本发明提供了一种更具通用性的结构疲劳寿命约束结构拓扑优化设计方法，本发明中借助结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法，将多约束问题转化为极值问题，简化了计算，具有较高的优化求解速度；二分法选取反演阈值，避免了反演阈值选择的盲目性。因此，本发明的拓扑优化设计方法有效提高了工作效率，节省了设计成本。其优化流程如图1所示。具体解决方案如下：
第一步，建立基结构有限元模型；
基于MSC.Patran软件平台，在Geometry模块，建立基结构的几何模型；在Meshing模块，对结构进行网格划分；在Properties模块，定义材料参数，并赋予单元属性；在Loads/BCs模块，对结构施加边界条件及载荷；最后在Analysis模块，选择分析类型为：LINEAR STATIC，之后运行静力分析。
第二步，输入疲劳优化质量收敛精度ε、过滤半径r以及疲劳寿命约束L，形成以结构质量最小为优化目标，结构疲劳寿命为约束的拓扑优化模型；
在MSC.Patran软件平台的Topology Optimization界面，输入结构疲劳寿命，形成拓扑优化模型，如下式:
Figure BDA0002946222560000021
式中:t为设计区域内单元拓扑设计变量向量；W(t)为连续体结构质量函数；Li为i单元的疲劳寿命；N为单元拓扑设计变量的数目；ω为0.001。
第三步，初始化变量并提取基结构信息，包括单元拓扑变量、单元体积及单元材料参数等；
首先采用sys_allocate_array()语句为数组分配内存空间，然后采用for循环语句为拓扑变量数组及拓扑变量上下限等数组赋予初值，最后采用db_get_region_definition()、 db_get_group_id、db_get_prop_value等函数得到单元的材料属性、节点号及厚度等信息，为结构的拓扑优化设计提供初始参数。
第四步，对结构进行疲劳分析，并提取分析结果；
拓扑优化求解是一个多次迭代的近似求解过程，因此在优化程序过程中使用FUNCTION FEM_static_calculate()、FEM_read_result()两个子程序实现静力及疲劳分析的自动进行，和对分析结果的自动读取。
第五步，采用过滤函数对单元的物理属性进行识别，利用K-S函数将多约束问题转化为极值问题，利用引入拉格朗日乘子，构建拉格朗日方程，将优化模型的疲劳约束显式化；
采用单元质量过滤函数、单元疲劳寿命过滤函数
Figure BDA0002946222560000031
对单元的质量、单元的疲劳寿命进行识别，其识别方程如下：
Figure BDA0002946222560000032
式中W,Li为优化过程中连续体结构的质量和疲劳寿命，
Figure BDA0002946222560000033
是第i个单元的初始质量，L是疲劳寿命约束值。
多约束问题会带来较大的计算量，为了解决这个问题引入K-S函数
Figure BDA0002946222560000034
NC为工况数目，即约束数量。
根据K-S函数性质：
Figure BDA0002946222560000035
代入拓扑优化模型，也就是把式(1)转为下式求解：
Figure BDA0002946222560000036
αL、αw分别为疲劳寿命过滤函数与质量过滤函数的系数，在本方法中αL＝1，αw＝1。
引入Lagrange乘子上式转化为如下公式
L(t,λ)＝W(t)+λKS(ρ,t)→min (5)
第六步，求解优化模型时，借助Kuhn-Tucker方法中的鞍点条件
Figure BDA0002946222560000037
对式(6)按i求和可得：
Figure BDA0002946222560000038
将式(7)代入式(6)可得：
Figure BDA0002946222560000039
对式(8)取自然对数，然后两边都除以ρ，根据K-S函数的性质，可用一个最大的约束代替所有约束的作用：
Figure BDA0002946222560000041
对式(9)迭代求解可得式(10)，其中v代表当前迭代次数，
Figure BDA0002946222560000042
为第v次迭代计算中第i 个单元的疲劳寿命值：
Figure BDA0002946222560000043
第七步，判断是否满足质量收敛精度，若不满足返回第四步；若满足，则反演最优连续拓扑变量直到满足疲劳寿命要求，获得最优拓扑结构。
判断连续拓扑优化结构是否满足质量收敛精度，若不满足，更新有限元模型进行下一轮迭代，若满足，利用二分法理论，通过逐次二分阈值空间的方法来缩小搜索区域，查找最佳反演阈值对连续拓扑变量进行反演，直至反演所得离散拓扑优化结构满足疲劳寿命约束，进而获得最优拓扑结构。
本发明相比现有技术的优点在于：
(1)提出了考虑结构疲劳特性的连续体结构优化设计，不再是对结构优化的参数优选，从概念设计阶段便将疲劳寿命的影响考虑在内；
(2)结合K-S函数，将多约束问题转化为极值问题，克服了求解计算量大的困难，并且二分法实现中间拓扑变量向0或1的智能映射，这对于合理选择反演阈值，节省时间成本、设计成本，具有重要意义。
附图说明
图1是疲劳约束拓扑优化设计方法的流程图。
图2是疲劳约束的基结构。
图3是疲劳约束的最优结构图。
图4迭代质量曲线。
图5危险点疲劳寿命。
具体实施方式
下面结合一个考虑疲劳约束算例对本发明的具体实施步骤进行详细说明。该算例针对低碳钢板进行疲劳拓扑优化设计，其中，基结构如图2所示。
第一步，Geometry模块，建立如图2，80mm×20mm×2mm尺寸的基结构；Meshing模块，将基结构划分成1×1mm2大小的四节点的壳单元；Properties模块，定义单元的弹性模量E＝250GPa，密度7.85g/cm3，泊松比为μ＝0.3；Loads/BCs模块，在结构左右两侧单元节点施加固定约束，上部边界中点处施加载荷，为了减少应力集中现象，在三个节点处分别施加F＝1700N；
第二步，在Topology Optimization界面，输入优化参数，设置收敛精度为0.001，收敛半径为1.41，疲劳寿命约束为1000次循环。
第三步，PCL(Patran Command Language)疲劳拓扑优化程序自动实现数组的空间分配、基结构参数的提取及拓扑变量初值的赋予；
第四步，在PCL疲劳拓扑优化程序的命令下，自动进行疲劳分析，并提取相应的分析结果，自动实现的步骤如下，Analysis模块，进行LINEAR STATIC静力分析，之后进行疲劳分析，在Durability模块中，Analysis选择S-N，Result Loc中选择Element，选择S-NSetup，在Stress Combination中选择Von Mises；Loading information选择之前静力分析所得工况，Time History中选择sin01的函数类型，Material information中选择材料为ClassB，之后提交分析。
第五步，PCL疲劳拓扑优化程序结合K-S函数，依据单元材料参数、单元拓扑值、结构性能信息、单元的性能信息及过滤函数，对优化模型进行显式化；
第六步，依据Kuhn-Tucker方法中的鞍点条件，PCL疲劳拓扑优化程序自动实现优化模型的求解。如果优化结果满足收敛条件，则输出最优连续拓扑优化结果；如果优化结果不满足收敛条件，则根据单元拓扑变量值修改模型，返回第四步，继续进行有限元分析及求解，直到满足收敛条件。
第七步，基于二分法，PCL疲劳拓扑优化程序自动实现对连续拓扑变量的反演获得离散拓扑变量，直至离散拓扑优化结构满足疲劳寿命约束，获得最优拓扑结构。
疲劳寿命约束的最优结果见表1。从图3为最优拓扑结构，图4为迭代历史，可以看到，迭代过程满足约束条件，且稳定收敛。因此，这种基于疲劳寿命约束的拓扑优化设计方法具有有效性和可行性。
表1质量迭代历史
迭代次数 结构质量m/g 减重比
4 9.77 61.1％。

Claims (9)

1.一种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法其特征在于包括以下步骤：
第一步，建立基结构有限元模型；
第二步，输入疲劳优化质量收敛精度值ε、疲劳寿命约束L，形成以结构质量最小为目标，结构疲劳寿命为约束的连续体结构拓扑优化模型，设定算法过滤半径r，r等于网格边长的1.4倍，反演阈值ξ，ξ初始值为0.5；
第三步，初始化单元拓扑变量并提取基结构几何、材料、有限元参数和单元拓扑值；
第四步，对结构进行疲劳分析，并提取疲劳分析所得结构损伤，结构疲劳寿命数据信息；
第五步，利用第四步提取的信息，利用K-S函数将多约束连续体结构拓扑优化问题转化为极值连续体结构拓扑优化问题，引入拉格朗日乘子，建立拉格朗日方程，将优化模型中的疲劳约束显式化；
第六步，利用Kuhn-Tucker方法求解优化模型；
第七步，判断两次连续拓扑优化结构质量是否满足质量收敛精度，若不满足返回第四步；若满足，获得连续拓扑变量，形成连续拓扑优化结构；
第八步，根据设置的初始反演阈值反演连续拓扑变量，获得离散拓扑变量，形成离散拓扑优化结构并进行疲劳分析，检验是否满足疲劳寿命约束，若满足，获得最优拓扑结构，若不满足疲劳寿命约束，则根据二分法修改反演阈值，重新计算离散拓扑变量，获得最优结构。
2.根据权利要求1所述的一种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法，其特征在于，第一步所述的建立基结构有限元模型，其实现过程为：
包括建立基结构的几何模型，赋予材料参数，设置有限元网格精度并划分网格、设置边界条件、外载荷条件以及疲劳分析中的材料疲劳特性、循环载荷形式、荷载时间历程，并设置输出结果。
3.根据权利要求1所述的一种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法，其特征在于，第二步所述的输入疲劳优化相关优化参数，形成优化模型，其实现过程为：
设置收敛精度ε、过滤半径r、疲劳寿命约束L，进而形成疲劳拓扑优化模型；
Figure FDA0002946222550000011
式中:t为设计区域内单元拓扑设计变量向量；EN是N维向量空间；W(t)为连续体结构质量函数；Li为第i个单元的疲劳寿命；N为结构有限元模型单元数量；ti是第i个单元的拓扑值；ω为一大于0的极小值，为0.001。
4.根据权利要求1所述的一种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法，其特征在于，第三步所述的初始化变量并提取基结构信息，其实现过程为：
包括提取基结构有限元模型的几何尺寸、材料属性、外荷载数值、单元号、节点号及初始拓扑值，并对单元拓扑变量及对应上下限数组进行初始化，为求解优化模型提供有限元模型信息。
5.根据权利要求1所述的一种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法，其特征在于，第四步所述对连续体结构进行疲劳分析，并提取疲劳分析分析结果，其实现过程为：
对结构进行疲劳分析，并提取结构的单元损伤和疲劳寿命信息，为建立优化模型的显式化方程提供结构单元的疲劳特性参数。
6.根据权利要求1所述的一种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法，其特征在于，第五步利用K-S函数将多约束连续体拓扑优化问题转化为单约束连续体拓扑优化问题，引入拉格朗日乘子，构建拉格朗日方程，将优化模型中的疲劳约束显式化，其实现过程为：
利用质量过滤函数
Figure FDA0002946222550000021
识别单元质量，引入单元疲劳寿命过滤函数
Figure FDA0002946222550000022
表征疲劳寿命约束，αL、αw分别为疲劳寿命过滤函数与质量过滤函数的系数，在αL＝1，αw＝1；
引入K-S函数；
Figure FDA0002946222550000023
其中，ρ是KS函数中的动态常数参数，在计算时需要进行调试；具体操作为：在(0,100000]这个区间内，按照每次增加500进行参数调整，直至得到可以收敛的优化结果；Aj(xi)为第j种工况下第i个单元的疲劳寿命，Bj(xi)为第j种工况下第i个单元的疲劳寿命约束值，疲劳约束根据对工程构件的疲劳性能要求确定，NC为工况数目；将式(2)代入优化模型中的疲劳约束表达式，得到疲劳约束集成形式，
Figure FDA0002946222550000024
更新的疲劳优化模型如式(3)所示，式中，W指连续体结构质量，
Figure FDA0002946222550000025
指第i个单元的初始质量；
Figure FDA0002946222550000031
引入Lagrange乘子上述优化模型中的目标转化为如下形式；
L(t,λ)＝W(t)+λKS(ρ,t)→min (4)。
7.根据权利要求1所述的一种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法，其特征在于，第六步所述的求解优化模型，其实现过程为：
利用Kuhn-Tucker方法中的鞍点条件求解式(4)
Figure FDA0002946222550000032
其中，
Figure FDA0002946222550000033
对式(5)，等式两侧分别各自按i求和可得：
Figure FDA0002946222550000034
将式(6)代入式(5)可得：
Figure FDA0002946222550000035
对式(7)取自然对数，然后两边都除以ρ，得到
Figure FDA0002946222550000036
根据K-S函数的性质，
Figure FDA0002946222550000037
则，式(8)可表示为：
Figure FDA0002946222550000038
对式(9)迭代求解可得式(10)，其中v代表当前迭代次数，
Figure FDA0002946222550000039
为第v次迭代计算中第i个单元的疲劳寿命值，
Figure FDA00029462225500000310
Figure FDA0002946222550000041
8.根据权利要求1所述的一种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法，其特征在于，第七步所述的判断是否满足质量收敛精度，若不满足返回第四步；若满足，获得连续拓扑变量，形成连续拓扑优化结构，其实现过程为：
给出质量收敛精度表达式：
Figure FDA0002946222550000042
式中W(v+1)代表本次迭代计算所得的连续拓扑优化结构质量，W(v)代表上次迭代计算所得的连续拓扑优化质量，ε取0.001；
判断收敛是否满足质量收敛精度，若不满足，更新有限元模型进行下一轮迭代，若满足，获得连续拓扑变量，形成连续拓扑优化结构。
9.根据权利要求1所述的一种结合K-S函数的连续体结构疲劳拓扑优化设计方法，其特征在于，第八步所述的对连续优化结构进行反演获得离散优化结构，进而获得最优结构，其实现过程为：
根据设置的初始反演阈值反演连续拓扑变量，获得离散拓扑变量，形成离散拓扑优化结构并进行疲劳分析，检验是否满足疲劳寿命约束，若满足，获得最优拓扑结构，若不满足疲劳寿命约束，则根据二分法逐次将反演阈值减小或增加当前值的一半，重新计算离散拓扑变量，直至满足疲劳约束，获得最优结构。
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